0 introd. of electromagnetic

Recall of Electromagnetism

Oleh, Oleh,

DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.

Program MagisterProgram Magister

Peminatan Teknik ElektroPeminatan Teknik Elektro

Institut Sains dan Teknologi NasionalInstitut Sains dan Teknologi Nasional

Tahun 2009Tahun 2009

8 Maret 2006 2

BIOGRAFI SINGKAT

A. Name : Taswanda TARYOPlace and date of Birth : Tasikmalaya, March 28, 1956E-mail address : [email protected]

B. Education:

1. Bandung Institute of Technology (ITB), Department of Physics, Grade S-1, 1976 – 1981, Grade Good

2. University of New Brunswick (UNB), Canada, Department of Chemical Engineering, Grade Master of Science in Engineering, 1989 – 1991, Grade Excellent.

3. Gadjah Mada State University (UGM), Faqulty of Mathematics and Natural Sciences, Doctor Degree (DR.), 1998-2003, Grade Cum Laude

8 Maret 2006 3

C. JOB EXPERIENCES

1. Joined BATAN in 1982

2. 1992-1999 Manager of Reactor Technology BATAN

3. 2005 Director of Nuclear Safeguards Technology

4. 2006 Director of Reactor Technology and Nuclear Safety

1. 2006-2008 Director of Nuclear Science and Technology Dissemination

6. 2008-Now Deputy Chairman of BATAN

7. 2011 President Commissioner of PT Batan Technology

8 Maret 2006 4

Recall of Electromagnetism

• Tujuan Instruksi umum :• Pada akhir semester mahasiswa diharapkan dapat

mengaplikasikan MK ini pada hal nyata di lapangan.

• Tujuaan Intruksional Khusus :• diharapkan mahasiswa mengerti :

• Persamaan Maxwell untuk gelombang datar• Daya, perhambatan, pemantulan dan polarisasi

gelombang.• Persamaan dan parameter saluran transmisi.• Analisa dan penentuan medan elaktro statik

dengan analogi. • Aplikasi Persamaan Maxwell.

8 Maret 2006 5

Daftar Pustaka :

Semua buku Electromagnetics Electromagnetic Surface Mode, Broadman. Hayt, W, “Eng. Electromagnetics”, D. Krauss, “Electromagnetics”, Mc. Graw Hill, 1992 E.R. Peck, Electromagnetism, & Buku-buku yang sejenis.

Grading:

• Tugas, UTS (bila ada), UAS.

• Tugas bisa juga short presentation

8 Maret 2006 6

Recall of Elecromagnetism

Gaya electromotif Gerak:• Dalam eksp. bahwa gaya electromotif (emf) timbul dalam

sebuah konduktor apabila konduktor tersebut digerakkan melewati sebuah medan magnet

• Konduktor bergerak dalam sebuah medan magnet• Anggap gerak meluncur sejajar dgn rel dan kond thd rel.

DX

lv

Feoeo’

I

8 Maret 2006 7

Rel disiapkan untuk memberikan arus I terhadap gerakan konduktor dengan sumber emf eo • Bn bidang menuju keluar ( ).• Maka : F searah luncuran

dan dengan catatan I + ke kanan.

• Misal Bn ditimbulkan oleh magnet permanen, maka usaha / kerja sejauh D x akan menjadi.

•

• Dalam kasus ini, baterei eo akan memberikan panas Joule apabila tidak ada gerakan emf.

)1......(..............................lBnF

)2.....(..........xlBnxFW DDD


8 Maret 2006 8

Untuk memenuhi prinsip kekekalan energi, kita harus definisikan I tetap .

• Kalau demikian, maka adanya tambahan emf e’av. harus dipasok selama gerakan tersebut, apabila jarak D terjadi selama waktu D , yaitu :

• Dgn kombinasi pers 2 & 3 , maka

• Dgn emf e’ sesaat terjadi Dto , maka

Yang sama dengan kecepatan sesaat konduktor, V.

)3........(..............................' Wtav DDe

)4(........................................'t

xlBnav DD

e

dt

dx

t

x

DD


8 Maret 2006 9

Ingat e’ bukanlah emf gerak itu sendiri, tetapi emf baterei tambahan .• Jadi emf gerak :

dari• dalam vektor :

atau

• Juga :•

Daya :

• Dengan konservasi energi = kehilangan daya listrik -e, karena emf .

)6......(............................... VB

e

)7(...................................................VB e

)8..(......................................... BIFm

)9.........(...................... VBIVFP m

)5....(........................................vBne

dt

dxBn'e


8 Maret 2006 10

• Maka : atau

• Ingat : adalah gaya dari sebuah muatan q yang terjadi karena medan magnet B,

dan adalah energi yang dimasukkan ke RL dengan proses reversible, apabila muatan q mengalir melewati konduktor jalan.

)10.......(.....................VBII e

)11.....(...............................BV e

BVq

BVq


8 Maret 2006 11

Emf dan Fluks Magnet .(Hukum Faraday tentang induksi elektromagnet)• Dari sebelumnya

v : area per unit waktu ( Konduktor ).• Maka :

s - permukaan yang melewati Flux yang dihitung da - elemen s n - vektor normal

)12.....(..........

.

daBn

danB

s

s


8 Maret 2006 12

Dengan demikian besaran Bnv dapat diartikan sebagai tambahan flux baru persatuan waktu, atau dapat ditulis

• Dalam eksperimen Emf timbul sejalan dengan perubahan flux.

• Misal, galvanometer dilewatkan oleh magnet yang digerakkan, maka I exists .

)13.(........................................dt

de


8 Maret 2006 13

Induksi diri dalam sebuah sirkuitkita tahu :

Maka :

Akhirrnya :

If

)14.(..............................dt

dL

15..........................dt

dIL

dt

dI

dI

d

)16....(..............................dt

dILmf ee

.

sec1 1 1

Amp

volt

A

wHenry

17.................../

:dtdI

LOre


8 Maret 2006 14

• Digunakan untuk seluruh sirkuit, e adalah emf untuk/ sekitar sirkuit , yaitu :

• dalam 2 titik, sebut e12 (antara titik 1 dan 2 ),

akhirnya induksi:

)18(.........................................

caround

dE e

19...............................................2

1

12 dEme

18.................../12

12 dtdIL

e


8 Maret 2006 15

Sifat-Sifat Bahan Magnetik

Oleh, Oleh,

DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc.Eng.

Program MagisterProgram Magister

Peminatan Teknik ElektroPeminatan Teknik Elektro

Institut Sains dan Teknologi NasionalInstitut Sains dan Teknologi Nasional

TTahun 2009ahun 2009

8 Maret 2006 16

Bahan-bahan magnetik dapat dilihat sifatnya dengan menyelidiki bagaimana sifat medan magnet dalam sebuah loop arus

Hal tersebut dapat dilihat dalam model sederhana dari sebuah atom dan mencapai sifat dari tipe dan material di dalam medan magnet.

8 Maret 2006 17

Hal lain juga adalah melalui analisis kuantitatif teori kuantum

Sebuah elektron orbiter terlihat mempunyai momen magnet M dengan arah sama seperti medan magnet Bo.

Medan magnet menghasilkan gaya keluar terhadap elektron orbiter.

m

v

Bo Bo

8 Maret 2006 18

Karena radius orbital tidak berubah, maka gaya Coulomb kedalam berupa tarik - menarik juga tak berubah.

Apabila kita mempunyai sebuah atom dimana m dan Bo berlawanan, maka gaya magnetik ke dalam, kecepatan meningkat, momen orbital meningkat juga, dan Bo yang lebih besar akan terjadi lagi. Medan E internal akan terjadi

• Material dengan efek diamagnetik .

– Bi . Cu

– H . An

– He . Si

– NaCl . Ge dan lain-lain.

8 Maret 2006 19

Efek diamagnetik berada dalam seluruh material.

Hal tsb timbul akibat interaksi medan magnit eksternal dengan setiap elektron orbital,

Apabila ada penambahan dalam B, maka cenderung paramagnetik O , Tu, NeO, dan lain-lain,

Feromagnetik, antiferomagnetik, ferrimagnetik, super paramagnetik mempunyai momen atom yang kuat.

8 Maret 2006 20

Kita lihat:

Perubahan medan magnet terhadap waktu menghasilkan medan listrik .

Hukum Ampere tentang sirkuit

Agar tidak bergantung waktu, maka setiap sisi :

1............................................t

BE

2..................JH

3...................... JOH

8 Maret 2006 21

Ingat persamaan kontinuitas

Pers (2) akan benar apabila,

Agar bisa menerima persamaan bergantung waktu, kita tambahkan besaran G .

Maka

4...................t

VJ

5.........../ otv

GJ

GJH

..

t

VG

.

8 Maret 2006 22

• Pergantian dgn

• Maka sehingga,

dimensi:

- didefinisikan sebagai displacement

current density

V ..D

....t

DD

tG

.t

DG

.t

DJH

dJt

Dm

A

t

D

2

.t

DJ

JJH

d

d

Revisi: 8 Maret 2006 23

Magnetisasi dan Permeabilitas

DR. Taswanda Taryo, M.Sc.Eng.

Program MagisterProgram MagisterPeminatan Teknik Elektro Peminatan Teknik Elektro Institut Sains dan Teknologi NasionalInstitut Sains dan Teknologi NasionalTahun 2009Tahun 2009


Mari kita lihat magnetisasi Mari kita lihat magnetisasi kaitannya dengan kaitannya dengan momen dipol magnet . momen dipol magnet . bb adalah arus yang meliputi adalah arus yang meliputi sirkuit pada area kecilsirkuit pada area kecil , , sehingga: sehingga:

Jika ada n dipole magnit per unit volume, Jika ada n dipole magnit per unit volume, DD, maka , maka menjadimenjadi

Kita definisikan magnetisasi sebagai momen dipole Kita definisikan magnetisasi sebagai momen dipole magnit per unit volume,magnit per unit volume,

Kuliah ke 3Magnetisasi dan Permeabilitas

M

M

m

)1.(............................................................SdIm b

Sd

)2(..................................................1D

n

iitotal mm

totalm

M

)3...(........................................1

10lim

D

D D

n

iimM


dan kita lihat satuannya sama dengan , medan magnit, dan kita lihat satuannya sama dengan , medan magnit, serta lihat gambar berikut:serta lihat gambar berikut:

Maka:Maka:

Maka untuk seluruh kontur:Maka untuk seluruh kontur:

Sekarang akan kita lihat hubungan antara dan , Sekarang akan kita lihat hubungan antara dan , dimana kerapatan flux magnit.dimana kerapatan flux magnit.

Dengan aturan sirkuit Ampere, maka :Dengan aturan sirkuit Ampere, maka :

H

m

A

Ib dS

dL

)4.....(...................... LdMLdSdnIdI bb

)5..(......................................... LdMIb

B

H

B

)6.......(............................... To

ILdB


dimana :dimana :

I adalah arus bebas total yang berada di dalam jalan I adalah arus bebas total yang berada di dalam jalan tertutup.tertutup.Maka:Maka:

Maka:Maka:

Dan apabila di ruang bebas,Dan apabila di ruang bebas,

Apabila M = 0 Secara umum maka:Apabila M = 0 Secara umum maka:

Maka rumus untuk adalah Maka rumus untuk adalah

yaitu Hukum Ampere dengan arus bebas. yaitu Hukum Ampere dengan arus bebas.

III bT

)7..(............................... LdMB

IIIo

bT

)8....(..................................................M

BH

o

)9(............................................................HB o

)10........(..............................).........( MHB o

)11......(................................................... LdHIH


Dengan menggunakan kerapatan arus, maka:Dengan menggunakan kerapatan arus, maka:

Dengan teorema StrokeDengan teorema Stroke’’s, s,

Maka rumus-rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai :Maka rumus-rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai :

Untuk media isotropik linier, dimana suseptibilitas magnit Untuk media isotropik linier, dimana suseptibilitas magnit XXmm dapat didefinisikan sbb:dapat didefinisikan sbb:

Maka : Maka :

s

s

TT

s

bb

SdJI

SdJI

SdJI

.

.

.

)12......(...............................)(. SdHLdHs

)13..(..................................................JH

JB

JM

To

b

)14........(........................................HM m

HHHB Romo )(


dimana:dimana:

R disebut permeabilitas relatif. disebut permeabilitas relatif.Sekarang definisikan Sekarang definisikan , permeabilitas:, permeabilitas:

Sebagai contoh kita lihat penggunaan besaran magnetik, Sebagai contoh kita lihat penggunaan besaran magnetik, ambil contoh ferit dengan ambil contoh ferit dengan RR = 50 dan operasikan dengan = 50 dan operasikan dengan kerapatan flux rendah sehingga menjadi linier. Maka,kerapatan flux rendah sehingga menjadi linier. Maka,

Bila kita ambil B = 0,05 T,Bila kita ambil B = 0,05 T,MakaMaka

dandan

)15........(........................................1 mR

)16.....(..................................................

,

H

Ro

B

sehingga

491 Rm

mA

BH

HB

oR

oR

/ 796

10450

05,07


Cara lain, pertama, kita lihat hubungan B dan HCara lain, pertama, kita lihat hubungan B dan H

Dan kita lihat arus ampere menghasilkan 49 kali intensitas Dan kita lihat arus ampere menghasilkan 49 kali intensitas medan magnit daripada muatan bebas.; dan kedua:medan magnit daripada muatan bebas.; dan kedua:

Dimana permeabilitas relatif adalah 50, dan besaran ini Dimana permeabilitas relatif adalah 50, dan besaran ini benar-benar untuk gerakan muatan disekitar loop.benar-benar untuk gerakan muatan disekitar loop.

Ingat untuk material dielektrik anisotropik, permeabilitas Ingat untuk material dielektrik anisotropik, permeabilitas untuk material magnetik anisotropik harus dituliskan untuk material magnetik anisotropik harus dituliskan dalam matriks 3x3.dalam matriks 3x3.

