5. Numerische Diﬀerentiation und Integrationueberholz/Lehre/NumInf1/numinf_5... · Ableitungen in...

5. Numerische Differentiation

und Integration

1

Numerische Differentiation

Problemstellung:Gegeben ist eine differenzierbare Funktion f : [a, b] → R und x ∈ (a, b).Gesucht sind Naherungen fur die Ableitungen f(n)(x)

Grundlage:

• Ableitung:

d

dxf(x) = f

′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

• Der Satz von Taylor:

f(x0+h) = f(x0)+n−1∑

i=1

f(i)(x0)·hi

i!+f(n)(z)·h

n

n!mit z ∈ [x0, x0+h],

dient zur Fehlerabschatzung und Herleitung von Differenzenfor-meln

2

Ableitung 1. Ordnung (1)

Einfachste Naherung: der Differenzenquotient an der Stelle x0

f′(x0) ≈ f(x0 + h)− f(x0)

h=: D1f(x0, h)

D1 wird auch als Differenzformel oder finite Differenz erster Ordnungbezeichnet.

Problem (Ubungen):

• Rundungsfehler

≈ 2|f(x0)|ǫm1

h

• Diskretisierungsfehler

≈ |f ′′(x0)|2

· h

• Optimum

h ≈√

√

√

√4ǫm|f(x0)||f ′′(x0)|

3


Frage: Geht das besser?

• Rundungsfehler :

float → double → long double → . . .

• Diskretisierungsfehler:

Wahle Differenzen mit Diskretisierungsfehler O(hk) mit k > 1.

• Dies ergibt bei großeren h

* einen kleineren Rundungsfehler, da ∝ 1/h

* und einen großeren Diskretisierungsfehler, da ∝ hk

4


Taylor-Entwicklung

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+f ′′(x0)

2h2 +

f(3)(x0)

6h3

+f(4)(x0)

24h4 +O(h5)

f(x0 + h/2) = f(x0) + f ′(x0)(

h

2

)

+f ′′(x0)

2

(

h

2

)2

+f(3)(x0)

6

(

h

2

)3

+f(4)(x0)

24

(

h

2

)4

+O(h5)

f(x0 − h) = f(x0)− f ′(x0)h+f ′′(x0)

2h2 − f(3)(x0)

6h3

+f(4)(x0)

24h4 +O(h5)

5


Subtraktion:

f(x0 + h)− f(x0 − h) = 2f ′(x0)h+f(3)(x0)

3h3 +O(h5)

Zentraler Differenzenquotient

D2f(x0, h) :=f(x0 + h)− f(x0 − h)

2h

Fehler:

D2f(x0, h)− f ′(x0) =f(3)(x0)

6h2 +O(h4)

Es tauchen wegen der Symmetrie in h nur gerade Potenzen in der

Taylor-Entwicklung von D2f(x0, h) auf.

6

Ableitung mit Extrapolation (1)

Kombiniere D1f(x0, h) und D1f(x0, h/2) zu

D1f(x0, h)− f ′(x0) =f ′′(x0)

2h+

f(3)(x0)

6h2 +O(h3)

2 ·(

D1f(x0, h/2)− f ′(x0))

=f ′′(x0)

2h+

f(3)(x0)

12h2 +O(h3)

Differenzformel der Ordnung 2

D∗1f(x0, h) := 2D1f(x0, h/2)−D1f(x0, h)

= 2f(x0 + h/2)− f(x0)

h/2− f(x0 + h)− f(x0)

h

=4f(x0 + h/2)− 3f(x0)− f(x+ h)

h

7


Fehler:

D∗1f(x0, h)− f ′(x0) = 2D1f(x0, h/2)−D1f(x0, h)− f ′(x0)

= 2(

D1f(x0, h/2)− f ′(x0))

−(

D1f(x0, h)− f ′(x0))

= −f(3)(x0)

12h2 +O(h3)

Diese Art der Erhohung der Fehlerordnung gilt ganz allgemein.

Ausgangspunkt ist die Berechnung von D∗1 fur h, h/2, h/4, h/8, . . ., aus

denen Kombinationen berechnet werden mit einem Fehler in hoherer

Ordnung in h, diese werden dann immer weiter kombiniert, bis die

Maschinengenauigkeit erreicht ist.

