6ta finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA-fim

SEXTA PRÁCTICA

CURSO: CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR: ING. CUEVA PACHECO

Alumno:-Peláez Cárdenas Sergio Kevin ; 20121018B

Sección: “E”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA CÁLCULO POR ELEMENTOS FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA FINITOS

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1


1. PROBLEMA Resolver el problema de la tercera práctica considerando el peso propio del material y calcular los esfuerzos y las reacciones en los apoyos (empotrados).

MATERIAL: E=3.1x105N/mm2, ρ =7.8 gr-f/cm3, φ= 50mm

2. SOLUCIÓN

2


TABLA DE CONECTIVIDAD.

NODO X(mm) Y(mm)

1 0 0

2 1500 0

3 3000 0

4 1500 1500

5 0 1500

elemento NODOS

(1) (2)

GDL

1 2 3 4 5 6

Le

(mm)

Ae

(mm2)

Ee

(N/mm2)

I

(mm4)

1 1 2 1 2 3 4 5 6 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

2 2 3 4 5 6 7 8 9 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

3 3 4 7 8 9 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105

4 2 4 4 5 6 10 11 12 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

5 1 4 1 2 3 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105

6 4 5 10 11 12 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

7 1 5 1 2 3 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105

3


3. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO (realizado sólo para el primer elemento)

Matriz de transformación de coordenadas

l=X2−X1le

=1500−01500

=1

m=Y 2−Y 1le

=0−01500

=0

L=[l m 0 0 0 0−m l 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 l m 00 0 0 −m l 00 0 0 0 0 1

]=[1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

]K|e=[

EAle

0 0 −EAle

0 0

0 12 EA

l3e

6 EA

l2e

0 −12EA

l3e

6 EA

l2e

0 6 EA

l2e

4 EAle

0 −6 EA

l2e

2 EAle

−EAle

0 0 EAle

0 0

0 −12 EA

l3e

−6 EA

l2e

0 12EA

l3e

−6 EA

l2e

0 2 EA

l2e

2EAle

0 −6 EA

l2e

4 EAle

]¿108 x [

0 .00405 0 0 -0.00405 0 00 0 .000003 0 .00253 0 -0 .000003 0.002530 0 .00253 2 .53618 0 -0 .00253 1.26809-0 .00405 0 0 0 .00405 0 00 -0 .000003 -0.00253 0 0 .000003 -0.002530 0 .00253 1 .2680 0 -0 .002536 2.5361

]

4


K e=LTK|e L

f '=[ p . sen (φ ). le2

p .cos (φ ). le2

p . cos(φ ) .l2e

12p. sen(φ ). le2

p . cos(φ) .le2 −

p . cos (φ) . l2e

12 ]T

f '=[0 0 .0112 2 .81705 0 0 .01126 -2.81705 ]T

f=LT f 'KQ=F

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INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1: #nodos

Leer posiciones (X,Y)

Para i=1: #elementos

Calcula longitud de cada elemento, cósenos directores, matriz de rotación “L”, matriz de rigidez y fuerzas.

Calcula desplazamientos, las reacciones en los apoyos y los momentos respectivos.

Para i=1: #elementos

1,1

1 2

1 2

Si (SN+SE=1)> (SN-SE=1)

Esfuerzo igual a la suma

Esfuerzo igual a la resta

SI NO


4. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA

6


5. DIGITACIÓN DEL PROGRAMA EN MATLAB

%ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS: MARCOS

format long

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nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS= ');

ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= ');

E=input('INGRESE EL MODULO DE YOUNG=');

d=input('INGRESE EL DIAMETRO=');

pes=input('INGRESE EL PESO ESPECIFICO(gr-f/cm^3)=');

disp('e===(1) (2)====');

tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)= ');

n=[];

for i=1:nd

disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);

n(i,1)=input('N(X)= ');

n(i,2)=input('N(Y)= ');

end

le=[];lm=[];

A=pi/4*d^2;I=pi*d^4/64;

krs=zeros(3*nd);f=pes*9.81e-6*A;fp=zeros(3*nd,1);F=zeros(3*nd,1);

Kij=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);kp=zeros(3*nd);le=[];l=[];m=[];

for i=1:ne

le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);

l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);

m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);

ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3;

L(ps1,ps1)=l(i);L(ps1,ps2)=m(i);L(ps2,ps1)=-m(i);L(ps2,ps2)=l(i);L(ps3,ps3)=1;

L(ps4,ps4)=l(i);L(ps4,ps5)=m(i);L(ps5,ps4)=-m(i);L(ps5,ps5)=l(i);L(ps6,ps6)=1;

kp(ps1,ps1)=E*A/le(i);kp(ps1,ps4)=-E*A/le(i);

kp(ps2,ps2)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps3)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps2,ps5)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps6)=6*E*I/le(i)^2;

kp(ps3,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps3)=4*E*I/le(i);kp(ps3,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps6)=2*E*I/le(i);

kp(ps4,ps1)=-E*A/le(i);kp(ps4,ps4)=E*A/le(i);

kp(ps5,ps2)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps3)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps5,ps5)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps6)=-6*E*I/le(i)^2;

