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Unidad 8. Estadstica 1
Pgina 205
REFLEXIONA Y RESUELVE
La cantidad de informacin disponible es enorme
Sin duda conoces los censos municipales que se realizan, peridicamente, ca-da pocos aos.
En cada uno de estos censos se recaban datos de cada vivienda de la poblacinrelativos a la casa, a la unidad familiar que la habita y a cada uno de los miem-bros que la componen.
Intenta recordar (o averiguar) algunos de los datos que se preguntan en elcenso de tu localidad.
Imagina qu otras cosas preguntaras si fueras t el encargado de realizar elcenso.
Por ejemplo domicilio, estudios realizados, ao de nacimiento
Pgina 209
1. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en 11 intervalos de longi-tud 9. Valen el origen del primero y el extremo del ltimo.
[58,5-67,5)
INTERVALOS
63
[67,5-76,5) 72
[76,5-85,5) 81
[85,5-94,5) 90[94,5-103,5) 99
[103,5-112,5) 108
[112,5-121,5) 117
[121,5-130,5) 126
[130,5-139,5) 135
4
8
8
98
10
11
8
7
[139,5-148,5) 144 4
[148,5-157,5) 153 3
MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS
ESTADSTICA8
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2. Reparte los 80 datos del ejercicio resuelto anterior en el tramo 57,5 157,5, se-parndolo en 10 intervalos de 10 unidades cada uno.
Pgina 211
1. Calcula x, q y C.V. en la distribucin siguiente: tiempo que emplean en irde su casa al colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, 5] le co-rresponde el valor 2,5; ).
x= 12,5
q = 5,65
C.V. = 0,45 = 45%
2. Compara las desviaciones tpicas de las distribuciones 1, 2, 3 y 4.
Al comparar dos de ellas, en caso de duda, pregntate: qu he de hacerle a estapara que se parezca a la otra?
Por ejemplo, para que la se parezca a la, hemos de achicar las columnas ex-tremas y aumentar la columna central. Por tanto, la es ms dispersa que la.
xi fi
2,5
7,5
12,5
17,522,5
27,5
2
11
13
63
1
TIEMPO (min)
N. DE ALUMNOS
(0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]
2 11 13 6 3 1
[57,5-67,5)
INTERVALOS
62,5
[67,5-77,5) 72,5
[77,5-87,5) 82,5
[87,5-97,5) 92,5
[97,5-107,5) 102,5
[107,5-117,5) 112,5
[117,5-127,5) 122,5
[127,5-137,5) 132,5
[137,5-147,5) 142,5
4
9
9
9
12
11
10
7
6
[147,5-157,5) 152,5 3
MARCAS DE CLASE FRECUENCIAS
Unidad 8. Estadstica2
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De menor a mayor desviacin tpica, se ordenarn as: , , , .
Pgina 212
1. Halla Q1, Me, Q3 yp40 en la distribucin:2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10
14 : 4 = 3,5
3,5 3,5 2 = 7 3,5 3 = 10,5
9 9 9
4. 7. 8. 11.
Q1= 3; Me = 6,5; Q3 = 8
= 5,6 8 6.
p40 es el individuo 6.
p40 = 6
Pgina 213
2. En la siguiente distribucin de notas, hallaMe, Q1, Q3, p80, p90 yp99.
Me = p50 = 5; Q1 = p25 = 4; Q3 = p75 = 6; p80 = 6,5; p90 = 8; p99 = 10
xi
fi
1
7
2
15
3
41
4
52
5
104
6
69
7
26
8
13
9
19
10
14
Fi
7 22 63 115 219 288 314 327 346 360
EN % 1,94 6,11 17,5 31,94 60,83 80 87,22 90,83 96,11 100
NOTAS
N. DE ALUMNOS
1
7
2
15
3
41
4
52
5
104
6
69
7
26
8
13
9
19
10
14
14 40
100
1 2 3 4
Unidad 8. Estadstica 3
8UNIDAD
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1. Obtn la distribucin de frecuencias acumuladas y representa el correspon-diente polgono, relativos a los datos de la tabla siguiente:
Pgina 2152. Halla grfica y numricamente Q1, Me, Q3 yp90 en la distribucin del ejer-
cicio propuesto en la pgina anterior.
