Classification et BD M1:MASS-IMM · Francois.Kauﬀmann@math.unicaen.fr Classiﬁcation et BD...

Classification et BD M1:MASS-IMM

Francois.Kauffmann@math.unicaen.fr

30 janvier 2008

Francois.Kauffmann@math.unicaen.fr Classification et BD M1:MASS-IMM 30 janvier 2008 1 / 95

Classif

Introduction

Les donnees

Tables

Dissimilarites

Classification

Partitionnement

Inertie

Fusion

Algorithmes

Voronoı

Nuees dyn.

Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Premiere partie I

Classification non supervisee

IntroductionStructures des donnees

TablesDissimilarites

ClassificationPartitionnementInertieFusion de deux classificationsAlgorithmes

Classification de VoronoıAlgorithme des nuees dynamiques

DefinitionExemplesDiscussion

Algorithme hierarchiqueDefinitionsAgregationDistancesExempleDiscussion

Conclusion

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Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Structures des donneesTablesDissimilarites

Classification de Voronoı

Algorithme des nuees dynamiquesDefinitionExemplesDiscussion

Conclusion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Objectifs

Les missions :

I Gerer l’information, bases de donnees

I Analyser, modeliser les liens, classification, regression, datamining

I Aider a la decision, predire les risques associe a unedecision statistique

I Communiquer, simplifier, exposer les resultats

Les secteurs concernes :

I distribution

I telecommunications

I banque

I assurance

I etudes medicales et pharmaceutiques

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Discussion

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Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Les metiers

I responsable logistique du traitement et de l’analyse desetudes

I charge d’etudes junior : prise en charge de ladocumentation, codage des questionnaires, traitementstatistiques simples.

I charge d’etudes senior, assistant du charge d’etude, priseen main d’une etude de marche.

I analyste statisticien, etudes quantitatives, aide a ladecision, expert en statistiques, il supervise l’analyse desdonnees.

I chef de projet, supervise le groupe et les projets.

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Les mots cles

I marketing

I etudes quantitatives

I statistique, aide a la decision

I systemes d’information de l’entreprise

I reporting

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Exemples

I analyse de resultats d’enquetes (Demarche Marketing,Opininion Way)

I identification des prospects (banque, telephonie mobile, ...)

I identification des clients susceptibles de partir a laconcurrence (Bouygues)

I determination des lieux de ventes (distributeurs de billets)

I politique tarifaire (TODD)

I analyser, identifier les risques (degats des eaux MAAF)

I analyser des donnees textuelles, reponse a des questionsouvertes.

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Programme

Classification et bases de donnees, fouille de donnees, (datamining).

I Classification non supervisee (clustering)

I Analyse discriminante, regression logistique,...(classification)

I Bases de donnees, Standard Query Language SQL (databases)

I Arbre de decisions (decision trees)

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Les outils

I vous, vos connaissances, vos neurones

I les outils de gestions de l’information SQL, PostGreSQL,SAS, enseigne en M2-MASS Silog, Access, d’autresOracle, SAP.

I les outils d’analyses SAS, SAS Entreprise Guide, SASEntreprise Miner, R (SPLUS), en M2-MASS, Sphynx,Alceste et d’autres SPAD, SPSS.

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Bibliographie I

Alan Agresti.An introduction to categorical data Analysis.Wiley Series in probability and statistics, 2007.

Max Bramer.Principles of Data mining.Spinger Verlag, 2007.

Michael Falk, Frank Marohn, and Bernward Tewes.Foundations of statistical Analyses and Applications withSAS.Birkhauser Verlag, 2002.

Jiawei Han and Micheline Kamber.Data Mining : concepts and techniques.Morgan Kaufmann publishers, 2004.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Bibliographie II

Naresh Malhotra.Etudes Marketing avec SPSS.Pearson Eduction, 2004.

Stephane Tuffery.Data Mining et statistique decisionnelle.Editions TECHNIP, 2005.

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Introduction

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Introduction

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Les tablesPour un individu 1 ≤ i ≤ n, on observe

Xi ∈ E = E1 × E2 × · · · × Ep.

Pour 1 ≤ j ≤ p l’ensemble Ej peut etre

I R l’addition et la multiplication usuelle ont un sens pourles valeurs observees, les valeurs sont dites quantitatives.

I un ensemble fini, les valeurs sont dites qualitatives.

