จ ำนวนเชงซอน (Complex Number)

ในระบบจ ำนวนจรงสำมำรถหำคำ x จำกสมกำร ไดคอ แตถำก ำหนด

สมกำรใหเปน หรอ - จะเหนไดวำไมมจ ำนวนจรงใดๆ ทสอดคลองกบทงสองสมกำรเลย เพรำะวำ เสมอ จงจ ำเปนตองสรำงระบบสมกำรขนมำใหมเพอหำค ำตอบของสมกำรทงสองได

1. จ ำนวนจนตภำพ (Imaginary Number)

จ ำนวนจรงลบทอยในเครองหมำย จะเรยกวำจ ำนวนจนตภำพ เชน √- √- √-

ฯลฯ เปนจ ำนวนทตำงจำกจ ำนวนจรงตรงทวำไมสำมำรถก ำหนดจดบนเสนจ ำนวนจรงแทนจ ำนวน

จนตภำพเหลำนได จะใชสญลกษณ i แทนจ ำนวน √- นนคอ √- หรอ -

นยำมท 1.1 ถำ a เปนจ ำนวนจรงบวกแลว √- √ √-

ดงนนจำกนยำม √- √

เชน √- √ √- √ i

√- √ √- √

√- √ √- เปนตนไป

2. กำรหำคำ

เนองจำก √- กำรหำคำ ท ำไดดงน

i1 = i i5 = i4i = 1i = i i2 = -1 i6 = i4j2 = 1 (-1) = -1 i3 = ii2 = (-1) = -i i7 = i4i3 = (1) (-i) = -i i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1 i8 = i4i4 = (1)(1) = 1

และในท ำนองเดยวกนจะได - - จะเหนวำก ำลงของ ตงแต 1 ถง 4 ไดคำแตกตำงกน ก ำลงของ ตงแต 5 ถง 8 และ 9

ถงซ ำกน 12 ไปเรอยๆ จะไดคำซ ำกบก ำลง 1 ถง 4 ดงนนจงสรปวำรป เมอ เปนจ ำนวน

เตมบวกใดๆ มโอกำสเปนไปได 4 กรณ คอ - - โดยท เมอ หำรดวย 4 ลงตวจะได เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 1จะได

เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 2 จะได -

เมอ หำรดวย 4 เหลอเศษ 3 จะได - ดงนนเมอ จะได

- - และ

-

Ex.1 จงหำคำของ

1.

Ex.2 จงหำคำของ 1.

2.

Ex.3 จงหำคำของ

1. √- √-

นยำมท 1.2 จ ำนวนทเชงซอนคอจ ำนวนทเขยนอยในรป z = a+bi เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง จำกนยำมจ ำนวนเชงซอน z = a+bi

เรยกจ ำนวนจรง a วำสวนจรง (real part) เขยนแทนดวย Re(z) เรยกจ ำนวนจรง b วำสวนจนตภำพ (Imaginary part) เขยนแทนดวย Im(z) เชน จ ำนวนจรง เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ 3 สวนจนคภำพคอ 4

√

- เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ √

สวนจนตภำพคอ -2

-

เปนจ ำนวนเชงซอน ซงสวนจรงคอ -

สวนจนตภำพคอ -√

จำกจ ำนวนเชงซอน ถำ จะได เรยกจ ำนวนจนตภำพแท ถำ จะได ซงเปนจ ำนวนจรง ดงนนจ ำนวนจรงทกจ ำนวนเปนจ ำนวนเชงซอนทไมมสวนจนตภำพ

3. กำรเทำกนของจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.3 ถำให และ เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท และ

กตอเมอ และ

Ex.1 จงหำคำของ x และ y จำก - - เมอ

Ex.2 จงหำคำของ x และ y จำก (- - ) ( - ) - -

Ex.3 ( ) ( - ) ( - )( - )

4. กำรบวกและลบจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.4 ถำให และ เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท

( ) ( ) - ( - ) ( - )

จำกนยำมจะเหนวำกำรบวกและกำรลบจ ำนวนเชงซอน เหมอนกบกำรบวกและกำรลบจ ำนวนจรง Ex.1 จงหำผลบวกและผลตำงของจ ำนวนเชงซอนทก ำหนดใหตอไปน