Q1 = 243,66%; Me = 275,12
Q3 = 309,86; p90 = 346,06
Pgina 216
1. Representa en un diagrama de caja las distribuciones y de la pgina212.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I
II
III
100
80
60
40
20
240 280 320 360 400200
%
Me Q 3 P90Q1
EXTREMOS
200
240
280
320
360
400
Fi
0
57
139
212
243
258
EN %
0,00
22,09
53,88
82,17
94,19
100,00
INTERVALOS
FRECUENCIAS
200-240
57
240-280
82
280-320
73
320-360
31
360-400
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Unidad 8. Estadstica4
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2. Representa, mediante un diagrama de caja, las distribuciones de los ejerciciospropuestos 1 y 2 de las pginas 212 y 213.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Unidad 8. Estadstica 5
8UNIDAD
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
1 Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de 384 datos, cuyosvalores extremos son 19 y 187.
a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, cules sern esos in-tervalos?
b)Haz otra distribucin en 12 intervalos de la amplitud que creas conve-niente.
a) 187 19 = 168. Para que sea mltiplo de 108
170170 168 = 2 8 Una unidad menos que el menor y una ms que el mayor:
[18, 35); [35, 52); [52, 69); [69, 86); [86, 103); [103, 120); [120, 137); [137, 154);[154, 171); [171, 188].
b) 168 : 2 = 14 exacto. Amplitud = 14:
[19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 75); [75, 89); [89, 103); [103, 117); [117, 131);[131, 145); [145, 159); [159, 173); [173, 187].
2 La altura, en centmetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una mismaclase es:
150, 169, 171, 172, 172, 175, 181
182, 183, 177, 179, 176, 184, 158
Calcula la mediana, los cuartiles, p15 yp90.
Primero los ordenamos:
150, 158, 169, 171, 172, 172, 175, 176, 177, 181, 182, 183, 184
Me = 175,5 Es el valor que deja por debajo de l al 50% de la poblacin, y por
encima, al otro 50%.Q1 = 171 Es el valor que deja por debajo de l al 25% de la poblacin, y por
encima, al 75%.
Q3 = 181 Es el valor que deja por debajo al 75% de la poblacin, y por enci-ma, al 25%.
p15 8 = 2,1. Es el 3. 8 p15 = 169
p90 8 = 12,6. Es el 13. 8 p90 = 18390 14
100
15 14
100
PARA PRACTICAR
Unidad 8. Estadstica6
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3 Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100000 eurosy una desviacin tpica de 12 500 euros. En otra empresa B la media es15 000 euros y la desviacin tpica 2 500 euros. Calcula el coeficiente de va-riacin y di cul de las dos tiene mayor variacin relativa.
C.V. (A ) = 100 = 12,5%
C.V. (B) = 100 = 16,67%
Tiene mayor variacin relativa la B.
4 El peso medio de los alumnos de una clase es 58,2 kg y su desviacin tpica3,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 52,4 kg y su desviacin tpica es5,1 kg. Calcula el coeficiente de variacin y compara la dispersin de ambosgrupos.
C.V. (chicos) = 100 = 5,33%
C.V. (chicas) = 100 = 9,73%
Hay mayor dispersin en el peso de las alumnas.
5 En una poblacin de 25 familias se ha observado la variable X= nmero decoches que tiene la familia y se han obtenido los siguientes datos:
0, 1, 2, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3, 2, 2, 1, 1
2, 2, 1, 1, 1 2, 1, 3, 2, 1
a) Construye la tabla de frecuencias.
b)Haz el diagrama de barras.
c) Calcula la media y la desviacin tpica.
d)Halla la mediana y los cuartiles.
e) Haz un diagrama de caja.
a) b)xi fi
0
1
2
3
4
2
12
7
3
1
25
5,1
52,4
3,1
58,2
qBxB
qAxA
Unidad 8. Estadstica 7
8UNIDAD
fi
xi0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4
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c)x = 1,56 d) Me = 1 e)
q = 0,94 Q1 = 1; Q3 = 2
6 En la distribucin de pesos de 500 personas se han obtenido los siguientesparmetros de posicin:
Q1 = 62 kg, Me= 72 kg, Q3 = 78 kg
Di el nmero de personas cuyo peso:
a) Es menor que 78 kg.
b)Est comprendido entre 62 kg y 72 kg.
c) Es inferior a 62 kg.
a) El 75% de 500, es decir, 375 personas pesan menos de 78 kg.
b) 25% de 500 = 125 personas.
c) 25% de 500 = 125 personas.
7 Al preguntar a un grupo de personas cunto tiempo dedicaron a ver televi-sin durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados:
Dibuja el histograma correspondiente y halla la media y la desviacin tpi-ca.