Les donnees sont rangees dans une table ou relation X

X ∈ (E1 × E2 × · · · × En)n = En

I n lignes appelees individus ou observations ou tuples ouenregistrements ou records

I p colonnes appelees variables ou attributs ou champs.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Exemple quantitatif

Si E = E1 × E2 × · · · × Ep = R× · · · × R = Rp, alorsX ∈ En = (Rp)n ∼Mn,p(R), X est une matrice a coefficientsreels a n lignes et p colonnes.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Exemple mixte

couleur cru region prix quantite

rose sancerre loire 4 0rouge volnay Bourgogne 9 5rouge mercurey Bourgogne 8.5 0blanc gewurtztraminer alsace 4 3

Pour la variable

I couleur , on peut choisir comme ensemble de valeursE1 = {′rose ′,′ rouge ′,′ blanc ′} mais aussi l’ensemble deschaines de caracteres

I prix on peut choisir comme ensemble de valeurs E4 = RI region on peut choisir comme ensemble de valeurs E5 = N

ou E5 = RX est ici une table a 4 lignes et 5 colonnes.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Structure informatique

La notion de table generalise la notion de matrice ou le type dedonnees est le meme pour toutes les donnees : on parle dematrice a coefficients reels, de matrice a coefficients entiers, acoefficients binaires.

I Liste de vecteurs

I dans SAS c’est une table SAS

I dans R c’est une data.frame

I dans un gestionnaire de bases de donnees c’est aussi unetable.

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Discussion

Conclusion

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Conclusion

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Dissimilarites

Soit E un ensemble, on appelle dissimilarite sur E

{E × E → R+

(x , y) 7−→ d(x , y)

et qui verifie

I symetrie ∀(x , y) ∈ E 2, d(x , y) = d(y , x)

I ∀x ∈ E , d(x , x) = 0

Si d est une distance sur un ensemble E alors c’est aussi unedissimilarite, la distance verifie en plus la proriete dited’inegalite triangulaire. Soit (Xi )1≤i≤n ∈ En et d unedissimilarite de E , alors D = (d(i , j))1≤i ,j≤n est appeleematrice de dissimilarite entre individus. Plus les individus x et ysont eloignes plus la dissimilarite entre x et y doit etre grande.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Variables quantitatives

On suppose que l’on a trois mesuresx1 = (0, 0), x2 = (1, 0), x3 = (5, 5), alors la matrice desdistances pour la norme d(x , y) = ‖x − y‖1 est unedissimilarite : 0 1 10

1 0 910 9 0

La matrice des carres des distances euclidienned(x , y) = ‖x − y‖2

2 est dissimilarite : 0 1 501 0 4150 41 0

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Normalisation variables numeriques

Il est preferable de renormaliser les variables avant de calculerune matrice de dissimilarite entre individus. Soit sxi la varianceempirique de la variable xi posonsD = diag(1/sx1 , 1/sx1 , · · · , 1/sxn), alors on peut prendrecomme distance

d(x , y) = (x − y)tD(x − y) =< x − y , x − y >D

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Tableau de contingence

Soit (xi ,j)1≤i≤n,1≤j≤p un tableau de contingence, et I samatrice de liaison alors la distance entre deux lignes i1 et i2 dutableau de contingence peut etre definie grace a la distance duχ2 :

d2(i1, i2) =

j=p∑j=1

(xi1,j

xi1,.−

= ‖Ii1 − Ii2‖2diag(f.,j )

j=p∑j=1

(fi1,j

f.,j fi ,.−

fi2,jf.,j fi ,.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Donnees binaires

On suppose que l’espace des observations est E = {0, 1}p

(toutes las variables sont binaires), soient x et y deux individusde E , soit

1. a1 le nombre de composantes qui verifie xi = yi = 1

2. a2 le nombre de composantes qui verifie xi = 0, yi = 1

On construit des indices de dissimilarites entre individus par

d(x , y) =λ(a2 + a3)

a1 + δa4 + λ(a2 + a3)

Pour δ = 0, λ = 1, on parle d’indice de Jaccard, c’est laproportion d’indices qui different.

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Discussion

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Distances

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Discussion

Conclusion

Donnees qualitatives

Si l’ensemble E = E1× · · · × Ep des observations est constituede variables qualitatives, alors la dissimilarite entre deuxindividus x et y est definit par la proportion de differencesentre les deux individus :

d(x , y) =p −m

I p est le nombre de variables

I m est le nombre de composantes identiques.