)39000796(10405,0

)(7

MHB o

7961045005,0 7

atauHB oR


Sementara B dan H dalam matriks 3x1.Sementara B dan H dalam matriks 3x1.Akhirnya kita punya,Akhirnya kita punya,

Bx = Bx = xxxxHHxx++xyxyHHyy++xzxzHHzz

By = By = yxyxHHxx++yyyyHHyy++yzyzHHzz

Bx = Bx = zxzxHHxx++zyzyHHyy++zzzzHHzz

Untuk anisotropik, B = Untuk anisotropik, B = H dalam persamaan matriks. H dalam persamaan matriks. Namun demikian B = Namun demikian B = oo (H+M) masih berlaku. (H+M) masih berlaku.Beberapa besaran suseptibilitas untuk material Beberapa besaran suseptibilitas untuk material diamagnetik:diamagnetik:H H = -2 = -2 10 10-5-5 ; ; Cu Cu = -0,9 = -0,9 10 10-5-5 Ge Ge = -0,8 = -0,8 10 10-5-5 ; ; Si Si = -0,3 = -0,3 10 10-5-5

C C = -12 = -12 10 10-5-5 ; dlsb. ; dlsb.Paramagnetik : O _ 2 Paramagnetik : O _ 2 10 10-6-6 FeFe22OO33 _ 1,4 _ 1,4 10 10-03-03 ; Y ; Y22OO33 _ 0,53 _ 0,53 10 10-6-6

Dlsb.Dlsb.

Assignment: Page 287; d.9.6. & d.9.7Assignment: Page 287; d.9.6. & d.9.7


Batas kondisi MagnetikBatas kondisi Magnetik

Dalam HK. Gauss untuk medan magnit, makaDalam HK. Gauss untuk medan magnit, maka

Pada 2 bahan isotropik dengan permeabilitas Pada 2 bahan isotropik dengan permeabilitas 11 dan dan 22 Maka dari rumus (17) akan di dapat:Maka dari rumus (17) akan di dapat:

Maka:Maka:Jadi , Jadi ,

Komponen normal B kontinyu, tetapi diskontinyu untuk H Komponen normal B kontinyu, tetapi diskontinyu untuk H dengan rasio dengan rasio 11//22

)17......(....................0. SdB

021 DD SBSB NN

Ht1

1

D

area DS

BN2

BN1

Ht2

aN12

)19.....(..........

)18..(....................

12

12

21

NN

NN

HH

BB


Untuk material magnetik linier, maka:Untuk material magnetik linier, maka:

Berikutnya dengan Hukum Sirkuit Ampere , Berikutnya dengan Hukum Sirkuit Ampere , digunakan untuk jalan kecil di dalam bidang normal terhadap digunakan untuk jalan kecil di dalam bidang normal terhadap permukaan batas. permukaan batas.

Dengan searah jarum jam, maka:Dengan searah jarum jam, maka:

Dengan adalah arus permukaan dimana komponen normal Dengan adalah arus permukaan dimana komponen normal terhadap bidang adalah K,terhadap bidang adalah K,Maka:Maka:

Atau dalam vektorAtau dalam vektor

)20.........(..............................121

122 N

m

mN M

XM

IdH

.

LKLHLH tt DDD 21

K

KHH tt 21

)21......(..............................)( 1221 aKaHH n


Dimana Dimana aaN12N12 adalah unit normal pada batas dengan arah adalah unit normal pada batas dengan arah dari daerah 1 ke 2.dari daerah 1 ke 2.

Persamaan di atas dapat ditulis juga denganPersamaan di atas dapat ditulis juga dengan

Untuk BUntuk BTT, maka, maka

Kondisi batas untuk komponen tangensial, magnetisasi bagi Kondisi batas untuk komponen tangensial, magnetisasi bagi material linear sbb:material linear sbb:

Contoh: Carilah BContoh: Carilah B2 2 apabila diketahui apabila diketahui 1 1 = 4 = 4 H/m di daerah H/m di daerah

1 dimana Z>0, dan 1 dimana Z>0, dan 22= 7= 7H/m, dimanapun Z<0.H/m, dimanapun Z<0.

)21......(..............................)( 1221 bKaHH ntt

)22......(..............................2

2

1

1 KBB tt

)23........(..........211

22 KMM mt

m

mt

1daerah di 32

0Zpermukaan pada 80

1 mTaaaB

m

AaK

zyx

x


Jawab:

Untuk komponen normal B1

Maka:

Untuk komponen tangensial:

Dan

Maka

mTa

aaaaa

aaBB

z

zzzyx

NNN

.

)())(32(

)( 121211

mTaBB zNN .12

mTaaBBB yxNt .32111

mAaa

aaBH

yx

yxtt

/ 750500

104

10).32(6

3

1

11

mTaa

aaHB

dan

mAaa

aaa

aaaaKaHH

yx

yxtt

yx

yyx

xzyxNtt

, 69,45,3

)670500(107

/ 670500

80750500

80)(750500

6222

1212


Maka :

Assignment : D 9.8

mTaaa

BBB

zyx

tN

, 69,45,3 222

mT

B

94,5

)1()69,4(5,3 2222


Sirkuit BermagnitSirkuit Bermagnit

Dalam potensial elektronik, hubungan E dan V adalah:Dalam potensial elektronik, hubungan E dan V adalah:

Dalam Dalam magnetic potentialmagnetic potential, maka, maka

Dimana Vm adalah Dimana Vm adalah magnetomotive forcemagnetomotive force, atau mmf, dgn satuan , atau mmf, dgn satuan A.A.

Ingat tidak ada arus yang mengalir di dalam region dimana Vm Ingat tidak ada arus yang mengalir di dalam region dimana Vm terdefinisikan.terdefinisikan.

Beda potensial listrik antara mmf dan H adalah (pada titik A & B)Beda potensial listrik antara mmf dan H adalah (pada titik A & B)

Dan hubungannya adalah: Dan hubungannya adalah:

)1...(........................................VE

)2..(........................................VmE

)3...(.........................................B

A

mAB dEE

)4...(.........................................B

A

mAB dHE


Hukum Ohm untuk sirkuit listrik adalah:

Hal di atas akan analog dengan

Untuk mencari arus total, maka

Dan flux magnit yang melewati area sirkuit magnit adalah:

Bila kita definisikan

Maka reluctance sebagai ratio mmf terhadap flux total

)5.....(........................................EJ

)6.....(........................................HB

)7.....(.........................................s

sdJI

)8.....(.........................................s

sdB

)9.....(..............................RI

VIRV

)10..(........................................RVm


R dengan satuan A.t/wb.

Di dalam resistor material homogen isotropik dengan konduktivitas dan cross section S dan panjang d, maka:

Dan dalam material magnit homogen isotropikm dengan panjang d dan uniform cross section S, maka

Analog untuk , maka garis tertutup:

Dalam fenomena magnit, maka

Mengingat arus total terdiri dari N lilitan, maka:

)11......(...............................S

dR

)12......(...............................S

dR

LE &

0. LdE

totalILdH

.

)13.........(..................... NILdH


Marilah kita lihat dari sebuat sirkuit magnit sederhana. Untuk menghindari kesulitan dari bahan feromagnetik, kita anggap toroid udara dengan 500 lilitan, luas pintas 6 cm2, jari-jari rata-rata 15 cm dan arus coil 4A.

Seperti diketahui, medan magnit berada pada bagian dalam toroid, dan bila sirkuit medan magnit berupa jalan tertutup, sepanjang jari-jari rata-rata, kita peroleh 2000 A.t. Maka, walaupun medan di dalam toroid tidak betul-betul uniform, maka untuk kegunaan praktis, reluktan total dari sirkuit adalah:

wbtA

S

dR

/. 1025,1

106104

15,02

9

47


Maka :

wb

wbtA

tA

R

VmSource

106,1

/.

.

1025,1

2000

6

9

Harga ini mempunyai kesalahan lebih kecil dari 0,25%, dibandingkan dengan harga yang dicapai dengan distribusi flux eksak yang melewati luar tersebut.

Maka:

Dan akhirnya:

Sebagai suatu cek, dengan Hukum Ampere menggunakan problem simetrik,

dan

TS

B 1067,2106

106,1 34

6

t/m. 2120104

1067,27

3

AB

H

NIrH 2

ratarata radius pada / 212015,028,6

4500

2

mAr

NIH

Oleh,Oleh,DR. Taswanda TARYO, M.Sc. Eng.DR. Taswanda TARYO, M.Sc. Eng.

PROGRAM MAGISTER PROGRAM MAGISTER PEMINATAN TEKNIK ELEKTROPEMINATAN TEKNIK ELEKTRO

INSTITUT SAINS TEKNOLOGI NASIONALINSTITUT SAINS TEKNOLOGI NASIONALTAHUN 2009TAHUN 2009

TEORI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

Persamaan Maxwell dalam bentuk titik bergantung waktu :Persamaan Maxwell dalam bentuk titik bergantung waktu :

Untuk persamaan Maxwell tak bergantung waktu adalah :Untuk persamaan Maxwell tak bergantung waktu adalah :

Pers. (3) menyatakan bahwa kerapatan muatan adalah sumber garis Pers. (3) menyatakan bahwa kerapatan muatan adalah sumber garis fluks listrik.fluks listrik.

Pers. (4) menyatakan bahwa muatan magnet atau poles tidak terjadi Pers. (4) menyatakan bahwa muatan magnet atau poles tidak terjadi dan fluks magnet hanya terjadi pada loop tertutup dan tidak pernah dan fluks magnet hanya terjadi pada loop tertutup dan tidak pernah keluar secara divergen dari sumber titik.keluar secara divergen dari sumber titik.Persamaan- persamaan yang berkaitan dengan hal-hal di atas dan Persamaan- persamaan yang berkaitan dengan hal-hal di atas dan hubungan antara hubungan antara DD dan dan E :E :

)1(........................................t

BEx

)2(..............................t

DJHx

)4.(........................................ 0

)3.(........................................

B

D V

)5...(..............................ED

e

Dan hubungan antara Dan hubungan antara BB dan dan HH : :

pendefinisian kerapatan arus konduksi :pendefinisian kerapatan arus konduksi :

pendefinisian kerapatan arus konveksi dikaitkan dengan volume pendefinisian kerapatan arus konveksi dikaitkan dengan volume kerapatan muatan, kerapatan muatan, vv ::

Relasi-relasi di atas diperlukan untuk menghubungkan besaran-2 dalam Relasi-relasi di atas diperlukan untuk menghubungkan besaran-2 dalam persamaan Maxwell.persamaan Maxwell.

Apabila kita berhubungan dengan material-material yang menyangkut Apabila kita berhubungan dengan material-material yang menyangkut polarisasi dan magnetisasi, maka pers. (5) dan (6) menjadi demikian :polarisasi dan magnetisasi, maka pers. (5) dan (6) menjadi demikian :

)6(..............................HB

)7(..............................EJ

)8.........(....................vJ v

)12......(........................................

)11...(........................................

)10.......(....................).........(

)9..(........................................

0

0

0

HM

EP

MHB

PED

m

e

e

e

Jadi, gaya per unit volume, dituliskan demikian :Jadi, gaya per unit volume, dituliskan demikian :

Persamaan Maxwell dalam bentuk integral bergantung waktu, melalui Persamaan Maxwell dalam bentuk integral bergantung waktu, melalui integrasi pers. (1) untuk seluruh permukaan dan menggunakan teorema integrasi pers. (1) untuk seluruh permukaan dan menggunakan teorema Stoke, didapat hukum Faraday berikut :Stoke, didapat hukum Faraday berikut :

dan menggunakan prosedur sama menghasilkan hukum Ampere dan menggunakan prosedur sama menghasilkan hukum Ampere berikut :berikut :

Hukum Gauss untuk medan listrik dan magnet dicapai dengan integrasi Hukum Gauss untuk medan listrik dan magnet dicapai dengan integrasi pers. (3) dan (4) dgn menggunakan teorema divergen dan diperoleh :pers. (3) dan (4) dgn menggunakan teorema divergen dan diperoleh :

)13....(....................)( BxvEf v

)14.(........................................Sdt

BLdE

S

)15..(..............................Sdt

DILdH

S

)17.........(........................................0

)16.........(..............................

S

S vol v

SdB

dvSdD

Persamaan di atas memungkinkan kita memperoleh kondisi batas pada vektor-2 B, D, H dan E yang diperlukan untuk menghitung konstanta-2 dalam pers. Maxwell.

Diantara 2 media fisik (dimana K harus nol pada permukaan batas), sehingga diperoleh komponen-2 medan E, dan diperoleh :

Integral permukaan menghasilkan kondisi batas untuk komponen normal, yaitu :

Di dalam konduktor sempurna dan dengan hukum Ohm diperoleh E = 0 dan dengan hukum Faraday bentuk titik, diperoleh H = 0 untuk intensitas medan bergantung waktu.

)18...(....................2121 tttt HHdanEE

)19........(..........2121 NNSNN BBdanDD

Dengan hukum sirkuit Ampere, nilai tertentu J, maka J = 0 dan arus harus dibawa sepanjang permukaan konduktor sebagai arus permukaan K. Maka, jika daerah 2 adalah konduktor sempurna, pers. (18) dan (19) menjadi demikian:

dimana vektor normal aN arahnya keluar permukaan konduktor. Kondisi-2 batas di atas merupakan bagian sangat penting dari pers. Maxwell. Kondisi-2 batas di atas merupakan bagian penting dan memerlukan solusi dari pers. Maxwell untuk 2 daerah atau lebih.

)21(..............................0

)20().........(0

11

111

NSN

Nttt

BdanD

axKHKHdanE

GELOMBANG DATAR SERBASAMA (GDS)GELOMBANG DATAR SERBASAMA (GDS)

Dalam topik ini akan diterangkan, hal-2 berikut :

• Penerapan pers. Maxwell untuk memperkenalkan teori pokok gelombang

• GDS adalah salah satu pemakaian paling sederhana dari pers. Maxwell serta perihal dibalik penjalaran/perambatan energi,

• Konsep panjang gel., kec. Penjalaran, impedansi gel., fase dan tetapan atenuasi serta penggunaan teorema Poynting untuk menghitung kerapatan daya gel.

