3. Jordan Alu Seidel

8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel

1/20

METODE GAUSS-JORDAN

Metode ini mirip dengan eliminasi gauss, dimana matrik koefisien A

a a! a" ## an $ %

a! a!! a!" ## a!n $! %!

a" a"! a"" ## a"n & $" ' %" # # # (( ((

# # # (( ((

am am! am" #(( amn $n %m

akan diu%a) men*adi matrik

+ + + + ##+ $ + + + + ((((((((+ $! d

+ + + + #((((+ & $" ' e

+ + + + ((((((( + (( ((

( ( ( ( ( ((((((( + (( ((

+ + + + + (((((( $n ((((

Dimana matrik A men*adi matrik diagonal satuan, sedangkan nilai ang diari

langsung dapat ditentukan dari matri& eigen .alue dan tidak perlu %ak-su%titution

/ara mem%uat nol dilakukan kolom per kolom dimulai dari kolom

/onto)0

Tentukan $, $!, $" dan $1 dari S23

$ - $! 4 !$" 5 $1 ' -6

!$ - !$! 4 "$" -"$1 ' -!+

$ 4 $! 4 $" ' -!$ 5 $! 4 1$" 4"$1 ' 1

Menggunakan ara Gauss-Jordan

Ja7a%0


2/20

Matri& au&mentasi dari S23 diatas ditulis

- ! - -6

! -! " -" -!+

+ -!

- 1 " 1

8ngin di%entuk men*adi matri& diagonal satuan, maka

3angka) ( 3i)at kolom , apaka) elemen diagonal utama'9,%ila %elum maka

*adikan', %ila suda)' maka lakukan langka) selan*utna aitu

Mem%uat nol kolom selain elemen diagonal utama ts%

/arana0

2ili) %aris g elemen diagonalna tela)' :elemen diagonal utama;

se%agai %aris pi.ot, se)ingga modifikasi %aris di%a7a)na

mengikuti formula0Baris baru = baris lama – (koefisien pd kolom yg mau diubah)*(baris pivot)

Se)ingga0

3! ' 3! 5 :!;


3/20

>asilna0

- ! - -6

+ -=! =! "

+ + - - -1

+ + ! 1 !

3angka) 1( 3'3 5:-;< 3!>asilna0

+ "=! -=! -B

+ -=! =! "

+ + - - - 1

+ + ! 1 !

3angka) B( lan*utkan ke kolom " l)t elemen diagonalna, kemudian 3"'3"=-

>asilna0

+ "=! -=! -B

+ -=! =! "

+ + 1

+ + ! 1 !

3angka) ?( 3'3 - :"=!; 3" 3!' 3! - :-=!;asilna0

+ + -! -

+ + B

+ + 1

+ + + !

3angka) C( 31' 31=! 3'3 5 :-!;< 31 3!' 3! 5:;


4/20

( %uat men*adi ' elemen diagonal utama pada kolom

!( me-nol 5kan kolom pertama ang %ukan elemen diagonal

utama

dengan operasi0

@aris %aru ' %aris lama 5 :koefisien g mau diu%a); :%aris pi.ot;

"( ek kolom !, apaka) elemen diagonal utama suda) ' 99

1( me-nol-kan kolom ! selain elemen diagonal utamaB( dst(((dst(((( polana sama

/onto) soal0

Ja7a%0


5/20


6/20

METODE A(3(U DEOM2OS8T8ON MAT R8$Metode ini )ampir mirip dengan eliminasi gauss, aitu menggunakan sifat-sifat

pem%entukan matrik eliminasi gauss( Jadi %ila ada perkalian matri&0

a a! a" ## an $ %

a! a!! a!" ## a!n $! %!

a" a"! a"" ## a"n & $" ' %"

# # # (( (( # # # (( ((

am am! am" #(( amn $n %m

:matri& A; & :matri& $; ' :matri& @;

A & $ '@

@ila ingin diari nilai-nilai pada matri& $, maka ada ara lain, aitu dengan

memea) matri& A men*adi matri& 3 :3o7er triangular matri&; dan U :Upper

triangular matri&=matri& eliminasi gauss;(

Misal matri& A

a a! a" 3 + + U! U"

a! a!! a!" ' 3! 3!! + & + U!"

a" a"! a"" 3" 3"! 3"" + +

matri& A matri& 3 matri& U

matri& U memiliki sifat-sifat matri& U2ER TR8ANGU3ER, sifat inila) g akan

dimanfaatkan


7/20

Misal matri& A

a a! a" 3 + + U! U"

a! a!! a!" ' 3! 3!! + & + U!"

a" a"! a"" 3" 3"! 3"" + +

matri& A matri& 3 matri& U

nilai-nilai pada matri& 3 dan U diari dengan perkalian matri& 3 dengan U,

se%agai %erikut0

a ' 3 & 4 + & + 4 + & + 3 ' a

a! ' 3! & 4 3!! & + 4 + & + 3! ' a!

