1

3 Applications of Differentiation

2

Limits at Infinity3.5

3

• Determine (finite) limits at infinity.

• Determine the horizontal asymptotes, if any, of the graph of a function.

• Determine infinite limits at infinity.

Objectives

4

Limits at InfinityHow do you determine end behavior for 

polynomials?

How do you determine end behavior for rational functions?

5

This section discusses the “end behavior” of a functionon an infinite interval. Consider the graph ofas shown in Figure 3.33.

Limits at Infinity

6

Graphically, you can see that the values of f(x) appear to approach 3 as x increases without bound or decreases without bound. You can come to the same conclusions numerically, as shown in the table.

Limits at Infinity

7

The table suggests that the value of f(x) approaches 3 as x increases without bound              . Similarly, f(x) approaches 3 as x decreases without bound                .These limits at infinity are denoted by

and

Limits at Infinity

8

Horizontal Asymptotes

9

How do we find horizontal asymptotes?

Horizontal Asymptotes

10

           Horizontal Asymptotes

         

    (For #3: when the limit does not exist, the function goes to infinity or negative infinity as we go to the far left or right.)

11

Example – Finding a Limit at Infinity  

Find the limit:(Discuss Indeterminate Form:      )

12

So, the line y = 2 is a horizontal asymptote to the right.By taking the limit as               , you can see that y = 2 is also a horizontal asymptote to the left. 

Example – Finding a Limit at Infinity  Find the limit:

13

Example – Finding a Limit at Infinity 

Find the limit:

14

Example – Finding a Limit at Infinity Find the limit:

Solution: Using Theorem 3.10, you can write

15

Example – Finding a Limit at Infinity 

Find the limit:

Be careful!

16

Example – Finding a Limit at Infinity 

Find the limits:

17

Example – Finding a Limit at Infinity 

Find the limits:

18

Infinite Limits at Infinity

19

Find each limit.

Example – Finding Infinite Limits at Infinity

20

Find each limit.

Solution:

As x increases without bound, x3 also increases without bound. So, you can write

As x decreases without bound, x3 also decreases without bound. So, you can write

Example – Finding Infinite Limits at Infinity

21

Example – continued

The graph of f(x) = x3  in Figure 3.42 illustrates these two results. These results agree with the Leading Coefficient Test for polynomial functions.

cont’d

22

Example

What if in the rational function, the numerator has the leading term with a power that is one greater than the leading term in the denominator?  Does it have a limit as it goes to infinity or negative infinity?

(Do #1­6 from section 3.5 in the book together as a class.)

23

Summary:

24

Assignment:Section 3.5: problems 1­6, 13­27 odd, 

39, 59­71 odd