Observa que los intervalos tienen distintas longitudes y recuerda que en un his-
tograma las frecuencias han de ser proporcionales al rea.
x= 2,57; q = 1,93
1
5
10
15
20
2 3 4 5HORAS
6 7 8
TIEMPO (en horas)[0; 0,5)
[0,5; 1,5)
[1,5; 2,5)
[2,5; 4)
[4, 8)
N. DE PERSONAS10
10
18
12
12
0 1 2 3 4
*
Unidad 8. Estadstica8
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8 Este es el polgono de porcentajes acumulados de la distribucin del CI (co-ciente intelectual) de un colectivo de 300 personas:
a) Trabajando sobre el grfico, asigna, aproximadamente, los valores de:
Q1, Me, Q3, p5, p10, p40, p80, p90, p95
b)Cuntas personas (aproximadamente) de este colectivo tienen un CI
comprendido entre 104 y 116?
Cuntas personas tienen un CI superior a 115?
c) Qu percentil tiene una persona con un CI de 112?
a) Q1 = 105,5; Me = 110,5; Q3 = 113
p5 = 98, p10 = 101, p40 = 109, p80 = 114, p90 = 116, p95 = 117,5
b)Hay un 70% (90 20 = 70)
El 70% de 300 personas son 210 personas.
115 = p85 8 Hay un 15% (100 85 = 15).
El 15% de 300 personas son 45 personas.
c) 112 = p65
104 = p20116 = p90
95 100 105 110 115 120
%
50
100
Unidad 8. Estadstica 9
8UNIDAD
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9 Estos son los pesos (en kg) de 50 recin nacidos:
2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3
3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9
2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9
2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7
2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3
a) Haz una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de amplitud 0,4 kg,comenzando en 1,6. Representa esta distribucin.
b)Calcula la media y la desviacin tpica.
c) Calcula, a partir del polgono de porcentajes acumulados, Q1, Me, Q3,p40, p90, p95.
a)
b) x= 2,89; q = 0,49
c)
Q1 = 2,3; Me = 2,85; Q3 = 3,18
p40 = 2,83; p90 = 3,55; p95 = 3,61
1,6
20
40
6080
100
2 2,4 2,8 3,2
%
3,6 4
EXTREMOINTERVALO
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
PORCENTAJEACUMULADO
0
6
16
36
76
94
100
1,6
5
10
15
20
2 2,4 2,8 3,2PESO (kg)
3,6 4
fiINTERVALOS FRECUENCIAS
[1,6; 2)
[2; 2,4)
[2,4; 2,8)
[2,8; 3,2)
[3,2; 3,6)
[3,6; 4)
3
5
10
20
9
3
50
PARA RESOLVER
Unidad 8. Estadstica0
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10 En una fbrica se ha medido la longitud de 1 000 piezas de las mismas carac-tersticas y se han obtenido estos datos:
a) Representa el histograma correspondiente.
b)Se consideran aceptables las piezas cuya longitud est en el intervalo
[75, 86]. Cul es el porcentaje de piezas defectuosas? Del segundo intervalo habr que rechazar las que midan entre 72,5 y 75. Calcu-
la qu tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia 75 72,5 y halla el
porcentaje de la frecuencia correspondiente. Procede anlogamente en el cuarto in-
tervalo.
a)
b) En el intervalo 72,5-77,5:
75 72,5 = 2,5 8 = 47,5 piezas defectuosas
En el intervalo 82,5-87,5:
87,5 86 = 1,5 8 = 30 piezas defectuosas
En total el nmero de piezas defectuosas ser:
5 + 47,5 + 30 + 10 = 92,5
que representa el 9,2% del total.
100 1,55
95 2,55
67,5
100
200
300
400
500
600
700
800
72,5 77,5 82,5 87,5LONGITUD (mm)
NMERODE PIEZAS
92,5
LONGITUD
(en mm)67,5 - 72,5
72,5 - 77,5
77,5 - 82,5
82,5 - 87,5
87,5 - 92,5
NMERO
DE PIEZAS
5
95
790
100
10
Unidad 8. Estadstica 11
8UNIDAD
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11 Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El nmero de res-puestas correctas se refleja en la siguiente tabla:
a) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles 20 y 85.b) Cul es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?
c) Halla x
, q y C.V.