8


Beispiel fur den ersten Schritt:

D∗1f (x0, h)− f ′(x0) = −f(3)(x0)

12h2 +O(h3)

D∗1f

(

x0,h

2

)

− f ′(x0) = −f(3)(x0)

12

(

h

2

)2

+O(h3)

Der Ausdruck 4D∗1f(x0,

h2)−D∗

1f(x0, h) beseitigt den Term proportional

zu h2:

4D∗1f

(

x0,h

2

)

−D∗1f (x0, h) = 4f ′(x0)− 4

f(3)(x0)

12

(

h

2

)2

+4O(h3)−

f ′(x0) +f(3)(x0)

12h2 −O(h3)

= 3f ′(x0) +O(h3)

3

9


Satz:

Sei D(h) eine Formel zur Naherung von D mit der Fehlerentwicklung

D(h)− D = c1h1 + c2h

2 + c3h3 + . . .

Dann hat die extrapolierte Formel D∗(h) := 2D(h/2) − D(h) die

Fehlerentwicklung

D∗(h)− D = −c22h2 + . . .

Rekursive Verbesserung:

• Berechne D∗(h) aus D(h) und D(h/2), Fehler O(h2)

• Berechne D∗(h/2) aus D(h/2) und D(h/4), Fehler O(h2)

• Berechne aus D∗(h) und D∗(h/2) analog D∗∗(h), Fehler O(h3)

10


Algorithmus: h-Extrapolation

Sei D(h) eine Naherung von D mit der Fehlerentwicklung

D(h)− D = c1h1 + c2h

2 + c3h3 + . . .

und h > 0. Definiere

Di,0 := D

(

h

2i

)

fur i = 0,1, . . . ,

also

D0,0 := D(h), D1,0 := D

(

h

21

)

, D2,0 := D

(

h

22

)

, . . . .

Damit lasst sich die Ableitung rekursiv verbessern

11


Die Naherung Di,k fur D hat einen Fehler der Ordnung der k+1, d.h.

O(hk+1).

Di,k :=2k ·Di+1,k−1 −Di,k−1

2k − 1, k = 1,2, . . . i = 0,1, . . .

Beispiel: Betrachte verschiedene Naherungen fur D = f ′(x0). Aus-

gangspunkt sind die Naherungen O(h)

D0,0 = Df(x0, h) =f(x0 + h)− f(x0)

h

D1,0 = Df(x0, h/2) =f(x0 + h/2)− f(x0)

h/2

D2,0 = Df(x0, h/4) =f(x0 + h/4)− f(x0)

h/4

D3,0 = Df(x0, h/8) =f(x0 + h/8)− f(x0)

h/8

12


Berechne daraus die Naherungen der Ordnung O(h2) gemaß

D0,1 :=21 ·D1,0 −D0,0

21 − 1= 2 ·D1,0 −D0,0 = 2 ·Df(x0,

h

2)−Df(x0, h)

D1,1 :=21 ·D2,0 −D1,0

21 − 1= 2 ·D2,0 −D1,0

D2,1 :=21 ·D3,0 −D2,0

21 − 1= 2 ·D3,0 −D2,0

Daraus folgt fur die Naherungen der Ordnung O(h3)

D0,2 :=22 ·D1,1 −D0,1

22 − 1=

4 ·D1,1 −D0,1

3

D1,2 :=22 ·D2,1 −D1,1

22 − 1=

4 ·D2,1 −D1,1

3

13


Damit lasst sich eine Naherung der Ordnung O(h4) bilden.

D0,3 :=23 ·D1,2 −D0,2

23 − 1=

8 ·D1,2 −D0,2

7

Das Verfahren lasst sich beliebig erweitern

⇒ starke Verbesserung des numerischen Fehlers!

Beispiel fur eine Naherung (wurde man so nicht programmieren, son-

dern rekursiv oder iterativ)

D0,2 :=22 ·D1,1 −D0,1

22 − 1=

4 ·D1,1 −D0,1

3

=4 · (2Df(x0, h/4)−Df(x0, h/2))− (2 ·Df(x0, h/2)−Df(x0, h))

3

=8Df(x0, h/4)− 6 ·Df(x0, h/2) +Df(x0, h)

3

14


Beim zentraler Differenzenquotient

D2f(x0, h) :=f(x0 + h)− f(x0 − h)

2htauchten bei der Fehleranalyse nur gerade Potenzen in h auf, also

D2f(x0, h)− f ′(x0) =f(3)(x0)

6h2 +O(h4)

Analog zur h-Extrapolation kann eine h2-Extrapolation durchgefuhrt

werden, da die Fehlerentwicklung eine Funktion in h2 ist.

