7/24/2019 spekteor1516.pdf

1/1

DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematicke nauke

studijski program: matematikaMASTER AKADEMSKE STUDIJE-MAS

SPEKTRALNA TEORIJA

MATRICA

(ispitni rok,MAS-1)

1 Hermitski skalarni proizvod u Cn,norma definisana tim proizvodom i osobine te norme. Kosi-Svarcovanejednakost. Specijalno, dokazati da vazi (tzv nejednakost trougla) u + v u +v, za sveu Cn,v Cn,gde je ,norma definisana Hermitskim skalarnim proizvodom.

Da li je tacna jednakost (u)v= uv ( C,u Cn v Cn)? Obrazloziti! 10+10=20

2. (a) Neka je data matrica A = [a1 a2 . . . an] Cmn, aj =

a1ja2j

.

..amj

Cm,

(1 j n, j N).Proveriti tacnost jednakosti Av2 =mk=1

|nj=1

akjvj |2

za bilo kojev =

v1v2...

vn

Cn

(b) Konjugovani-transponat matrice i proizvoda dve matrice .Unitarne (ortogonalne)matrice.Objasnitista predstavljaju kolone unitarne matrice.

(c) Ako je A Cnn

Hermitska matrica,dokazati da su elementi (koje zovemo???) spektra matriceA, (A)realni brojevi,polazeci od jednakostivv= v(v), gde je (A) iv Cn odgovarajucisvojtsveni vektor.Na osnovu koje teoreme (navesti celi iskaz teoreme) sledi isti zakljucak?

10+10+10=30

3. Primena Surove teoreme na spektralnu teoremu za Hermitske matrice.Data je matrica

A=

1 2 02 2 00 0 3

.Naciunitarnu matricuU koja dijagonalizuje matricuAi napisatiunitarnu faktorizaciju

te matrice u smislu pomenutespektralne teoreme .Izdvo jiti odgovarajucuortonormiranu bazuprostora C3.

10+10=20

4. (a) Projektori.Ortogonalni projektori.Rang i nulitet(ortogonalnog) projektora .Ispitati za koje je C

matricaP =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . .

Cnn ortogonalni projektor.

(b) Ako je matrica P projektortada je P 1,a ako je ortogonalni projektor tada je P= 1.Dokazati.

(c) Primena ortogonalnih projektora na Hermitske matrice.Rezolucija identiteta.

10+10+10=30

=100

broj bodova = ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10