Post on 12-Jul-2015
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela Ing. Civil (42)
La transformada de Laplace es
nombrado por el matemático y
astrónomo Pierre - Simón Laplace,
quien utilizó una transformación
similar en su trabajo sobre la teoría
de la probabilidad. El actual uso
generalizado de la transformación
se produjo poco después de la
Segunda Guerra Mundial a pesar de
que se había utilizado en el siglo 19
por Abel, Lerch, Heaviside y
Bromwich. La historia anterior de
transformaciones similares es el
siguiente. Desde 1744, Leonhard
Euler investigó integrales de la
forma
Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces la integral
Se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la
integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el
resultado es una función de s. Esta transformada integral
tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el
análisis de sistemas lineales.
Es un método operacional que puede usarse para
resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones sinodales, amortiguadas y
exponenciales se pueden convertir en funciones
algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e
integración, por operaciones algebraicas en el plano
complejo de la variable S.
Permite usar técnicas gráficas para predecir el
funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver
el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
Las transformadas de Laplace sirven para
transferir ecuaciones diferenciales hacia un
dominio (dominio de Laplace) donde estas resultan
ser operaciones simples.
En síntesis una transformada de Laplace te sirve
para resolver fácilmente una ecuación diferencial.
Por ello se pueden aplicar en cualquier materia
en la que haya que resolver dichas ecuaciones.
En ingeniería La transformada de Laplace tienen
especial importancia por que se usa principalmente
en teoría de control clásico, donde las ecuaciones
diferenciales de un sistema lineal, se transforman en
ecuaciones algebraicas.
Estas funciones de transferencia se expresan en el
dominio de Laplace porque es mucho más fácil operar
en este dominio y predecir cómo se va a comportar el
elemento en cuestión
Separación de Fracciones
Primer Teorema de Traslación
Fracciones Parciales
Segundo Teorema de Traslación
Convolución
La Transformada inversa de una función en s,
digamos F(s) es una función de t cuya transformada
es precisamente F(s), es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
La transformada de Laplace se distribuye sobre
las sumas o restas y saca constantes que
multiplican.
Donde
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
Si se conoce la transformada de Laplace de una
función f (t), el valor inicial de dicha función puede
obtenerse multiplicando F(s) por s y hacer
que :
Si se conoce la transformada de Laplace de una
función f (t), el valor final de dicha función puede
obtenerse multiplicando f (s) por s y hacer que :
Siempre y cuando exista
(que crece más rápido que no pueden
ser obtenidas por Laplace, ya que es una
función de orden exponencial de ángulos.
Sean f, g € E y definamos f(t) = g(t) = 0 para todo
t < 0. Se define la convolución de f y g como la
función
Puede verse con el cambio de variable y = t – s
que f * g =g * f.
La función Escalón Unitario en a es la función
simbolizada como ó y definida como:
Es decir, es una función que vale 0 y justo en
después del instante t=a la función se activa y su valor
cambia a uno. El efecto es el de un switch que está
abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente
forma:
El resultado depende
del hecho de
, para ó