• Pembahasan pemantulan, transmisi GDS pada perbatasan dua media berbeda,

• Penggunaan rasio gelombang berdiri (GBR) untuk membahas hal-2 praktis.

Gerak Gelombang dalam Ruang Hampa

Pembahasan dimulai dengan gel. di ruang hampa, dielektrik sempurna, dielektrik merugi dan konduktor yang baik,

Hal di atas dilakukan melalui metoda pendekatan dan diperoleh karakteristik khusus masing-2 media, melalui penjalaran dalam media tsb.

Untuk meninjau gerak gel. Untuk meninjau gerak gel. dalam ruang hampa, kita lihat pers. dalam ruang hampa, kita lihat pers. Maxwell dalam Maxwell dalam EE dan dan HH berikut : berikut :

)3(..............................0;0

)2.....(..............................

)1.........(..............................

0

0

HE

t

HEx

t

EHx

e

Sekarang kita lihat pers-2 di atas, bahwa apabila Sekarang kita lihat pers-2 di atas, bahwa apabila EE berubah berubah terhadap waktu, maka terhadap waktu, maka HH mempunyai curl pada titik tsb dan dianggap mempunyai curl pada titik tsb dan dianggap membentuk loop tertutup yang berkaitan dengan perubahan membentuk loop tertutup yang berkaitan dengan perubahan E.E. Begitu pula berlaku dengan pers. (2).Begitu pula berlaku dengan pers. (2).

Sekarang kita lihat pers-2 Maxwell tsb. khususnya yang berubah Sekarang kita lihat pers-2 Maxwell tsb. khususnya yang berubah terhadap waktu menurut sinusoidal (kosinusoidal) dan biasanya terhadap waktu menurut sinusoidal (kosinusoidal) dan biasanya memakai notasi kompleks dan fasor. Kita anggap satu komponen, memakai notasi kompleks dan fasor. Kita anggap satu komponen, misalnya Emisalnya Exx yang ditulis berikut :yang ditulis berikut :

E Exx = E= Exyz xyz cos ( cos ( t + t + ) ) ....................................(4) ....................................(4)

dimana Edimana Exyzxyz merupakan fungsi nyata dari x, y, z dan mungkin merupakan fungsi nyata dari x, y, z dan mungkin , , tetapi bukan t, dan tetapi bukan t, dan adalah sudut fase yang juga merupakan fungsi adalah sudut fase yang juga merupakan fungsi x, y, z dan x, y, z dan . Dengan teorema Euler, e . Dengan teorema Euler, e jj t t = cos = cos t + j sin t + j sin t, t, kita ambil kita ambil

EExx = R = Ree E Exyzxyz e e j( j( t + t + ) ) = R = Ree E Exyz xyz e e jj e e jj t t ..... ..... (5)(5)

dengan Re menyatakan bagian real dari besaran tersebut.dengan Re menyatakan bagian real dari besaran tersebut.

Dengan menghilangkan RDengan menghilangkan Re e dan e dan e jj t t, medan E, medan Exx menjadi suatu fasor menjadi suatu fasor atau besaran kompleks yang kita identifikasi dengan subskrip s, Eatau besaran kompleks yang kita identifikasi dengan subskrip s, Exsxs. . Jadi: EJadi: Exsxs = E = Exyz xyz e e j j ............................(6). ............................(6).

Subskrip s dapat dipakai sebagai penunjuk besaran domain frekuensi Subskrip s dapat dipakai sebagai penunjuk besaran domain frekuensi sebagai fungsi kompleks s, walaupun di sini didefinisikan bahwasebagai fungsi kompleks s, walaupun di sini didefinisikan bahwa s = j s = j ..

Ambil contoh, EAmbil contoh, Eyy = 100 cos (10 = 100 cos (1088 t - 0,5 z ) V/m dan dinyatakan t - 0,5 z ) V/m dan dinyatakan sebagai sebuah fasor. sebagai sebuah fasor.

Soal di atas dapat ditulis sebagai fungsi eksponensial berikut,Soal di atas dapat ditulis sebagai fungsi eksponensial berikut,

EEyy = R = Ree [ 100 exp { j (100.000.000 t – 0,5 z)} ] [ 100 exp { j (100.000.000 t – 0,5 z)} ]

dan kemudian hilangkan Rdan kemudian hilangkan Ree dan exp (j 100.000.000 t) , untuk dan exp (j 100.000.000 t) , untuk mendapatkan fasor, mendapatkan fasor,

EEysys = 100 e = 100 e – j 0,5 z – j 0,5 z

Perhatikan bahwa EPerhatikan bahwa Eyy bilangan nyata, tetapi E bilangan nyata, tetapi Eysys bilangan kompleks. bilangan kompleks. Jika diketahui suau fasor, besaran nyata yang bersesuaian dengannya Jika diketahui suau fasor, besaran nyata yang bersesuaian dengannya selalu dapat kita peroleh dengan mengalikannya dengan eselalu dapat kita peroleh dengan mengalikannya dengan e jjtt dan dan mengambil bagian nyata dari bentuk resultan tsb.mengambil bagian nyata dari bentuk resultan tsb.

Sekarang, karenaSekarang, karena

= R = Ree j j E Exyxy exp (j exp (jt)t)

Disini jelas bahwa pengambilan turunan parsial suatu besaran medan Disini jelas bahwa pengambilan turunan parsial suatu besaran medan terhadap waktu setara dengan pengalian fasor ybs. dengan jterhadap waktu setara dengan pengalian fasor ybs. dengan j. . Sebagai contoh jikaSebagai contoh jika

persamaan fasor yang sesuai adalah :persamaan fasor yang sesuai adalah :

dimana Edimana Exsxs dan H dan Hysys keduanya menyatakan besaran kompleks. keduanya menyatakan besaran kompleks.

)7().........(sin])(cos[

tEtEtt

Exyzxyz

x

z

H

t

E yx

0

1e

z

HEj ysxs

0

1e

Jika diketahui pers. Maxwell , maka hubungan yangJika diketahui pers. Maxwell , maka hubungan yang

sesuai dengannya serta dinyatakan dalam vektor fasor adalah :sesuai dengannya serta dinyatakan dalam vektor fasor adalah :

dan pers.-2 lainnya :dan pers.-2 lainnya :

Pers.-2 di atas merupakan pers. Maxwell dalam notasi fasor untuk medan yang berubah Pers.-2 di atas merupakan pers. Maxwell dalam notasi fasor untuk medan yang berubah waktu secara sinusoidal dalam ruang hampa. Apabila kita lakukan divergensi dari pers. waktu secara sinusoidal dalam ruang hampa. Apabila kita lakukan divergensi dari pers. (9), misalnya :(9), misalnya :

Karena Karena .E = 0. Pers. Ini dikenal sebagai pers. vektor Helmholtz. .E = 0. Pers. Ini dikenal sebagai pers. vektor Helmholtz.

Persamaan (11) artinya Persamaan (11) artinya

t

EHx

0e

)8......(..............................0 ss EjHx

e

)10(....................00

)9......(..............................0

ss

ss

HdanE

HjEx

)11.....(....................

)(2

002

02

ss

ssss

EE

HxjEEExx

e

)12...(002

2

2

2

2

2

2

xsxsxsxs E

x

E

x

E

x

E e

Maka pemecahan pers. (12) adalahMaka pemecahan pers. (12) adalah

EExsxs = A exp (-j= A exp (-j { {0 0 εε00 } z) } z) (13)(13)

Dengan mengembalikan faktor eDengan mengembalikan faktor e jjtt, dan mereduksinya menjadi bentuk , dan mereduksinya menjadi bentuk trigonometri melalui bagian nyata, dan kita peroleh : trigonometri melalui bagian nyata, dan kita peroleh :

EExx = A cos [ = A cos [ (t - z (t - z 00εε00) ] ) ]

dimana faktor amplitudo sebarangnya bisa diganti dengan Edimana faktor amplitudo sebarangnya bisa diganti dengan Ex0x0, harga E, harga Exx pada z = 0 dan t = 0, dan akhirnya dapat ditulispada z = 0 dan t = 0, dan akhirnya dapat ditulis

EExx = E = Ex0 x0 cos [ cos [ (t - z (t - z 00εε00) ] ) ] (14)(14)

Sebelum kita mencari pemecahan komponen medan lainnya, pers. (14) Sebelum kita mencari pemecahan komponen medan lainnya, pers. (14) adalah medan listrik yang arahnya ke atas permukaan datar bumi. Akar adalah medan listrik yang arahnya ke atas permukaan datar bumi. Akar 00εε0 0 harga pendekatan yang besarnya 1/(3 x 10harga pendekatan yang besarnya 1/(3 x 1088) s/m ialah kebalikan ) s/m ialah kebalikan dari kecepatan cahaya dalam ruang hampa.dari kecepatan cahaya dalam ruang hampa.

Kita coba sumbu z mempunyai arah ke timur dan ambil z = 0 untuk Kita coba sumbu z mempunyai arah ke timur dan ambil z = 0 untuk Chicago. Jadi medannya adalah Chicago. Jadi medannya adalah

EExx = E = Ex0x0 cos cos t ; t ;

Di Cleveland yang letaknya 500 km ke arah timur, maka Di Cleveland yang letaknya 500 km ke arah timur, maka EExx = E = Ex0x0 cos [ cos [ ( t – (500000/300000000))] ( t – (500000/300000000))]

= E = Ex0x0 cos [ cos [ ( t – 0,00167)] ( t – 0,00167)]

yang memperlihatkan bahwa intensitas medan di Cleveland identik dengan medan yang sama pada saat 0,00167 detik sebelumnya. Pada umumnya bahwa setiap titik z meter sebelah timur Chicago ketinggalan dari medan acuan dengan z 0ε0 atau z/(3x108) det.

Dengan mengubah sudut pandang kita dan kita periksa medan di Dengan mengubah sudut pandang kita dan kita periksa medan di mana-2 dengan t = 0, maka mana-2 dengan t = 0, maka

EExx = E = Ex0x0 cos (- cos (- z z 00εε00) = E) = Ex0 x0 cos (cos (z/c) (15)z/c) (15)

Kita dapatkan perubahan periodik terhadap jarak. Kita dapatkan perubahan periodik terhadap jarak. Perioda gelombang Perioda gelombang kosinus ini yang diukur sepanjang sumbu z disebut panjang kosinus ini yang diukur sepanjang sumbu z disebut panjang gelombang gelombang ,,

(( ) / c = 2) / c = 2 atau atau = c/f = (3 x 10 = c/f = (3 x 1088) / f ) / f

di dalam ruang hampa; c adalah kec. Cahaya dan f frekuensi gel. di dalam ruang hampa; c adalah kec. Cahaya dan f frekuensi gel. (Hertz). Pada setiap saat, E(Hertz). Pada setiap saat, Ex x mempunyai arah vetikal. Kita bisa mempunyai arah vetikal. Kita bisa

katakan bahwa tetap jika fase katakan bahwa tetap jika fase (t-z(t-z00εε00) atau ) atau (t-z (t-z00εε00) = tetapan.) = tetapan.

Dengan mengambil diferensialnya, kita perolehDengan mengambil diferensialnya, kita peroleh

dz/dt = v = 1/ (dz/dt = v = 1/ ( 0εε00) = c) = c

Kecepatan ini disebut sebagai kec. fase karena berkaitan dengan titik Kecepatan ini disebut sebagai kec. fase karena berkaitan dengan titik yang berfase sama. Dalam hal ini kecyang berfase sama. Dalam hal ini kecepatan epatan fasenya sama dengan fasenya sama dengan keckecepatan epatan cahaya. cahaya.

Berapapun harga medan sesaat pada z = z1 dan t = t1, medan tersebut berharga sama lagi pada saat (z2-z1)/c kemudian; medan tersebut berharga sama lagi pada saat t=t2 pada jarak (t2-t1)/c kesebelah timur dari titik semula. Medan listrik ini secara nalar kita menyebutnya gelombang berjalan.

Pers. (15) yang juga merupakan solusi dari pers. Gel. Jelas menyatakan gelombang berjalan ke arah –z, atau ke barat. Kita hanya meninjau gel. yang berjalan positif. Sekarang mari kita kembali ke pers. (8-10) dan tentukan bentuk medan H. Bentuk Es dan Hs dengan mudah diperoleh dari pers. (9)

Apabila disederhanakan utnuk komponen Exs, tunggal yang hanya berubah terhadap z,

( Exs / t) = - j0 Hys

Dengan memakai pers. (13) untuk Exs serta A = Ex0, akan diperoleh

Hys = - (1/ j0) Ex0 (- j 0ε0) e-jz/c dan

Hy = Ex0 / ( 0/ε0) cos [{(t- z/c)}] (16).

)9.(........................................0 ss HjEx

Jadi kita dapatkan komponen vertikal yang berjalan ke timur disertai dengan medan magnet horizontal (utara-selatan). Selanjutnya rasio intensitas medan listrik terhadap intensitas medan magnet dinyatakan oleh :

Ex / Hy = ( 0/ε0) (17) suatu tetapan.

Dengan memakai bahasa teori kita katakan bahwa EDengan memakai bahasa teori kita katakan bahwa Exx dan H dan Hyy sefase dan sefase dan hubungan sefase ini berlaku baik terhadap waktu maupun terhadap jarak. hubungan sefase ini berlaku baik terhadap waktu maupun terhadap jarak. Perlu kita perhatikan bahwa rasio kedua komponen tersebut dimana-mana Perlu kita perhatikan bahwa rasio kedua komponen tersebut dimana-mana sama, walaupun keduanya berubah terhadap waktu dan tempat. Akar kuadrat sama, walaupun keduanya berubah terhadap waktu dan tempat. Akar kuadrat rasio permeabilitas terhadap permitivitas disebut impedansi intrinsik rasio permeabilitas terhadap permitivitas disebut impedansi intrinsik (eta). (eta).