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kp(ps6,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps3)=2*E*I/le(i);kp(ps6,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps6)=4*E*I/le(i);

fp(ps1,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps2,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps3,1)=f*l(i)*le(i)^2/12;

fp(ps4,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps5,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps6,1)=-f*l(i)*le(i)^2/12;

F=F+L'*fp;Kij=Kij+L'*kp*L;

kp=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);fp=zeros(3*nd,1);

end

%CONDICIONES DE FRONTERA (Q1,Q2,Q3,Q13,Q14,Q15)=[0]

Fc=[];Kc=[];Q=zeros(3*nd,1);

F(5,1)=F(5,1)+2000;F(7,1)=F(7,1)+5000;F(8,1)=F(8,1)+4000; %incluimos las fuerzas externas

Fc=F(4:12,1);Kc=Kij(4:12,4:12);

Q(4:12,1)=Kc\Fc;

%CALCULO DE REACCIONES

R1=Kij(1,1:15)*Q-F(1,1);R2=Kij(2,1:15)*Q-F(2,1);M3=Kij(3,1:15)*Q-F(3,1);

R13=Kij(13,1:15)*Q-F(13,1);R14=Kij(14,1:15)*Q-F(14,1);M15=Kij(15,1:15)*Q-F(15,1);

for i=1:ne

ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3;

ESN=E/le(i)*(-Q(ps1,1)*l(i)-Q(ps2,1)*m(i)+Q(ps4,1)*l(i)+Q(ps5,1)*m(i));

EM1=E/le(i)^2*d/2*(-6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))-4*le(i)*Q(ps3,1)+6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))-2*le(i)*Q(ps6,1));

EM2=E/le(i)^2*d/2*(6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))+2*le(i)*Q(ps3,1)-6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))+4*le(i)*Q(ps6,1));

if abs(ESN+EM1)<=abs(ESN+EM2)

ES(i)=ESN+EM2;

else

ES(i)=ESN+EM1;

end

end

disp('===== RESULTADOS ==============');

disp('REACCION EN PUNTO(1) X(N)=');

disp(R1);

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disp('REACCION EN PUNTO(1) Y(N)=');

disp(R2);

disp('MOMENTO EN PUNTO(1)(Nxmm) =');

disp(M3);

disp('REACCION EN PUNTO(5) X(N)=');

disp(R13);

disp('REACCION EN PUNTO(5) Y(N)=');

disp(R14);

disp('MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) =');

disp(M15);

disp('ESFUERZOS(MPa)=');

disp(ES);

6. EJECUCION DEL PROGRAMA

INGRESE EL NUMERO DE NODOS= 5

INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= 7

INGRESE EL MODULO DE YOUNG=3.1e5

INGRESE EL DIAMETRO=50

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INGRESE EL PESO ESPECIFICO (gr-f/cm^3)=7.8

e===(1) (2)====

INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2;2 3;3 4;2 4;1 4;4 5;1 5]

INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

1

N(X)= 0

N(Y)= 0


2

N(X)= 1500

N(Y)= 0


3

N(X)= 3000

N(Y)= 0


4

N(X)= 1500

N(Y)= 1500


5

N(X)= 0

N(Y)= 1500

===== RESULTADOS ==============

REACCION EN PUNTO (1) X(N)=

-1.634047510750955e+004

REACCION EN PUNTO (1) Y(N)=

-7.520571515552884e+003

MOMENTO EN PUNTO (1)(Nxmm) =

-8.470004922040227e+004

11


REACCION EN PUNTO (5) X(N)=

1.134047510750954e+004

REACCION EN PUNTO (5) Y(N)=

-2.436750156917257e+002

MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) =

-4.388783325569534e+004

ESFUERZOS=

5.5118 5.8687 -4.1628 -3.4516 5.2671 -7.0564 0

7. CONCLUSIONES

I. Conclusiones acerca de los resultados de la armadura

Al trabajar la armadura con nodos rígidos, y no con nodos articulados como se hizo en

la tercera práctica, los valores de las fuerzas de reacción en los apoyos son más altos,

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esto se debe a que cada elemento no solo esta sometido a tracción si no también a

flexión.

El elemento numero “7” de la armadura no trabaja, es decir no esta sometido a

ninguna carga (tracción y flexión), por lo tanto no es necesario colocar el elemento

numero “7”, concluimos que este elemento tan solo esta presente para hacer más fácil

el montaje de la armadura.

Según los resultados de los esfuerzos el elemento número “6” es el más critico, por lo

cual es el elemento que fallará primero, y el elemento que determinará el diámetro de

cada elemento.

II. Conclusiones acerca del programa realizado

El número de elementos finitos para nuestro problema es el número de elementos que

forman la armadura, porque cada elemento tiene sección constante y el material es el

mismo.

Para resolver una armadura con nudos rígidos, tan solo sumamos los efectos de

tracción y de flexión, para nuestra matriz de rigidez, así logramos resolver dicha

armadura por los métodos ya conocidos.

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