a) Hacemos las tablas de frecuencias:
Me = 40 + (50 40) = 43,33
Q1 = 20 + (30 20) = 26,66
Q3 = 50 + (60 50) = 59,41
p20 = 20 + (30 20) = 22,66
p85 = 60 + (70 60) = 66,88
b) 65 = 60 + (70 60) 8 k = 82,5
c) x= 42,67; q = 20,52; C.V. = 0,48
k 75,83
13,33
85 75,8313,33
20 16,67
12,5
75 61,67
14,17
25 16,6712,5
50 44,1717,5
EXTREMOS
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Fi
0
40
100
175
265
370
455
535
600
EN %
0,00
6,67
16,67
29,17
44,17
61,67
75,83
89,17
100,00
INTERVALO
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
fi
40
60
75
90
105
85
80
65
EN %
6,67
10,00
12,50
15,00
17,50
14,17
13,33
10,83
600 100,00
RESPUESTASCORRECTAS
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
N. DEPERSONAS
40
60
75
90
105
85
80
65
Unidad 8. Estadstica2
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12 En la fabricacin de un vino, se le aade un compuesto qumico.
En la tabla aparece la concentracin de este com-puesto en 200 botellas.
a) Calcula la media y la desviacin tpica.
b)Se estima que el vino no se debe consumir si laconcentracin de ese compuesto es superior a20,9 mg/l.
Segn esto, qu porcentaje de botellas no es adecuado para el consumo?
a) x= 20,52
q = 0,2
b) 21 20,9 = (21 20,8)
Son = 7 botellas de cada 200, un 3,5%.
13 De una muestra de 75 pilas elctricas, se han obtenido estos datos sobre suduracin:
a) Representa los datos grficamente.
b)Calcula la media y la desviacin tpica.
c) Qu porcentaje de pilas hay en el intervalo (xq, x+ q)?
d)Calcula Q1, Me, Q3, p30, p60, p95.
a)
25
5
10
15
20
25
30
30 35 40 45HORAS
50 55 60 65 70
TIEMPO (en horas)
[25, 30)
[30, 35)
[35, 40)
[40, 45)
[45, 55)
[55, 70)
N. DE PILAS
3
5
21
28
12
6
14
2
12
CONCENT.(mg/l)
[20; 20,2)[20,2; 20,4)
[20,4; 20,6)
[20,6; 20,8)
[20,8, 21)
NMERODE BOTELLAS
1538
76
57
14
Unidad 8. Estadstica 13
8UNIDAD
8/6/2019 U08 Estadistica
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b) x= 42,63; q = 7,98
c) xq = 34,65; x+ q = 50,61
En el intervalo [30, 35):
35 34,65 = 0,35 8 = 0,35
En el intervalo [45, 55):
50,61 45 = 5,61 8 = 6,73
En total:
0,35 + 21 + 28 + 6,73 = 56,08
Por tanto, en el intervalo (xq, x+ q) hay un 100 = 74,77% del totalde pilas.
d) Q1 = 37,55; Me = 41,51; Q3 = 44,87; p30 = 38,45; p60 = 42,86; p95 = 60,63
14 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas en la siguiente ta-bla:
a) Calcula la media y la desviacin tpica.
b)Di el valor de la mediana y de los cuartiles.
c) Qu centil corresponde a una estatura de 180 cm?
a) n = 40, Sx = 6980 8 x= 174,5
Sx2 = 1219370 8 q = 5,83
b) Me = 174,6; Q1
= 170,3; Q2
= 178,1
c) A 180 cm le corresponde el centil 82.
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15 En la distribucin de las notas de un examen el primer cuartil fue 4. Qusignifica esto?
Por debajo de 4 quedaron un 25%.
CUESTIONES TERICAS
INTERVALOS
158,5 - 163,5
163,5 - 168,5
168,5 - 173,5
173,5 - 178,5
178,5 - 183,5
183,5 - 188,5
N. DE ALUMNOS
1
5
11
14
6
3
56,08
75
5,61 1210
0,35 55
Unidad 8. Estadstica4
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16 La nota media de los aprobados en un examen de Matemticas ha sido 6,8, yla de los suspensos, 3,5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo35 aprobados y 15 suspensos.
238 + 52,5 = 290,5
290,5 : (35 + 15) = 290,5 : 50 = 5,81
La nota media fue de 5,81.
17 La estatura media de los 38 alumnos y alumnas de una clase es de 168 cm.Las chicas, que son 17, miden 162 cm de media. Calcula la estatura media delos chicos.
6384 2754 = 3 630
3630 : (38 17) = 3 630 : 21 = 172,85
La estatura media de los chicos es 172,85 cm.
