1

Васил Пенчев

ГЬОДЕЛ И АЙНЩАЙН: НЕПЪЛНОТА

СРЕЩУ САМОРЕФЕРЕНЦИАЛНИ ПРИЧИННОСТ И ИМПЛИКАТИВНОСТ

Racionalistic monism – Incompleteness and its “straightening” – Self-referential implicativeness – Conclusions for self-referential causality – The casus of «causa sui» − A new look at the hypothesis of “hidden parameters” – The “elementary” particles as “Ptolemaic cycles” – The spirit of Princeton and the idea of dualistic Pythagoreanism – What is the same? – The cognition of infinity – A problem: the power of the set of all Gödel insoluble statements

Рационалистичен монизъм – Непълнотата и нейното изправяне – Само-референциалната импликативност – Изводи за само-референциалната причинност – Казус с «causa sui» − Нов поглед към хипотезата за „скри-тите параметри“ − „Елементарните“ частици като “птоломеански цикли” − Принстънският дух от гледна точка на едно дуалистичното питагорейство – Кое е същото? – Познанието на безкрайното – Един проблем: мощността на множеството от всички неразрешими по Гьодел твърдения

И двамата велики учени са приютени в Принстънския „Институт за

перспективни изследвания”. Налице са множество свидетелства за срещите им,

обмен на мисли и приятелство (напр. Yourgrau 2006).

За нас обаче е по-важно да обърнем внимание на общността на тех-

ните интенции по някои проблеми.

Такава общност може да се обобщи най-грубо и като встъпление по

следния начин: рационалистичен монизъм; да се търси единна първооснова за

обяснение на света изобщо и за конкретните изучавани явления в частност.

Централна е важността на причинните връзки в физиката и съответните им им-

пликативни връзки в математиката. Изходната основа е крайното, логическото,

рационалното, а обратните членове в опозициите ‒ безкрайното, аритметично-

то, емпиричното са производни и играят подчинена роля. Така и за двамата,

съответно за Айнщайн − квантовата механика (Einstein, Podolsky, Rosen 1935), а

за Гьодел − аритметиката (Gödel 1931), e непълнa.

По-възрастният, Айнщайн е и по-краен: той се опитва „да поправи”

непълното, да разкрие скритата му пълнота, чрез изказване и доказване на хи-

потезата за „скритите параметри”. Той сякаш има и повече основания.

2

-функцията зависи от половината променливи в сравнение с аналогичната

функция на състоянието в класическата физика (v. Neumann 1932: 107-108).

Къде са останалите? Какво е станало с тях? Разширяването на човешкото зна-

ние в случая на квантовата механика изглежда като намаляване.

По-младият, Гьодел е и по-умерен. Не се стреми „да поправи” аритме-

тиката в прокрустовото ложе на логиката. Не гледа на неизводимите твърдения

като на скрити аксиоми или като на изводими от такива.

Във връзка с това може би е уместно известно разяснение. Поради

съществуването на неизводими твърдения съответната аксиоматика не престава

да бъде пълна, нито пък става противоречива. Нейната пълнота и непротиворе-

чивост се състои в това, че за всички изводими твърдения от нея се извеждат

или те, или техните отрицания. Така пълнотата в математически смисъл не за-

сяга изобщо и по принцип въпроса за неизводимите твърдения. Пълнотата не

означава изводимост на всички синтактично правилно построени твърдения в

дадена аксиоматика (разбира се, или на тях, или на техните отрицания).

След узнаването на фундаменталния резултат на Гьодел се откриват

редица твърдения, неизводими в конкретни аксиоматики, покриващи изисква-

нията на Гьоделовата теорема за непълнотата. Може би най-известното сред

тях е континуум-хипотезата, предложена още от Кантор, която в един от своите

най-опростени варианти на формулировка гласи, че между мощността на цели-

те числа и тази на континуума няма друга мощност. Както то, така и неговото

отрицание е съвместимо с аксиомите на теорията на множествата (Gödel 1940;

Cohen 1963, 1964, Коэн 1969) в смисъл, че добавянето им не води до противо-

речие.

