����� ���� �� ���
����� �����
����� ���� ���� ������ ��� ������� �� ��� ��� ! �� ��" �#��� �$�%�
�%� "��&�� � ���'�( �)*�+�% , -���.
������ ��� � ��� ������������� ������� ��� ��� �����
�����
���� ����������
��� ��
������ ����� ����������� ����
��� ����� �!����� ����� ����� ������ ����
���� ��� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
�� �����
�� ��
� � � ��� �� ����� ��� ���� ����� ��� ����� ��� �� �!
����� � ���
� �� "�#� $��%����� &'�� �(��� � ) �� ��� ) �!
���� ������ ���� ���
��� &� �# �*+ ���� �� ��! ��� �! ,! �) �
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
����/
������� �� �� �� �� ����� ���� � � �� �� ��� ������ ������� �� � !��"#$�� � ����%�&�� '���� ��(�)� �� �� *� +� ,��� �#� �� ��� -��'�� .�#��� �/ �� -���� �) !���� $��% -�0���1# �� ��"#$�� � ����%�&�� '�� 2 34� -��� ���5 -��6/� �715 �� !���� ��� �� ��1% ��0$��% Ia 8% -���&��%��� ��"���� �70�� ) $�� � -��" �� 9��� : � ) ��� -� �(���%� ) ������� .�%) ��w� = −����; ����<� �� -�(��� �� =��� (�"�� , �� ��>? �� -�(�1� =�� !����%�&�� '�� �� �� ����!”%�� � �����” ) ”@��A = B"�” ���� , �� )� ���C ��� .��� D)�<� ��"#$�� � ���C �� ) !(�# , ��� �)� !��, �� ��� ,; -��� ) ��"#$�� � ���C ��:>��5 -��'�� $�"� �� � EF&� G���� -H�%� -��'�� .����$��� �� �&���) G���� -H�%� &��"#(���I '�� )� ��<� �� ���% $���I ��� �� .�%�# ��<� JKLL '�� �� ���G1� �� .= "� � ���� '�� )� ��� �M; �� �� *� +� N�:� -����&��� , �� ) =��� ���"� !�&����I!$�� � -��" �� 9��� '�+&%� �&����I !Ia 8% -���&��%��� �"%�� $�� � �" �� '3� �� �&���) -�0� ����������+� �� (��O&�� �� �>�� D�P �� ) D�P G� �� Q�� -��$�� �� ��5 $�� @ P !%���� &��R $��%!(�# ��<� -��'�� -���&����I !�#� � <� ��%�� �� >&�S1� T��� U�� �V1 +&�� �� ����&��� �#� W��%����X ���� ��� -���R ��% -��6)� G1� �� �� $�� � -��" �� 9��� -��(��� Y)� �1�X �� .�%#� 1E �θMarkov = �.��+�.��
−�.��D���� 'P -���� D���� (� Z%� G� ��0 �� 9��� ��� �� = ��� $��% .= ���
9[I ) ��Z��5 \���] � <� �� !��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� � ����� $)^%_ ���<� .�#���\�; �� �� ��� >&�S1� T��� '3� ����<� !��� D/&�� �� `��� G%/I a��� ����<� G1� �� .�#�b[��.�# ���� �Z"� ��� $�� @ P -��� -�����<� �� U�� G� ��0 �� �� ��� .=��)R� ��� �� ��M� ��)��: ��%R ) ��� T��� T��� G%/I a ��� ����<� G1� �� ,+&�� ��0 �� $�� � -��" �� 9��� T��� T��� $�� ���30 .���� �5) �� T��� T��� �� �� �V&S�% ����� �� ���� $��% c��&% .�#� ���� ��&�����"?�� ��<&� -��6)� G1� �� !�) �� ��1# �� -���R = ��O� ����: >%��� 9��? �� � �� -���R -��>%��1�
.�#� � ��� ��&�����"? : ��%R
-��. ����/ ���0��1 ) ��2�! ���3��� ���. 4���. �5��� ��� �6 ����. ������6� 7� 8��9! ��)"5��:&6#' -��#. B
y: Mov
ahed
www.smov
ahed
.ir
!"�� �#��$
Jd ���"� �# $
ef �����%���� ��������� &�� '
ef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���+� J.e
eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . `��S%� '�; �� $��5 e.e
eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,��� �&����I ) *� +� ,��� J.e.e
fd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \��h 9��� $��)� e.e.e
fL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \��h (��� $��)� f.e.e
fK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \��h G���� -H�%� $��)� i.e.e
iJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��"# $�� � ����%�&�� '�� �/ �� j.e.e
ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� '�� f.e
ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . k�"�� ,; �� ��� �7l�� ��� '�� �%>? J.f.e
iL . . . . . . . . . . . . . . . . . k�"�� ,; �� &[� �7l�� ��� '�� �%>? e.f.e
iK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � �� *� +� N�:� -����&��� , �� i.e
J
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
e ������� ���
jm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� ��&��� , �� J.i.e
ji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��&��� , �� �� �#� W��%� e.i.e
jj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -)�� 9S�� '�� j.e
jL (�� �����%���� )
jL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���+� J.f
jK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ����%�&�� -��T1# $�"� �� Ia 8% -���&��%��� e.f
gJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -�0� ��"# $�� � �� �70�� -� �(���%� J.e.f
gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� �70�� (���%� f.f
gK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� '�+&%� �&����I i.f
dd . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� N�:� >&�S1� T��� �� %���� &��R $��% j.f
Lf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �#� W��%� -�0� ���+� g.f
Lj ��*+�� ,��� (-��� (�� &�� .
Lj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���+� J.i
LK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��"#$�� � ���C , �� J.J.i
Ki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� Qu '�� e.i
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
f ������� ���
Kj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qu '�� ��� �� $�� � , �%�&I �&��� f.i
Kd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� '�� i.i
JmJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � ���"� �� 1&���>� G���� -H�%� �C� J.i.i
Jmg . . . . . . . . . Ia 8% -���&��%��� �7 �� G���� -H�%� 1&���>� '�� ���� e.i.i
JJJ . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� $�� @ P -���7X $� � ) '�+&%� �&����I f.i.i
JJi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� N�:� -����&��� -�0� � X i.i.i
JJK . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� '�� �M; �� *� +� N�:� -����&��� , �� j.i
Jef . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� �M; �� -)�� 9S�� ��&��� , �� '�� J.j.i
Jef . . . . . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� -��� �#� W��%� -�0� � X e.j.i
Jed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� %�� '�� g.i
Jfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � ���"� �� %�� G���� -H�%� �C� J.g.i
Jfg . . . . . . $�� � �" �� �� `��� -�0� -��� X �� (��O&�� �� %�� '�� ���� e.g.i
JfK . . . . . . %�� G���� -H�%� '�� �M; �� *� +� N�:� -����&��� , �� f.g.i
Jij %���� (�/���0 12� 3�4��5 6
Jij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���+� J.j
Jig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� DZ��"� e.j
Jjg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� �� $�� �� � h f.j
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
i ������� ���
JjK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� -���R -��>%��1��% i.j
Jgj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���4� -���"�R�� ����+� j.j
Jgj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���4� -��� EF&� ) '�1&;� ��>? J.j.j
JgK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���4� -���"�R�� -�"��+SP e.j.j
Jdm . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��"���I 2�� ����R -)� �� -���)�� >&�S1� 'P g.j
Jde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D���� �"�R�� ) $�� � -��" �� 9��� d.j
Jdf . . . . . . . . . . . . . . D���� 'P � <� -��� D)��17� a �1o? 6)� J.d.j
Jdj . . . . . . . . . . . . . D���� -���)�� *� +� � <� -��� ��1% ���� 6)� e.d.j
JdL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� � �� ��� ����<� f.d.j
JLm . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� $�� @ P ) CMB ����� � ��� i.d.j
JLe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� ��&���� , 73� L.j
JLi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (�# �%)� $)�� : � ) ��� , 73� J.L.j
JLK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SWV 6)� e.L.j
JLK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R/S 6)� f.L.j
JKm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . WMAP -��(��� ��&���� , 73� i.L.j
JKf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . WMAP -��(��� $�� �� ���� j.L.j
emJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D���� 'P -�0� � X K.j
eme (��7 /8��� 9
emg (���5 (���:; ��<5�2 A
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
j ������� ���
emL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � >%� � �� <� -��� J.A
eJm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�1&;� T��� T��� ��>? -��� � 1[� e.A
eJe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '��� ������ \���] -��� � 1[� f.A
eJf (���5 (����� %��� &�� B
eJi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�1&;� �" � � ��� 1[� G� $�"� �� ��<��� ���&1� J.B
eem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -)� ����� -���; J.J.B
eed . . . ��]� -���&����I Dp; ) (�# -� �'��>&%� '�1&;� �" � � �>" 1[� 6)� e.J.B
eeL . . . . . . . . . . . . . . %�) (�# -� �'��>&%� '�1&;� �" � � �>" 1[� 6)� f.J.B
(�� ,� (��2 Hurst (��� �2 DFA 0� ��5 =��2 (��� >�2 ?�� �� C
efm ���#
(�� ,� (��2 Hurst (��� �2 DFA 0� ��5 =��2 (��� >�2 ?�� �� D
efi ���#��
(�� ,� (��2 Hurst (��� �2 DFA 0� ��5 =��2 (��� >�2 ?�� �� E
efd (��2@ <� ���#
eiJ �����%���� (��=��� (��70���� �� ������ (�:; F
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
%&'� �(�)
I =��� '3� >%>? �� �"�R� �M� q�1�� �� �� -�% -����I �� $��� (�>% �� $��%� JaJ
JL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ����
em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =��� ��hR eaJ
em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =��� '3� faJ
em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =��� $���I iaJ
ed . . . . . . . . . . . . . . ��"# $�� � ����%�&�� '�� -�l� *��� �� =��� '3� $��)� Jae
eL . . . . . . . . . . . . . . ��"# $�� � ����%�&�� '�� -�l� *��� �� =��� '3� $��)� eae
eK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P��S%� '�; �� $��5 �� *� +� ,��� fae
fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �A�% �� %�� � Y��5� $�# �)� ���� "3"� iae
ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��"# $�� � ����%�&�� '�� �� ��� �7l�� jae
g
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
d ���� ����
ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re T5��s Y�� $��)� �� %�� � -���P � F� gae
id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y�� '�� G1� �� ��� �7l�� ,; dae
jm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . re T5��s Y�� '�� G1� �� =��� &[� �7l�� ,; Lae
gm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . &I� @ P *��� �� ���&��% ��� -�"� �&�� Jaf
gm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �) � \�; �� ')� 8% ���&��%��� -�% "3"� eaf
gJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y�_ ��3 34� '�1�� �� WI ���&��%��� -�% "3"� faf
gj . . . . . . . ��� �&��� Y�Z%� JKKd '�� �� �� G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� iaf
gj . . . . . . . ��� �&��� Y�Z%� JKKL '�� �� �� G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� jaf
gg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� ���� � X� gaf
dm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� $�� @ P "3"� daf
de . . . . . . . . . G���� -H�%� ) (��� ��>? �3O0 �� ���C '�+&%� �&����I * <� "3"� Laf
Le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� N�:� -����&��� >&�S1� T��� Kaf
Le . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� N�:� -����&��� -��� !�70�� �� >&�S1� T��� Jmaf
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
L ���� ����
Le . . . . �%# � � <� %���� &��R $��% �� (��O&�� �� �� ��"# $�� � -��� 1� JJaf
Lf . . . . . . . . . . . . . ���� $��% �� �"5 � ;�% � ��I , # ) ��1# � ;�% _�� , # Jeaf
Ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� � >�� ��&�� Jai
Kf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� 8% � <� �� ���&��%��� G3� "��) eai
Kj . . . . . . rKK T5��s $��� �� �&���) G���� -H�%� -��� (�# �t��� -�� , �%�&I �� ��� fai
KK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q�� �� '�+&%� \�; �� �&��� = 1<� ���; ����<� ��&�� iai
KK . . . . . . . ��� ) �&�� !�[� =��� -��� G���� (��� ) G���� -H�%� -����� Q�� �� '�+&%� jai
Jmm . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� ,��� \�; �� G���� (��� �� G���� -H�%� �S�% gai
JmJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� -��� �Su� v�&# dai
Jme . . . . . . . . . �[� =��� -��� !91� � 1� @7&[� ����+� -��� !���� ) ,��� �&����I Lai
Jmf . . . . . . . . . . . . . . . . �[� =��� -��� !Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� 'P '3� Kai
Jmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���A ��)�� �70�� Jmai
Jmj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� =Z; $�1�� (���%� JJai
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
K ���� ����
Jmg . . . . . . . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� 91� �&����I \�; �� $��5 �1� Jeai
JJm . . . . . . . . . . . . . . . . . . �/P �%1% -���&��%��� + +; ) -���A ��X ,]�O� Jfai
JJJ . . . '�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�&����I -�M� �� '�4�� ����� (��� Jiai
JJe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���&����I -�M� �� ���C &��R �7X $� � "3"� Jjai
JJg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� Jgai
JJd . . . . . . . '�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� (��� Jdai
JJd . . . . . . . . . '�; $��� �� ���; �&����I ) 91� �&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% JLai
JJL . . . . . . 91� �&����I ) '�; $��� �� G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% JKai
JJL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� emai
JeJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&���>� G���� -H�%� �M; �� ��>? ���S� '3� eJai
Jee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q�� �� '�+&%� \�; �� �#� W��%� '3� eeai
Jee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q�� �� '�+&%� \�; �� �#� W��%� '3� efai
Jef . . . . . . . . . . . . . . . . . . �#� W��%� -��� -��� �S��3� ) 6���� T��� ����+� eiai
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jm ���� ����
Jei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� �&��� \�; �� (�# ,&[� � ;�% 8�<# '3� ejai
Jej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� egai
Jeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% edai
Jeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� eLai
Jeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� eKai
JeL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� ,��� \�; �� �&��� = 1<� ���; ����<� ��&�� fmai
JeK . . . . . . . . . . . . . . . . *� +� ,��� \�; �� G���� (��� �� G���� -H�%� �S�% fJai
JeK . . . . . . . ��� ) �&�� !�[� =��� -��� G���� (��� ) G���� -H�%� -����� Q�� �� '�+&%� feai
Jfm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %�� G���� -H�%� -��� �Su� v�&# ffai
JfJ . . . . . . . . . �[� =��� -��� 91� � 1� @7&[� ����+� -��� ���� ) ,��� �&����I fiai
JfJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� %�� '�� -��� ��� �� $�� � fjai
Jfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G���� -H�%� %�� '�� -��� ��� �� $�� � , �%�&I fgai
Jff . . . . . . . . . . . . . . . . . �[� =��� -��� Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� 'P '3� fdai
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJ ���� ����
Jff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���A ��)�� �70�� fLai
Jfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� =Z; $�1�� (���%� fKai
Jfj . . . . . . . . . . . . . %�� G���� -H�%� �M; �� 91� �&����I \�; �� $��5 �1� imai
Jfd . . . . . . . . . . . . . . . . . �/P �%1% -���&��% ��� + +; ) -���A ��X ,]�O� iJai
JfL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���&����I -�M� �� ���C &��R �7X $� � "3"� ieai
Jim . . . . . . . . . . . . %�� G���� -H�%� '�� �M; �� G���� (��� ��>? ���S� '3� ifai
JiJ . . . . . . . . . . . . . . . . . %�� G���� -H�%� '�� �M; �� ����&��� �#� W��%� iiai
Jie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� ijai
Jie . . . . . . '�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% igai
Jif . . . . . . . . . '�; $��� �� ���; ����<� ) 91� �&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% idai
Jif . . . . . . 91� �&����I ) '�; $��� �� G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% iLai
JiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �� &O5�) $��� �� ��� : � ) ��� 9��� @ P Jaj
JiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� : � ) ��� ��+% -)� �� S�X )� eaj
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Je ���� ����
JiK . . . . . . . . . . . . $�� � -��" �� 9��� -� �(���%� -��� �������R ���&1�� �� ��� faj
Jjm . . . . . $�� � -��" �� 9��� -� �(���%� -��� (�# Y�Z%� -�������R �� ��� �� 04� iaj
JjJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ���% (����� ���� jaj
Jje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��(����� �� ,0�; c��&% gaj
Jje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�� �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% daj
Jje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R . w �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% Laj
Jjf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% Kaj
Jjf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -) �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% Jmaj
Jjf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 �� �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% JJaj
Jjf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (����� x�� Jeaj
Jji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9S�X �M; �� $�� � -��" �� 9��� ��+% �������5 Jfaj
Jji . . . . . . . . . . � P�"F� )�& �� y��� @ P �� $�� � -��" �� 9��� �%���� � <X� Jiaj
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jf ���� ����
$��% �� 9S�X ) ��� >&�S1� � ��I �1�X .$�� � -��" �� 9��� $�� @ P �������5 Jjaj
Jge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� �
Jge . . . . . . . . . . . . . -���)�� ���5 �� <��� \�; �� ��� -���+% )� >&�S1� T��� Jgaj
Jde . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� �70�� \�; �� -���+% )� T��� T��� ,]�O� T��� Jdaj
Jdj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D)��17� a �1o? G3� ,]�O� "3"� JLaj
Jdg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D���� G3� ���� JKaj
Jdd . . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� ���5 �� <��� \�; �� ��<��� ���&1� "3"� emaj
JdL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� ���5 \�; �� S�% ��1% ���� "3"� eJaj
JdK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��� : � ) ��� -��� '��� a ������ \���] eeaj
JLJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -���)�� $�� @ P ) D���� ��� �� efaj
JKm . . . . . . . . �� &O5�) $��� �� (�Z"I -���)�� (���%� \�; �� W%����) -�����I ���� eiaj
JKJ . . . . . . . . . . . 70� -�� (��� -��� (�# �%)� $)�� : � ) ��� �� (��R ���� c��&% ejaj
JKe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70� -�� (��� -��� ��&���� : ��%R egaj
JKe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70� -�� (��� -��� ��&���� : ��%R edaj
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Ji ���� ����
JKj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -�� 8% �� -��� �&��� = 1<� ����� -�1% ���1% eLaj
JKg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (��� �� -�� -��� ��&���� : ��%R eKaj
JKg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (�# �� -�� -��� ��&���� : ��%R fmaj
9��� -��(��� ) �� -�l� G� -��� . *� . *� . -� 6)� �� ,0�; c��&% ����+� fJaj
JKd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� � -��" ��
emm . . . . . . . . . . . . . . . . . . �"5 ) ��1# (�� = % -��� '��� a ������ \���] feaj
emd . . . . . . . �%# � (�"���I <X�) ���+� '; ��-� �(���%� G ��1&� � -��� v� h �� JaA
emd . . . . . . �%#� ,+&"� ���C ���+� (���%� �� ��-� �(���%� G ��1&� � -��� �M; �� eaA
eJd . . . . . . . . . . . . . . . �#��� re.Ls ����<� '��>&%� ���+� �>%���1% (�� �#�� � ;�% JaB
eee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ����� �)�; eaB
eeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ����� ���� "3"� ��) z�P faB B
y: Mov
ahed
www.smov
ahed
.ir
%��"! �(�)
eK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��"# $�� � �� ��� �� (^�) -�� ��/� Jae
di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . &��R �7X -�0� ) " 1[� ����+� ����+� Jaf
dg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $�� @ P -���7X $� � eaf
JmK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� -��� X Jai
� �)� ���+� �M; �� gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� eai
JJi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '�; $��� �� ���; ����<� -���
JJg . . . . . �0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� fai
Jem . . . . . . . %�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% iai
Jej . . . . . �0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� jai
Jj
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jg ���� ����
-��� �0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� gai
Jej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aJ �� ����� ���; ����<�
Jed . . . . . . . %�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% dai
Jfj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� -��� X Lai
JiJ . . . . . . . �0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� %�� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� Kai
Jii . . . . . . . %�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% Jmai
JLL . . . . . . . . . . . . . . . (�# �%)� $)�� : � ) ��� �� (��R ���� =�� -���1% ��� Jaj
JKd . . . . . . . . . . . . . (�# �� ) (��� �� !70� -�� (��� -��� (��R ���� -���1% eaj
JKL . . . . . . . . . . �"5 ) ��1# (��= % !��(��� ,� -��� @7&[� \���� -��%�1� ����+� faj
emm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �"5 ) ��1# (��= % -��� '��� a������ \���] iaj
eej . . . . . . . . . ����� ���� '�1&;� ;�% ��Z�� -��� ��<��� ���&1� � 1� �� � F� $�: � JaB By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
� ���
�*+��,
v��; �� 7 [� a 17� -��$�&��� �� -����# $�"� �� $R �� US��� Y7� ) ��"#$�� � =7� � �� -����� ��
���� �� �"1���X -H�" � ) ����:�� �M; \S� �� ) JKgi '�� �� $�� � -��" �� 9��� @�� �� .��R�
$�� � -��$�� �+ +; �� .�# ��&� $��� ��"#$�� � !� X� ) N�:� -��{ �7� ) ��+ +3� -��(�����
.��� (��� ��Z�� %�� � -��'�� � ��� �� �� -��� + +; (�>�����R !$�1�R �� (�# Y�Z%� -���0� �>�� ) � �)�
Y7� ���5 $��)� �� �)�) �%�&�R �� !���| G�: � � 44[&� ) $���"#$�� � -(�1� (� +� �� �]�; '�; ��
�)�� ��B&%� � EO � ) � E1� }�3� �� =� ��-� �(���%� ) ������� $):���) � �#� �� �5� �� .= #��� G�: �
TX�) �� �%��� =��� �� -� B%� �4� $��"1�%�� .�# ,��S� Y7� ����� X� �� � �� ����% �� ��"#$�� � =7�
fm �� .�"���� �� �� $R '3� �~[���� ) (��� �O� =��� q�1�� �� $��� � #�� $�"� �� $��5 �� $��� (�>% ��
� � r��� (�# , �� N�:� ��ZO%� �� WI �� ��R ����s $��5 ���� D�P $R �� �#� �4� 9 I '��
��Z�� 'l�� �� -�� �� $�� � �� �5 �1� : �R�3� ���� ��� D�P $R �� ��� ���C Y�� -�l� ��� �� % : ?
.���� $��% �� (��� ��� ��)z�P ��0 �� rJaJs , # .��� (�# �I ��� -�)��� -��$�� �� ) ����&���
�� ��?” ��: >%�� �� �� ��� �_�l� !��� (�� Y�� ) '�>? �� �� /V SX ) ��� `��S%� '�; �� =��� �� � <X�) ���
”k�%��&��� , # =��� (�"�� , �� DZ�:5� �%>?” ��%R ���5 , # �� ”k=��(��R �Z�� �%>?” ) ”k= &�� �Z"��
Jd
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JL �������� � ���
���� I =��� '3� >%>? �� �"�R� �M� q�1�� �� �� -�% -����I �� $��� (�>% �� $��%� �JaJ , #
�"��� % ���� �_�� � "? �� ���I ”k��� ��>%��1� ) �>1� l ≥ ���Mpc N�:� -��*� +� �� =��� ��?”
���; �� $R �1� �� ���� �� (�)��� �� �#��� ��"#$�� � �� -�� "� ���| G�: � �� `��� Y7� \ ��� ��
.=���� �� �� ��"#$�� � =7� �/P $��)� �� �� �� �O� $��� ������"� .= &��
�� �� ��"t�� ) ��$�1�R -� � , # >%>? ���� ) �<���� �� Y/�� � S� ��� ���� ) � 0� �>�� D�P ��
�4X �Z"�� �� .��R� v��; �� �<���� ) v�[&%� �� -�>�� =�� (: >%� !���� =�? �� =��� $R�X -�5 -�5
������ ) '):% $�# �� �5� �� =�� ��� ���� = "� ���X�� ��� v�&� ���R ) < SP Y7� � � + X� `�S��� =����%
�� -�; �� !17� /V ��� �B% ��+% �� ) ������� G1� �� �� $"�� �5) ��� �� .�� ���� ��pI $� �� %�� =7� ��
�t��� !���� =��� $���I ) '3� !��Z�� >%>? �� 2��0 P�S��� �� $R�X �� ��R �"? !=���&����I ��"t�� ����
.= "�� ��p��) $���"%�� �� �� 17� �#���� �%� �� .= "��
k="�� \75 ��� �_�l� �� �� �1# �5� $"��
k�#� U�S"� -: ? �? �� =��� aJ
=��� �� �� ��0 �� �#�� �&��� ���X -�% '�� ��� 7 � Ji �� �&� � -��70�� �� �%��� 1�5 �%>? ae
k�#�� '�� ��� 7 � Ji U+�
k��� (��� Q� � �)� N�:� ��ZO%� =��� -�Z� �� af
k��� (��� Q� ��+% G� �� � �)� N�:� ��ZO%� ��R ai
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JK �������� � ���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
em �������� � ���
=��� ��hR �eaJ , #
=��� '3� �faJ , #
=��� $���I �iaJ , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJ �������� � ���
k�"� ��Z�� ��"&��% -�M� ��"&� %��� �� ��� �&�%�� N�:� ��ZO%� �%>? aj
k�#�S% �)�3��% �%��� �M� �%>? ag
k�#� U�S"� �M� �V&+ +; �� �%#� �)� �� �� ��%�� �� ��R ad
k�#� U�S"� -� # (�� $�� �� ��R aL
k=���� � �)� N�:� ��ZO%� >" � �� "S� -���# �� ��R aK
k��� (�� -: ? �? � �)� N�:� ��ZO%� �� ,SX aJm
'�� $R '�S%� �� .= "�� ��<� �� ��"#$�� � ����%�&�� '�� �4&[� ��0 �� !-�<� ,4� �� !���+� ��� ��
�%>? �� = ��� $��% ) (�# ���� !��"#$�� � ����%�&�� '�� �/ �� -��� 7; (�� $�"� �� ���
�� =�H� �� *� +� N�:� -����&��� , �� .�"� ,; �� ��"#$�� � ����%�&�� '�� ,t��� ����=�� �%���
.�#� $� � Y)� ,4� -��&%� �� "� % ��� �� �� (��O&�� �� )
�� .�%#� z�P Y� ,4� �� !�"�R� ���� ������� �� = +&�� �P �� �� ���& 1� ) -�0� ��"# $�� �
.= "� ��Z�� -�0� -��& 1� ) ��"#$�� � -���&����I � � P�S��� �� ��� = ��� <� ,4� ���
�� �&���) G���� -H�%� &��"# (���I '�� )� !��"#$�� � ���C (�1� �/ �� $� � �� WI !Y���? ,4� ��
�M; �� �� ��&��� , �� ) (��� ���� $�� � ���"� ) G ��"�� �� �� '�� )� ��� �C� .= "�� ��<� �� $���
(��� !�%�# ��<� Y� ,4� �� �� �����:�� �� (��O&�� �� .= ��� ���X �<���� ��� $��� �� �&���) G���� -H�%�
-��� ����+� ���&�� �� �5� �� =��� �1� �S��3� �� ��R �1�X �� .= "�� � <� �� ����� -���&����I ��S&��
.= "�� ���� -�0� c��&% �� �� (�# ��<� -����� -������ !'�� -���&����I
�� ) -���R -��>%��1� .�#� ���� ,4O� ��0 �� =Z"I ,4� �� $�� � -��" �� 9��� -���R x��
�� !�)�� ��1# �� $�� � -��" �� 9��� ��"#$�� � '�<� ) ���5 ���]� �� �� !$�� � -��" �� 9��� $��
�"�R�� G� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� = ��� $��% .�� �� ���X �<���� ��� ,4� ���
(����� U�� �� $�� � -��" �� 9��� -��(��� -��� D���� -���)�� *� +� � <� �� .�"�� � <S� D����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ee �������� � ���
w�� ��Z�� -��� .= "�� � <� �� ��� : � ) ��� T��� T��� ��>? '3� �� =��; ����<� !��� (�# (��� WMAP
� <� !��� -���+% )� �&�S1� ��>? �� (��O&�� �� ��� >&�S1� -���)�� *� +� !D���� *� +� �� �� � 1�
-��" �� 9��� ��&���� x�� ���&1�� �� ��� !���4� -���"�R�� ��&���� �"? , 73� G1� �� .= "��
.�%#� � <� $�� �
.�����I = ��� � +3� ��� �� (��R ���� c��&% �� -��0/� �� !��R ,4� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
� ���
-#�'���� .�"��#� %"�
/��A� $B'
��� �� �� � N�:� ��ZO%� '�� !JKgi '�� �� $�� � -��" �� 9��� @�� ) JKeg '�� �� 7��� `��S%� �0�
$�: � �� � X� 6��:� �� �rBBNs -��&�� :&"� -�l� � +�� .��� ,��S� ��"#$�� � �<��5 �� ����%�&��
=�5 9��� @ P �� $�� � -��" �� 9��� @ P "3"� ��� ����� ) � �)� $�� � $��)� �� GS� �0�"� %�)���
(��1� �� '�� ��� .���� ��<� ��"#$�� � ����%�&�� '�� $�"� �� N�:� ��ZO%� �� $�� � '�� �� �# ���� (� �
$�� � @ 0� -��� \��"� ��1Z�G� � P�"F� )�& �� -��9" 1��� ) @ <] ) -X �(GUTs) -��-�l�
����+� ) ��"#$�� � ����%�&�� '�� �4&[� ��0 �� ,4� ��� �� .�J� �%�(��)R �5� $R '3� ) � �)�
.= "�� @ 0� �� �#�� = ��� �� % $R �� -�<� -��9[� �� �� �~%R �� `���
=��� @ 0� .�e! f! i! j! g� ���� ���X �5� ��� JKLm '�� �� �:Z� ���# G� $�"� �� � �)� $�� � �<����
��#� = �+� 70� �&�� )� �� (����� ,��X
!�%#� (� ��% ��"#$�� � -��� 1� �V;/�0� �� ��� 1� �� -���1Z� U�� �� $��5 �� 7� @ 0� � @��
Big Bang�
Big Bang Nucleosynthesis z ∼ �����
Grand Unified Theories�
ef
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ei ��������� ���!��� �� " ���
.�� �� Y�Z%�
'3� �M; �� ��&��� , �� -��-�l� U�� �� G?� -��*� +� �� ��>? -��: � ) ��� @ 0� � v
.�#� (��� $�� � �" ��
�� $R (�"��, �� �0�"� ) =��� ���"� ��� �� ���/P� ��"#$�� � -���&����I !��� = ��� �� �P $�1�
(�)��� �� "<� ���� .�d! L! K! Jm��#��� `��S%� '�; �� %"� =��� !� �� ������� *��� �� .�"��� ���
.�#��� $R 7SX $�: � �� �&��:� �>�� � �� ��%�� �� �70��
��#� (��� ��� � 1� )� U�� `��S%� '�; �� $�� � G ��"��
.�#� (��� ,��� �&����I U�� �� =��� `��S%� �"�R a J
.�#�b[�� =��� (�%��� �0�"� $�: � U�� =��� -�"3%� a e
��JJ! Je� �� �"���S� $R (�"�� , �� -���O�� ���� $��% %"� $�� � �� = +&�� �������
9��� .�%��� �5) T = �.���◦ ± �.���◦k -��� �� $�� � -��" �� -��%�� ��0 �� (�)��� � 9��� � @��
�� � "� 85� s �#��� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��>? -��: � ) ��� �� ;�P �>%��% $�� � -��" ��
.�Jf� rj ,4�
.�� �� �� �� �� �0�"� �)�"� ')�5 �� �5� �0�"� �� �%���� (��� � v
$�� � �&��� 'l�� : % �>�� (��� 8% )� �� ��� (�#b[�� = +&�� � h ������� *��� �� ) _�� ��� �� �����
��JJ! Je� �� �"���S� �� !�"�R� v��; �� -�)���
& S�% � h ���; �� (��� ��� .���� 1�� 9+% ����&��� -� �, # ) '3� �� �� %���� � h G���� (��� � y
G���� (��� !�#��� & S�% ���� -���� �� (��� ��� �� 1�� .�#� (� ��% rCDMs ��� G���� (��� !$R
.�#� (� ��% �rHDMs Y��
Radiation�
Baryonic matter�
Cold Dark Matter�
Hot Dark Matter�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ej ��������� ���!��� �� " ���
���C �� 1��� : % $�� � -��" �� 9��� ) rf ,4� �� � "� 85�s Ia 8% -���&��%��� �� � �� ������� ��
�"��� ��� �� !�)�� ��1# �� $�� � (�%��� Y� �O �� $�"� �� �+ +; �� �� �O0 � h ��"#$�� �
G���� -H�%� �� Y� DZ:5 ) (��� $�"� �� �� %���� (��� ) G���� (��� $? != &O� ”Y�” , �� ��� ��s �JJ! Je�
.r�"��%�
����%�&�� '�� -�����I !rl > ���Mpcs N�:� -��*� +� �� =��� �-��>%��1� ) ">1� !���� ��� )�
-�l� G� ��)�� �� �: � -��-��� (��� ) = +&�� ������� �� ��� )� ��� .�"��� , �� �� ��"#$�� �
N�:� -���� +� �� �5� (��� $�: � "<� .��>? ���" � T��� "<� ">1� �� �B"� .��� �&��� ���%
.���� �B% �� $�� � =��� !@7&[� -����5 �� "<� -��>%��1� .�#��� -� �(���%� ,3� �� ,+&��
) ">1� =h�7� .�#��� $�� � -��" �� 9��� �� `��� ������� !��]�� ��� 6��pI ,�_� ���&1�� ��
��� �� (� +� .= #��� G?� -��*� +� �� -��>%��1��% ) ">1��% ���# N�:� -��*� +� �� -��>%��1�
�� �� -�)��� N�:� -����&��� ) (�# '3&� �%��� -��-�����I�% �C� �� $��� 'P �� ��1B%� ��� �� ���
�= "� -�"�= �+� ��� �1�X )� �� �� =��� G ��"�� �R D���� -��� ��� \��"� .�%�(��� ��Z�� %�� �� *� +�
.�#� �&��� �B% �� $�� � �" �� '3� $�"� �� !-��>%��1� ) ">1���� �� �� =��� *� +� N�:� ��&�� a J
@ 0� "� % ) & S�% ��&��� '3� �_��<� U�� �� ��� �� �& ?� ) �&��:� -��*� +� �� ��'/&�� a e
.�%#�
{� �� Wo� ) N�:� ��ZO%� G� �� !,SX 7 � -��%��� �� -�)��� =��� !���| G�: � ����%�&�� '�� *��� ��
Y�� $��)� N�:� ��ZO%� �� �<� .��� (�# , �� !��� (�� -�� "� ���| -)�; �� '�>? ) ��� 7 � %�� �
=��� .�� (�# , �� ��� �� $�� � �� \��h �P �� =��� -H�%� ��>? $��)� ��� �� �� !(�# 8)�# Y�� $��)� ��
$��)� �� �<� .��� (�� !�#� U�S"� �Su� v�&# �� �� 1��� "<� !���& �)� ��� �� �V;/�0� $��)� ��� ��
& S�% ��� ���| �� 9��� �� =��� �Ji! Jj� 9�������� �"�R�� �� ) (��� �� I ��� �V<��� ��� �� $�� � -H�%� !Y��
Homogeneity
Isotropy
de Sitter��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eg ��������� ���!��� �� " ���
(�)� �� �S�% �)�O&� -��&�� �� *� +� ,��� ) (�# 8)�# \��h 9��� $��)� \ ��� ���� .�� (�# �I !�"#���
*� +� ,��� ) (�# \��h G���� (��� � "�� �� (�# =� 9��� ��>? =�� $��� �#p� �� .��� (�# '3&� Y��
G���� (��� ��>? =�� ��� = ��� ����� �� �� ��%�1� .�#� '3&� ,SX $��)� �� �S�% �)�O&� ��&�� �� =�
Y�� �S# $��)� ) (��� `��S%� �� 8)�# �Su� v�&# �� $�� � ) (�# \��h G���� -H�%� � "�� �� (�# =� �&�� �&��
(�# (��)R ����%�&�� '�� *��� �� =��� '3� �~[���� rJaes , # �� .����� ����� '�; $��� �� �� (�# ��hR
��"#$�� � =7� �� ��� �� .��� (�# (��� $��% reaes , # �� 1 ��� ��0 �� $�� � '3� � "~1� .���
�� ��&�/� ��� . = "� -�)R��� �� ��%R !$R �� �)�) �� ,SX ��� Y�_ �� �#� (��� ��� �� (^�) -��4&�� ���/�
.��� (��R rJaes ')�5
?�C��� &�� �� %��D 'B'
��hR �� .��� (��R ���� $�� � `��S%� �� + X� �� �� ���# !$���"#$�� � �� -�� �� 7SX �4� =h�7�
`��S%� '�; �� =��� @ 0� -��� .��� (�� %"� $�: � �� �& ?� ��%�� �� �>�� ) �� � � �70�� =��� �~[����
.= "� ��<� �� �� ,��� �&����I ) �� a !*� +� ,���
0��) ������( � 1��2� 0��! 34545
.� ��% χ !�� (��1� 'P �� � S# �� 'P ) ��� -�"�� S# �� =��� $��� !�#�� ��>%��1� ) �>1� $��5 ���
'3� �Z"�� �� �� !r(t) = a(t)χ ��� ��� ����� �%��&��� ���X � S# ��� -��*�� �� �� ��+% )� � � �: � �70��
$��5 �� ��1% rfaes , # .�#� (��� $��% $��� �� !a(t) *� +� ,��� >&���) �� �: � 'P � F� ) =���
�"�R $��� �� �� .�#� @��<� dη = dt/a(t) ��0 �� : % �� W��1� $��� .���� $��% �� `��S%� '�; ��
Scale factor��
Hubble parameter��
Comoving distance��
conformal time��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ed ��������� ���!��� �� " ���
��"# $�� � ����%�&�� '�� -�l� *��� �� =��� '3� $��)� �Jae , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eL ��������� ���!��� �� " ���
��"# $�� � ����%�&�� '�� -�l� *��� �� =��� '3� $��)� �eae , #
��#� (��� ��� ��0 �� ,��� �&����I U�� =��� `��S%�
H(t) =a
are.Js
��#� (��� ��� ��0 �� !$��� �� �S�% �: � �70�� �� -� ��&�� �� ,��� $%�X
r(t) = a(t)χ
dr(t)dt
=da(t)dt
χ + a(t)dχ
dt
=a
ar + aχ re.es
�#��� ��%R �70�� �� \��"&� %�� � Y��5� $�# �)� ���� �� ����� $� � re.es ����<� ���� �1� ')� �715
��� \S� �� �� ��� ���0�� ���� (�"�� $��% ���� �1� Y)� �715 .�#� (� ��% 7��� ���� �V;/�0� )
�� ,��� .�� ���� �O0 �715 ��� ��>%��1� ) �>1� /V ��� -�M� �� .��R� �5� ��>? -��+�"� -��: � )
Peculiar velocity��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eK ��������� ���!��� �� " ���
��"# $�� � �� ��� �� (^�) -�� ��/� �Jae ')�5���+� -��4&�� -�� ��/�J c
J h
�/√�πG = �.���× ���GeV MPl√G�/c� = �.�× ��−��cm lPl
lPl/c = .�× ��−��sec tPl
lPlc�/G = �.�× ����GeV EPl
l−�Pl c�/G = c�/(�G�) = .�× ����gr/cm� ρPl
EPl/k = �.�× ����◦k TPl
P��S%� '�; �� $��5 �� *� +� ,��� �fae , #
��� riaes , # .�#��� ��%R �70�� �� \��"&� %�� � Y��5� $�# �)� ���� �� ��� (����� JKeg '��
.��� N�:� ) G?� ,0�� -��� \ ��� �� riaes , # ���� ) �? �1� "3"� .���� $��% �� c��&%
�0�� ���� $�# � 1�� �� \S� �� 7��� ���� �� D��3%� G��:% ,0�� �� !�#� (����� �� ��%�1�
!*� +� ,��� �� ()/� $�� � '3� @ 0� .�#� @ 0� ,��� �&����I U�� $�� � �" �� G ��"�� .���� �5)
���; �� ��� .���� �5) $� �� �� $�� � ���"� -��� .�#��� =��� ���"� Y�% �� -�>�� � 04� �� �"��� %
$��5 �� .�%#� (��� : 1� �>�� � �� !�"#��� ���; '�; �� =��� �� �%����R �� ���| ���; U�� �+ +; ��
�� �� =��� ���"� Y�� � S�% .�"��1 I� �� �� � �� -��� ��0 �� ��� �� -��� -��%�� �&�� !�� 7X� �[�
�&� � !�"�� ��Z�� �� �[� =��� �� %�: � �� =��� ,� -H�%� ��>? �&�� $��5 �� .�"�� `��� -H�%� ��>?
