Cap 9 Transformada de Laplace

395

CAPÍTULO 9

Transformada de Laplace

9.1. Definición del problema

Para evitar repeticiones asumimos que th tg tf ,, son funciones reales definidas para t en el

intervalo ,0 .

La transformada de Laplace se denota con el símbolo L y se aplica a funciones reales de variable1 real, por lo

tanto, tfL 2 es la transformada de Laplace aplicada a la función tf . Una diferencia del operador de

Laplace con respecto a otros, como la derivada y la integral, es que tfL es función de otra variable que

denotamos con la letra s . También se utilizan sF , sG , etc. para denotar a tfL , tgL , etc.

Lo expuesto en el párrafo anterior se resume en siguiente diagrama:

sFtfL

Utilizaremos la transformada de Laplace para transformar una ecuación diferencial o integro diferencial con coeficientes constantes, en una ecuación algebraica simple de resolver utilizando el álgebra elemental y desde su solución obtener la solución de la ecuación original. El algoritmo para esto consiste de pasos:

1. A la ecuación diferencial o integro diferencial en la incógnita tf le aplica la transformada de Laplace,

las propiedades de la transformada permiten eliminar las derivadas e integrales de tal forma que resulta

una ecuación algebraica con incógnita sF .

2. Utilizando álgebra elemental despeja sF .

3. A sF le aplica la inversa de la transformada de Laplace y obtiene la solución tf de la ecuación

original. Es decir sFtf 1L .

Asumimos que la inversa 1L de la transformada de Laplace existe

3 y la llamaremos transformada inversa. Y

está determinada por las propiedades fundamentales:

tfsF1L y

sFtfL

1 Se puede aplicar a funciones reales de n varia variables, manteniendo 1n fijas

2 como analogía “el operador D derivada ordinaria” asocia a cada función f (t) otra función D( f (t))3 “Casi por doquier”, concepto que puede consultar en [2] de la bibliografía

396 Transformada de Laplace

Lo anterior se ilustra en el siguiente diagrama:

sFtf

1L

L

La transformada de Laplace también es útil para transformar una ED parcial con coeficientes constantes en una ED ordinaria con coeficientes constantes.

Expondremos la teoría de la transformada de Laplace en el siguiente orden:

Definición de transformada de Laplace (omitiendo los aspectos teóricos formales sobre su existencia).

Construcción de una tabla con la transformada de Laplace de funciones básicas.

Linealidad de la transformada de Laplace.

Otras propiedades.

Aplicación de la transformada de Laplace a solución de ecuaciones diferenciales e integro diferenciales.

Aplicación de la transformada de Laplace a solución de SED.

De aquí en adelante la palabra “transformada” se refiere a la “transformada de Laplace”.

9.2. Límites al infinito ( t )

La definición de la transformada de Laplace requiere del cálculo de límites al infinito, específicamente de:

stt

st

t e

tftfe limlim

s es una variable independiente de t y su rango se determina en el proceso de cálculo del límite y por lo

general se debe tomar 0s para que el límite exista.

Los siguientes teoremas proveen dos herramientas importantes para el cálculo de límites al infinito.

Teorema 9.1 Regla de L´Hôpital-Bernoulli

Dadas:

gf , derivables en ,0 o cualquier otro intervalo con el extremo derecho .

tg

tf

tlim es una de las formas indeterminadas

00

ó .

tg

tf

tlim existe.

Entoncestg

tf

tg

tf

ttlimlim

Transformada de Laplace 397

Teorema 9.2

Si tgtf para todo 0t tgtfttlimlim

La transformada tf requiere de stt

st

t e

tftfe limlim , por esta razón nos limitamos a esas formas.

Ejemplos 9.1

Determinar los valores de s para cuales existe el límite stt

st

t e

tftfe limlim y calcularlo.

1. Función constante Ctf , C es constante.

Si 0tf para todo 0t entonces 00lim0

limlimtstt

st

t etfe para todo s .

Si 0tf para algún 0t considera casos:

0s entonces CCtfet

st

tlimlim

0s entonces st

t

st

teCtfe limlim , el signo debe coincidir con el C

0s entonces 0limlimstt

st

t e

Ctfe

2. Función identidad ttf

Si 0s , por cálculo directo st

t

st

ttetfe limlim

Si 0s , por cálculo directo ttfet

st

tlimlim

Si 0s , por L´Hôpital 01

limlimlim0

' stt

s

HopitalLstt

st

t see

ttfe

Concluye que 0s el 0lim tfe st

t y son los únicos casos en que existe

3. 122 tttf

Si 0s , por cálculo directo obtiene 12lim 2 tte st

t


Si 0s , por cálculo directo obtiene 12lim 2

1

tte st

t

Si 0s , aplica L´Hôpital en stt

st

t e

tttfe

12limlim

2

stt se

t 22lim

(y otra vez L´Hôpital) 02

lim2 stt es

Concluye que 0s el 0lim tfe st

t y son los únicos casos en que existe

4. Función potencial bttf , b

Para nb y

0s , después de aplicar L’Hopital n veces obtiene 0121

limlimstntst

n

t es

nn

e

t

0s , por cálculo directo n

tst

n

tt

e

tlimlim

0s , por cálculo directo stn

tst

n

tet

e

tlimlim

Para nb entero negativo y

0s entonces 01

limlimstntst

n

t ete

t

0s entonces 01

limlimntst

n

t te

t

0s entonces

0

0

limst

n

t e

tstnt es

nn 121lim st

tne

s

nlim

!

Si b es positivo no entero, tome 1bentera partem , note que 0bmbm y


0s aplica m veces L’Hôpital a st

b

t e

tlim

stm

mb

t es

tmbbb 11lim

011

limstmbmt est

mbbb

0s , por cálculo directo obtiene b

tst

b

tt

e

tlimlim

0s , por cálculo directo obtiene stb

tst

b

tet

e

tlimlim

Si b es negativo no entero, se deja de ejercicio

5. Función exponencial a etf at ,

Con álgebra elemental tastst

at

tstt ee

e

e

tf 1limlimlim el resto depende del signo de as :

Si as entonces 01

limtast e

Si as entonces 11

limtast e

Si as entonces tsa

ttaste

elim

1lim

6. bttf cos , para b constante real.

Elstt e

btcoslim no es forma indeterminada, entonces L’Hôpital no es aplicable; sin embargo, btcos

tiene la siguiente propiedad utilizada con frecuencia:

1cos1 bt , 0tststst ee

bt

e

1cos1 porqué ts est ,,0

Si 0s ,

00

1lim

coslim

1lim

sttsttstt ee

bt

e

0cos

lim0stt e

bt

0cos

limstt e

bt


Este resultado se aprecia en el siguiente trazo de la gráfica de bteth st cos :

El cálculo del límite para 0s y 0s se dejan como ejercicios

Ejercicios 9.1

Suponga cb a ,. . Para cada una de las siguientes funciones f calcule stt

st

t e

tftfe limlim

1. cttf para el caso 0c no entero. R.

0

00

00

lim

s

s

s

te cst

tsi

si

si

2. bttf cos para 0s y 0s R. bte st

tcoslim no existe para 0s

3. btetf at sin , as . Sugerencia 1sin1 bt R. 0sin

limst

at

t e

bte

4. btettf atc sin , as . Sugerencia 1sin1 bt R. 0sin

limst

atc

t e

btet

5.2tetf R.

2lim teste

t, s


9.3. Función gamma de Euler Función escalón unitario de Heaviside Función delta de Dirac

Las funciones gamma de Euler, escalón unitario de Heaviside y delta de Dirac forman parte del repertorio de funciones que aparecen en varias aplicaciones en ingenierías; estas funciones resultan ser importantes para idealizar algunos comportamientos en mecánica, eléctrica, etc. Los lectores interesados en otras aplicaciones pueden omitir esta sección.

9.3.1. Función gamma de Euler

Definición 9.1 Función gamma de Euler

La función gamma 0,1,: está definida por:

0

1dttex xt, si 0x

x

xx

1 , si 0x , x no entero

Ejemplo 9.2

Para 2x resulta

0

2 dtte t. Aplique las partes tt evdtedv

dtdu tu y obtenga

Resulta 2

00

dtete tt0lim t

tte

e

t1

Ejercicio 9.2

Comprobar que 11 y 23 (no todas las imágenes x son enteros)

Teorema 9.3 Propiedades de la función gamma

Para todo número real x no cero ni entero negativo se cumplen:

PG1 x está definida

PG2x

xx

1

PG3 ! nn 1 para todo n y 1n


El siguiente resultado se puede comprobar utilizando integrales múltiples, con el se pueden calcular otros valores de la función gamma de Euler:

mdue mu

21

0

2, para cada m

En particular con 1m obtiene: 21

0

2due u

Ejemplo 9.3

Utilicemos el resultado anterior para calcular 21 y

21

Para21x utilizamos la definición por integral

021 2

1

dtte t

La presencia de 21

t no permite aplicar integración por partes. Considere el cambio de variables:

ududtut 22 y

ut

u t

si

si 00

Y aplíquelo a

021 2

1

dtte t

00

1

21

2222 dueuduue uu

Para21x utilizamos la definición por recursividad

x

xx

1

2

1 221

2

1

2

1

2

1

Ejercicios 9.3

1. Comprobar que 21

23

utilizando la definición por integral y la recursividad del teorema 9.2

2. Demostrar que para todo n y 1n se cumple ! nn 1


9.3.2. Función escalón unitario de Heaviside

Definición 9.2 Función escalón unitario o de Heaviside

Para cada constante real a definimos una función escalón o salto unitario de Heaviside como:

at

attua

si

si

1

0

También denotamos la función tua con atu y atH . En esta obra suponemos 0a .

Los siguientes límites muestran el comportamiento de au en los extremos del dominio y en at :

00limlimat

aat

tu , si 0a este límite por la izquierda no se considera.

11limlimat

aat

tu

11limlimt

at

tu

Calculemos la derivada de au .

Para at , 0tua entonces 0dt

tud a

Para at , 1tua entonces 0dt

tud a

En a debemos recurrir a la definición de derivada debido al salto que tiene la función de Heaviside:

at

tu

at

autu

dt

aud a

at

aa

at

a 1limlim

1

Y calcula los límites laterales: 011

lim1

limatat

tu

atat

a

atat

atat

tu

atat

a

atat

1lim

1lim

Concluimos que at

at

dt

tud a

siexiste no

si0. El trazo de la gráfica de la derivada de la escalón unitaria

es una recta coincidente con el eje t , salvo en at que no existe.


Las funciones de Heaviside son elementales, su importancia radica en que señales analógicas y digitales se escriben en términos de ellas. En general cualquier función se escribe en términos de las funciones escalón. Para aclarar esto empecemos con la interpretación de la resta de funciones escalón que básicamente es una resta de ceros y unos.

La resta tutu ba para ba

Para determinar tutu ba se consideran tres casos: at , bta y tb . En cada caso calcula

tutu ba . Esta se puede obtener colocando la gráfica de tua sobre la de tub y en cada uno de los

tres intervalos, hace la resta como se ilustra en la figura, la flecha hacia abajo indica sustraer tub de tua .

Desde la última figura puede concluir que

tb

bta

at

tutu ba

si

si

si

0

1

0

Desde el punto de vista analítico escribimos el dominio ,0 como ,,,0 bbaa y estudiamos la

resta tutu ba por subintervalos como se muestra a continuación:

Si at entonces 0

00

tutu ba

Si bta entonces 1

01

tutu ba

Si tb entonces 0

11

tutu ba

Reúne los resultados anteriores y nuevamente

tb

bta

at

tutu ba

si

si

si

0

1

0


La multiplicación tftua

El resultado de multiplicar una función tf por tua se deduce de la siguiente figura, las flechas indican los

respectivos valores tua y tf que se multiplican para obtener la tercera gráfica de tftua :

Desde la figura puede concluir attf

attftua

si

si0

Para obtener el resultado anterior por medios analíticos divida el dominio en dos intervalos como sigue.