= = /ε/ε (18)(18)

dan dan berdimensi berdimensi (ohm). Impedansi intrinsik ruang hampa ialah (ohm). Impedansi intrinsik ruang hampa ialah

00 = = 00/ε/ε00 = 377 = 377 120 120 (19).(19).

Gelombang seperti tersebut di atas disebut gelombang datar serbasama, Gelombang seperti tersebut di atas disebut gelombang datar serbasama, karena harganya serbasama pada seluruh bagian bidang z = tetapan. karena harganya serbasama pada seluruh bagian bidang z = tetapan. Gelombang tersebut juga menyatakan aliran energi dalam arah z positif. Gelombang tersebut juga menyatakan aliran energi dalam arah z positif. Medan listrik dan medan magnetnya tegak lurus pada arah penjalaran. Medan listrik dan medan magnetnya tegak lurus pada arah penjalaran. Keduanya terletak pada bidang transversal terhadap arah penjalaran. Keduanya terletak pada bidang transversal terhadap arah penjalaran. Gelombang datar serbasama ini disebut gelombang elektromagnetik Gelombang datar serbasama ini disebut gelombang elektromagnetik transversal (gelombang EMT atau TEM).transversal (gelombang EMT atau TEM).

Gerak Gelombang dalam Dielektrik SempurnaGerak Gelombang dalam Dielektrik Sempurna

Kita analisis sekarang gerak gelombang dalam dielektrik sempurna dengan Kita analisis sekarang gerak gelombang dalam dielektrik sempurna dengan permitivitas ε serta permeabilitas permitivitas ε serta permeabilitas ; medium isotropik dan serbasama; pers. ; medium isotropik dan serbasama; pers. gelombangnya :gelombangnya :

(1)(1)untuk Euntuk Exsxs kita peroleh :kita peroleh :

((22 E Exsxs / / zz22) = ) = 22 ε ε EExsxs (2).(2).

Selanjutnya kita ambil atenuasi eksponensial dengan menganggap :Selanjutnya kita ambil atenuasi eksponensial dengan menganggap :

EExx = E = Ex0x0 e ezz cos ( cos (t - t - z) z)

dan bentuk Eksponenial kompleks setaranya adalah :dan bentuk Eksponenial kompleks setaranya adalah :

EExsxs = E = Ex0x0 e ezz e ejjzz

Faktor eksponensial memperkenankan kita untuk meninjau suatu gel. Faktor eksponensial memperkenankan kita untuk meninjau suatu gel. mengalami atenuasi ketika gel. tsb menjalar ke arah +z; mengalami atenuasi ketika gel. tsb menjalar ke arah +z; disebut konstanta disebut konstanta atenuasi dan atenuasi dan disebut konstanta fase (rad/m). disebut konstanta fase (rad/m).

ssEE e 22

Biasanya gabungan Biasanya gabungan dan dan sering disebut konstanta penjalaran sering disebut konstanta penjalaran ((propagation constantpropagation constant) kompleks ) kompleks (gamma) dengan (gamma) dengan

= = + j + j (3) (3)

sehingga kita dapat menuliskan Esehingga kita dapat menuliskan Exsxs = E = Ex0x0 e ezz . .Sekarang kita substitusikan ke dalam pers. (2) dan diperoleh :Sekarang kita substitusikan ke dalam pers. (2) dan diperoleh :

22 E Ex0x0 e ezz = = 22 ε E ε Ex0x0 e ezz , ,

sehingga kita perolehsehingga kita peroleh

22 = = 22 ε atau ε atau = = j j ε ε

jadi jadi = 0 dan = 0 dan = = ε ε (4)(4)

Dan disini kita memilih akar yang menghasilkan dalam arah z positif. Jadi Dan disini kita memilih akar yang menghasilkan dalam arah z positif. Jadi

EExx = E = Ex0x0 cos ( cos (t - t - z)z)

dan ini adalah gelombang yang menjalar dalam arah +z dengan kecepatan fase v,dan ini adalah gelombang yang menjalar dalam arah +z dengan kecepatan fase v,

vv = = / / (5).(5).

Untuk GDS yang menjalar dalam dielektrik sempurna, kita peroleh :Untuk GDS yang menjalar dalam dielektrik sempurna, kita peroleh :

v v = 1/ (= 1/ (ε) = c/(ε) = c/(RR ε εRR).).

Panjang gel. adalah rasio besar kecepatan terhadap frekuensiPanjang gel. adalah rasio besar kecepatan terhadap frekuensi

= v/f = c/(f= v/f = c/(fRR ε εRR) = ) = 00 /( /(RR ε εRR)) (6)(6)

dimana dimana 00 adalah panjang gel. dalam ruang hampa. Perhatikan bahwa adalah panjang gel. dalam ruang hampa. Perhatikan bahwa R εR R εR 1, 1, sehingga dalam segala media nyata, panjang gel. nya lebih pendek dan kec. lebih sehingga dalam segala media nyata, panjang gel. nya lebih pendek dan kec. lebih kecil daripada di ruang hampa. Selain hal di atas, juga kita peroleh :kecil daripada di ruang hampa. Selain hal di atas, juga kita peroleh :

= 2= 2 / / (7).(7).

Berkaitan dengan EBerkaitan dengan Exx, intensitas medan magnetik, , intensitas medan magnetik,

HHxx = (E = (Ex0x0//) cos () cos (t - t - z)z) (8)(8)

dan impedansi intrinsiknya (satuan dan impedansi intrinsiknya (satuan ) adalah :) adalah :

= = (( //εε)) (9)(9)

Kedua medan EKedua medan Exx dan H dan Hyy saling saling , tegak lurus pada arah penjalaran, dan , tegak lurus pada arah penjalaran, dan selalu sefase pada setiap titik. Jika kita lakukan perkalian silang, maka selalu sefase pada setiap titik. Jika kita lakukan perkalian silang, maka resultannya menyatakan arah penjalaran.resultannya menyatakan arah penjalaran.

Sebagai contoh gel. dengan frekuensi 300 MHz dan menjalar pada air tawar. Sebagai contoh gel. dengan frekuensi 300 MHz dan menjalar pada air tawar. Kita coba abaikan atenuasinya dan menganggap Kita coba abaikan atenuasinya dan menganggap = 0. Jadi dengan = 0. Jadi dengan RR=1 dan =1 dan εεRR=78 (pada 300 MHz), dan=78 (pada 300 MHz), dan

vv = c/ (= c/ (RR ε εRR) = (3 x 10) = (3 x 1088)/ )/ 78 78

= 0,340 x 10= 0,340 x 1088 m/det. m/det. λλ = v/f= v/f = (0,340 x 10= (0,340 x 1088) / 3 x 10) / 3 x 1088 = 0,113 m, = 0,113 m,

sedangkan kita tahu bahwa panjang gelombang udara 1 m. sedangkan kita tahu bahwa panjang gelombang udara 1 m.

Selain hal di atas, kita peroleh juga :Selain hal di atas, kita peroleh juga :

= 2= 2 / / = 55,5 rad/m atau 80,0 = 55,5 rad/m atau 80,0/inc. dan/inc. dan

= = 00 ( (RR εεRR) = 377/ () = 377/ (78) = 42,7 78) = 42,7 ..

Jika kita ambil intensitas medan listriknya mempunyai amplitudo maksimum Jika kita ambil intensitas medan listriknya mempunyai amplitudo maksimum 0,1 V/m, maka0,1 V/m, maka

EExx = 0,1 cos (6 = 0,1 cos (6 10 1088 t – 55,5 z) t – 55,5 z)

HHyy = E = Exx// = 2,34 x 10 = 2,34 x 1033 cos (6 cos (6 10 1088 t – 55,5 z). t – 55,5 z).

Gelombang Datar Dalam Dielektrik MerugiGelombang Datar Dalam Dielektrik Merugi

Setiap bahan mempunyai harga konduktivitas, walaupun dalam banyak kasus Setiap bahan mempunyai harga konduktivitas, walaupun dalam banyak kasus hal ini dapat diabaikan. Persamaan Maxwell untuk hal ini adalah, hal ini dapat diabaikan. Persamaan Maxwell untuk hal ini adalah,

▼ ▼ x x HHss = = JJss + j + jε ε EEss atau atau x x HHss = ( = ( + j + jε) ε) EEss

dan dan x x EEss = - j = - j HHss (1).(1).

Satu-satunya efek pemasukan konduktivitas Satu-satunya efek pemasukan konduktivitas ialah faktor j ialah faktor jε berubah menjadi ε berubah menjadi + j + jε. Harga konstanta penjalaran yang baru ialah,ε. Harga konstanta penjalaran yang baru ialah,

22 = ( = ( + j + jε) jε) j dan dan = = [([( + j + jε) jε) j].].

Akhirnya kita peroleh,Akhirnya kita peroleh,

= j= j((εε) [) [{1- (j{1- (j//εε)}])}] (2)(2)

kita ambil harga yang positif. Akhirnya,kita ambil harga yang positif. Akhirnya,

= = + j + j

dan komponen x dari intensitas medan listrik yang menjalar dalam arah +z dan komponen x dari intensitas medan listrik yang menjalar dalam arah +z diperoleh,diperoleh,

EExsxs = E = Ex0x0 e ezz e ejjzz..

Pemakaian tanda plus dalam akar pers. (2) menghasilkan harga numerik Pemakaian tanda plus dalam akar pers. (2) menghasilkan harga numerik dan dan yang positif, sehingga sesuai dengan penjalaran dalam arah +z.yang positif, sehingga sesuai dengan penjalaran dalam arah +z.

Dengan memakai pers. (1), dapat diperoleh Hys Dengan memakai pers. (1), dapat diperoleh Hys

HHxx = (E = (Ex0x0//) e) ezz e ejjzz..

Sekarang impedansi intrinsiknya adalah,Sekarang impedansi intrinsiknya adalah,

(3).(3).

Medan listrik dan medan magnet tidak sefase lagi. Ingat satuan atenuasi dalam Medan listrik dan medan magnet tidak sefase lagi. Ingat satuan atenuasi dalam kasus ini adalah Np/m (Np- neper).kasus ini adalah Np/m (Np- neper).

Sebagai contoh, untuk air suling yang merupakan dielektrik yang buruk sekali. Sebagai contoh, untuk air suling yang merupakan dielektrik yang buruk sekali. Pada Pada = 10 = 101111 rad/det. atau f = 15,9 GHz yang jatuh dalam arah pita SHF rad/det. atau f = 15,9 GHz yang jatuh dalam arah pita SHF (frekuensi super tinggi/super high frequency) untuk (frekuensi super tinggi/super high frequency) untuk R = 1, R = 1, eeR = 50 dan R = 50 dan = 20 = 20 Mho/m, kita perolehMho/m, kita peroleh

//ee = (20x 10= (20x 101212)/(10)/(101111 x 50 x 8,854) = 0,452 dan x 50 x 8,854) = 0,452 dan = {j(10= {j(101111[[(1 x 50)]/(3x 10(1 x 50)]/(3x 1088)} )} (1-j0,452)(1-j0,452) = j2,360 = j2,360 1,097 1,097 -24,3 -24,3 = 2470 = 2470 77,8 77,8 = 520 + j 2410 m = 520 + j 2410 m11..Jadi Jadi = 520 Np/m.= 520 Np/m.

)/(1

1

ee

e

jj

j

Jadi amplitudo HJadi amplitudo Hxx dan E dan Eyy akan bertanetuasi dengan faktor 0,368 (e akan bertanetuasi dengan faktor 0,368 (e-1-1) untuk tiap ) untuk tiap 1/520 m penjalaran dalam air.1/520 m penjalaran dalam air.

Dalam hitungan ini, konstanta fasenya adalah :Dalam hitungan ini, konstanta fasenya adalah :

= 2410 rad/m = 2410 rad/m

besaran ini hanya dipengaruhi sedikit konduktivitas yang besaran ini hanya dipengaruhi sedikit konduktivitas yang dengan nol. dengan nol.

Perhitungan di atas menunjukkan bahwa, jika Perhitungan di atas menunjukkan bahwa, jika = 0, maka = 0, maka = 2360 rad/m. Dan = 2360 rad/m. Dan panjang gel. untuk frekuensi tersebut dalam udara 1,88 cm dan karena panjang gel. untuk frekuensi tersebut dalam udara 1,88 cm dan karena = 2 = 2//, , maka utnuk gel. dalam air maka utnuk gel. dalam air menjadi 2,60 m. menjadi 2,60 m.

Dengan demikian, impedansi intrinsik (Dengan demikian, impedansi intrinsik ( ) : ) :

dan Edan Exx mendahului H mendahului Hyy dengan 12,2 dengan 12,2 pada tiap titik. pada tiap titik.

Dalam kasus khusus misalnya tangen kerugian kecil (Dalam kasus khusus misalnya tangen kerugian kecil (//ee), maka ), maka

x Hs = ( x Hs = (+j+jee) Es = J) Es = Js + Jdss + Jdshasil bagi kerapatan arus konduksi terhadap kerapatan arus perpindahan adalah hasil bagi kerapatan arus konduksi terhadap kerapatan arus perpindahan adalah

JJs / Jds = s / Jds = / j / jee

7,108,492,129,50452,01

1

50

377j

j

Jadi kedua vektor ini mempunyai arah yang sama tetapi fasenya berbeda 90Jadi kedua vektor ini mempunyai arah yang sama tetapi fasenya berbeda 90. . Kerapatan arus perpindahan mendahului kerapatan arus konduksi dengan 90Kerapatan arus perpindahan mendahului kerapatan arus konduksi dengan 90. . Hal tsb. Identik dengan arus yang melalui suatu kapasitor mendahului arus Hal tsb. Identik dengan arus yang melalui suatu kapasitor mendahului arus yang lewat resistor (paralel) dengan 90yang lewat resistor (paralel) dengan 90..

dandan

tan tan = = //ee (4)(4)

yang disebut yang disebut tangen kerugiantangen kerugian. Jika tan . Jika tan kecil, dan karena kecil, dan karena

(5).(5).