$��5 �� .�%#� ����) ��%�� !��� =��� �� .�%#� ��>1� ��� �� WI -��� -�% -����I �Z &% �� ) (��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fm ��������� ���!��� �� " ���
�A�% �� %�� � Y��5� $�# �)� ���� "3"� �iae , #
�� .�"��� �B% �� !�#� b[�� �[� ���; �� �� �~%R �� �& ?� ) �&��:� !\ ��� �� ���P !��� ) �&��
.ri ) f '4�s��� � <� �� =��� -�"3%� $��� <X�) =��� �� $R -� �(���%� ) ����%�&�� 'P G� �&#��
-��-�l� ���� ) �t��� $� �� ��� � �)� -��� ��� -��p�$� "� �� ��Y�� � S�% -�l� � ���&�"�R �� ��>"�
-�l� ���I �� ��"#$�� � ����%�&�� '�� .��R �5� !$R '3� >%>? ) =��� ��&��� ��� �� 9����R ,��X
���R� ��� �� ��� ��0 �� !� ��S7 � a ���&�"�R -^%���_ �� -�l� ��� .��� (�# �"� ���&�"�R Y�� � S�%
L =�
��πGR√−g re.fs
����<� �� 6��) �� .��� G��&� ��%�� $�" ���� g = |gμν | ) �� % ���C G ) �� ~�� ��� �� R ����<� ��� �� ��
���R� ���� ��� ��0 �� $�� � �� � h �_��<� re.fs
Gμν = Rμν − �
�Rgμν = �πGTμν re.is
Einstein��
General Relativity��
Einstein-Hilbert�
Ricci scalar�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fJ ��������� ���!��� �� " ���
��%�� Tμν ) ~�� ��%�� Rμν !re.is ����<� �� .��� (�# �� &�� (−, +, +, +) ��0 �� G��&� $�>%��% ��
a -H�%� ��%�� x�� ���� �1� ) =��� ���"�x�� re.is ����<� �? �1� .��� �� �%� � a -H�%�
� "<� -H�%� <]� >&���I �� Gμν �1� , # .�� �� �� �� �� �%� �
T μν;ν =
∂T μν
∂xν= � =⇒ Gμν
;ν =∂Gμν
∂xν= � re.js
(��� -H�%� ��# �������) �7 �� -H�%� ��>? %��� �&�� �� �"�� $� � T μν;ν �+ +; �� .��R� ����
��� �&�� .=��)R ���� �� Gμν "<� ���&�"�R ��%�� , # &���� $�� � �_��<� $��)R ���� -��� .�#�
��"#$�� � '0� �� �� ��&� ����(��� .=�����o� G��&� @ 0� �� Y�� � S�% $�� � ����<� ���� �� ,SX
��#��� ���C -�"3%� -���� �� ��� ��&� !���� %�[1�
ds� = gαβdxαdxβ re.gs
g�i = � ) g�� = −� �&��� �B% �� �� ��FRW G��&� ����%�&�� , # .�#�b[�� G��&� gαβ � <� ��
���; �� .�#� � <� !��� G��&� ��M� �1�X (�"�� $��% �� gij , # � <� �� ) �&��� G��&� G� -���
��#�� $��� �� �&���) �%��� G��&� ��M� �1�X 7�
gij = a(t)gij re.ds
��� ���� ��� ��0 �� ��>%��1� ) �>1� G��&� ��M� �1�X �V&���% .��� $��� �� ,+&�� gij ��
dl� = a(t)�gijdxidxj re.Ls
��#% ��� ��0 �� $�&� �� re.Ls ����<� �� �"�� v�Z�� -��>%��1�
dl� = a(t)�[f(r)dr� + r�(dθ� + sin(θ)�dφ�)
]re.Ks
Energy - momentum tensor��
divrgence��
Friedmann-Robertson-Walker��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fe ��������� ���!��� �� " ���
�� =��� -�"3%� �� ~�� ��� �� �� = "�� �]�+� ) = "�� (��O&�� ">1� `�# �� f(r) � X� , # � <� -���
�������"� .�#�� G��&� ��M� �1�X �� ,+&�� !���� $��%
f(r) =�
�− kr�re.Jms
k ���R �&����I G� �� G��&� , # ����(��� ��>%��1� ) �>1� =��� G� -��� !v�[&%� ��� �� .��R� ��� ��
��� ��� �����
ds� = dt� − a(t)�[
dr�
�− kr�+ r�(dθ� + sin(θ)�dφ�)
]re.JJs
-�M� �1�X k < � &X) .�#� b[�� R�curve = �/k ��0 �� �� ��� -�<�� �� -�M� -�"3%� k
@��<� �� �� k �� ��� \��"� .�#�� = ��� �&�� =��� k > � -��� ) �[� =��� G� k = � -��� !��� G��&�
�= "� vp5 *� +� ,���
a(t) ≡ a(t)√|k| re.Jes
�=����´��/� Dp; ) r → r =√|k|r ��0 �� r @��<� ��� ) K = k/|k| � 1� @��<� �� )
ds� = dt� − a(t)�[
dr�
�− Kr�+ r�(dθ� + sin(θ)�dφ�)
]re.Jfs
��� ���� ��� ��0 �� =��� -��� G��&� !@��<� ��� ��� ��
ds� = dt� − a(t)�[
dχ�
�− Kr�+ sinn(χ)�(dθ� + sin(θ)�dφ�)
]re.Jis
K = +� -�� � sin(χ) ) rΩtot < �s K = −� -�� � sinh(χ) � � � ��� � sinn(χ) ��� S � re.Jis � ��� < � ��
��� ���� ��� ��0 �� G��&� rΩtot = �s K = � -��� .��� rΩtot > �s
ds� = dt� − a(t)�[dχ� + χ�(dθ� + sin(θ)�dφ�)
]re.Jjs
���� �� $��� a �M� G ��"�� �� ��� (� �� $R �X) $"�� !=���� �S30 $��� a �M� G ��1" � �� $"� ��
(��# G� -��� ���; (���%� a -H�%� ��%�� .�#� (��� ���&�"�R $�� � �_��<� U�� G ��"�� ��� .= "�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ff ��������� ���!��� �� " ���
��#��� ��� ��0 �� re.is ����<� �� !,���
Tμν = (ρ + P )uμuν + Pgμν re.Jgs
�� .�#��� (��1� ��4&[� �� ���� ����� ���? : % u�μ = δ�μ .�#��� (��# ���� ) -H�%� ��>? \ ��� �� P ) ρ
��%��� ��� ��0 �� �� $�� � �_��<� $��� $"�� .ui = � ) u� = � =���� -��>%��1� ) ">1� �� �5�
����
�πGT �� = �πGρ = Aa
a+ B
[(a
a
)�+
K
a�
]
�πGT ii = �πGP = Ca
a+ D
[(a
a
)�+
K
a�
]re.Jds
�=���� re.Jds �_��<� �� (��O&�� �� .�Jg��%#� � <� -��<�� , 73� �� D ) C !B !A -��� 1�
ρ =(
A
C
)P − �
C[(C + D)ρ − (B + A)P ]
a
are.JLs
�>&� I ����<� �� �5� ��
∂ρ
∂t= −�(ρ + P )
a
are.JKs
�WI D = −B/� ) C = −�B/� !A = � �=����
�πGρ = B
[(a
a
)�+
K
a�
]
�πGP = −B
�
[�a
a+(
a
a+
K
a�
)]re.ems
��� ��0 �� *� +� ,��� G ��"�� -��� FRW �_��<� .�Jg��#��� B = � "� % ��� �� �� ����+� ��
��� ����
�πG
�
∑i
ρi =(
a
a
)�+
K
a�
�πG∑
i
Pi = −� a
a−(
a
a
)�− K
a�re.eJs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fi ��������� ���!��� �� " ���
) ')� ����<� \ ��� �� .�#� `��� =��� (�%��� �0�"� @7&[� -��8% �� `��� re.eJs �_��<� �� i W��%�
���R� ���� ��� ��0 �� =��� v�&# ����<� re.eJs Y)�
a
a= −�πG
�
∑i
(ρi + �Pi) re.ees
�� .�#� (��� !T μν;μ = � !"<� !�%� � a -H�%� ��%�� -���1� �&�� $�# �O0 �� Y�� � S�% �� -H�%� -�+�
��0 �� >&� I ����<� re.Jgs ����<� �� (��O&�� �� ) rre.Jis ����<�s FRW G��&� �� ��� ��� $��� �� �
���R� ��� �� ���
ρ + �a
a(ρ + P ) = � re.efs
) ���p�� � C�� =��� (�%��� �0�"� ��>? '3� �� �%>? *� +� ,��� '3� �� ���� $��% ����<� ���
�� ���� ) -H�%� ��>? � � ����� �� ���; ����<� (��1� �� re.efs >&� I ����<� ) re.eJs �_��<� .W <���
�� �Z%R �� .�""�� @ 0� �� ��>%��1� ) �>1� $�� � �" �� '3� rP = wρs �"�� � <� (��# G� -���
��� �&�� �� �� ��� ��� '/+&�� �� �B"�s �� �� ��0 ,+&�� ��0 �� =��� (�"�� , �� ��� '3�
��p�� $��5 �1� �� �� ��� �� WI �>�� %� � �� .�%#1% ,��S� �>�� � �� '3� $��)� 'P �� (�"��, ��
-�+� ����<� ������"� r�"���� '3� ,+&�� ��0 �� WI !���1% Q� $��5 (�%��� �0�"� � � ���S� � �
��#� ,��S� ��� ��0 �� �:Z� ����<� �� �� re.efs -H�%�
ρr + �a
a(ρr + Pr) = �
ρm + �a
a(ρm + Pm) = �
ρλ + �a
a(ρλ + Pλ) = �
re.eis
.�#��� ρλ G���� -H�%� ��>? ) ρm G���� (��� ��>? !ρr 9��� ��>? -��� >&� I ����<� \ ��� �� ��
.= "�� ���� �&� � �� t:5 �� �� ���O�� G� G� �1�X ��� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fj ��������� ���!��� �� " ���
���� ���� �� ��� �
����� A T�+� 2�� �� z �3� -�&��� �� vz ���� �� ) �#�� nr �� ����� ��%�� ���<� ��>? �� � "� ���
��� ��� ����� ����� -)� % ����� �C� �� .�""�
F = �pzvzAnr re.ejs
���| ����� �� #�% U+� z �Su� -�&��� �� 2�� �� ���� .�#��� z -�&��� �� ���; (���%� pz _�� ����<� ��
� WI !�""�� ���; z �Su� ��5 �� �� ���
f =�
�F =
P
A= pzvznr re.egs
��P ��
pz = py = px =p
�re.eds
�=���� !�"#��� c ���� -���� �� ��%�� �"%�� & S�% ���| -��� ������"�
P =�
�pcnr =
�
�mc�nr =
�
�ρr re.eLs
.wr = �/� �� ��� ����� 9��� -��� ���; �&����I ������"�
����� ���� ���� �� ��� �
��� G���� (��� $ � Y�5 �� ����+� ,��X $�� � -��� �� � �)� $�� � $��)� �� (�| ��� -��� %�� � (��# ����
$R ���� �� $��� !�� &O5�) �� �<� $��)� -��� .�#��� P ∼ ρ/� ��� ����� �VS��+� & S�% ��0 �� �#���
.��� �B% D�0
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fg ��������� ���!��� �� " ���
����� ����� ���� �� ��� �
= 14� JKJd '�� �� Q�� ,0� �� �&��� Y���� �� !��� , 1 � �� �� Y�� � S�% -�l� ���&�"�R �� ��>"�
�� ����+� �� $����&� S�% ���� �� ��� �� �5� �� .��� ��� �� =��� ,� @ 0� -��� �� �� -�l� �� ����
� S�% ����%�&�� �_��<� ��� .= #�� �&#�� ��&��� $��5 �� �)�� ��B&%� ������"� !��� G?� �� �� �% ����
�� �� ����<� �� (�""� 2 34� �715 G� �� ���&�"�R ������"� .��� 1% ���� $��5 -��� ��&��� v�5 Y��
����� (��� ��� ��0
Rμν − �
�gμνR − Λgμν = �πGTμν re.eKs
��
Rμν − �
�gμνR = �πGTμν re.fms
) $���� &� � <]) �� � � � X� ������� ��� .�#�� = ��� = ��� -�� � � &� �� v�5 G� Λ > � -�� � $ "��
�� Y��5� �70�� �?�� � 7� �� % �&��� =��� ��"� �% �� ��� $��% ���� Y�Z%� $��>�� ) ,��� U�� �� ��$�� ��
� F� ��"#$�� � ���C ������"� !rv = Hr ,��� $%�Xs �%# � �)� =� �� -�&� � ���� �� �#�� �� �)� �>�� �
���� �Su� v�&# '�; �� =��� @ 0� -��� ��5 ���&�"�R �_��<� -��� $�� � � <]) ��� �� !��� ���
��� ���� ��� ��0 �� FRW ����<� *��� ��� �� .��)R
H� =�πG
�ρ +
Λ�
− K
a�re.fJs
���R� ���� re.fms ����<� �� ��� ��0 �� ��"# $�� � ���C �M; �� =��� v�&#
a
a= −�πG
�(ρm + ρr + �P ) +
Λ�
re.fes
���� ��%��� ��� ��0 �� $��� �� re.fes ����<�
R = −GM
R�+
Λ�
R (R = a) re.ffs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fd ��������� ���!��� �� " ���
-��� 7��� ��0 �� ��"# $�� � ���C �"�� v�Z�� re.ffs ����<� .M = �π�
R�(ρm + ρr + �P ) �Z"�� ��
-�(��� �� �"��� % =��� `��S%� �Su� v�&# @ 0� -��� ΛCDM '�� ���"� �� .�"� ��&�� (�""� T�� -)� % � ��
�� G���� -H�%� -��� -�>�� -����� .��� D)�<� G���� -H�%� �� �� = #��� wλ = −� ���; ����<� ��
.= "�� ���� �� ��%R i ,4� �� �� ��� (�# ���"� I : % wλ �= −����; ����<�
.= "�� ���� @7&[� $��)� �� �� $��� �� *� +� ,��� >&���) "<� =��� '3� >%>? !����� ��
6$�7 -��8 ����� 54545
����<� �� (��O&�� ) rre.eis ')� ����<�s >&� I ����<� �� $R $��� ���X ) 9��� -��� ���; ����<� �� �5� ��
�=���� K = � "<� �[� =��� ���; �� re.eJs
ρr ∼ a−�
a(t) =(��
�πGρ�r
)�/�
(t − t�)(�/�) ∼ t�/� re.fis
�� .=��)R ���� 7� ���; -��� W��1� $��� �� �� $��� ) *� +� ,��� ) ,��� �&����I >&���) ��� \��"�
��� ���� ��� ��0 �� W��1� $��� \�; �� FRW Y)� ) ')� �_��<� \��h 9��� $��)�
�(K + h�) = �πGρra�
K + h� + �h′ = −�πGρr
�a� re.fjs
���� �� ��� c��&% re.fjs �_��<� ,; .�#��� rη = t/as W��1� $��� �� �S�% �&�� ′ ) h(η) ≡ a′/a ��
��Jd� ����
h(η) = cot(η) K = +�
=�
ηK = �
= coth(η) K = −� re.fgs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fL ��������� ���!��� �� " ���
)
a(η) ∝ sin(η) K = +�
∝ η K = �
∝ sinh(η) K = −� re.fds
)
t(η) ∝ �− cos(η) K = +�
∝ η�
�K = �
∝ cosh(η) K = −� re.fLs
6$�7 ���� ����� 94545
�=���� K = ��[� =��� -���
ρm ∼ a−�
a(t) =(�πGρ�m
)�/�
(t − t�)(�/�) ∼ t�/� re.fKs
��� ���� ��� ��0 �� W��1� $��� �� �S�% FRW �_��<� 7� ���; ��
�(K + h�) = �πGρra�
K + h� + �h′ = � re.ims
��� ��� ����� W��1� $��� �� *� +� ,��� ) ,��� �&����I !$��� >&���)
h(η) = cot(η/�) K = +�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
fK ��������� ���!��� �� " ���
=�
ηK = �
= coth(η/�) K = −� re.iJs
)
a(η) ∝ �− cos(η) K = +�
∝ η�
�K = �
∝ cosh(η) − � K = −� re.ies
)
t(η) ∝ η − sin(η) K = +�
∝ η�
�K = �
∝ sinh(η) − η K = −� re.ifs
6$�7 ����8 :�� ����� ;4545
��� ��0 �� *� +� ,��� ) G���� -H�%� ��>? '3� !wλ = −� "<� ���; ����<� �� �5� �� �[� $�� � ��
��#� (���
ρλ ∼ a� ∼ conts
a(t) = a� cosh (H(t − t�)) , , K = +�
a(t) = a�eH(t−t�), , K = �, H =
a
a= const
= a� sinh(H(t − t�)
), , K = −� re.iis
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
im ��������� ���!��� �� " ���
�Su� !\��h G���� -H�%� $��)� �� a � 1� !\��h (��� ) 9��� $��)� D/� �� !�#� (����� �� ��%�1�
����� $�� � -��" �� 9��� ) Ia 8% -���&��%��� �0� �� ,0�; c��&% �� ���; ��� �� (��R ���� c��&% .���
.���� ��
�= "� ��% ��� �#� (��� ��� �� _V 1<� �� �~%R �"%�� �� FRW ')� ����<� � �� (��5� $"��
H� =�πG
�(ρm + ρr + ρλ) − K
a�re.ijs
��#� @��<� ��� ��0 �� K = � DZ��� �� ��%��3� ��>?
ρc =�H�
�πGre.igs
��#� �&#% ��� ��0 �� %��3� ��>? \�; �� re.ijs ����<�
H� = H�
�
[Ωma−� + Ωra
−� + ΩΛ
]− K
a�
= H�
�
[Ωma−� + Ωra
−� + ΩΛ − (Ωtot − �)a−�]
re.ids
��#� @��<� ��� ��0 �� ��� EF&� re.ids ����<� ��
Ωm =�πG
�
ρ�mH�
�
re.iLs
Ωr =�πG
�
ρ�rH�
�
re.iKs
)
ΩΛ =�πG
�
ρ�λH�
�
(�+ z)�[�+w(z;{l})]
= Ωλ(�+ z)�[�+w(z;{l})] re.jms
)
Ωtot = �+K
H�
�
= Ωr + Ωm + Ωλ re.jJs
critical density��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
iJ ��������� ���!��� �� " ���
.�#��� '�; $��� �� %��3� ��>? �� G���� -H�%� ) 9��� !(��� ��>? �S�% \ ��� �� Ωλ ) Ωr !Ωm ��
��� ��0 �� '�; $��� �� %��3� ��>? .H� = ���hkm/sec/Mpc ��� ��� ����� : % '�; $��� �� ,��� ���C
��#���
ρ�c = �H�
�/� ∼ �.���� × ��
−��h�gcm−� ∼ �.����× ��−�h�protons/cm�
-H�%� '�� -���&����I �&�� �� �� ���� Y�% ���&��� = 1<� ���; ����<� !w(z; {l}) � 1� re.jms ����<� ��
���� �&���) !r{l}s G����
w(a; {l}) =
∫ a
�w(a′; {l})d ln(a′)∫ a
�d ln(a′)
re.jes
��#� @��<� ��� ��0 �� : % �� %�� � O"� v�&# � 1�
q = − a
aH�re.jfs
��
q(a) = − a
aH�
�
= −��
[Ωma−� + Ωλa(−�−�w(a;{l}))(�+ �w(a; {l})
]re.jis
�%� " ��&�� ������%� <�� �=�� >4545
!-��&�� :&"� !$�� � -��" ��9��� !,��� $%�X �"%�� !��"#$�� � ����%�&�� '�� � >1�? -��� +�� �5) ��
G� �� ��� $��5 '�� .�#��� : % ���� �/ �� -���� '�� ��� !...) \# $�1�R $�� G���� -�1"7P��
v��; �� ����%�&�� '�� 2 34� -��� ��6/� ����=�� �715 �� !�� �� �B% �� =��� -��� ��1% `��S%� $��)�
.�Ji���R�
modified equation of state��
Deceleration parameter��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ie ��������� ���!��� �� " ���
��� �"���S� ��"#$�� � ���%�&�� '�� �/ �� ���� =��
k���(�� �? N�:� ��ZO%� �� ,SX aJ
k�� ? ����&��� DZ��"� ae
.� P�"F� -��S�X G� ) %�� � -��>" � �� "S� -���# �5) Y�� af
krδρ/ρ ∼ O(��−�)s ��� ��>%��1�) �>1� 7 � =��� ��? ai
k��� �[� =��� ��? aj
.=��� ��� , �� ag
.= "� ���� , 4O� �� �� �/ �� ����=�� �� ��� �� �Z"�� �� � �� (��5�
��� ���� �����
��#% ��� ��0 �� �� =��� ��>? $��� !FRW ����<� *��� ��
Ωtot(a) − � =k
a�H�=
ρtot(a) − ρc(a)ρc(a)
re.jjs
aH � 1� \��h 9��� ) \��h (��� $��)� �� .��R� v��; �� �����I�% � %��3� ��+% G� Ωtot(a) = � ��+%
�������"� ��� � '3� aH ∼ t−�/� ) aH ∼ t−�/� ��0 �� \ ��� ��
|Ωtot(a) − �| ∝ t�/� Matter dominated
|Ωtot(a) − �| ∝ t Radiation dominated
Fixed point��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
if ��������� ���!��� �� " ���
$�� � ���&�� $��)� "<� �&#p� $��� �� �&�� �� !�#�� G��:% G� ��� �� 7 � ,� ��>? (�)��� ��� ������"�
�= "�� (��O&�� ��� ��0 �� ,� ��>? 70� @��<� �� .�#� G��:% G� ��� �� 7 � � 1� ���
Ωtot(a) − � =Ω�
tot − �
Ω�r a−� + Ω�
ma−� + Ωλa� − (Ω�tot − �)
re.jgs
�;�) ���+� �� 7 � ,� ��>? ���+� ��� (�)� �� -��� &���� �#�� Ω�tot = �.�± �.� '�; $��� �� � "�� -���
�"<� �#�� G��:%
Ωtot(tnucleosynthesis=�sec) ∼ �± ��−�
Ωtot(t = ��−��sec) ∼ �± ��
−��
Ωtot(tPlanck = ��−��sec) ∼ �± ��
−� re.jds
.�# �����I -�)��� �����I $��5 �� ��� (��� Q� -��%� �� ��@��A = B"� G� =��� �1� -��&�� �� ������"�
��� �����
�%)�� ��1# �� -�)��� *� +� N�:� -����&��� DZ��S� �� $�� � -� �)� -��: � ) ��� �� � �� �������
,��� ,��X �& % .���� $��% �� �5� ,��X -��>%��1� ) ">1� r ... COBE ) WMAP � B% ���9����Rs
-���� +� �� �) �#��� �5�� G� �S��� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� (�# (����� ��� (���%� �� ��� ���
� "? ���� �: %� � �? �� ��� ��� '�l� $"�� .�#� (����� ">1� ��� $�� � -��" �� 9��� -��� N�:�
�� .��)R �5� �� -��>%��1� ) ">1� ��� �%��1% 7E�� Y: %� � � � �� ��� � �B% �� .��� (�# ">1�
-���)� �� ">1� ��Z�� -��� ��� $��� ��"���I 2�� ����R $��� �� =��� ��"#$�� � ����%�&�� '�� *���
��� ��� ����� lf (tdec) � )�� I -�% `)�[� (��1� 'P .��� �&#��% �� &�� �� �� �◦ �� �&��:�
lf (tdec) =∫ tdec
�
dt
a(t)∼ �t
�/�
�t�/�dec re.jLs
Fine tuning��
Forward light cone�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ii ��������� ���!��� �� " ���
t
x
t 0
t rec
0
l p
l f
(t)
(t)
��"# $�� � ����%�&�� '�� �� ��� �7l�� �jae , #
��� ��� ����� lp(tdec) �&#p� -�% `)�[� )
lp(tdec) =∫ t�
tdec
dt
a(t)∼ �t�
[�−
(tdec
t�
)�/�]
re.jKs
������" � .���� $��% �� ��, �� ��� 1 ��� ��0 �� rjaes , # .�#��� lp >> lf �� ��� 2]�)
.�"#�� ,+&�� �>�� � �� 7E� }�3� �� &���� �5�� �o �� �&��:� -���)�� �70�� �� ;�%
����� �! DZ�#$�
$��)� �� -�)��� *� +� N�:� -����&��� DZ��"� @ 0� Y�� !��"#$�� � ����%�&�� '�� �/ �� �� �>�� �
� h >&�S1� %�� �� -���#� &; ) ��$�� �� �� ��� � $��% -�0� ������� �#��� !� �)� $�� �
-����� $��)� �� (��1� 'P �� ����+� �� *� +� ��� .�JL! JK� �%��� �Mpc �� �&��:� -��*� +� �� ���4�
teq �� ,SX !�"�R� v��; �� ����&��� ��� DZ��"� �� � �)� �_/&�� ��� ������"� !�#��� �B;/� ,��X 9��� ) (���
���"� �� 9%��� �>�� D�P �� .�� % @ 0� ,��X 7E�� -��Y: %� �G1� �� �5� >&�S1� !�"#�� (�# � ��
.����� �� ��>&�S1� �%� ��� -����� $��)� �� �<� %�� �� �#� -��*� +� �� �� ��� $R �� ��@ <] 7 �
Horizon problem�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ij ��������� ���!��� �� " ���
� �� = ��� )��) � (�1� '�� )� �� ������"�
k�%�(�# � �� ��>? �_/&�� �%>? rJ
k���(�# N�:� -��*� +� �� >&�S1� (����� \S� -: ? �? re
.�#��� ���I $)�� ��"#$�� � ����%�&�� '�� �� : % '�� )� ���
v��; �� N�:� ��ZO%� -�l� bX�% �>�� �� G�H�I� -���4 +% (����� Y�� ) %���� (��� �� $��+� Y��
.�"�R�
���� &�� )B'
(�� $�"� �� � 7� !�#1% +7� N�:� ��ZO%� '�� ��:>��5 '�� $�"� �� TX�) �� ����� ��"#$�� � '��
Y�� .�Ji���� (�# ��<� !��"#$�� � ����%�&�� '�� -��� (�# ��| �/ �� �� ��� $��� D�P �� -��� 7;
�"<� �"� �#� �Su� v�&# �� *� +� ,��� �� �#� q/P� %��)� ��
INFLATION ⇐⇒ a > � re.gms
��#% ��� ��0 �� $��� �� q� @��<� !� �� =� �P ��
INFLATION ⇐⇒ d
dt
H−�
a< � re.gJs
G?� (����� ,��X =��� Y�� $��)� �� .����� 9��� !H−�/a ��0 �� 7��� (��1� 'P !Y�� $��)� ��
�#� ��1% ��0 �� *� +� ,��� �� ��>"� ∫ dt/a(t) "<� (�| ��� (��1� 'P @��<� �� �5� �� "<� �#�
Y�� `�# !$������ Y)� ����<� �� �5� �� .���� 9��1% �� @ 0� ��� rgaes , # .�#� G?� !�"��
��#% : % ��� ��0 �� $��� ��
INFLATION ⇐⇒ ρ + �P < � re.ges
Inflationary cosmological model��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ig ��������� ���!��� �� " ���
re T5��s Y�� $��)� �� %�� � -���P � F� �gae , #
�� �� -� (��� �� US��� ���; �&����I "<� !�#�� P < � &���� != #�� �&#�� �Su� v�&# �� 1��� � "�� -���
.�#��� w < −�/� ��0 �� ��� (��� �I �� =��� Y�� $��)�
?� ��� 0@ �� A�� ��B+� ����8 <�� ��C/ 34945
�� WI ) (��� �#� ��1% ��0 �� (�E| �: � ��� (�>%R !�"� �#� ��1% ��0 �� -�(�)� �� *� +� ,��� ���
��"���I 2�� ����R �� '�; $��� �� �A�% ��� 'P �� �&��:� ���: � ) ��� ) ��� �"7� -��>&�S1� Y�� $���I
, # .�# ���� ,; ��� , �� ������"� !�� ���� lp < lf ��0 ���� .�� �"��� � 5� ,��X 7E� ��0 ��
.���� $��% �� � <]) ��� 1 ��� ��0 �� rdaes
��#� '3&� ��� ��0 �� (�| ��� de Sitter $��)� ��
dcau = a(t)∫ tf
ti
dt
a(t)=
eH(tf−ti) − �
Hre.gfs
��� 'P ���� $R �S�% $��� Y�� $��)� �� $R '3� �� �5� �� ��� >� �B% �� l(t) 'P �� ��&��� G� ��� '�;
��#% ��� ��0 �� 7E�
dcau(t)l(t)
=eH(t−ti) − �
Hl(ti)eH(t−ti)≥ �− e−H(t−ti) re.gis
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
id ��������� ���!��� �� " ���t
xp
t0
trec
t R
ti
a(t) = e tH
l p(t)
l f (t)
Y�� '�� G1� �� ��� �7l�� ,; �dae , #
Y�1 � � � (�# N�: � -�(��� %� � � 7E � � �� e − fold � "? �#p� �� WI �#� � l(ti) ≤ H−� � � & ��; -�� �
'P ��+? Y�� $��)� �� ��� ��� �#� z��� �7;�� ��� �� �� ��� .�� �� �� �� �� �: � -��*� +�
k��� ��+? �"� �#� Y�� $��)� -��&�� �� ����+� �� *� +� ,��� &���� �� %�: � ,X��; �V���� ) k����
�"<� �#�� '�; $��� �� 7��� 'P �� �&��:� Y�� $��)� $���I �� 7E� ��� &���� ��� �7l�� ,; -���
∫ tf
ti
dt
a(t)>
�
H�
re.gjs
��� ��� ����� q� ����<� �? �1� *� +� ,��� -��� ��1% '3� , # �&��� �B% ����
∫ tf
ti
dt
a(t)∼ �
Ha(ti)
[�− e−H(t−ti)
]∼ �
Ha(ti)re.ggs
��#�� = ��� ������"�
�
Ha(ti)>
�
a�H�
a�af
aiaf>
H
H�
re.gds
�=���� =��� -�"3%� �� $��� �B% D�0 ) $������ ')� ����<� �� (��O&�� ��
H�
H�
�
∼ ρr
ρm
[a�af
]�re.gLs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
iL ��������� ���!��� �� " ���
�= "�� ��%��� �� re.gds ����<� re.gLs ����<� �� (��O&�� ��
af
ai> ��
−� a�af
re.gKs
$���I -��� ����� (�>%R !=�� >� �B% �� !Tf ∼ ����GeV !GUT -�l� *��� �� �� Y�� $��)� $���I -��� ��� ���
�=���� �V&���% ) !a�/af > ��� ��0 ��� �� �� !Tf = T�a�af
��� ��� ����� '�; $��� -��� �� Y�� $��)�
af
ai> ��
� ∼ e� re.dms
.�#� ,; ��� �7l�� ) �� ���� lf (tdec) > lp(tdec) � <]) ��� ��
?� ��� 0@ �� ���8 ��B+� ����8 <�� ��C/ 54945
�= "� ��% ��� ��� ��0 �� �� FRW ����<� � �� (��5�
H� + εT � =�G
�ρ re.dJs
I)�&%R $�1� s �Z"�� �� .�Ji� �� ���� s−�/� �� \��"&� ε � 1� .�#��� ε = K/(aT )� ����<� ��� �� ��
�>�� D�P �� .ε ∼ e−�H(t−ti) WI �#� '3&� s ∼ e�H(t−ti) ��0 �� � 1� ��� Y�� $��)� �� .�#���
$�# ��2]�) -��� $"�� .�#� ,; : % &[� �7l�� ) ρ−ρc
ρc∼ O(�) ������"� ρ−ρc
ρc∼ �
πGεT �
ρc�� = %���
�= "�� (��O&�� S�% ��>? = +&�� @��<� �� 8]�
Ωtot(a) =ρtot(a)ρc(a)
=ρtot(a)
�H�/�πG
=Ω�
r a−� + Ω�ma−� + Ωλ
Ω�r a−� + Ω�
ma−� + Ωλ − (Ω�tot − �)a−� re.des
m W��%� �� '�; $��� -��� �V "1] ) �#��� '�; $��� �� *� +� ,��� a� = �s �#�� a � a� �� &��; -���
�=���� r = "�� (��O&��
Ωtot(a) =H� − H�
�(�− Ω�
tot)a−�
H�= �+
(Ω�tot − �)a−�
Ωra−� + Ωma−�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
iK ��������� ���!��� �� " ���
= �+Ω�
tot − �
Ω�r + Ω�
maa� re.dfs
�=���� (�>%R af/a� = ��−� "<� '�; $��� ) Y�� $���I �� *� +� ,��� �S�% �&��� �B% �� �� $"��
�− Ωtot(af ) = [�− Ω�tot] × ��
−�� re.dis
�� �� ��� ��| �� Y�_s �#��� ��0 �� Y�� -��&�� �� ���+� ��� \�; �� ,� ��>? Y�� $��)� $���I ��
� r�#��� 9��� ��>? �� ����� ,� ��>? \��+� �� Y�� $��)� -��&��
�− Ωtot(af ) =�− Ωtot(ai)
Ωtot(ai)
(ai
af
)�re.djs
� ������"� �#�� af/ai > ��� ∼ e� &���� &[� �7l�� ,; -��� �� =���� ,SX �1�X ��
�− Ωtot(af ) =�− Ωtot(ai)
Ωtot(ai)��
−�� re.dgs
�= "�� ��%��� '�; $��� �� ,� ��>? \�; �� �� re.djs ����<� �? �1� re.dis ����<� �� (��O&�� ��
�− Ω�tot =
�− Ωtot(ai)Ωtot(ai)
(ai
af
)���
�� <<�− Ωtot(ai)
Ωtot(ai)re.dds
�� ,� ��>? !Y�� -��&�� �� ,� ��>? -��� ���+� �� DZ��� �� != �� ���X ��−� ���+� ai/af -�5 �� ��� '�;
�� .���� $��% �� � <]) ��� 1 ��� ��0 �� rLaes , # .�� ���� G��:% G� ��� �� �� �� '�; $���
� ,; �� ��"# $�� � ����%�&�� '�� �/ �� Y�� $��)� �� ��� $��% $��� : % $�� � G ��"����� �� (��O&��
T5�� �� , 4O� �� �/ �� ��� .= #��� $R -��� : % �/ �� ���# !Y�� '�� -��� +�� �5) �� .�Ji� �"�
.��� (�# z��� �em�
%���� �� E��A� F�32 (�����;�� G�H .B'
����=�� .�#��� ��"#$�� � �� '�<E � ��+ +3� -�����# �� � $"�� *� +� N�:� -����&��� -�l�
��� �"���S� �#� �&����I ��%R �� ���# ��� �� �� �_��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jm ��������� ���!��� �� " ���
re T5��s Y�� '�� G1� �� =��� &[� �7l�� ,; �Lae , #
k�%#� , �� �%��� -�������I�% -�7 �) �� ����&��� ��R rJ
k �� ? G���� -(��� ���+� ) � ��� re
k �� ? �" �� '3� �� =��; ��"# $�� � '�� rf
k ��� (�� �? ��&��� , �� -��� � �)� U���# ri
) D�P G� �� -�� "� ���| G�: � ) 1&%�� -�� $�� � ���B% �� G��:% `�S��� �� �"��� % q� �_�l� �� ���I
*� +� �� =��� 2 ]� $��� ��"#$�� � D���� ����=�� �� � .�#��� ! �/� Y�� � ES�% �� �>�� D�P ��
������� G�: � �&�� -���# �� �� -�0� ������� ) �� 9����R ������"� !�#��� $R �� �&��:� ) ��$�� ��
.�%�(��� �� I -�l� ��"# $�� � �� >"��>"� `�S��� !�%��� ���X
�DE ���E�% 0��8 34;45
�� `��� ���# ) � �)� $�� � �� `��� -��-�l� � � �� ���� (��5� �� �� �� %�� � -���/&�� -�l�
�_/&�� -�� �"��� ��&��� , �� -��'���� .= "� ��Z�� +�"� `�S��� -�)��� *� +� N�:� -����&���
Cosmological perturbation��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jJ ��������� ���!��� �� " ���
�� �%��� -��-�����I� % \S� �� Wo� .�#� � �� � �)� =��� �� ���| G�: � ���C� U�� � E �)� ���4�
�#� ��� N�:� -��*� +� �� .�%�)R� ���I �� -�)��� -����&��� ) �&��� �#� =��� '3� $��)� 'P
) �� � h ���C� ,��+� �� .�"&� % �)� �� =�H� �� 7 � ��: � ) ��� ) �#�� � \��h �%��� ���C� ��
!δρ ��>? �� ">1��% G� �5) \S� �� !�&��� �" �� G� �� .�""�� � <� �� ���% � E<]) ��"��) �� �
��0 �� �%��� -)� %
δρ ∼ Gδρ
) r��R� ��� �� ���� �� ����� ��� �&��� $�� � �� $��I ����<� ) >&� I ����<� �&��� �B% �� ��s �#���
'�; �� �" �� G� �M; �� ��� !�"�� �#� T��� !ωk ∼ �√
πGρb �� δρk(t) ∼ eωkt T��� ��0 �� -�����I�% ���
.�f! eJ! ee! ef! ei� ��� $��% �� �" �� '3� �C� !δρ '3� ����<� �� (�""� �� � �715G� =���� ��B&%� `��S%�
��&�� ,��� (��# G� ��0 �� (�# ,&[� (��� �� = "����� ��>? ���S� '3� �� =��; ����<� � <� -���
�� �� $��)� �� �"� �� �����&��� -��� ) ��� �� �& ?� -���� +� -��� "� % ��&��� , �� '�� .�"��
�%��� , �%�&I Φ !(��# -H�%� ��>? ρ ��� �"���S� �X/� ��� -��� EF&� .�f! ej��� ���� q��0 �%��� ��
��"#��� ��� ��0 �� ��"��) �� � ���� �_��<� .I)�&%R ��>? S ) (��# ���� v !���� P !"� %
ρ + �∇ · (ρ�v) = �
�v + (�v · �∇)�v +�
ρ�∇Φ = �
�∇�Φ = �πGρ
S + (�v · �∇)S = �
P = P (ρ, S) re.dLs
�M; �� �7�)� ) � % ����<� (�"�� $��% ����<� � �)� !>&� I ����<� (�"�� $��% ����<� � �)� re.dLs ����<� ��
�� ���; ����<� !����� ����R ) I)�&%R -�+� Y���? ����� !"� % 9%��� -��� $��I ����<� ����� � �� !����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
je ��������� ���!��� �� " ���
�� ��%R $��� ,&[� �� $"�� .= "�� -��p� Y�% b W��%� �� �� $�� � �" �� �� `��� -��� EF&� .���� $��%
���� ��0
ρ(�r, t) = ρb(t) + δρ(�r, t) ≡ ρb[�+ δ(�r, t)]
�v(�r, t) = �vb(�r, t) + δ�v(�r, t)
Φ(�r, t) = Φb(t) + δΦ(�r, t)
P (�r, t) = Pb(t) + δP (�r, t)
S(�r, t) = Sb(t) + δS(�r, t) re.dKs
) �r(t) = a(t)�x(t) �Z"�� �� �� !(�r, t) → (�x, t) "<� (��1� ��4&[� �� �: � ��4&[� ,��S� �� (��O&�� ��
�� $��� �B% D�0s -��� �� ) re.dLs �_��<� �� re.dKs �_��<� $��� ���X ) �#��� �v(�r, t) = H(t)�r(t)
��#�� = ��� r��_�� ) Y)� �S��� '/&��
δ + �Hδ − c�sa�
�∇�xδ − �πGρbδ =
σ
ρba�δS re.Lms
��""�� @ 0� �� ���; ����<� ��� ��0 �� �0 ���� �� σ ) �0 ���� cs !re.Lms ����<� ��
δP = c�s δρ + σδS
c�s =(
δP
δρ
)|S=fixed re.LJs
��0 �� ���� ,��S� ��
δρ(�x, t) ∼∫
δρk(t)eik·ax
��#� ,��S� ��� ��0 �� re.Lms ����<�
δk + �Hδk + c�sk�δk − �πGρbδk =σ
ρba�δSk re.Les
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jf ��������� ���!��� �� " ���
.�#�� = ��� )���� -��: � ) ��� ���� �� " � δS = � �"< � �#� � � &#�� % �5) I)� & %R : � ) ��� ���
��� ,��+� �� .δρ(�x, t = �) �= � �"< � �"#� �� �O0 � h ��>? �� � �)� -��: � ) ��� � <]) ��� ��
����%�&�� -�l� *��� �� .�#�� = ��� I)�&%R -��: � ) ��� ��0 $R �� δρ(�x, t) = δρ(�x, t = �) = �
� �f! ej��� ��� ����� re.Les ����<� WI !=�� �� �B% �� �� : � ) ��� ')� 8% �Z"�� �� ���
δk + �Hδk + c�sk�δk − �πGρbδk = �
δk + �Hδk = c�s δk
[�πGρb
c�s− k�
]re.Lfs
��&��� 'P ��� .�#� (� ��% ��:" 5 'P y� ��� �V;/�0� !kJ =√�πGρb/c�s � 1� !re.Lfs ����<� ��
���� ��&��� $�� N�:� \S� �� �%��� -)� % �� "<� ���� rλ >> λJ �� k << kJs �#�� :" 5 'P �� �&��:�
�� ,+&�� '3� ����<� ���; ��� �� !�"�1% �O�� 9S�� ��� ,��+� �� �+% ���� �� #�% ���C� ) (�# $R 9S��
��#��� ��� ��0 �� r= "�� Dp; �� k W��%� , �� � 1� ��s���� Y�1� -��� $�� � ��0 �� ) y� ���
δ + �H(a; {l})δ − �πGρmδ = � re.Lis
��� �Z"�� �� .�#� ���A H(a; {l}) �� $�� � �" �� '3� >%>? �� G���� -H�%� �C� re.Lis ����<� ��
=�� G���� -H�%� ��&��� , �� ������"� !�#��� ��: � ) ��� y� 'P �� �&��:� 7 � G���� -H�%� �0
����<� �� *� +� ,��� �� �S�% ��>? ���S� '3� .�#��� $��� �� �S�% �&�� re.Lis ����<� �� .�� ���[%
���� ��� ��0 �� -� Z%� �&�� G1� �� !�#��� -���"���
dδ
dt=
dδ
da
da
dt= δa
d�δ
dt�= a
dδ
da
da
dt+ δa = δa� + δa re.Ljs
�=���� != "� ��:>��5 re.Lis ����<� �� �� re.Ljs ����<� ���
d�δ
da�+
dδ
da
[a
a�+�H(a; {l})
a
]− �H�
�
�a�a�Ωmδ = � re.Lgs
Jeans��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ji ��������� ���!��� �� " ���
�� �� %R � C� �� G��� � -H� %� @7&[� -�� ��� �M; �� �� re.Lgs � ��� <� -��� ��0 �� $� �� $"��
.��� ,; �#� (��� $�� � -��" �� 9��� U�� �� � �)� U���# �� �#� ���A H(a; {l})
���E�% 0��8 �� �"� F��� 54;45
��� ��0 �� �# z��� ,SX 9[� �� �� ��>? ���S� G1� �� �0�� ���� $�� � !�� '/&�� -�l� ��
��f! ei���R� ����
v(x) = H�
f
�π
∫δ(y)
x − y
|x − y|�d�y re.Lds
��#� @��<� ��� ��0 �� �� !�#��� ���#� W��%� f � 1� re.Lds ����<� ��
f =d ln δ
d ln are.LLs
"� % ��� �� �� ��%�� �� �0�� -������ � �O� -��� �� �#� W��%� � 1� $��� ��>? ���S� �� (��O&�� ��
�� �#� W��%� G�: � �&� � =�� -��� .��� �S��3� !�)�� �� � �eg� ��&��� , �� & S�% ��� �� �� ) �ei�
Y� ) rw� �0� =��s Y)� �/15 �S�% �� � �� (��5� !��� = ��� -�0� � X �� �� $R � 1�� i ) f ,4� ��
�S�% ��� �� \��"&� �#� W��%� �� ���� = ��� �� ���� �� .= "� �5� re.Lis ����<� r$��I ����<� =��s
��� ����<� U�� �#� W��%� '3� re.LLs ) re.Lgs �_��<� G1� �� .�#��� f ∝ �Hδ/�πGρmδ "<�
��#� (���
df
d ln a= −f
[�− H�
�
�[�
H�
�
+Ωm
a�+ ΩΛ(a; {l})(�+ �w(a; {l}))]
]− f� +
�H�
�
�a�aΩm
re.LKs
D�P �� !�#� � <� �0�� ���� -� �(���%� �� �� ) ��%�� �� >&�S1� T��� �� = +&�� ��0 �� �#� W��%�
��"#$�� � @7&[� -��'�� -���&����I �� �#� W��%� !��� b[�� re.LKs ����<� �� �� ��%�1� �>��
Growth index��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jj ��������� ���!��� �� " ���
.ri ) f ,4�s ��� ��� �� -�0� ,+&�� � X G� $�"� �� �#� W��%� �� $��� WI .��� �&���)
(<�� 1��� &�� 6B'
� ;�% G� '�� ��� �� .�ed! eL! eK��#��� ��-)�� '�� %�� � =�5 G� , �� ���� -��� (��� '�� G�
� ;�% -��� O"� ��>? '/&�� ) rδ > �s '�>?��� -��� �Su� ��>? '/&�� ��0 �� '�>?)�� �� '�>?���
�� � ;�% ��� N�:� ��� (���%� �� �Su� '/&�� -��� .�#� �&��� �B% �� -)�� /V ��� $��+� �� rδ < �s '�>?)��
�� ���� ���X ���/&�� �� ,0�; 9%��� ;�% � "? �� .�"�� �#� �� 8)�# ) (�� �����I�% �%��� �B% ��+%
�� �� � h /V ��� -���"�R�� � "? .��)R ���I � +� -��&��� �Z &% �� ) �"� @X&� � ;�% $R �� �� 7��� `��S%�
;�% ���� -��� .�f��%� �� ���X ���� ��� ��&��� , �� -)�� '�� U�� !���-��� (��� -�� G�
'�1&;� '�>?��� ;�% �� �� �Z%R �� .�"#��� $�� � '3� �_��<� ) (�� � �)� U���# �� �)�O� ��"� '�>?)��
�� �5�� ;�% $�"� �� ;�% ��� !�#��� =� $����� -��%�� ��x�� �P �� �� ��%�� �� -� �, #
.�eL� ��� (�# �&��� ���X �5� ��� ��%R �<���� )� ��� �� .�"�R� v��; �� -��%�� �� T���
!�#� '3&� FRW ����<� U�� $�� � �" �� �� =��; G ��"�� �� ���� ��� � ;�% rtisb[�� $��� G� ��
�"<�
(Ri
Ri
)�= H�
�
[Ωma−�
i + Ωra−�i + ΩΛ(ai; {l})− (Ωtot − �)a−�
i
], re.Kms
� �)� $��� �� �<� .�#��� ti $��� �� *� +� ,��� ) (�# ,&[� � ;�% 8�<# \ ��� �� ai ) Ri !re.Kms ����<� ��
�� .=�� �� �B% �� Ωim = (� + δi)Ωma−�
i ��0 �� -)�� � ;�% ��� �� �5� (��� ��>? �� '/&�� G�
%���� ) G���� (��� $�: � !�""�1% T�X �� �>�� � (���� (�# ,&[� -)�� ;�% �� G� � � � "�� ���
�B% �� $�� � �" �� '3� �� U+� �� G���� -H�%� �C� �1] �� ) .�� ���� ���C ;�% ��� �� G� �� �� �5�
.= "�� (��O&�� !��� (�# T��� =��� Y�1� �� ���" � ��0 �� G���� -��%� �� � <X�) ��� �� ) =�� ��
spherical collapse��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jg ��������� ���!��� �� " ���
) (�� $��� �B% D�0 ,��X G���� -H�%� ���� %�� �� -���#� ) ��%�� �� �"%�� ����&���*� +� �� ������"�
=���� M Y�5 ) R 8�<# �� -)�� � ;�% G� -��� -H�%� >&���I �� (��O&�� �� .�%��� �&���I ;�% ��� -H�%�
�rdE = −Pdv + TdS = �s
R�
�− GM
R= E re.KJs
��� ���� ��� ��0 �� � ;�% ��� 8�<# )
R� = �E +�GM
Rre.Kes
��� ��� ����� (�[�� $��� �� �� , �%�&I "<� re.Kes ����<� ���� �1� Y)� �715
�GM
R=
�πG
�R� [ρm(�+ δ) + ρλ]
= H�
�R�
[Ωm(�+ δ)a−� + Ωλ
]re.Kfs
��� ��� ���S� ti � �)� $��� -��� re.Kes ����<� ���� �1� ')� �715
�E = Ri − �GMi
Ri= R�
i − �πG
�R�
i
[ρm
a�i(�+ δi) + ρΛ(ai, {l})
]
= R�i − H�
�R�
i
[Ωm
a�i(�+ δi) + ΩΛ(ai, {l})
]re.Kis
�=���� -)�� � ;�% �� G���� (��� >&���I `�# �� (��O&�� ��
(R
a
)�(�+ δ) =
(Ri
ai
)�(�+ δi) re.Kjs
-H�%� $�� ���C �� �Z"� ��� �O0 ���� �� &��; -��� dE = � "<� -H�%� >&���I �� �& % ��� �� �5� ��
����<� !re.Kjs ) re.Kis !re.Kfs �_��<� G1� �� ��0 ��� �� E = Ei ������"� !�#� -)�� � ;�% ,�
��#� ��%��� ��� ��0 �� re.Kes
R�
H�
�
=Ωm(�+ δi)
a�i
R�i
R+ ΩΛ(a; {l})R� − Ωmδi
R�i
a�i− (Ωtot − �)(
Ri
ai)� re.Kgs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jd ��������� ���!��� �� " ���
re.Kgs ����<� U�� (�# ,&[� -)�� � ;�% (���%� ) (�# '3&� FRW ����<� U�� *� +� ,��� ti $��� �� WI
.�"�� � F�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
� ���
�"/ -#�'����
/��A� $B)
`�S��� ��Z�� �<� Y�X .�# ���� $�� � G ��"�� @ 0� -��� ����%�&�� -�l� �0/� �P �� ,SX ,4� ��
-�0� c��&% �5) $)�� �+ +; �� .�#��� $�� � �� = +&�� ������� �� ,0�; c��&% ) -�l� -����� � �
���/P� !$�� � q�1�� �� $��� (�>% �� !�% ���� $�� �)�3� \S� �� .��� � <� �� ����� &��� $��1%
$��"1�%�� D�P G� �� !�& % ��� �� =7� �� .=��)R� ���� =��� '3� ) -� � , # �~[���� �� -�"1#���
�� !�"#��� =��� �� ��S%��� -��~[���� ,��; �� ���%�� $��� �0� -��� ���� -H�" � �� �� &�� -���
�� %����� (�"�R !-�l� -��" � 9 I �� ��%R ����+� ) -�0� c��&% , 73� �>�� D�P �� ) �"#��� 6/�
�� ��� ��<� �� ,4� ��� �� =�� ��� �� �5� �� .��� (��� = ��� -�� "� ���| G�: � ) ��"# $�� � -���
-��'�� -��" �9 I &��� $�: � ���� -��� -�l� '�� �� ,+&�� -��� 1� $�"� �� �� -�0� -���&����I
)� ��<� �� �� �<� ,4� �� �� ����:�� �� = +&�� (��O&�� .=�����I� !�%) �� ��� �� -�0� ���# �� ��"#$�� �
.=����%�� ��<� �� �����I = ��� G���� -H�%� &��"# (���I '��
jL
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
jK #�$� ��������� % ���
��������� (��I�� %���J /2 Ia K�� (����;����2� 'B)
���# ���&1�� �� � ) (��� �O�� 1�� 9+% ��% ��"# $�� � �� !�%��� �� -�(^�) ��&��� \S� �� ���&��%���
-H�%� �5) �� ��+&�� ,�_� �� � ��%R -�0� c��&% .�"#��� <X�) $��5 �� �� =�� �� U� � <� �� -�0�
. ��� ����%�&�� '�� �� ��"#$�� � ���C �� G����
� O� -������ .�#� ,��S� !�#��� $^ ���a���� -���� �� �� O� ���� �� �� �� (��&� G� �� ��>"�
�������R .�%#1% ,��S� !���� Q� ����&��%��� ��� �� �� �~%R ��0 �� �V<��� ������"� �"&�� �����I 7 �
G� &X) �� ��� ��� �+ +; k�%>? ��� .�"#��� � O� -������ �� Ia 8% -���&��%��� �� ���� $��%
�>�� ��� !�#��� ���� �� -X �%��� $�� � \S� �� !�� �� ���X $����&� �>�� >���1� �� � O� ����
.�#� � m ∼ �× ����kg ∼ �.�M� �� 9 � $��� �#p� �� $R Y�5 �V&���% ) (� �� �� $)�� �� �� $����&�
#Z1� ��0 �� ���� �&�� -��� Y�_ U���# � "�� � � (�# �� Y�� Y�5 9��:�� � � $R �&�� \ ��� ����
DZ��"� � "�� \S� �� .�#��� Ia 8% �&��%��� G� ��� ) � O� ���� G� ��ZO%� ��hR ��� .�#� =���� -��&��
�0�"� �>�� ) $H)�� � �� -�C� ���&��%��� 8% ��� @ P �� !��� ,SX ,�% $����&� -���+� ���&��%��� 8% ���
�� II 8% ) I 8% 70� �&�� )� �� �� ��%R $��� !���&��%��� &I� @ P *��� �� .���1% =�? �� GS�
Ia 8% -���&��%��� Y�1� � "�� \S� �� ���� -�"��+SP !��� (�# (��� $��% rJafs , # �� �� �~%R ��0
�� ��� !�"#�� $�� � ��"���� -���� �)�� ��B&%� !�#��� $�� � ��%R ��ZO%� �"�R�� ) (�� $�� � Y�5 -����
���� �)�O&� ��%R @ P �" � � ) �&���"�R !�� % $�� � �V+ X� ���&��%��� (�%��� �0�"� ) ��&��� �� �Z%R
@ P ! !�#��� ��%R (�%��� �0�"� $�: � �� �&���) �� -�0� -��(��� �� Y�_ ��3 34� '�1�� �� �<� .��
.rrfafs ) reafs -��7 #s ��R� ���� ��%R -��� M ∼ �. �7�� ��X �" � � �� $�� �
�� $R �<� �1�X �� .= %��� �� �70�� ) $��� � � `�S��� &���� $�� � `��S%� v�&# -� �(���%� -���
white dwarf�
supernovae�
Chandrasekhar ���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gm #�$� ��������� % ���
&I� @ P *��� �� ���&��% ��� -�"� �&�� �Jaf , #
�)� \�; �� ')� 8% ���&��%��� -�% "3"� �eaf , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gJ #�$� ��������� % ���
Y�_ ��3 34� '�1�� �� WI ���&��%��� -�% "3"� �faf , #
.= "�� ����
�G� �%� " ��&�� �� ��G�� ��.����� 34549
�� ��%�1� .�)�� ��1# �� -�0� ��"# $�� � �� ,���� ���&1�� �� !�A�% �� %�� � Y��5� �70�� -� �(���%�
-��#)� .�#� `��� !��� �&���) ��"# $�� � -���&����I �� �� �� =��� ���"� �� �70�� ��� ��� = ���
( # G� �� � <� 70�� �� 6)� ��� �� .�fm� �#��� ��&�� %����% 6)� ���I �� �70�� -� � (���%� &"�
!�)� � �� � �&��:� ,0�� -��� �� �>�� #)� $��� (�S ��� -��� $R �� ) (�# (��O&�� -� �(���%� -��� x��
��� ��� 2]�) .�# �&��� �� � -� �(���%� -��� ��)(� Z%� ��0 �� ��� � 1� �%) � ��� .�#� (��O&��
��� ���&��%��� �% $��� (�S ��� -��� ��"#$�� � �� $��� (�S ��� 6)� .���� -���� � <�X Y�� ��� ��
��_�� \���� �� &X� -���� �� (�# 8���� �70�� -� �(���%� -��� -�&+ X� -��#)� �V� �� .��� �&��� ���X (��O&��
"��) ������"� !�""�1% -� �(���%� �� �70�� = +&�� ��0 �� rys �� r@��s -��#)� .�"#��� %����% 6)� ��
� <� �� �70�� = +&�� ��0 �� �� �"&�� -��:�� ��"� Ia 8% -���&��%��� .���� �5) ��%R -� �(���%� ��
.�"�R� ��1# �� -�0� ��"#$�� � �� �70�� � <� -��� 6)� ���&1�� ������"� !�""��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ge #�$� ��������� % ���
%�#���& ����'(� )*�
��� .�#� ���� %�� � =�5 G� �� @7&[� ��)�4� !@7&[� -�&��� �� �% �S� ) ��%��� ���>1� \S� ��
�%��� ���>1� �C� �� �% �� -� �� �� v)�"� (�)� ��� !�#�� (�# TP�� �% ��# �� �)�"� (�)� -���� =�5
.�fJ� ��� � <� $R �7 �� �� �70�� $��� ) (�� �&���) !�"�� P
%+�,,-./ 0,�1�2! �3� )4
(�"���I !�""�� �S� �� (�� �� -����Sh ) ��%�� �� �� ��"���I 2�� ����R �� `��� -��%�� �� ��>"�
��� �� �� �� -H�%� ��� � 1� �"�R�� ��� �� .���� Y�% � ��))���� a)� %� �C� �V;/�0� �"�R�� ��� �%#�
-H�%� �� : � ) ��� $�: � .�#� ��Z�� $�� � -��" �� 9��� �� -��>%��1��% ������"� .�%�)R ���� �� (���
� � .�#� `��� !�%��&#�p� �� ��I �A�% �� $� �� � � �� (�� �� �� $�� �� %�� �� (���%� �� ��% ��
.�fe� �� ���� � 1[� ,��X ��� �� ��Sh �� $�� �� (���%� !$�� -���A -H�%� ) ��# -� �(���%�
%5�617 ���$1�. ���� ���'���(��� )8
�� ��� : � ) ��� � X� ���� �� ������"� .��� �&���) ��"# $�� � -��� 1� $�: � �� ��>? �_/&�� '3�
.��� � <� �� ��"# $�� � =�� -��� 1� �>�� ) 7E� ��� $��� ��"���I 2�� ����R -)�
%Ia 92� ����� �2���� )�
��� *��� .�%#� (��� �� � ����%�&�� -��T1# $�"� �� Ia 8% -���&��%��� !N�:� ,0�� -� �(���%� -���
.��� ��&�� Z"� @ P ) Z"��% �� 6)�
��� �� .�"�� TP�� Φemi = dNemi
dt�%�� ��# r���� -���s W%���� G� -�% TS"� G� �� � "� ���
gravitational lensing�
Sunayaev-Zeldovich�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gf #�$� ��������� % ���
��# .�#��� TS"� -)� (��1� �A�% �� �S�% $��� ) (�# , �� -��$�� ���<� \ ��� �� t� ) Nemi !�����
��� ��� ����� (�# �0� %��
Φobs =dNobs
dtobs=
dNemi
dt�a(t) rf.Js
��� ��� ����� (�# �0� -H�%� ��# .��� (�# TX�) $R �� -�% TS"� �� ��� �� +� ,��� a(t) ����<� ��� ��
Fobs =a(t)�
ShνemiΦemi rf.es
�� $��� �� rf.es ����<� .�#��� �A�% �� TS"� �70�� (���%� �� ��<# ) -�% TS"� :��� �� -�(�� 2�� S
���� ��%��� ��� ��0
Fobs =L
�πd�Lrf.fs
U�� ��%R -�% "3"� *��� �� Ia 8% -���&��%��� �70�� .�#��� ��"���� �70�� dL ) ��"���� L ��
�� �#��� �K 2 34� ) ��#Q�� ,��# �� mo "<� o �&7 � �� -���A ��X .�#� (��� ��"���� �70��
��#� $� � ��� ��0 �� !M �7�� ��X !<X�) ��"���� \�;
mo = M + log�� dL(z; {l}) + log��
(c/H�
� Mpc
)+ �+ Kro rf.is
� �K! ff� �#��� ��� ��0 �� Kro � 1� rf.is ����<� ��
Kro = �. log[(�+ z)
∫Fλ(λ)Sr(λ)dλ∫
Fλ(λ/(�+ z))So(λ)dλ
]+ Zo − Zr rf.js
-�% @ P Fλ � 1� .�#��� Zo ) Zr �O0 ��+% �� �&7 � � ���; T��� So ) Sr -��& 1� !rf.js ����<� ��
���C� ) K $)�� -���A ��X ) �#� �S��3� �&7 � �� -��� Kro � 1� z = � -��� .�#��� Ia 8% �&��%���
����� ���� �� μ � 1� !<X�) ) -���A ��X ,]�O� .�#� � <� m "<� ��#Q��
μ ≡ m − M = log�� dL(z; {l}) + log��
(c/H�
� Mpc
)+ � rf.gs
reddening�
K-correction�
Distance Modulus
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gi #�$� ��������� % ���
���� ��� ��0 �� 7� ���; �� FRW '�� �� (�� '�� -���&����I ,��# �� ��"���� �70��
dL(z; {l}) =c(�+ z)√|ΩK | sinn
[√|ΩK |
∫ z
�
dξ
H(ξ, {l})/H�
]rf.ds
.�#��� sin �� ����� ΩK < � -��� ) sinh �� ����� ΩK > � -��� sinn ) ΩK = �− Ωm − Ωλ !rf.ds ����<� ��
��#��� ��� ��0 �� ��"���� �70�� !ΩK = ����; ��
dL(z; {l}) = cH�(�+ z)∫ z
�
dξ
H(ξ, {l}) rf.Ls
��1% ���� : �� %R �� (��O&�� �� ) (�# � <� Ia 8% �&��%��� �0� U�� �V1 +&�� rf.gs ����<� �? �1�
.�%#� � <� '�� ��"# $�� � -���&����I
U� � � # (�� O & �� �� " #$� � � � �� C -� �(��� %� -�� � Ia 8 % -� �� & �� %� �� �� $R �� � � -�(H)� I � �)�
-� �(��� %� G � �� � � %R � < � '� � G � .rriafs , #s �# Y�Z %� JKKd '� � �� 9 %��� 1 � ) �� � 1 �� I
-��{ �7� �� (��O&�� � � $R �� WI .rrjafs , #s �%��)R ���� Ωλ = �.� ) Ωm = �.� ���+� ��� X�
) �� W�� U� � emmi '�� �� (�# Y�Z %� � +3 � � �� �� X� .�# Y�Z %� + X� -��-� �(��� %� � "1 ��� X
Q�� �� '�+& %� (�� � �� Ia 8% �&��%� �� Jjd ,��# �� ����� N�� ��� �� (��O&�� � � �� ��� (�� 9%��� 1�
, #s ��� (��R ��� �� Ωλ = �.�� ) Ωm = �.�� -��� ��1% ���� �" � � !�#��� �.�� ≤ z ≤ �.�
. �Je! fi! fj�rrgafs
(�/�<�0 /L�M 0���� )B)
v��; �� -�0� ��"# $�� � �� =�� -��� 1� �>�� �� %�� � =�5 G� �� -���)�� �70�� (���%� ����
%�� � Y��5� -���A (���%� ������"� �"�� � F� �� (��1� �70�� �"%��� ��"#$�� � @7&[� -��'�� .��R�
Perlmutter
Riess��
Gold��
Angular size distance��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gj #�$� ��������� % ���
������
��������
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0−3
−2
−1
0
1
2
3
ΩM
ΩΛ
Age < 9.6 GyrAge < 9.6 Gyr
No Big BangNo Big Bang
Λ = 0Λ = 0
Ωtotal = 1
Ωtotal = 1
68%
68%90% 95%
95%
��� �&��� Y�Z%� JKKd '�� �� �� G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� �iaf , #
68%90%
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
ΩM
Age < 9.6 Gyr �(H = 50 km s–1 Mpc–1)
No Big Bang
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ω
Λ
z ~ 0.4z = 0.8
3
�
��� �&��� Y�Z%� JKKL '�� �� �� G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� �jaf , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gg #�$� ��������� % ���
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5ΩM
-1
0
1
2
3
ΩΛ
68.3
%
95.4
%
99.7
%
No Big
Bang
Ωtot =1
Expands to Infinity
Recollapses ΩΛ=0
Open
Closed
Accelerating
Decelerating
q0=0
q0=-0.5
q0=0.5
^
G���� -H�%� ) (��� ��>? -� � (���%� ���� � X� �gaf , # By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gd #�$� ��������� % ���
�� �� &��RG I �"%�� �4[�� -��'P -���A -���)�� ���5 -� �(���%� �� .���� �B% �� �)�O&�
�� (��� ��� .��� � <� �� G���� -H�%� @7&[� -��'�� -^���&�� $��� !�����I = ��� $R �� -�<� 9[�
T1# -�5 �� �� ��� ��� $��R ��� ��:� ����=�� .�fg� ��� D)�<� �� �" ?�I a w �R $��R Y�%
��� G1� �� .�#� @��<� ����%�&�� 'P G� !�#��� _�� � <�X Y�� -���� �� ��-� �(���%� �� ����%�&��
��� � < � ) -� �(��� %� �� �� "#$�� � -������ %� &�� �� �� � -�� �)�� (��� %� ) ,��� ��� C $� �� � ��B %
��#� @��<� ��� ��0 �� � 1� ��� .�fd! fL! fK�
dA =D
δΘrf.Ks
��� ����� �[� =��� -��� .�#��� !��� �&��� ���X ���C φ ) r �� �� $��:1� ����) � )� �70�� D ����<� ��� ��
���
ds = D = a(ts).χsdΘ rf.Jms
��:>��5 dΘ �� ��%R ���+� $�� � G?� δΘ -��� .�#��� (�# �0� =�5 �� -�% TS"� (�"�� $��% s W��%�
��� ��� ����� -���)�� �70�� (���%� rf.ds ) rf.Jms !rf.Ks ����� �� �5� �� ������"� .���
dA =a(ts)χs
a�a� =
χs
(�+ zs)
=dL
(�+ zs)�rf.JJs
=�5 G� (���%� ��>%��1� ) �>1� $�� � G� �� !���� ��� �� �" ?�I a w �R $��R �� �~%R *��� ��
�1� ) ,0�) U� -�&��� �� %�� � =�5 G� (���%� � F� ������"� !���� �B% �� $�� � ����5 Y�1� �� -)��
�� =�5 (���%� ��� F� !R⊥ = dAθ/(� + z) ���S� �� �5� �� .�#��� ����� �A�% ��� ,0�) U� -�&��� ��
��� ���� ��� ��0 �� �A�% ��� ,0�) U� �� �1� -�&���
ΔR⊥ =r(z)Δθ
(�+ z)rf.Jes
Alcock-Panczynski��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gL #�$� ��������� % ���
�A�% ��� ,0�) U� -�&��� �� =�5 (���%� ��� F� .�#��� z� = z� + Δz ) z = (z� + z�)/� _�� �_��<� ��
��� ���� ��� ��0 ��
ΔR‖ = a(z)Δr(z)
= a(z)Δz
H(z)rf.Jfs
WI ΔR⊥ = ΔR‖ �= %��� �� �" ?�I a w �R (��� �� �5� ��
Δz
Δθ= r(z)H(z) rf.Jis
�"���S� �� �"#��� Δv⊥ ) Δv‖ !��� ��� ,0�) U� �� �1� ) �&��� �� ��� F� D�<� �� �~%R �� � "� �5� ���
���
Δv‖ = H(z)ΔR‖ rf.Jjs
�������"� �#� ���� ��� F� ��� G?� Q�� �� '�+&%� �� � "�� �� �5� ��
Δv‖ = H(z)ΔR‖
=cΔz
�+ zrf.Jgs
)
dR⊥dt
= ar(z)H(z)θ + ar(z)dθ
dt
= � rf.Jds
��� ���� ��� ��0 �� rf.Jds ����<� ������"� ��� O"� & 1� dθ/dt � "�� �� �5� ��
v⊥ = H(z)R⊥ rf.JLs
Alcock-Panczynski��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
gK #�$� ��������� % ���
WI
Δv⊥ = H(z)ΔR⊥ rf.JKs
.��R� ��� �� rf.Jis ����<� �V&���% ) Δv⊥ = Δv‖ !�� �" ?�I a w �R(��� �� �5� �� )
%���� (�/���0 12� &�A��� ������# .B)
������� � �)� .��R� ��1# �� -�/ � =&� � $�X 17� T��X) ���&1�� �� � $�� � -��" �� 9��� @��
�� 7 [� 17� -��$�&��� $�"� �� -���� -����� �� �� ��"#$�� � =7� !�# ���� 8]� ��� �� US���
$��)� �� ����0� ) ������� �� �S%� �� $��� G3� (���R -H�" � ��%� �� G1� �� $"�� ��R � v��;
= ��� ���� j ,4� �� ,4O� �P �� �� $R �� $�� � -��" �� 9��� .�#� !���p�� 9��1% �� �� =��� '3�
-)� �� ��� : � ) ��� (����� �� .���� �B% �� \��"� !����� �� -�� �� ���� -��� (����� G� $�"� �� !���
@ P D)�<� ���1% !-���R -��>%��1� �&��� �B% �� �� ) -���R >&�S1� �S��3� ) ��"���I 2�� ����R
.r� "� �<5��� j ,4� �� �&� � 2 ]� -���s ��R� ��� �� ���� $��
��0 �� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : �) ��� $�� @ P -���7X >&���) ��+ +3� �� -�� �� ��
�� s �� % ���� �#�� \��h ��"#$�� � ���C �� 1��� �� \��+� ��� ��� .�#� (��� lpeak ∼ ���/√
Ωm
$� � �� 7 � �[� �VS��+� =��� �� � h �� ������; �� $�� @ P �7X $� � �� �#� (����� rdafs , #
�B% �� Y�_ lpeak >&���) 2 34� !�7X $� � �� � �� c��&% �� �5� �� ��� .r�#��� �)�O&� �0� �� (�# (�����
.= "� @��<� à = lflatpeak/lpeak "<� ��&��� = 1<� '�+&%� � 1� �� ��� \��"� D�� ��� Y�Z%� -��� .����
.���� ��:� lpeak ���+� �� = +&�� (��O&�� �� ��� �&���) ���"� �� z]) �� �� ��� , �� �� � 1� ��� �� (��O&��
Alcock-Panczynski��
modified shift parameter��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dm #�$� ��������� % ���
$�� � -��" �� 9��� $�� @ P "3"� �daf , #
��� ��� ����� �"�� (����� ��"���I 2�� ����R -)� �� �� &��� ��� !�A�% �� -���)��
θpeak =ηSH
η� − ηLSrf.ems
����<� ��� ��
ηSH =�
H�
√|ΩK |sinn
[√|ΩK |
∫ ∞
zdec
cs(z)H(z)/H�
dz
]rf.eJs
)
ηLS =�
H�
√|ΩK |sinn
[√|ΩK |
∫ ∞
zdec
dz
H(z)/H�
]rf.ees
) cs(z)−� = � + /� × ρb(z)/ρr(z) !zdec = ��� ��� + � !ΩK = � − Ωm − Ωλ q � �_�� < � ��
�V&S�% ) 7 73� ����� G� JKKg '�� �� 9%��� 1� ) ��� ��)� �&S�� .�#��� ρb(z)/ρr(z) = �.��/(� + z)
�� !���%$���I ��� �� ������ Y�1� �� �� �%��� �t��� ��� ��0 �� ��"���I 2�� ����R Q�� �� '�+&%� -��� � X�
���� = ��� (��O&�� zdec -��� ���+� ��� ��
zdec = ����
[�+ �.�����(Ωbh
�)−�.��] [�+ g�(Ωmh�)g�
]W. Hu��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dJ #�$� ��������� % ���
g� = �.����(Ωbh�)−�.��
[�+ �.(Ωbh
�)�.��]−�
g� = �.��[�+ ��.�(Ωbh
�)�.�]−�
rf.efs
Ωb = �.��� ± �.�� � � � ��� � $R ���+ � �� (� � = �� � ,� % ��� � ��>? ��� (� " �� 1 % Ωb � ��� < � � �� ��
Ωλ = � ) Ωm = ��"<� �# �&��� �B% �� �;�) =��� ,� ��>? �� ��>"� ) CDM '�� �� . �im��#���
��� ��� ����� θ ≡ θflatpeak ���S�
θflatpeak = cs
⎛⎝√Ωr +�
�+ zdec−√
Ωr
⎞⎠ rf.eis
��� ��� ����� rf.ems ����<� 7� ���; �� )
θpeak =�cs
[√Ωr + Ωm
�+zdec−√
Ωr
]Ωm√|ΩK |sinn
[√|ΩK | ∫ zdec
�
H�dzH(z)
] rf.ejs
��� ���� ��� ��0 �� $�� � -��" �� 9��� �&��� = 1<� '�+&%� �&����I $"��
Γ−� =√
Ωm√|ΩK |sinn
[√|ΩK |
∫ zdec
�
H�dz
H(z)
]×
√Ωr + �/(�+ zdec) −
√Ωr
�√
Ωr/Ωm + �/(�+ zdec) −√
Ωr/Ωm
=√
Ωm√|ΩK |sinn
[√|ΩK |
∫ zdec
�
H�dz
H(z)
]× A rf.egs
���R� ��� �� ��� ��0 �� '�+&%� �&����I )
R ≡ �
ΓA=
√Ωm√|ΩK |sinn
[√|ΩK |
∫ zdec
�
H�dz
H(z)
]
=√
Ωm
�+ zdecdL(zdec) rf.eds
" < � -�� �)�� -�M � �� � > �� -� S < � � � T X�) �� !� & �� � = 1 < � '� + & %� � & ���� I � � ��� 2]�) � ��� �� " �
�S�% $�� � -��" �� 9��� $�� @ P �� &��R �7X ��Z��5 $�: � !Γ−� = θflatpeak/θpeak = lpeak/lflat
peak
�V1 +&�� $��� ������" � .���� $��% !�#�� (�# �&��� �B% �� CDM ��0 �� ) �[� =��� �� &��; ��
�� �� ��� \��] &���� lflatpeak ���+� -��� �� ��� ��| �� Y�_ �&S�� .��� -� �(���%� �� R ���+� �0� G1� ��
-���&���� I �� ,+&�� ��� ��� ���+� �P��� �_��<� -��� ,; �� .�#�� Y7<� �����I = ��� $R �� �����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
de #�$� ��������� % ���
G���� -H�%� ) (��� ��>? �3O0 �� ���C '�+&%� �&����I * <� "3"� �Laf , #
�� ��� ����� ACBAR ) CBI ,WMAP 9����R U�� (�# -� �(���%� ���+� .��� (��R ��� �� ���C ) '��
(� ��% '�+&%� �&����I * <� �� !R = �/R � 1� "3"� rLafs , # .�JJ! iJ� R = �.��� ± �.���
"<� 7� ���; �� '�+&%� �&����I �� �# z��� �7l�� ��� ��� � 1� .���� $��% (Ωm, Ωλ) �3O0 �� !�#�
!�#�� �)�O&� !�#� (��� ��� �� ����%�&�� '�� �� _V 1<� �� �~%R �� rH(a)s $������ ����<� , # �� &��;
Γ−� = R × A 70� , # �� � �� (��5� 9��I ��� �� ���I -��� .�#� (��� ��� �� ) (�# � <� �%>?
