8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
1/20
METODE GAUSS-JORDAN
Metode ini mirip dengan eliminasi gauss, dimana matrik koefisien A
a a! a" ## an $ %
a! a!! a!" ## a!n $! %!
a" a"! a"" ## a"n & $" ' %" # # # (( ((
# # # (( ((
am am! am" #(( amn $n %m
akan diu%a) men*adi matrik
+ + + + ##+ $ + + + + ((((((((+ $! d
+ + + + #((((+ & $" ' e
+ + + + ((((((( + (( ((
( ( ( ( ( ((((((( + (( ((
+ + + + + (((((( $n ((((
Dimana matrik A men*adi matrik diagonal satuan, sedangkan nilai ang diari
langsung dapat ditentukan dari matri& eigen .alue dan tidak perlu %ak-su%titution
/ara mem%uat nol dilakukan kolom per kolom dimulai dari kolom
/onto)0
Tentukan $, $!, $" dan $1 dari S23
$ - $! 4 !$" 5 $1 ' -6
!$ - !$! 4 "$" -"$1 ' -!+
$ 4 $! 4 $" ' -!$ 5 $! 4 1$" 4"$1 ' 1
Menggunakan ara Gauss-Jordan
Ja7a%0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
2/20
Matri& au&mentasi dari S23 diatas ditulis
- ! - -6
! -! " -" -!+
+ -!
- 1 " 1
8ngin di%entuk men*adi matri& diagonal satuan, maka
3angka) ( 3i)at kolom , apaka) elemen diagonal utama'9,%ila %elum maka
*adikan', %ila suda)' maka lakukan langka) selan*utna aitu
Mem%uat nol kolom selain elemen diagonal utama ts%
/arana0
2ili) %aris g elemen diagonalna tela)' :elemen diagonal utama;
se%agai %aris pi.ot, se)ingga modifikasi %aris di%a7a)na
mengikuti formula0Baris baru = baris lama – (koefisien pd kolom yg mau diubah)*(baris pivot)
Se)ingga0
3! ' 3! 5 :!;
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
3/20
>asilna0
- ! - -6
+ -=! =! "
+ + - - -1
+ + ! 1 !
3angka) 1( 3'3 5:-;< 3!>asilna0
+ "=! -=! -B
+ -=! =! "
+ + - - - 1
+ + ! 1 !
3angka) B( lan*utkan ke kolom " l)t elemen diagonalna, kemudian 3"'3"=-
>asilna0
+ "=! -=! -B
+ -=! =! "
+ + 1
+ + ! 1 !
3angka) ?( 3'3 - :"=!; 3" 3!' 3! - :-=!;asilna0
+ + -! -
+ + B
+ + 1
+ + + !
3angka) C( 31' 31=! 3'3 5 :-!;< 31 3!' 3! 5:;
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
4/20
( %uat men*adi ' elemen diagonal utama pada kolom
!( me-nol 5kan kolom pertama ang %ukan elemen diagonal
utama
dengan operasi0
@aris %aru ' %aris lama 5 :koefisien g mau diu%a); :%aris pi.ot;
"( ek kolom !, apaka) elemen diagonal utama suda) ' 99
1( me-nol-kan kolom ! selain elemen diagonal utamaB( dst(((dst(((( polana sama
/onto) soal0
Ja7a%0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
5/20
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
6/20
METODE A(3(U DEOM2OS8T8ON MAT R8$Metode ini )ampir mirip dengan eliminasi gauss, aitu menggunakan sifat-sifat
pem%entukan matrik eliminasi gauss( Jadi %ila ada perkalian matri&0
a a! a" ## an $ %
a! a!! a!" ## a!n $! %!
a" a"! a"" ## a"n & $" ' %"
# # # (( (( # # # (( ((
am am! am" #(( amn $n %m
:matri& A; & :matri& $; ' :matri& @;
A & $ '@
@ila ingin diari nilai-nilai pada matri& $, maka ada ara lain, aitu dengan
memea) matri& A men*adi matri& 3 :3o7er triangular matri&; dan U :Upper
triangular matri&=matri& eliminasi gauss;(
Misal matri& A
a a! a" 3 + + U! U"
a! a!! a!" ' 3! 3!! + & + U!"
a" a"! a"" 3" 3"! 3"" + +
matri& A matri& 3 matri& U
matri& U memiliki sifat-sifat matri& U2ER TR8ANGU3ER, sifat inila) g akan
dimanfaatkan
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
7/20
Misal matri& A
a a! a" 3 + + U! U"
a! a!! a!" ' 3! 3!! + & + U!"
a" a"! a"" 3" 3"! 3"" + +
matri& A matri& 3 matri& U
nilai-nilai pada matri& 3 dan U diari dengan perkalian matri& 3 dengan U,
se%agai %erikut0
a ' 3 & 4 + & + 4 + & + 3 ' a
a! ' 3! & 4 3!! & + 4 + & + 3! ' a!