Jds = jeEs

Js =(+je)Es

Js =Es

=tan1(/e)

ee jj 1

Dengan teorema binomial, maka akan diperolehDengan teorema binomial, maka akan diperoleh

(6)(6)

(7a)(7a)

Dalam banyak kasusDalam banyak kasus(7b).(7b).

Dengan cara yang serupa, dapat diperoleh :Dengan cara yang serupa, dapat diperoleh :

atauatau (8a)(8a)

(8b).(8b).

Untuk melihat kecermatan pendekatan, kita hitung lagi dengan rumus-2 di atas. Untuk melihat kecermatan pendekatan, kita hitung lagi dengan rumus-2 di atas. Akhirnya kita peroleh :Akhirnya kita peroleh :

= 533 Np/m ( bandingkan denga harga eksak = 533 Np/m ( bandingkan denga harga eksak = 520 Np/m). = 520 Np/m).

Tetapan fasenya Tetapan fasenya = 2410 rad/m (harga eksak = 2410 rad/m (harga eksak = 2420 rad/m) dan tanpa = 2420 rad/m) dan tanpa kerugian dengan (7b) kerugian dengan (7b) = 2360 rad/m. = 2360 rad/m.

e

ee

2)

2( jj

])2

(8

11[ 2

ee

e

]2

)2

(8

31[/ 2

e

ee j

]2

1[/ee j

Dengan pers. (8a), kita peroleh Dengan pers. (8a), kita peroleh = 50,7 = 50,713,713,7 = 49,2 + j 12,0 = 49,2 + j 12,0 bandingkan dengan harga eksak 50,9 bandingkan dengan harga eksak 50,912,212,2 = = 49,8 + j 10,7 49,8 + j 10,7 . Dengan pers. (8b), diperoleh 54,7. Dengan pers. (8b), diperoleh 54,712,712,7 = 53,3 + j 12,0 = 53,3 + j 12,0 . . Dianjurkan agar Dianjurkan agar pemakaian pendekatanpemakaian pendekatan untuk untuk //ee 0,1. 0,1.

Dalam kebanyakan bahan dielektrik, tangen kerugian lebih mendekati tetapan Dalam kebanyakan bahan dielektrik, tangen kerugian lebih mendekati tetapan terhadap frekuensi dpd. konduktivitas. terhadap frekuensi dpd. konduktivitas. Artinya, konduktivitas cenderung naik thd Artinya, konduktivitas cenderung naik thd kenaikan frekuensi walaupun tak linear.kenaikan frekuensi walaupun tak linear.

D 11.4. (hal. 412)D 11.4. (hal. 412)

Suatu bahan dengan Suatu bahan dengan eeRR = 2,5 dan = 2,5 dan RR =1, dan =1, dan = 4 x 10 = 4 x 1055 mho/m dipakai pada mho/m dipakai pada frekuensi 1 MHz. Tentukan harga numerik dari : a) tangen kerugian; b) konstanta frekuensi 1 MHz. Tentukan harga numerik dari : a) tangen kerugian; b) konstanta atenuasi; c) konstanta fase.atenuasi; c) konstanta fase.

Jawab : 0,288; 4,72 x 10Jawab : 0,288; 4,72 x 1033 Np/m; 33,5 x 10 Np/m; 33,5 x 1033 rad/m. rad/m.

D 11.5. (hal. 412)D 11.5. (hal. 412)

Suatu bahan non-magnetik mempunyai tangen kerugian 0,05 dan permitivitas relatif Suatu bahan non-magnetik mempunyai tangen kerugian 0,05 dan permitivitas relatif ((єєRR=5,2). Harga tsb dapat dianggap tetap dalam selang frekuensi 2 s/d 50 MHz. =5,2). Harga tsb dapat dianggap tetap dalam selang frekuensi 2 s/d 50 MHz. Cari Cari dan dan pada f sama dengan: a) 3 MHz; b) 30 MHz. pada f sama dengan: a) 3 MHz; b) 30 MHz.

Jawab : 3,58 x 10Jawab : 3,58 x 1033 Np/m; 43,8 m; 0,0358 Np/m; 4,38 m. Np/m; 43,8 m; 0,0358 Np/m; 4,38 m.

VEKTOR POYNTING DAN PENINJAUAN DAYAVEKTOR POYNTING DAN PENINJAUAN DAYA

Dalam bagian ini, akan dibahas daya pada gelombang datar serba sama (GDS). Dalam bagian ini, akan dibahas daya pada gelombang datar serba sama (GDS). Untuk itu, perlu dikembangkan teori daya untuk medan elektromagnetik yang Untuk itu, perlu dikembangkan teori daya untuk medan elektromagnetik yang dikenal dengan teorema Poynting.dikenal dengan teorema Poynting.

Pertama kali dikemukakan oleh John H Poynting, fisikawan Inggris tahun 1884. Pertama kali dikemukakan oleh John H Poynting, fisikawan Inggris tahun 1884. Kita lihat persamaan berikut :Kita lihat persamaan berikut :

dan kemudian kita lakukan perkalian dan kemudian kita lakukan perkalian titik utk masing-2 suku pers. tsb dengan titik utk masing-2 suku pers. tsb dengan E, E,

..Sekarang kita pakai identitas vektor,Sekarang kita pakai identitas vektor,

atauatau

tetapitetapi

jadijadi

atauatau

t

DJHx

t

DEEJHxE

xEHxHEHxE )(

t

DEEJHxExEH

t

BEx

t

DEEJHxE

t

BH

t

HH

t

EEEJHxE

e

Namun,

dan

Jadi,

Akhirnya, kita integrasi ke seluruh volume,

dan dengan teorema divergensi kita peroleh,

(1)

Jadi, kita anggap dalam vol. tersebut tidak terdapat sumber, maka suku ke-1 ruas kanan merupakan daya ohmik (sesaat) yang dimasukkan ke dalam vol tersebut.

22

22 E

tt

E

t

EE

eee

t

HH

2

2H

t

22

)(22 HE

tEJExH

e

dvHE

tEdvJdvExH

VOLVOLVOL

22

)(22 e

dvHE

tEdvJdSExH

VOLVOLS

22

)(22 e

Jika terdapat sumber, maka integrasi ke seluruh vol positif dan negatif jika daya Jika terdapat sumber, maka integrasi ke seluruh vol positif dan negatif jika daya dikeluarkan oleh sumber teersebut. Integral pada suku ke-2 adalah energi total dikeluarkan oleh sumber teersebut. Integral pada suku ke-2 adalah energi total yang tersimpan dalam medan listrik dan medan magnet. yang tersimpan dalam medan listrik dan medan magnet.

Turunan ke-2 terhadap waktu menjadikan hal ini sebagai laju pertambahan energi Turunan ke-2 terhadap waktu menjadikan hal ini sebagai laju pertambahan energi yang tersimpan dalam vol tersebut, atau sebagai daya sesaat yang menambah yang tersimpan dalam vol tersebut, atau sebagai daya sesaat yang menambah penyimpanan energi dalam vol tsb. Jumlah dari kedua suku itu merupakan daya penyimpanan energi dalam vol tsb. Jumlah dari kedua suku itu merupakan daya total yang mengalir masuk ke dalam vol tsb. Jadi daya total yang mengalir ke luar total yang mengalir masuk ke dalam vol tsb. Jadi daya total yang mengalir ke luar dari vol tersebut ialah,dari vol tersebut ialah,

integralnya mencakup seluruh permukaan tertutup yang melingkupi vol tersebut. integralnya mencakup seluruh permukaan tertutup yang melingkupi vol tersebut. Perkalian silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting Perkalian silang E x H dikenal sebagai vektor Poynting ,,

= = EE x x HH (2)(2)

yang dapat ditafsirkan sebagai kerapatan daya sesaat yang diukur dalam watt per yang dapat ditafsirkan sebagai kerapatan daya sesaat yang diukur dalam watt per meter kuadrat (w/m2). Besaran tsb seperti halnya ½ Dmeter kuadrat (w/m2). Besaran tsb seperti halnya ½ DE atau ½ BE atau ½ BH. H.

Vektor tsb memperlihatkan bahwa integrasi vektor Poynting pada permukaan Vektor tsb memperlihatkan bahwa integrasi vektor Poynting pada permukaan tertutup menghasilkan kerapatan daya total yang melalui permukaan ke arah luar. tertutup menghasilkan kerapatan daya total yang melalui permukaan ke arah luar.

Arah vektor tsb tentu saja arah aliran daya pada setiap titik yang selalu normal Arah vektor tsb tentu saja arah aliran daya pada setiap titik yang selalu normal pada E dan juga H. pada E dan juga H.

dSExHS

)(

Hal tsb di atas sejalan dengan gel datar serbasama; penjalaran dalam arah z+ Hal tsb di atas sejalan dengan gel datar serbasama; penjalaran dalam arah z+ selalu bertautan dengan komponen Ex dan Hy. Selain itu juga,selalu bertautan dengan komponen Ex dan Hy. Selain itu juga,

EExx a axx H Hyy a ayy = = zz a azz

Dalam dielektrik sempurna medan E dan H nya dapat dinyatakan sebagai berikut :Dalam dielektrik sempurna medan E dan H nya dapat dinyatakan sebagai berikut :EExx = E = Ex0x0 cos ( cos (t - t - z) ; Hz) ; Hxx = E = Ex0x0// cos ( cos (t - t - z)z)

sehingga,sehingga,

zz = ( = (EEx0x0))22// cos cos22 ( (t - t - z)z)

untuk mendapatkan kerapatan daya rata-2, kita integrasi untuk satu siklus dan kita untuk mendapatkan kerapatan daya rata-2, kita integrasi untuk satu siklus dan kita bagi dengan perioda T = 1/f,bagi dengan perioda T = 1/f,

(3)(3)

danzttEf

dtzEf

dtztE

f

f

x

fx

fx

avz

/1

0

2

0

/1

0

2

02/1

0

2

0

,

)22(sin1

2

)22cos(12

)(cos

2

2

0

,/

2

1mW

Ex

avz

Jika kita gunakan akar-kuadrat rata-2 sebagai ganti amplitudo puncak, maka Jika kita gunakan akar-kuadrat rata-2 sebagai ganti amplitudo puncak, maka faktor ½ tidak ada. faktor ½ tidak ada. Maka, daya rata-2 yang mengalir melalui setiap permukaan Maka, daya rata-2 yang mengalir melalui setiap permukaan seluas S yang normal thd sumbu z adalahseluas S yang normal thd sumbu z adalah

Dalam kasus dielektrik merugi, EDalam kasus dielektrik merugi, Exx dan H dan Hyy waktunya tidak sefase dan integrasinya waktunya tidak sefase dan integrasinya selangkah atau dua langkah lebih panjang. Hasilnya adalahselangkah atau dua langkah lebih panjang. Hasilnya adalah sebagai berikut: sebagai berikut:

(4)(4)

dengan dengan dinyatakan dalam bentuk kutub dinyatakan dalam bentuk kutub = = mm//..

Soal D 11.6 (hal. 417)Soal D 11.6 (hal. 417)

Pada frekuensi 1, 100 dan 3000 MHz, tetapan dielektrik dari es murni adalah Pada frekuensi 1, 100 dan 3000 MHz, tetapan dielektrik dari es murni adalah 4,15; 3,45 dan 3,20 sedangkan tangen kerugiannya adalah 0,12, 0,035 dan 4,15; 3,45 dan 3,20 sedangkan tangen kerugiannya adalah 0,12, 0,035 dan 0,0009. Cari daya rata-rata, jika gel datar serbasama dengan amplitudo 100 V/m 0,0009. Cari daya rata-rata, jika gel datar serbasama dengan amplitudo 100 V/m pada z=0 menjalar dalam es tersebut terhadap waktu yang melalui penampang pada z=0 menjalar dalam es tersebut terhadap waktu yang melalui penampang seluas 1 mseluas 1 m22 di z=0 dan z=5 m untuk masing-2 frekuensi. di z=0 dan z=5 m untuk masing-2 frekuensi.Jawab : 27,1; 26,4; 24,7; 12,48; 23,7; 14,31 W. Jawab : 27,1; 26,4; 24,7; 12,48; 23,7; 14,31 W.

WattSE

x

avz

2

0

, 2

1

WatteE

nz

m

xavz )(cos

2

1 220

,

PENJALARAN DALAM KONDUKTOR YANG BAIK : EFEK KULITPENJALARAN DALAM KONDUKTOR YANG BAIK : EFEK KULIT

Dalam konduktor baik (KB), setiap medan yang berubah tdh waktu akan Dalam konduktor baik (KB), setiap medan yang berubah tdh waktu akan mengalami atenuasi yang sangat cepat,mengalami atenuasi yang sangat cepat,

KB memiliki konduktivitas yang tinggi dan arus konduksinya besar,KB memiliki konduktivitas yang tinggi dan arus konduksinya besar,

KB berarti tangen kerugian besar, KB berarti tangen kerugian besar, //ee >>1. >>1.

Rumusan umum untuk tetapan penjalaran ialahRumusan umum untuk tetapan penjalaran ialah

JadiJadi

Maka,Maka,(1)(1)

Kita dapat lihat bahwa Kita dapat lihat bahwa dan dan tak bergantung dari parameter tak bergantung dari parameter dan dan dari dari konduktor tsb atau frekuensi medan yang dipakai.konduktor tsb atau frekuensi medan yang dipakai.

ataujjjjee

ee )1(

danjtetapijj 901

2

1

2

1451901 j

fjjj )11()2

1

2

1(

f

Jika kata anggap ada komponen x yang menjalar dalam arah z, maka,Jika kata anggap ada komponen x yang menjalar dalam arah z, maka,

(2).(2).