�=������
Γ−� = R ×√
Ωr + �/(�+ zdec) −√
Ωr
�√
Ωr/Ωm + �/(�+ zdec) −√
Ωr/Ωm
=θflat
peak
θpeak
=η� − ηLS
ηSH× cs
⎛⎝√Ωr +�
�+ zdec−√
Ωr
⎞⎠ rf.eLs
��#�� = ��� _�� �_��<� ��
S ≡ csη� − ηLS
ηSH=
R
�
√�+ zdec rf.eKs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
df #�$� ��������� % ���
��#��� ��� ��0 �� rSobss -�0� c��&% �� (��O&�� �� _�� ����<� ���� �1�
Sobs = (�.���± �.����)
√�+ zdec
�rf.fms
�(�>%R =�� >� �B% �� zdec = ��� �� ����� �� ��"���I 2�� ����R Q�� �� '�+&%� �C� ���+� ���
Sobs = ��.���± �.��� rf.fJs
�=���� zdec = ���� -��� )
Sobs = ��.��± �.��� rf.fes
��+ +3� �� -�� �� �� -�l� -����� $���R -��� $�� � -��" �� 9��� -��(�E� ) ���7X $� � �� (��O&��
'+<� ��� �� C(n�, n�) -���+% )� >&�S1� T��� U�� .�ie! if! ii! ij! ig! id� ��� �&��� Y�Z%�
���� �� $�� � -��" �� 9��� -���)�� $�� @ P ���%�^ � -�� -��715 �"? \�; �� -���R -��>%��1�
������"� .�#��� *��E ; 7 � ��"#$�� � -���&����I ���+� �� -���)�� $�� @ P -���7X $� � .����
) �� $��)� , ��� .��� (��O&�� ��"#$�� � -��'�� -���&����I 'SX ,��X (��� $��� �)�3� -��� ��%R �� $���
$�� @ P -��(�� ) ���7X `�S��� -��� 7 73� ����<� G� �%��� <� � X� �V &S�% �<���� G� �� 9%��� 1�
�� (��O&�� !��"# $�� � -���&����I �� -���� ���<� �� >&���) �715 �� 7�_� �� ��� .�iL��"�� �t��� !-���)��
.�#� )��) � ���9��? �� -�0� � X -��: ��%R �� ��%R �7�� ���+�
�&���) �>�� � �� (��# G� ��0 �� $&o��� ��"���I �7 �� �V�X ��$���� ) ��$�� !�� &O5�) $��)� �� ,SX
�� ���(�E� ) ���7X � �� �� �Z"� %�� ���� ) �%��� -��9" 1��� � � '��<� �C� �� (��# ��� ��%��% .�%�(��
`��� y)� -���7X ) �" � � ����� '��<� ��� -���7X .�#� $�� � -��" ��9��� -��� -��>%��1��% @ P
��0 �� �7X � ��m $� � � <� -��� (��� 7 73� ����� G� !'�(��� (��# '�� �� .�iK� �#��� ���� 9��� ��
Legendre polynomial�
Michel Doran�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
di #�$� ��������� % ���
$R $��� �� !�#��� ��%�^� -�M� �� &��R �7X *� +� lA �Z"�� �� .�jm! jJ� �#� (��� lm ≈ mlA
�� �� �� lm ≈ mlA ����� �#� (����� ��� ')�5 �� �� ��%�1� .�id���� � <� 7 73� ��0 �� ��
��:�� Y�% �� (��O&�� �� &��R ')� �7X $� � -��� (�# �S��3� ���+� ')�5 ��� �� .����% %�[1� �������
n = � !Ωb = �.� !h = �.� ����+� ���7X $� � �S��3� -��� .���� $��% �� l� ≈ lA ����� ) CMBFAST
-�7I)� '�+&%� � "~1� ) �%��� , �%�&I 9��� �� #�% ���C� TX�) �� .��� (�# �&��� �B% �� zdec = ���� )
&��R �7X -�0� ) " 1[� ����+� ����+� �Jaf ')�5%error l�(numeric) l�(estimation) Ωλ Ωm
� �� �� �.� �.�
�� �� �� �.� �.�
$��)� �� �<� ) ,SX G�: � �� '�+&%� ��� .�#� $�� @ P �7X $� � �� '�+&%� G� ��Z�� ���� (��# $��%
�=���� '�+&%� ��� �&��� �B% �� �� .��� �&���) =��� ���"� �� � "~1� ) �� &O5�)
lm = lA(m − φm) = lA(m − φ − δφm) rf.ffs
.δφm ≡ φm − φ ��� ��� ����� �7X � �)� �� �S�% �7X � ��m S�% '�+&%� ) φ ≡ φ� =�� �� �B% �� ���� -���
lA �� �Z%R �� ) �� ���� ��pI $� �� lA y��[&�� �#�� Y7<� ��"#$�� � -���&����I �� '�+&%� � 1� >&���) ���
�:Z� �>�� � �� �� ��"#$�� �@7&[� -��'�� $��� ��� *��E ; �#� �� &�� ���&����I -��� �� -���+� ��
��jm���� (�# (��� φ -��� ��� ��0 �� 7 73� -����� G� � �� �<���� �� .���
φ ≡ �.���
(r∗
�.�
)�.�
r∗ =ρr(zdec)ρm(zdec)
= �.���(Ωmh�)−�(zdec/����) rf.fis
rΩbh� = �.��s %���� ��>? ) ,��� �&����I !n = �.� O P W��%� �� 0E �� ����+� -��� U+� ����� ���
(�1� �_� #� Dp; ) , 1 � -��� .�#��� G���� -H�%� ��>? (�1�x�� �� ,+&�� �V"1] ) (�� q��0
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dj #�$� ��������� % ���
!�#��� �� &O5�) $��)� �� G���� -H�%� �C� ��>? U�&� D�<� �� ��� ���S� � �� (��5� !rf.fis ����<�
�= "� @��<�
ΩdecΛ ≡
∫ τdec
�ΩΛ(τ)dτ
τdecrf.fjs
τdec =∫ ∞
zdec
dz
H(z)rf.fgs
�=�� �� �B% �� ��� ��0 �� �����; ����<� �C� ���+� � "~1�
w� ≡∫ τ��
ΩΛ(τ)w(τ)dτ∫ τ��
ΩΛ(τ)dτrf.fds
. ��� ,+&�� �� &O5�) �� ,SX $��)� G�: � �� �V&S�% '�+&%� �&����I �� �Z%R �� ) � 1� )� ��� G1� �� $"��
��%��� �t��� $�� @ P Y� �� ')� -���7X '�+&%� �&����I -��� �� ��� �_��<� �&�� �iL� 9%��� 1� ) �� $��)�
%:,� ��; :�<��� ������=
φ = (�.��� − �.���n)[a�r
a�∗ + �.��ΩdecΛ
]a� = �.��� + �.���(Ωbh
�)
a� = �.���� − �.���Ωbh� + ���.(Ωbh
�)� − ����(Ωbh�)� rf.fLs
.�#��� Δφ = �.���� �� ����� �σ ����� ���� �� φ -���
%>,� ��; �?�� :�<��� ������=
δφ� = c� − c�r∗ − c�r−c�∗ + �.�(n − �)
effective equation of state��
Doran��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dg #�$� ��������� % ���
c� = −�.�+(�.���− �.���Ωdec
Λ
)e−(��−�.Ωdec
Λ )Ωbh�
c� = �.���e−����(Ωbh�)� + �.��
c� = �× ��− + �.���(Ωbh
� − �.��)�
c� = �.�+ �.�ΩdecΛ +
(��− ���Ωdec
Λ
)Ωbh
� rf.fKs
.Δδφ� = �.���� �� ��� ����� �σ ����� ���� �� δφ� -��� )
%>2! ��; :�<��� ������=
φ� = d�(�+ d�r∗)rd�∗ + d� − �.���(n − �)
d� = �.��� − �.��Ωbh� + �.��e( − ���Ωbh
�)
d� = (−�.���+ ��.�Ωbh�)Ωdec
Λ
d� = −�.��− �.Ωbh�
d� = �.���e( − ��Ωbh�) + �.���)Ωdec
Λ rf.ims
')�5 �� �� -����+� -�0� ������� .Δφ� = �.���� �� ��� ����� �σ ����� ���� �� φ� -��� � "~1� )
����� ���� CMB -���7X $� � -��� �� ���(�# 6��:� ���
$�� @ P -���7X $� � �eaf ')�5l� l� l� Experiment
��± � �± � ���.�± �.� WMAP
��± �� ��± � ���± �� BOOMERANG
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dd #�$� ��������� % ���
E��A� F�32 ���C��� I2� �� ������2 �H����� 5 %���� 6B)
��%���� (��� �� &��R ��%��% �5) JKgj '�� �� �� )������ !$�� � -��" �� 9��� @�� �� $��:1�
) JKdm '�� �� ��� ) :7S� I )� �� WI �&S�� .��� " �9 I �� ��� -��$�� -�5 �� ��� -��$)�& �� �� (�#�O5
�� ��>"� !$��� ��4� �� .�"&��� �B% �� �� ��� ��# �O5 �� & <]) JKdm '�� �� �� ��))���� a )� %�
=� �� ��# �� (�# ������ -��$���� ) ��$�� !��� (�� (: %� ��0 �� (��� ) (�� ��� ��� (���%� �� =���
�� �& ?� 7 � ��$�� U�&� ���R 9�I 'P !� <]) ��� �� .�%�� (�# �O5 � P�"F�)�& �� -)� % U��
�� ���'/&�� �� �%��&#�� �� ��� � 7��X ) (��� ��&�� (��# G� ��0 �� ��$���� ) ��$�� ) (�� 7��� 'P
@ 0� �0 ��� U�� &��R y��� *� +� ���&��:� .�""� ��+� ) ���1; �� &��R y��� ��0
��ZO%� WI '�� fmmmmm �VS��+�s \ ��� ��� $��)� �� WI (��� ) ��%�� � � �� &O5�) � "�� \S� �� .�#�
��%��% *� +� ���&��:� -��y� 'P !����% �5) $R �� WI -�(�1� 9" 1��� ) ���� Q� T��� 7 � r� �)�
-)� �� �� ���, # ��%��% ��� .��� (�%�� X�� '�; $��� �� � �)� $�� � $��)� � <]) $�1� �� &��R
9��� -��$�� @�� �� WI '�� ff �VS��+� &��R y��� .�%��p�� �5 �� ��$���� ) ��$�� ��M� T���
$�� � -��" �� 9��� $�� @ P �� &��R -���7X �&#p� '�� ���"? P �� .�%�# (����� !$�� � -��" ��
-��� -�� <� �"&�%�� ��%R G1� �� -�� �� $��"1�%�� .���(�# ���A -�0� ���# ����=�� �� 3� $�"� ��
���� �+ +; �� &��R -���7X .�je� �%�)R ���� $R -�"3%� ) =��� (�"�� , �� ��>? ���+� $��� 1E �
�� &O5 �) .�je� �""�� � �� � �)� $��5 -�1�/I �� �� �0 y��� !%�� � �_/&�� �� �"�R� �5� \S�
�0 y������&%� �C� ��0 �� ) (��� 9��� �� �0 ���� %����% ��0 �� z = ���� Q�� �� '�+&%� ��
���<� @7&[� -��y� 'P -���� �� &O5�) $��)� ) �_/&�� -� � , # � � $��� �� .�"�� @X&� ��
Sakharov��
Baryon acoustic oscillations (BAO)��
Peebles & Yu��
Sunyaev & Zel’dovich��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dL #�$� ��������� % ���
) (�# � S<� �)�O&� -��'P *� +� �� �V1 +&�� !�)�O&� �4[�� -��$��� ��� .�"��� Y�Z%� $��% �)�O&�
�5� ,��X ���+� �� =��� � "�� \S� �� .�"�� ��Z�� $�� @ P -)� �� ���" 1� ) ���" � � �� >"��1� -��
� �)� $��5 �1�/I �� �� &��R ��%��% ��� �� ��I�� ��"#$�� � -��-�l� !��� (�# , �� %���� (���
.�jf! ji! jj! jg! jd��"�� " �9 I �#� �0� (�)��� �� & S�% � h (��� $�� @ P -)� �� ���� �5)
8)�# ��$���� ) G���� (��� �� rY��s � �)� '/&�� G� �� �� ��� ��� (��� ��� w�� -��� (��� �� �� 6)� G�
!�"�� �� I �#� G���� (��� �� �%��� -X -��-�����I�% �C� �� G���� (��� �� � �)� '/&�� �� �%>%�1� .= "�
��_ ��� \ ������ $��)� �� .�#� '3&� `��S%� '�; �� -)�� y� G� �"%�� !=� %���� (��� �� '/&��
-� �, # ,��� �>�� � �� G���� (��� ) ��$���� !$��� ��� �� WI .�#��� Jjm Mpc �S��� �� ��<# -����
T��� $�� @ P �� : � G?� �C� G� �#��� \��h G���� (��� �� �_/&�� �� �Z%R �� ��� .�%#� ����&���
�� *� +� N�:� -���#� �� &��R $��% �C� .�# ���� (����� Jjm Mpc *� +� �� (��� >&�S1�
��"�� � �� ��� ��0 �� � �)� $��5 &��R -���"�R�� &��"#$�� � -��'�� $���R -��� \��"� � <X�
) ��� �#� '�(��� ��0 �� �� -��� �#� �%��� -�l � ���� -��� -���# $�"� �� $R �� $��� rJ
.��� (��O&�� !�� �� �B% �� �� '�; $��� �� z = ���� �� �� =�H� �� *� +� N�:� -��: �
.�� �� ���X (��O&�� ��� z = ���� �� G���� (��� �5) �� �>�� -� ��� $�"� �� re
P�S��� !2��0 ��0 �� !�#� -� �(���%� Q�� �� '�+&%� �� "�I (�&�� �� �� �4[�� 'P ��� �� $��� rf
.��� � <� !(��1� ��4&[� �� -���)�� �70�� ) ,��� �&����I '3� � �
-��Q�� �� '�+&%� �� =��� `��S%� v�&# ���� -��� = 3� ) � X� : ��%R G� $��� : % 6)� ��� �� TX�) ��
.��� (��O&�� G?�
.�"#��� �M� -�"3%� �� �_/&�� \S� �� G?� �� �� �_/&�� -���� ��$�� ) G���� (��� z � ���� ��
.�#��� N�:� G?� -��*� +� �� ��: � ) ��� ������"� .�#��� P ∝ k ��0 �� �_/&�� ��� �$�� @ P
.�%��� � � �� �� ��� 'P �� �& ?� -��*� +� �� ��>? : � ) ��� ��"���% ) ��$�� 9[I !$��� �#p� ��
P (k) = 〈|δk|�〉��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
dK #�$� ��������� % ���
) ��� G?� -��*� +� �� �� ��; �� ���� ����� �� �#� �� G���� (��� �_/&�� N�:� -��*� +� ��
���C� }�3� �� ��"���% ) ��$�� !9��� ) (��� ��>? -����� $��)� �� WI .�#� @X&� G���� (��� : �
'�; .�"�� �#� $�� � ��0 �� ��*� +� Y�1� �� G���� (��� ��>? �� �_/&�� ) �%#� �C�� ��"��
���� $�� a $���� (��# �� � �)� �_/&�� k�&��� X�O�� �? �#�� �5� $���� -���+� $� � ��� �� ���
\ ������ $��)� �� ���� '��<� Y�� ���&%� .�#� ��&"� (��# ��� �� �0 ���� �� �� (�# ���� '��<� Y�� ��Z��
��"���I 2�� ����R �� �0 ��� �� ����� y� ��� 8�<# ������" � ����� ����� -)�� y� G� ��0 ��
!G���� (��� ��"� �� $"�� .�"�� , � �O0 �1� �� �0 ���� ) �&�� � � �� ���� $��)� ��� �� .�#���
-����&��� $�� @ P �� G?� : � �7X G� ���# �V&���% ) �#�� �"��� 9+% ��&��� , �� �� : % ��$����
$�� @ P �� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� &��R $��% -�I �� �>�� %��� �� .�� = ��� *� +� N�:�
�%�O��&� .�%��� �5 �� N�:� -��*� +� �� (��� ��>? >&�S1� T��� �� �#� (����� $�� � -��" �� 9���
-��*� +� �� � "~1� ) r���S� �0�� Jm �)�; ��s (�� @ <] �� �� (��� >&�S1� T��� �� &��R9��1%
(����� -��� !h−�Gpc� �S��� �� !N�:� =Z; �� �� z��E � G� �� &���� ������"� .��� (����� ,��X : % N�:�
&��R ��%��% �� ��% $)�� ) : 1� (�����G� �%�� �&�%�&% 7SX -��z��E � .�je� ��� (��O&�� $R �C� ��+%
(����� ��Z"��% G I G� �"&�%�� U+� � 7� .�""� (����� N�:� *� +� �� (��� >&�S1� T��� $�� @ P ��
2dfGRS -��(��� $�� @ P �� (��O&�� �� �� �σ ����� ���� �� &��R �7X � '���I .�JL! jL! jK��""�
�C� �� �5� ,��X =�� emmi '�� �� 2dfGRS -��(��� �� -)�� -���"��1� : �� %R .�gm���� (����� ��
��� �� 2]�) -�C� SDSS -���%1% ���&1�� ) 2dfGRS >&�S1� T��� , 73� .�� % � ��� �� &��R $��%
�� ����%1% Z"� @ P >&�S1� T��� �� (��O&�� �� -�"? �� WI ��� .�gJ! ge��%���% ���� �� �P *� +�
survey��
perival 2001�
2df Galaxy Redshift Survey�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Lm #�$� ��������� % ���
fLJg �)�; �� &;��� -���� �� �� SDSS z��E � �� ��(LRGs) N����� �� �%� :��X $����� -��$�� ��
$��% ��� �� 3]�) �C� !�� $�� �� igdiL �)�; �� -��%1% ���<� �� !z = �.�� Q�� �� '�+&%� �� T��� �5��
2dfGRS N����� �� ����+� �� $�� �� -�&1� ���<� ,��# N����� ��� � "�� �� .�gf� ��� $��% �� &��R
�� ����#� �� (��O&�� �� c��&% � �)� .��� �" �� �� �� N�:� -��*� +� �� ��&��� �<���� -��� ��� !�#���
.�gi! gj��# �t��� �� ���&�%:�� ) �� ��� U�� SDSS N����� �� LRGs �%1% �� !G?� ) U�&� *� +�
!r !g !u �%�� c"I �� !�)� -�� �� �� �� �#��� T��� �5�� ��� �<�) �� � � ,��# TX�) �� SDSS N�����
&��R �7X � <� ) �S��3� �� �� �~%R ����% �� .�gg! gd! gL! gK! dm! dJ! de� ��� (��R ���� z ) i
@ P � �� -����� �� .�"#��� z = �.�� �� z = �.�� Q�� �� '�+&%� (�&�� �� ���$�� �� !�#� (��O&��
.��� �&��� ���X �5� ��� -���R x�� ���� -��� !N�:� -��*� +� �� (��&�� v�[&%� G� $�"� �� $��
.�%#� v�3� �>�� � ���� ,��S� ���� �"#��� $�� � ���/P� -���� �+ +; �� >&�S1� T��� ) $�� @ P
��&�� ��% � S# $R �� �� $�� @ P D/� �� G?� -��*� +� ���C� �� ��� ��� >&�S1� T��� ��:� G�
�� �� & 1� $��)R ���� -��� .�%#� ��5 &��R ���C� ) �� =�H� : � ) ��� �� �� �� !�""��
G1� �� N�:� -��*� +� �� (��� ��>? : � ) ��� >&�S1� T��� !�#� (��O&�� $R �� -�0� � X $�"�
c��&% rKafs , # .�df��#� �S��3� &��R �"�R�� G�: � �� (��O&�� �� ) �� -_�� a -�"�� ��� 1[�
�� (�# (����� �7X .���� $��% �� �70�� �� >&�S1� T��� : % rJmafs , # .���� $��% �� >&�S1� T���
� <� >&�S1� T��� �S��3� �� (��O&�� �� ��� � 1� .�#��� &��R �7X $�1� ∼ ��h−�Mpc *� +�
��#�
DV (z) =[DM (z)�
cz
H(z)
] �
�
rf.iJs
Luminous Red Galaxyes��
Sloan Digital Sky Survey��
Zehavi 2004��
Eisenstein 2004��
Landy-Szalay��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
LJ #�$� ��������� % ���
��0 �� ��"���� �70�� \�; �� � 1� ��� .���#��� -���)�� �70�� (��1� 'P DM (z) ����<� ��� ��
DV (z) � 1� �#��� z = �.� �� ����� ���%1% �% Q�� �� '�+&%� �� �Z%R �� .�#� $� �DM = dL/(�+ z)
�S��3� ��"#$�� � ��]� -���&����I $��� �C� � ) ��1%���� : �� %R �� (��O&�� �� Q�� �� '�+&%� ��� ��
���� @��<� ��� ��0 �� �[� =��� �� -�>�� ���5 � 1� $��� �#��� H−��
�� \��"&� � 1� ��� .�#�
A ≡ DV (z = �.�)
√ΩmH�
�
�.�c
=√
ΩmE(z = �.�)−�/�
[�
�.�
∫ �.��
�
dz
E(z)
]�/�
=√
Ωm
[d�L(z = �.�)
E(z = �.�) × �.�� × (�+ �.�)�
]�/�
rf.ies
����� �σ ���� �� SDSS N����� �� LRG -���%1% �� (��O&�� �� � 1� ������+� .E(z) = H(z)/H� ����<� ��� ��
�� G?� Q�� �� '�+&%� �� � 1� ��� �V&���% .�je� ��� (��R ���� A = �.�� (n/�.�)−�.�� ± �.��� ��
(��O&�� �� �� ���� 1� �� �>�� � .�� �� ���X (��O&�� ��� %���� &��R $��% -�0� � X $�"�
'�� �� ,+&�� -�0� � X $�"� �� ) (�# � <� >&�S1� T��� �� %���� &��R $��% ������� ��
DM (zdec = ���) � 1� �� !DV (�.�) !z = �.� Q�� �� '�+&%� �� �70�� �S�% !�� �� ���X (��O&�� ���
��#���
R�.�� ≡ DV (z = �.�)DM (zdec = ���)
rf.ifs
� � � ��� � �σ ��� � �� SDSS N �� �� � �� LRG -� �� % 1 % �� (�� O & �� � � � 1 � � �� -� 0� ��� + �
(��O&�� �� '�� �� ,+&�� -��� 1� �>�� -�0� ����+� .�je� ��� (��R ���� R�.�� = �.�� ± �.����
.��� (��R rJJafs , # �� �σ ���� �� SDSS N����� �� LRG -���%1% ��
comoving angular diameter distance��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Le #�$� ��������� % ���
*� +� N�:� -����&��� >&�S1� T��� �Kaf , #
*� +� N�:� -����&��� -��� !�70�� �� >&�S1� T��� �Jmaf , #
�%# � � <� %���� &��R $��% �� (��O&�� �� �� ��"# $�� � -��� 1� �JJaf , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Lf #�$� ��������� % ���
���� $��% �� �"5 � ;�% � ��I , # ) ��1# � ;�% _�� , # �Jeaf , #
��� N���� (�� ���A� 9B)
'�; $��� �� �#� W��%� � 1� .�� US��� $�� � �" �� '3� �� �% �� !=���� ��<� �� �� ���� X Y�1� $"� ��
�� !r� " S� �� e ,4� �&� � ��3 ]� -���s ��� US��� ��>? ���S� '3� �� �� rf = ln(δ)/ ln(a)s f(z = �)
: � ) ��� U�� ��$�� �� -�"��#� �� �Z%R �� .�#� (��� �� � ��&��� , �� �� `��� -�0� � X $�"�
(��� : � ) ��� -)� �� ���� X �%��� !>&�S1� T��� -� �(���%� ������"� �#� � <� ��%R '3� ) (��� � �)�
!��� (�# v�[&%� ��%�� �� APM z��E � �� �� 2dfGRS N����� bJ �%�� -��(��� �� �V� �� .�"� ��Z�� ��%R '3� )
� ;�% �� �#I � ;�% )� -���� ��(��� ��� .�gJ! di! dj���� (�# �S��3� z = �.� �� �#� W��%� � 1�
�>�� ��5 �� ) ��h��m < α < �h��m ) −��.◦ < δ < −��.◦ ��4&[� �� ; �� $�� �� v"5 \�X
, # .�#��� h�m < α < ��h�m ) −�◦. < δ < �◦. ��4&[� �� $�� �� '�1# \�X �� "<�
�<���� -��� Q�� �� '�+&%� -�M� �� z��E � G� �� �� ��>"� .���� $��% �� (�# (����� $�� � rJeafs
Q�� �� '�+&%� ���+� G1� �� �#� (��� 1[� $�� �� �� �� �� -��70�� �� �#�� �5� &���� = "�� (��O&��
) 7��� `��S%� � C�� �3� $�� �� �� ���� .�#�S% <X�) �70�� ��� � 1� �� �� �� ��0 (�# (�����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Li #�$� ��������� % ���
�� 7� �P �� �%��� �0�� ���� ��� .�� �� ���X <]� �%��� -��, �%�&I �5) �C� �� �0�� ����
T��� -��� ��� �t��� �� �� ���)� ) � )��_ .�# >&�S1� T��� �� #��&h� �C� �� �Z"� �� �# ��Z�� ����5 Y�1�
9���&h� �&����I -� �(���%� � � .�dg! dd� �%��� ���� �� 6��&h� ��� !Q�� �� '�+&%� -�M� �� >&�S1�
G� �"&�%�� !�#� (� ��% ���� *���� �&����I b ����� ��� �� �� !β = f(z = �.�)/b !�Q�� �� '�+&%�
β = �.� ± �.� ����+� 9%��� 1� ) �� ���)� .�""� ��<� !�#��� '�� �� ,+&�� �� -�>�� -�0� � X
) ��)��_ .� %�)R ���� !���(�# f(z = �.�) = �.� ± �.�� ���+� � � �Z"� �� b = �.�� ± �.�� )
f(z = �.�) = �.�± �.�� ���+� �� �Z"� �� b = �.� ± �.� ) β = �.�� ± �.�� ����+� 9%��� 1�
.�)� � �� � ��&��� , �� -�0� -��� X -��: ��%R �� ����+� ��� .�%��� 6��:� !���(�#
Lahav 2004��
Verde 2004��
redshift distortion parameter�
linear bias parameter�
Verde 2004��
Lahav 2004��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
� ���
������ ��� � ��� �0 %"�
/��A� $B.