Para at se tiene 00 tftftua

Para at se tiene tftftftua 1

Esto se resume attf

at tftua

si

si0)()(

Como aplicación suponga que tf es una fuerza que actúa sobre un sistema físico, entonces tftua

es nula para at y para at es tf . Entonces tftua representa la misma fuerza tf , solo que

actúa sobre el sistema para at .

La multiplicación tftutu ba

El resultado de multiplicar cualquier función f por la diferencia ba uu , para ba , se obtiene de forma

similar a los anteriores: tutu ba y tftua :


Interprete la gráfica y concluya que:

bt

btatf

at

tftutu ba

si

si

si

0

0

Teorema fundamental: toda función se escribe en términos de escalón unitario Todos los resultados obtenidos sobre multiplicación de funciones de Heaviside por otras, se combinan para formular el siguiente teorema que enuncia la forma de escribir cualquier función, cuya demostración se basa en series telescópicas y la dejamos al lector. Utilizaremos este resultado para escribir cualquier función definida a trozos como combinación de las funciones escalón unitario, lo que facilitará el cálculo de transformadas de Laplace utilizando fórmulas y no la definición, que suele ser muy laboriosa para ese tipo de funciones.

Teorema 9.4

Sea ,, 1,0 aa P cualquier partición de ,0 , entonces cada función tf para 0t se escribe:

tftututftututftututf aaaa

n

aa nn 211010

Ejemplo 9.4

Escribamos la función f de la figura como combinación de las funciones escalón unitario:

El segmento de recta que pasa por 2,2 y 0,4 tiene ecuación: ttf 4

La parábola que corta al eje t en 41t y en 62t tiene ecuación 64 ttatf

Y para que 1,5 pertenezca a la parábola debe cumplir 65451 a

Despeje 1a y concluya que la parábola tiene ecuación 64 tttf

Por lo tanto, la función en la figura tiene ecuación:

tsi

tsitt

tsit

tsit

tf

60

6464

424

20sin

Entonces 644sin 644220 ttuutuutuutf

Observe como coinciden los subíndices de las funciones escalón con los extremos del respectivo intervalo.

Se tiene 10 tu porque da el salto en cero y para todo 0t es uno, utilice esto y agrupe semejantes para

concluir que 2410209sin4sin 26

242 ttuttuttuttf


En la anterior y en adelante escribiremos au para referirnos a tua . Además, se asume que 0tu

Ejemplos 9.5

Trace la gráfica y escriba una ecuación para la función dada en cada ejemplo.

1. tutu 85

Si 5t entonces 00085 tutu

Si 85 t entonces 10185 tutu

Si t8 entonces 01185 tutu

Entonces

tsi

tsi

tsi

tutu

80

851

50

85

2. tutu 58

tutu 58 es el negativo de tutu 85 del ejemplo anterior, entonces:

tsi

tsi

tsi

tutu

80

851

50

58

3. tftutu ba si f es la función cuya gráfica se ilustra en la figura:

Entonces tftutu ba

tbsitf

btasitf

atsitf

0

1

0

tbsi

btasitf

atsi

0

0

y se ilustra en:

Puede obtener este trazo colocando el trazo de ba uu bajo el de f , entonces la gráfica de fuu ba

es tan fácil de obtener como hacer 00 tf y tftf1


4. tutu ba para ba

tutu ba

tasitu

atsitu

b

b

1

0

tasitu

atsi

b

0

tbsi

btasi

atsi

1

0

0

tbsi

btsi

1

0

tub

Dejamos de ejercicio al lector que deduzca el resultado anterior a partir de las gráficas de au y bu

5. tutututu 7531

Es más eficiente si se construye la siguiente tabla de valores de tua según el valor de t :

432107531

100007

110005

111003

111101

,77,55,33,11,0

tutututu

tu

tu

tu

tu

t

Entonces

tsi

tsi

tsi

tsi

tsi

tutututu

74

753

532

311

10

7531

6. tutututu 4321 33

01210433231

100004

3300033

3330023

111101

,44,33,22,11,0

tutututu

tu

tu

tu

tu

t


Entonces

tsi

tsi

tsi

tsi

tsi

tutututu

40

431

322

211

10

33 4321

Ejercicios 9.4

Escriba la ecuación que define cada función.

1. tutututu 4321 R.

tsi

tsi

tsi

tsi

tsi

tutututu

40

431

320

211

10

4321

2. tAutAutAutAu ppp 320 222 donde 0,0 Ap son constantes.

R.

ptpsiA

ptpsiA

ptpsiA

ptsiA

tutututuA ppp

43

32

2

222 320

Ejercicios 9.5

Exprese las siguientes funciones en términos de la funciones escalón de Heaviside

1.

t

t

t

t

t

t

tf2

20

cos

sin

2

si

si

si

R. En la siguiente respuesta puede cambiar 10 tu y 0tu

ttututtututtututf cossin222

0

2.

te

tt

t t

tft 2

212

10

si

si

si

R. tetuttututtutf 2211 21

3. Si tf tiene la gráfica que presenta la figura:


9.3.3. Función delta de Dirac

La “función” delta de Dirac, denotada con la letra griega , no es una función en el sentido usual, por lo que el

lector puede esperar que algunas de sus propiedades no le parezcan naturales. De hecho cuando Dirac la introduce algunos matemáticos dudaron de la buena definición de tal función. Sin embargo, fue el génesis de una nueva categoría de elementos matemáticos llamados Distribuciones estudiados en análisis funcional. En realidad hay una infinidad de estas funciones porque para cada número real se define una delta de Dirac.

Resultan importantes para idealizar algunos comportamientos en mecánica, eléctrica, etc, principalmente en mecánica cuántica. Por ejemplo, la función delta de Dirac se utiliza para representar una fuerza “muy grande” o infinita que se aplica en un único instante, como un “chispazo” en un circuito o la que ejerce un bate al golpear una bola en un único instante.

Intuitivamente, una función de Dirac con salto en 0a es nula salvo en a donde es , lo que escribimos:

at

atat

si

si0

A continuación damos una definición formal4 de la función de Dirac, donde suponemos que 0a es un número

en el eje t . Como advertimos antes, la interpretación de la integral de esta función sale de la idea intuitiva de

“área bajo una curva”, porque la función es cero salvo en un único punto, pero su integral sobre el eje t es uno.

Desde el punto de vista físico, la función delta de Dirac se interpreta como una fuerza concentrada en un único punto y su magnitud es uno, por lo que le llamamos fuerza de Impulso unitario.

Definición 9.3 Función de Impulso unitario o delta de Dirac

La función delta de Dirac con impulso unitario en 0a está definida por las propiedades:

0at at

1

0

dtat

La integral es impropia de dos especies porque un límite de integración es y at es para at .

Esa definición es suficiente para comprobar los resultados venideros que se relacionen con la delta de Dirac, inclusive para modelar circuitos en que la FEM provoque un “chispazo”.

Algunos autores definen

at

at

at

tua

si

si

si

1

0

21

que es muy para demostrar que tuat a .

Esa definición de la función escalón es muy apropiada para calcular la transformada de la Delta de Dirac, sin embargo, produce pequeñas incomodidades en los ejercicios involucrados con la función escalón.

4 Para estudiantes del cálculo. A estudiantes de las carreras de matemática les recomiendo definirla como el límite de una

sucesión de funciones suaves con soporte compacto


9.4. Definición de transformada de Laplace

En esta sección definimos la transformada de Laplace L y su inversa 1L y construimos una tabla

con las transformadas de Laplace de las funciones básicas. En el apéndice encontrará una tabla con esos resultados y una tabla de propiedades de la transformada de Laplace. Leyendo la misma tabla de derecha a izquierda obtiene la transformada inversa de funciones.

Definición 9.4 Transformada de Laplace

La transformada de Laplace L aplicada a una función tf se denota con tfL y con sF y define:

0

dttfstetfL

para los valores de s para los cuales la integral impropia existe (converge).

Notas sobre la definición de la transformada

Básicamente, calcular la transformada de una función dada consiste en sustituir la función y calcular la integral impropia. Durante el proceso de integración se seleccionan los valores de s .

Eventualmente escribimos stftf LL para resaltar que tfL depende del parámetro s .

La transformada de ,, gf se denotan con las respectivas letras mayúsculas ,,GF .

El término ste se llama el núcleo de la transformada de Laplace.

Existen otras transformadas, por ejemplo:

Transformada coseno de Fourier:

0

)(cos dttfst

Transformada seno de Fourier:

0

)(sin dttfst

Transformada exponencial de Fourier: dttfe sti )( donde 12i

Transformada de Mellin:

0

1 )( dttft s

Ejemplo 9.6 Transformada de la función constante 1tf

0

000 1

lim1 sst

t

st

eess

edtstedttfstetfL


Escoja 0s para que exista el límite st

telim , en cuyo caso su valor es cero, con lo cual:

101

1s

L

s

11L

Definición 9.5 Inversa de la transformada de Laplace, le llamaremos transformada inversa

La inversa5 de la transformada de Laplace se denota con

1L y está definida por:

tfsF1L sFtfL

Ejemplos 9.7

En los siguientes ejemplos calculamos la transformada de algunas funciones básicas utilizando la definición. Durante el proceso se escoge el dominio de s para que la integral exista. Cada resultado se plantea en términos

de la transformada inversa. Para no desvirtuar la idea central utilizamos los siguientes resultados obtenidos en la sección 9.2.

01

limstt e

0s

0limstt e

t0s

0limst

b

t e

tb , 0s

0)cos(

limstt e

t, 0s

0)sin(

limstt e

t, 0s

0limst

at

t e

ea , as

1. Función constante Ctf

CL

0

Cdte st

0

dteC st

0

stes

C 0lim sst

tee

s

C

Para que el último límite exista debe tomar 0s y el valor del límite es 0 , entonces

5 Por la naturaleza de esta obra no entramos en detalles teóricos sobre la existencia de la transformada inversa


s

C

s

CC 10L

s

CC)(L C

s

C-1L C , 0s

Casos particulares de uso frecuente son:

0)0(L 001-L 0s

s

1)1(L 1

11

s

-L 0s

2. Función identidad ttf )(

0

dt t etf

tf

stL . Aplique integración por partes con stst es

v

dtdu

dtedv

tu1

Y obtenga:

tL

1

00

11

L

dtese

t

s

st

st

No es necesario calcular la última integral, aplique el resultado el ejemplo anterior y concluya:

tLsse

t

s stt

110lim

1

Tome 0s para que el último límite exista (en otro caso es infinito), en tal caso es cero y se concluye:

2

1)(

stL t

s2

1 1L 0s

Ejercicios 9.6

Comprobar los siguientes resultados

1.3

2 2)(

stL y, por lo tanto,

2

3

1 2t

s

-L 0s

2.4

3 6)(

stL y, por lo tanto,

3

4

1 6t

s

-L 0s

3.1

1)(

setL y, por lo tanto,

t- es 1

11L 1s

Ejemplos 9.8

Utilizar la definición para calcular la transformada de las funciones básicas dadas.