Misal daerah z>0 konduktor baik dan daerah z<0 dielektrik sempurna, maka pada z = Misal daerah z>0 konduktor baik dan daerah z<0 dielektrik sempurna, maka pada z = 0, pers (2) menjadi0, pers (2) menjadi

z=0z=0

Ini dapat dilihat sebagai sumber medan yang menimbulkan medan dalam konduktor. Ini dapat dilihat sebagai sumber medan yang menimbulkan medan dalam konduktor. Karena arus perpindahannya dapat diabaikan, maka J = Karena arus perpindahannya dapat diabaikan, maka J = E. E.Jadi kerapatan arus konduksi pada setiap titik berkaitan langsung dengan E :Jadi kerapatan arus konduksi pada setiap titik berkaitan langsung dengan E :

(3a).(3a).

Faktor eksponensial ini besarnya satu pada z = 0 dan berkurang menjadi e-1 = 0,368, Faktor eksponensial ini besarnya satu pada z = 0 dan berkurang menjadi e-1 = 0,368, jikajika

(3b).(3b).

Jarak tsb di atas dinyatakan dalam Jarak tsb di atas dinyatakan dalam dan disebut kedalam penembusan ( dan disebut kedalam penembusan (depth of depth of penetrationpenetration) atau kedalaman kulit () atau kedalaman kulit (skin depthskin depth),),

(4).(4).

)(cos)(

0 fzteEE fz

xx

)(cos0

tEExx

)(cos)(

0 fzteEEJ fz

xxx

fz

1

111

f

Kecepatan dan panjang gel dalam konduktor baik. Karena, Kecepatan dan panjang gel dalam konduktor baik. Karena, = 2 = 2// dan dan dengan pers. (4), maka dengan pers. (4), maka

= 2 = 2 (5)(5)

dan dengan v = dan dengan v = //, maka diperoleh, maka diperoleh

v = v = (6).(6).

Untuk tembaga pada 60 HUntuk tembaga pada 60 Hzz, , =5,36 cm dan v = 3,22 m/s atau sekitar 7,2 mil/jam. =5,36 cm dan v = 3,22 m/s atau sekitar 7,2 mil/jam. Dalam ruang hampa gel 60 Hz mempunyai panj gel 3100 mil menjalar dengan Dalam ruang hampa gel 60 Hz mempunyai panj gel 3100 mil menjalar dengan kec cahaya.kec cahaya.

Untuk memperoleh HUntuk memperoleh Hyy, kita memerlukan rumusan dari impedansi intrinsik suatu , kita memerlukan rumusan dari impedansi intrinsik suatu konduktor yang baik. Dengankonduktor yang baik. Dengan

dan karena dan karena >>>>ee

maka dapat ditulis maka dapat ditulis atau dapat ditulis atau dapat ditulis

(7).(7).

e

j

j

j

11

452

j

Jadi kita bisa menuliskan pers (2) dinyatakan dalam Jadi kita bisa menuliskan pers (2) dinyatakan dalam ,,

(8).(8).

Maka,Maka,(9)(9)

atauatau

..

Kita bisa lihat bahwa pada jarak satu kedalaman kulit kerapatan dayanya hanya Kita bisa lihat bahwa pada jarak satu kedalaman kulit kerapatan dayanya hanya ee2 = 0,135 harga kerapatan daya permukaan.2 = 0,135 harga kerapatan daya permukaan.

Kerugian daya total pada daerah selebar 0<y<b dan sepanjang 0<x<L dalam Kerugian daya total pada daerah selebar 0<y<b dan sepanjang 0<x<L dalam arah arus Jarah arus Jxx = J = Jx0x0 e e-z/-z/ ee-jz/-jz/. .

Kerugian daya rata-2 dalam daerah 0<y<b, 0<x<L adalah Kerugian daya rata-2 dalam daerah 0<y<b, 0<x<L adalah bL (JbL (Jx0x0))22/4/4 watt. watt. Jadi,Jadi,

Jika kita nyatakan dalam kerapatan arus pada permukaan JJika kita nyatakan dalam kerapatan arus pada permukaan Jx0x0 (J (Jx0x0 = = E Ex0x0),),

PPL,avL,av = ¼ [ = ¼ [bL (JbL (Jx0x0))22 / /]] (10).(10).

)/(cos/

0 zteEE z

xx

)4//(cos2

/0 zteE

H zx

y

ataueE zx

avz)4/(cos

22

1 /

2

0

,

WatteE z

xavz

/22

0, 4

1

2

0, 4

1xavL

ELbP

Kerugian daya jika arus total selebar b terbagi serbasama pada kedalaman Kerugian daya jika arus total selebar b terbagi serbasama pada kedalaman kulit.kulit.Dengan mengintegrasi s/d kedalaman tak berhingga dalam konduktor dengan Dengan mengintegrasi s/d kedalaman tak berhingga dalam konduktor dengan

dalam notasi eksponensial kompleks, untuk menyederhanakan integrasinya,dalam notasi eksponensial kompleks, untuk menyederhanakan integrasinya,

Jadi,Jadi,

Jika arus ini terbagi serbasama dalam penampang 0<y<b, 0<z<Jika arus ini terbagi serbasama dalam penampang 0<y<b, 0<z<, maka, maka

Kerugian daya ohmik per satuan volume ialah JKerugian daya ohmik per satuan volume ialah JE, sehingga daya sesaat total E, sehingga daya sesaat total yang didisipasikan dalam vol tersebut ialah,yang didisipasikan dalam vol tersebut ialah,

atauzteJJ z

xx)/(cos/

0

//

0

jzz

xxxeeJJ

)4/cos(211

00

t

bJIdan

j

bJI xx

S

).4/cos(20' t

JJ x

).4/cos(2

)(1 2

02'

tLbJ

LbJP x

L

Kerugian daya rata-2 thd waktu dapat kita peroleh dengan mudah, karena kita tahu harga Kerugian daya rata-2 thd waktu dapat kita peroleh dengan mudah, karena kita tahu harga rata-2 afktor kosinus kuadrat ialah ½,rata-2 afktor kosinus kuadrat ialah ½,

(11).(11).

Jika kita bandingkan pers (10) dan (11), kita lihat bahwa keduanya identik. Jadi kerugian Jika kita bandingkan pers (10) dan (11), kita lihat bahwa keduanya identik. Jadi kerugian daya rata-2 dalam konduktor dengan efek kulit dapat dihitung dengan menganggap bahwa daya rata-2 dalam konduktor dengan efek kulit dapat dihitung dengan menganggap bahwa arus totalnya terbagi merata dalam daerah setebal kedalaman kulit.arus totalnya terbagi merata dalam daerah setebal kedalaman kulit.

Jika dinyatakan dalam resistansi, maka daerah resistansi untuk selebar b dan panjang L Jika dinyatakan dalam resistansi, maka daerah resistansi untuk selebar b dan panjang L dari lempengan yang tebalnya tak berhingga dengan efek kulit. dari lempengan yang tebalnya tak berhingga dengan efek kulit.

Hal tsb sama dengan resistansi bujursangkar selebar b, dengan panjang L dan tebal Hal tsb sama dengan resistansi bujursangkar selebar b, dengan panjang L dan tebal tanpa efek kulit, atau dgn distribusi arus yang merata.tanpa efek kulit, atau dgn distribusi arus yang merata.

Hal ini dapat diterapkan utk konduktor berpenampang lingkaran dengan kesalahan kecil, Hal ini dapat diterapkan utk konduktor berpenampang lingkaran dengan kesalahan kecil, jika jejari a >>> dpd kedalam kulit. Resistansi pada frekuensi tinggi yang diikuti dengan jika jejari a >>> dpd kedalam kulit. Resistansi pada frekuensi tinggi yang diikuti dengan efek kulit dicari dengan meninjau lempengan selebar keliling lingkaran 2efek kulit dicari dengan meninjau lempengan selebar keliling lingkaran 2a dan tebalnya a dan tebalnya . Jadi,. Jadi,

R = L/(R = L/(S) = L/(2 S) = L/(2 a a )) (12).(12).

.)(1

4

1 2

0

LbJP

xL

Seutas kawat tembaga dengan penampang lingkaran jejari 1 mm dan Seutas kawat tembaga dengan penampang lingkaran jejari 1 mm dan panjangnya 1 km mempunyai resistansi arus searah sebesar,panjangnya 1 km mempunyai resistansi arus searah sebesar,

R = 10R = 1033/{/{101066(5,8 x 10(5,8 x 1077)} = 5,48 )} = 5,48 ..

Pada frekuensi 1 MHz kedalama kulitnya 0,0661 mm. Jadi Pada frekuensi 1 MHz kedalama kulitnya 0,0661 mm. Jadi <<<a, dan <<<a, dan resistansi pada frekuensi 1 MHz dapat dihitung dengan pers (12),resistansi pada frekuensi 1 MHz dapat dihitung dengan pers (12),

R = 103/{2 R = 103/{2 10 103 (3 (5,8 x 105,8 x 1077) (0,0661 x 10) (0,0661 x 1033) } = 41,5 ) } = 41,5 ..

Soal D 11.7. (hal. 425)Soal D 11.7. (hal. 425)

Sebuah konduktor berpenampang lingkaran dengan r = 2,5 mm, terbuat dari Sebuah konduktor berpenampang lingkaran dengan r = 2,5 mm, terbuat dari baja dgn baja dgn = 5,1 x 10 = 5,1 x 106 6 1/1//m dan /m dan R = 200. Jika panjang konduktor tsb 300 m R = 200. Jika panjang konduktor tsb 300 m dan arus totalnya I (t) = 1,5 cos (3 x 10dan arus totalnya I (t) = 1,5 cos (3 x 1044) t A, tentukan :) t A, tentukan :

a) kedalaman kulit; a) kedalaman kulit; b) resistansi efektif;b) resistansi efektif;

c) resistansi arus searah; c) resistansi arus searah; d) kerugian daya rata-2.d) kerugian daya rata-2.

Jawab : 0,228 mm; 16,42 Jawab : 0,228 mm; 16,42 ; 3,00 ; 3,00 ; 18,47 W.; 18,47 W.

PEMANTULAN GEL. DATAR SERBASAMA PEMANTULAN GEL. DATAR SERBASAMA

Untuk memecahkan persoalan praktis, kita pusatkan pada daerah yang ukurannya Untuk memecahkan persoalan praktis, kita pusatkan pada daerah yang ukurannya berhingga.berhingga.

Misalkan kita mempunyai komponen tunggal, daerah 1 (Misalkan kita mempunyai komponen tunggal, daerah 1 (1,1,ee1,1,1) untuk z < 0 dan 1) untuk z < 0 dan ((2,2,ee2,2,2) untuk z > 0. Mula-2 kita mempunyai gel yang menjalar dalam arah z+ dalam 2) untuk z > 0. Mula-2 kita mempunyai gel yang menjalar dalam arah z+ dalam daerah 1,daerah 1,

(1)(1)

Gelombang di atas disebut gel datang dalam daerah 1. Untuk gel yang datang pada daerah Gelombang di atas disebut gel datang dalam daerah 1. Untuk gel yang datang pada daerah 2,2,

(2).(2).

z

xys

z

xxseEHdaneEE 1

10

1

1

1

101

1

z

xys

z

xxseEHdaneEE 2

20

2

2

2

202

1

Daerah 11,e1,1

E1+, H1

+

Gelombang datang

E1+, H1

+

Gelombang pantul

Daerah 22,e2,2

E2+, H2

+

Gelombang transmisi

x

Z=0

Gelombang di atas disebut gel transmisi dan tetapan penjalaran Gelombang di atas disebut gel transmisi dan tetapan penjalaran 2 berbeda 2 berbeda juga dengan impedansi juga dengan impedansi 2. Untuk gel pantul,2. Untuk gel pantul,

(3)(3)

Pada z = 0,Pada z = 0,

(4)(4)

(5)(5)

(6)(6)

Kita dapatkan,Kita dapatkan,

(7).(7).

z

xys

z

xxseEHdaneEE 1

10

1

1

1

101

1

21121 xsxsxsxsxs

EEEatauEE

201010 xxx

EEEJadi

20

2

10

1

10

1

111xxx

EEE

12

12

1010

xxEE

Rasio amplitudo pantul terhadap amplitudo datang dari medan listrik disebut Rasio amplitudo pantul terhadap amplitudo datang dari medan listrik disebut koefisien pemantulan dan dinyatakan dengan koefisien pemantulan dan dinyatakan dengan (gama). (gama).

(8).(8).

Amplitudo relatif dari intensitas medan listrik yang diteruskan diperoleh sbb,Amplitudo relatif dari intensitas medan listrik yang diteruskan diperoleh sbb,

(9).(9).

Apabila daerah 1 sebagai dielektrik sempurna dan daerah 2 konduktor Apabila daerah 1 sebagai dielektrik sempurna dan daerah 2 konduktor sempurna, maka sempurna, maka 2 = 0 atau 2 = 0 atau = = 1 dan gel pantul mempunyai amplitudo sama 1 dan gel pantul mempunyai amplitudo sama dengan gel datang, tetapi tandanya berlawanan. Ini berarti,dengan gel datang, tetapi tandanya berlawanan. Ini berarti,

EExs1xs1 = E= Exs1xs1++ + E + Exs1xs1

= E= Ex10x10++ e ejj1z1z E Ex10x10

++ e ejj1z1z

12

12

10

10

x

x

E

E

12

2

10

202

x

x

E

E

Disini kita telah mengambil Disini kita telah mengambil 11 = 0 + j = 0 + j11 dalam dielektrik sempurna. Dengan dalam dielektrik sempurna. Dengan penyederhanaan kita peroleh,penyederhanaan kita peroleh,

EExs1xs1 = ( e= ( ejj1z1z e ejj1z1z ) E ) Ex10x10++

= = 2j sin 2j sin 11z Ez Ex10x10++

atau dengan mengalikannya dengan eatau dengan mengalikannya dengan e jjtt dan mengambil bagian nyata akhirnya dan mengambil bagian nyata akhirnya diperoleh,diperoleh,

EEx1x1 = 2 E= 2 Ex10x10++ sin sin 11z sin z sin tt (10).(10).

