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Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas (1) András Bárdossy IWS Universität Stuttgart

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Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

Copulas (1)

András Bárdossy

IWS

Universität Stuttgart

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Motivation

• Data collection• Data analysis

– What do data tell us ?– Are the data related to each other ?– Can these relations be

• Verified ?• Quantified ?

– Can the results be applied ?• Future • Partly unobserved cases

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Dependence

1. Pair wise description • Linear dependence • Monotonic dependence• Tail dependence (extremes)

2. Measures of dependence

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Correlation and Covariance

• Measure of linear dependence

][][

,,

][][,

YDXD

YXCovYXCor

YEYXEXEYXCov

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-4 -2 0 2 4

0

4

8

12

16

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

4

8

12

16

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0 4 8 12 16

0

4

8

12

16

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

4

8

12

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-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

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Dependence – marginal distributions

• Dependence is a bivariate relationship• For the previous example for any two indices k,l there is

a pair of continuous monotonic functions f,g such that:

• Problem: changing the marginals the dependence seems to change

)()(

)()(

)()( ,...,1,,...,1 ,

likl

ki

likl

ki

mi

mi

ygy

xfx

niMmyx

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Copula

• Multivariate distribution with univariate margins being U(0,1)

1,0 2 10

0),...,()1(

0 ),...,( if 0)(

)1,...,,...,1( )(

]1,0[]1,0[:

1

0

12

0111

1

)()(

1

ii

n

iikkkk

nnnj

j

in

ii

ii

n

jjjjuu

jujuC

uuuC

uuC

C

nn

ii

uu

uu

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• Copula density

n

nn

n uu

uuCuuc

...

),...,(),...,(

1

11

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Bi-variate Copula

• Bi variate distribution with univariate margins being U(0,1)

10

0),(),(),(),(

0),0( 0)0,(

),1( )1,(

]1,0[]1,0[:

212112212211

21

2211

2

kkk uu

uuCuuCuuCuuC

uCuC

uuCuuC

C

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Copula corresponding to a multivariate distribution

• Sklar (1959) F can be represented with a copula• If marginals are continuous then C is unique

• C – pure expression of dependence

)(),...,()(

)(),...,()(1

11

1

11

nn

nn

uFuFFC

xFxFCF

u

x

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Transformation to uniform marginals

,...,set in the ofrank the)(

,...,1 21

)(,2

1)(

,...,1 ),(

1 nii

ii

ii

xxxxR

nin

yRn

n

xRn

niyx

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Variable A

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Va

riabl

e B

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Why copulas ?

• Interest in financial mathematics because of modelling the dependence structure

• International regulations require banks to provide estimates of their “Value at Risk” or VaR

• The standard method – estimating the correlation matrix between for the portfolio – Calculation of the 95% and 99% confidence intervals for

possible losses based on an assumption of multivariate normality

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• In practice the tails of the distributions are – heavier than the normal

– correlation structure tends to be different in the tails.

• The correlation between variables seems to increase in the upper and/or lower tails. “When things go wrong, they go very wrong”.

• marginal distributions with heavier tails• alternative ways of modelling the dependence between variables• Copulas are particularly useful for this because they dissociate the

correlation structure between variables from their marginal distributions.

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Copula: Rain – Moisture flux

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

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Weak dependence

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

M oisture flux

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Pre

cip

itatio

n a

mo

un

t

00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.21.31.41.51.61.71.81.922.12.22.32.42.5

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Bounds of a Copula

• Fréchet bounds:

Lemma: Let Ai be events such that P(Ai)=ai i=1,…,m

Proof: Right side trivial because of inclusion

Left side

)(min)()1(...,0max 1 ii

m uCmuu u

)(min)...())1(...,0max( 11 ii

mm aAAPmaa

m

ii

m

ii

m

i

ci

cm

cm

maa

APAAPAAP

11

111

)1()1(1

)(1)...(1)...(

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Fréchet bounds

dependence Full

copula a is )(min)(

1UU

uC

k

ii

U

u

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Frechet upper bound

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

00.040.080.120.160.20.240.280.320.360.40.440.480.520.560.60.640.680.720.760.80.840.880.920.961

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Frechet lower bound

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

00.040.080.120.160.20.240.280.320.360.40.440.480.520.560.60.640.680.720.760.80.840.880.920.961

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Fréchet bounds

• For m>2 further conditions are required

dependence negative Full

1

copula a is )1,0(max)(

12

21

UU

uuCi

L

u

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• Independence copula:

1),(

),(

)()()()(

),(),(

21

2121

22112211

221121

uuc

uuuuC

xFxFxXPxXP

xXxXPxxF

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Copulas and monotonic transformations

• Monotonic transformations of the marginals do not influence the copula

• Frequent modelling – transform the marginal until linear relationship can be used use of the normal copula

)(),...,()(),...,()(

)(1

111

11

11 mYYYmXXX

iii

uFuFFuFuFFC

XhY

mm

u

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How to make theoretical copulas

m

iii

iuuC

CCC

1

21

)1()(min)(

:Example

10 )()1()()(

u

uuu

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• Properties (continuous case)

1

0

1

0

1),(

1),(

0),(

dvvuc

duvuc

vuc

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Creating copulas from multivariate distributions

• Take the copula of a known distribution:

• Example – strong upper dependence

))(),...,(()( 11

11 mm uFuFFC u

else 3

25.0),min( if 2

),(

10

21

21

xxxxF

xi

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• Creating a copula using its density – Rüschendorf

1),(),(

0),(),(),(

),(),(),(),(),(

0),(

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

vuLfvuc

dvvuLfduvuLfdudvvuLf

dudvvufdvvufduvufvufvuLf

vuf

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Measures of dependence

• Correlation – Copula = Rank correlation Spearman

function Survival

),(1),(

3),(123),(12

vuCvuvuC

dudvvuCvuuvdCS

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R=0.88

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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R=0.88

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Universität Stuttgart Institut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

R=0.88

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Tail dependence

• Upper tail dependence:

• Lower tail dependence

0)1(

),(lim

1

Uu u

uuC

0),(

lim0

Lu u

uuC

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Types of dependence (1)

• Positive quadrant dependence:

• Negative quadrant dependence:

21221121

2122112211

2121

, )()(),(

: toequivalent

, )()(),(

),( ),(

aaaFaFaaF

aaaXPaXPaXaXP

xxFXX

X

21221121 , )()(),( aaaFaFaaF

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Types of dependence (2)

• X2 stochastically increasing in X1 if :

• X2 stochastically decreasing in X1

211122

2121

)|(

),( ),(

aaaXaXP

xxFXX

X

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Symmetry of the dependence

• Main axis

• Minor axis

),(),( vucvuc

)1,1(),( uvcvuc

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Normal copula

• Correlation = 0.85

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Frank Copula

)exp(1

))exp(1))(exp(1()exp(1ln

1),,(

d

dvdud

ddvuC

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Frank Copula (d=3)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

00.61.21.82.433.64.24.85.466.67.27.88.499.610.210.811.41212.613.213.814.415

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Copulas

ddd vuvuC

vuvuC/1

/1

)ln()ln(exp),(

)1(),(