Allgemein gilt: Fur

D(h)− D = c1h2 + c2h

4 + c3h6 + . . .

mit der Bezeichung (wie gehabt)

Di,0 := D

(

h

2i

)

fur i = 0,1, . . . ,

15


Di,k := Di+1,k−1+Di+1,k−1 −Di,k−1

4k − 1, k = 1,2, . . . n i = 0,1, . . . , n−k

Die Naherung Di,k fur D hat einen Fehler der Ordnung der 2k + 2,

d.h. O(h2k+2)

Beispiel:

• Sie Di,0 der zentrale Differenzenquotient mit h/2i, berechne D0,0,D1,0, D2,0, Fehler O(h2)

• Daraus berechne (Fehler O(h4))

D0,1 =4D1,0 −D0,0

3, D1,1 =

4D2,0 −D1,0

3

• und anschließend (Fehler O(h6))

D0,2 =16D1,0 −D0,0

15

16

Ableitung hoherer Ordnung (1)

Beispiel: 2. Ableitung

Ausgangspunkt Taylorentwicklungen fur

f(x0 +2h), f(x0 + h), f(x0), f(x0 − h), f(x0 − 2h).

• Vorwartsdifferenz

D3f(x0, h) :=f(x0 +2h)− 2f(x0 + h) + f(x0)

h2= f ′′(x0) +O(h3)

• zentrale Differenz

D3f(x0, h) :=f(x0 + h)− 2f(x0) + f(x0 − h)

h2

• Ruckwartsdifferenz

D3f(x0, h) :=f(x0)− 2f(x0 − h) + f(x0 − 2h)

h2

17

Ableitungen in der Bildbearbeitung - GRA (1)

Ein wesentliches Problem ist die Erkennung von Kanten. Kanten sind

dort, wo die 1. Ableitung einen Extremwert hat bzw. die 2. Ableitung

Null ist.

• Es muss die Ableitung in x und y-Richtung betrachtet werden

→ partielle Ableitung, ∂∂x bzw. ∂

∂y

• Der Abstand h ist ein Pixel und wird =1 gesetzt.

• Erster Ansatz: Zentraler Differenzenquotient

∂

∂xf(xi, yj, h) ∼ f(xi+1, yj)− f(xi−1, yj)

2

• Zur Verbesserung werden nicht die Pixel im Abstand “2” in x-

Richtung herangezogen, sondern die Umgebung in Diagonalenrich-

tung, also im Abstand “√2” betrachtet.

18


• Verbesserung: Zentraler Differenzenquotient bei (xi, yj−1), (xi, yj)

und (xi, yj+1)

• Prewitt Operator

∂

∂xf(xi, yj, h) ∼ f(xi+1, yj+1)− f(xi−1, yj+1) +

f(xi+1, yj)− f(xi−1, yj) +

f(xi+1, yj−1)− f(xi−1, yj−1)

• Sobel Operator

∂

∂xf(xi, yj, h) ∼ f(xi+1, yj+1)− f(xi−1, yj+1) +

2 · (f(xi+1, yj)− f(xi−1, yj)) +

f(xi+1, yj−1)− f(xi−1, yj−1)

• Der Sobel-Operator wird in 2 Varianten z.B. in OpenCV durch die

Funktion void cvSobel(...) berechnet

19


Bestimmung der Bedingung 2.Ableitung = 0, also in 2 Dimensionen

die Summe der 2. partiellen Ableitungen in x und y-Richtung = 0

• Laplace-Operator

∆f(xi, yj) =

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)

f(xi, yj)

• Nahere die 2. Ableitung durch eine zentrale Differenz an (h = 1):

∂2

∂x2f(xi, yj) = f(xi+1, yj)− 2f(xi, yj) + f(xi−1, yj)

• Analog in y-Richtung, die Summe ergibt

∆f(xi, yj) = f(xi+1, yj)+f(xi−1, yj)+f(xi, yj+1)+f(xi, yj−1)−4f(xi, yj)

• Der Laplace-Operator wird z.B. in OpenCV durch die Funktion

void cvLaplace(...) berechnet.

