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1Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
The use of copulas for the description of the spatial variability of environmental variables
András Bárdossy
Universität Stuttgart
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2Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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Spatial patterns are not necessarily symmetrical
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5Caracas, September 28 2006
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Paul Klee: Copula
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6Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence
Goal: dependence between two variables: • To recognize• To quantify
Correlation (Signifikance Normal distribution)
Linear Regression
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7Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
4
8
12
16
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8Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
4
8
12
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9Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
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10Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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11Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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12Caracas, September 28 2006
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Dependence changes through a Transformation of the Marginal distribution
Correlations between 0.4 and 0.8
Idea: take the same marginal distribution
Uniform in [0,1]
Transformation using the pdf
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13Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Dependence Marginal distributions
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15Caracas, September 28 2006
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Bivariate Distributions and Copulas
Bivariate Copula = bivariate pdf with uniform marginals
))(),((),( 21
211
121 uFuFFuuC
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16Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Variable A
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Var
iabl
e B
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17Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copulas are a new way of modelling the correlation structure between variables.
They dissociate the correlation structure from the marginal distributions of the individual variables.
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18Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Entropy = measure of Information (Shannon)
Differential entropy:
Conditional Differential entropy
Interesting for „extreme“ (v large)
II
c dudvvucvucE ),()),(ln(
I
c dvvucvucuE ),()),(ln()(
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19Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Multivariate Distributions and Copulas
Sklar (1959) all F pdf can be written in this form and C is unique if F is continuous
Measures of the dependence • Differential Entropy• Rank correlation (Spearman)• Kendalls tau
))(,),((),,( 111 KKK xFxFCxxF
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20Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula density
n
nn
n xx
xxCxxc
...
),...,(),...,(
1
11
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21Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Multivariate normal copula
Copula density:
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22Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Normal copula
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Can copulas be used for the description of spatial variability ?
Do we need this ?
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24Caracas, September 28 2006
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Geostatistics
Z(x) Random function – Realisation z(xi)
Assumption – „uniform continuity“
No differences are known a-priori
Independent of the location – depends only on h
(Semi)Variogramm Covariance function
2
1
2
1
2uZhuZEuZhuZVarh
muZE
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25Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Experimental Variogramm EC
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
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26Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial copulas
Assumption:• Multivariate copula exists for any
number of points
• The bi-variate marginal copulas corresponding to pairs separated by a vector h are translation invariant
• How to find such copulas ?
vZFuZFPvu zz ))((,))((),,( xhxhCS
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27Caracas, September 28 2006
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Empirical copulas
Set of pdf pairs corresponding to points separated by the vector h
Generalization of the variogram
Empirical density using kernel smoothing
hxxxxh iijnin ZFZFS |))(()),(()(
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28Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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29Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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30Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Nitrat und Phosphat
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31Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula Nitrate GW 5 km
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1.6
3.2
4.8
6.4
8
9.6
11.2
12.8
14.4
16
17.6
19.2
Q uantile Punkt x
Qu
an
tile
Pu
nkt
y
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32Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Entropy: Nitrat 3000 m und 30000m
0 5 10 15 20 25
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
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33Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Cl Variogramm
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34Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Chloride concentration (mg/l)
0
200
400
600
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35Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 36: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/36.jpg)
36Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula pH groundwater
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
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37Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
pH Variogramm
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38Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
5.2 5.6 6 6.4 6.8 7.2 7.6 8 8.4 8.8 9.2 9.6
0
400
800
1200
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39Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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40Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
n-dimensional Chi-square copula
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41Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Chi-Quadrat Copulas
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42Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Testing the multivariate copulas
Analytically difficult due to the dependence of the pairs
Simulation and Bootstrap to compare bi-variate marginals to theoretiacal
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43Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 44: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/44.jpg)
Summary and conclusions
Copulas offer an interesting alternative
Many natural variables show a non-Gaussian spatial dependence
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Thank you !
PS: I have another 253 slides to show – maybe next time !