1. Función potencial con exponente entero positivo: nttf para n , 1n


Por definición

0

dttet nstnL

Aplique integración con las partes stst

nn

es

vdtedv

dtntdu tu1

1

y concluya que:

nt L

0

1

0

dttes

n

s

et nststn

1

0

1

0

nt

nst

st

n

dttes

n

se

t

L

1

0

0lim

1 nn

st

n

tt

s

n

ee

t

sL

Solo para 0s se tiene 0limst

n

t e

t, de lo contrario el límite no existe. El resultado anterior se reduce a

nt L 1nt s

nL

Esta fórmula recursiva muestra la transformada de nt en términos de la transformada de

1nt . Para eliminar la

recursividad cambie n por n,,2,1 y obtenga las siguientes identidades:

:1I tL

s

s1

11

L2

1

s

:2I 2t L t

sL

2

:3I 3t L 23

t s

L

:1nI 1nt L 21 nt s

nL

:nI nt L 1nt

s

nL

Sustituya en 2I el igual de tL que aparece en 1I y obtenga 2t L

3

2

s


Sustituya este último resultado en 3I y obtenga: 3t L

4

32

s

Y a sí sucesivamente hasta obtener: nt L

1

32

ns

n

Utilice que nn 32! para escribir el resultado anterior como: nt L

1

!

ns

n , 0s

Desde el cual es inmediato que: n

nt

s

n

1

1 !L

3. Función potencial con exponente real no nulo: bttf , 0,1b

Este ejemplo presenta la generalización del resultado del ejemplo anterior y requiere de la función Gamma.

Utilizando la definición de transformada: bt L

0

dtte bst

Aplique el cambio de variable s

Tt y obtenga:

bt L

0s

dT

s

Te

b

bT

1

01

1

b

bT

bdTTe

s

Por lo tanto, btL

1

1

bs

b. Se asume sin demostración que la transformada existe solo si 0s

4. Seno trigonométrico: bttf sin , b

Por definición

0

sinsin dtbtebt stL

Denote con dtbteI st sin , se omiten los límites de integración para simplificar la notación.

Aplique integración con las partes e

sv dtedv

dtbtbdubtu

stst 1cossin

Y obtenga: dtbtes

bbte

sI stst cossin

1

Separe el elemento de integración en: e

sv dtedv

dtbtbdubtu

stst 1sincos

y concluya que:

dtbtes

bbte

ss

bbte

sI ststst sincos

1sin

1


I

ststst dtbtes

bbte

s

bbte

sI sincossin

1

2

2

2

btes

bbte

sI

s

bI stst cossin

122

2

bts

bbte

sI

s

bs st cossin1

2

22

bts

bbte

bs

sI st cossin

22

Introduzca los límites de integración y escoja 0s para que el límite de que I sea cero cuando t , la

transformada se reduce a:

btsinL 0cos0sinlim 0

22

0

bs

bbe

bs

sI s

t

btsinLs

b

bs

s

22

btsinL22 bs

b consecuentemente bt

bs

bsin

22

1L

5. Función de salto unitario de Heaviside: at

attua

si

si

1

0

Aplique la definición de transformada a la función escalón unitario y obtenga:

0

dttuetu ast

aL

La función de Heaviside es cero o uno dependiendo del valor de t , lo que obliga a separar la integral como:

tuaL

a

ast

a

ast dttuedttue

0

a

sta

st dt edt e 10

0

0

a

stes

1

s

e as

. Se concluye que tuaLs

e as


Ejercicios 9.7

Utilice la definición de transformada para comprobar los siguientes resultados b a,

1.as

eat 1L como consecuencia

ateas

11L , as

2.22

cosbs

s btL como consecuencia bt

bs

scos

22

1L , 0s

3.as

eetu

asaat

aL . Sugerencia, divida el intervalo de integración ,,0,0 aa

En este último asumimos que 0a .

Ejercicios 9.8

Utilice los resultados anteriores para comprobar los siguientes a , 0b y 1b .

1.bas

bat

ln

1L

2.2ln

12

s

tL

3.bs

bt

ln

1L

4.1

cos2s

sstL

5.16

44sin

2sstL

En los siguientes ejemplos utilizamos la definición para calcular la transformada de funciones definidas a trozos.

Ejemplos 9.9

Utilice la definición de transformada para calcular la transformada de las funciones dadas.

1.tt

ttf

1

101

si

si

La función tf se compone de dos trozos, uno sobre 1,0t y el otro sobre ,1t , por esta razón la

siguiente integral en la definición de transformada se separa en dos integrales:

tfL

0

dttfe st


1

1

0 1

dttfedttfe

t

stst

1

1

0

1 tdtedte stst

Aplique integración con las partes st

s

st evdtedv

dtdu tu1 y obtenga:

tfL

1

1

1

11

0

1 dtetee st

s

st

s

st

s

st

s

s

s

s

seee

1

1112

1

sess 2

11

2. f es la función representada en la figura.

La función f se compone de tres trozos lineales. Determine la ecuación de cada segmento de recta y concluya

que una6 ecuación para f es:

at

atabt

atbt

tfab

ab

20

24

0

2

si

si

si

Aplique la definición de transformada y divida la integral como se muestra a continuación:

tfL

0

dttfe st

a

sta

abt

a

b

sta

bta

b

st dttfedt tf edt tf e

2 0

2

420

6 Otras ecuaciones solo varían en la definición de la función en t = a y t = 2a. En todo caso obtiene la misma transformada


a

a

sta

st dtbta

bedtbt

a

be

2

0

42

Aplique integración por partes y obtenga:

tfL

a

a

st

a

a

stast

ast

eas

b

s

ebt

a

be

as

b

s

ebt

a

b2

2

2

02

0

24

2

a

a

st

a

a

st

a

st

a

st

eas

b

s

ebt

a

be

as

b

s

ebt

a

b2

22

0

2

02

42

asasasasas eeas

bbe

se

as

bbeb

s

2

22

202

112

1

222

2 132

ss

e

s

e

s

a

a

b asas

Ejercicios 9.9

Utilice la definición de transformada para verificar los siguientes resultados.

1. Si1

100)(

tsie

tsitf t entonces ))(( tfL

1

1

s

e s

1s

2. Si tf es la función cuyo trazo se muestra en la figura:

Entonces 2

42 242

s

eetf

ss

L

3.2

2 2122

s

set

s

L

4. Sitsi

tsitf

21

200)( entonces

s

etf

s2

L

5. tftuaL

a

st dttfe


En las siguientes secciones utilizaremos la siguiente tabla en la cual b a, son constantes

función transformada función transformada

1 nt ,2,1,0n 1

!ns

n8 tua

s

e as

2 bt 0,1b 1

1

bs

b9 tuat a

ase

3 ateas

110 atte 2

1

as

4 btsin22 bs

b11 btt sin 222

2

bs

s b

5 btcos22 bs

s12 btt cos 222

22

bs

bs

6 btsinh22 bs

b13 bteat cos 22 bas

as

7 btcosh22 bs

s14 bteat sin 22 bas

b

0s en las transformadas de las filas 1, 2, 4, 5, 8, 9, 11, 12

as en las transformadas de las filas 3, 10, 13, 14

bs en las transformadas de las filas 6 y 7

Las funciones hiperbólicas se definen 2

sinhAA ee

A

2cosh

AA eeA


9.5. Linealidad de la transformada de Laplace

En la sección anterior obtuvimos la transformada de Laplace de una lista de funciones básicas, esta se expandirá considerablemente después de enunciar la linealidad, tanto de la transformada como de la transformada inversa.

Par evitar repeticiones asumimos que las funciones que están bajo el operador derivada son derivables, las que están bajo el operador integral son integrables, las que están bajo la transformada tienen transformada y las que están bajo la transformada inversa tienen transformada inversa.

Linealidad de la transformada de Laplace y de la transformada inversa

Empecemos por retomar la linealidad de los operadores derivada e integral en el siguiente párrafo, donde C es

cualquier constante:

gDfDgfD

b

a

b

a

b

a

gfgf 7

fDCfCD

b

a

b

a

fCfC

La transformada y su inversa tienen propiedades similares, es decir:

gfgf LLL GFGF 111 LLL

fCfC LL FCFC 11 LL

Por estas propiedades es que D ,

b

a

, L y 1L se clasifican como transformaciones lineales.

Estas y cualquier transformación lineal T tienen las siguientes propiedades:

00T , porque 000000 T TT

CC

fTfT , porque fTfTfTfT

CC

11

gTfTgfT , porque gfT gfT

gTfT

gTfT

7 En esta notación se omite el argumento (t) y su diferencial, en la práctica no se omite


A diferencia de la derivada D e igual que la integral, no existe una regla general para calcular la transformada de una multiplicación, división o composición de funciones. Depende de las particularidades de las funciones el algoritmo que se utilice para calcular:

gfL ,g

fL , gfL , GF1L ,

G

F1L y GF1L

Teorema 9.5 La transformada de Laplace es una transformación lineal

La transformada de Laplace es una transformación lineal, es decir, tiene las propiedades:

gfL gf LL

fCL fC L C constante.

Estas propiedades equivalen a la propiedad:

gfCgfC LLL

Teorema 9.6 La inversa de la transformada de Laplace es transformación lineal

La transformada inversa de Laplace es una transformación lineal:

GFC1L GFC 11 LL C constante.

Teorema 9.7 Propiedades de las transformaciones lineales

De la transformada de Laplace

00L

tftf LL

tgtftgtf LLL

tftftftf nn LLL 11

De la transformada inversa de Laplace

001L

sFsF 11 LL

sGsFsGsF 111 LLL

sFsFsFsF nn1

11

11 LLL

Ejemplo 9.10 Demostración del teorema 9.5

Nunca se debe separar de la mente el concepto de linealidad. Y para remozarlo vamos a demostrar el teorema 9.5, que se desprende de la linealidad de la integral:


tgfL

0

dttgfe st

0

dttgtfe st

0

dttgetfe stst

00

dttgedttfe stst

tgtf LL

Y C constante:

tfCL

0

dttfCe st

0

dttfCe st

0

dttfeC st

tfC L

Ejercicio 9.10 Demostrar el teorema 9.6

Para enfrentar el problema de calcular la transformada de una función dada, en primera instancia se recurre a la tabla de la transformada de funciones básicas (si es el caso), de lo contrario, debe inspeccionar si es aplicable la linealidad, en algunos ejemplos, deberá recurrir a identidades del álgebra elemental que permiten transformar algunas “multiplicaciones o divisiones” de funciones en “sumas y restas”, como las que listamos a continuación. En los apéndices encontrará una tabla más completa de fórmulas trigonométricas.

Trigonométricas

BABABA coscoscoscos21

BAsiAA 2cos1cos

2

12

BABABA coscossinsin21

BAsiAA 2cos1sin

212

BABABA sinsincossin21

BAsiAAA 2sincossin

21

1sectan 22 AA

1csccot 22 AA

Y para enfrentar el cálculo de la transformada inversa de una función dada, es fundamental la separación en fracciones parciales.

No está de más, recordar las siguientes identidades logarítmicas que utilizamos eventualmente:

BAln BA lnln


B

Aln BA lnln

Aln Aln

baa eb ln

Ejemplos 9.11

En los siguientes ejemplos se utiliza el álgebra elemental para escribir cada función como combinación lineal de otras funciones, se aplica linealidad y, finalmente, la tabla de la transformada de funciones básicas.

1.2

43tL 16249 2 ttL

116249 2 LLL tt

sss

116

!124

!29

1112

3

2

23

162418162418

s

ss

sss

2. 32tL 3223 22323 tttL

8126 23 tttL

18126 23 LLLL ttt

ssss

18

!112

!26

!3111213

4

32

234

812126812126

s

sss

ssss

3. bateL , ba, son constantes.

bateL

constante

bat eeL atb ee Las

eb

4. btcoshL donde el coseno hiperbólico se define por 2

)cosh(TT ee

T

btcoshL2

btbt eeL

btbt eeL21


btbt ee LL21

bsbs

11

21

22 bs

s

5. t2cosL . Igual que para integrales, para eliminar el exponente 2 en t2cos , cuya transformada no está

en la tabla básica, aplica la identidad 2

2cos1cos2 t

t

t2cosL2

2cos1 tL

t2cos121 L

t2cos121 LL

2221

2

1

s

s

s 4

22

2

ss

s

6. bt3cosL btbt 2coscosL

2

2cos1cos

btbtL

btbtbt 2coscoscos21 L

Para transformar la multiplicación btbt 2coscos en suma de funciones aplique la identidad:

BABABA coscoscoscos21

Con esta identidad la última transformada se escribe:

bt3cosL btbtbtbtbt 2cos2cos2

1cos

2

1L

btbtbt cos3cos2

1cos

2

1L

btbt 3cos2

1cos

2

3

2

1L

2222 32

1

2

3

2

1

bs

s

bs

s2222

22

9

7

bsbs

bss

Ejercicios 9.11 Sobre linealidad de la transformada

Sean m n, , 1,1 m n , 0b , b ,, , 011 ,,,, mm constantes. Compruebe los

siguientes resultados.