Medan total dalam daerah 1 bukan merupakan gel berjalan walau diperoleh Medan total dalam daerah 1 bukan merupakan gel berjalan walau diperoleh dengan mengkombinasikan dua gel berjalan (arahnya berlawanan). Lihat kita dengan mengkombinasikan dua gel berjalan (arahnya berlawanan). Lihat kita bentuk gelombang,bentuk gelombang,

EEx1x1++ = E= Ex10x10+ cos (+ cos (t t 11z )z ) (11).(11).

Kita lihat suku Kita lihat suku t t 11z atau z atau (t (t z/v z/v11) adalah gel berjalan dalam arah z dengan ) adalah gel berjalan dalam arah z dengan kecepatan vkecepatan v11= = //11. Dalam pers (9) waktu dan jarak merupakan suatu yang . Dalam pers (9) waktu dan jarak merupakan suatu yang terpisah.terpisah.

Pada setiap bidang yang memenuhi persamaan Pada setiap bidang yang memenuhi persamaan 1z= n1z= n, Ex1 menjadi nol , Ex1 menjadi nol untuk setiap waktu. Selanjutnya jika untuk setiap waktu. Selanjutnya jika t= nt= n, maka Ex1 menjadi nol untuk setiap , maka Ex1 menjadi nol untuk setiap titik. titik.

Medan yang dinyatakan dalam pers (9) disebut Medan yang dinyatakan dalam pers (9) disebut gelombang berdiri.gelombang berdiri.

HHys1ys1 = (E= (Ex10x10++ / /11) ( e) ( ejj1z1z + e + ejj1z1z ) atau ) atau

HHys1ys1 = 2 (E= 2 (Ex10x10++ / /11) cos ) cos 11z cos z cos tt (12).(12).

Ini juga Ini juga gelombang berdirigelombang berdiri, tetapi amplitudo max nya pada kedudukan E, tetapi amplitudo max nya pada kedudukan Ex10x10 = 0, = 0, juga berbeda fase waktu 90juga berbeda fase waktu 90 terhadap E terhadap Ex10x10 di setiap titik. di setiap titik.

Marilah kita tinjau dielektrik sempurna pada ke dua daerah 1 dan 2; Marilah kita tinjau dielektrik sempurna pada ke dua daerah 1 dan 2; 11 dan dan 22 merupakan bilangan positip nyata, serta merupakan bilangan positip nyata, serta 11 = = 22 = 0. Pers (8) memungkinkan = 0. Pers (8) memungkinkan untuk menghitung koefisien pemantulan dan mendapatkan Euntuk menghitung koefisien pemantulan dan mendapatkan E x1x1

dinyatakan dalam dinyatakan dalam amplitudo datang Eamplitudo datang Ex10x10+. Dengan mengetahui E+. Dengan mengetahui Ex1x1

++ dan E dan Ex1x1, kita peroleh H, kita peroleh Hy1y1

++ dan dan HHy1y1

..

Dalam daerah 2, EDalam daerah 2, Ex2x2++ diperoleh dari pers (9) dan besaran ini menentukan H diperoleh dari pers (9) dan besaran ini menentukan Hy2y2

++. . Sebagai contoh numerik, marilah kita pilih,Sebagai contoh numerik, marilah kita pilih,

11 = 300 = 300 dan dan 22 = 100 = 100 ; E; Ex10x10++ = 100 V/m. = 100 V/m.

Maka,Maka, = (100-300)/(100+300) = = (100-300)/(100+300) = 0,5. 0,5.

E Ex10x10 = = 50 V/m. 50 V/m.

Besar intensitas magnetiknya ialahBesar intensitas magnetiknya ialah

HHy10y10++ = 100/300 = 0,333 A/m.= 100/300 = 0,333 A/m.

HHy10y10 = = ( (50/300) = 0,167 A/m.50/300) = 0,167 A/m.

Kerapatan daya rata-2 gelombang datang ialah,Kerapatan daya rata-2 gelombang datang ialah,

PP1,av1,av++ = ½ E = ½ Ex10x10

++ H Hy10y10++ = 16,67 W/m = 16,67 W/m22

Sedangkan,Sedangkan, PP1,av1,av = = ½ E½ Ex10x10

H Hy10y10 = 4,17 W/m = 4,17 W/m22..

Dalam daerah 2,Dalam daerah 2, EEx20x20++ = [2 = [222/(/(11++22)] E)] Ex10x10

++ = 50 V/m = 50 V/m

dandan HHy20y20++ = 50/100 = 0,500 A/m. = 50/100 = 0,500 A/m.

Jadi,Jadi, PP2,av2,av++ = ½ E = ½ Ex20x20

++ H Hy20y20++ = 12,5 = 12,5 W/mW/m22..

Perhatikan bahwa energinya kekal :Perhatikan bahwa energinya kekal :

PP1,av1,av++ = P= P1,av1,av

+ P + P2,av2,av++

Dan juga bisa kita lihat, EDan juga bisa kita lihat, Ex10x10++ + E + Ex10x10

= E = Ex20x20++..

D11.8 (hal. 433)

Dalam daerah 1, y < 0, e1 = 10 pF/m, 1 = 2,5 H/m, dan 1 = 0. Untuk daerah 2, y > 0, e2 = 9 pF/m, 2 = 4 H/m, dan 2 = 0. Suatu GDS dalam daerah 1,

Exs1+ = 500 V/m menjalar ke arah perbatasan pada y = 0.

Jika = 108 rad/s, carilah :

a). Ez1+ (t);

b). medan magnetik datang sebagai fungsi vektor terhadap waktu; c). Ez1

(t); dan d). Ez2

+.

Jawab : 500 cos(108t 0,5y) V/m ; cos(108t 0,5y) ax A/m; 71,4 cos(108t + 0,5y) V/m ; 571,4 cos(108t 0,6 y) V/m.

RASIO GELOMBANG BERDIRI (RASIO GELOMBANG BERDIRI (STANDING WAVE RATIOSTANDING WAVE RATIO))

Salah satu pengukuran yang mudah dilakukan dalam sistem transmisi adalah amplitudo relatif dari intensitas medan listrik atau magnetik dengan menggunakan probe (penguar).

Suatu sosok penggandeng kecil dapat dipakai untuk mengukur amplitudo medan magnet, sedangkan seutas kabel sesumbu yang konduktor tengahnya agak menonjol keluar dapat mengukur medan listriknya. Kedua alat tersebut biasanya diselaraskan untuk bekerja pada frekuensi tertentu. Outputnya kemudian dihubungkan langsung dengan mikroameter.

Bila suatu GDS menjalar dalam daerah tak merugi dan tak terdapat gel pantul, pengukur akan menunjukkan amplitudo yang sama pada setiap titik. Medan sesaatnya akan berbeda fase (z2-z1) rad ketika probe bergerak dari z = z1 ke z= z2, tetapi sistemnya tidak peka thd fase medan tsb.

Karakteristik gel berjalan sangat bergantung kepada bahan yang dilaluinya. Keadaan paling rumit akan timbul apabila medan yang dipantulkan tidak nol atau tidak sama dengan 100% dari medan datang.

Untuk memulai menyelidiki rasio gel berdiri, maka kita mulai dengan gel medan Untuk memulai menyelidiki rasio gel berdiri, maka kita mulai dengan gel medan berikut,berikut,

EEx1x1 = E= Ex1x1++ + E + Ex1x1

Gelombang tegangan berdiri yang ditimbulkan dalam medium takmerugi oleh Gelombang tegangan berdiri yang ditimbulkan dalam medium takmerugi oleh pemantulan pada konduktor sempurna yang berubah menurut | sin pemantulan pada konduktor sempurna yang berubah menurut | sin z |.z |.

Medan EMedan Ex1x1 merupakan fungsi sinusoidal thd waktu (biasanya dengan sudut fase merupakan fungsi sinusoidal thd waktu (biasanya dengan sudut fase nol) dan besarnya berubah thd z. nol) dan besarnya berubah thd z.

Kita akan melihat gel amplitudo makasimum dan minimum dan menentukan Kita akan melihat gel amplitudo makasimum dan minimum dan menentukan rasionya. Kita sebut saja rasio gel berdiri dan dinyatakan dengan s.rasionya. Kita sebut saja rasio gel berdiri dan dinyatakan dengan s.

2|Ex10+ sinz|

-21 -31 -1 -1

2 2

|Ex1|

2 |Ex10+|

Konduktorsempurna

Kita lihat kasus daerah 1 dengan dielektrik sempurna, Kita lihat kasus daerah 1 dengan dielektrik sempurna, 11 = 0, tetapi daerah 2 = 0, tetapi daerah 2 boleh dari bahan apa saja. Kita peroleh,boleh dari bahan apa saja. Kita peroleh,

EExs1xs1++ = E = Ex10x10

++ e ejj1z1z dan E dan Exs1xs1 = = E Ex10x10

++ e ejj1z1z

dengan dengan = ( = (22 - - 11)/ ()/ (22 + + 11).).

11 bilangan nyata positif, tetapi bilangan nyata positif, tetapi 22 bilangan kompleks. bilangan kompleks.

Jadi Jadi dapat merupakan bilangan kompleks, dan kemungkinannya bisa, dapat merupakan bilangan kompleks, dan kemungkinannya bisa,

= | = || e| ejj..

Jika daerah 2 merupakan konduktor semp. ,Jika daerah 2 merupakan konduktor semp. ,= = ; jika ; jika 22 bil nyata dan < dari bil nyata dan < dari 11, , juga sama dengan juga sama dengan ; jika ; jika 22 dan > dari dan > dari 11, , sama dengan nol. Medan total sama dengan nol. Medan total dalam daerah 1,dalam daerah 1,

EExs1xs1++ = E = Ex10x10

++ { e { ejj1z1z + | + || e| ej(j(1z+1z+))} (1)} (1)

Kita cari harga max dan min besaran kompleks dalam tanda kurang. Kita dapat Kita cari harga max dan min besaran kompleks dalam tanda kurang. Kita dapat harga max jika masing-2 suku dalam tanda kurung memiliki sudut fasa yang harga max jika masing-2 suku dalam tanda kurung memiliki sudut fasa yang sama; jadi utk Ex10+ dan nyata,sama; jadi utk Ex10+ dan nyata,

EExs1,maxxs1,max = E = Ex10x10++ ( 1 + | ( 1 + ||) (2)|) (2)

Dan hal ini terjadi ketika,

-1z = 1z + + 2n (n=0, 1, 2,......), jadi

-1zmaks = /2 + n (3).

Perhatikan bahwa tegangan maks terletak pada bidang perbatasan (z=0) jika =0;selalnjutnya, =0 jika bilangan nyata dan +. Ini terjadi utk 2 dan 1 yang merupakan bilangan nyata jika 2 > 1.

Untuk keadaan minimum diperoleh apabila berbeda fase 180. Jadi,

Exs1,min = Ex10+ ( 1 ||) (4)

terjadi ketika, 1z = 1z + + 2n (n=0, 1, 2,......), atau

1zmin = /2 + /2 (5).

Untuk supaya lebih jelas, mari kita lihat sebuah gel dengan 100 V/m pada 3GHz yang merambat dalam bahan eR1 = 4, R1=1 dan =0. Gel tsb datang dalam arah normal pada bahan dielektrik sempurna dalam daerah 2, z>0 dimana eR2 = 9, R2 =1 (Lihat Gbr).

Kita hitung =6109 rad/s, 1=40 rad/m, dan 2= 60 rad/m. Walaupun panjang gel dalam udara 10 cm, kita dapatkan disini 1= 5 cm, 2=3,33 cm, 2= 2/3 1 dan = 0,2. Kita lihat 2 < 1 dan nyata, maka akan ada min medan listrik pada perbatasan dan akan terulanag pada ½ gel (2,5 cm) dalam dielektrik 1. Dari pers (4), maka Exs1,min = 80 V/m.

Maksimum E didapat pada jarak 1,25, 3,75, 6,25 dtst cm dari z=0. Semua maks mempunyai amplitudo 120 V/m seperti ditunjukkan pers (2).

Dalam daerah 2 tidak terdapat maks dan min karena daerah tsb tidak terdapat gel pantul.

eR1= 4,, R1=1, 1=0

Dielektrik 1

Exs1+=100e-j40z

Exs1-= -20ej40z

Z

eRz = 9,, R2= 1, 2= 0

Dielektrik 2

Exs2+= 80e-j60z

Rasio amplitudo maks tehadap min disebut rasio gel berdiri (standing wave ratio)

s = Exs1,maks /Exs1,min = (1 + ||)/(1 ||) (6).

Untuk contoh di atas s = 1,5.

Jika 2 =1, maka =0, dalam hal ini tak ada energi yang dipantulkan, dan s=1; amplitudo maks dan min menjadi sama.

Untuk selanjutnya, mari kita lihat, anggap daerah 1 sebagai bahan tak merugi, dan kita lihat rasio intensitas listrik dan megnetik total. Untuk gel berjalan kuantitasnya adalah 1 dimana tandanya bergantung pada arah penjalaran.