18 Justifica que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1.
Sf ri= S = Sf
i= n = 1
19 Completa la tabla de esta distribucin en la que sabemos que su media es 2,7.
= 2,7
= 2,7 8 44 + 2f2 = 40,5 + 2,7f2 8 3,5 = 0,7 f2 8 f2 = 5
Luego la tabla queda:
20 Dos distribuciones estadsticas, A y B, tienen la misma desviacin tpica.
a) Si la media de A es mayor que la de B, cul tiene mayor coeficiente devariacin?
b)Si la media de A es doble que la de B, cmo sern sus coeficientes devariacin?
a) B.
b) El coeficiente de variacin de A es la mitad que el de B.
xi
fi
1
3
2
5
3
7
4
5
44 + 2f215 + f2
3 1 + f2 2 + 7 3 + 5 4
3 + f2 + 7 + 5
xi
fi
1
3
2
3
7
4
5
1n
1n
fi
n
17 162 = 2754
38 168 = 6384
6,8 35 = 2383,5 15 = 52,5
Unidad 8. Estadstica 15
8UNIDAD
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AUTOEVALUACIN
1. Las estaturas de los componentes de tres equipos in-fantiles de baloncesto, A, B, C, se distribuyen segnlas grficas y con los parmetros que se dan a conti-nuacin:
Qu grfica corresponde a cada equipo? Contesta razonadamente.
A 8 B 8 C 8
2. Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo:
a) Representa grficamente (histograma) y estima x
y q.
b)Calcula numricamente x
y q yobtn el porcentaje de chicos que
hay en el intervalo (x
q, x
+ q).
c) Calcula la mediana y los cuartiles yestima el centil que corresponde acada una de las siguientes medidas:40 kg, 50 kg, 60 kg, 70 kg.
a)
35,5 42,5 49,5 56,5 63,5
2
4
6
8 x 53,5 kg
q 8 kg
10
70,5 77,5
12
INTERVALOS
35,5 - 42,542,5 - 49,5
49,5 - 56,5
56,5 - 63,5
63,5 - 70,5
70,5 - 77,5
N. DE ALUMNOS
211
13
9
3
2
213
170
1
2
3
4 1 2 3
175 180 165
1
2
3
4
170 175 180 165
1
2
3
4
170 175 180 185
x
A
q
175
6,5
B
174,3
3,2
C
172,1
4,5
Unidad 8. Estadstica6
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3. En una fbrica de tornillos se mide la longitud (en mm) de algunos de ellos yse obtiene:
22, 20, 18, 15, 19 22, 16, 19, 23, 18
17, 23, 23, 21, 18 20, 22, 18, 25, 2322, 22, 19, 19, 20 21, 18, 24, 17, 20
19, 23, 21, 23, 21 20, 19, 21, 20, 22
19, 20, 18, 21, 19 18, 20, 22, 21, 19
a) Haz una tabla de frecuencias con datos aislados: 15, 16, , 23, 24, 25. Cal-cula x
, q, Q1, Me, Q3.
b)Haz una nueva tabla agrupando los valores en seis intervalos de extremos14,5-16,5-18,5-20,5-22,5-24,5-26,5. Vuelve a calcular x
, q, Q1, Me, Q3.
c) Qu centil corresponde a 24 mm en cada una de las dos distribuciones?
a)
x= = 20,2 mm
q = = 2,12 mm
Me = 20 mm
Q1 = 19 mm
Q3 = 22 mm
b)
x= = 20,22 mm
q = = 2,22 mm20688,5
20,22250
101150
INTERVALOS
14,5 - 16,5
16,5 - 18,5
18,5 - 20,5
20,5 - 22,5
22,5 - 24,5
24,5 - 26,5
xi
15,5
17,5
19,5
21,5
23,5
25,5
fi
2
9
17
14
7
1
fi xi
31
157,5
331,5
301
164,5
25,5
fi x
i2
480,5
2 756,25
6 464,25
6 471,5
3 865,75
650,25
50 1 011 20 688,5
EN %
4
22
56
84
98
100
Fi
2
11
28
42
49
50
xi fi
15
16
17
18
19
20
21
22
2324
25
1
1
2
7
9
8
7
7
61
1
50
fi xi
15
16
34
126
171
160
147
154
13824
25
fi xi
2
225
256
578
2268
3249
3200
3087
3388
3174576
625
1010 20626
Fi
1
2
4
11
20
28
35
42
4849
50
20626 20,2250
1010
50
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