.��R� ��1# �� =7� ����� �� ��@�� ����D�H ) ����\ Z� �� � �#� (� ��% G���� -H�%� �� �~%R @��
�� "� �5� ��� -��`�S"&�� �� ��� ��
���� �� �� G�: � =7� ����� �� '�� fmm -��� .��� (��% , �� ”(���” �� =��� �� -H�%� (�1� 9[� a
, �� �� =��� �"�� , �� �0�"� �0�� fm ��"� �0�"� ��� �� �#b[�� �#p� 9��� ) (��� x��
.��� (�%�� X�� �&��"#�% : % $"�� =� �� ��� -�4"� $R � +� .�"���
=7� ,�% ����R �� �� ���� �B% �� .�� % (�""� vp5 �%��� ��0 �� $��5 �� -H�%� (�1� �1�X a
�+ +; $�"� �� �� -�4� .�"�� ��&�� ��|�5 -)� % ��0 �� �� 1� 9%��� !=���&��R �� = #�� G�: �
�� = %��� -�0� -���&��� �� �5� �� (�)��� .r!�)��s���� ��1# �� '�� ���0 'P �� �< SP ����
.�#�� �%��� �<��� -)� % ���P �� =��� v�&# � S<� �%��� ���S� ��� .���� : % �<��� ��%�� 9%���
��� �� -�(^�) ��:� � � �� ���R �� �� %�o� '3� .= "�� ��%� =��� ����� �� 0�� $��)� �� �� a
-��� : % � 35�� Y�� ��� &���S% ��R �#�� ���" � �M� ��� .����% �5) = "�� ��%� =��� �� �� �� <]�
��� �� (�� ��� �4� ��� .��� '3� '�; �� $��5 �� ��� �&��R �� �� : % ,��� @�� k�#�� 2 30 : % $���
Lj
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Lg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�� = %��� (�)��� .��� (�� �5� ,��X � F� c � $)�� ) b[�� �%)� �� '�� ��� 7 � Jf �)�; �� '3�
v�&# $��)� �� -��p� �� = "�� ��%� $�� � ����� �� 0�� $��� �� �� .��� (�# ��hR %�o� � h $���
X�� �%� �� �+ +; �� .��� (��� Q� !\��h G���� -H�%� $��)� !�Su� v�&# $��)� �� !\��h (��� $��)� !O"�
!�)�� ��1# �� \��h (��� $��)� b&[� �� ����&��� -���� ~ I �#� ) *� +� N�:� -����&��� , �� ��
�)�� 9 I !$�# ��G���� ) $�# ����� !$�# ��� X� �1� �� $�� � �� %��)� ) ��� (� �� $���I �� $"��
.��� (�# ��hR
) � X� @ 0� !�# z��� �� ��%�1� .�#� � <� G���� -H�%� U�� $�� � �&#p� ���# &; ) (�"�R a
"S� ���# � �)� .�) �� ��1# �� eJ $�X �� 17� -�����? ����=�� $�"� �� G���� -H�%� � ��� �� � 1�
� ��� �&��� �S�� ������� ��&�� �� .�dL! dK���R ��� �� -�/ � Km ��� U��)� �� G���� -H�%� �5) ��
$��% -��� 6)� G� .�Lm� �#��� '�; $��� �� %��3� ��>? @4% �� �&1� _V �1&;� (��� ��>? ,� �� �%���
(�# (�� � 1[� !������� �� �5� �� �� �LJ� �#��� Ωb/Ωm ∼ �.� − �.� ��� �� (��O&�� !8]� ��� $���
�� (��� ��>? !�im� Ωbh� = �.��� ± �.�� "<� rBBNs N�:� ��ZO%� -��&�� :&"� � X �� �5� �� .���
) ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� ������� $��� $�1� �� .��R� ���� Ωm ∼ �.�− �. �S���
�[� =��� ���"� �� ��� ���"� I !N�:� -���� +� �� ��%�� �� T��� �� (��R ��� �� c��&% � � $R \ ���
�� �� &O5�) $��)� �� �0 ��� (���%� '_�&�� ��� �� .�# � ��� : % Y�� '�� �30 \ ��� ���� .�#���
�&����I �� � "� 85�s ��� (�# " � 9 I ΩK = � − Ωtot $R ���� l ≈ ���/√�− ΩK �� ����� ��%�^� -�M�
!�#��� =��� -�"3%� (�"��1% �� ΩK � �.� ���+� !�7X ��� $� � (����� �� �5� �� .�Le! Lf�rCMB '�+&%�
$��5 %�� � `��S%� �Su� v�&# �� `��� �+ +; �� (����� � �� .���� ���� $��5 -��� �� �[� ���"�
�5� �� .��� ��&�� ��� (��R ���� Ia 8% -���&��%��� �� �� -��<&� -�������R ���I �� (����� ��� .�#���
'�� �� ��%�1� ) �#�� �[� ��M� ��0 �� �� 1��� ) =� (��� ��>? �&#�� -��� (�� ��"� _�� (����� �� ��
\��h DZ:5 (�)��� ) �#��� !�#� (� ��% G���� -H�%� �V;/�0� �� (��� �� -��%� �� ��+&�� !���� ��B&%� ���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Ld �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�� .�#� ����&��� $�# � X� \S� &; ) (��� -� �75 �%��� 9S�� �� -H�%� 8% ��� .��R� v��; ��
(��� �"%�� %�� � -���� � �>�� �� '� � ��� .�#��� O"� ���� -���� -H�%� 8% ��� !Y�� � S�% -�l� *���
-H�%� � ��� ��� �� �� ���/P� �%�O��&� !�dL� ���� -���� �)�O� ���� ��/� �� 9��� !"���% !��� G����
v�&# �� $�� � `��S%� @ 0� -��� �5� -����� 7� �P �� .��� ��&�� 6� ��-�l� �&��� �� U+� G����
��� �"���S� !�Su�
��� �� .�# ���"� I �&��� %��5 � �� -��� ���&�"�R U�� ��� � �)� ��"# $�� � ���C ���"# $�� � ���C aJ
���C (�)��� .�Li� �#� = B"� (��� �� #�% -���|�5 9%��� �� ����A �� -��<��� ��"# $�� � ���C ���;
$�� � ,� �� ���" � ��0 �� ) (�� O"� ���� -���� �� �#� �&��"# DZ/� -H�%� $�"� �� ��"# $�� �
��� ��"# $�� � ���C � &�"�� � �)� ��� D/� �� .�#��� �C�� �� 1 # -��9" 1��� }�3� �� ) (�# (��&��
��� .�#� $��5 `��S%� �� �Su� v�&# ��Z�� ���� DZ/� -H�%� � 7� (��% ���� (��� ��>? �� �#�� �&#�� �5)
.�#� � <� �#� (��� ���; ����<� U�� �� �4[�� G� �� U+� ��"# $�� � ���C
�� ��� �� , �%�&I G� �� ) �%� (�# �O5 �%��� $�� � �� @ <] ��0 �� �� ��� �� $�� � �� ������ ae
.�%#� (� ��% rQus � W"�� &�" �� �V;/�0� ����� ��� !��7h� �&��R ��0
'�� ���; ����<� .� -H�%� Y&%�� ) � W�� � > 7o?� ��"%�� �-�(^�) ��� G1� �� G���� -H�%� @ 0� af
��#��� ��� ��0 �� W�� � > 7o?�
pc = − A
ρcri.Js
�=���� dE = −pdV ⇒ d(ρa�) = −pd(a�) -H�%� -�+� �� �5� ��
ρc =
√A +
B
ari.es
Quintessence�
exotic matters�
Chaplygin Gas�
Phantom Energy�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
LL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��&�� �O0 ���� �� G���� (��� �� � S# � �)� $�� � �� '�� ��� .�#��� -� �'��>&%� ���C B !ri.es ����<� ��
�� ���; ����<� pc ∝ −�/ραc �&��� �B% �� �� .�"�� ��&�� ��"# $�� � ���C �� � S# '�; $��� �� ) (���
� ��R� ���� ��� ��0
wc(a) = − w�[w� + �−w�
a�(�+α)
] ri.fs
�Lj! Lg! Ld! LL! LK! Km! KJ! �#�p� '�� ���R -���&����I -)� �� ���� X $��� -�0� ���#G1� ��
��� (�# �t��� !�# Y�Z%� ')����� U�� �� -�0� ������� : ��%R *��� �� � -H�%� Y&%�� '�� .Ke! Kf! Ki�
���; ����<� ��S&�� (��� $�� � -��" �� 9��� ) Ia 8% -���&��%��� �� ,0�; c��&% �� �%��� (����� ��%R .�Kj�
-�&�� ����� �"?�� � -H�%� Y&%�� �� (�# �I $��5 .���� ��� �� �Kg� −�.�� < w < −�.�� ��0 �� ��
w� < −�/� ���� �Su� v�&# �&#�� -��� �� =���� /V SX .�#��� S Z�x�� -���� �) ���� -�0� c��&% ��
!�# �&��� �B% �� w� < −� �� ��0 �� .�#�� w� > −� �� �"�� v�Z�� @ <] -H�%� `�# ��P �� .�#��
���C ��:>��5 '�� $�"� �� '�� ��� 6��pI ������"� .�# ���� O"� G���� -H�%� �� �&���) �S"5 -H�%�
.�Kd� �#��� )��) � 9��? �� !��"# $�� �
.-����# ���"�%�� � ai
�%�>~"I �0�"� -��� ����) $)�X ���B% *��� �� .�KL��#��� G ��"�� -���� ��"# $�� � ���C D/� �� Qu
$�1� �� Qu $��� !�#��� G ��"�� ) w�E3� ,��� �� =Z"I �4"� ()/� �� vR ) 9�R !w�� !�� "<� =���
�� -�� �� .�#� @ 0� wφ(z; {l}) = p/ρφ "<� ���; ����<� �� : % Qu '�� .��%�� �&�� ��� =Z"I �4"�
Qu '�� �� �"&�� ����&����I {l} �Z"�� �� .�"#��� −� < w(z; {l}) ≤ −�/����; ����<� -���� Qu -�����
) ��� �� $R �C� �� �#� �&��� �B% �� $��� �� �&���) �% ���� !Qu -����� �� ��� �� .�""�� @ 0� ��
-���)�O� �>�� �� .�#��� ���� ,��X *� +� N�:� -����&��� ) ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� -��: �
Phantom Energy�
Caldwell�
Phantom Energy�
brane worlds cosmology
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
LK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
-�(�1� =�� �%��� Qu '�� !��"# $�� � ���C D/� �� �� ��� ��� Qu '�� ) ��"# $�� � ���C � � =��
.�����I = ��� $R �� ����� �� �� �#�� �&#�� � �)� $�� � ��
�%� "��&�� ���H 0�� 3434;
�Z"�� �� .����% �5) G���� -H�%� -��� ��� $�"� �� ��"#$�� � ���C +�"� �/ �� -��� ��&�� (�����
�= "�� = �+� ��� �&�� )� �� �� G���� -H�%� �/ �� !��� = ��� '�S%� ,4� ��� �� �� ��� �� �5� �� ��
�)�O&� /V ��� !$�� � $��) �� �� G��� � -H�%� ) G��� � (��� '3� �� �Z%R �� ��%�� � ����� , �� �@��
%� � �� .k�"#��� �S��� G� �� =��� (�"�� , �� �4"� )� ��� != "�� ��%� �� �� %��)� �� ��? !�#���
�#�� (�# = B"� ����� �S��� �� + X� ���+� �� G���� -H�%� �� G���� (��� �S�% $�� � -��&�� �� &���� !�>��
.�#�� ���� '�S%� �� �� Y)� , �� �� '�l� ��� .�&�� q�O�� �]�; $��)� �� ��%R -����� ��
�S��� �� '�; $��� �� G���� -H�%� -��� (�# (����� ���+� ��? �� �#� $� � \ ��� ��� �� Y)� , �� �v
�7l�� ��� .��� �)�O&� �� �� ����GeV� "<� DZ/� -H�%� �� (��R ���� ���+� �� �� �#��� ��−��GeV�
.�#� (� ��% ��@��A = B"� �V;/�0�
�� ������ )��) � ��� , �� �� �� �� !G���� -H�%� DZ��"� $�"� �� ��"#$�� � ���C �� ��+&�� !�>�� ��P ��
.�#��� ρc %��3� ��>? �� G��:% 7 � =��� ,� -H�%� ��>? $�� � -��" �� 9��� �� � �� ������� *���
�=���� re.fJs ����<� *��� ��
H� = H�
�
[Ωm + Ωr +
Λ�H�
�
]ri.is
"<�
Λobs ≤ �H�
�∼ ��
−�GeV�
Cosmic coincidence
Fine tuning��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Km �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
����� ��� �� ��� ��0 �� �� DZ/� �%� � a -H�%� ��%�� !�&%�� ����)�% �>�� D�P ��
〈Tμν〉 = −〈ρ〉gμν ri.js
(����� re.eKs ����<� �� �5� �� r= &��� �B% �� g�� = −� �� �� G��&� �� ��� \S� ��� �� O"� ��/�s
� =���� ) (�# ���]� Λ ���C =�� �� DZ/� -H�%� �#�
Λeff = Λ + �πG〈ρ〉 ri.gs
y� 'P �� m Y�5 �� $�� � G� -���� Y�1� -)� �O0 ��+% -H�%� T15 �� DZ/� -H�%� ��>? �>�� D�P ��
���R� ���� ��� ��0 �� Λcutoff >> m
〈ρ〉 =∫ Λcutoff
�
dk�πk�
(�π)��
�
√k� + m� ∼ Λ�
cutoff
��π�ri.ds
�������"� !Λcutoff � �√πG
=���� (�>%R != "� �� &�� rt ≥ tpls G%/I $��)� �� �� y� 'P -_�� �; ���
〈ρ〉 ∼ �× ����GeV
�WI
Λobs ∼ Λtheo × ��−��� ri.Ls
��"# $�� � ���C , �� ,; �� %��"? � +�� ��� != �� ���X QCD $��)� �� �� y� ��� -_�� �; ��� &;
!�# @�� ��SUSY -�l� �� dm ��� �� .�� ���� ΛQCD ∼ ��−�GeV� � <]) ��� �� .��R1% ����
���A DZ/� -H�%� -��B&%� ���+� �� �>�� � @��[� ��/� �� � "�� \S� �� ��% ��� ) ��%)�� �� ��� � ��B&%�
�� !�#�� �&#�� �5) SUSY ��� !��� $��% � X� ��+ +3� �) �""� ,; �� ��"# $�� � ���C , �� !�%#�
���� ��"# $�� � ���C -��� �O0 ���+� !��� ���� ��� �� � �)� $�� � �� �Z &% �� ) (�# �&� # =� -���
.�KK! Jmm� ����
supersymmetry��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
KJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
.= "�� (��#� $R �t��� -��(: >%� �� ��) ����� !=�����I �� Qu '�� @ 0� �� � "�� �� ,SX
) 9%�� � DZ� � " � ��� � �� /V u � -�� " � G �: � �� ����� -�� " � G �: � -�� � �)� O & � `� S " & �� Qu �@ ��
�5) @ <] ��� �� -��%�� � ��<� -��� -�(: >%� !���| G�: � ����%�&�� '�� �� ����� -����I -��9" 1���
$�1��� -�l� �"%�� �< SP -����I -�l� � � 7I $�"� �� Qu ��0 ��� �� .�JmJ! Jme! Jmf! Jmi� ����
a :%�� � !Y�� $�� � !:> � �"%�� ��� �� -��%�� � �� ��� ��� �+ +; .�)�� �� � $�� � (����� ,��X ��&��� )
6)� G� .�"#��� 9%��� ) ���| G�: � ����%�&�� '�� �� ����� -�l� -�����I ... ) �� $�/�� $�� � !�� G� ��
�>�� �� �� !�#��� ��� �� $�� � $��� ��� �� ) ��<� ��"# $�� � ���C -��7 �� �� ��� ,; -��� +�"�
.�)�� ��1# �� Qu '�� ��<� -��(: >%�
�� � �� =���� ,SX 9[� �� ��"� ,; �� ��"# $�� � ���C %�� � ����� , �� �%�� � Qu '�� �v
-H�%� �� �S��� =� G���� -H�%� � "�� -��� =���� .�#��� %�� � ����� �7l�� ��"# $�� � ���C �/ ��
�S�% Y�� $��)� $���I ��s $�� � �1� �� � �)� $��)� �� &���� rG���� (��� �� ����+� �� � "~1�s �#�� %��3�
= B"� " <� ���+� �� �S�% ��� r�#�� (�# = B"� ����� �� J ��0 �� %��3� ��>? �� ��"# $�� � ���C
��� (��� Q� $�� � -��&�� �� G���� (��� ) G���� -H�%� �S�% -��� O��A = B"� �>�� %��� �� .�#�� (�#
�# (��#� $R �� 9 I ,4� �� �� �#��� =��� &[� �7l�� = 1<� �+ +; �� %�� � ����� �7l�� .�Jmj�
���5� 9��� I �� $��:1� %�� � �Su� v�&# $��)� ��?” $~1� -���1� , # �� : % �7l�� ��� .�Jmg�
�� �# = B"� -��%� �� ��� �� $�� � ���+� &���� Qu '�� G� -��� .�#� z��� : % ”k��� �<# -|
-��� � 1� G� @��A = B"� -�5 �� ������"� .�#�� ���� �� ∼ ��−��GeV� ���+� '�; $��� �� $R -H�%� ��>?
���� �B% �� �V���A .�%# = B"� ��� �� $�� � '3� � �)� U���# ) Qu '�� -���&����I ���� ��"# $�� � ���C
U���# �� ���� = ��� �� ,��� 1� �� ��� ���� D�P �� �� ��"# $�� � ���C (�1� �/ �� �&�%�&% Qu '�� ��
��:� .���� ��� �� $�� � -��� ��v|�5 '3� ����<� G� !9"� �"1#� v�[&%� �� ��� �� $�� � '3� � �)�
Brans-Dicke��
dilaton��
attractor equation��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Ke �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
G���� -H�%� � >�� ��&�� �Jai , #
�Z"� " <� ���+� �� ��� �� $�� � -��� � �)� U���# �� < �) �"��� DZ��� �� �� ��� ��� �� �_��<� 8% ��� 70�
$��% rJais , # �� �% ��0 �� Q�� �� '�+&%� �� $��� �� <��� ��0 �� G���� -H�%� '3� .�# ����
!-� >�� ��&�� � 7� ��� � �)� U���# �� ,+&�� '3� ��"� �% �#� (����� , # �� �� ��%�1� .��� (�# (���
$��� ��:% �� U+� ) �#�� $��� �B% D�0 ,��X \��h (��� ) 9��� $��)� �� -H�%� ��� =�� �� �"�� � 1M�
� >�� '�� �� Qu -����� 8% ��� .�# \��h �#� $�� � -��� �Su� v�&# �� �Z"� �� �~%R ��0 �� '�;
8% ��� �� .�Jmi! Jmd! JmL! JmK��)�� ��1# �� ����� ��� �715 �� �� W"�� �� a w� '�� ) (�� ����
��0 �� �� � >�� � �� !�# �S��� =� 9��� ��>? �� �� ��>"� ) (�%�� ���C ρφ !�#�� ρφ << ρr ��� �����
.�"�� '�S%� !��� (�# (��� $��% rJais , # �� �� �~%R
: 1� -��� ��#�� �&#�� ��"# $�� � ���C �� ����+� �� -�0� c��&% �� -�&�� ����� Qu '�� ��� � 1� �y
) (�# Y�Z%� -���0� G1� �� $��� !�#��� �Su� v�&# �� $�� � `��S%� 'l�� �� G���� -H�%� 8% $���
��� G���� -H�%� 8% � <� '�S%� �� �5� -��-�l�
k − essence��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Kf �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
G���� -H�%� 8% � <� �� ���&��%��� G3� "��) �eai , #
5�617 ���$1�. ���� *1@ ��; 5�A�
-)� �� ��� : � ) ��� -���)�� $�� @ P �7X $� � ) , # �%��� G���� -H�%� ���; ����<� �)�O&� ����+�
���� != #��� -���)�� $�� @ P , # �� "��) �5) ���# �%�O��&� ��� .��� � F� �� ��"���I 2�� ����R
���&1�� ��� ) ��R� ��� �� $�� � -���)�� $�� @ P %�� � -��� 1� �� @7&[� -���&�� -��� �� "<�
.�#��� ( # ��� (�""� �)�3� ,���
Ia 92� ����� �2����
��� �� ��� ��| �� Y�_ �&S�� .��� � <� �� G���� -H�%� 8% $��� : % ���&��%��� ��"���� �70�� G1� ��
$��% �� "��) ��� �C� reais , # .��� (�# �)�3� $R ��%�� ) (�%�1% \ 4% � "��) �� �%�O��&� =� 6)�
.����
'�� �� ��� ���� $��� (�>%R �#�� G� �S��� �� �� 1�G���� -H�%� �� G���� (��� �S�% ��� !�0/� �P ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Ki �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
G�: � � � +�"� `�S��� ��Z�� -��� ����� 8% ��� �>�� D�P �� .��� (��� ,; �� %�� � ����� �7l�� Qu
-�B% q�O�� !(�� ��� q� D���� �� $� �� �� �; �? �� � "�� ��� .��� (�# ���"� I !-�(����� -� %� ) -�� "�
��1# �� -�0� ������� @ 0� �� '�� ������� ΛCDM '�� �"� ��� =7�� �� �~%R �) .�#��1% �5�
DZ��� �� �� ���� �) (��� ,; �� %�� � ����� �7l�� Qu -��'�� �� ��� ,X��; �� ��� 6���� ���S% .�) ��
.�JJm� ��� (�� G���� -H�%� DZ��"� @ 0� �� &��"# (���I �V��0 =�� G� ��Z�� !��� (��� �����I $R
,��� (-��� Qu &�� 'B.
�&��� �B% �� FRW �[� '�� ��0 �� ��� G���� (��� (��1� �� Qu G���� -H�%� '�� �M; �� =��� G��&�
�"%�� ���| G�: � ����%�&�� '�� �� �5� ���| Y�1� (��1� �� ��� G���� (��� !Qu ,��# %�� � (��# .�#�
�� �&%�� -��: � ) ��� $��)� $R �� �� ��� $��)� G� �� =��� !'�� ��� �� .�#��� "���% ) 9��� !$����
Qu '�; $��� �� � "�� �� �&��� ����� G���� (��� ) 9��� $�# \��h �� ) (�# '3&� !�#� ��Z�� ) � ��� ��0
��0 �� �� (�� !φ !��� �� $�� � G� �� \�&"� -H�%� ��>? !Qu �� �1<� '�� G� �� .�#� \��h
�V+ X� =� %� � ��� .���� �&��R 9�7h V (φ) , �%�&I �� !�Su� v�&# ��Z�� -��� ) (�# ,I� 9%��� �� @ <]
-^%���_ G� U�� %�� � ��� �� $�� � '3� .�#��� !���� Q� ��� $��)� ��� �� �� �~%R �� �����
�/&�� �1�X ) !φ !�>1� �" �� DZ:5 )� �� ��� �� $�� � ��� .�#� (��� 9" 1��� �� ��� �� $�� � G� -���
��� ���� ��� ��0 �� FRW G��&� �� ��� �� $�� � '3� .�#� = �+� δφ "<�
L =�
�∂μφ∂μφ − V (φ) → φ + �
a
aφ + V ′(φ) = � ri.Ks
�� �� , �%�&I G� �&#�� �� ��"� .�#��� V ′ = dV/dφ ) $��� �� �S�% �&�� ��+% ��/� ri.Ks ����<� ��
���)R ���� ��� ��0 �� �� ���� ) -H�%� ��>? $��� !�"� q�0 ri.Ks ����<�
ρ =�
�φ� + V (φ)
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Kj �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
rKK T5��s $��� �� �&���) G���� -H�%� -��� (�# �t��� -�� , �%�&I �� ��� �fai , #
p =�
�φ� − V (φ) ri.Jms
���� WI ) (�� ��� �� $�� � , �%�&I �� �&1� �S"5 -H�%� =�� "<� != #�� �&#�� �&��R 9�7h �� ��0 ��
rfais , # �� Qu ��� �� $�� � -��� (�# �t��� -��, �%�&I ���&1�� �� ��� .�� ���� O"� ��� �� $�� �
(�� ���; ����<� -��� ������ , # G� ���"� I Qu '�� G� �t��� -��� ��6)� ���� ')��&� �� � .��� (��R
&���� �� ��� '�� ���R -���&����I ,��# {l} ����� ��� �� .�#��� w = w(z; {l}) ��0 �� 7� ���; �� ��
) ��� �� $�� � >&���) $��� !���; ����<� , # G1� �� .�%# = B"� � X� ��0 �� -�0� ���# G1� ��
.��� � <� rQ�� �� '�+&%�s $��� �� �� ��� �� , �%�&I
Qu &�� �4�H�� %���� G�C���# >�;�� )B.
-���&����I ��S&�� (�)�3� �&��� ������"� �#� ��<� w(z; {l}) ��0 �� ���; ����<� G� �t��� �� Qu -�����
�� �Z"� �� -��� �� , �%�&I �&��� �>�� D�P �� .���� �B% �� -�)�] ) Y�_ -�0� ���# G1� �� '��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Kg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�Z"�� �� .��� ������� 0�� � 1�� �� : % G���� -H�%� G�: � � ��� �� $� �� -��� �# ���; ����<� � "?
��0 �� FRW ����<� �[� =��� �� .= "� � <� ���; ����<� �&#�� �� �� φ ��� �� $�� � , �%�&I =���� �4X
��#��� ��� ��0 �� Qu G���� -H�%� ���� ) -H�%� ��>? � "~1� .�� ���� H� = �/(�M�Pl)(ρm + ρφ)
ρφ =�
�φ� + V (φ) ri.JJs
)
Pφ =�
�φ� − V (φ) ri.Jes
�=���� ri.Jes ) ri.JJs �_��<� G1� �� .�#� �&��� �B% �� wφ ≡ Pφ
ρφ��0 �� ���; ����<� ��
�
�φ� =
�
�(�+ wφ)ρφ
V (φ) =�
�(�− wφ)ρφ ri.Jfs
,; �� .�#��� ρφ + �H(ρφ + Pφ) = � ��0 �� Qu -H�%� ��>? ) ���� \�; �� : % >&� I ����<� )
���R� ��� �� ��� ��0 �� -H�%� ��>? !>&� I ����<�
ρφ(z) = ρ�φe�
∫z
�(�+wφ(z;{l}))d ln(�+z) ≡ ρ�φU(z; {l}) ri.Jis
���R� ��� �� ��� ��0 �� , �%�&I , # ri.Jis ) ri.Jfs �_��<� G1� ��
V (φ(z)) =�
�(�− wφ(z; {l}))ρ�φU(z; {l}) ri.Jjs
��#� ,��S� ��� ��0 �� Qu (��� �M; �� =��� '3� ����<� )
H(z; {l})� = H�
�
[Ωm(�+ z)� + Ωr(�+ z)� + ΩφU(z; {l})]
]ri.Jgs
-��� �3� ����<� ri.Jes ����<� �� (��O&���� $��� $"�� .�#��� Ωφ = ρφ/(�M�PlH
�
�) ����<� ��� �� ��
���)R ���� ��� ��0 �� ��� �� $�� �
dφ
dz= ± (�+ wφ(z; {l}))�/�
(�+ z)H(z; {l}) ρ�/�φ ri.Jds
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Kd �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
$R �� = "� v�[&%� �� _�� ��/� ��� .�� �� ��0 φ < � ) φ > � -��� \ ��� �� � ��I ) _�� ��/� v�[&%�
��� ���� ��� ��0 �� ri.Jds ����<� ��0
dφ
dz= −
√�MPl
(�+ wφ(z; {l}))�/�
�+ z
[�+
Ωm
Ωφ
�
(�+ z)�U−�(z; {l})]−�/�
ri.JLs
�= "�� @��<� �� ��� �<� $)�� -��� 1� $"��
V ≡ V
ρφφ ≡ φ
MPlri.JKs
������"�
V [φ(z)] =�
�(�− wφ(z; {l}))U(z; {l})
dφ
dz=
√�
(�+ wφ(z; {l}))�/�
(�+ z)
[�+
Ωm
Ω�φ
(�+ z)�U−�(z; {l})]−�/�
ri.ems
Y)� ����<� ,; �� z �� <��� ��0 �� φ(z; {l}) ) (�#b[�� V , # (�# (��� w(z; {l}) �� -��� ��&�� ��
.��R� ��� �� ri.ems
�������4 ,��� (-��� &�� .B.