20

Numerische Integration (1)

Berechne das bestimmte Integral

I =

∫ b

af(x)dx = F(b)− F(a),

wobei F die Stammfunktion von f ist. Die numerische naherungsweise

Berechnung von I nennt man numerische Quadratur (Ersetzen der

Flache unter der Kurve durch ein Rechteck/Quadrat).

Einsatz:

• wenn es keine Stammfunktion F gibt, z.B.Gaußsche Glockenkurve

bzw. Normalverteilung

• wenn f nicht vollstandig bekannt ist, also z.B. nur einzelne Werte

wie Geschwindigkeiten vorliegen und der zuruckgelegte Weg be-

rechnet werden soll (siehe Differentialgleichungen).

21


Beispiel: Normalverteilung

f(x) =1

σ√2π

exp

(

−(x− µ)2

2σ2

)

mit dem Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ.

Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Wert x zwischen a und

b angenommen.

Antwort: Berechne die Flache unter der Glockenkurve bzw. das Inte-

gral uber der Glockenkurve.

Quadraturverfahren: Berechne f(x) an Stutzstellen xi und zugehori-

ge Gewichte ωi. Bestimme das Integral naherungsweise durch

I(f) =

∫ b

af(x) ≈

n∑

i=0

ωif(xi)

22


Trapezregel:

Ersetze die Funktion zwischen den Punkten (a, f(a)) und (b, f(b))

durch eine Gerade.

I(f) =∫ b

af(x)dx =

f(a) + f(b)

2(b− a) =

b− a

2f(a) +

b− a

2f(b)

• Stutzstellen x1 = a und x2 = b

• Gewichte ω1 = ω2 = b−a2

a b

f(a)

f(b)

(f(a)+f(b))/2

23


Mittelpunktsregel: (auch Rechteckregel genannt)

Ersetze die Funktion zwischen den Punkten (a, f(a)) und (b, f(b))durch eine Konstante mit dem Wert des Funktionswerts im Mittel-

punkt des Intervalls.

I(f) =∫ b

af(x)dx = (b− a) · f

(

b+ a

2

)

• Nur eine Stutzstellen

x1 = (b+ a)/2

• Gewicht ω1 = (b− a)

a b

f(a)

f(b)

(a+b)/2

f((a+b)/2)

24


Vorgehen:

• Unterteile das Intervall [a, b] in n

Teile.

• Jedes Teilintervall hat die Breite

h = (b− a)/n

• Anfangspunkt des Intervalls i ist

xi = a+ i · h und Endpunkt xi + h,

i = 0, . . . , n− 1.

• Wende fur jedes Teilintervall ein

Quadraturverfahren an und addie-

re die Teilergebnisse.

a b

f(a)

f(b)

x0

xn

25


• Summierte Trapezregel

I ≈ Tf =n−1∑

i=0

(

xi+1 − xi

2f(xi) +

xi+1 − xi

2f(xi+1)

)

= h

1

2(f(a) + f(b)) +

n−1∑

i=1

f(xi)

• Summierte Mittelpunkts- oder Rechteckregel

I ≈ Rf =n−1∑

i=0

(xi+1 − xi)f

(

xi+1 + xi

2

)

= hn−1∑

i=0

f

(

xi +h

2

)

26


Geht es besser? Ja. Finde eine gute interpolierende Funktion p der

Funktion f mit f(xi) = p(xi), die Sie integrieren konnen.

Fur den Fall eines interpolierenden Polynoms (Li(x): Lagrange-Polynom)

p(x) =n∑

i=0

f(xi)Li(x)

Gewichte in der Quadratur folgen aus dem Integral uber das interpo-

lierende Polynom

∫ b

af(x)dx ≈

∫ b

ap(x)dx =

n∑

i=0

f(xi)∫ b

aLi(x)dx =

n∑

i=0

f(xi)wi

Meist werden aquidistante Stutzstellen xi gewahlt.