a" ' 3" & 4 3"! & + 4 3"" & + 3" ' a"
a! ' 3 & U! 4 + & 4 + & + U! ' a!=3
a!! ' 3! & U! 4 3!! & 4 + & + 3!! ' a!! - :3! & U!;a"! ' 3" & U! 4 3"! & 4 3"" & + 3"! ' a"! 5 :3" & U!;
a" ' 3 & U" 4 + & U!" 4 + & U" ' a"=3
a!" ' 3! & U" 4 3!! & U!" 4 + & U!" ' :a!" 5 :3! & U";;=3!!
a"" ' 3"&U" 4 3"!&U!" 4 3""& 3"" ' a"" 5:3" & U"; 5:3"! & U!";
(catt! terlihat urutannya adalah kolom perkolom matrix $ % & !
$""' $"' $#" kolom " matrix $
&"' $' $#' kolom matrix $ % &
&"#' &#' $## kolom # matrix $ % &
ang dicari dari kolom perkolom matrix + mulai dari a""' a"' a#" kolom "
a"' a' a# kolom
a"#' a#' a## kolom
#)
Se)ingga semua anggota matri& 3 dan U dapat diketa)ui
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
8/20
A & $ ' @
:3 & U; & $ ' @
3 & :U & $; '@
Misal U & $ ' Maka 3 & ' @
3 + + %
3! 3!! + & ! ' %!
3" 3"! 3"" " %"
Maka dapat diperole) 3 & ' % ' %=3
3! & 4 3!! & ! 4 + & " ' %!
! ' %! 5 :3! & ;=3!!
3" & 4 3"! & ! 4 3"" & " ' %"
" ' %" 5 :3" & 4 3"! & !;=3""
Dari U & $ '
U! U" $ $" ' "
+ U!" & $! ' ! $! ' ##9
+ + $" " $ ' ##(9
/onto)0 " $ 5 ! $! 4 " $" ' 6
1 $ 4 ! $! 5 ! $" ' !
$ 4 $! 4 ! $" ' F
@erapa nilai $, $! dan $" 9999
Ja7a%0
" -! " $ 6
1 ! 5! & $! ' ! ! $" F
A $ %
A ' 3 ( U
Dari rumus-rumus diatas
3 ' a ' "
3! ' a! ' 1
3" ' a" '
U! ' a!=3 ' -!="
3!! ' a!! - :3! & U!; ' ! - 1(:-!="; '1="
3"! ' a"! 5 :3" & U!; ' 5 (:-!="; ' B="
U" ' a"=3 ' "=" '
U!" ' :a!" 5 :3! & U";;=3!! ' :-! - :1(;;=:1="; ' -6=1
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
9/20
3"" ' a"" 5:3" & U"; 5:3"! & U!"; ' ! - (-:B=";(:-6=1; '"!=1!'!!=C
3 + + " + + U! U" 5!="
3' 3! 3!! + ' 1 1=" + U' + U!" ' + -6=1
3" 3"! 3"" B=" !!=C + + + +
3 & ' %
" + + 6 " ' 6 ' 6="
1 1=" + & ! ' ! 1 4 :1="; ! ' ! ! ' -!?=1
B=" !!=C " F
" ' %" 5 :3" & 4 3"! & !;=3"""' F 5 :(:6=";4 :B=";(:-!?=1;;=:!!=C;'F6=!
se)ingga matri& diketa)ui
U & $ '
-!=" $ 6=" $" ' F6=!
+ -6=1 & $! ' -!?=1 $! 4 :-6=1; $" ':-!?=1;
+ + $" F6=! $!' ##(9
$ ' ##9
Se)ingga $ ' (((((( $! ' (((((((((( $" ' ((((((((((((((((((
3ati)an0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
10/20
Ja7a% lengkap0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
11/20
/att0
-semakin %esar matri& maka semakin %anak rumus dan semakin
komple& per)itungan( 2rogram komputer dapat mem%antu.
/onto) matri& :n & n;0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
12/20
3ati)an0
/o%a ek, apaka) soal %erikut %isa
diselesaikan dengan A(3(U9x - x ! 4 ! x " ' B
! x - ! x ! 4$"'
" x -! x ! 4C x " ' !+
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
13/20
METODE GAUSS-SE8DE3
Metode ini %eker*a %erdasarkan teknik iterasi untuk memprediksi nilai selan*utna(((
Misalkan sistem persamaan linier %erikut0
Dengan sarat koefisien diagonal utamana tidak nol, maka $ , $! ((((dst masing-masing
dapat ditulis dalam %entuk0
Dengan mengam%il nilai te%akan a7al :$, $!, $"; ' :+, +, +; atau nilai ang lain, maka dapat
di)itung nilai
:$, $!, $"; ang %aru
Dimana per)itungan di)entikan %ila )asil )itung tidak %eru%a) lagi atau tela) sama, atau
per%edaanna sangat keil
/onto)0 /arila) nilai $, $!, $" ang memenu)i dari sistem %erikut menggunakan ara gauss
seidel :%isa pakai kalkulator g %isa diprogram;0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
14/20
? $ - $! 4 $" ' C
$ 4 1 $! - $" ' ?