On peut prendre aussi une distance euclidienne calculee a partirdes coordonnees des individus dans une base factorielle d’uneanalyse en composantes multiples.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Qualitatives ordonnees

Soit y ∈Mn,1(m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mq)} une variable qualitativeordonnee , soit rangy ∈ [1, q] le rang de y , on appelle rangnormalise de y

zy =rangy − 1

q − 1∈ [0, 1]

On peut alors comparer ces valeurs numeriques entre elles parl’intermediaires de distances euclidiennes. Si on a une tableX = Table(Y = [TB,P,B,TB]) on aE1 = {m1 = P ≤ m2 = AB ≤ m3 = B ≤ m4 = TB} AlorsrangY = [4, 1, 3, 4] et

zY = [1, 0, 2/3, 1]

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Discussion

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Cas mixte

On veut construire une dissimilarite entre individus quand lesvariables ne sont pas de type identique. On suppose que latable X est la reunion des tables (Zl)1≤l≤L :

X = [Z1,Z2, · · · ,Zl ]

On suppose que pour chaque sous-table Zl on a construit unedissimilarite dl , alors on peut construire une dissimilarite entredeux indivdius i et j de X en faisant une moyenne ponderee desdissimilarites

d(i , j) =

∑l=Ll=1 αldl(j , j)∑l=L

l=1 αl

avec α ∈ (R+)L

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Discussion

Conclusion

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Conclusion

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Discussion

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Distances

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Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Soit I = {1, · · · , n} un ensemble d’individus, on appelleclassification en q groupes une famille (Gg )1≤g≤q de partiesl’ensemble des individus I qui verifie :

I Tout individu i ∈ I appartienne a au moins un groupe,

I Il n’existe pas d’individu i ∈ I appartenant a deux groupesdifferents.

On dit que ((Gg )1≤g≤q est une partition de I

{G1, · · · ,Gq} ⊂ P(I)

∀1 ≤ g , g ′′ ≤ q, g 6= g ′ ⇒ Gg ∩ Gg ′ = ∅∪1≤g≤qGq = I

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Discussion

Conclusion

I Les donnees sont rangees dans une tableindividus × variables.

I Le but est de creer et de caracteriser des groupes ouclasses d’individus disjoints.

I Les individusI d’un meme groupe doivent proches les uns des autresI de deux groupes distincts doivent etre eloignes les uns des

autres

I La classification est non supervisee car on ne connait pas apriori les groupes.

I C’est une methode multidimensionnelle. Pour un individu,on dispose de plusieurs variables.

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Distances

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Discussion

Conclusion

Classifier quoi ?

La classification peut etre faite sur les donnees brutes

1. Les variables peuvent etre uniquement quantitatives

2. Les variables peuvent etre uniquement qualitatives

3. Les variables peuvent etre quantitatives ou qualitatives

La classification peut etre faite sur des donnees intermediaires

1. Dans le cas de deux variables qualitatives sur des tableauxde contingences (analyse factorielle des correspondances)

2. Dans le cas de plusieurs variables qualitatives sur desscores obtenus par une analyse des correspondancesmultiples.

3. Sur des tableaux de distances entre individus.

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Conclusion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Qualite d’une partition dans unespace euclidien

Soit (Gg )1≤g≤q la partition en groupe de l’ensemble desindividus I = {1, · · · , n}. On a pour chaque individu i lesobservations quantitatives xi ∈ (Mp,1(R), <, . >M). L’espacedes observation est suppose euclidien. Soit pi > 0 le poids del’individu i ∈ I et on note xg le centre de gravite du groupeGg . On definit :

inertie totale Itotale =∑

i∈I pi‖xi − x‖2

inertie intra Iintra =∑

1≤g≤q

∑i∈Gq

pi‖xi − xg‖2

inertie inter Iinter =∑

1≤g≤q(∑

i∈Gqpi )‖xg − x‖2

On a alors la decomposition suivante ou theoreme deHuyghens :

Itotale = Iintra + Iinter

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Qualite d’une partition

Quand la somme des poids vaut 1, alors on peut interpreter

inertie totale comme la moyenne des carres de la distanceentre les individus et le centre de gravite

inertie intra comme la moyenne des carres de la distance entreles observations et le centre de gravite du groupeauquel appartient l’individu

inertie inter comme la moyenne des carres de la distancemoyenne entre le centre de gravite et les centresde gravites des groupes.