- -

Ex.2 จงหำคำของ ( - ) (- )- -

5. กำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนจรง นยำมท 1.5 ถำ เปนจ ำนวนเชงซอนและ k เปนจ ำนวนจรงใดๆ จะไดวำ ( )

Ex.1 จงหำจ ำนวนจรง x, y จำกสมกำร ( )- ( - )

Ex.2 จงหำจ ำนวนจรง x, y จำกสมกำร - -

คณสมบตกำรบวกของจ ำนวนเชงซอน ให c เปนเซตของจ ำนวนเชงซอนและ เปนสมำชกของเซต c

1. คณสมบตปดส ำหรบกำรบวก ถำ แลว

2. คณสมบตสลบทส ำหรบกำรบวก ถำ แลว

3. คณสมบตกำรเปลยนแปลงกลม (จดหม) ส ำหรบกำรบวก ถำ และ แลว ( )

4. คณสมบตกำรมเอกลกษณส ำหรบกำรบวก ถำ เรยก 0 วำ เปนเอกลกษณกำรบวกของจ ำนวนเชงซอน

5. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวก ถำ จะม- โดยท (- ) (- ) ( )

เรยก - เปนอนเวอรส ำหรบกำรบวกของ 6. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรบวก

ถำ จะม- โดยท (- ) (- ) ( )

เรยก - วำเปนอนเวอรสส ำหรบกำรคณของ

6. กำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน นยำมท 1.6 ให และ เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ

จะได - จำกนยำมจะเหนวำกำรคณจ ำนวนเชงซอนกเหมอนกบกำรคณแบบธรรมดำนนเอง

เพยงแตใชคณสมบต - Ex.1 จงท ำใหเปนผลส ำเรจในรป

1. ( )( - )

Ex.2 ก ำหนดให - - จงหำ 1)

2)

คณสมบตกำรคณจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน ให c เปนเซตของจ ำนวนเชงซอน และ เปนสมำชกในเซต c

1. คณสมบตปดส ำหรบกำรคณ ถำ แลว

2. คณสมบตสลบทส ำหรบกำรคณ ถำ แลว

3. คณสมบตกำรเปลยนแปลงกลม (จดหม) ส ำหรบกำรคณ ถำ แลว ( )

4. คณสมบตกำรมเอกลกษณส ำหรบกำรคณ ม เปนสมำชก และถำ แลว ( )( ) ( )( ) เรยก เปนเอกลกษณกำรคณ

5. คณสมบตกำรมอนเวอรสส ำหรบกำรคณ

ถำ จะม - โดยท

- -

เรยก - วำเปนอนเวอรสส ำหรบกำรคณของ 6. คณสมบตกำรแจกแจง

ถำ แลว ( )

พจำรณำคณสมบตขอ ท 5

ให โดยท จงหำคำ -

ให -

- ( )( ) (เพรำะเปนอนเวอรสกำรคณ)

( - ) ( ) จำกคณสมบตกำรเทำกนของจ ำนวนเชงซอน

- (1) (2)

Ex.1 ก ำหนด จงหำคำ - จำก 1.

2.

3. -

7. สงยคของจ ำนวนเชงซอน (Conjugate of Complex numbers )

นยำมท 1.7 ส ำหรบจ ำนวนเชงซอน ใดๆ สงยคของ z แทนดวย - จำกนยำมพบวำถำ แลว

เชน -

- - -

-

-

โดยท ( )( - )

เชน ( )( - ) คณสมบตสงยคของจ ำนวนเชงซอน ให เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ

1. 2.

3.

4. - -

5.