1. mbtL1

!

m

m

s

mb


2. 52sin tL4

5sin5cos22s

s

3. tsinhL22s

. Aplicar la definición de seno hiperbólico 2

)sinh(TT ee

T

4. t2sinL4

22ss

5. tt sincosL22 4s

6. tt sincosL22222

1

ss

7. tpLm

kkk

s

k

01

!

Donde

m

k

kk

mm ttttp

0

01 es función polinomial de grado m .

Para enfrentar el problema de calcular la transformada inversa de una función, en primera instancia se recurre a la tabla de la transformada de funciones básicas (se lee de derecha a izquierda), si la tabla no le brinda el resultado, separe la función dada en fracciones parciales y luego aplique la linealidad de la transformada inversa.

La tabla de transformadas se puede adecuar en los casos en que falte un factor constante, como por ejemplo:

3

1 1

sL

Se escribe como: 3

1 2

2

1

sL

Y se aplica linealidad: 2

3

1

3

1

2

12

2

12

2

1t

ssLL

Ejemplos 9.12 Sobre linealidad de la transformada inversa

Se puede observar en la tabla que la transformada de la mayoría de las funciones básicas es una función racional propia, en símbolos:

sQ

sPtfL donde sP y sQ son polinomios en s

Consecuentemente: sQ

sPtf 1 L

Por lo tanto, para calcular la transformada inversa se recomienda el siguiente algoritmo:


1) Separar la función racional en fracciones parciales: sFsFsFsQ

sPm21

En esa representación, para cada m r ,,1 se tiene que sFr es una fracciones simple.

2) Aplique linealidad de la transformada inversa y obtenga:

sQ

sP1L sFsFsF m211L

sFsFsF m1

21

11 LLL

3) A los denominadores, de las fracciones simples, que son cuadráticos no factorizables8 (en el conjunto de los

números reales), deberá aplicarles completación de cuadrados. Y al calcular la transformada inversa de la

correspondiente fracción simple, aplicar el teorema de traslación sobre el eje s 9 que enunciaremos adelante.

4) Finalmente aplica la tabla de transformadas. En algunos ejemplos, previa a la aplicación de la tabla, tendrá que recurrir a una separación en fracciones parciales más menudas como por ejemplo:

222222 s

b

s

as

s

bas

1.5

1 1

sL

Se tiene en la tabla de transformadas que 1

!

n

n

s

nt L y como consecuencia

55

4 24!4

sst L .

La linealidad permite introducir factores constantes en los argumentos de la transformada, por lo tanto:

5

1 1

sL

5

1 24

24

1

sL

5

1

241 !4

sL (se aplicó la linealidad de las transformadas)

4

241 t

2.ss

s2

1 25L

Separe en fracciones parciales: 11

2525

2 s

b

s

a

ss

s

ss

sbssas 125

asbas 25

Iguale coeficientes y obtenga que 3

2

b

a, constantes que sustituye en:

8 De aquí en adelante factorizar se refiere a factorizar en el conjunto de los números reales

9 Esta importante propiedad se enuncia en la próxima sección


ss

s

2

1 25 L

1

321

ss L

1

32 11

ss L L

1

13

12 11

ss L L tt ee 32312

3.9

652

1

s

sL

Separe en fracciones simples y obtenga

9

6

9

5

9

65222 ss

s

s

s. Utilice esta identidad en:

9

65

2

1

s

s L

9

6

9

5

22

1

ss

s L

9

6

9

5

2

1

2

1

ss

s L L

22

1

22

1

3

32

35

ss

s L L tt 3sin23cos5

4.2910

62

1

ss

-L

El denominador 29102 ss no se factoriza. Por recomendación del algoritmo, complete cuadrados:

452910 22 sss

Y sustituya en:

2910

62

1

ss

-L45

232

1

s

-L

22

1

25

23

s

-L

(14 en tabla de transformadas) te t 2sin3 5

5.22

21

9

924

s

ss-L

El denominador22 9s (con 2 arriba de los paréntesis) hace referencia a las siguientes fórmulas de la tabla

de transformadas:


222

2sin

s

sttL y

222

22

cos

s

sttL

En este ejemplo es obvia la separación 222222

22

222

2

3

24

3

3

3

924

s

s

s

s

s

ss, sin embargo, en general

es engorrosa y para superarlo daremos una herramienta en el siguiente teorema que llamaremos:

“Separación en fracciones parciales especiales para funciones racionales con denominador 222s ”

Continuaremos con ejemplo después del siguiente teorema.

Teorema 9.8 Fracciones parciales especiales

Si sP es un polinomio de grado menor que 4 (10

) entonces existen constante dcba ,,, tales que:

2222222222

22

222

1

s

sd

sc

s

sb

s

sa

s

sP

Ejemplo (continuación del último ejemplo)

Proceda a determinar la constantes dcba ,,, tales que:

99

1

99

9

9

924

222222

2

22

2

s

sd

sc

s

sb

s

sa

s

ss

999924 2222 sdsscbssass

casdbscadsss 999924 232

Iguale coeficientes y obtenga

0

0

24

1

999

249

1

0

d

c

b

a

ca

db

ca

d

Entonces 22

21

9

924

s

ssL

2222

21

9

24

9

9

s

s

s

sL

222222

221

3

324

3

3

s

s

s

s-L

10 Esto garantiza que la función que se va a separar en fracciones parciales es propia


222

1

222

221

3

324

3

3

s

s

s

s -- LL

tttt 3sin43cos

Ejercicios 9.12

Comprobar los siguientes resultados

1.ss

s2

1 25L te32

2.34

31

3

32

ss

ssL tet 32 2

2

1

3.sss

ss

23

210623

21L tt ee 2321

4.3613

72128324

231

ss

sss-L tt 3cos32sin4

5.234

31

84

84

sss

ss-L tetet tt 2sin2cos 2

212

6.2910

6

2

1

ssL te t 2sin3 5

7.22

1

4

16

s

L ttt 2cos22sin

8. ttttte

ss

ss t 2sin2sin2cos

52

323

22

21L


9.6. Teoremas de traslación sobre los ejes s y t

Los teoremas de traslación sobre el eje s y sobre el eje t , respectivamente, ofrecen un equivalente para

escribir la transformada de las multiplicaciones tfeat, tftua en términos de tfsF L .

En los ejercicios de la sección anterior el lector utilizó el teorema de traslación sobre el eje s , sin embargo, no

se percató de ello porque están implícitos en 3, 10, 13 y 14 de la tabla básica de transformadas.

9.6.1. Teorema de traslación sobre el eje s

Teorema 9.9 Primer teorema de traslación o traslación sobre el eje s

asFtfeatL Conviene escribir asF como as sF o as tfL

La siguiente es una consecuencia inmediata de esta propiedad

sFeasF at 11 L L

Notas

N1 El teorema de traslación sobre ele eje s se puede escribir como:

assF

at tftfe LL

Es decir, quite el factor ate , calcule la transformada de tf y luego cambie s por as .

N2 El teorema de traslación sobre ele eje s para la transformada inversa es:

tf

at sF easF 11 LL

Es decir, agregue el factor ate , cambie s por as y calcule la transformada inversa de lo que resulte

por ese cambio.

Ejemplos 9.13

Aplique el teorema de traslación sobre el eje s , a,, .

1.33

22 22

as

st te

asas

at LL


2.6816

2

48

2

4

22sin2sin

228

288

sss

stte

ss

t LL

3.6816

2

48

2

4

22sin2sin

228

288

sss

stte

ss

t LL

4. tteat coscosL as tt coscosL

as tttt coscos

21 L

as

tt coscos21 L

ass

s

s

s

222221

222221

as

as

as

as

5. tte t 3cos2L 23cos sttL

2

222

22

3

3

ss

s

22

2

92

92

s

s

22

2

134

54

ss

ss

Ejercicios 9.13

Verifique los siguientes resultados. Donde n , ,a

1. natteL1

!n

as

n

2. teat cosL22

as

as

3. t teat sincosL22 4as


4.6816

8

8

1sin

22128

ss

s

ste tL

5.22

8

11316

8147sin

ss

stte tL

Ejemplos 9.14

Utilice el primer teorema de traslación y verifique las siguientes afirmaciones.

1.136

72

1

ss

sL

Un vistazo rápido a la tabla de transformadas de funciones básicas y confirma que el término en el denominador

1362 ss , no está presente en ninguna, por lo que completa cuadrados:

43496136222 sssss , entonces:

136

72

1

ss

sL

43

72

1

s

sL

Para que en el denominador quede 2s en lugar de

23s (y se ajuste a la tabla), cambie s por 3s en:

43

72

1

s

sL

433

73

2

13

s

s e t L

4

10

2

13

s

s e t L

4

10

4 22

13

ss

s e t L

2222

13

2

25

2 ss

s e t L

t t e t 2sin52cos3

2.1365

81532

21

sss

ssL

1362 ss no se factoriza, por o tanto, proceda a separar en fracciones simples:

13651365

815322

2

ss

cbs

s

a

sss

ss

cassassss 51368153 22


Si 5s a88 1a

0s ca 5138 1c

1s cba 484 2b

Sustituya las fracciones en:

1365

81532

21

sss

ssL

136

12

5

12

1

ss

s

sL

496

12

5

12

11

ss

s

sLL

43

12

2

15

s

se t L (completó cuadrados)

Para aplicar la tabla de transformadas, requiere que el denominador tenga 2s en lugar de

23s , para esto

cambia s por 3s en:

43

12

2

15

s

se t L

4

1322

135

s

see tt L (por teorema de traslación)

4

72

2

135

s

see tt L

4

17

42

2

1

2

135

ss

see tt LL

22

135

2

2

2

72cos2

stee tt L

ttee tt 2sin2cos22735

3.22

21

52

323

ss

ssL

22

21

41

323

s

ssL (completó cuadrados)

22

21

4

31213

s

ssetL (por teorema de traslación)

22

21

4

12123

s

sssetL


22

21

4

443

s

ssetL

El denominador 22 4s hace referencia a 11 y 12 de la tabla de transformadas y, por lo tanto, sugiere

separar en fracciones parciales especiales:

44

1

44

4

4

443

222222

2

22

2

s

sd

sc

s

sb

s

sa

s

ss

Concluya que 0,2,4,1 dcba y aplique esto al último resultado, obtiene:

22

21

4

443

s

ssetL

4

12

4

4

4

4

22222

21

ss

s

s

setL

4

2

4

22

4

4

22222

21

ss

s

s

setL

ttttt et 2sin2sin2cos

Ejercicios 9.14

Utilice el teorema de traslación sobre el eje s , en versión inversas para comprobar.

1.sss

ss

23

210623

21L tt ee 2321

2.34

31

3

32

ss

ssL tet 32 2

2

1

3.3613

72128324

231

ss

sssL tt 3cos32sin4

4.234

31

84

84

sss

ssL tetet tt 2sin2cos 2

212

5.456204

23513220622

231

ssss

sssL tt e tt e tt 6sin6cos44sin4cos2

6173

472

6.22

21

9

924

s

ssL tttt 3sin43cos


7.22

1

4

16

s

L ttt 2cos22sin

8.22

21

134

393

ss

sL tttte t 3cos33sin22


9.6.2. Teorema de traslación sobre el eje t

En esta sección enunciaremos el teorema de traslación sobre el eje t . Este se utiliza para simplificar el

cálculo de transformadas de funciones del tipo tftua , donde la función escalón está multiplicando.