27


Polynom 1. Ordnung

p(x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)

Integralauswertung:

∫ b

af(x)dx ≈

∫ b

ap(x)dx

= f(a)(b − a) +f(b)− f(a)

b− a

(x− a)2

2

∣

∣

∣

∣

∣

b

a

= f(a)(b − a) +f(b)− f(a)

b− a

(b− a)2

2− f(b)− f(a)

b− a

(a− a)2

2

= (b− a) ·(

f(a)

2+

f(b)

2

)

ergibt wieder die Trapezregel

28


Polynom 2. Ordnung

Interpoliere die Funktion in einem Intervall [a, b] durch eine Parabel.

Wahle

x0 = a, , x1 =a+ b

2, x2 = b, h =

b− a

2

Bestimme die Konstanten a0, a1, a2 so, dass p(xi) = a2x2i +a1xi+a0 =

f(xi) und integriere die p(x).

Ohne Beweis:∫ b

af(x)dx ≈

∫ b

ap(x)dx =

h

6

(

f(a) + 4f

(

a+ b

2

)

+ f(b)

)

Das ist die Simpson-Regel, nach Wikipedia seit 1608 im Einsatz.

29


• Zu beachten: Die Simpsonregel verwendet eine zusatzliche Stutz-

stelle in der Mitte des Intervalls.

• Ohne Beweis: Sie liefert exakte Ergebnisse fur Polynome 3. Ord-

nung

• Das allgemeine Vorgehen ist wie bei den anderen Regeln: Unter-

teile das Intervall in n Teile und wende die Simpsonregel fur jedes

Teilintervall an. Das fuhrt zur summierten Simpsonregel:

∫ b

af(x)dx ≈ Sf =

h

6

n−1∑

i=0

(

f(xi) + 4f

(

xi + xi+1

2

)

+ f(xi+1)

)

=h

6

f(a) + 4f(a+h

2) + f(b) +

n−1∑

i=1

(

2f(xi) + 4f

(

xi + xi+1

2

))

30


Ohne Beweis: Fur die summierten Integrationsregeln gelten folgende

Fehlerabschatzungen

• Rechteck- oder Mittelpunktsregel:∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx −Rf(h)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ h2

24(b− a) max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

• Trapezregel:∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx− Tf(h)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ h2

12(b− a) max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

• Simpsonregel:∣

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx− Sf(h)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ h4

2880(b− a) max

x∈[a,b]|f ′′′′(x)|

31


Hier ist auch eine Etrapolation wie bei der Ableitung moglich: Es galt

D(h)− D = c1h2 + c2h

4 + c3h6 + . . .

mit der Bezeichung

Di,0 := D

(

h

2i

)

fur i = 0,1, . . . ,

Jetzt ist D(h) die Naherung fur ein Integral, z.B. mit der summierten

Trapezregel berechnet, D der exakte Wert des Integrals und h die

Breite eines Intervalls. Dann ist

Di,k := Di+1,k−1+Di+1,k−1 −Di,k−1

4k − 1, k = 1,2, . . . n i = 0,1, . . . , n−k

eine Naherung fur das Integral mit einem Fehler der Ordnung 2k+2,

d.h. O(h2k+2).

Diese Methode heißt Romberg-Extraploation.

32


Was fehlt:

• Gauß-Quadratur: Bestmogliche Stutzstellenwahl

• Adaptive Verfahren: Je nach Fehler Stutzstellen verdichten

• Extrapolationsverfahren: Analog zur Berechnung der Ableitung das

Integral fur h, h/2, h/4, ... berechnen und die Ergebnisse fur eine

Extrapolation verwenden.

• Transformation des Integrationsintervalls: Integrationsintervall so

transformieren, dass die Funktion leichter zu integrieren ist.

• Mehrfachintegrale, z.B. Volumen unter einer Flache f(x, y)

• Monte-Carlo-Methoden: Berechnung des Integrals durch zufallig

gewahlte Punkte (siehe Statistik-Vorlesung)

33

Gewohnliche Differentialgleichungen (1)

Neben der direkten Berechnung von Ableitungen und Integralen be-

steht eine Hauptanwendung in der Losung von sogenannten gewohn-

lichen und partiellen Differentialgleichungen.

Gewohnliche Differentialgleichung: Gesucht wird eine Funktion, die

nur implizit gegeben ist durch eine Gleichung fur die Ableitung

y′(x) = φ(y(x), x)

und eine Anfangsbedingung

y(x0) = y0

Die oben beschriebenen Methoden bieten Ansatze, um solche Glei-

chungen zu losen.

