7/24/2019 spekteor1516.pdf
1/1
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematicke nauke
studijski program: matematikaMASTER AKADEMSKE STUDIJE-MAS
SPEKTRALNA TEORIJA
MATRICA
(ispitni rok,MAS-1)
1 Hermitski skalarni proizvod u Cn,norma definisana tim proizvodom i osobine te norme. Kosi-Svarcovanejednakost. Specijalno, dokazati da vazi (tzv nejednakost trougla) u + v u +v, za sveu Cn,v Cn,gde je ,norma definisana Hermitskim skalarnim proizvodom.
Da li je tacna jednakost (u)v= uv ( C,u Cn v Cn)? Obrazloziti! 10+10=20
2. (a) Neka je data matrica A = [a1 a2 . . . an] Cmn, aj =
a1ja2j
.
..amj
Cm,
(1 j n, j N).Proveriti tacnost jednakosti Av2 =mk=1
|nj=1
akjvj |2
za bilo kojev =
v1v2...
vn
Cn
(b) Konjugovani-transponat matrice i proizvoda dve matrice .Unitarne (ortogonalne)matrice.Objasnitista predstavljaju kolone unitarne matrice.
(c) Ako je A Cnn
Hermitska matrica,dokazati da su elementi (koje zovemo???) spektra matriceA, (A)realni brojevi,polazeci od jednakostivv= v(v), gde je (A) iv Cn odgovarajucisvojtsveni vektor.Na osnovu koje teoreme (navesti celi iskaz teoreme) sledi isti zakljucak?
10+10+10=30
3. Primena Surove teoreme na spektralnu teoremu za Hermitske matrice.Data je matrica
A=
1 2 02 2 00 0 3
.Naciunitarnu matricuU koja dijagonalizuje matricuAi napisatiunitarnu faktorizaciju
te matrice u smislu pomenutespektralne teoreme .Izdvo jiti odgovarajucuortonormiranu bazuprostora C3.
10+10=20
4. (a) Projektori.Ortogonalni projektori.Rang i nulitet(ortogonalnog) projektora .Ispitati za koje je C
matricaP =
0 0 . . . 00 0 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . .
Cnn ortogonalni projektor.
(b) Ako je matrica P projektortada je P 1,a ako je ortogonalni projektor tada je P= 1.Dokazati.
(c) Primena ortogonalnih projektora na Hermitske matrice.Rezolucija identiteta.
10+10+10=30
=100
broj bodova = ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10
Top Related