Teorema 9.10 Segundo teorema de traslación o traslación sobre el eje t

atfetftu asa LL

Según se señala, se cambian: tua por ase y t por at .

A partir de esta identidad se puede enunciar la versión para inversas como:

ataas sF tusFe 11 LL

Según se señala, se cambian: ase por tua y t por at

Ejemplos 9.15 Transformada de funciones que tienen la función escalón unitario como factor.

Aplique el teorema de traslación sobre el eje t . Para ,,, Cba constantes reales y 0a

1. CtuaL Ce as L

s

Ce as

2. atetu3L 33 tas ee L

atas eee 33 L

atas eee L33, porque

ae3 es constante.

ase as 13

3. ttu 2sin8L 82sin8 te s L

162sin8 te s L

tte s 2cos16sin16cos2sin8 L

tte s 2cos16sin2sin16cos8 LL


416sin

4

216cos

22

8

s

s

se s

4. 237 )( tetu tL 2737 7tee tt L

23217 7teee tt L

32721 7 s

t te L , esto se debe al primer teorema de traslación.

32721 4914 s

t tte L

323

721 49142

s

t

ssse

3

49

3

14

3

2

23

721

ssse t

9. Suponga que f es como muestra la figura.

Utilice álgebra elemental y obtenga que las rectas en la gráfica de f son tty1 y tty 22 .

Entonces

t

t

t

t

t

t

tf

2

21

10

sin

2

si

si

si

A continuación, f se escribe en términos de las funciones escalón de Heaviside.

ttutu 10 sobre 10 t es la recta tty1 y es cero fuera de ese intervalo.

ttutu 221 sobre 21 t es la recta tty 22 y es cero fuera de ese intervalo.

ttutu sin2 sobre t2 es la curva tty sin3 y es cero fuera de ese intervalo.

Observe como coinciden los subíndices de las funciones escalón con los extremos del respectivo intervalo.

Entonces f es la suma de esas funciones:

ttututtututtututf sin2 22110

Se tiene 10 tu constante porque el salto se da en 0 y 0tu porque nunca se da el salto, entonces

ttuttututtutf sin21 2211


Concluya que tttuttuttf sin222 21

Aplique la transformada y obtenga:

tttuttus

sF sin2221

212LL

Aplique el teorema de traslación sobre el eje t y obtenga:

2sin221221 2

2ttete

ssF ss LL

Simplifique, utilice que tt sin2sin y calcule transformadas para obtener:

222

2

22

112

1

sse

se

ssF ss

Ejercicios 9.15

Comprobar los siguientes resultados. Para n y 0a

1. 2174

tetuL7

11194

s-e s

2. na attuL

1

!

n

as

s

ne

3. ttua cosL22

sincos

s

aase as

4. Si tf tututututut 85823222 85431 , entonces

2

8

2

5

2

4

2

3

22

222

s

e

s

e

s

e

s

e

s

e

ssF

sssss

5. Si tututututf 4321 entonces tfLs

eeee ssss 432

Ejemplos 9.16

Utilice el teorema de traslación sobre el eje t , en versión Inversas para comprobar.

1.4

81 1

se sL

84

18

1

t s tu L

84

18

!3

!3

1

t s

tu L

83

861

t t tu 386

1 8ttu


2.92

1

s

se sL

ts

s u

92

1L

t tu 3cos

33cos tu

3sin3sin3cos3cos tttu

ttu 3sin

3.9

42

71

s

se sL

72

17

9

4

ts

su L

722

17

9

4

9 tss

su L

7223

422

17

3

3

3 tss

su L

722

1

34

22

17

3

3

3 t ss

su LL

734

7 33cost

tsentu

7373cos34

7 tsenttu

Ejercicios 9.16

Compruebe los siguientes resultados para N constante.

1.4

23101 1

s

ssse sL 9

6

10

2

10 32

10tt

ttu

2.N

nn

ns

s

ne

01

1 !L

N

n

nn nttu

0

3. tetu t sin22L54

22 ss

se s

4. Considere la función tf cuyo gráfico se ilustra en la figura:

Entonces:


tsi

tsit

tsi

tsit

tsit

tsi

tsit

tf

100

10810

852

543

435

312

102

Además,

1085823222 1085431 tututututututtf

Entonces

2

10

2

8

2

5

2

4

2

3

22

222

s

e

s

e

s

e

s

e

s

e

s

e

ssF

ssssss

5. Si

t

t

t

si

si

si

t

t

tf2

20

0

sin

2

Entonces

1

12

1

22222

2

se

sss

se

ssF ss


9.7. Derivada e integral de la transformada de Laplace

Los teoremas de traslación vistos en la sección anterior enuncian como eliminar ate y tua de:

tfeatL

tftuaL ,

respectivamente, mientras los teoremas de esta sección enuncian como eliminar nt , para n y

1t de:

tft nL

t

tftft LL 1

,

respectivamente.

Teorema 9.11 Derivada n -ésima de la transformada de Laplace de una función

Para n se cumple n

nnn

ds

sFdtft 1L . Observe el trueque de

nt por n

1 y n

n

ds

d

Multiplicando por n

1 se obtiene la siguiente derivada de la transformada de tf :

tft ds

sFd nn

n

n

L1

El siguiente resultado es un caso particular del teorema anterior.

Corolario 9.1 sFttfL

Teorema 9.12 Integral de la transformada de Laplace

s SF

dStft

tfLL cuando la integral impropia es convergente.

La S (mayúscula) es para evitar confusiones con la s que está presente en el límite de integración inferior de la

integral impropia.

Observe el trueque de t1

por

s

dS


Ejemplos 9.17

Utilice el teorema 9.11 u 9.12 para calcular la transformada.

1. atte L ateds

dL

11

s-ads

d 1

2

1

s-a

2

1

s-a

2. atet 2L ateds

dL

2

22

1

s-ads

d 12

2

1

2

2

asds

d

2as

ds

d3

2

s-a

3. tt sinL tds

dsin1

1 L

22sds

d

222

2

s

s

222

2

s

s

4. tte t 3sin2Lds

ted t 3sin1

21 L

ds

td s 23sinL (resultó después de aplicar traslación)


22 9

3

ssds

d

92

3

2sds

d

134

3

2 ssds

d

22 134

26

ss

s

5. tt 7sin21L

s

dS t7sin2L , la transformada bajo la integral se escribirá en función de S

s

dS t

2

14cos1L

s

dS S

S

S 196

1

221

s

SS 196lnln 2

21

21

sS

S

196

ln22

1

196

ln22

1

s

s, porque 0

196

lnlim2S

S

S

Ejercicios 9.17

Comprobar las siguientes identidades

1. tt cosL222

22

s

s

2.t

eat 1L

as

sln

3. tt sin1Ls

arctan2

. Para 0


4. tt sinh1Ls

sln

2

1. Para 0

5. tsent 21L2

22 4ln

4

1

s

s

Los teoremas 9.11 y 9.12, versión transformadas inversas, suelen utilizarse sobre funciones logarítmicas, trigonométricas inversas o funciones racionales cuyo denominador tiene factores con grado mayor o igual que dos, por ejemplo:

,...,3222 ass

Ejemplos 9.18

En los siguientes ejemplos vamos a calcular la transformada inversa de funciones que contienen logaritmos, funciones trigonométricas inversas o denominadores con exponentes mayores que uno y que no aparecen en la tabla de transformadas. El algoritmo es el siguiente:

1) Aplique la propiedad sFtf 1 L sFtfL

2) Aplique la derivada o integral; la selección depende de cuál de los dos operadores produce una trasformada que aparezca en la tabla de transformadas de Laplace.

3) De las siguientes propiedades aplique la que corresponda: ttfsF L

t

tfdStf

s

LL

4) Vuelva a aplicar la transformada inversa y despeje tf

1.4

1

6s

sL

Esta transformada no es inmediata de la tabla de transformadas.

Empieza por nombrar con tf a: tf4

1

6s

sL

Entonces tf es la incógnita por despejar.

Aplica transformada para obtener: tfL4

6s

s

Integra (sin límites de integración por simplificar) para disminuir el exponente del denominador:

dstfL4

6s

sds

Calcula la integral con la sustitución 6su ( su 6 y dsdu ), obtiene

dstfL duu

u

4

6


duuu 43 6

Cuu 32

2

2

1

Css

3221

6

2

6

1

Ahora introduce límites de integración

s

dStfL

s

CSS

3221

6

2

6

1

Si S todos los términos, salvo la constante, tienden a cero,

s

dStfL322

1

6

2

6

1

ss

Lo más relevante de la transformada es que permite cambiar su derivada e integral, por otra expresión que no contenga a ninguna de las dos. A saber, la integral que introdujéramos desaparecerá si aplicamos:

s

dStfLt

tfL

Y la última ecuación se escribe: t

tfL

3221

6

2

6

1

ss

Aplica transformada inversa, obtiene t

tf

32211

6

2

6

1

ssL

t

tf

322116 21

sse tL

t

tf 2

216 tte t

Multiplica por t para despejar la función: tf 32

216 tte t

2.222

1 2

s

sL

Repita el algoritmo anterior con: 222

1 2

s

stf L

Aplica transformada y obtiene: 222

2

s

stfL


Integra a ambos lados para disminuir el exponente del denominador:

ss

dS

S

SdStf

222

2L

Para calcular la integral aplica el cambio de variable 22Su SdSdu 2 en la integral y resulta:

s

dStfL

222

su

du

22su

Finalmente,

s

dStfL22s

Como

s

dStfLt

tfL (ver teorema 9.12), la anterior se escribe:

t

tfL

22s

Aplica transformada inversa: t

tf22

1

sL

t

tftsin

tf tt sin

3.s

s 1ln1L

Esta resultará ser una función de t que nombramos s

stf

1ln1L

s

stf

1lnL

sssF ln1ln

Su derivada presenta una forma más simple que su integral, derivamos para obtener:

ssds

sdF 1

1

1

Por el teorema 9.11 un equivalente de ds

sdF es ttfL , aplica esto en la ecuación anterior y obtiene:

ssttf

1

1

1L


1

11

ssttfL

1

111

ssttf L

t

etf

t1

Ejercicios 9.18

Comprobar los siguientes resultados.

1.22

1

16

8

s

s L tt 4sin

2.22

1

1

2

s

L ttt cossin . En la integral tome us tan luego otra sustitución

3.22

21

1

2

s

s L ttt cossin En la integral tome us tan luego otra sustitución

4. s arctan2

1Lt

tsin


9.8. Transformada de Laplace de la derivada e integral

En esta sección damos una herramienta, que además de utilizarse alternativamente para calcular la transformada de algunas de las funciones tratadas en secciones anteriores, se utiliza para transformar ED en ecuaciones algebraicas. La solución de ED se desarrolla en la última sección de este capítulo, después de que revisemos todas las propiedades de la transformada.

Teorema 9.13 Transformada de Laplace de la derivada de orden n

Suponga que la transformada de Laplace de nfff ,...,, existen. Entonces:

0...000 1321 nnnnn

n

n

ffsfsfstfsdt

tfdLL

Con la notación usual tfy y ysY L la propiedad se escribe:

0...000 1321 nnnnn

n

n

yysysyssYsdt

ydL

Notas

Las identidades de uso frecuente en los ejemplos son para:

1n 0yssYyL

2n 002 ysysYsyL

3n 00023 yysyssYsyL

Teorema 9.14 Transformada de Laplace de la integral

Sea 0a constante. Entonces

at

a

duuftfs

duuf

0

1LL

Si 0a resulta el caso particular tfs

duuf

t

LL1

0

De este resultado se desprende la siguiente versión para transformada inversa.

Teorema 9.15 Transformada inversa de Laplace de la integral

tfs

duuf

t

LL11

0


Ejemplos 9.19

Utilizar los resultados en los teoremas anteriores para calcular las siguientes.