Как обаче стои въпросът с пълнотата? Несъмнено има твърдения, за-

висими от хипотезата за континуума и които, както и самата тя, не могат да бъ-

дат изведени (нито техните отрицания) от аксиомите на теорията на множест-

вата. По отношение на какво да преценяваме пълнотата? По отношение на

всички синтактично правилни твърдения в дадената аксиоматика, или само по

отношение на онези от тях, които следват от себе си: тъй като по силата теоре-

мата на Мартин Льоб (Löb 1955), ако те следват от собствената доказуемост,

следва, че са изводими.

3

Отговорът зависи от определението, което даваме на пълнота. Съ-

щественото е да се разграничат и да не се смесва пълнотата в смисъла на

Гьодел (Gödel 1930), да я наречем в синтактичен смисъл, с пълнота в смисъла

на теоремата на Льоб.

Такова или може би по-скоро аналогично разграничение на понятието

за пълнота може съществено да помогне в изясняване на аргументите на при-

вържениците на хипотезата за „скритите параметри” в квантовата механика.

Например, бихме могли да се опитаме да формулираме едно „льобовско” твър-

дение във физиката: ако нещо е причина на самото себе си, то необходимо се

причинява от други неща. Любопитна е разликата в двата подхода, логическия

и физическия:

Докато теоремата на Льоб обсъжда доказуемостта, с други думи,

следването от себе си в определен контекст, то причинността се разглежда не-

зависимо от всякакъв контекст.

На тази основа хипотезата за скритите параметри се изказва вече по

нов начин: всяко нещо е причина на самото себе си. Внимателното вглеждане в

това твърдение показва, че то има метафизичен, в смисъла на Попър, т.е. не-

фалшифицируем характер, който първоначално ще илюстрираме чрез неговия

аналог в логиката: всяко твърдение следва от себе си. За да не следва едно

твърдение от себе си, т.е. тази импликация да не е валидна, първо трябва да е

налице твърдението като предпоставка, но, второ, да отсъства като следствие.

Тази ситуация се забранява обаче от явното или предразсъдъчното определе-

ние на твърдение, сякаш интуитивно разбираемо като известно постоянство.

Със съзнателното или несъзнателно приемане на такова постоянство фалшифи-

цируемостта на твърдението „всяко твърдение следва от себе си” се изключва и

то се превръща в метафизика в един попъровски смисъл или в идеология (в

смисъла, че една частна позиция, в случая тази на „постоянстващите твърде-

ния” се приема зà или замества универсалната, в случая на всички, т.е. и на

постоянстващите, и на променливите твърдения).

Вече пренесено във физиката, това означава, че не всички неща са

причина на самите себе си, а само запазващите се, т.е. за тези, за които е ва-

лиден законът за запазване на енергията. Законът за запазване на енергията в

4

обичайната квантова механика играе фундаментална роля, заедно с универсал-

ното време на макроуреда, валидно и за квантовия обект. Той позволява да се

отговори на въпроса, кое е същото, когато преминаваме от „гледната точка” на

макроуреда към тази на квантовия обект. Ако ние се откажем от него, въпросът

‒ „Кое е същото?” ‒ престава да бъде тривиален и дори може да няма никакъв,

в т.ч. и нетривиален отговор.

Това – от една страна, от друга обаче, такъв отказ, вероятно под

формата на обобщение на закона за запазване на енергията, би ни позволило

да „сверим часовника си” с реалното положение във физиката, където изглежда

има неща, които не са причина на себе си, тъй като са в състояние да изчезват

или да се появяват без друга причина, т.е. от само себе си, и следователно в

нарушение на закона за запазване на енергията, евентуално обаче в съответ-

ствие с по-общ закон.