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46Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Indikator Variablen
Indikator variablen
sonst
CuuIC 0
falls1)(
)( falls0
)( falls1)(
uZ
uZuI
Indikator variogram
huu
ji
ji
uIuIhN
h 2* ))()(()(2
1)(
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47Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 70
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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48Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 347
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
loca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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49Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 159
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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50Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Radarniederschlag29. Dezember 2001 11:20-13:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
05101520253035404550556065707580859095100105110115120
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51Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula Radarniederschlag29. Dezember 2001 11:20-13:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
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52Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Gauss – Chi-square
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4.5-4.1-3.7-3.3-2.9-2.5-2.1-1.7-1.3-0.9-0.5-0.10.30.71.11.51.92.32.73.13.53.94.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4.5-4.1-3.7-3.3-2.9-2.5-2.1-1.7-1.3-0.9-0.5-0.10.30.71.11.51.92.32.73.13.53.94.3
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53Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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54Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Statistische Tests
Problem: Paare sind nicht unabhängig
Deshalb klassische Tests nicht verwendbar
Lösung: Bootstrap
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55Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Zusammenfassung
•Zusammenhänge können mit Copulas „einheitlich“ quantifiziert werden
•Viele natürliche Parameter zeigen assymetrische Zusammenhänge
•Diese Eigenschaft kann bei der räumlichen Betrachtung berücksichtigt werden
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56Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
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57Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Simulation results
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
- 101234567891 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22 32 42 5
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58Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 71
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P
reci
pita
tion
am
oun
t
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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59Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 117
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
![Page 60: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/60.jpg)
60Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Räumlicher Zusammenhang – 5 kmEreignis 348
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
M oisture flux
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1P
reci
pita
tion
am
ou
nt
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
![Page 61: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/61.jpg)
61Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Asymmetrie des Zusammenhanges
Hohe Werte zeigen einen anderen Zusammenhang wie die niedrigen
u u
u u
dxdxyxc
dxdxyxc
uuC
uuCuA
0 0
1
1
1
1
),(
),(
),(
)1,1(21
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62Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Empirische Copuladichten
Nitrat pH
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63Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Radarniederschlag29. Dezember 2001 8:20-9:20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
05101520253035404550556065707580859095100105110115120
![Page 64: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/64.jpg)
64Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 65: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/65.jpg)
65Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 66: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/66.jpg)
66Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 67: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/67.jpg)
67Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
![Page 68: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/68.jpg)
68Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Niederschlag
Geeignete Copulas finden• Bessere Interpolation (HW relevant)• Theoretische
Gebietsabminderungsfunktionen• Simulationsmodelle mit beliebigen
Randverteilungen• Realistische Extreme über räumliche
und zeitliche Skalen ( Fraktale Modelle)
![Page 69: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/69.jpg)
69Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Neckar Einzugsgebiet
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70Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
![Page 71: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/71.jpg)
71Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Korrelation – Zusammenhang der Extreme (99,5%)
0.6 0.7 0.8 0.9 1Korrelation
8.4
8.6
8.8
9B
ed
ing
te D
iffe
ren
tia
len
tro
pie
![Page 72: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/72.jpg)
72Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Zusammenfassung
Zusammenhaänge können mit Copulas beschrieben werden
Viele der Zusammenhänge in der Hydrologie sind asymmetrisch
Extreme sind of stärker abhängig als mittlere
Korrelation ist hierfür kein gutes Maß
![Page 73: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/73.jpg)
73Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Introduction - ModellingHydrological modeling is necessary• Design
– Changes– Climate change– Land use change
– Unobserved catchments (PUB)• Forecasts• In combination with
– Quality– Ecology
• For understanding
![Page 74: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/74.jpg)
74Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Introduction - VariabilityVariability due to natural conditions• Weather
– Annual cycle– Random variability
• Catchment reaction– State– Output - discharge
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75Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
The Upper Neckar Catchment
![Page 76: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/76.jpg)
76Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence between discharge series
Cross correlations (Pearson)
Cross rank correlations (Spearman)
Copulas
![Page 77: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/77.jpg)
77Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence results
Cross correlations
0.66 – 0.95 for all pairs
>0.89 for the best pair for each site
Cross rank correlations
0.65 – 0.98 for all pairs
>0.88 for the best pair for each site
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78Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Variable A
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Var
iabl
e B
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79Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Dependence structure
Dependence between Quantiles instead of Variable values
Copula – Dependence separated from the Marginal distributions
),,(),,(
ondistributi m Unifor)1,0(,,
111
1
KKK
K
uUuUPuuC
UU
U
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80Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula density of the pair C8 and C9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
00.81.62.43.244.85.66.47.288.89.610.411.21212.813.614.415.21616.817.618.419.220
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81Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 347
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cipi
tatio
n am
ount
loca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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82Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Spatial dependence – 5 kmEvent 159
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Precip ita tion am ount location A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pre
cip
itatio
n a
mo
unt l
oca
tion
B
00.20.40.60.811.21.41.61.822.22.42.62.833.23.43.63.844.24.44.64.85
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83Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Simulation models
Multivariate normal copulas
Non Gaussian copulas (non-central chi-square copulas)
Correct marginal distribution
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84Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Copula density of a bivariate non-central chi-square distribution
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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85Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
n-dimensional Chi-square copula
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86Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Summary
Hydrological modeling is necessary
and difficult
Discharge series are similar
Events are different
Hydrological models small differences
Spatial resolution is not the answer
Spatial variability is partly responsible
Rainfall variability is “asymmetrical”
6100 6150 6200 6250 6300 6350
Tim e (days)
0
100
200
300
400
500
Dis
char
ge (
m3 /
s)
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87Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Interpolation
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88Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Radar Measurement
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89Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Future work
Compare different sets of downscaled discharge extremes (3 versions)• Calculate spatial indices• Find appropriate copulas
Assess scenario dependent extremes
Develop new methodology for spatial extremes
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90Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
Variability of discharge
Distribution of discharge for a single site • Depends on the aggregation• Skewed distribution• Few maxima – due to precipitation
(snow melt)
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Natural Variability
Discharge series are similar because of the spatial extent of rainfall events.
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92Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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93Caracas, September 28 2006
Universität StuttgartLehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
![Page 94: 1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.](https://reader038.fdocuments.us/reader038/viewer/2022102805/55204d8149795902118d487a/html5/thumbnails/94.jpg)