1. tedt

d t 5sin2L

Si tety t 5sin2 resulta 0sin0 0ey que sustituye en la siguiente fórmula (ver teorema 9.13):

0yysdt

dyLL

dt

dy

t tedt

d

L

L 5sin2

0

02 0sin5sin

yys

t etes

L

L

tes t 5sin2L

2252

5

ss

294

52 ss

s

2.

tu duue

0

2 4sinL

Aplique el teorema 9.14 para el caso 0a en:

t

uf

u duue

0

2 4sinL

tf

t tes

4sin1 2L , porque tf

sduuf

t

LL1

0

22

42

41

ss, porque

22sin

asteatL

204

42 sss

3.

t u

duu

ue

0

sinL

Par eliminar la integral aplica tfs

duuf

t

LL1

0

con la función u

ueuf

u sin y obtiene:


t u

duu

ue

0

sinL

t

te

s

t sin1L

Aplica el teorema 9.12 al término a la derecha:

t u

duu

ue

0

sinL

s

t dStes

sin1

L

Aplique traslación sobre el eje s y recibe:

t u

duu

ue

0

sinL

s

S dSts

1sin1

L

s S

dSSs 1

2 1

11

s

dSSs 11

112

sSs

1arctan1

Como2

1arctanlim SS

concluye:

t u

duu

ue

0

sinL 1arctan

1

2s

s

4. sYyL , si y es solución de la ED con coeficientes constantes 1112223 2 ttyyy

y y

y

00

00.

Aplica la transformada de Laplace a la ED, obtiene:

1112223 2 ttyyy LL

sssyyy

1112423

23LLL

Aplica el teorema 9.13 para 0yysy LL y 002 ysyysy LL , obtiene

3

22 11124

20300s

ss sYyssYysysYs

yy LL

Sustituyendo los valores y

y

00

00 recibe:

3

22 11124

23s

ss sYssYsYs


3

22 11124

23s

ss sYss

23

1112423

2

sss

ss sY

5. sX y sY si tyytxx , son funciones incógnitas en el SED con coeficientes constantes:

ttyx

eyx t

2sin22cos2

62 4

, además, 20

10

y

x

Aplica la transformada a cada ecuación del SED para obtener un sistema sin derivadas:

4

22

42

4

162

22 ss

sy-x

syx

LL

LL

s

syssYxsXs

syssYsX

yx

y

4

4200

4

602

2LL

L

y sustituye 20

10

y

x para recibir:

214

42

124

62

2E

E

s

ssYsX

ssYX

, como es usual sXX y sYY

24

2

14

222

2

2

E

E

s

sssYsX

s

ssYX

Resolvamos este sistema para X e Y . Suma las ecuaciones ( 21 EE ) y obtiene:

44

84

4

2

4

222

2

23

2

2

ss

ss

s

ss

s

sXs

442

842

23

sss

sssX es la transformada de tx . lo que resuelve parte del problema.


Ahora vamos por sY , multiplica 1E por s y le resta dos veces 2E ( 221 EEs ), obtiene:

44

842

4

24

4

222

2

24

2

222

ss

sss

s

ss

s

sssY ss

442

84222

24

ssss

ssssY es la transformadas de ty

6.

tu duueu

0

2 4sinL

tf

t tets

4sin1 2L , porque tf

sduuf

t

LL1

0

)(

2 4sin1

th

t teds

d

sL , porque suprimimos t (Corolario 9.1)

162

41

2sds

d

s, porque

22sin

asteatL

204

412 ssds

d

s

22 204

28

sss

s

Eso es el resultado de calcular la derivada anterior respecto a s

7.

t

duuf

0

L si f está definida por

tsi

tsit

tsit

tf

20

212

10

Para eliminar el símbolo de integral aplica el teorema 9.14 a:

t

duuf

0

L tfs

L1

Y se reduce a calcular la transformada de tf . Dado que la función está definida en varios trozos, es mejor

utilizar la función de salto unitario para escribir: ttututtututf 22110

ttuttuttf 222 21

y aplicar el teorema de traslación (sobre el eje t ) para obtener su transformada; sin embargo, vamos a calcularla

con la definición de transformada para ilustrarla.

El último resultado se escribe como una suma de integrales sobre los intervalos [0,1[, [1,2[ y [2, [:


0

1dttfe

s

st

2

2

1

1

0

1dttfedttfedttfe

s

ststst

2

2

1

1

0

021

dtedttetdtes

ststst

2

1

1

0

21

dttetdtes

stst

Aplica integración por partes (omito detalles) y obtiene:

t

duuf

0

L3

221

s

ee ss

8.

tt duuet

0

2 cosL

Por cálculo directo, empieza con la integral:

tt duuet

0

2 cosLtt uet 0

2 sinL

h

t teds

dsin2L porque

n

nnn

ds

thdtht

LL 1

12

12

sds

d porque

22sin

asteatL

222

54

42

54

1

ss

s

ssds

d

La integral anterior se obtuvo fácilmente; sin embargo, en otros ejemplos, podría requerir mucho trabajo. Vamos

a aplicar el teorema 9.14 para superarla, Pero, antes debemos eliminar el término tte2

y es indiferente si aplica

el corolario 9.1 para eliminar t y luego el teorema 9.9 para eliminar te2

, o los puede aplicar en el otro orden.

Para eliminar t aplica el corolario 9.1 en:

tf

tt duuet

0

2 cosL

F

tt duue

ds

d

0

2 cosL


Para eliminar te2

aplica el teorema de traslación 9.9 y la última es igual a:

20

cos

s

t

duuds

dL , observe el juego de paréntesis.

Como tfs

duuf

t

LL1

0

, lo anterior e igual a:

tsds

dcos

1L 2

1

1

2s

s

s

sds

d porque

22cos

s

stL

21

1

2s

sds

d

12

1

2sds

d

54

1

2 ssds

d22 52

42

ss

s

9.

t ut du

du

ueduet

0

2 sinL

(teorema 9.11)

t ut du

du

uedue

ds

d

0

2 sinL

(teorema 9.9)

10

2 sin

s

t u

dudu

uedu

ds

dL

(teorema 9.14)

1

2 sin1

s

t

dt

tedt

sds

dL

(teorema 9.11)

1

2 sin1

s

t

dt

ted

ds

d

sds

dL

1

2 sin1

s

t

dt

ted

ds

d

sds

dL

(teorema 9.13)

1

02 0sinsin1

s

t etesds

d

sds

dL


12

12

1

ss

s

ds

d

sds

d

12 54

1

sss

s

ds

d

sds

d

1

22

2

54

51

sss

s

sds

d

22

2

5141

15

1

1

ss

s

sds

d22

2

1061

42

sss

ss

ds

d

El cálculo de esta derivada es muy laborioso, por eso finalizamos aquí

Ejercicios 9.19


1. tedt

d t 5cos3L346

343

2 ss

s

2. tetdt

d t 5cos1 2L 1294

2

294

214

222

2

ss

ss

ss

sss

3.

t uu

duu

ee

0

44

L4

4ln

1

s

s

s

4.

tudueu

0

52L3

5

2

ss

5.

tau duue

0

sinL222 2 aasss

6.

tu duueu

0

2 sinL22 54

42

sss

s

7.

tt duuuet

0

2 3sinL32 134

224

ss

s


9.9. Transformada de Laplace de funciones periódicas

Para evitar repeticiones suponemos que 0p .

Definición 9.6

Una función f definida sobre ,0 tiene periodo p si y solo si tfptf , ,0t

Como consecuencia inmediata de la definición anterior se obtiene siguiente resultado.

Teorema 9.16

Sea f definida sobre ,0 . Las siguientes proposiciones son equivalentes:

PP1 f tiene periodo p , es decir: tfptf ,0t 11

PP2 Para todo entero no negativo n : tfnptf ,0t

La siguiente figura muestra una función que tiene periodo p , observe que para cada ,0t las siguientes

imágenes son iguales: ptfptfptftf 32

Teorema 9.17 Transformada de Laplace de una función periódica

Si f tiene periodo 0p entonces

pst

psdttfe

etf

01

1L

Ejemplos 9.20

En los siguientes ejemplos utilizamos el teorema 9.17.

1. Suponga que ,0t es tetf 2

y que f tiene periodo p . Ver siguiente figura.

11 En esta obra nos limitamos a funciones periódicas definidas en el intervalo ,0


Aplique el teorema 9.17 con p y obtenga:

tfL

01

1dttfe

e

st

s

0

2

1

1dtee

e

tst

s

0

2

1

1dte

e

ts

s

t

t

ts

se

se 0

2

2

1

1

1

121

1 2 s

se

se

se

e

s

s

21

12

2. Sea f la función con periodo 5p cuya gráfica en 5,0 se muestra en la figura (suponga que en 5,3es una parábola).

Si 10 t , f es el segmento de recta que va de 0,0 hasta 2,1 entonces ttf 2

Si 21 t , f es el segmento de recta que va de 2,1 hasta 0,2 entonces 42ttf

Si 32 t , f es el segmento de recta 0tf

Si 53 t , f es la parábola que pasa por 2,3 , 1,4 y 2,5 entonces 1782 tttf

Aplique la fórmula del teorema 9.17 con 5p y obtenga tfL

5

051

1dttfe

e

st

s

Divida el intervalo de integración en subintervalos, en cada uno se selecciona la respectiva ecuación de f

tfL

5

3 178

3

2 0

2

1 42

1

0 25

21

1dttfedttfedttfedttfe

ett

stst

t

st

t

st

s


5

3

22

1

1

05

1784221

1dtettdtetdtte

e

ststst

s

El resto del ejercicio es calcular las integrales utilizando integración por partes.

3. Hallar la transformada de Laplace de la onda cuadrada que se muestra en la figura.

La función completa un ciclo en un periodo p2 . En p2,0 la función se compone de dos segmentos de recta

horizontales que luego se repiten. Su ecuación es:

ptpsiA

ptsiA

tf 2

0

Aplique la fórmula del teorema 9.17 con periodo p2 y obtenga:

tfL

pst

psdttfe

e

2

021

1

p

p A

stp

A

st

psdttfedttfe

e

2

021

1

p

p

stp

st

psdteAdteA

e

2

021

1

p

p

stpst

ps s

e

s

e

e

A2

021

p

p

stpst

psee

e

A

s

2

021

1

pspsps

pseee

es

A 2

21

1

121

2

2

psps

psee

es

A

2

21

1

ps

pse

es

A


1

1

11

12

ps

ps

psps

ps

es

eA

ees

eA

Ejercicios 9.20


1. Si f está definida por 10

100

10

3

t

t

si

si

tf

etf

t

, entonces tfLse

e

s

s

31

1

10

310

2. Si f es la señal “diente de sierra” mostrado en la figura:

Entonces tfLs

ss

es

esse

22

22

1

12

3. Si ttf sin . La figura bosqueja las gráficas de ttg sin y de ttf sin

Entonces tfL

0

sin1

1tdte

e

st

s y luego aplique integración por partes para calcularla.

4. ttf cos . La figura muestra las gráficas de ttg cos y de ttf cos respectivamente:


Entonces tfL

2

2

0

coscos1

1dttetdte

e

stst

s y utilice integración por partes.


9.10. Transformada de la convolución de funciones

Empezamos definiendo la convolución de dos funciones.

Definición 9.7 Convolución de funciones

La convolución de f y g se denota con gf y define:

t

duugutftgtf

0

En el integrando t es fija. La integral se calcula respecto a u , así por ejemplo, si debiera tomar un cambio de

variable como ut entonces dud

Calcular la convolución de dos funciones podría resultar muy laborioso en algunos casos. Para los siguientes ejemplos hemos seleccionado funciones cuya convolución no requiera de muchas operaciones algebraicas, considerando que el interés está en la transformada de la convolución utilizando una propiedad simplificadora que enunciamos después de revisar su anatomía.

Ejemplos 9.21

Calcular la convolución.