a" ' 3" & 4 3"! & + 4 3"" & + 3" ' a"

a! ' 3 & U! 4 + & 4 + & + U! ' a!=3

a!! ' 3! & U! 4 3!! & 4 + & + 3!! ' a!! - :3! & U!;a"! ' 3" & U! 4 3"! & 4 3"" & + 3"! ' a"! 5 :3" & U!;

a" ' 3 & U" 4 + & U!" 4 + & U" ' a"=3

a!" ' 3! & U" 4 3!! & U!" 4 + & U!" ' :a!" 5 :3! & U";;=3!!

a"" ' 3"&U" 4 3"!&U!" 4 3""& 3"" ' a"" 5:3" & U"; 5:3"! & U!";

(catt! terlihat urutannya adalah kolom perkolom matrix $ % & !

$""' $"' $#" kolom " matrix $

&"' $' $#' kolom matrix $ % &

&"#' &#' $## kolom # matrix $ % &

ang dicari dari kolom perkolom matrix + mulai dari a""' a"' a#" kolom "

a"' a' a# kolom

a"#' a#' a## kolom

#)

Se)ingga semua anggota matri& 3 dan U dapat diketa)ui


8/20

A & $ ' @

:3 & U; & $ ' @

3 & :U & $; '@

Misal U & $ ' Maka 3 & ' @

3 + + %

3! 3!! + & ! ' %!

3" 3"! 3"" " %"

Maka dapat diperole) 3 & ' % ' %=3

3! & 4 3!! & ! 4 + & " ' %!

! ' %! 5 :3! & ;=3!!

3" & 4 3"! & ! 4 3"" & " ' %"

" ' %" 5 :3" & 4 3"! & !;=3""

Dari U & $ '

U! U" $ $" ' "

+ U!" & $! ' ! $! ' ##9

+ + $" " $ ' ##(9

/onto)0 " $ 5 ! $! 4 " $" ' 6

1 $ 4 ! $! 5 ! $" ' !

$ 4 $! 4 ! $" ' F

@erapa nilai $, $! dan $" 9999

Ja7a%0

" -! " $ 6

1 ! 5! & $! ' ! ! $" F

A $ %

A ' 3 ( U

Dari rumus-rumus diatas

3 ' a ' "

3! ' a! ' 1

3" ' a" '

U! ' a!=3 ' -!="

3!! ' a!! - :3! & U!; ' ! - 1(:-!="; '1="

3"! ' a"! 5 :3" & U!; ' 5 (:-!="; ' B="

U" ' a"=3 ' "=" '

U!" ' :a!" 5 :3! & U";;=3!! ' :-! - :1(;;=:1="; ' -6=1


9/20

3"" ' a"" 5:3" & U"; 5:3"! & U!"; ' ! - (-:B=";(:-6=1; '"!=1!'!!=C

3 + + " + + U! U" 5!="

3' 3! 3!! + ' 1 1=" + U' + U!" ' + -6=1

3" 3"! 3"" B=" !!=C + + + +

3 & ' %

" + + 6 " ' 6 ' 6="

1 1=" + & ! ' ! 1 4 :1="; ! ' ! ! ' -!?=1

B=" !!=C " F

" ' %" 5 :3" & 4 3"! & !;=3"""' F 5 :(:6=";4 :B=";(:-!?=1;;=:!!=C;'F6=!

se)ingga matri& diketa)ui

U & $ '

-!=" $ 6=" $" ' F6=!

+ -6=1 & $! ' -!?=1 $! 4 :-6=1; $" ':-!?=1;

+ + $" F6=! $!' ##(9

$ ' ##9

Se)ingga $ ' (((((( $! ' (((((((((( $" ' ((((((((((((((((((

3ati)an0


10/20

Ja7a% lengkap0


11/20

/att0

-semakin %esar matri& maka semakin %anak rumus dan semakin

komple& per)itungan( 2rogram komputer dapat mem%antu.

/onto) matri& :n & n;0


12/20

3ati)an0

/o%a ek, apaka) soal %erikut %isa

diselesaikan dengan A(3(U9x - x ! 4 ! x " ' B

! x - ! x ! 4$"'

" x -! x ! 4C x " ' !+


13/20

METODE GAUSS-SE8DE3

Metode ini %eker*a %erdasarkan teknik iterasi untuk memprediksi nilai selan*utna(((

Misalkan sistem persamaan linier %erikut0

Dengan sarat koefisien diagonal utamana tidak nol, maka $ , $! ((((dst masing-masing

dapat ditulis dalam %entuk0

Dengan mengam%il nilai te%akan a7al :$, $!, $"; ' :+, +, +; atau nilai ang lain, maka dapat

di)itung nilai

:$, $!, $"; ang %aru

Dimana per)itungan di)entikan %ila )asil )itung tidak %eru%a) lagi atau tela) sama, atau

per%edaanna sangat keil

/onto)0 /arila) nilai $, $!, $" ang memenu)i dari sistem %erikut menggunakan ara gauss

seidel :%isa pakai kalkulator g %isa diprogram;0


14/20

? $ - $! 4 $" ' C

$ 4 1 $! - $" ' ?