Un rapport eleve de l’inertie inter sur l’inertie intra estsynonyme de bonne separation.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Bons groupes, mauvaise separation

−2 −1 0 1 2

GroupesA = 4B = 4C = 4

Inertie 2=50(intra%)+50(inter%)

On a ici d(G ,Gi ) = 1, d(Gi , xj) = 1

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Bons groupes, bonne separation

−4 −2 0 2 4 6

Inertie 17=5.88(intra%)+94.1176(inter%)

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Mauvais groupes

−4 −2 0 2 4 6

Inertie 17=73.79(intra%)+26.2079(inter%)

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Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Discussion

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Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Constructions de partitions

On suppose que l’on a N resultats de classifications sous formede partition de l’ensemble des individus

I (G 11 , · · · ,G 1

n1) une partition en n1 groupes

I (G 21 , · · · ,G 2

n2) une partition en n2 groupes

I · · ·I (GN

1 , · · · ,GNnN

) une partition en nN groupes

La partition en formes fortes consiste a ne retenir que lesclasses d’individus n’ayant jamais ete separes. Les classes necontenant qu’un seul individu ne sont pas d’un grand interet.

(G 1i1 ∩ G 2

i2 ∩ G 3i3 ∩ · · · ∩ GN

iN)(i1,··· ,iN)∈Πj=N

j=1 [0,nj ]

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Exemple de forme forte

i Part1 Part2 Part3 Forte1 1 1 1 12 1 1 1 13 1 1 1 14 2 1 1 25 2 1 1 26 2 2 2 37 3 3 2 48 3 3 2 49 3 4 3 510 4 4 4 611 4 4 3 712 4 4 4 6

Forte = {{1, 2, 3}{4, 5}, {6}, {7, 8}, {9}, {10, 12}, {11}}

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Conclusion

Introduction

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Exemples

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Methodes de classification

Pre-traitements

Classification

��

HHHHHH

Hiearchique

��

��H

Ascendante Descendante

NueesDynamiques

Exhaustif

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Classification exhaustive

Cette methode consiste a enumerer toutes les partitionspossibles. Si il y a n individus, le nombre de partitions a kgroupes ou ensembles est :

i=k∑i=0

C ik(−1)k−i in

C’est le nombre de surjections de l’ensemble {1, · · · , n} vers{1, · · · , k} divise par k!. A chaque individu i ∈ {1, · · · , n} onfait correspondre sa classe g ∈ {1, · · · , k}.

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Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Nombre de partitions

n k nb

12 3 86526

24 3 47063200806

36 3 25015738189761486

48 3 13294407038741263288566Quand le nombre de partitions est petit, il est possibled’envisager d’enumerer toutes les partitions.

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Distances

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Conclusion

Introduction

Conclusion

Classif

Introduction

Les donnees

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Dissimilarites

Classification

Partitionnement

Inertie

Fusion

Algorithmes

Voronoı

Nuees dyn.

Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Creation de partitions

Il existe des classifications simples, mais pas souventinteressantes. Ces partitions servent de conditions initiales ades algorithmes plus sophistiques.

I On considere la classification ou chaque groupe contientexactement un individu.

I On considere la classification constituee d’un uniquegroupe l’ensemble des individus.

I On choisit le nombre de groupe et on affecte au hasard lesindividus a ces groupes.

I On choisit q centres, et pour chaque centre on choisit lesindividus ayant des observations plus pres de ce centre quedes autres(mosaique de Voronoi).

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Les donnees

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Partitionnement

Inertie

Fusion

Algorithmes

Voronoı

Nuees dyn.

Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Classification elementaire

−4 −2 0 2 4 6

GroupesA = 12

Classification en un groupe

−4 −2 0 2 4 6

GroupesA = 1B = 1C = 1D = 1E = 1F = 1G = 1H = 1I = 1J = 1K = 1L = 1

Classification en douze groupes

G1 = {1, · · · , 12} G1 = {1}, · · · ,G12 = {12}

Les deux classifications correspondent a

I un seul groupe

I un seul individu par groupe

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Inertie

Fusion

Algorithmes

Voronoı

Nuees dyn.

Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Classification en 3 groupes

−4 −2 0 2 4 6

Classification en trois groupes

−4 −2 0 2 4 6

Classification en trois groupes

G1 = {1, 2, 3, 4}, · · · G1 = {1, 6, 7}, · · ·

Partition en 3 groupes :

I la partition qui semble la meilleure

I on affecte aleatoirement les individus aux groupes.

