Aplicaciones de la transformada de Laplace
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Aplicaciones de la Transformada de Laplace
Dr. Raúl Santiesteban Cos
Culiacán, Sinaloa.
Departamento de Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Culiacán
Principales Acciones de Control
P Proporcional, I Integral, D Derivativa, PI Proporcional Integral, PD Proporcional Derivativa, PID Proporcional Integral Derivativo
m
b
k
y(t)
r(t)
dtrtkydt
tdyb
dt
tydm )()(
)()(2
2
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte, )(ty es el desplazamiento y )(tres la fuerza aplicada y d es el término de incertidumbre.
Sistema masa-amortiguador-resorte
s
dsRskYyssYbysysYsm )()()0()()0()0()( '2
,0)0(,0)0(' yy
s
dsRskYsbsYsYms )()()()(2
s
d
kbsmssR
sY
2
1
)(
)(
Su transformada de Laplace es:
considerando:
La función de transferencia es:
Objetivo Control: regulación
)()( tyyte ref
usando la derivada se obtiene la dinámica de error (grado relativo del sistema)
)()( tyte )()( tyte
dtrtky
dt
tdyb
mdt
tydte )()(
)(1)()(
2
2
dtrtky
dt
tdyb
mdt
tydte )()(
)(1)()(
2
2
dtrteyktebm
te ref )())(()(1
)(
dtrkytketebm
te ref )()()(1
)(
Control Proporcional
)()( temkkytr pref
El objetivo de control: hacer que la variable e(t) tienda a cero
m
dtekte
m
kte
m
bte p )()()()(
dtrkytketebm
te ref )()()(1
)(
,0)0(,0)0(' yy
ms
d
km
ks
m
bs
sE
p
2
1)(
considerando:
La función de transferencia es:
ms
dsEksE
m
kssE
m
bsEs p )()()()(2
02
pk
m
k
m
b
Polinomio característico
Análisis de estabilidad del sistema en lazo cerrado
condición suficiente y necesaria para estabilidad
0;0 m
kk
m
bp
Si b/m < 0, kp no puede garantizar estabilidad.Si b/m > 0, kp puede garantizar estabilidad!
Resolviendo para λ
02
pk
m
k
m
b
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
2,1
pk
m
k
m
b4
2
m
b
22,1
m
k
m
bk p
2
4
1
Caso I
pk
m
k
m
b4
2
m
k
m
bk p
2
4
1
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
2,1
Caso 2
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
1
Ambos elementos de la raíz son negativos, por lo que el polo es real negativo
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
2
Y la segunda raíz? …
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1??
2
2
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
?¿
pk
m
k
m
b4
2
m
k
m
bk p
2
4
1
Caso 3
pk
m
k
m
b
m
b4
2
1
2
2
2,1
raíces complejas
Ubicación de polos
02 pkm
k
m
b
Polinomio característico
021
2 cc
Polinomio deseado
Igualando
m
bc 1 pk
m
kc 2
Utilizando un controlador proporcionalsólo se puede establecer la constantedel polinomio característico. no sepuede modificar ya que es unparámetro de planta. Por lo tanto, no sepueden ubicar los polos en cualquierlugar.
2c
1c
El error en estado permanente se define como
Respuesta en estado permanente
Teorema del valor final
Aumentando kp es posible ajustar el error
pp
ss
km
k
d
km
ks
m
bs
dssYy
200
lim)(lim)(
pkm
k
d
)()(322
2
trtydt
dy
dt
yd
Ejemplo
Sea m=1, b=2, k=-3 y
)(2.1)( tyte
2.1refy
dtrtetete )(6.3)(3)(2)(
6.3)()( tektr p
s
d
ksssE
p )3(2
1)(
2
,0)0(,0)0(' yy
Utilizando
Y la transformada de Laplace
dtrtetete )(6.3)(3)(2)(
dtektetete p )()(3)(2)(
Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad
Polinomio característico en lazo cerrado
0)3(22 pk
)3(442
112,1 pk
0)3(44 pkCaso 1 4pk
12,1 0d
5.0d
0)3(44 pkCaso 2 4pk
1 , 2-2,1 1pk
0d
Con Kp>3 se puede garantizar estabilidad
43 pk
Si se desean tener polos diferentes,reales y negativos, se debesatisfacer la siguiente desigualdad
0d
0)3(44 pkCaso 3 4pk
i -12,1 5pk
Comportamiento de los polos modificandola ganancia Kp
Respuesta en estado permanente
Teorema del valor final
3)3(2lim)(lim)(
200
pp
ss k
d
kss
dssYy
El error en estado permanente se define como
3
pk
d
1.03
pk
d
1.0
3.0
dk p
Dado un porcentaje de error
Caso perturbado6pk 5.0d
dtrtydt
dy
dt
yd )()(32
2
2
s
d
ksssY
p )3(2
1)(
2
6
1
36
5.0
21 nd
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina
atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros y .n
n
Efectos de control proporcional
,tan1 1
d
d
d
rt
d1tan
1.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo pico.
d
ppd tt
444
n
s Tt
3.- Tiempo de establecimiento.
El control proporcional,aplicado a un sistemadinámico, afecta a elsobre-paso?