$ - ! $! 4 1 $" 'F
Ja7a%0
$ ' :C 4 $! 5 $";=?
$! ' :? 5$ 4 $";=1
$" ' :F - $ 4 !$!;=1
Misalkan digunakan nilai te%akan a7al :$, $!, $"; ' :+, +, +;, maka )asil )itung adala)0
Iterasi
Ke- x1 x2 x3
0 0 0 0
1
1.1666
67 1.5 2.25
2
1.0416
67
1.7708
33
2.7083
33
3
1.0104
17
1.9166
67 2.875
4
1.0069
44
1.9661
46
2.9557
29
5
1.0017
36
1.9871
96
2.9813
37
6
1.0009
77 1.9949
2.9931
64
7
1.0002
89
1.9980
47
2.9972
06
81.0001
41.9992
292.9989
51
9
1.0000
46
1.9997
03
2.9995
8
10
1.0000
21
1.9998
83
2.9998
4
11
1.0000
07
1.9999
55
2.9999
37
12
1.0000
03
1.9999
82
2.9999
76
13
1.0000
01
1.9999
93
2.9999
9
14 1
1.9999
97
2.9999
96
15 1
1.9999
99
2.9999
99
16 1 2
2.9999
99
17 1 2 3
:o%a ek pakai e⪙
Ternata %utu) C kali iterasi untuk menapai nilai ang ditu*u
Dimana nilai $', $!'! dan $"'"
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
15/20
Untuk memper%aiki iterasi menapai kon.ergensi le%i) epat maka formula diatas diper%aiki
men*adi0
asus g sama spt diatas0
$ ' :C 4 $! 5 $";=?
$! ' :? 5$ 4 $";=1
$" ' :F - $ 4 !$!;=1
/ek pakai e&ell0Iteras
i Ke- x1 x2 x3
0 0 0 0
1
1.1666
67
1.2083
33 2.5625
2
0.9409
72
1.9053
82
2.9674
48
3
0.9896
56
1.9944
48
2.9998
1
4
0.9991
06
2.0001
76
3.0003
11
5
0.9999
77
2.0000
83
3.0000
47
6 1.0000 2.0000 3.0000
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
16/20
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
17/20
Tentukan &, dan H dengan gaus seidel :menggunakan kalkulator atau g
%isa diprogram; sampai dua iterasi pertama0
Ja7a%0
Running 8
Running 88
(((dst((((
(((((((((((((((((((
Ak)irna diperole)
Tugas Ruma)0
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
18/20
( Tentukan $, $! dan $" soal %erikut menggunakan gauss seidel seara
manual
3an*utkan dengan menggunakan e&ell, konfirmasi dengan matla%
!( Selesaikan0!C&4?-H'6B
?&4B 4!H'C!
$44B1H'+
"( 2R
1(
Soal aplikasi %idang teknik kimia0
Dalam suatu pabrik kimia, ternyata konfigurasi reaktornya membentuk susunan sbb:
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
19/20
Jawab: Keyword: neraca massa tiap reactor!! Coba pikirkan dan selesaikan!!
Maka
Neraca Massa di reaktor :
Masuk keluar
"# . C# $ "% . C% "& . C $ "' . C
' . # $ . C% % . C $ % . C '# $ C% ( C
atau
( C ) C% '# ........................*+
Neraca Massa di reaktor &:
Diperole:
)% C $ %C& #
) C $ C& # ........................*&+
Neraca Massa di reaktor %:
Diperole:
) C& $ - C% (# ........................*%+
Neraca Massa di reaktor :
Diperole:
) C& ) / C% $ C 0 & C' # ........................*+
Neraca Massa di reaktor ':
Diperole:
) %C 0 C& $ C' # ........................*'+
1ila persamaan)persamaan tersebut disusun maka men2adi
8/18/2019 3. Jordan Alu Seidel
20/20
( C ) C% '#
)C $ C& #
) C& $ - C% (#
) C& ) / C% $ C 0 & C' #
) %C 0 C& $ C' #
Coba selesaikan, pakai cara apa3333
4ecara sekilas terliat relatif diagonally dominan, meskipun tidak benar)benar mutlak dominan sebagaimana
dipersyaratkan!
Tugas lati)an di ruma) :tidak usa) dikumpul;0
Apaka) %isa diselesaikan dengan gaus seidel9 5pa kira)kira asilnya3
/o%a %uktikan dengan E&ell4ebagai kontrol gunakan matlab 6a7b
Top Related