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Fusion

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Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Mosaique de Voronoi

Soit I = {1, · · · , n} l’ensemble des individus et (xi )i∈Il’ensemble des observations E . On suppose que l’ensemble desobservations est muni d’une distance d . Soit (cg )1≤g≤q unensemble de q centres dans E . On definit le groupe G (i) del’individu i par

G (i) := argmin1≤g≤q(d(xi , cg ))

Le groupe de l’individu i est le numero du centre le plus prochede xi . Si la distance est deduite d’un produit scalaire. Lesregions definissant les groupes sont des intersections dedemi-plan delimites par des mediatrices entre deux centres.

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Fusion

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Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

100 centres dans [0,1]x[0,1]

Voronoi mosaic

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Definitions

Agregation

Distances

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Conclusion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Nuees dynamiques

On cherche une partition qui minimise l’inertie intra groupe ouqui maximise l’inertie inter groupe. L’idee est de construirepour chaque centre l’ensemble des individus les plus proche dece centre. Ces ensembles constitueront la partition associee aces centres.

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Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Parametres

distance il faut choisir une distance entre individus

nombre de groupes il faut choisir le nombre de groupes a priori

centre de gravite il faut choisir des centres de gravites qui vontservir de conditions initiales.

difficulte la partition depend des centres de gravitesinitiaux.

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Algorithme

Algorithme iteratif :a un centre on associe l’ensemble desindivius les plus proches.

Initialisation choix de centres

Boucle tant que la partition est modifiee :

1. affecter les individus aux groupes definis parles centres,

2. calculer les centres de gravites des groupes,3. prendre comme centres les centres de gravite

des nouveaux groupes.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Bonne classification

−4 −2 0 2 4 6

Algorithme nuées dynamiquesInertie 17=87.22(intra%)+14.061(inter%)

−4 −2 0 2 4 6

I Convergence en deux iterations.

I Inertie intra classe vaut 6 pourcent de l’inertie totale.

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Convergence

−4 −2 0 2 4 6

I Convergence en trois iterations.

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Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Autre classification

−4 −2 0 2 4 6

I Convergence en trois iterations.

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Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Discussion

Hierarchique

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Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Parametres

Nb de groupes c’est le premier parametres a choisir

Conditions initiales Mettre le plus possible de connaissances apriori dans le choix des centres. Faire de nombreuxessais en choisissant des centres aleatoirement.

Nombre d’iterations limiter dans un premier temps

Rapidite Algorithme tres rapide meme avec un grandnombre d’individus et un grand nombre devariables.

Facilite d’utilisation Present dans les logiciels R kmeans, dansSAS fastclus

distance Dans R, c’est la distance canonique euclidienne,dans SAS on peut choisir des distances lp

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Resultats

bonne solution ? L’algorithme des nuees dynamiques rechercheun minimum local. On ne peut etre sur que c’estla meilleure solution.

valeurs aberrantes Elles seront regroupees dans des groupescomposes d’un unique individu (loin de toutes lesautres valeurs). On peut se servir de cetalgorithme pour la recherche de valeursaberrantes.

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Discussion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Dissimilarite entre individus

Soit E = E 1 × E 2 × · · · × Ep l’espace des observations.d unedissimilarite de l’ensemble E . Soit X la table des observationsdes n individus (Xi )1≤i≤n et

D ∈Mn,n(R+)

la matrice de dissimilarite entre ces individus

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Distances

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Distances

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Discussion

Conclusion

Classifications hierachiques

Les techniques hierarchiques de classification consistent aconstruire une arbre de partitions en partant de partitionselementaires :

I de la partition la plus fine : celle consituee de classes necontenant qu’un seul individu vers la partition la plusgrossiere : une seule classe contenant tous les individus.On agglomere les classes et on parle d’analyse hierachiqueascendante.

I de la partition la plus grossiere : vers la partition la plusfine : on decoupe les classes, on parle d’analysehierarchique descendante ou d’arbre de decision.

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Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Arborescence des partitions

{a, b, c , d , e}

��

{a, b}�� HH

{a} {b}

{c , d , e}��

{c , d}�� HH

{c} {d}

La partition la plus fine est P1 = {{a}, {b}, {c}, {d}, {e}}.Une partion intermediaire est P2 = {{a}, {b}, {c , d}, {e}}.La partition la plus grossiere est P4 = {{a, b, c , d , e}}.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Introduction

Conclusion

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Discussion

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Definitions

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance moyenne entre classes

Soit I l’espace des individus, on suppose que l’on a un mesurede dissimilarite ou distances dans l’espace des individus d . Onveut definir une mesure de dissimilarites ou distance D entre lesdeux groupes