Разширената аналогия, която построихме, позволява също така да се

види скритата „метафизика” и „идеология” в твърдението „Всички неща са при-

чина на самите себе си”, поне що се отнася до квантовата механика и при нап-

равените уточнения. Законът за запазване на енергията се постулира, чрез кое-

то квантовият свят ни се привижда в зашеметяващи по своята сложност „пто-

ломеански епицикли” от уж „елементарни” (!?) частици. Целият свят, всичко

трябва да се „върти около земята” в случая около макроуреда, чиято частна

гледна точка се универсализира като една „идеология”, която може да се наре-

че идеология на макросвета, чиято първичност обаче е скрит антропоцентри-

зъм, тъй като произтича от може би по-скоро случайния факт, че е „когнитивна-

та ниша”, в която е възникнал човешкият интелект. Заедно с това, метафизично

нейното фалшифициране се оказва забранено по силата на едно сякаш „скан-

диране” и донякъде „втълпяване” на закона за запазване на енергията.

Ако обаче се откажем от тази безвъпросно „ясна” централност на

макроуреда и на емпиричността, ако си позволим „коперникански преврат” и в

квантовата механика, при което водеща позиция да придобие квантовият обект,

вероятно в двете обличия и на микрообект, и на вселена, чието единство се

скрепя от цялостността, от холизма, то изглежда птоломеански сложната кар-

тина на нашето познание за квантовия свят рязко ще се опрости, ще придобие

5

простота и естественост. При това обаче следва да се отхвърлят привидно тол-

кова очевидните закон за запазване на енергията и универсално време на мак-

роуреда: това би била вече една неунитарна квантова механика. Постоянство-

то на квантовия обект, идеологическата „универсалност” на макросвета и из-

ключителната простота на времето са трите свързани илюзии, от които следва

да се откажем.

Гьодел и Айнщайн, а чрез тях и „Принстънският дух”, присъщ не не-

пременно на Принстън, се оказват свързани не само от едно осъвременено пи-

тагорейство, което сме склонни с охота да приемем, но и от известна специ-

фична едностранчивост, която се опитахме бегло да скицираме. Тя може да се

нарече, преди всичко за да се обозначи, метафизична идеология на крайността,

която се опитва не да търси равновесие или сътрудничество с безкрайността, а

към подчинението на последната, но по този начин и с това ‒ оставайки в рам-

ките единствено на своето подчинение.

Бегло ще докоснем някои въпроси, междинни с философия на мате-

матиката. Платонизмът или реализмът в математиката настояват за съществу-

ването на математическите обекти. Добре известно е, че оригиналното учение

на Платон, а впоследствие и неоплатонизмът изпитват силно въздействие или

дори възникват под влияние на древното питагорейство, което остава в същес-

твена степен сакрализирана и мистична доктрина. Следователно на реализма в

математиката може ‒ чрез посредничеството на Платоновото учение ‒ да се

гледа и като на едно смекчено, профанизирано, опортюнистично, но заедно с

това и универсализирано питагорейство.

Ако се опитваме да подходим към „Принстънския дух” в качеството му

на своеобразно неопитагорейство, това напомня подобно смекчаване, постига-

но, както в оригиналния платонизъм чрез удвояване. Специфичното, идващо

може би от „Копенхагенската интерпретация” на квантовата механика е, че

двете същности се уравновесяват, което не може да се постигне чрез винаги

несъвършеното отражение, при което една от двете доминира, а чрез принципа

на допълнителността, при който двете същности взаимно се заместват, бидейки

и винаги оставайки еднакво необходими ‒ дуални.

6

При това обаче, заставайки на собствено философска и следователно

универсалистка позиция, не може да не отбележим, че макар и дуалистична,

неопитагорейската доктрина на квантовата информация не преодолява, по-

скоро трансформира или дори „сублимира” току-що споменатата „Принстънска

едностранчивост”. Така за нея и двете равноправни, дуални същности остават

собствено и чисто математически: крайното число и безкрайното, мислено до

голяма степен по подобие на крайното, обединени в -функцията, разбрана

като своеобразна бройна система с комплексни крайни цифри и безкрайна има-

гинерна основа. Освен това някак си просто има (незнайно защо) също така и

фундаментални константи, които осигуряват превод на числовото на „езика на

материята”, при което се повтаря, може би, трансформираният, „сублимиран”,

„преобърнат” превод на безкрайното на езика на крайното.