6. ( )

7. ( ) ( )

Ex.1 จงหำสงยคของ -√-

8. กำรหำรจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอน กำรหำรจ ำนวนเชงซอนดวยจ ำนวนเชงซอนนนไมสำมำรถท ำไดเหมอนจ ำนวนจรงเนองจำกไม

สำมำรถรคำ i วำเปนเทำใด ดงนนอำศยคณสมบตของสงยคจ ำนวนเชงซอน โดยกำรท ำตวหำร ใหเปนจ ำนวนจรง คอน ำสงยคของตวหำรมำคณทงเศษและสวน

Ex.1 ให -

จงเขยน ในรป

Ex.2 จงเขยนจ ำนวนเชงซอน

-

-

- ในรปของ

9. คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน (Asolute Value หรอ modulus)

นยำมท 1.8 คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน เขยนแทนดวย | | | | คอระยะทำงสดทำย ถง

จำกนยำมจะไดวำ | | √ Ex.1 | |

Ex.2 |√

-

|

x

(a,b)

b

a

|z|

0

y

Ex.3 ก ำหนด เปนจ ำนวนเชงซอนใดๆ และ ( )( )(- - ) - จง

หำคำ | | คณสมบตคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน ให เปนจ ำนวนเชงซอน 1. | | | | |- | 2. | | | | | |

3. | |

| |

| |

4. | | | | 5. | | | | | |

Ex.1 จงหำคำสมบรณของจ ำนวนเชงซอนตอไปน

1.1 |( - )( ) ( - )|

1.2 |(√ √ )

( √ ) (- - )

|

10. กำรหำค ำตอบของสมกำรในระบบจ ำนวนเชงซอน - ใชกำรแยกตวประกอบ Ex.1 จงหำค ำตอบของสมกำรกำรตอไปน 1.1

1.2 - - สมกำรทอยในรป เมอ เปนคำคงทและ ใหใชสตร

- √ -

Ex.2 จงหำค ำตอบของสมกำรตอไปน

1.1 -

1.2 -

11. กรำฟของจ ำนวนเชงซอน

ในระบบจ ำนวนจรงสำมำรถใชจดบนเสนจ ำนวน แทนจ ำนวนจรงแตละคำไดแตส ำหรบจ ำนวนเชงซอนตองใชจดบนระนำบเปนตวแทนของจ ำนวนเชงซอนโดยระนำบ ประกอบดวยแกนจรง (แกน X) และแกนจนตภำพ (แกน y) ซงเรยกวำระนำบเชงซอน ซงจ ำนวนเชงซอนสำมำรถแทนไดดวยคล ำดบ คอ ถำ แทนดวย Ex.1 ให เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท | | จงหำทำงเดนของ

Ex.2 ก ำหนด Z เปนจ ำนวนเชงซอนโดยท | - - | จงพจำรณำในระบบจ ำนวนจรงท

สอดคลองกบสมกำรดงกลำว

(a,b)=a+bi

b |z|

0 a

y (แกนจนตภำพ)

X (แกนจรง)

12. กำรเขยนจ ำนวนเชงซอนในรปพกดเชงชว

จำก ( ) ในระนำบประกอบดวยแกนจรงและแกนจนตภำพ

จำกรป

| |

หรอ | |

| | หรอ | |

จำก | | | | ดงนน จ ำนวนเชงซอน เขยนในรปพกดเชงขว คอ | |( )

1. √

2. -

x

(a,b)=a+bi

b

a

|z|

0

y

13. กำรคณและกำรหำรจ ำนวนเชงซอนในระบบเชงขว

ถำให | | | | จะได | || |[ ( ) ]

| |

| |[ ( - ) - ]

Ex.1 ก ำหนด (

)

จงหำคำของ

Ex.2 ก ำหนด - จงหำคำของ ในรป

14. กำรหำคำของ ในระบบพกดเชงชว ให | | จำกหวขอท 1.13 จะได | | [ ( ) ]

| | ในท ำนองเดยวกนจะได

ซงเรยกวำ ทฤษฏบทของเดอมวร De M vr’ The rem ซงมประโยชนในกำรหำ

จ ำนวนเชงซอนทมกำรยกก ำลงมำกๆ

Ex.1 จงหำคำของ (-

√

)

zn=|z| ( cos nθ+i sin nθ) n

Ex.2 จงหำคำของ [ (

)]

-

15. กำรหำรำกท n ของจ ำนวนเชงซอน Ex.1 จงหำรำกท 3 ของ 1

Ex.2 จงหำรำกท 4 ของ 16