{P(I) → R+

(C ,C ′) 7−→ D(C ,C ′)

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance moyenne

La distance moyenne (method=average SAS,R) entre deuxgroupes est la moyenne des distances entre les individus dugroupe C d’effectif c et les individus du groupe C ′ d’effectif c ′.On a :

D(C ,C ′) =1

cc ′

∑i∈C ,i ′∈C ′

d(xi , xi ′)

Soient A et B eux groupes d’effectifs a, b respectivement alorson a la formule d’agregation :

D(C ,A ∪ B) =aD(C ,A) + bD(C ,B)

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance minimale

La distance minimale (method=single SAS,R) entre deuxgroupes est la plus petite des distances entre les individus dugroupe C et les individus du groupe C ′. On a :

D(C ,C ′) = Mini∈C ,i ′∈C ′d(xi , xi ′)

D(C ,A ∪ B) = Min(D(C ,A),D(C ,B))

I Construction de grands groupes

I Deux groupes seront reunis si deux individus sont proches.

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Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance maximale

La distance maximale (method=complete SAS,R) entre deuxgroupes est la plus grande des distances entre les individus dugroupe C et les individus du groupe C ′. On a :

D(C ,C ′) = Maxi∈C ,i ′∈C ′d(xi , xi ′)

D(C ,A ∪ B) = Max(D(C ,A),D(C ,B))

I Creation de classe de meme diametre (plus grandedistance entre deux points de la meme classe)

I Sensiblite aux valeurs aberantes.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance des centres de gravites

La distance entre individus est le carre d’une distanceeuclidienne. La distance des centres de gravite(method=centroid SAS,R) entre deux groupes est le carre dela distance entre les deux centres de gravite xC des (xi )i∈C etxC ′ des (xi )i∈C ′ . On a :

D(C ,C ′) = d(xC , xC ′)

D(C ,A ∪ B) =a

a + bD(C ,A) +

a + bD(C ,B)

− ab

(a + b)2D(A,B)

I robuste vis a vis de valeurs aberantes.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Distance des centres de gravites

Si la distance dans entre individus est le carre d’une distanceeuclidienne, la formule d’agregation est exacte. Soient A,B,C 3points d’un espace affine euclidien et G le barycentre de(B, b), (C , c) avec b ≥ 0, c ≥ 0, b + c = 1, alors

‖AG‖2 = ‖b ~AB + c ~AC‖2

= b2‖ ~AB‖2 + c2‖ ~AC‖2 + 2bc < ~AB, ~AC >

De plus

b‖ ~AB‖2 + c‖AC‖2 − bc‖ ~BC‖2

= b‖ ~AB‖2 + c‖AC‖2 − bc < ~BA + ~AC , ~BA + ~AC >

= (b − bc)‖ ~AB‖2 + (c − bc)‖AC‖2 + 2bc < ~AB, ~AC >

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Distances

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Conclusion

Wald : perte d’inertieOn cherche pour chaque etape d’aglomeration a obtenir une partitiion qui minimise l’inertie intra classeparmi toutes les partitions obtenues en agregant deux parties A et B de la precedente partition. Soit gA etgB les centre de gravite A et B de poids a =

Pi∈A pi ≥ 0 et b

Pi∈B pi ≥ 0 avec a + b = 1. Soit G le

barycentre de (gA, a) et de (gB , b) alors :

I intraA∪B =

Xi∈A∪B

pi‖xi − G‖2

=Xi∈A

pi‖xi − G‖2 +Xi∈B

pi‖xi − G‖2

=Xi∈A

pi‖(xi − gA) + (gA − G)‖2 +Xi∈B

pi‖(xi − gB ) + (gB − G)‖2

=Xi∈A

pi‖xi − gA‖2 +

Xi∈B

pi‖xi − gB‖2 + (

Xi∈A

pi )‖gA − G‖2 + (Xi∈B

pi )‖gB − G‖2

On a donc

I intraA∪B − I intra

A,B = a‖gA − G‖2 + b‖gB − G‖2

= a ∗ 0 + b‖gB − gA)‖2 + (a + b)‖gA − G‖2

a(I intra

A∪B − I intraA,B )

a + b=

a + b‖gB − gA)‖2 + a‖gA − G‖2

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Distances

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Discussion

Conclusion

Distance de Ward

Minimiser l’ecart entre les partitions avant et apresaglomeration de l’inertie intra classe revient a chercher la classeB qui rend minimum l’expression suivanteab

a+b‖gB − gA‖2 + a‖gA − G‖2. On prend come mesure d’ecartau sens de Wald

D(A,B) =ab

a + b‖gB − gA‖2.