�t��� T��� x�� , #. �JJJ���� �t��� � EF&� G���� -H�%� -��� &��"# (���I '�� G� emmi '�� �� � �����)�
-H�%� 8% $��� $R G1� �� ������"� .�"�� �O�� 9+% Q�� �� '�+&%� �� < �) (��� �� !���; ����<� -��� (�#
�� ��%R 1E � ����+� ��S&�� (�; � <� ) (�� =� : % '�� -���&����I ���<� �>�� D�P �� ) ��� � <� �� G����
��� ��� ����� *� +� ,��� \�; �� '�� ��� �� G���� -H�%� .�� ���� ���� ,��X ����
Ωφ(a) =eR
�+ eRri.eJs
��"�� ��&�� ��� ��0 �� ) �#��� R(a) = ln(Ωφ(a)/[�− Ωφ(a)] !ri.eJs ����<� ��
R(a) = R� − �w� ln a
�− b lnari.ees
Wetterich��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
KL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��#� @ 0� Ωeφ ) Ω�
φ !w� � 1� �� U�� b � 1� ri.ees ����<� ��
b = −�w�
(ln�− Ωe
φ
Ωeφ
+ ln�
φ
�− Ω�φ
)−�ri.efs
����<� .���� $��% !�� &O5�) $��)� �"%�� � �)� $�� � �� �� G���� -H�%� ���+� !Ωeφ � 1� ri.efs ����<� ��
��#� @ 0� ��� ��0 �� !'�� -���&����I \�; �� ���;
w(z; w�, b) =w�
[�+ b ln(�+ z)]�ri.eis
$��% Q�� �� '�+&%� \�; �� �� ���; ����<� ��� F� $�: � ) �#� (� ��% �� 91� � 1� �V;/�0� b � 1�
$��% �� '�; $��� �� ���; ����<� ���+� w� .��� US��� � �)� $�� � �� G���� -H�%� $�: � �� � "~1� .����
��>? >&���) ri.eis 1&���>� G���� -H�%� '�� ���; ����<� ) >&� I ����<� �� (��O&�� �� .����
��#� (��� ��� ��0 �� ΩΛ ≡ Ωφ G���� -H�%�
ΩΛ = Ωλa−�(�+w(a;b,w�)) ri.ejs
��#� @��<� ��� ��0 �� w(a; b, w�) !ri.ejs ����<� ��
w(a; b, w�) =
∫ a
�w(a′; b, w�)d ln(a′)∫ a
�d ln(a′)
=w�
[�+ b ln(�+ z)]ri.egs
�� .���� $��% w� = −� ) b @7&[� ����+� -��� Q�� �� '�+&%� \�; �� �� w(z; b, w�) ��&�� riais , #
��� F� G?� -��z �� � "~1� .�#� G��:% G���� (��� �� G���� -H�%� ��&�� Q�� �� '�+&%� 9��:��
'�� ��� �� G���� -H�%� ) G���� (��� -����� $��� ���� .�#� ��Z�� �&��� = 1<� ���; ����<� �� -�(�1�
=��� -��� 91� �&����I @7&[� ����+� -��� zeq !-����� Q�� �� '�+&%� rjais , # �� .���� �B% �� � O� : %
$��% Ωλ = �. ) Ωm = �.� !��� =��� ) Ωλ = �.� ) Ωm = �.� !�&�� =��� !Ωλ = �.� ) Ωm = �.� !�[�
���� ��"� �% �Z &% �� ) (�# \��h ���)� G���� -H�%� b ���+� 9��:�� �� �#� (����� �� ��%�1� .����
bending parameter��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
KK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
1 + z
w
100101102103-1.5
-1.25
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5b = 0.0b = 0.5b = 1.0b = 2.0
___
Q�� �� '�+&%� \�; �� �&��� = 1<� ���; ����<� ��&�� �iai , #
z
b
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Open UniverseFlat UniverseClosed Universe
��� ) �&�� !�[� =��� -��� G���� (��� ) G���� -H�%� -����� Q�� �� '�+&%� �jai , #
'3� ���� �� ������"� .���� ���X � C�� �3� : % �� ����&��� '3� � 7� (�# $�� � �" �� '3� �"�R �� � F�
�� $�� � �� G���� -H�%� 8% $��� !�0� �� ,0�; c��&% ����+� ) '�� ��� �M; �� $�� � �" �� ) ����&���
ΛCDM ����%�&�� '�� -��� .� "� �5� lima→� ΩΛ/Ωm �S�% �� !%�� � ����� �7l�� ,; -��� .��� � <�
��� ��� ����� ��� ��� 1&���>� G���� -H�%� '�� -��� ��� !�#��� ∼ ��−��� �S��� �� ��� ���
lima→�
ΩΛ
Ωm=
Ωλ
Ω�m
[e
w�
b
]−�ri.eds
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmm �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
Ωλ
/Ω
0.25 0.5 0.75 10
0.5
1
1.5
2
2.5
b = 0.0b = 1.0b = 10.0
m
*� +� ,��� \�; �� G���� (��� �� G���� -H�%� �S�% �gai , #
,; �� %�� � ����� �7l�� \ ��� ���� ) !�.�� �� ��� ����� �S�% ��� !w� = −� ) b = �.� -��� ������"�
��� ���� ��� ��0 �� �#�� 1&���>� G���� -H�%� -���� �� %�� � -��� ,��� �&����I .�"��
H�(z; b, w�) = H�
�[Ωm(�+ z)� + ΩΛ(z; b, w�) − (Ωtot − �)(�+ z)�], ri.eLs
���� @���<� ��
Ωm =�πG
�
ρ�mH�
�
ri.eKs
ΩΛ(z; b, w�) =�πG
�
ρ�λH�
�
(�+ z)�[�+w(z;b,w�)] ri.fms
Ωtot = �+k
H�
�
= Ωm + Ωλ ri.fJs
!$�# �"� � 1� !ri.eLs �_��<� �� (��O&�� �� .�#��� '�; $��� �� -H�%� ��>? ����+� Ωtot ) Ωλ !Ωm
�� '�+&%� \�; �� w� = −�.� ) Ωλ = �.� !Ωm = �.� DZ��� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -��� !q = a/aH�
�
`��S%� (�)� ��hR !b $�: � 9��:�� �� �#� (����� , # �� �� ��%�1� .��� (�# =�� rdais , # �� Q��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JmJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
q
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2-0.5
0
0.5
1
1.5
2
b = 0.0b = 0.5b = 1.0
1&���>� G���� -H�%� -��� �Su� v�&# �dai , #
G���� -H�%� $��)� $� ����� �� 8]� ��� �&S�� .���� Q� �& ?� Q�� �� '�+&%� �� "<� ����� �Su� v�&# ��
-H�%� ��&�� b 9��:�� �� riais , # �� �5� �� ���� ����% �X�"� �# (��#� $R �� rjais , # �� �� !\��h
Q� ���)� !�&��:� -��b -��� $R $�� \��h $��)� �� �"?�� ������"� !�) �� 9 I G���� (��� �1� �� G����
-��� .�#� ���%� =� �#� $�� � `��S%� �� �Su� v�&# ���� �� 7��� $�"� �� : % $R 9+% �) ����
\�; �� *� +� � 1� ��� F� ) ,��� �&����I , # != " S� $�� � �" �� '3� �� �� b � 1� ���+� � X� � C�� � "��
��%�1� .��� (�# (��� $��% rLais , # �� Ωm = �.� �� �[� =��� ) b @7&[� ����+� -��� *� +� � 1�
9��:�� *� +� ,��� � <� ���+� �� $�� � (�%# �"�� `��S%� ���� b 9��:�� �� �#� (����� , # �� ��
.�&�� ��<� �� �Su� v�&# �� `��S%� $��)� 8)�# �� �#� \S� ��� ) �����
��&�� �%� ) �� �I����C$ ����8 :�� �H� 34;4;
=7� D���� ����=�� �� � !$�� � �� G���� -H�%� 8% � <� -��� -^���&�� �t��� �� =���� z��� ���+� ��
, �� ) $�� � �" �� '3� � C�� �3� ��# �� -�0� c��&% �� �Z%R �� .�) �� ��1# �� ��% ��"# $�� �
-����� �C� $��� ���� �5) ��%R @ 0� -��� �� �_��<� �� �5� �� ������"� .�� �� ���X %�� � ��&���
�C� �1�X ��� �� .��� � <� �� W <��� ) ��&��� , �� ) $�� � �" �� '3� !���"� �� G���� -H�%� @7&[�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jme �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
H/H
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
5
10
15
20
25
30b = 0.0b = 1.0b = 10.0
a
a./H
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
b = 0.0b = 1.0b = 10.0
�[� =��� -��� !91� � 1� @7&[� ����+� -��� !���� ) ,��� �&����I �Lai , #
��� �� �V� �� �� � X� -�0� c��&% �� �5� �� .= "�� ���� $�� � ���"� �� �� 1&���>� G���� -H�%� '��
���� �� '�� ��� ���R -��� 1� ������"� .�JJ� =�� �� �B% �� �;�) �� ����� �� ,� ��>? �Z"�� �� !��� (��R
) b 91� � 1� !w� '�; $��� �� ���; ����<� !Ωm '�; $��� �� G���� (��� ��>? ��� �"���S� �%��� � <�
.h '�; $��� �� ,��� � 1�
���(� :2@ �.�-��
FRW G��&� �� ��O0 -��tH �� (��O&�� �� .�) �� ��1# �� ��"# $�� � ���� -��� 1� �� � (��1� 'P
��� ��� ����� (��1� 'P !��� �&��� ���X z Q�� �� '�+&%� �� �� =�5 G� -���
r(z; b, w�, Ωm) =∫ z
�
dz′
H(z′; b, w�, Ωm)ri.fes
����+� -��� (��1� 'P !ri.fes ����<� �� -��� -� � '��>&%� �� .�#� (��� ri.eLs ����<� U�� ,��� � 1�
� 1� .��R� ���� !(�# (��� $��% rKais , # �� �� �~%R ��0 �� Q�� �� '�+&%� \�; �� !b @7&[�
, # ��� .��� (�# (��� $��% rKais , # �� w� = −�.� ) Ωm = �.� -��� c/H� \�; �� (��1� 'P
null geodesy�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmf �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
r(
z)
10-1 100 101 102 103
0.5
1
1.5
2
2.5
3 b = 0.0b = 0.5b = 1.0b = 1.5b = 2.0b = 2.5
�[� =��� -��� !Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� 'P '3� �Kai , #
-H�%� !b 9��:�� �� �� ��� , �� ��� �� 9��� ��� .����� 9��� (��1� 'P (���%� !b 9��:�� �� �� ���� $��%
�� '�+&%� -��� .�#� =� (��1� 'P (���%� ������"� �&��� 9��:�� : % ,��� �&����I �V"1] ) (�# \��h ���)� G����
��#� �&#% ��� ��0 �� z �� ��� ��0 �� (��1� 'P !�O0 �� G��:% Q��
r(z; b, w�, Ωm) = H−��
[z − �
�z�(�+ [�− Ωm]w�) +
[�− Ωm]w�
�bz� + · · ·
]ri.ffs
�� O <] �C� ������"� !�#� ���A Q�� �� '�+&%� Y� �S��� �715 �� b �C� �� = " �� ri.ffs ����<� �� �5� ��
.�#� (����� : % rKais , # �� �� !�#�� ���� z ∼ �
����,�. �.�-��
.�) �� ��1# �� ��"# $�� � =�� -��� 1� �� �>�� � !%�� � =�5 G� -���A -���)�� (���%� -� �(���%�
-���)�� ���5 -���� !�%�(�# TX�) r (��1� �70�� �� �� D (��1� 'P �� �[� $��5 �� ��+% )� � � �70��
��#��� ��� ��0 �� Q�� �� '�+&%� ��� F� \�; �� -���A ��)�� (���%� ��� F� .�#��� θ = D/r
Δz
Δθ= H(z; b, w�, Ωm)r(z; b, w�) ri.fis
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmi �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
[H
(z
,b)
r(
z,b
)]
/[H
(z
,0)
r(
z,0
)]
0 2 4 6 8 10
1
1.1
1.2
1.3
b = 0.0b = 0.5b = 1.0b = 1.5b = 2.0b = 2.5
-���A ��)�� �70�� �Jmai , #
� 1� ��� �� (�� O &�� ��� &1�� .�fg��#� (� �� % �� �" ?� I a w �R $��R �V ;/�0� � 1� ���
� 1 � rJmais , # �� .�#� �� ! % ��� � (�� � &� �R $�� % � 7 X ) &� �� � �� -� �(��� %� ��
, # �� �� ��%�1� .��� (�# (��� $��%!ΛCDM '�� �� D���&� -���+� \�; �� H(z, b, w�)r(z, b, w�)
z \�; �� -���� ��� F� � ≤ z ≤ � Q�� �� '�+&%� (��� �� -���)�� (���%� �S�% !��� (�# (��� $��% rJmais
�� �" ?�I a w �R $��R Q�� �� '�+&%� �� (��� ��� �� &���� G���� -H�%� 8% � S� -��� ������"� !����
!�#��� -���� � <� Y�� -���� �� ����%�&�� T1# �&#�� -�5 �� �� ��� ��� �� $��R ��� ��:� .��� Y�Z%�
eJ y� 'P �� *� +� N�:� -����&��� $�� @ P -��� 6)� ��� �� (��O&�� : % �V� �� .=���� ����%�&�� 'P G�
.�fd! fL! fK� ��� (�# ���"� I G���� -H�%� (^�) �� ��"# $�� � -���&����I � <� ��5 -�&1 &%��
���(� �B 5�(�
�� � 1� ��� .�#� 1E � ��(��1� =Z; DZ:5 ���� �� $�� � ���"� -)� �� G���� -H�%� ���C� �� �>�� �
$�1�� .�#��� ��&�� !%�� �� -���#� �� ) ��%�� �� !��(�# ��>1� -������� �"%�� DZ� #� ���<� 6��1# ���I
Alcock-Paczynski�
comoving volume element��
lensed quasars��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmj �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
dV
/ddz
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 b = 0.0b = 0.5b = 1.0b = 1.5b = 2.0b = 2.5
Ω
Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� =Z; $�1�� (���%� �JJai , #
��#� �&#% ��� ��0 �� (��1� 'P ) ,��� �&����I \�; �� (��1� =Z;
f(z; b, w�, Ωm) ≡ dV
dzdΩ= r�(z; b, w�, Ωm)/H(z; b, w�, Ωm) ri.fjs
�� ) ���� �� �" � � ���+� �� z ∼ � �� (��1� =Z; $�1�� !��� (�# (��� $��% rJJais , # �� �� ��%�1�
.�#� ,+&"� �& ?� Q�� �� '�+&%� �� G I ��� !91� �&����I 9��:��
5�617 �(�
-����� -���&����I $��� �)�3� -��� $R �� $��� �� �#��� -�0� -���&����I �� �>�� � $�� � �1� (���%�
� 1[� '�� ��� 7 � ��+�−� �)�; �� �� = ��� �1� !� I $���� &� �< ���� .��� (��O &�� G��� � -H� %� @7&[�
�� ���� $��% !��� O� -������ 9����� ��� 6)� �� (��O&�� �� �>�� ��<���� .�JJe! JJf! JJj��%��
T5�� �� %�� � �1� �� ��� X� �<���� -��� .�JJf! JJj� �#��� '�� ��� 7 � ��.� ± �.� �� ����� =��� �1�
�� .��� �&���) '�� -���&����I �� $��� �� �&���) G���� -H�%� �M; �� $��5 �1� ���+� .� "� 85� �JJ�
���R� ���� ��� ��0 �� $��5 �1� !'�; $��� �� =��� -��&�� �� $�� � �1� �� -� � '��>&%�
t�(b, w�, Ωm) =∫ t�
�
dt =∫ ∞
�
dz
(�+ z)H(z; b, w�, Ωm), ri.fgs
white dwarf cooling sequence��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
b
H0
t 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1&���>� G���� -H�%� 91� �&����I \�; �� $��5 �1� �Jeai , #
�&����I \�; �� �� H�t� � 1� rJeais , # �� .�#� �& ?� =��� �1� ���+� !91� �&����I 9��:�� ��
.=��(��� =�� w� = −� ) Ωm = �.��� �[� =��� -��� 91�
Ia J� �)��E����� ���%�� ����8 :�� �I����C$ <�� �%��� 54;4;
�&��� �B% �� ����%�&�� -��T1# $�"� �� �� Ia 8% -���&��%��� !�# z��� , 4O� �� f ,4� �� �� ��%�1�
���&��%��� ��Z&�5 ()�� )� JKKj '�� �� .�""�� �O�� ��"# $�� � -���&����I � <� �� 1�� 9+% !�%#�
) �� W�� �V� �� .�d! L��%�(��� (����� �)� ,0�� �� Ia 8% �&��%��� -���<� !z ≥ �.� _�� Q�� �� '�+&%� ��
��� �� 7SX -���%1% �� ���<� ��� .�%��� @�� Ia 8% �&��%��� Jg !,��� { �7� G1� �� remmis 9%��� 1�
D)�<� Gold �%1% Y�% �� ) (��� , �� !�#��� Ia 8% �&��%��� ��� Jjd ,��# �� ������ ���&��%��� 8%
�%1% -���&��%��� �� (��O&�� �� ) =��(��)R ,SX ,4� �� �� �~%R *��� �� �1�X ��� �� .�K! Jm! Je� ���
��� ��0 �� '�� -���&����I \�; �� �� μ .= "�� � <� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I !�����
Riess��
Gold��
Distance modulus��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jmd �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��#���
μ ≡ m − M = log�� dL(z; b, w�, Ωm) + log��
(c/H�
� Mpc
)+ � ri.fds
��� ��� ����� ��"���� �70�� ri.fds ����<� ��
dL(z; b, w�, Ωm) = (�+ z)∫ z
�
dz′H�
H(z′; b, w�, Ωm)ri.fLs
-����� $�� �� �&��� �B% �� ) ri.fLs ) ri.fds �_��<� �� �5� �� �0� �� ,0�; c��&% $��� '�� -���
.= "� �" 1� !�#� @��<� ��� ��0 �� �� χ� ����<� &���� !r B �� I �� � "� 85�s -� �(���%�
χ� =N∑i
[μobs(zi) − μth(zi; Ωm, w�, b, h)]�
a�i, ri.fKs
$��� �)�3� -��� �� ��R� �+ +; ��� �� �Z"�� �� χ� � 1� .�#��� (����� -��� σi !ri.fKs ����<� ��
��1% ���� '�1&;� T��� .= "� (��O&�� ��1% ���� -���R : ��%R �� &���� -�l� '�� -���&����I -��� (���
��� ��� ���S� !�#1% �&��� �B% �� '�� -���&����I -��� � �)� � X � � &X)
p(μth(zi; {l})) =∏
i
�√�πσ�i
exp
[− [μobs(zi) − μth(zi; {l})]�
�σ�i
], ri.ims
'�1&;� T��� $�# �" � � �� D���&� χ� T��� $�# �" 1� �� ��� 2]�) .��� {l} = {Ωm, w�, b, h} �Z"�� ��
�&�� DZ��� � � -�l � '�� �7 � � (�# -� �(��� %� � ���+� � � � '�1&;� ��0 ��� �� .�#� �� ��1 % ����
-��� /V u� !'�� -���&����I �� G� �� -��� � �)� '�1&;� T��� �M; �� .�� ���� �" � � (�# � <� -���&����I
.�# ��Z"�� &���� '�1&;� T��� ��� �V"1] ) (�� ��� ��0 �� ��1% ���� '�1&;� T��� !,��� �&����I
p(μth(zi; Ωm, w�, b, h)) ∝ exp
(−χ�
�
)Pr(h) ri.iJs
�� T��� T��� G� ��0 �� ,��� ���C -��� _V 1<� .�#��� �� �)� T��� T��� D�<� !Pr ����� ��� ��
) H� = �� !HST − Key 9����R ������� *��� �� .�#��� Pr(H�) ∝ exp−(H� − H�)�/(�σ�) "<�
Prior��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JmL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
(Top hat) ���" � T��� ��0 �� $��� �� � �)� T��� T��� , # �� = "� ��| ��� Y�_ .�#��� σ = �.��
!-�0� -��� X -��� !��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� T��� T��� ����+� rJais ')�5 �� .���� �B% �� : %
&���� �#��� �&���) ,��� �&����I �� Ia 8% -���&��%��� �� (��R ��� �� c��&% � "�� �� �5� �� .��� (�# (��)R
�= ��%� ��� ��0 �� �� �70�� ')�� �B"� ��� -��� .�# Y�Z%� ��-��� �C�� �"�R�� �&����I ��� -)�
μ ≡ m − M = log�� dL(z; b, w�, Ωm) + log��
(c/H�
� Mpc
)+ �
= log�� dL(z; b, w�, Ωm) + M ri.ies
��� ��0 �� �� χ� T��� �#� " � 9 I -�l� �� �� �~%R ) ������� �� ,0�; c��&% ����+� -��� $"��
�= "�� ��%���
χ�(M, b, w�, Ωm) =∑
i
[μobs(zi) − μth(zi; b, w�, Ωm, M)]�
σ�iri.ifs
��� ���� ��� ��0 �� ��1% ���� T��� , # $"��
p(M, b, w�, Ωm) = Ne−χ�(M,b,w�,Ωm)/� ri.iis
.���� $��% �� ��]� -���&����I $�1� : % M � 1� .�#��� 6��Z"�� \��] N � 1� ri.iis ����<� ��
�"<� = "� -� �'��>&%� &���� ��]� �&����I ��� �C� $��� � � �� -���
χ� = −� ln∫ +∞
−∞e−χ�/�dM ri.ijs
�=���� ri.ijs ) ri.ifs �_��<� �� (��O&�� ��
χ�(b, w�, Ωm) = χ�(M = �, b, w�, Ωm) − B(b, w�, Ωm)�
C+ ln(C/�π) ri.igs
�Z"�� ��
B(b, w�, Ωm) =∑
i
[μobs(zi) − μth(zi; b, w�, Ωm, M = �)]σ�i
ri.ids
Marginalization��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JmK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� -��� X �Jai ')�5
Parameter Prior
Ωtot = Ωm + Ωλ �.�� Fixed
Ωm �.��− �.�� Top hat
Ωbh� �.��� ± �.�� Top hat (BBN)[40]
H� ��.�− ��.� Top hat [116,118]
H� ��.�− ��.� Gaussian [116,118]
w� −��.��− �.�� Top hat
b − Free
)
C =∑
i
�
σ�iri.iLs
�=���� = �� U�� M '; �� χ� T��� ��� .�#��� M �� �S�% χ� $��� �" 1� !-��� �C�� �� '��<� �"�R��
χ�(b, w�, Ωm) = χ�(M = �, b, w�, Ωm) − �MB(b, w�, Ωm) + M�C ri.iKs
��#��� ��� �" 1� ���+� -���� M = B/C DZ��� �� ��
χ�(b, w�, Ωm) = χ�(M = �, b, w�, Ωm) − B(b, w�, Ωm)�
Cri.jms
.��)R ��� �� �� '�� -���&����I -��� �" �� ����+� $��� ri.jms ����<� �� (��O&�� �� $"��
�� �σ ����� ���� �� !Ia 8% -���&��%��� -�0� c��&% �� (��O&�� �� !'�� -���&����I -��� ����+� ���&��
���< � � � � �-� �(��� %� ��� < � ,]�O � " < � -���R �5�� ���< � Nd.o.fs χ�min/Nd.o.f = �.��� � " 1 � ���+ �
, # .b = �.��+�.��−.��
) Ωm = �.��+�.��−�.��
!w� = −�.�+�.��−�.��
!h = �.�� ��� �" ��� S� r'�� -���&���� I
�� . �JJi����� $��% !��.�% ����� ���� �� ����+� ���&�� �� '�� U�� (�# " � 9 I μ ���+� rJfais
ΛCDM '�� -��� �� �~%R �� ��"# $�� � D)�<� -���&����I -��� (��R ���� ����+� �� �#� (����� z])
�Z"�� �� .���� (�1� �)�O� �JJ! iJ� Ωm = �.��+�.��−�.��
) h = �.��+�.��−�.��
"<� WMAP ������� G1� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJm �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
zm
-M0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
42
42.5
43
43.5
44
44.5
45
z
m-M
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
34
36
38
40
42
44
Observational dataTheoretical prediction
�/P �%1% -���&��%��� + +; ) -���A ��X ,]�O� �Jfai , #
, # �� �5� �� .= "�� ����+� Riess ()�� U�� (�# �t��� c��"� �� �#��� b = � &X) ������ c��&% : %
.���� �� ����� ��� (�# 6��:� ΛCDM '�� -��� /V SX �� �~%R �� �� c��&% �� �#� (����� rJiais
-��� (Ωm, w�) -�M� �� �� r�"7� � ? U�s �σ ) r� ? U�s �σ !r�&� I U�s �σ ;�% rJiais , #
ri.fgs ����<� �� (��O&�� ) '�� -���&����I -��� (��R ���� ����+� G1� �� .���� $��% �#�� b = � �� &��;
������ �>�� �� ,0�; c��&% �� �� ��R� ���� $�� � -��� '�� ��� 7 � t� = ��.� ���+� !$��5 �1� -���
Ia 8% -���&��%��� 9����R �� ,0�; � X �� �#� (����� (��R ���� c��&% �� �5� �� .���� �� �����
��#��� (�1� ���)�3� )� -����
-H�%� '�� v�[&%� �� "��) !�#� ���� ��� �� ���� ���� '�� -���&����I -��� �� -�(��&�� � ;�% aJ
.��� �S30 � <�X �� <X�) -� %� �� '�� q�S�%� ��� �� $�&% ) �#�� �&#�� �5) G����
� X� ��+ +3� �) �=��(��� Y�Z%� -��� �C�� h ��]� -���&����I -)� ��1% ���� : ��%R �� �� �� �"?�� ae
.�JJg� ��� �&���) '�; $��� �� ,��� �&����I �� ��# �� ���&��%��� ������� �� ,0�; c��&% �� ���� $��%
�#�� ,��� �&����I �� ,+&�� =� ) �"�� �t��� '�� -���&����I -��� -���)�3� (��� =� �� ���#)� �&��� ������"�
,0�; c��&% \ ��� �� ) �&����I -�0� -��� X 8% ��� ���� �� �<� �1�X �� .���� �B% �� -�)�] ) Y�_
Marginalized Likelihood Estimation�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
'�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�&����I -�M� �� '�4�� ����� (��� �Jiai , #
.= "� �)�3� !���� $� �� �� �Z%R �� �� ���&����I ��S&�� (��� = "�� <� ��%R ��
��&�� �� ��� -��8 ���8 K�L �)��M ���� � <�2�� ������( 94;4;
,� -H�%� ���+� �� �� (�� =��� ���"� � <� !���� '�S%� �� $�� � -��" �� 9��� @ P �� Z��&% ���&1�� �� �
�� ,SX ,4� �� �� ��%�1� .�#��� &��R $��% �7X -� �(���%� �� =��� ���"� � <� .�#� `��� $�� �
�� WI '�� ∼ �����s �� &O5�) $��)� �� $���� a $�� (��# :" 5 'P �� D���&� �7X ��� != &����I $R
��� -���)�� (���%� �� lA ≡ lpeak = π/θpeak ��0 �� ��%�^� -�M� �� ���7X $� � .�JJ��#��� r� �)� ��ZO%�
>&���) .�"�� (����� θpeak ��)�� �� �� &��R ��� �A�% .�#� `��� �� &O5�) $��)� �� &��R
��� ��� ����� �[� =��� -��� rf.ems ����<� �� �5� �� '�� -���&����I �� ��)�� ���
θpeak =
∫∞zdec
cs(z)dzH(z;b,w�,Ωm)∫ zdec
�
dzH(z;b,w�,Ωm)
ri.jJs
����+� � F� � � .�#� (��� rf.efs ����<� U�� ��"���I 2�� ����R Q�� �� '�+&%� ri.jJs ����<� ��
, # �� .�"�� � F� $�� � -��" �� 9��� $�� @ P ���1% �� !lpeak $� � !G���� -H�%� '�� -���&����I
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJe �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
w0
b
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6
1
2
3
4
lA = 290.0lA = 300.0lA = 320.0
���&����I -�M� �� ���C &��R �7X $� � "3"� �Jjai , #
b 9��:�� � � �#� (����� �� ��%�1� .���� $��% w� ) b �� &��R �7X $� � >&���) rJjais
�7X -���)�� (���%� �Z &% �� ) rrKais , # s(�# =� ��"���I 2�� ����R �� (��1� �70�� !���C w� -���
���� $�� � -��" �� 9��� �� �� -�0� � X ���&�� .����� 9��� lA �>�� %��� �� ) �&��� 9��:�� &��R
(��� $)�� =� $��� �� ,��� �&����I ��� C�� �� !'�� �� $�� ,+&�� =h�7� �� �#��� R !'�+&%� �&����I !��R�
��0 �� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� �[� $�� � -��� rf.eds ����<� �� �5� �� '�+&%� �&����I .�#���
��#��� ���
R =√
Ωm
∫ zdec
�
dz
E(z; b, w�, Ωm)ri.jes
�� \��"&� !�&��� = 1<� '�+&%� �&����I .�#��� E(z; b, w�, Ωm) = H(z; b, w�, Ωm)/H� !ri.jes ����<� ��
�� rpure-CDMs G���� -H�%� $)�� �[� $�� � �� $R D���&� ���+� �� &��R �7X -���)�� (���%� �S�%
��#��� ��� ��0
Γ =θA
θflatA
=lflatA
lAri.jfs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJf �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
)
R =�
ΓAri.jis
.�JJ! iJ� �#��� R = �.���. ± �.��� �� ����� WMAP (����� c��&% �� (��O&�� �� � 1� ��� -�0� ���+�
-��" �� 9��� '�+&%� �&����I ) Ia 8% -���&��%��� -�0� � X �� (��O&�� �� '�� -���&����I -��� ����+� ���&��
!Ωm = �.��+�.�−�.��
��� � " ��� S � !χ� = χ�SNIa + χ�CMB ��0 � � ��1 % ���� : �� %R �� (�� O &�� � � $�� �
.�#��� �σ ����� ���� �� χ�min/Nd.o.f = �.�� �7�� �" 1� ���+� �� !w� = −�.�+�.��−�.�
) b = �.��+�.��−�.�
')�5 �� .��R� ��� �� '�� ��� 7 � t� = ��.�� �� ����� �1�X ��� �� '�� ����+� �� �5� �� $�� � �1�
.��� (��R '�� -���&����I ����+� rfais
rf.ffs ����<� �� &���� -�0� -��� X -��� rrJjajs , #s -���)�� $�� @ P -���7X $� � �� (��O&�� -���
�_��<�s ��� �&���) ��"# $�� � -���&����I �� -���� ���<� �� φm �� ���� $��% � X� ��<���� .��� (��O&��
φ� = �.�� ± �.��� �� ��� (�# (��� $��% �iL� T5�� �� �5) ��� �� �) !rrf.ims ) rf.fKs !rf.fLs
!G���� -H�%� '�� �� ,+&�� -�0� -��� X $�"� �� ��%R �� $��� ) (�� '�� �� ,+&�� �V&S�% φ� = �.��� )
) l� = ���.� ± �.� -�0� ����+� �� (��O&�� �� �� lA �� `��� ���+� $��� D�P G� �� ������"� .��� (��O&��
�� lA ���+� rf.ffs ����<� �� (��O&�� �� �>�� D�P �� ) ��� � <� �JJd� WMAP c��&% �� `��� l� = ��±�
��� ��� ����� lA -��� -�0� ����+� .��� � <� �� '�� -���&����I ��S&�� (�)�3� ) ��� �S��3�
l�A =l�
�− φ�= �.� ± �.�� ri.jjs
l�A =l�
�− φ�= ���.�� ± �.��
-���7X $� � �� (��O&�� �� �σ ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� reais ')�5 ��
!=��� �� � �� w� = −�.� � �)� ���+� �� ��>"� Ia 8% -���&��%��� ) $�� � -��" �� 9��� -���)�� $�� @ P
.��� (�# (��)R
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJi �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
-��� � �)� ���+� �M; �� gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� �eai ')�5'�; $��� �� ���; ����<�
Observation Ω(�)m b
SNIa+WMAP �st Peak �.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.�
SNIa+HST+WMAP �st Peak �.�+�.��−�.��
�.�+�.�−�.��
SNIa+WMAP �rd Peak �.�+�.��−�.��
�.�+�.��−�.�
SNIa+HST+WMAP �rd Peak �.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.�
���7X $� � -��� ��1% ���� : �� %R �� �� w� = −�.� ) H� = ��.� ± �.� � �)� ����+� �� ��>"�
Ωm = �.��+�.��−�.��
��� �"���S� �σ ����� ���� �� '�� -���&����I -��� ����+� ���&�� !=�� >� �B% �� SNIa )
$�� % $� "� � � -�0� �>�� � X G� �� '�� -���&���� I �� S &�� (�� � $��� � ��)�3� -�� � .b = �.�+�.�−�.��
)
.= "�� (��O&�� %���� &��R
1��2� N��� �)���E�% �G� ��M ;4;4;
-��%�� �� �� �%1% ����� ���<� �� (��O&�� �� *� +� N�:� -����&��� >&�S1� T��� �� � �� �������
$� � % ���Mpch−� *� + � G ��: % �� � 7 X G � !�� SDSS ;� � � U� � �� LRG $� � ��� : �� X N�: �
>&�S1� T��� -)� �� �� &O5�) $��)� �� &��R �7X �C� \S� �� �7X ��� . �gg! gd! gL! gK! dm�����
$��% -�0� � X �� `��� � 1� �[� =��� -��� .�gj� ��� (�# ��Z�� G?� Q�� �� '�+&%� �� ����&���
��� ��� ����� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� %���� &��R
A =√
ΩmE(z�; b, w�, Ωm)−�/� ×[�
z�
∫ z�
�
dz
E(z; b, w�, Ωm)
]�/�
, ri.jgs
�� � � �� � ��� � !z� = �.� Q� � � � '� + & %� �� � 1 � � �� -� 0� ��� + � .� #� � � H� �� , + & � � A
-��� SDSS ) CMB !SNIa ������� �� ,0�; -�0� c��& % \ ��� .�gj� A(z = z�) = �.�� ± �.���
χ� = χ�SNIa + χ�CMB + χ�SDSS ��0 �� ��<��� ���&1� G3� �� !'�� -���&����I ��S&�� (��� $��� ���)�3�
Luminous Red Galaxies�
Sloan Digital Sky Survey��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJj �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��"#��� ��� ��0 �� \ ��� �� χ�SDSS ) χ�CMB � 1� .= "�� (��O&��
χ�CMB =[Robs − Rthe(b, w�, Ωm)]�
σ�Robs
ri.jds
)
χ�SDSS =[Aobs − Athe(z�, b, w�, Ωm)]�
σ�Aobs
ri.jLs
) (��R ��� �� -�0� -� �(���%� �� �V1 +&�� �� & 1� �� `��� obs W��%� ri.jLs ) ri.jds �_��<� ��
'�� -���&����I -��� (�# �C� � ��1% ���� T��� .��� (��R ���� -�l� �� �� & 1� �� `��� the W��%�
+�� U� , # ��� �� .��� (�# (��� $��% rJgais , # �� SNIa+CMB+LSS ) SNIa+CMB !SNIa -���
(��� rJKais ) rJLais !rJdais -��7 # .���� $��% �� �σ ) �σ (�)�3� \ ��� �� � ?��+% ) �&1�
-�0� � X �� (��O&�� �� '�� -���&����I -��� ����+� ���&�� .�"��� $��% �� -�&����I )� -�M� �� �����
w� = −�.�+�.��−�.�
) b = �.�+�.�−�.��
!Ωm = �.��+�.��−�.��
��� �"���S� �σ ����� ���� �� SNIa+CMB+SDSS
.�JJi����� $��% �� ���&����I ����+� rfais ')�5 .χ�min/Nd.o.f = �.�� �7�� �" 1� ��
-���&����I -��� ����+� ���&�� !SNIa+CMB+SDSS -�0� � X ) w� = −�.� � �)� ���+� �M; ��
.χ�min/Nd.o.f = �.�� �" 1� ���+� �� ! �σ ����� ���� �� b = �.��+�.��−�.��
) Ωm = �.��+�.��−�.��
��� �"���S� '��
��� �" ��� S� � ���+� ���&� � !�JJL� Pr(H�) ∼ exp([H� − ��.�]�/(� × �.��)�) "<� HST-Key � X -�� �
remais , # .�σ ����� ���� �� χ�min/Nd.o.f = �.� �" 1� ���+� �� b = �.��+�.�� ) Ωm = �.��+�.��−�.��
���� -�0� -��� X -������ ���� -��� .���� $��% HST-Key � X �M; �� ���&����I ��1% ���� T���
$�: � �� �� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� $�� � -��� (��R ���� �1� $�: � !'�� -���&����I -��� (��R
-H�%� �5) ,�_� �� � .= "�� ����+� !� I -��%�� �� ) � I $����&� �1� �"%�� ������� �>�� �� (��R ����
�"� � 5� �� (�# �0� Y��5� �� ��� �5) �%�&� �� ��� $R �� ��$�5 $�� � "<� �� �� $��3� �7l�� !G����
SNIa+CMB+SDSS -�0� -��� X �� �5� �� =��� -��� (��R ���� �1� !rfais ')�5 �� �5� �� .�JJK�
age crisis��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� �fai ')�5Observation Ωm b w� age
(Gyr)
�.��+�.��−�.��
�.��+�.��−.��
−�.�+�.��−�.��
SNIa ��.�
�.��+�.�−�.��
�.��+��.��−.��
−�.�+�.��−�.��
�.��+�.�−�.��
�.��+�.��−�.�
−�.�+�.��−�.�
SNIa+CMB ��.��
�.��+�.�−�.��
�.��+��.�−�.��
−�.�+�.��−.��
SNIa+CMB �.��+�.��−�.��
�.�+�.�−�.��
−�.�+�.��−�.�
+SDSS ��.�
�.��+�.��−�.��
�.�+.��−�.��
−�.�+�.�−�.��
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1SNIaSNIa + CMBSNIa + CMB + SDSS
m b
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMBSNIa + CMB + SDSS
w0
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
-6 -5 -4 -3 -2 -10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMBSNIa + CMB + SDSS
'�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �Jgai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJd �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
'�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� (��� �Jdai , #
'�; $��� �� ���; �&����I ) 91� �&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �JLai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
91� �&����I ) '�; $��� �� G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �JKai , #
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMB + BBNSNIa + CMB + SDSS + BBN
m b
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMB + BBNSNIa + CMB + SDSS + BBN
'�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �emai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JJK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�� �� �� �Z"�� �� .�JJe� ��� ������ � I $����&� -��� (��R ���� �1� �� �� �#��� '�� ��� 7 � ��.� �� �����
��� 7 � �. �1� �� LBDS 53W091 $�� �� .= "�� (��O&�� G���� -H�%� '�� ���� -��� � I $�� ��
Q�� �� '�+&%� �� '�� ��� 7 � �.� �1� �� LBDS 53W069 $�� �� !�JJK� z = �. Q�� �� '�+&%� �� '��
��� 7 � t = �.�+�.�−�.�
�1� �� z = �.� Q�� �� '�+&%� �� APM 08279+5255 6)�&�� G� ) �Jem� z = �.��
�� ΛCDM "<� ��"# $�� � ����%�&�� '�� �� �1� $��3� $�"� �� (��O&�� ��� 6)�&�� ��� .�JeJ� '��
�= "�� @��<� �� ��� � 1� !�1� -������ ���� -��� .�Jee���R� v��;
τ =t(z; b, w�, Ωm)
tobs=
t(z; b, w�, Ωm)H�
tobsH�
, ri.jKs
�1� tobs .�#� (��� ri.fgs ����<� U�� �� �#��� =��� �1� t(z; b, w�, Ωm) � 1� ri.jKs ����<� ��
')�5 �� .��R ���� τ� ���� !=��� -��� ������ �1� �&#�� -��� .�#��� %�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[�
�� ���� $��% c��&% .���� $��% �)�O&� -�0� -��� X -��� τ � 1� -��� (��R ���� ����+� riais
APM -��� �� ��; �� (� � LBDS 53W069 ) LBDS 53W091 �1� �� � &� � $�� � -�� � (��R ���� �1�
�1� $��3��7l�� SNIa � X -��� HST-Key ) w� = −�.� � �)� � X �M; �� U+� .��� �& ?� 08279+5255
.�JJi��#� ,; %�� �
, ��� (-� �� &� � �� O � �� E� � A � F�3 2 (� ��� � ;� � G � H 6B.