1. 32 tt

t

duuut

0

32

t

duutuut

0

5432 2

t

duutuut

0

5432 2

tutuut

0

6

615

5242

41

6

616

526

41 ttt

2. 0f para cualquier función f .

t

duutftf

0

00

t

du

0

0t

C0

0CC , C es constante

3. tt cossin

t

duuut

0

cossin


Aplique la identidad BAsenBAsenBsenA2

1cos y escriba la anterior como:

tt cossin

t

duuutuut

021 sinsin

t

cte

duutt

021 2sinsin

tut

tu0

21

2

2cossin

2

cossin0

2

cossin

21 t

tt

tt tt sin21

Teorema 9.18 Propiedades de la convolución

Sean hgf ,, funciones reales continuas a trozos en ,0 y sea constante. Entonces

PC1 00f

PC2 fggf

PC3 gfgfgf por esto, no es ambiguo escribir gf

PC4 hgfhgf por esto, no es ambiguo escribir hgf

PC5 hfgfhgf

Vamos a demostrar esas propiedades utilizando simples cambios de variables.

PC1 Fue demostrada en el 2 de los ejemplos 9.21

PC2 Con el cambio de variable ut obtiene dud . Además, si tu 0

si 0tu

En tgtf

t

duugutf

0

0

t

dtgf

t

dtgf

0

tftg

PC3 Se deduce de las siguientes propiedades de integrales:

tgtf

t

duugutf

0

tgtf

t

duugutf

0

tgtf

t

duugutf

0

PC4 y PC5 se dejan de ejercicio al lector.


Teorema 9.19 Transformada de una convolución de funciones

GF

gfgf LLL

La versión para inversas es

gf

GFGF 111 LLL

Las propiedades enunciadas en el teorema anterior se generalizan en el siguiente corolario.

Corolario 9.2

nn ffff LLL 11

La versión para inversas es nn ffFF 111L

Ejemplos 9.22

Calcule las siguientes transformadas utilizando la definición y el teorema 9.19.

1. tt sinL

Por definición de convolución:

tt sin

t

uduut

0

sin . Aplica integración con las partes uv

dud

ududv

ut

cossin:

tt sin

tt

uduuut

00

coscos

tut 0sin

tt sin

Aplique la transformada y obtenga: tt sinL tt sinL

1

1122 ss

1

122 ss

Comparemos ese resultado con el siguiente.

Aplique el teorema 9.19 y obtenga:


tt sinL tt sinLL1

1122 ss 1

122 ss

2. tet 2cosL

Por definición de convolución:

tet 2cos

tut duue

0

2cos .

Aplique integración con las partes ev

duud

duedv

uutut

2sin22cos y obtenga:

tet 2cos

tuttut duueue

00

2sin22cos .

Aplique integración con las partes ev

duud

duedv

uutut

2cos22sin y obtenga:

tet 2cos

tuttutt duueuete

00

2cos22sin22cos

tutt duuette

0

2cos42sin22cos

tette tt 2cos42sin22cos

Pasando a sumar el término tet 2cos4 y despejando obtiene:

ttete tt 2sin22cos2cos5

tet 2cos ttet 2sin22cos51

Aplique la transformada de Laplace y obtenga:

tet 2cosL ttet 2sin22cos51 L

4

4

41

1225

1

ss

s

s

41 2ss

s

Comparemos este resultado con el siguiente.

Aplicando el teorema 9.19 en:

tet 2cosL tet 2cosLL


41

12s

s

s

41 2ss

s

Una vez más se comprueba GFgfL

Nota

GF

gf LL requiere menos operaciones algebraicas que calcular la convolución y luego gfL .

Ejemplo 9.23

Utilicemos el teorema 9.19 para calcular

t

duutut

0

sinL

Las variables “ ut u, ” en el integrando revelan que hay una convolución, específicamente:

t

duutut

0

sinL ttt sinL

Para eliminar la t que multiplica a tt sin , aplica que ttfLds

sdF y obtiene:

ttt sinL ttds

dsinL

(por teorema 9.19) ttds

dsinLL

1

11

22 ssds

d

24

1

ssds

d

224

3 24

ss

ss

223

2

1

24

ss

s


Ejercicio 9.21

Utilice el teorema 9.19 para comprobar los siguientes.

1.94

33sin2cos

220

ss

sduutu

t

L

2.9

63sin

230

2

ssduuut

t

L

3.22

0 9

93sin3sin

s

duuut

t

L

4. sYs

sduuyut

t

42cos

20

L

5.68168

242cos

240

48

sssduutue

ttL

Ejemplo 9.24

Considere el problema de despejar la función tyy en la ecuación integral:

tduuyut

t

2sin2cos

0

Para eliminar la integral aplica transformada de Laplace a la ecuación y obtiene:

tduuyut

t

2sin2cos

0

LL

La integral a la izquierda es la convolución tyt2cos , entonces la ecuación anterior se escribe:

4

22cos

2stytL

4

22cos

2styt LL

4

2

4 22 ssY

s

s

ssY

2


221

sty L es una función constante

Ejercicios 9.22

Halla la solución ty de las siguientes ecuaciones.

1. tduutuyty

t

coscos

0

, 10y R. 2

211 ttty

2. 11

0

tduutyutyty

t

, 00y R. tety t

3. 12cos

0

t

duuyut R. ttty 4

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación del teorema 9.19 en su versión para inversas:

gfGF-1L

Considerando que el cálculo de una convolución gf suele ser muy laboriosa, recomendamos tratar con

otras propiedades antes de la versión para inversas del teorema 9.19, a menos que se trate de las convoluciones

tt cossin , tt sinsin , tt coscos que ejemplificamos a continuación.

Ejemplo 9.25

Calculemos la siguiente utilizando la versión para inversas del teorema 9.19.

222

1 2

s

sL

2222

12s

s

sL

22

1

22

12s

s

sLL

tt cossin2

t

duuut

0

cossin2

Aplica la identidad BABABA sinsin2

1cossin y la identidad anterior se escribe:


222

1

s

sL

t

dutut

0

sin2sin

tu

u

tuut0

sin2cos2

1

tttt sincoscos2

1

0

tt sin

Ejercicios 9.23

Utilizando la versión para inversas del teorema 9.19 comprobar.

1.222

21

s

sL ttt cossin

1

2

1

Aplicar BABABA coscos2

1coscos en algún momento

2.222

221

s

sL tt cos . Sugerencia, sss 22

3.2

1 1

asL atte


9.11. Solución de ED, SED y de ecuaciones integro-diferenciales

Las secciones anteriores nos proveyeron de las propiedades fundamentales de la transformada de Laplace, que aplicaremos en esta sección para obtener la solución de ecuaciones diferenciales, sistemas de ecuaciones diferenciales y hasta ecuaciones integro-diferenciales, todas con coeficientes constantes.

A grosso modo, para obtener una solución de la ecuación se siguen cuatro pasos en el siguiente orden:

1) Aplica la transformada de Laplace a la ecuación.

2) Utiliza las propiedades vistas en secciones anteriores para escribir la ecuación sin derivadas ni integrales.

3) Despeja la transformada de Laplace de la función incógnita (incógnitas en el caso de SED).

4) Aplica la inversa de la transformada de Laplace a la función despejada en 3) para obtener la solución.

Ejemplos 9.26

1. Hallar una solución de la ED lineal 044 yyy sujeta a 10

00

y

y

Aplica la transformada a la ED y obtiene: 044 LL yyy

Ahora por linealidad de la transformada resulta: 044 yyy LLL

Aplica las propiedades para eliminar derivadas 0404002 YysYysyYs

04412 YsYYs

1442 Yss

44

1

2 ssY

2

2

1

sY

Aplica transformada inversa para obtener: 2

1

2

1

sty L

Para que el denominador coincida con alguno en la tabla de transformadas, aplica el teorema de traslación sobre

el eje s y recibe: 2

12 1

sety tL

Ahora es obvio que la solución al PVI es la función ttety 2

2. Despejar tyy de la ecuación integro-diferencial 196

0

t

duuytyty si 00y


La incógnita tyy aparece bajo la derivada y bajo la integral, por esto es una ecuación integro-diferencial.

Igual que siempre aplica la transformada a la ecuación y obtiene:

196

0

LL

t

duuytyty

sduuyyy

t1

96

0

LLL

Aplica fórmulas para transformada de la derivada y transformada de la integral resulta:

sy

sYysY

y

11960 L

L

Como 00y tiene:

sY

sYsY

196

sY

ss

196

96

12 ss

Y

2

11

3

1

sY LL

2

13 1

sety tL ttety 3

es la solución

3. Hallar la solución completa del sistema de ED

224

55

4

t

tt

eyyxx

ee yxx sujeta a

y

x

10

10

Aplica la transformada de Laplace y obtiene:

ss

sYyssYsXxssX

ss yssYsXxssX

2

5

2040

1

1

4

1050


Para aclarar la notación escribimos sYY

sXX y aplica las condiciones

y

x

10

10 para que el anterior se

escriba:

ssYsYXsX

ss sYXsX

2

5

2141

1

1

4

1151

ss

YsXs

sssYXs

5

1014

14

55

La regla de Cramer requiere de los determinantes:

514

5

ss

ssW

5

10

4

5

15

1014

5

1sss

ss

sss

W

1

510

5

104

14

55

2ss

sss

sss

W

Entonces

1

12

5

2

4

1

2

1

ssW

WsY

ssW

WsX

y aplica la inversa de la transformada de Laplace para recibir:

t

tt

ety

eetx

2

2 54

4. Hallar una solución de la ED lineal 044 yyy sujeta a 10

20

y

y

Aplica la transformada a la ED y obtiene: 044 LL yyy

Con los mismos argumentos del ejemplo anterior


0404002 sYyssYysysYs

Aplica las condiciones iniciales dadas y obtiene: 0424122 sYssYssYs

92442 ssYss

2

2

92

s

ssY

2

11

2

92

s

ssY LL

Para que el denominador coincida con alguno en la tabla de transformadas, aplica el teorema de traslación sobre el eje s aunque el numerador cambie de forma y recibe:

2

12

22

922

s

sety tL

2

12 52

s

sety tL

2

12 52

ssety tL

tety t 522

5. Hallar la solución de la ED lineal tetytyty t 3cos44 2 sujeta a

10

20

y

y

Aplica la transformada a la ED y obtiene:

teyyy t 3cos44 2LL

22212

2

32

240400

s

ssYyssYyyssYs

92

29244

2

2

s

sssYss

922

2

2

92

222ss

s

s

ssY

922

1

2

92

22sss

ssY

Deberíamos separar en fracciones parciales, sin embargo, los denominadores en este ejemplo se simplifican

todos a la vez si aplica traslación. Como el problema es determinar ty aplique inversa a la anterior y obtenga:


922

1

2

92

22

11

sss

sY

y

LL

Ahora aplica traslación y obtiene:

9

1922

22

12

sss

sey tL

9

912

22

212

ss

sssey tL

9

9192

22

2312

ss

sssey tL

Ahora debemos separar en fracciones parciales

99

9192

2222

23

s

mcs

s

b

s

a

ss

sss. Omitimos el

cálculo de los coeficientes mcba ,,, . La solución es:

922

12

s

mcs

s

b

s

aey tL

9

3

39

11222

12

s

m

s

sc

sb

saey tL

tm

tcbtaety t 3sin3

3cos2

6. tduutuytyty

t

sinsin22

0

con 10y

La integral

t

duutuy

0

sin es la convolución tty sin entonces la ED se escribe:

tttytyty sinsin22

1

1sin22

2styyy LLL

1

1sin220

2styYysY LL

1

1

1

1221

22 ssYYsY


11

1

1

22

22 sY

ss

1

11

1

2122

2

2

2

s

sY

s

ss

223 2 sYsss

122 ss

sY

Separa en fracciones parciales 222

11112 s

B

s

A

s

s

ss

sBAss 1

si 1s 1B

si 0s 1A

Aplicando estas a la solución obtiene:

21

1

1

1

ssY

2

11

1

1

1

1

ssy LL

tt teety es la solución

Ejemplo 9.27

Para hallar la solución completa tyy

txx del SED

23

02

yxy

yx

sujeta a 30x , 00y

Aplica transformada a cada una de las ecuaciones del SED y obtiene:

23

02

LL

LL

yxy

yx

sYX-sY-y

YxsX

230

020

. Aplica 00,30 yx y obtiene


sYX-sY

YsX

23

023

sYsX

YsX

23

32

Para aplicar la regla de Cramer sobre ese sistema calcula los determinantes:

31

2

s

sW 21232 ssss

3

23

21 sW

s s

ss

ss

493493

2

s

sW 22 1

31

La solución para YX , es:

21

1

21

493

2

21

ssW

WY

sss

ss

W

WX

Separar en fracciones parciales: 2121

493 2

s

C

s

B

s

A

sss

ss resulta 1,2,2 CBA

Y : 2121

1

s

b

s

a

ss resulta 1,1 ba

Sustituye estas fracciones en YX , para obtener:

2

1

1

1

2

1

1

22

ssY

sssX

2

1

1

1

2

1

1

22

1

1

ssy

sssx

L

L

Utiliza la tabla de transformadas para obtener la solución

tt

tt

eey

eex

2

222

Ejercicios 9.24

Hallar la solución tyy para:


1. tduutuyty

t

coscos

0

si 10y R. 2

211 ttty

2. tetytyty t 3cos6134 2 si

10

00

y

y R. tetty t 3sin2

31

3. 11

0

tduutyutyty

t

con 00y R. tety t

4. teduuytyty tt

sin64 2

0

sujeta a 10y R. ttety t sin2cos2

5. tduutyuutyty

t

sinsincos344

0

, 10y

R. ttety t 3sin3cos322

6. 2425317

0

t

duuytytyty ,80

20

y

y R. tteety tt 4sin4cos3

7. ttttduuuuytyty

t

sincossin2

0

, 00y R. ttty sin21

Ejercicios 9.25 Obtenga la solución particular de cada ED o SED con restricciones.

1. texxx t 2sin852 sujeta a 00;60 xx

R. ttttetx t 2cos62cos22sin4

2. tx

yx

yx

yx2

1,

110

40

20

y

x

x

R.

3262

643212

2

tte e ty

ttee ttxtt

tt

3.012

1242

2

yD x D

ty Dx D,

y

y

x

x

20

150

100

30

R.

ttteety

tteetxtt

tt

2sin5cos153

sin10cos


9.12. Aplicación de la transformada de Laplace a Redes eléctricas

Considere la red eléctrica ilustrada en la figura:

Tiene una FEM que en el instante t suministra un voltaje tE , dos resistores con resistencias 21, RR y dos

inductores con inductancias 21, LL .

Para simplificar la notación denominamos con:

tix

tiy

tiz

3

2

1

A continuación planteamos un SED con condiciones iniciales que modela las corrientes zyx ,, . Empecemos

enunciando otra ley de Kirchhoff relacionada con las corrientes en un nodo (empalme).

K1. Ley de concurrencia de Kirchhoff: la suma de todas las corrientes en dirección a un nodo es igual a la suma

de todas las corrientes en dirección opuesta a mismo nodo.

Aplicando esa ley de concurrencia al nodo mostrado en la siguiente figura12

:

resulta la ecuación (sin derivadas): yxz

Circuito 1. Con la orientación13

señalada en la figura:

- la caída de voltaje por el resistor con resistencia 1R es zR1 (resistencia por corriente)

- la caída de voltaje por el resistor con resistencia 2R es yR2 (resistencia por corriente)

- la caída de voltaje por el inductor con inductancia 2L es yR2 (inductancia por derivada de corriente)

12 En el otro nodo obtendrá una ecuación equivalente a la obtenida para este nodo.

13 Si considera la otra orientación obtiene una ED equivalente a la obtenida en este caso.


Aplica la ley del voltaje de Kirchhoff y obtiene la ED: Edt

dyLyRzR 221

Circuito 2. Con la orientación señalada en la figura:

Aplica la ley del voltaje de Kirchhoff y obtiene la ED: Edt

dxLzR 11

Circuito 3. Con la orientación señalada en la figura:

Aplica la ley del voltaje de Kirchhoff y obtiene la ED: 0122dt

xdL

dt

dyLyR

El signo negativo en x se debe a la orientación con que se están leyendo los flujos de corrientes.

Las cuatro ecuaciones obtenidas arriba se escriben en el siguiente SED:

0

0

221

11

122

yRyLxL

EzRxL

EzR yRyL

zyx

Este SED es redundante en el sentido de que una de las cuatro ecuaciones es combinación lineal del resto. Puede seleccionar tres ecuaciones cualesquiera para determinar las corrientes.

Ejemplo 1

En la red eléctrica del ejemplo anterior suponga 0,1 2121 R RLL , FEM ttE sin y corrientes

iniciales todas cero. Este problema está modelado por el PVI:

0

sin

sin

0

yx

tzx

tzy

zyx

condicionado a

00

00

00

z

y

x

Como es usual para redes, el sistema es redundante (hay ecuaciones demás); por ejemplo si suma la tercera ecuación con la cuarta resulta la segunda, de la misma forma con tres ecuaciones cualesquiera se genera la restante, por lo tanto para resolverlo puede considerar el sistema de “tres por tres”:


tzx

tzy

zyx

sin

sin

0

Despeja de la primera ecuación yxz y sustituya en las otras dos para obtener:

tyxx

tyyx

sin

sin

Aplique transformada y obtenga:

1

10

1

10

2

2

ssYsXxssX

syssYsYsX

Utilice las condiciones iniciales y concluya

1

11

1

11

2

2

ssYsXs

ssYssX

Aplique la regla de Cramer y obtenga

12

112

1

2

2

sssY

sssX

Separe en fracciones parciales y obtenga

15

2

1525

1

22 ss

s

ssYsX

Aplique transformada inversa y reciba ttetytx t sincos52

512

51

Sume estas corrientes y obtenga: ttetz t sincos54

522

52

Ejemplo 2

La figura ilustra una red eléctrica en el instante t , donde están presentes las corrientes

tzi

tyi

txi

3

2

1

Se supone que tE es una FEM te 34 voltios.


Suponga que inicialmente las corrientes son cero.

1. Escriba una fórmula para tE y calcule la Transformada de Laplace de tE .

2. Escriba un sistema con tres ED en zyx ,, y condiciones iniciales que modelen las corrientes en la red.

3. Hallar las corrientes yx, en función del tiempo.

1. La FEM tetE 34 se aplica desde 0t y su Transformada de Laplace es:

tEL te 34L3

4

s

2. En cualquiera de los nodos obtiene la ecuación tytxtz .

La columna izquierda presenta el circuito extraído de la red y la columna derecha la ED que se obtiene después de aplicar las leyes de Kirchhoff:

tEtytytz 262

tEtxtz 5,02

05,026 txtyty

De las anteriores seleccionamos tres ED cualesquiera sin dejar por fuera tytxtz , digamos:

05.026

5,02

xyy

Exz

yxz

Sustituya la primera yxz en las otras, obtiene: 05.026

5,02

xyy

Exyx condiciones iniciales:

00

00

00

z

y

x


Ordena y multiplica por 2 las ED, para obtener: 0124

244

yyx

Eyxx

3. Aplique transformada y obtenga

012040

3

8440

YysYxsX

sYXxsX

, sYY sXX ,

Aplica las condiciones 00

00

y

x y resulta:

0124

3

844

YssX

sYXs

Necesitamos 124

44

ss

s624128448324 22 ssssss

1240

43

8

s

ss 32

03

84

ss

s

3

8

s

s

Con la regla de Cramer para obtiene la solución: 62

8

sssX

362

2

sss

ssY

Separa en fracciones parciales:

3

2

6

1

2

1

362

26

2

2

2

62

8

ssssss

sY

ss

ss

X

Y aplica la Transformada inversa:

ttt

tt

eeety

eetx

362

62

2

22

Además, tytxtz ttt eee 362 23

Ejemplo 3

En la red eléctrica de la figura, las corrientes tztytx ,, son variables con 0t . En cada instante se

aplica una FEM de te 310 y a partir de los 2 segundos se suma otra

235 te , ambas en voltios.


Inicialmente 0t las corrientes son cero.

(a) Escriba una fórmula para tE y calcule la Transformada de Laplace de tE

(b) Plantee un sistema de ecuaciones diferenciales en zyx ,, y condiciones iniciales que modelen esta red.

(c) Hallar la Transformada de Laplace de tx y ty

(d) Hallar una fórmula para la corriente tx en función del tiempo.

Las corrientes iniciales son cero se escribe: 0000 zyx

(a)23

23 510 tt etuetE

3

510

3

5

3

10 22

s

e

s

e

stE

ss

L

(b)

tEyzy

xyy

tEzx

yxz

32

03

2

sujeta a

00

00

00

z

y

x

(c)

tEyxy

yyx

tEyxx

52

03

22

Seleccione dos ED, digamos la primera y segunda, les aplica transformada y obtiene:

0300

3

510220

2

YysYxsX

s

eYXxsX

s

03

3

51022

2

YssX

s

eYXs

s

Aplicando la regla de Cramer:

61673

22 2 ssssss

s

s

s

e

ss

e2

2

1 510

30

23

510

61

510 21

ss

esX

s


3

510

03

5102

22

2s

es

ss

es

ss

631

510 22

sss

essY

s

(d) Para hallar la corriente tx separar en fracciones simples 6161

1 51

51

ssss y aplica

en: 6

1

1

1

6

2

1

2

61

15

61

10 22

sse

sssse

ssX ss

ttstt eeeeex 6262 LLL

Aplica Transformada inversa y obtiene:

2622

62 tttt eetueetx

Ejercicio

1. La figura muestra un circuito con FEM 12 te que se aplica a partir del primer segundo. La carga inicial en

el condensador es 40q y las corrientes iniciales son 0 .

(a) Escriba una fórmula para la FEM y calcule la transformada de Laplace de esta.

(b) Escriba tres ED en las corrientes tytx , , la carga tq y sus derivadas que las modelen:

R.

115,0

1

5,01

11

222

022

222

t

t

euqyyx

xqy

euxyx

(c) Reduzca el sistema a dos ED y halle las transformadas de Laplace de tx y tq .

R.

1122

1412 sss

ssessX

s

y

1122

4482

2

sss

esssQ

s

(d) Resolver para tx y tq

2. En la red eléctrica de la figura, las corrientes tztytx ,, son variables con el tiempo 0t . En cada

instante se aplica una FEM de te 34 voltios y a partir de los 2 segundos se suma otra

238 te voltios.


Inicialmente 0t las corrientes son cero.

Escriba una fórmula para tE y calcule la Transformada de Laplace de tEPlantee un sistema de ecuaciones diferenciales en zyx ,, y condiciones iniciales que modelen esta red.

Hallar la Transformada de Laplace de tx y ty

Hallar una fórmula para la corriente tx en función del tiempo.

3. Determine las corrientes tztytx ,, , funciones del tiempo 0t . Inicialmente las corrientes son cero:

4. En la red eléctrica de la figura, las corrientes tzityitxi ,, 21 son funciones de 0t . En

cada instante se aplica un voltaje t2cos30 , adicionalmente (por un desperfecto del generador) se

produce un “chispazo” justo a los 8seg. Tiene un resistor y dos inductores de constantes 5,0 , 1h y 1h

respectivamente. Asumiendo que inicialmente las corrientes son cero.

Determine las ecuaciones para las corrientes 21, ii en cada instante 0t .

R. 8

81 62sin122cos6 tt euettti

titi 12

Cap 9 Transformada de Laplace

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