Dans le cas ou l’on prendrait une distance plus generale pourmesurer l’ecart entre les centres de gravites , on pose

D(A,B) =ab

a + bd(gB , gA).

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Ward : Formule d’agregation

Le poids des classes (A, B, C) vallent respectivement (a, b, c)

D(A, B ∪ C) =a(b + c)

a + b + c‖gA − gA∪B‖

=a(b + c)

a + b + c

b + c‖gA − gB‖

(b + c)‖gA − gC‖

2 −bc

(b + c)2‖gB − gC‖

=a + b

a + b + c

a + b‖gA − gB‖

2 +a + c

a + b + c

a + c‖gA − gC‖

a + b + c

b + c‖gB − gC‖

=a + b

a + b + cD(A, B) +

a + b + cD(A, C) −

a + b + cD(B, C)

La formule

I construit des classes d’egal effectif,

I et est sensible aux donnees aberantes.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Algorithme d’agregation

initialisation :

I Construire la partition la plus fineI Construire la matrice de distance

tant que qu’il reste plus de 2 parties :

I Rechercher les deux classes les plus proches,I Aggreger ces deux classes,I Construire la matrice des distances de cette

nouvelle partition en utilisant les formulesd’agregation

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Remarques

L’algorithme de classification hierachique ascendant depend

I de la mesure de dissimilarites entre individus

I du choix de la mesure entre classes.

I f : R → R croissante alors la suite des partitions estinchangee si l’on change d en f ◦ d (distance ou distanceau carre).

I Si on a n individus la hauteur de l’arbre est au maximumde n − 1.

I On determine la partition en coupant l’arbre des partitionsa une hauteur h ou bien en donnant le nombre de classesdesirees.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Ex : distance euclidienne

Distance euclidienne dans l’espace des individus. La matrice dedissimilarite est la matrice constitue des carres des elements dela matrice des distances. On choisit la methode d’aglomerationpar saut minimum.

cah-distance-euc A B C D E F

A 0.00 0.57 3.22 4.17 1.35 2.19B 0.57 0.00 2.66 3.61 0.78 1.68C 3.22 2.66 0.00 1.08 1.89 1.17D 4.17 3.61 1.08 0.00 2.83 2.24E 1.35 0.78 1.89 2.83 0.00 1.00F 2.19 1.68 1.17 2.24 1.00 0.00

Tab.: Distance euclidienne

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Conclusion

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Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Condition initiale

{A} {B} {C} {D} {E} {F}A B C D E F

A 0.0 0.3 10 17. 1.8 4.8B 0.3 0.0 7.1 13. 0.6 2.8C 10. 7.1 0.0 1.2 3.6 1.4D 17. 13. 1.2 0.0 8.0 5.0E 1.8 0.6 3.6 8.0 0.0 1.0F 4.8 2.8 1.4 5.0 1.0 0.0

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Iteration 1

{A, B, C , D, E , F}

��

XXXXXXXX

{A, B}�� HH

{A} {B} {C} {D} {E} {F}B,A C D E F

B,A 0.0 7.1 13. 0.6 2.8C 7.1 0.0 1.2 3.6 1.4D 13. 1.2 0.0 8.0 5.0E 0.6 3.6 8.0 0.0 1.0F 2.8 1.4 5.0 1.0 0.0

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Iteration 2 et 3

{A, B, C , D, E , F}

��

PPPPPPP

{A, B, E}

�� HH{A, B}�� HH

{A} {B}

{C} {D} {F}

A.. C D FA.. 0.0 3.6 8.0 1.0C 3.6 0.0 1.2 1.4D 8.0 1.2 0.0 5.0F 1.0 1.4 5.0 0.0

{A, B, C , D, E , F}

��

{A, B, E , F}

��

{A, B, E}

�� HH{A, B}�� HH

{A} {B}

{C} {D} F.. C DF,E,B,A 0.0 1.4 5.0C 1.4 0.0 1.2D 5.0 1.2 0.0

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Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Iteration 4

{A, B, C , D, E , F}

��

{A, B, E , F}

��HHH

{A, B, E}

�� HH{A, B}�� HH

{A} {B}

{C , D}�� HH

{C} {D}D,C F,E,B,A

D,C 0.00 1.36F,E,B,A 1.36 0.00

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Discussion

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Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Arbres binaires

F E A B C D

minimum & euclidien

hclust (*, "single")minimum

minimum & euclidien

Arbre binaire de classification hierarchique

I Les niveaux des palliers correspondent a la valeur du saut.D({A,B,E ,F}, {C ,D}) = 1.36

Classif

Introduction

Les donnees

Tables

Dissimilarites

Classification

Partitionnement

Inertie

Fusion

Algorithmes

Voronoı

Nuees dyn.