Същественото в случая е не толкова „самокритиката” ‒ по-скоро не

повече от това да улеснява възприемането на възгледа, ‒ колкото артикулира-

нето на специфичните напрежения и оттук на проблемите, които именно той

поставя или ще поставя:

1. Фундаменталните константи. Дали някои от тях, или всички те мо-

гат да се обосноват собствено математически. Само да споменем, че тези, които

са най-близко до настоящото разглеждане ‒ константата на Планк и на скорост-

та на светлината във вакуум ‒ се разцепват на две величини (например съот-

ветно: разстояние и импулс; разстояние и време) по обратен начин: чрез тяхно-

то умножение – деление.

2. Материалният свят. Дали той съдържа и собствена несводима към

чисто математическото и безразмерното същност, която по този начин да огра-

ничава неопитагорейското нашествие на квантовата информация в донякъде

повтарящия се и частично запазващ се свят, който познаваме.

3. Познанието на безкрайното. Имаме ли друг, непосредствен път за

неговото познание освен косвения по подобие на крайното, при което някои

свойства на последното се абстрахират и въдворяват в безкрайното, в някаква

степен насилствено (или с други думи, конвенционално) му се вменяват. Впо-

следствие обратното движение на едно „разкаяние”, което ги привижда като

„отразени” от безкрайното (с това наподобявайки един класически ход на ми-

7

сълта за възвръщането на абстрахираните свойства на материалното обратно в

него самото като отразени от идеалното), навежда към представа за безкрайно-

то, или по-общо – за другата същност, просто като огледало, което позволява

първата същност да се появи като ейдос, идея, т.е. в обличието на втора същ-

ност. Всъщност не става ли дума за не повече от рефлексия: нещо и неговото

виждане като цяло, като едно, като негов облик, цялост?

Нека накрая завършим с едно специфично напрежение, обаче допус-

кащо съществено напредване по посока на конкретен отговор, а именно със съ-

ображения и опит за оценка на броя (кардиналното число на множеството) на

гьоделово неразрешими твърдения, което е в пряка връзка с направеното фи-

лософско обсъждане на причинността, запазването, както и с този на състояни-

ята АПР (сдвоените състояния). Грубо казано, дали и в двата случая става дума

за екзотично явление, което без особена загуба може да се пренебрегне или

точно напротив, за общия случай, спрямо който обхватът на всички явления,

разглеждани досега от логиката (респ. математиката) или физиката, представ-

лява граничен и дори пренебрежим частен случай.

ЛИТЕРАТУРА:

Cohen, P. 1963. The Independence of the Continuum Hypothesis. – Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 50, No 6, (15 December) 1143-1148.

Cohen, P. 1964. The Independence of the Continuum Hypothesis, II. – Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 51, No 1 (15 January, 1964), 105–110.

Einstein, A., B. Podolsky and N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical

Reality Be Considered Complete? ‒ Physical Review, 1935, 47, 777-780; http://www.phys.uu.nl/

~stiefelh/epr_latex.pdf . (А. Эйнштейн, Б. Подолски, Н. Розен. 1936. Можно ли считать, что кван-

тово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физических

наук. T. XVI, № 4, 440-446 – http://ufn.ru/ufn36/ufn36_4/Russian/r364_b.pdf .)

Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. – Monatshefte der

Mathematik und Physik. Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edi-

tion: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Col-

lected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒

Oxford, 1986, 103-123.)

Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Sys-

teme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilin-

gual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathemat-

ica and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford:

University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.)

8

Gödel, K. 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-

Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton: University Press. (Collected Works, vol. II, New

York, Oxford: University Press, 1990, pp. 33-101.)

Löb, M. 1955. Solution of a problem of Leon Henkin. ‒ The Journal of Symbolic Logic. Vol. 20, No 2,

115-118.

v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius

Springer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: Uni-

versity Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Нау-

ка”.)

Yourgrau, P. 2006. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. New York:

Perseus Books Group.

Коэн, П. 1969. Теория множеств и континуум-гипотеза. Москва: Наука.