34


Beispiele:

y′(x) = 6x2, y(0) = 2 Losung: y(x) = 2x3 +2

y′(x) = y(x)− 1, y(0) = 2 Losung: y(x) = ex +1

y′(x) = 6x2y(x), y(0) = 2 Losung: y(x) = 2e2x3

Im Allgemeinen ist nicht eine Gleichung, sondern ein System von Glei-chungen gegeben:

y′1(x) = f1(x, y1(x), y2(x), . . . , yn(x))...

y′n(x) = fn(x, y1(x), y2(x), . . . , yn(x))

mit den Anfangswerten

yi(x0) = y(0)i , i = 1, . . . , n

35


Hangt die gesuchte Funktion nicht von einer Varialben, sondern von

mehreren Variablen ab, so spricht man von partiellen Differential-

gleichungen. Gesucht sind die Funktion y1, . . . , yn, die hier z.B. vom

Ort und der Zeit abhangen: x1, x2, x3, t

∂y1∂t

+∂

∂x1f(1)1 (y1, ..., yn) +

∂

∂x2f(2)1 (y1, ..., yn) +

∂

∂x3f(3)1 (y1, ..., yn) = g1

· · · = · · ·∂yn

∂t+

∂

∂x1f(1)n (y1, ..., yn) +

∂

∂x2f(2)n (y1, ..., yn) +

∂

∂x3f(3)n (y1, ..., yn) = gn

Diese Gleichungen konnen fast immer nur auf einen Rechner gelost

werden, in dem die Ableitungen durch mehr oder weniger “gute” Dif-

ferenzenquotienen ersetzt werden oder aber die Gleichungen einmal

integriert werden und die Integrale durch mehr oder weniger “gute”

numerische Integrationsberechnungen ersetzt werden.

36


Anwendungsbeispiel aus der Physik: Die Erde dreht sich um die Sonne

im Schwerefeld der Sonne

d2x1dt2

= −Gmsonne

x21 + x22 + x23d2x2dt2

= −Gmsonne

x21 + x22 + x23d2x3dt2

= −Gmsonne

x21 + x22 + x23.

Wurde von Kepler ca. 1606 fur 2 Korper gelost, fur 3 Korper gibt es

keine allgemeine Losung.

Anwendungsbeispiel aus den Sozialwissenschaften: Die Bevolkerung bder Erde wachst proportional zur Anzahl der lebenden Menschen auf

der Erde mit der Zeit t

db(t)

dt= αb(t).

37


Anwendungsbeispiel aus dem Maschinenbau: Temperaturanderungen

∂T(x, t)

∂t=

∂2T

∂x21+

∂2T

∂x22+

∂2T

∂x23+

Q

a.

Anwendungsbeispiel aus dem Finanzwesen: Black - Scholes - Glei-chung zur Bewertung von Finanzderivate

dV (S, t)

dt+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2(S, t) + (r − δ)S

∂V

∂S(S, t)− rV (S, t) = 0

• V : Wert des Finanzderivates

• S: Kurs des Basis-Wertes (z.B. ein Aktien- oder Wahrungskurs)

• σ2: Volatilitat (Standard-Abweichung)

• r: Zinsrate

• δ: Dividendenrate

Nobelpreis fur Wirtschaftswissenschaften, 1997

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Ein einfaches numerisches Losungsbeispiel aus Knorrenschild:

y′(x) = x2 +0.1y(x), Anfangswert: y(−1,5) = 0

Ersetze die Ableitung durch einen Differenzenquotienten bzw. erste

Ordnung Taylorreihe

y(x+ h) ≈ y(x) + y′(x) · hStarte bei x0 = −1,5 und gehe Schritt fur Schritt in x weiter. Mit

y(xi) = yi und z.B. h = 0.6

y0 = 0

y1 = y0 + h(x20 +0,1y0) = 0+ 0.6 · ((−1,5)2 +0,1 · 0) = 1,35

y2 = y1 + h(x21 +0,1y1) = 1,35+ 0.6 · ((−0.9)2 +0.1 · 1,35) = 1,92

y3 = y2 + h(x22 +0,1y2) = 2,09

Alles weitere sehr gerne in Scientific Computing im Masterstudien-

gang.

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5. Numerische Diﬀerentiation und Integrationueberholz/Lehre/NumInf1/numinf_5... · Ableitungen in...

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