�������4
.= &����I � F&� G���� -H�%� '�� �M; �� $�� � �" �� G ��"�� �� #�% ���C� ���� �� ,SX -���1�X ��
�� : % ����&��� '3� .�#� @ 0� !��� �&���) '�� -���&����I �� �� FRW �_��<� U�� G ��"�� ���
\��"� � <X� $��� �� �&���) G���� -H�%� -����� �C� ���� ������"� ��� �&���) �" �� G ��"�� �� ��#
�� $� �� �>�� -� �� .��� b [�� �� = ��� �� �5� G��� � -H� %� 8 % $� & � �� ��)R� ���I �� -�>��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jem �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
%�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% �iai ')�5Observation LBDS �W�� LBDS �W�� APM
���� + �
z = �.�� z = �. z = �.�
SNIa(w� = −�) �.�� �.�� �.��
SNIa+HST(w� = −�) �.�� �.�� �.��
SNIa+CMB +SDSS �.�� �.�� �.��
, (w� = −�)
SNIa+CMB
+SDSS+HST �.� �.�� �.�
(w� = −�)
SNIa �.�� �.� �.�
SNIa+CMB+SDSS �.� �.�� �.�
(��� '�� -���&����I -)� �� -�0� -��� X , 1 � -��� *� +� N�:� -����&��� , �� -�0� �������
-H�%� '�� �C� �<���� �� ��&�� =���� z��� Y)� ,4� �� �� ��&��� , �� -�l� �� �5� �� �1�X ��� �� .����
.=�����I� !�%�(�# ��Z�� ) � ��� ��0 �� Y�� $��)� �� �� !� �)� ��/&�� '3� �%) � �� 1&���>� G����
;�% '3� ) �&��� �B% �� �� �#��� D)�<� -)�� 9S�� '�� �� �� ��� h ��&��� , �� '�� ����(���
N�:� -����&��� , �� -�0� � X �� (��O&�� �� .= "�� � <� 91� �&����I \�; �� �� '�>? )�� ) '�>?���
'�� (�""� @ 0� -���&����I -)� �� -�>�� -�0� � X !=���� @ 0� �� $R ,SX ,4� �� �� rLSSs *� +�
.= ��� ���X
��� ��0 �� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� ��>? ���S� '3� ����<� re.Lgs ) re.Lis �_��<� �� �5� ��
��#���
d�δ
da�+
dδ
da
[a
a�+�H(a; b, w�, Ωm)
a
]− �H�
�
�a�a�Ωmδ = � ri.gms
\�;�� reJais , # �� ri.gms ����<� -��� ,; !δi ∼ ��−� !�� &O5�) $��)� �� `��� � �)� U���# ��
�� �)� G���� -H�%� !b 9��:�� �� .��� (�# (��� !w� = −� ) Ωm = �.� ) �[� =��� -��� !*� +� ,���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JeJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
δ
0 0.25 0.5 0.75 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b = 0.0b = 0.6b = 1.0b = 4.0
1&���>� G���� -H�%� �M; �� ��>? ���S� '3� �eJai , #
9��:�� !�"�� ��&�� w� �0� �715 $�"� �� �� a/a � 1� rLais , # �� �5� �� �Z &% �� ) (�# \��h
�� $R ���+� 9��:�� �� �� ��� -�(���%� �� 91� �&����I �C� .����� 9��� ��&��� �#� �"�R �Z &% �� ) �&���
G���� -H�%� '�� �M; �� : % �#� W��%� .�#� (����� ��>? ���S� �%) � �� -�0�� �0 � C�� b = �.�
�r(e.LKs ����<�s �#��� ��� ��0 �� 1&���>�
df
d ln a= −f
[�− H�
�
�[�
H�
�
+Ωm
a�+ ΩΛ(a; b, w�)(�+ �w(a; b, w�))]
]− f� +
�H�
�
�a�aΩm
ri.gJs
w� = −�.� ) G���� -H�%� ) G���� (��� -���&����I �&�� -��� ri.gJs ����<� -��� ,; reeais , # ��
-���&����I �&�� -��� b @7&[� ����+� -��� �#� W��%� �� `��� c��&% refais , # �� .��� (�# (��� $��%
) (� �� �" � � G� �� �#� W��%� !�&�� =��� ���; �� .��� (�# (��� !G���� (��� ) G���� -H�%� ��>?
(�)� �� �+ +; �� .��� $�� � �" �� -)� �� G���� -H�%� �C� \S� �� 9��:�� ��� .����� 9��� T��� Wo�
�#� -��� \��"� U���# �Z &% �� ) (� �� �� �" 1� �� $�� � '3� �"�R !�Su� v�&# �� O"� v�&# �� ��� ��p�
v�&# $��)� �� $�� � �)�) �� WI .�� = ��� �#� W��%� "3"� �� G I G� ���# ) (�# ��Z�� ����&��� T���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jee �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
1+z
f
0 3 6 9 120
0.5
1
1.5
2
( 0.1 , 0.0 )( 0.1 , 0.5 )( 0.3 , 0.7 )( 1.0 , 2.0 )( 0.1 , 1.3 )
Ω Ωm λb = 1.0
1+z
f
0 3 6 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2( 0.1 , 0.0 )( 0.1 , 0.5 )( 0.3 , 0.7 )( 1.0 , 2.0 )( 0.1 , 1.3 )
Ω Ωm λb = 4.0
1+z
f
0 3 6 9 120
0.5
1
1.5
2
2.5
3
( 0.1 , 0.0 )( 0.1 , 0.5 )( 0.3 , 0.7 )( 1.0 , 2.0 )( 0.1 , 1.3 )
Ω Ωλm
b = 0.0
Q�� �� '�+&%� \�; �� �#� W��%� '3� �eeai , #
1+z
f
0 3 6 9 12
0.5
0.75
1
1.25b = 0.0b = 0.3b = 0.5b = 1.0b = 4.0
Ω = 0.3 Ω = 0.7m λ
1+z
f
0 3 6 9 12
0.25
0.5
0.75
1
1.25
b = 0.0b = 0.3b = 0.5b = 1.0b = 4.0
Ω = 0.3 Ω = 0.7m λ
1+z
f
0 3 6 9 120.5
1
1.5
2
b = 0.0b = 0.3b = 0.5b = 1.0b = 4.0
Ω = 0.3 Ω = 0.7m λ
Q�� �� '�+&%� \�; �� �#� W��%� '3� �efai , #
.����� 9��� �V<��� ����&��� �#� �"�R !�Su�
�� G���� (��� ��>? �� �#� W��%� >&���) !CDM ��"#$�� � ���C $)�� ��"# $�� � ����%�&�� '�� ��
�&���) G���� -H�%� �M; �� �� >&���) ��� �� �Z"�� �� .�ei� �#� (��� α ∼ �.� �� !f ∝ Ωαm ��0
G���� -H�%� '�� -���&����I �� ��� ��0 �� '�; $��� �� �#� W��%� 6���� T��� .= ��� = 1<� $��� ��
� �Jef���R� ���� 1&���>�
f(Ωm, Ωλ, b, w�, z = �) ≈ Ω�.��m + [−�.���+ �.�� exp(−b) − �.���w�]
× Ω[�.���−�.���b�.��+(−�.���−�.��b�.�)w�
�]
λ − b�.��
���ri.ges
�&����I \�; �� rri.ges ����<�s 6���� T��� ) ri.gJs ����<� -��� ,; �� ,0�; c��&% reiais , # ��
�� \��h �715 9+% Ωαm �715 : % '�� ��� �� �>�� D�P �� .�%��� �>�� � �� �� ����� �� ��� (�# =�� 91�
.�"�� -��� ri.ges ����<� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jef �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
b
f(
z=
0)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
�#� W��%� -��� -��� �S��3� ) 6���� T��� ����+� �eiai , #
�I����C$ ����8 :�� ��O@ �� ��� -P�� ���E�% 0��8 <�� 34>4;
8�<# '3� ����<� re.Kgs ����<� ) -)�� 9S�� '�� �� (��O&�� �� �� � h ��&��� , �� -�l� *��� ��
��#� (��� ��� ��0 �� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� rδ < �s '�>? )�� ) rδ > �s '�>?��� ;�%
R�
H�
�
=Ωm(�+ δi)
a�i
R�i
R+ ΩΛ(a; b, w�)R
� − ΩmδiR�
i
a�i− (Ωtot − �)(
Ri
ai)� ri.gfs
�� �[� =��� �Z"�� �� .���� $��% *� +� �&��� \�; �� (�# ,&[� � ;�% 8�<# -��� ,; rejais , #
)�� ) '�>?��� � ;�% �#� �� OX� ���# !91� �&����I 9��:�� �� .��� (�# v�[&%� w� = −�.� ) Ωm = �.�
.���� %�[1� ,SX �1�X �� (��R ���� c��&% �� �� �� = ��� '�>?
�I����C$ ����8 :�� ��� �"� F��� �G� ��M 54>4;
�� �#� W��%� !��%�� �� >&�S1� @ P G1� �� 9%��� 1� ) �� ���)� !2dFGRS 9����R ������� �� �5���
(��O&�� �� $"�� .�dg! dd��%��)R ���� f(z = �.�) = �.� ± �.�� �� ����� �� z = �.� Q�� �� '�+&%�
�Z"� �� ��1% ���� : �� %R G1� �� '�� -���&����I -)� �� -���5 � X SNIa ) LSS -�0� �Z &% ��� � �
SNIa+LSS �� (��O&�� � � '�� ����+� ���&�� .= "�� '�1�� !�#� χ� = χ�SNIa + χ�LSS $��� �" 1� ��
�" 1� �� �σ ����� ���� �� w� = −�.�+�.�−�.��
) h = �.��, Ωm = �.��+�.��−�.�
, b = �.�+�.��−�.��
��� �"���S�
Verde��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jei �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
R
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1b = 0.0b = 0.0b = 10.0b = 0.0b = 10.0
& δ = 0.0& δ = − 0.001& δ = − 0.001& δ = 0.001& δ = 0.001
*� +� �&��� \�; �� (�# ,&[� � ;�% 8�<# '3� �ejai , #
.��� (��R rjais ')�5 �� �σ ) �σ ����� ���� �� '�� -���&����I �� `��� ����+� .χ�min/Nd.o.f = �.���
-�<��)� -�M� �� �� �σ ��� � �� ����� ;�% ) ��1% ���� T�� � \ �� � �� redais ) regais -��, #
���&�� !��1% ���� : ��%R �� � �)� ���+� $�"� �� w� = −�.� �&��� �B% �� �� .�"��� $��% '�� -���&����I
��� � �� χ�min/Nd.o.f = �.��� �" 1� � � � �� ��0 �� SNIa+LSS �� (��O&�� � � '�� -���&���� I -��� � ���+�
��1% ���� T��� reLais , # .b = �.��+�.��−�.�
) h = �.��, Ωm = �.��+�.��−�.��
���R� ���� �σ �����
$��� �� ,��� �&����I -��� ��1% ���� , 73� �� � �)� '�1&;� T��� �&��� �B% �� �� .���� $��% �� ���&����I
) Ωm = �.��+�.��−�.��
����+� !w� = −�.� �M; �� ) (��R ���� HST-Key 9����R �� �� �~%R *��� �� '�;
T��� reKais , # .��R� ���� �σ ����� ���� �� χ�min/Nd.o.f = �.��� �" 1� ���+� �� b = �.��+�.��−�.��
� �)� ���+� -��� '�� -���&���� I � ���+� rjais ')�5 �� .���� $��% b ) Ωm -��� �� �% ��1% ����
.��� (��R w� = −�.�
�M; �� SNIa+LSS ) SNIa -�0� � X �� �5� �� =��� �1� ��� (��R rjais ')�5 �� �� ��%�1�
(��R ���� �1� (��� �� �� �#��� '�� ��� 7 � ��.�+�.��−�.��
) ��.�+�.�� �� ����� 1&���>� G���� -H�%�
� � ` ��� �1� ) ri.jKs � ��� <� � � �5 � � � �5) ��� � � .���� ��� X !'�� ��� 7 � ��+�−� "< � � I $���� &� ��
�� .= "�� ���� �� SNIa+LSS -�0� � X -������ !��� �&�� �� � : % 7SX 9[� �� �� � I Q�� -��%�� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jej �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
�0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� �jai ')�5Observation Ωm b w� age (Gyr)
SNIa �.��+�.��−�.��
�.��+�.��−.��
−�.�+�.��−�.��
��.�+�.��−��.��
�.��+�.�−�.��
�.��+��.��−.��
−�.�+�.��−�.��
SNIa+LSS �.��+�.��−�.�
�.�+�.��−�.��
−�.�+�.�−�.��
��.�+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
�.�+�.��−�.��
−�.�+�.��−�.��
����<� -��� �0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� 1&���>� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� �gai ')�5aJ �� ����� ���;
Observation Ωm b age (Gyr)
SNIa �.��+�.��−�.��
�.��+�.��−�.�
��.��+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.�
SNIa+HST �.��+�.��−�.��
�.�+�.��−�.��
��.��+�.�−�.��
�.��+�.�−�.��
�.�+�.�−�.�
SNIa+LSS �.��+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
��.��+�.��−�.��
+HST �.��+�.�−�.��
�.��+�.��−�.��
SNIa+LSS �.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.�
��.+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
�.��+�.��−�.�
b
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + LSS
w0
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
-6 -5 -4 -3 -2 -10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + LSS
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1SNIaSNIa + LSS
m '�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �egai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jeg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
b
Ω
0 2 4 6 8 10 12 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + LSS
m
w0
Ω-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
SNIaSNIa + LSS
m
w0
b
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 00
2
4
6
8
10
12
14 SNIaSNIa + LSS
'�� -���&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �edai , #
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + LSS
m b
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1SNIaSNIa + LSS
'�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �eLai , #
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIa + LSS + HST
m b
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIa + LSS + HST
'�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �eKai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jed �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
%�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% �dai ')�5Observation LBDS �W�� LBDS �W�� APM ���� + �
z = �.�� z = �. z = �.�
SNIa+w� = −� �.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.�
�.��+�.�−�.�
SNIa+HST+w� = −� �.��+�.�−�.��
�.��+�.�−�.��
�.��+�.��−�.��
SNIa+LSS+w� = −� �.�+�.�−�.�
�.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.
SNIa+LSS+HST+w� = −� �.��+�.�−�.��
�.�+�.��−�.��
�.�+�.−�.
SNIa �.��+�.�−�.��
�.�+�.�−�.��
�.�+�.�−�.�
SNIa+LSS �.��+�.�−�.��
�.��+�.�−�.�
�.��+�.��−�.�
� �)� ���+� �M; �� U+� .��� (��R � �� -�0� -��� X �� �5� �� τ -��� (��R ���� ���+� rdais ')�5
-������ APM ���� + �6)�&�� �1� �� $�� � �1� -��� (��R ���� ���+� HST-Key ) w� = −�.�
.�Jef�����
,��� (-��� ���� &�� 9B.
��� ��%�� '�� (�# ��<� G���� -H�%� @ 0� -��� &��"# (���I '�� G� ��0 �� �� ������ �>�� ��
��%R �� �� ������ ���"� I -��� (: >%� ����=�� .�Jei� ��� (�# �t��� emmg '�� �� �;� ) ����� U�� ��
�7l�� ,; !�%#� �&��� �B% �� �5� ��� -��� 1� �>�� ) Q�� �� '�+&%� �� <��� ��0 �� ���; ����<�
-�0� c��&% G1� �� 9����&����I �&�� -��� � <� ����+� � <� �� : % �� �� �) � ��� ��� .�#��� %�� � �����
$R �� `��� ��� �� , �%�&I ) ��� �� $�� � � <� G1� �� '�; �� �� .�#��� @��A = B"� -���� �>�� �% ��
���; ����<� !G���� -H�%� ��1% '�� �� .��� ��Z�� ������� =��� ) -�� "� G�: � -�����B% � � 7I $���
��#� �&��� �B% �� ��� ��0 ��
w(a) = w�aα(�+ ln aα). ri.gis
power law model��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JeL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
w
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
-2
-1.5
-1
-0.5
0= 0.0= 0.5= 1.0= 2.0
αα
αα
−−
*� +� ,��� \�; �� �&��� = 1<� ���; ����<� ��&�� �fmai , #
��� ���� ��� ��0 �� Q�� �� '�+&%� �� G���� -H�%� >&���) ri.gis ) >&� I �_��<� G1� ��
ρλ(z; α, w�) = ρλ(�+ z)�[�+w(a)] ri.gjs
��#� @��<� ��� ��0 �� �&��� = 1<� ���; ����<� ri.gjs ����<� ��
w(a; α, w�) =
∫ a
�w(a′; α, w�)d ln(a′)∫ a
�d ln(a′)
= w�aα ri.ggs
�� .���� $��% w� = −� ) α @7&[� ����+� -��� !*� +� �&����I \�; �� �� w(z; α, w�) ��&�� rfmais , #
�� G���� (��� �� G���� -H�%� �S�% .�#� G��:% G���� (��� �� G���� -H�%� ��&�� *� +� �&��� 9���
�1� 'P �� ��� )� '�� ��� �� �� ���� $��% rfJais , # .�#��� ρλ/ρm = ρ�λ/ρ�m × a−�w ��0
!��� @ 0� : % �� Y�� $��)� $�&� '�� ��� �� �� ���� �B% �� ')� (�>% �� .�#� \��h G���� -H�%� $�� �
��� � ��� !\��h G���� -H�%� (�)� � �)� �� ) � �)� $�� � �� �� �#� Y7<� rfmais , # �� ��"&�� �� �)
� �)� $�� � �� G���� (��� ) G���� -H�%� �S�% ���� �� � "~1� .��� (��� � F� G���� (��� �� : % -H�%�
����� , �� �%��� !w� ) α -��� ���+� �� �� ,+&�� : % '�� ��� ) lima→� ΩΛ/Ωm = Ωλ/Ω�m �� = " ��
�� � O� : % '�� ��� �� G���� -H�%� ) G���� (��� -����� $��� ���� .�"� ,; $�� � -��&�� �� �� %�� �
!�[� =��� -��� 91� � 1� @7&[� ����+� -��� zeq !-����� Q�� �� '�+&%� rfeais , # �� .���� �B%
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JeK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
Ωλ
/Ω
0.25 0.5 0.75 10
0.5
1
1.5
2
2.5
= 0.0= 0.5=1.0
ααα
m
*� +� ,��� \�; �� G���� (��� �� G���� -H�%� �S�% �fJai , #
z
α
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Open UniverseFlat UniverseClosed Universe
��� ) �&�� !�[� =��� -��� G���� (��� ) G���� -H�%� -����� Q�� �� '�+&%� �feai , #
.���� $��% Ωλ = �. ) Ωm = �.� !��� =��� ) Ωλ = �.� ) Ωm = �.� !�&�� =��� !Ωλ = �.� ) Ωm = �.�
�� � F� ���� ��"� �% �Z &% �� ) (�# \��h ���)� G���� -H�%� α ���+� 9��:�� �� !�#� (����� �� ��%�1�
����&��� '3� ���� �� ������"� .���� ���X � C�� �3� : % �� ����&��� '3� � 7� (�# $�� � �" �� '3� �"�R
,��� �&����I .��� � <� �� $�� � �� G���� -H�%� 8% $��� G���� -H�%� '�� ��� �M; �� $�� � �" �� )
��� ���� ��� ��0 �� !�#�� %�� G���� -H�%� -���� �� %�� � -���
H�(z; α, w�) = H�
�[Ωm(�+ z)� + ΩΛ(z; α, w�) − (Ωtot − �)(�+ z)�], ri.gds
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jfm �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
q
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2-3
-2
-1
0
1
2
= 0.0= 0.5= 1.0= 2.0
αααα
%�� G���� -H�%� -��� �Su� v�&# �ffai , #
���� ��� ��0 �� ΩΛ(z; α, w�) �Z"�� ��
ΩΛ(z; α, w�) =�πG
�
ρ�λH�
�
(�+ z)�[�+w(z;α,w�)] ri.gLs
'�+&%� \�; �� w� = −�.� ) Ωλ = �.� !Ωm = �.� DZ��� �� G���� -H�%� %�� '�� -��� q = a/aH�
�� 1�
(�)� ��hR α $�: � 9��:�� �� �#� (����� , # �� �� ��%�1� .��� (�# =�� rffais , # �� Q�� ��
-H�%� $��)� $� ����� �� 8]� ��� �&S�� .���� Q� �& ?� Q�� �� '�+&%� �� "<� ����� �Su� v�&# �� `��S%�
α 9��:�� �� rfmais , # �� �5� �� ���� ����% �X�"� �# (��#� $R �� rfeais , # �� �� !\��h G����
�&��:� -��α -��� $R $�� \��h $��)� �� �"?�� ������"� !�) �� 9 I G���� (��� �1� �� G���� -H�%� ��&��
���%� =� !�#� $�� � `��S%� �� �Su� v�&# ���� �� 7��� $�"� �� : % $R 9+% �) ���� Q� ���)�
�&����I %��� �&�� ) ,��� �&����I != " S� $�� � �" �� '3� �� �� α � 1� ���+� � X� � C�� � "�� -��� .�#�
(��� $��% rfiais , # �� Ωm = �.� �� �[� =��� �� α @7&[� ����+� -��� !*� +� ,��� \�; �� *� +�
*� +� ,��� � <� ���+� �� $�� � (�%# �"�� `��S%� ���� α 9��:�� �� !�#� (����� �� ��%�1� .��� (�#
) $�� � � <� ��� �� �� (��O&�� �� .�&�� ��<� �� �Su� v�&# �� `��S%� $��)� ��hR �Z &% �� ) ����� 9��:��
, # �� �5� �� .��)R ���� %�� G���� -H�%� '�� -��� �� ��%R $��� !���; ����<� G1� �� ��� �� , �%�&I
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JfJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
H/H
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
5
10
15
20
25
30= 0.0= 1.0= 2.0
ααα
a
a./H
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
= 0.0= 1.0= 2.0
ααα
�[� =��� -��� 91� � 1� @7&[� ����+� -��� ���� ) ,��� �&����I �fiai , #
z
ϕ
2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
= 0.5= 1.0= 2.0
αα
α
∼
G���� -H�%� %�� '�� -��� ��� �� $�� � �fjai , #
�� �~%R ��0 �� ri.ems �_��<� -��� ,; �� V (φ) ��� �� , �%�&I ) φ(z) $�� � !%�� '�� ���; ����<�
��� ��� ��� (��#� $R �� ���� �� -��& % .�"�R� ���� !��� (�# (��� $��% rfgais ) rfjais -��7 # ��
�� � S# ����# ) (��� 9�7h �� 8)�# ��� �� , �%�&I �SP �� _�� Q�� �� '�+&%� �� �O0 ���+� �� ��� �� $�� � ��
.��)R� �5� !���� Q� ��� $��)� ��� �� �� �~%R B
y: Mov
ahed
www.smov
ahed
.ir
Jfe �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
ϕ
V(
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
50
100
150
200
250
300
350
400= 0.5= 1.0= 2.0
ϕ
∼
∼∼
α α
αα
G���� -H�%� %�� '�� -��� ��� �� $�� � , �%�&I �fgai , #
��&�� �%� ) �� ���8 ����8 :�� �H� 34Q4;
-�0� c��&% �� �5� �� .= "�� ���� $�� � ���"� �� �� %�� G���� -H�%� '�� �C� ��&�� �� : % �1�X ��� ��
��� ���R -��� 1� .�JJ� =�� �� �B% �� �;�) �� ����� �� ,� ��>? !�Z"�� �� �� ��� (��R ���� �V� �� �� � X�
�&����I ) α 91� � 1� !w� '�; $��� �� ���; ����<� !Ωm '�; $��� �� G���� (��� ��>? ��� �"���S� '��
.h '�; $��� �� ,���
���(� :2@ �.�-��
��� ��� ����� !��� �&��� ���X z Q�� �� '�+&%� �� �� =�5 G� -��� (��1� 'P (���%�
r(z; α, w�, Ωm) =∫ z
�
dz′
H(z′; α, w�, Ωm)ri.gKs
����+� -��� (��1� 'P !ri.fJs ����<� �� -��� -� � '��>&%� �� .�#� (��� ri.gds ����<� U�� ,��� � 1�
� 1� .��R� ���� !(�# (��� $��% rfdais , # �� �� �~%R ��0 �� Q�� �� '�+&%� \�; �� α @7&[�
, # ��� .��� (�# (��� $��% rfdais , # �� w� = −�.� ) Ωm = �.� -��� c/H� \�; �� (��1� 'P
-H�%� α 9��:�� �� �� ��� , �� ��� �� 9��� ��� .����� 9��� (��1� 'P (���%� α 9��:�� �� �� ���� $��%
.�#� =� (��1� 'P (���%� ) (�# \��h ���)� G����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jff �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
r(
z)
10-1 100 101 102 103
0.5
1
1.5
2
2.5
3 = 0.0= 0.5= 1.0= 1.5= 2.0= 2.5
αααααα
�[� =��� -��� Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� 'P '3� �fdai , #
z
[H
(z
,)
r(
z,
)]
/[H
(z
,0)
r(
z,0
)]
0 2 4 6 8 10
1
1.1
1.2
1.3
1.4 = 0.0= 0.5= 1.0= 1.5
αααα
αα
-���A ��)�� �70�� �fLai , #
����,�. �.�-��
D���&� -���+� \�; �� rfLais , # �� %�� G���� -H�%� '�� �� %�� � =�5 G� -���A -���)�� (���%�
-���)�� (���%� �S�% !��� (�# (��� $��% rfLais , # �� �� ��%�1� .��� (�# (��� $��%!ΛCDM '�� ��
�� &���� G���� -H�%� 8% � S� -��� ������"� ���� z \�; �� -���� ��� F� � ≤ z ≤ � Q�� �� '�+&%� (��� ��
.��� Y�Z%� �� �� �" ?�I a w �R ��� Q�� �� '�+&%� �� (��� ���
Alcock-Paczynski��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jfi �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
z
dV
/ddz
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 = 0.0= 0.5= 1.0= 1.5= 2.0= 2.5
Ω
αααααα
Q�� �� '�+&%� \�; �� (��1� =Z; $�1�� (���%� �fKai , #
���(� �B 5�(�
(��1� =Z; $�1�� .�#� 1E � (��1� =Z; DZ:5 ���� �� $�� � ���"� -)� �� G���� -H�%� ���C� �� �>�� �
��#� �&#% ��� ��0 �� %�� G���� -H�%� �M; �� (��1� 'P ) ,��� �&����I \�; ��
f(z; α, w�, Ωm) ≡ dV
dzdΩ= r�(z; α, w�, Ωm)/H(z; α, w�, Ωm) ri.dms
�� ) ���� �� �" � � ���+� �� z ∼ � �� (��1� =Z; $�1�� !��� (�# (��� $��% rfKais , # �� �� ��%�1�
.�#� ,+&"� �& ?� Q�� �� '�+&%� �� G I ��� 91� �&����I 9��:��
5�617 �(�
��#��� ��� ��0 �� %�� G���� -H�%� �M; �� $�� � �1� (���%�
t�(α, w�, Ωm) =∫ t�
�
dt =∫ ∞
�
dz
(�+ z)H(z; α, w�, Ωm), ri.dJs
�&����I \�; �� �� H�t� � 1� rimais , # �� .�#� �& ?� =��� �1� ���+� !91� �&����I 9��:�� ��
.=��(��� =�� w� = −� ) Ωm = �.��� �[� =��� -��� 91�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jfj �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
α
H0
t 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.8
0.85
0.9
0.95
1
%�� G���� -H�%� �M; �� 91� �&����I \�; �� $��5 �1� �imai , #
��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� -��� X �Lai ')�5
Parameter Prior
Ωtot = Ωm + Ωλ �.�� Fixed
Ωm �.��− �.�� Top hat
Ωbh� �.��� ± �.�� Top hat (BBN) [40]
H� ��.�− ��.� Top hat [116,118]
w� −��.��− �.�� Top hat
α − Free
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jfg �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
��&�� � ��� �� R���� �G� �)��M �� ���S�%� �� ���8 <�� �%��� 54Q4;
Ia 92� ����� �2����
'�� -���&����I !�� ��� �%1% -���&��%��� �� (��O&�� �� ) =��(��)R ,SX ,4� �� �� �~%R *��� �� �1�X ��� ��
��#��� ��� ��0 �� '�� -���&����I \�; �� μ .= "�� � <� �� %�� G���� -H�%�
μ ≡ m − M = log�� dL(z; α, w�) + log��
(c/H�
� Mpc
)+ � ri.des
��� ��� ����� ��"���� �70�� ri.des ����<� ��
dL(z; α, w�, Ωm) = (�+ z)∫ z
�
dz′
H(z′; α, w�, Ωm)ri.dfs
-����� $�� �� �&��� �B% �� ) ri.dfs ) ri.des �_��<� �� �5� �� �0� �� ,0�; c��&% $��� '�� -���
.= "� �" 1� �� χ� ����<� &���� ! rB �� I �� � "� 85�s -� �(���%�
χ� =N∑i
[μobs(zi) − μth(zi; Ωm, w�, b, h)]�
a�i, ri.dis
.��� (�# (��)R -�0� -��� X -��� ��1% ���� : ��%R �� �&�� �� � � �)� T��� T��� ��>? rLais ')�5 ��
���+� �� �σ ����� ���� �� !Ia 8% -���&��%��� -�0� c��&% �� (��O&�� �� '�� -���&����I -��� ����+� ���&��
, # .α = �.��+�.��−�.��
) Ωm = �.�+�.��−�.��
!w� = −�.��+�.�−�.��
��� �" ��� S� χ�min/Nd.o.f = �.�� �" 1�
h = �.�� ) ��.�% ����� ���� �� '�� -���&����I ����+� ���&�� �� '�� U�� (�# " � 9 I μ ���+� riJais
�~%R �� ��"# $�� � D)�<� -���&����I -��� (��R ��� �� ����+� .���� $��% !%�� G���� -H�%� �M; ��
���� �JJ! iJ� Ωm = �.��+�.��−�.��
) h = �.��+�.��−�.��
"<� WMAP ������� U�� ΛCDM '�� -��� ��
�1� -��� ri.dJs ����<� �� (��O&�� ) '�� -���&����I -��� (��R ���� ����+� G1� �� .���� (�1� �)�O� !(��R
�� ����� ������ �>�� �� ,0�; c��&% �� �� ��R� ���� $�� � -��� '�� ��� 7 � t� = ��.� ���+� !$��5
Gold��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jfd �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
zm
-M0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
42
42.5
43
43.5
44
44.5
45
z
m-M
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
34
36
38
40
42
44
Observational dataTheoretical prediction
�/P �%1% -���&��% ��� + +; ) -���A ��X ,]�O� �iJai , #
� X �� ��%R �� ,0�; c��&% \ ��� �� ) �&����I -�0� -��� X �>�� 8�%� ���� �� �<� �1�X �� .�Jei� ����
.= "� �)�3� ���� $� �� �� �Z%R �� �� ���&����I ��S&�� (��� = "�� <� SNIa -�0�
5�617 ���$1�. ���� :�<��� ������=
��� ��� ����� �[� =��� -��� rf.ems ����<� �� �5� �� '�� -���&����I �� &��R �7X -����)� (���%� >&���)
θpeak =
∫∞zdec
cs(z)dzH(z;α,w�,Ωm)∫ zdec
�
dzH(z;α,w�,Ωm)
ri.djs
����+� � F� � � .�#� (��� rf.efs ����<� U�� ��"���I 2�� ����R Q�� �� '�+&%� ri.djs ����<� ��
, # �� .���� � F� $�� � -��" �� 9��� $�� @ P ���1% �� �� lpeak $� � G���� -H�%� '�� -���&����I
-��� α 9��:�� �� �#� (����� �� ��%�1� .���� $��% w� ) α �� &��R �7X $� � >&���) rieais
) �&��� 9��:�� &��R �7X -���)�� (���%� �Z &% �� ) (�# =� ��"���I 2�� ����R �� (��1� �70�� !���C w�
R '�+&%� �&����I ��R� ���� $�� � -��" �� 9��� �� �� -�0� � X ���&�� .����� 9��� lA �>�� %��� ��
�� '�+&%� �&����I .�#��� (��� $)�� =� $��� �� ,��� �&����I ��� C�� �� !'�� �� $�� ,+&�� =h�7� �� �#���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JfL �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
w0
α
-7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1
3
3.5
4
4.5
lA = 290.0lA = 300.0lA = 320.0
���&����I -�M� �� ���C &��R �7X $� � "3"� �ieai , #
��#��� ��� ��0 �� %�� G���� -H�%� �M; �� $�� � -��� rf.eds ����<� �� �5�
R =√
Ωm
∫ zdec
�
dz
E(z; α, w�, Ωm)ri.dgs
��2���� 5�!2� �-C� -1;
��� ��� ����� %�� G���� -H�%� �M; �� rSDSSs %���� $��% -�0� � X �� `��� � 1� !�[� =��� -���
A =√
ΩmE(z�; α, w�, Ωm)−�/� ×[�
z�
∫ z�
�
dz
E(z; α, w�, Ωm)
]�/�
, ri.dds
�� ��� ����� z� = �.� Q�� �� '�+&%� �� � 1� ��� -�0� ���+� .�#��� H� �� ,+&�� A ����<� ��� ��
-��� SDSS ) CMB !SNIa ������� �� ,0�; -�0� c��&% \ ��� ��.�gj� A(z = z�) = �.�� ± �.���
χ� = χ�SNIa + χ�CMB + χ�SDSS ��0 �� ��<��� ���&1� G3� �� '�� -���&����I ��S&�� (��� $��� ���)�3�
��"#��� ��� ��0 �� \ ��� �� χ�SDSS ) χ�CMB � 1� .= "�� (��O&��
χ�CMB =[Robs − Rthe(α, w�, Ωm)]�
σ�Robs
ri.dLs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JfK �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
)
χ�SDSS =[Aobs − Athe(α, w�, Ωm)]�
σ�Aobs
ri.dKs
��� �"���S� �σ ����� ���� �� SNIa+CMB+SDSS -�0� � X �� (��O&�� �� '�� -���&����I -��� ����+� ���&��
.χ�min/Nd.o.f = �.�� �" 1� ���+� �� h = �.�� ) w� = −�.��+�.�−�.��
!Ωm = �.��+�.��−�.��
!α = �.��+�.�−�.��
-���&����I ����+� ���&�� rKais ')�5 �� .�#��� '�� ��� 7 � ��.�� �� ����� $�� � -��� (�# �S��3� �1�
SNIa+CMB+SDSS !SNIa -��� '�� -���&���� I -��� (�# �C� � ��1% ���� T�� � .��� (�# (��)R '��
) �&1� +�� U� , # ��� �� .�Jei� ��� (�# (��� $��% rijais , # �� SNIa+CMB+SDSS+LSS )
�� ����� (��� riLais ) ridais !rigais -��7 # .���� $��% �� �σ ) �σ (�)�3� \ ��� �� � ?��+%
.�"��� $��% -�&����I )� -�M�
���8 ����8 :�� <�� ��O@ �� 1��2� N��� �)���E�% 0��8 94Q4;
%�� G���� -H�%� '�� 91� �&����I � C�� ���"# � "~1� ) '�� -���&����I ��S&�� ;�% $��� ���)�3� -���
�� ����&��� �#� W��%� ) ��>? ���S� '3� .��� (��O&�� $R -�0� c��&% ) ��&��� , �� -�l� �� $���
��%#� (��� ��� ����<� U�� %�� G���� -H�%� �M;
d�δ
da�+
dδ
da
[a
a�+�H(a; α, w�, Ωm)
a
]− �H�
�
�a�a�Ωmδ = � ri.Lms
df
d ln a= −f
[�− H�
�
�[�
H�
�
+Ωm
a�+ ΩΛ(a; α, w�)(�+ �w(a; α, w�))]
]− f� +
�H�
�
�a�aΩm
ri.LJs
�� �[� ���� -��� �� ����&��� �#� W��%� ) ��>? ���S � '3� \ ��� �� riiais ) rifais -��, #
) (�# \��h �&<��� G���� -H�%� α 9��:�� �� .�"��� $��% α �)�O&� ����+� -��� w� = −�.� ) Ωm = �.�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jim �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
a
δ
0 0.25 0.5 0.75 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
= 0.0= 0.5= 1.0
ααα
%�� G���� -H�%� '�� �M; �� G���� (��� ��>? ���S� '3� �ifai , #
�5� ,��X ��0 �� ����&��� �#� �Z &% �� ) �&��� 9��:�� $�� � �" �� '3� �"�R rfiais , # �� �5� ��
.����� 9���
���� -��, 73� �� �� rLSSs *� +� N�:� -����&��� , �� � X $��� : % �dFGRS ������� �� (��O&�� ��
� = "� �" 1� �� ��� � 1� ���� ��0 ��� �� .��� ���]� 7SX ��1%
χ� = χ�SNIa + χ�CMB + χ�SDSS + χ�LSS ri.Les
��� + � � � SNIa+CMB+SDSS+LSS -� 0� c �� & % G 1 � � � '� � -� �� & ���� I -�� � � ��� + � � �� & � �
) α = �.��+�.��−�.��
! Ωm = �.��+�.��−�.��
��� � " ��� S � �σ � �� � � ��� � �� χ�min/Nd.o.f = �.� � " 1 �
�� .��� (�# (��� $��% rijais , # �� '�� -���&���� I -��� ��1% ���� T�� � .w� = −�.��+�.��−�.�
$��% (w�, α) ) (α, Ωm) !(Ωm, w�) -�M� �� ����� ;�% \ ��� �� riLais ) ridais !rigais -��7 #
.�Jei� �"���
�1� $�: � !'�� -���&����I -��� (��R ���� -�0� -��� X -������ ���� -��� : % �1�X ��� ��
�1� �"%�� ������� �>�� �� (��R ���� $�: � �� �� 1&���>� G���� -H�%� �M; �� $�� � -��� (��R ����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JiJ �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
1+z
f
0 3 6 9 120
0.5
1
1.5
2
2.5
3
= 0..0= 0.5= 1.0
ααα
%�� G���� -H�%� '�� �M; �� ����&��� �#� W��%� �iiai , #
�0�� Kj.i ) gL.f ����� ���� �� %�� G���� -H�%� '�� -���&����I ����+� �Kai ')�5Observation Ωm α w� age
(Gyr)
�.�+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
−�.��+�.�−�.��
SNIa ��.�
�.�+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
−�.��+�.��−�.��
SNIa+CMB �.��+�.��−�.��
�.��+�.�−�.��
−�.��+�.�−�.��
��.��
+SDSS
�.��+�.��−�.�
�.��+�.��−�.�
−�.��+�.��−�.��
SNIa+CMB �.��+�.��−�.��
�.��+�.��−�.��
−�.��+�.��−�.�
��.��
SDSS+LSS
�.��+�.��−�.�
�.��+�.�−�.�
−�.��+�.�−�.��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jie �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
Ω
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1SNIaSNIa + CMB + SDSSSNIa + CMB
m
+ SDSS+LSS
α
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMB + SDSSSNIa + CMB+SDSS+LSS
w0
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
-5 -4 -3 -2 -10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
SNIaSNIa + CMB + SDSSSNIa + CMB
+SDSS+LSS
'�� -���&����I -��� ��1% ���� "3"� �ijai , #
'�; $��� �� ���; �&����I ) G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �igai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jif �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
'�; $��� �� ���; ����<� ) 91� �&����I -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �idai , #
91� �&����I ) '�; $��� �� G���� (��� ��>? -�M� �� �&�S1� ����� � ;�% �iLai , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jii �&'�� ()��* #+!� #�, �� - ���
%�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[� �1� �� =��� -��� (�# �S��3� �1� �S�% �Jmai ')�5Observation LBDS �W�� LBDS �W�� APM
���� + �
z = �.�� z = �. z = �.�
SNIa �.� �.� �.