Definition

Exemples

Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

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Conclusion

Introduction

Conclusion

Classif

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Partitionnement

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Fusion

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Voronoı

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Saut minimal

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

GroupesA = 50B = 25

68 52 56 75 59 64 53 62 71 66 70 69 73 57 63 61 72 58 54 55 60 67 51 65 74 10 5 6 44 43 31 24 45 20 30 4 7 18 36 14 15 29 34 33 35 26 50 27 12 25 37 49 17 22 9 16 39 46 21 40 11 19 32 28 8 48 13 41 42 1 23 3 2 38 47

euclidean single

L’algorithme d’agregation avec le saut minimal favorise lechainage et est tres sensible aux points aberrants.

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Voronoı

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Definition

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Discussion

Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Saut minimal : 2 et 3 groupes

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

Groupes1 = 502 = 25

euclidean single groupes= 2

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

Groupes1 = 492 = 13 = 25

euclidean single groupes= 3

Les groupes bien separes ( grande inertie inter par rapport al’inertie intra) sont bien regroupes. Avec 3 groupes on apercoitdes points isoles ou aberrants.

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Hierarchique

Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

Chainage

−2 0 2 4

GroupesA = 50B = 25C = 303

chainage euclidean ward

713 22 723

852 85 851

862 86 861

892 89 891

902 90 901

872 87 871 52 882 88 881

762 76 761

772 77 771

782 78 781

792 79 791

802 80 801

814 81 812

842 84 841

822 82 821

832 83 831 69 74 73 66 72 61 68 56 58 71 67 64 65 53 57 75 59 70 51 62

1012 101

1011 992 99 991

1002 100

1001 60 63 972 97 971

982 98 981 55 952 95 951

962 96 961

914 91 912 54 922 92 921

932 93 931

942 94 941 32 19 46 233

332 28 343

342 2 17 42 353

502 49 515

522 23 45 1 24 6 40 41 26 44 27 7 18 21 33 14 30 31 16 3 13 48 34 8 38 43 25 11 10 39 5 37 4 35 15 36 104

142 12 203

512 9 50 20 29 47

euclidean wardInertie 3.0531=18.96(intra%)+81.0353(inter%)

hclust (*, "ward")minimum

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Discussion

Conclusion

Chainage minimal/ward 2 groupes

−2 0 2 4

yGroupes1 = 1752 = 1

euclidean single groupes= 2Inertie 4.357=93.69(intra%)+6.3072(inter%)

−2 0 2 4

Groupes1 = 2112 = 167

euclidean ward groupes= 2Inertie 3.0531=35.23(intra%)+64.7679(inter%)

Saut minimal Saut de Ward

Saut minimal, deux individus de deux groupes soient prochesalors les deux groupes sont agreges.

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Definitions

Agregation

Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

maximal/ward 4 groupes

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

Groupes1 = 372 = 103 = 34 = 25

euclidean complete groupes= 4Inertie 8.9341=21.1(intra%)+78.9011(inter%)

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

Groupes1 = 212 = 193 = 104 = 25

euclidean ward groupes= 4Inertie 8.9341=18.61(intra%)+81.3918(inter%)

Saut maximal Saut de Ward

Saut maximal : pas de chainage, classes compactes. Saut deWard classes d’effectif egaux.

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Distances

Exemple

Discussion

Conclusion

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Conclusion

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Distances

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Discussion

Conclusion

Conclusion classification

Les algorithmes de classification non supervises sont divises endeux groupes : d’une part les algorithmes de partitionnement,l’algorithme des nuees dynamiques et d’autres part lesalgorithmes de classification hiearchique.

nuees dynamique algorithme iteratif : conditions initiales choixde centres, arret a la stabilite. correspond a unchoix de centres, puis a un algorithme iteratif.

hiearchique algorithme iteratif : conditions initiales partitionla plus fine possible, arret quand le nombre degroupes desire est atteint.

Classification et BD M1:MASS-IMM · Francois.Kauﬀmann@math.unicaen.fr Classiﬁcation et BD...

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