Walaupun demikian, pemantulan dari konduktor sempurna telah menunjukkan bahwa Walaupun demikian, pemantulan dari konduktor sempurna telah menunjukkan bahwa Exs1 atau Hys1 dapat berharga nol pada kedudukan tertentu, dan s nya dapat Exs1 atau Hys1 dapat berharga nol pada kedudukan tertentu, dan s nya dapat berubah-ubah. Medan total pada jarak tertentu, misal z= berubah-ubah. Medan total pada jarak tertentu, misal z= L, ialah, L, ialah,

EExs1xs1 = E = Ex10x10+ { ej+ { ej11L + L + eejj11L } L } (7)(7)

HHys1ys1 = (E = (Ex10x10+ /+ /11){ e){ ejj11LL eejj

11LL } } (8)(8)

Kita tuliskan rasio impedansi intrinsik masukan (input) Kita tuliskan rasio impedansi intrinsik masukan (input) inin, ,

inin= E= Exs1xs1/H/Hys1|z=ys1|z=LL==11{e{ejj1L1L++eejj1L1L}{e}{ejj1L1Leejj1L1L}} dan dapat disederhanakan menjadi,dan dapat disederhanakan menjadi,

in= = 11{{22+j+j11 tan ( tan (11L)} / {L)} / {11+j+j22 tan ( tan (11L)} L)} (9).(9).

Kalau Kalau 11 = = 22 maka maka inin = = 11 (tak ada pemantulan), disebut transmisi ini (tak ada pemantulan), disebut transmisi ini sepadansepadan. . Persamaan (9) akan terus dipakai dalam hal-2 selanjutnya.Persamaan (9) akan terus dipakai dalam hal-2 selanjutnya.

Lihat gambar berikut :Lihat gambar berikut :

o = 377

energi datang

in

1

Kubahradar

2 = 377 = o

-L 0

Misal daerah 1 dielektrik sempurna yang sangat tipis, agar anggapan kerugiannya dapat berlaku utk kasus ini. Dalam daerah 2, z>0, daerah ruang hampa yang kedalamnya sinyal radar disampaikan. Untuk menghindari pemantulan daya ke dalam antena, atau utk menyepadankan dengan dunia luar, kita ambil in=377. Karena 2 = 377 juga, kita peroleh,

377= 1{377+j1 tan (1L)} / {1+j377 tan (1L)} atau j3772 tan (1L)= j1

2 tan (1L)}. Karena 1<377 untuk bahan non-magnetik, kita dapat memenuhi pers di atas dengan 1L = n. Kubah radar yang paling tipis apabila 1L = atau L = 1/2. Jika frekuensi yang dipakai 10.000 Hz, maka kita bisa pilih plastik ringan dengan eR1=2,25 dan tebalnya kita pilih,

L =1/2= v1/2f1 =3x108/(22,25x1010) =102 m (1 cm).

Jika kubah radarnya setebal 0,5 cm, dapat dilihat bahwa in = 1,67 dan 14,8% dari daya akan dipantulkan.

D11.9 (hal 441)

GDS 4 GHz datang dalam arah normal dari daerah 1, z<0, eR1=5, R1=1, 1=0 ke daerah 2, z>0, eR2=2, R2=10, 2=0. Cari : a) s dalam daerah 1; b) s dalam daerah 2; c) in pada z = 0,6 cm.

Jawab: 5,00; 1,00; 86,961,8.

Saluran TransmisiSistem transmisi dapat berbentuk transmisi dan antena, register geser dan teras memori dalam komputer digital, PLTA dengan substationnya yang jauhnya beberapa mil, antena dan penerima, suatu saluran gramafon stereo dan masukan prapenguat.

Ada analogi langsung antara saluran transmisi serbasama (STS) dan GDS, karena dua-2 nya sama-2 gel elektromagnetik transversal. Artinya, E dan H keduanya tegak lurus pada arah penjalaran atau keduanya terletak pada bidang transversal.

Persamaan Saluran Transmisi

Model rangkaian terdiri dari induktansi, kapasitansi, konduktansi shunt dan resistansi seri yang berkaitan dengan unsur pertambahan panjang dari saluran transmisi.

Kita lihat pertama dengan saluran transmisi sesumbu (koaksial) yang berisi dielektrik yang mempunyai permeabilitas , permitivitas e dan konduktivitas .Dengan mengetahui frekuensi yang dipakai, maka dapat ditentukan harga R, G, L dan C dengan dasar per satuan panjang.

Marilah kita anggap arah penjalarannya ax, dan sekarang kita potong bagian sepanjang Dz yang berisi resistansi RDz, induktansi LDz, konduktansi GDz dan kapasitansi CDz, seperti gambar berikut,

Tegangan V antara konduktor pada umumnya merupakan fungsi z dan t, misalnya,

V = V0 cos (t z + ).

Dengan memakai teorema Euler,

V = Re V0 ej(t z + ) = Re V0 ej ejz ejt

Dengan menganulir Re dan menghilangkan exp(jt) kita mengalihkan bentuk tegangan menjadi sebuah fasor yang ditandai dengan s,

Vs = V0 exp(j ) exp(jz)

½ RDz ½ RDz½ LDz ½ LDzIs+

-

Vs+DVs

DIs

+

-

Vs

CDzGDz

Is+DIs

Sekarang kita tuliskan persamaan tegangan sepanjang tepi rangkaian pada gambar sebelumnya,

Vs = ( ½ RDz + j ½LDz ) Is + ( ½ RDz + j ½LDz ) (Is+D Is) + Vs + DVs

atau

DVs/Dz = (R + jL) Is (½ R + j ½L) DIs

Kita ambil Dz menuju nol, DIs juga menuju nol, dan seku ke dua sebelah kanan menjadi nol. Dalam limitnya

dVs/dz = (R + jL) Is (1).

DIs/Dz = (G + jC) Vs atau

dIs/dz = (G + jC) Vs (2).

Dari pers kurl Maxwell, dapat dituliskan bahwa

Es = Exs ax dan Hs = Hys ay merupakan fungsi dari z saja.

Maka dari Exs = Ex0 ez dapat kita peroleh

Vs = V0 ez (3)

yang menjalar dalam arah +z dengan amplitudo Vs = V0 pada z=0 (dan Vs = V0 pada z = 0, t = 0 untuk = 0).

Tetapan penjalaran untuk gelombang datar serbasama,

(4)

Panjang gel masih didefinisikan sebagai jarak yang bersesuaian dengan pergeseran fase 2 rad, sehingga

= 2/;v = /; (5 dan 6).

Persamaan di atas berlaku untuk GDS dan saluran transmisi serbasama (STS). Apabila saluran tanpa rugi (R = G = 0), dapat kita lihat,

= j = j (LC)1/2, jadi v = 1/(LC)1/2 (7).

menjadijj )( e

)()( CjGLjRj

Dari rumusan untuk intensitas medan magnetik

Hys = {(Ex0)/} exp(z), kita lihat Is = (V0/Z0) e(z) (8)

berkaitan dengan gelombang tegangan berjalan positif melalui impedansi karakteristik Z0 yang analog dengan . Karena = { j/(+je)}1/2, maka diperoleh,

(9).

Bila GDS dalam medium 1 tiba pada perbatasan dengan medium 2, fraksi dari gelombang datang yang dipantulkan disebut koefisien pemantulan ,

Jadi fraksi tegangan datang akan dipantulkan oleh saluran yang mempunyai impedansi karakteristik, Z02 ialah,

(10)

Maka rasio gelombang berdiri, s = (1+||)/(1||) (11).

CjG

LjRZ

0

12

12

0

0

x

x

E

E

0102

0102

0

0

ZZ

ZZ

V

V

Akhirnya, apabila = 2 untuk z>0, rasio Exs terhadap Hys pada z = L ialahin= 1{2+j1 tan (1L)}/{1+j2 tan (1L)}, jadi impedansi masukan (input) ialah,

Zin= Z01{Z02+jZ01 tan (1L)}/{Z01+jZ02 tan (1L)} (12)

yang merupakan rasio Vs terhadap Is pada z = L, bila Z0 = Z02 untuk z>0.

Kita sering mengakhiri saluran transmisi pada z=0 dengan impedansi ZL, biasanya pada antena. Impedansi masukan pada z = L dapat ditulis,

Zin= Z0{ZL+jZ0 tan (1L)}/{Z0+jZL tan (1L)} (13).

Kita akan memakai pers-2 di atas untuk mengenal dengan baik persoalan saluran transmisi setelah menentukan parameter R, G, L dan C yang tepat.

D12.1 (hal 456)

Seutas saluran transmisi bekerja pada = 108 rad/s mempunyai harga parameter sebagai berikut : R = 0,1 /m, L = 0,2 H/m dan G = 10 Mho/m dan C = 100 pF/m.Hitunglah : a) ; b) ; c) ; d) v; e) Z0.Jawaban : 1,342 m Np/m; 0,447 rad/m; 14,05 m;

2,24 x 108 m/s; 44,70,11

PARAMETER SALURAN TRANSMISI

a. Kapas/sat panjang : C ={2e}/{ln(b/a)} (1)b. Kond/sat panjang : G ={2}/{ln(b/a)} (2) c. Induk/sat panjang : Lekst ={/2}{ln(b/a)} (3)

Pers (3) berlaku frekuensi tinggi dan rendah dan efek kulit () sangat kecil, sehingga fluks yang ada di dalam konduktor dapat diabaikan. Untuk frekuensi sangat rendah, induktor dalam konduktor pusat adalah,

La,int = /8 H/m (4).

a

b

c

Konduktor(c)

Dielektrik(, e, )

a

b

c

Konduktor(c)

Dielektrik(, e, ) A. KABEL SESUMBU,

dengan jejari kabel dalam a dan kabel luar jejari dalam b dan jejari luar c. Medium dielektrik , e,

Persamaan (4) berguna untuk daerah frekuensi transmisi daya.

Energi yang tersimpan per sat panjang pada tabung luar yang berjejari-dalam dan luar b dan c serta arus yang terbagi serbasama ialah,

(5)

Jadi induktansi internal dari konduktor luar pada frekuensi yang sangat rendah ialah,

(6)

Pada frekuensi rendah, maka

(7)

Pers (7) dipakai untuk konduktor sesumbu dengan distribusi arus serbasama tanpa ada efek kulit yang cukup besar.

Pada frekuensi pertengahan, dan mengingat,

Hs = Is/2a; {Exs/Hxs}=a = (1+j1)/c d ;

atau {Exs/Is}=a = (1+j1)/2a c.

)}(ln4

3{)(16 22

422

22

2

b

c

bc

ccb

bc

IWH

)}(ln4

3{)(8 22

422

22int, b

c

bc

ccb

bcLbc

b

c

bc

ccb

bca

bLrendah ln

4

)(4

1

4

1ln

2 22

422

22

Besaran di atas merupakan impedansi per satuan panjang,

Z = R + jLint = (1/2ac) + (j/2ac).

Dengan demikian induktansi internal pada frek. tinggi untuk konduktor dalam,

(8).

Untuk konduktor-luar,

(9).

Jadi induktansi total pada frekuensi tinggi ialah,

(10).

)(42

1int, a

aaL

ca

)(42

1int, bc

bbL

cbc

),(11

2ln

2bca

baa

bLtinggi

Resistansi per satuan panjang,

(11),

bila terdapat efek kulit. Ini untuk resistansi internal dan untuk resistansi eksternal biasanya dipakai konduktansi per satuan panjang.

Dari seluruh uraian sebelumnya, maka impedansi karakteristiknya ialah,

(12).

B. DUA KAWAT, selanjutnya lihat gambar berikut:

),()11

(2

1bca

baR

c

)(ln2

10 a

b

C

LZ ekst

e

Dielektrik(,e,)

d

Konduktor (c)

Dielektrik(,e,)

d

Konduktor (c)

Kapasitansi adalah,

C = {e}/{cosh1 (d/2a)} (13)

atau C = {e}/ln (d/a) (a<<d) (14).

Induktansi eksternalnya,

Lekst = (/) cosh1 (d/2a) (15) atau Lekst = (/) ln (d/a) (a<<d) (16).

Induktansi total pada frekuensi tinggi ialah,

Ltinggi = (/) {/2a + cosh1 (d/2a)} (<<a) (17).

Resistansi per satuan panjang,

R = 1/(ac) (<<a) (18)

Konduktansinya diperoleh dari kapasitansi,G = {}/{cosh1 (d/2a)} (19).

Akhirnya impedansi karakteristiknya ialah,

(20).

C. DUA BIDANG DATAR SAMA, seperti gambar di bawah ini.

Kita anggap b <<d atau kita tinjau b dari suatu sistem yang lebih luas dan diperoleh,

C = (eb)/d (21) Lekst = (d/b) (22)

Ltotal = (d/b) + 2/(cb) = (d + ) /b (<<t) (23).

)2

(1 1

0 a

dCoshZ

e

b

t

t

d Konduktor (c) Dielektrik(,e,)

b

t

t

d Konduktor (c) Dielektrik(,e,)

Disini kita menganggap terjadinya efek kulit sedemikian sehingga <<t; t menyatakan tebal bidang datar tersebut. Demikian juga,

R = 2/(cb) dengan (<<t) (24)

G = b/d (25)

Z0 = (Lekst/C)1/2 = (/e)1/2 (d/b) (26).

D12.2 (hal 462)

Masing-masing saluran transmisi tanpa rugi berikut ini bekerja pada frekuensi 400 MHz dengan impedansi beban 100 . Dapat disumsikan bahwa bahan terbuat dari Aluminium dengan c = 3 x 107 Mho/m. Tentukan dan untuk masing-masing : a) sesumbu : a=0,5 mm, b=2,8 mm, eR= 3,1, R=1,0; b) dua kawat : a=0,5 mm, d=9,0 mm, eR= 5,0, R=3,1; c) bidang datar : d=0,2 mm, b=5,0 mm, eR= 2,2, R=1,0.

Jawaban : 42,6 cm dan 0,260; 33,5 cm dan 0,215; 50,6 cm dan 0,816.

D12.3 (hal 462)

Saluran transmisi sesumbu bekerja pada 400 MHz dengan a= 0,5 mm, b=2,8 mm, eR= 3,1, R=1; c=3x107 Mho/m, dan = 105 Mho/m.

Hitunglah :

a) induktansi per meter; b) tetapan atenuasi.

Jawaban : 0,364 H/m; 24,2 mNp/m.

0 introd. of electromagnetic

Design

Transcript of 0 introd. of electromagnetic