$ - ! $! 4 1 $" 'F

Ja7a%0

$ ' :C 4 $! 5 $";=?

$! ' :? 5$ 4 $";=1

$" ' :F - $ 4 !$!;=1

Misalkan digunakan nilai te%akan a7al :$, $!, $"; ' :+, +, +;, maka )asil )itung adala)0

Iterasi

Ke- x1 x2 x3

0 0 0 0

1

1.1666

67 1.5 2.25

2

1.0416

67

1.7708

33

2.7083

33

3

1.0104

17

1.9166

67 2.875

4

1.0069

44

1.9661

46

2.9557

29

5

1.0017

36

1.9871

96

2.9813

37

6

1.0009

77 1.9949

2.9931

64

7

1.0002

89

1.9980

47

2.9972

06

81.0001

41.9992

292.9989

51

9

1.0000

46

1.9997

03

2.9995

8

10

1.0000

21

1.9998

83

2.9998

4

11

1.0000

07

1.9999

55

2.9999

37

12

1.0000

03

1.9999

82

2.9999

76

13

1.0000

01

1.9999

93

2.9999

9

14 1

1.9999

97

2.9999

96

15 1

1.9999

99

2.9999

99

16 1 2

2.9999

99

17 1 2 3

:o%a ek pakai e&el;

Ternata %utu) C kali iterasi untuk menapai nilai ang ditu*u

Dimana nilai $', $!'! dan $"'"


15/20

Untuk memper%aiki iterasi menapai kon.ergensi le%i) epat maka formula diatas diper%aiki

men*adi0

asus g sama spt diatas0

$ ' :C 4 $! 5 $";=?

$! ' :? 5$ 4 $";=1

$" ' :F - $ 4 !$!;=1

/ek pakai e&ell0Iteras

i Ke- x1 x2 x3

0 0 0 0

1

1.1666

67

1.2083

33 2.5625

2

0.9409

72

1.9053

82

2.9674

48

3

0.9896

56

1.9944

48

2.9998

1

4

0.9991

06

2.0001

76

3.0003

11

5

0.9999

77

2.0000

83

3.0000

47

6 1.0000 2.0000 3.0000


16/20


17/20

Tentukan &, dan H dengan gaus seidel :menggunakan kalkulator atau g

%isa diprogram; sampai dua iterasi pertama0

Ja7a%0

Running 8

Running 88

(((dst((((

(((((((((((((((((((

Ak)irna diperole)

Tugas Ruma)0


18/20

( Tentukan $, $! dan $" soal %erikut menggunakan gauss seidel seara

manual

3an*utkan dengan menggunakan e&ell, konfirmasi dengan matla%

!( Selesaikan0!C&4?-H'6B

?&4B 4!H'C!

$44B1H'+

"( 2R

1(

Soal aplikasi %idang teknik kimia0

Dalam suatu pabrik kimia, ternyata konfigurasi reaktornya membentuk susunan sbb:


19/20

Jawab: Keyword: neraca massa tiap reactor!! Coba pikirkan dan selesaikan!!

Maka

Neraca Massa di reaktor :

Masuk keluar

"# . C# $ "% . C% "& . C $ "' . C

' . # $ . C% % . C $ % . C '# $ C% ( C

atau

( C ) C% '# ........................*+

Neraca Massa di reaktor &:

Diperole:

)% C $ %C& #

) C $ C& # ........................*&+

Neraca Massa di reaktor %:

Diperole:

) C& $ - C% (# ........................*%+

Neraca Massa di reaktor :

Diperole:

) C& ) / C% $ C 0 & C' # ........................*+

Neraca Massa di reaktor ':

Diperole:

) %C 0 C& $ C' # ........................*'+

1ila persamaan)persamaan tersebut disusun maka men2adi


20/20

( C ) C% '#

)C $ C& #

) C& $ - C% (#

) C& ) / C% $ C 0 & C' #

) %C 0 C& $ C' #

Coba selesaikan, pakai cara apa3333

4ecara sekilas terliat relatif diagonally dominan, meskipun tidak benar)benar mutlak dominan sebagaimana

dipersyaratkan!

Tugas lati)an di ruma) :tidak usa) dikumpul;0

Apaka) %isa diselesaikan dengan gaus seidel9 5pa kira)kira asilnya3

/o%a %uktikan dengan E&ell4ebagai kontrol gunakan matlab 6a7b

3. Jordan Alu Seidel

Documents

Transcript of 3. Jordan Alu Seidel