SNIa+CMB �.�� �.�� �.�
+SDSS
SNIa+CMB �.�� �.�� �.�
+SDSS+LSS
��� ��� ���S� %�� G���� -H�%� '�� -��� τ � 1� .= "�� ����+� !� I -��%�� �� ) � I $����&�
τ =t(z; α, w�, Ωm)
tobs=
t(z; α, w�, Ωm)H�
tobsH�
, ri.Lfs
�1� tobs .�#� (��� ri.dJs ����<� U�� �� �#��� =��� �1� t(z; α, w�, Ωm) � 1� ri.Lfs ����<� ��
')�5 �� .��R ���� τ ≥ � ���� =��� -��� ������ �1� �&#�� -��� .�#��� %�� � Y��5� -��� (�# (�� � 1[�
���� $��% c��&% .���� $��% �)�O&� -�0� -��� X -��� τ � 1� -��� (��R ���� ����+� rJmais
APM -��� �� ��; �� (�� LBDS 53W069 ) LBDS 53W091 �1� �� �&� � $�� � -��� (��R ���� �1� ��
.�Jei� ��� �& ?� 08279+5255
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
� ���
���� ������� ��� 1�)��
/��A� $B6
�V;/�0� �� ���(�� �� $�:�7� �3O0 -)� �� -:�% ���# �V1&; � "� �� �� $�:�7� '�%�� � ��[� ���
=7� �� ��� -�0� ��)�&�� ����=�� �V&+ +; �� ��% ��� ���� �� = ���� ,4� ��� �� .�#� (� ��% G���
.=�����o� (��� �� ��� # $��)� ���) , [� �� �� ��"#$�� �
-����&��� ��0 �� (�)��� �� $�� � � �)� -��: � ) ��� @ 0� !��"#$�� � =7� D���� ���&1�� �� �
�� = ��� ���X ���� ���� �� �� ��: � ) ��� ��� -���R x�� ��� .�#��� !�%�(�# �����I *� +� N�:�
�� �))���� y� 'P �� ��>%��1� ) �>1� ��0 �� �� ���%�� (����� �� .= "� � <� �� ��%R DZ��"� ) G�: �
���� ���I ��� ���� �_�� �� $��� ��� � ��
k��� (�# �&��� ���: ? �? �� =��� rJ
k��� ��+? $R �1� re
k�%�(��R �Z� �� = "�� (����� (�)��� �� �����&��� rf
k���(�� �? � �)� $�� � $��)� -��: � ) ��� DZ��"� ri
Jij
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jig ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
%���� (�/���0 12� DZ� �� 'B6
(��R �5� rBig Bangs � �)� ��ZO%� G� �� -�)��� $��5 ��� �� �%��� ���� � ������) � �O� �R !JKiL '�� ��
���� �Jej! Jeg� $��>�� ) �)��� �� ��%�1� �"#�� (�# �&��� � �)� ��ZO%� $��)� �� GS� �0�"� ) �#��
T = ◦K �V S��+� -��� �� ��>%��1� ) �>1� ��0 �� r�CMBs -��" �� 9��� G� &���� (�)��� !�%�(���
) � *��:"I� Y�% �� �����[� *�"�� )� JKgj '�� �� � "�� �� �%�� X�� ���� I $)�� 8]� ��� .= "� (�����
(����� !�%�� �����[� -��1&� � �� �O�1�� �� #�% ��% ���� '�; �� �� � ,��(�>�����R �� $�7�)
��0 �� ��5 �� ,+&�� �� ���� �5) rλ ∼ �cms �))���� y� 'P �� �" �� WI y��� 8% G� �� �%���
" � 9 I �� �� (����� ��� 9%��� 1� ) �� !=�� 6��:� ��� �� WI �70��/� .�#��� ����� ,��X ���" �
%�� �� ��� TS"� G� �� �# \S� ��&�� �� ��: � ) ��� ��� �� (��R ���� c��&% .�Jed��%��� US��� �O� �R
$R �� : % S�X)� G� �� x4[� �# �&��� �B% �� ��>%��1� ) �>1� ��% ��� � �� -��� �� rz ∼ � − �s
�� ��% ��� �� ��� ���� �� ��� ,�_� !�� � X� ��<���� .�JeL! JeK! Jfm! JfJ! Jfe! Jff� �#� (�����
,�% (:��5 �%�# ��� $�7�) ) *��:"I� !JKdL '�� �� .�""� �:Z� (� h ) x ��I �"%�� %�� ����� ���C� ��
$��� �#p� �� N�:� ��ZO%� ����%�&�� '�� �� != &����I $R �� e ,4� �� �� ��%�1� .�""� �� $R �� �� G�: �
�A�% �� �� (�# ��&"� ��>%��1� ��0 �� !�" �� �� $�� �� &O5�) $��)� �� �<� .�#� ��� ) (�# U�S"� =���
k��? .�#�� (� � =�5 9��� @ P �� � S# &���� y��� ��� 9��� @ P � �)� =��� ����� '��<� \S� �� .�"���
���&1�� �� � .�#� Y�Z%� �" �� ) ��%�� � � -���� -���" 1��� !�" �� �� ��%�� �� &O5�) �� ,SX
Alpher�
Hermann�
Gamow�
Cosmic microwave background radiation�
Penzias�
Wilson�
Bell�
Dicke
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jid ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
����� '��<� ���; �� �" �� -��%�� !������� ��� $��� �� .�#��� ��%)�& �� �� $&o��� ��"���I !���" 1���
���C �� �5� �� !=��� `��S%� �� .�# ���� �C�� �V<��� �%� =��� �� '��<� ��� ���[� �� 7��� �� ) �"%��� X��
�� .�"�� � F� ��%R y� 'P ) -H�%� � 7� ��"� 1% � F� ��%R (� � =�5 9��� � ��� !��%�� T��� T��� $��
�� (�)��� �� ���%�� ��"����� -�l� *��� �� �#�� �&#�� �30 : % =��� `��S%� "<� ,��� $%�X ��� ��P
�� ��%R �� ��� �� '�+&%� ) �&��� 9��� T ∼ �/a ��0 �� &���� != "�� (����� ��"���I 2�� ����R
(� � c��&% !$�� � -��" �� 9��� �� `��� ������� � �)� .�"#�� �&#�� !���� q� �))���� y��� �1�
(�#(��� $��% $�� � -��" �� 9��� ) '�(��� (� � =�5 ���� @ P rJajs , # �� �#�� '�S%� �� -�(�""�
�&��:� �S��� fmm �� ����� �� ��5 �� ���� �5) ��%R � � -�(��<��q� ����� �#� (����� �� ��%�1� .���
�"<� (� � =�5 9��� @ P *��� �� �>�� D�P �� .��� (�# (��� $��% <X�) ���+� ��
S(ν, T ) =�hc�ν�
ex − �, , x ≡ hcν
KTrj.Js
�O��R " � 9 I �� �� �Jf���R� ��� �� T = �.���± �.���◦K �� ����� !�" �� WI y��� ��� �� `��� -���
��+% �� �#b[�� !JKdm '�� �� .�#��� � �)� ��ZO%� �� �� ���# ) ���� $��% �� %�[1� ������ )
�S�% � ;�% )� ��� ���� D��3%� $�: � ) �#��� �>�� � @��[� ��5 �� ����� ) �&��� � ;�% G� -���� CMB
CMB ��+% -)� �� S�X)� G� �� `��� D��3%� ��� .�#��� ��7� 7 � �"? �)�; �� U�&� ���+� ��
���� �� v = ��� ± �.km/s �)�; �� &��� �� 25�� &�5 �� �A�% <]� ���; $R DZ��"� �� �#���
�; �� CMB �� �#� (����� !l = � S�X)� ) !rT = �s S�X G� Dp; �� . �Jfi��#��� �σ �����
��+% -)� �� �� ��� S�X)� T��� reajs , # .�#��� ��>%��1� ) �>1� ΔT/T ∼ ��−� -���� �� ��
�� 04� �� -�"1#��� ���/P� ,��# ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� .���� $��% CMB
\��X �� �� ��%R $��� ��(��� , 73� �" �� ) �"1#� -��#)� G1� �� �� �#��� $�� � '3� �~[���� )
�� ,SX =��� x�� (�""� � <� ���&����I ��� �� -���<� .��� y��[&�� ��"#$�� � -���&����I -��� ���+� � <�
$�� � -��" �� 9��� � 1�� � "�� �� �<� .�"#��� (����� ,��X =��� x�� D�<� �>�� ��� ) �� &O5�)
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JiL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�� &O5�) $��� �� ��� : � ) ��� 9��� @ P �Jaj , #
��� : � ) ��� ��+% -)� �� S�X )� �eaj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JiK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
$�� � -��" �� 9��� -� �(���%� -��� �������R ���&1�� �� ��� �faj , #
�X� �� ��%R �� �%�# $R �� -���� -���)�� !�# b[�� ��"# $�� � '�Z� -��� 1� ���+� � <� ��
�X� riajs , # �� .��� (�# (��)R �������R ���&1�� �� ��� rfajs , # �� .�""� -� �(���%� v�
(����� JKKe '�� �� .��� (�# (��)R �������R �� ��� -��� $�� � -��" �� 9��� -� �(���%� �"��� ) -���)��
.�# v���I 6���� �� $�� � -��" �� 9��� -� �(���%� -��� NASA (�3&� �_��� ��M� $����� U�� �COBE
(����� ��� -���)�� �X� .�� � �)� $�� � $��)� �� (�%�� X�� -��%�� (����� -��� -5��� 6/� � �)� ���
�&� � �X� �� Z��&% y��[&�� -��� ������"� .�� $�1�R �� (�� -���A (���%� ����� Ji �)�; �� "<� �5�� d
,� I �� �� μK G ��1&� � -��� ) ��μK � ���; ) �.�◦ -���)�� �X� -���� �� ��WMAP (�����
&�5 �� (�# � <� 9 I �� ���� �� emmJ '�� �t)H fm �� .�# ;��P ) ���"� I JKKj '�� �� !�#���
� #��a� �� =&� � e (��1# -^%���_ ��+% �� � #��9��� ��]� ���C� Dp; -��� � #�� @��[� /V ���
�� �� (��� -�� � �)� emmf '�� ���� �� ) .���� ���X ��� (�# (��� $��% rjajs , # �� �� �~%R �����
��� �� � �� �� �� ����� �� ���� ����� �������� ���� �� !�"�� #���$ �� �%�� �� #�"�&' Cosmic Background Explorer
��'� (�)���
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jjm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
$�� � -��" �� 9��� -� �(���%� -��� (�# Y�Z%� -�������R �� ��� �� 04� �iaj , # By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JjJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
���% (����� ���� �jaj , #
,0�; c��&% �� ��� (����� ���� �� $��� rgajs , # �� .���# ��&"� WMAP ')� '�� -��(��� $�"�
����R .��� ������� -��_�� -���)�� �X� �� r_�� , #s COBE �� �S�% r � ��I , #s WMAP (����� ��
�� �%���� �%�� j ,��# TX�) �� !emmg *��� �� WMAP 9����R �� $�� � -��" �� 9��� �� (��R ���� c��&%
��� �"���S� �� �#��� [��,�]GHz (���
rrdajs , #s ��GHz W%���� �� K �%���� �%�� �@��
rrLajs , #s ��GHz W%���� �� Ka �%���� �%�� �v
rrKajs , #s ��GHz W%���� �� Q �%���� �%�� �y
rrJmajs , #s ��GHz W%���� �� V �%���� �%�� ��
rrJJajs , #s �GHz W%���� �� W �%���� �%�� �(
.��� (��R WMAP (����� 7� x�� rJeajs , # ��
-��� !-� # (�� $�� �� �3O0 ���C� ) �" ��WI ���C� !����% ��� Dp; ��5 ����&7 � '�1�� �� WI
9S�X �M;�� rJfajs , # ��0 �� !��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� ���% ��+% $��� : 1�
.��R� ���� $R
*������ +�,�� �'���� �� -� ���.� � �� �� �'��/0� +�&� �"��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jje ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��(����� �� ,0�; c��&% �gaj , #
.�� �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% �daj , #
.R . w �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% �Laj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jjf ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
� �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% �Kaj , #
-) �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% �Jmaj , #
7 �� �%�� �� ��� : � ) ��� ��+% �JJaj , #
(����� x�� �Jeaj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jji ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
9S�X �M; �� $�� � -��" �� 9��� ��+% �������5 �Jfaj , #
� P�"F� )�& �� y��� @ P �� $�� � -��" �� 9��� �%���� � <X� �Jiaj , #
(����� rJjajs , # �� �� ��%�1� .���� $��% �� $�� � -��" ��9��� �%���� � <X� rJiajs , #
��� ��� X� �S��3� -��� .�"� -� �(���%� !l ∼ ��� �� �� $�� @ P ��� �&�%�� WMAP (����� !�#�
�� !��� ���X �>�� 9����R G� P �� = &�� ��l -��� -�&��:� ����+� �&#�� �� �"��� % ��"# $�� � -��� 1�
`��� �� t:5 ) $�� � -��" �� 9��� !7SX -��(����� �� �&� � \���� �� &X� �� !Planck (����� !emmL '��
��# = ��� )��) � =�� , �� )� �� _V 0� $�� � -��" �� 9��� ���� �� .�"� -� �(���%� �� $R 9S�X ��
@7&[� -��-�l� �� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� �� ��: � ) ��� $�� @ P $�&� &���� ��&�� �� r@��
.��� � <� ) �S��3� !(�# �t���
!��R� ���� = +&�� (����� �� �� $�� � -��" �� 9��� x�� ���� -��� -���R � X� -����:�� &���� rv
���� 8����
�� ��� ��| �� Y�_ �&S�� .��� ����+� rv �1�Xs (����� �� �� r@�� �1�Xs ��-�l� �� ,0�; c��&% $�&� ��
�� �Z"�� �� �� �� = ��� )��) � $R �� �� ��� �/ �� �>�� �� : % -�0� -��#)� ) ����:�� �� `��� �/ ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jjj ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
.=�����I1% $R �� t:5
��� (� # , � � � �� � & �� )� �� = " � � (� �� � � CMB (� �� � � � � (�)� �� � � �� �: � ) � ��
��Jfj! Jfg! Jfd�
$�� � ) (��� : �) ��� �� #�% ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� ���� �)� -��: � ) ��� �@��
��#� -�"� = �+� �&�� �� �� ��: �) ��� ��� DZ��"� .�#��� !��� (�# � �� Y�� $��)� �� �� ����
�A�% �1� �� �&� � �%��� , �%�&I �� ;�% "<� '�>?��� ;�% �� �� ���%�� ��� @�) a W �� �C� rJ
.�"��� �B% �� ��:��X '�>?)�� ;�% -��%�� �� �S�% !�""�� ���;
2�� ����R -)� �� �� ��0 ���� .�#� ���� : � ) ��� �� �Z"� : % �7I)� �C� ��0�� ���� �C� re
-�>�� DZ��"� �� �� (�# ��Z�� <]� ;�% �%��� $�� � �� &��� !(��� -��: � ) ��� \S� �� !��"���I
.�#��� CMB ��+% -)� �� ��-��>%��1��% ��
9��:�� ��%R ��| -��� '�>?��� ;�% �� (��� 6:�� \S� �� �'�>? ��� ) '�>? )�� ;�% ��| -��� �C� rf
.�����
�� 9" 1��� \S� �� �� (�� �� �� �"��� �� �� �� &O5�) $��)� �� �� ���%�� �����%�C -��: �) ��� rv
��� �"���S� ���" 1��� 8% ��� .�""�� � F� $�#��| -��� !U 3�
� F� ����%�� ��| -��� !(�� �� �� ����&��� \S� �� �%��� , �%�&I ��� F� � ��@�) aW �� <15 �C� rJ
.����
: % $���� ) $&o��� ����� �"%�� !%�� �� � � (: %� ��� �� ��%�� 9" 1��� �� ��))���� a )� "�� �C� re
.�#� $�� � -��" �� -��%�� ��| -��� � F� ����
Primary Anisotropies��
Sachs Wolfe��
Secondary Anisotropies��
Integrated Sach Wolfe��
Sunyaev Zel’dovich��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jjg ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
%���� (�/���0 12� �� %��2 ���7 ��Q )B6
���]� ���&1�� �� � ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� T��� T��� $�� �� � 0�� ����
�� �Z%R �� .��� �&��� ���X �5� ��� _�� -���)�� �X� \S� �� WMAP (����� -��(��� ���&%� � � �� ���
�V1 +&�� !�"�R� v��; �� *� +� N�:� -����&��� 'l�� �� Y�� $��)� �� � �)� -��: � ) ��� -���R x��
� <� -��� �C� &�� �� �%��� $R -���R x�� ���� ������"� ���p�� � C�� $�� � -��" �� 9��� -)� ��
.�# +7� ��� -��%�� � x��
�� -��: � ) ��� �� ��� ��&�� ��� ����%�&�� ���"� ���I �� ��&��� , �� ����%�&�� '�� 7� �P ��
: � ) ��� �� D���&� �� $��� a�M� G��&� �� -��� �� : � ) ��� $�� @ P .�"�� " � 9 I �� ) � ���
(��� ��� ��0 �� 7� ���; �� !�#��� �%��� y��� �� D���&� �� -��%�� : � ) ��� ) �#��� ��>?
��#�
Ps = Askns
Pt = Atknt rj.es
�JfL! JfK! Jim! JiJ! Jie! Jif! Jii! Jij! ��� �"���S� $�� @ P -��W��%� ��� ����%�&�� '�� ��
�Jig! Jid! JiL�
ns = �− �ε + �η, , nt = −�ε rj.fs
Ps ∝ k ��0 � � -� �� �� : � ) ��� -���)� % *� + � @ P !η ) ε -�� � G?� �� � � � ��� + � � � �5 �� �
, �%�& I ��� .��R� ���� Pt ∝ constant ��0 �� -��%� � : � ) ��� $�� @ P ) �JiK! Jjm! JjJ�
U�� (�# ��Z�� '/&�� ��0 $R �� !�# �]�� �&��R 9�7h `�# �� �#�� �[� ��� (���%� �� �� $�/O"��
\S� �� .��� ���� ��&�� �:Z� Y�5 $)�� ��� �� $�� � G� �"%�� ) (�# '3&� ,+&�� ��0 �� ��� $�� �
Inflaton��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jjd ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�� .�� ���� �� T��� T��� �� ���4� $�� � G� �� � S# !(�# � �� � �)� ��>? : � ) ��� $�� � !'3� ���
���� �� T��� T��� ��0 �� Y��� �� T��� T��� ) �"�� ��&�� ,+&�� ��0 �� ��: � ) ��� ��� ���� ��
-�>�� -����� ��� �"� � " � 9 I �� � �)� -��: � ) ��� $�� �� !��� ����%�&�� '�� �� �"?�� .��
D��3%� ���<� � h Y�� ) �H�I� -���4 +% ) ��� �� $�� � �"? �� )� �� ��� ����%�&�� � h -����� � B%
-���+% �� >&�S1� T��� U�� D��3%� ��� .�Jje! Jjf! Jji! Jjj��"��� ���� $�� �� �� -�(�1�
��Jjg��#� 1E� ��� ��0 �� �
I�l ≡ �
(�l + �)�/�(CTTl )�/�
⎛⎝ l l l
� � �
⎞⎠B(l, l, l), rj.is
D�<� CTTl ) �#��� ��%�^� -�M� �� ��: � ) ��� -���+% �� >&�S1� T��� B(l, l, l) � 1� rj.is ����<� ��
��� ��� ����� � 1� ��� �&��R 9�7h '�� �� .��� ��� >&�S1� -���)�� $�� @ P
√l(l + �)I�l =
�
m�Pl
√�V
ε(�ε − �η) rj.js
�B% D�0 ,��X rF �� Is -���R -��� �&��� �B% �� �� ) ��� G?� ��� (���%� �� �� I ≤ ��− �Z &% ��
.�Jjd���� $���
��� �"���S� !�#� CMB -��� �� T��� T��� �� D��3%� ��Z�� ���� �� 7��� 7� �P ��
(��5� .�JjL����p�� � C�� $�� � -��" �� 9��� -���R x�� �� �V1 +&�� �� � �)� -��: � ) ��� ��| ���C� rJ
�= ��"� ��� ��0 �� �[� y��� -�M� �� �� (�x, τ)(�# (��� $���a�M� ��+% G� �� ��� : � ) ��� � ��
ΔT (�x, n, τ) =∫
d�k eik·x ΔT (�k, n, τ). rj.gs
��JjK� �#% ��� ��0 �� �� ΔT (�k, n, τ) $��� � "~1�
ΔT (�k, n, τ) =∞∑
l=�
(−i)l(�l + �)ΔTl(�k, τ)Pl(�k · n). rj.ds
Skewness�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JjL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��#��� ��� ��0 �� � �)� �_/&�� �� $R ��� ) �"��� >&���) �� �#��� ���4� � 1� G� ΔTl(�k, τ) � 1�
ΔTl(�k, τ) = φ�(�k)ΔTl(k, τ), rj.Ls
����<� �� ��5 ��0 �� %�� '�+&%� T��� ΔTl(k, τ) ) Y�� $��)� �� � �)� , �%�&I '/&�� φ�(�k) �Z"�� ��
��#� (��� ��� '��>&%� ��0 �� ΔTl(k, τ) 7� �P �� .�#��� φ�(�k) = � � �)� `�# �� $��:&��
ΔTl(β) =∫ τ�
�
dτΦlβ(τ� − τ)S(β, τ), rj.Ks
K = H�
�(Ω� − �) .�"#��� β = k − K ) ,�� -)�� ��� T��� Φl
β . TS"� T��� S(β, τ) � 1� rj.Ks ����<� ��
�=���� �[� ���; �� .�#��� G��&� ��M� �1�X -�"3%� D�<�
ΔT (k) =∫ τ�
�
dτ ei�k·n
k (τ−τ�)S(k, τ), rj.Jms
��#� � <� ��� ����<� U�� ��� : � ) ��� ������"�
ΔT (�x, n) =∫
d�k eik·x φ�(�k)[∫ τ�
�
dτ ei�k·n
k (τ−τ�)S(k, τ)]. rj.JJs
�� ���4� $�� � ��Z�� �� �Z"� ��� $��)� �� ��>? �� : � ) ��� �� ���� $��% rj.JJs ����<�
.�#� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� -���
�� CMB �� -� �� �� �� 9��� -���+% T��"� ) �� $��)� " �9��� !����Sh �"%�� $�� � -��" �� WI ���C� re
.�"�� �� I � F� $R ��| -���R x�� ) (��� 9" 1��� ��%R �� !�"�� P �A�% �� ��"���I 2�� ����R
.�%#� �� � h ���C� ��Z�� ���� : % ��>&�� �&�S1� -����% rf
.�Jgm�=��)R v��; �� �� ��%R =�� ) (��� '�� �� Y� ) Y)� �1�X (�# Y�Z%� -��: ��%R �� &���� ������"�
k��� =�� (���%� ��� �� CMB $�S% �� $�� �� ���� ��? �� ��� z��� '�� ��� $"��
>&�S1� T��� ���� �� �� �� $�� � G�x�� ���&1�� �� G� , 4O� �� � �� (��5� !'�� ��� �� ���I -���
synchrotron�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JjK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��#% ��� ��0 �� �� >&�S1� T��� $��� !��� : � ) ��� $�� � -��� .="� $� � !$�� � �0�"�
C(n�, n�, ..., nm) ≡ 〈T (n�)T (n�), ..., T (nm)〉 rj.Jes
���� ��%��� ��� ��0 �� �� rj.Jfs ����<� $��� ��0 $R �� !�#�� �� CMB ���4� $�� � ���
C(n�, n�, ..., nm) ≡⎧⎨⎩ �m!
�mm!〈T (n�)T (n�)〉 even m
� odd mrj.Jfs
(��� -���+% )� >&�S1� T��� U�� -���R x�� Y�1� �� ���4� $�� � G� -��� !��� 2]�) ������"�
��� ��� ���S� CMB $�� �� � 0�� ���� ,�_� ���&1�� ������"� .�#�
���/P� $��� !��� -���+% )� >&�S1� T��� -� �(���%� �� U+� !�#�� �� $�� � G� CMB ��� � @��
_�� \���� >&�S1� T��� -� �(���%� -��� ��� X� -����:�� $��� �� � �� �"��� % ) ��)R ���� �� �� % ��� -���R
.�� = ��[%
.��� ���� �� (�# �t��� ��� -����� ��S&�� !$��� CMB $�� �� ���� ��� v
%���� (�/���0 12� (���5 (�����C���� .B6
.="� 8)�# ��� '�� )� �� �� 8]� � �� (��5�
k�� ? -���R -��>%��1� aJ
k�� ? CMB ���4� $�� � �� -���R -��>%��1� � 1�� ae
-��� .�%�1� X�� ���)�% $��)� �3� !��� : � ) ��� $�� � >&�S1� T��� �� ��� "<� ���� -���R -��>%��1�
��� �"�� v�Z�� -���R -��>%��1� '�u�
C(n�, n�) = 〈T (n�)T (n�)〉
= C(Rn�, Rn�) rj.Jis
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
(�# (��� $��)� R(α, β, θ) W����� U�� �� �#��� Rn� ��5 �� ��� : � ) ��� T (Rn�) !rj.Jis ����<� ��
�70�� �� ) (�� ��5 �� ,+&�� >&�S1� T��� �>�� %��� �� .�"#��� �7�)� -���)� θ ) β !α �Z"�� �� .���
�"<� !�"#��� �&���) ���� -����5 -���)��
C(n�, n�) = C(n� · n�) ≡ C(γ), rj.Jjs
� �� : � ) ��� .= " � �� < � �� CMB -�� �)�� $� � @ P != ��(�� �R $ " �� .� #� � � γ = arccos(n� · n�)
.�#� (� ��% ��� ��>%��1��% : � ) ��� !-�<�� )� (�� -)� �� !�#��� ΔT (n) = T (n) − T� �� ΔT (n)/T
��0 �� -)�� ���<&� T��� \�; ���� � 1� ��� .�#��� CMB -��� U�&� D�<� !T =∫
dΩn
�πT (n) � 1�
�= ��� U�� ���
ΔT
T(θ, φ) =
∑l=�
l∑m=−l
almYlm(θ, φ) rj.Jgs
.=��(��� Dp; �� ��%R =�� �� ��� S�X)� ) S�X G� �� `��� \ ��� �� l = � ) l = � !rj.Jgs ����<� ��
�������"�
alm =∫
ΔT
T(θ, φ)Ylm(θ, φ)dΩ rj.Jds
���� ��� ��0 �� >&�S1� T���
〈alma∗l′m′〉ansmble =
∫dΩdΩ′Ylm(θ, φ)Y ∗
l′m′(θ′, φ′)⟨
ΔT
T(θ, φ)
ΔT
T(θ′, φ′)
⟩rj.JLs
��#�� = ��� (�>%R !C(n, n′) = C(n.n′) "<� -���R -��>%��1� ��� ��
C(n, n′) =⟨
ΔT
T(n)
ΔT
T(n′)⟩
= C(n.n′) =�
�π
∞∑l=�
(�l + �)ClPl(cos(γ)) rj.JKs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JgJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��0 �� ��%�^� T��� \�; �� Pl(cos(γ)) T��� .�#� (� ��% CMB -���)�� $�� @ P �V;/�0� Cl �Z"�� ��
��� ���� ���
Pl(cos(γ)) =�π
�l + �
+l∑m=−l
(−�)mYlm(θ, φ)Y ∗lm(θ′, φ′) rj.ems
��� ���� ��� ��0 �� rj.JLs ����<� rj.ems ) rj.JKs �_��<� �� (��O&�� ��
〈alma∗l′m′〉ansmble =
∫dΩdΩ′Ylm(θ, φ)Y ∗
l′m′(θ′, φ′)∑l�
Cl�
∑m�
Yl�m�(θ, φ)Yl�m�
(θ′, φ′)
=∑l�
Cl�
∑m�
δll�δl′l�δmm�δm′m�
= δll′δmm′Cl rj.eJs
.���� $��% �� -)�� -���"��1� -�M� �� -���R -��>%��1� `�# �+ +; �� rj.eJs ����<�
��� ���� ��� ��0 �� ��� W%����) \�; �� -���)�� $�� @ P⟨(
ΔT (n)T
)�⟩=
�
�π
∞∑l=�
(�l + �)Cl
=∫
(�l + �)l�π
Cld ln l rj.ees
.���� , �� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� $�� @ P ���1% !ln l \�; �� l(�l +�)Cl/�π
�� ��%�1� .���� $��% ��� (�# -� �(���%� WMAP (����� U�� �� CMB $�� @ P rJjajs , #
) ��� ��+% �� @7&[� -��,S���%R �� �"��� % !-���)�� $�� @ P � <� ) >&�S1� T��� �S��3� -��� !�# �3�
.���� �5) �< SP �� CMB ��+% G� U+� �+ +; �� �) = #��� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : �
�� ) ���� -��<&� -��7S���%R !�5� ��+% ��"� $��)� �� $��� !�#�� ���X�� -���R -��>%��1� ��� ������"�
���X�� -���R -��>%��1� ��� .��� � <� �� $�� � -��" �� 9��� -���R x�� !����1Z� -)� -� �U�&�
.�� ���[% 2 30 =� -���)�� $�� @ P !�#�S%
-� " � = �+ � � �� � & �� )� � � �V �� �� � � � %# �+ % -�� �R -��> %��1� � � �#� \S� -��< & � ,�� �
��JjL��%#�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jge ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��� � $��% �� 9S�X ) ��� >&�S1� � ��I �1�X .$�� � -��" �� 9��� $�� @ P �������5 �Jjaj , #
-���)�� ���5 �� <��� \�; �� ��� -���+% )� >&�S1� T��� �Jgaj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgf ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�� �� �"� �"? -H�I� G� (��� .� �)� � P�"F� -��%�� � ) �H�I� -���4 +% �"%�� �-�l� ���C� rJ
�JgJ! Jge! Jgf! Jgi! Jgj! Jgg! Jgd! �#��� -���R -��>%��1��% ���� -��� ��(: >%� ���&1��
. JgL! JgK! Jdm! JdJ! Jde! Jdf! Jdi! Jdj! Jdg! Jdd! JdL�
) z/0� -��� �&�� �� � G��� �� #�% ���C� ) ��>&�� ���C� .��>%��1��% -����% ,��# !������� ���C� re
.$�� � �" �� WI �� #�% ���C� ) CMB ��+% , 1 �
���? $��� WI �"#��� ,+&�� ) =�� � 0�� )� -���R -��>%��1� ) $�� �� !�#b[�� �Z"�� ��
����� �B% �� CMB ���4� $�� � -��� �� ��� ���;
x�� Y�1� -���+%)� >&�S1� T��� ��0 ��� �� .��� -���R -��>%��1� -���� �� �� $�� � �@��
.�"&�� �"<� �� =� ��Cl ) (�� ���� �� -���R
x�� Y�1� -���+%)� >&�S1� T��� ��0 ��� �� .�� % ���X�� $R �� -���R -��>%��1� �� �� $�� � �v
�� : % �� W%����l� W����� -��X � h �0�"� &���� ) �"&� % �"<� �� ���"� �� ��Cl �) �"&�� ���� �� -���R
.=��)R v��;
.���� -���R -��>%��1� �� �� � h $�� � �y
.-���R -��>%��1� $)�� �� � h $�� � ��
x� � � 1 � -�� �)�� $� � @ P !� #� � ��� X� � $R �� : % -�� �R -�� > %� � 1 � ) � #� � � � CMB � ��
�� " %� � �� � #)� U � � CMB � � + % -)� � � � �� h ��� C� �V� �� .� �� � � �� � �� $R -�� �R
� h 6)� !�JLf� ��G I -� � > & � S 1 � �JLJ! JLe� Genus " 3 " � !�JdK! JLm� ��G I T �� �
�� #� � & h� -� �-� l � �� � � -� �D�� 3 %� (� �� � � -� � #)� !�JLi��� � � " � < �� � <] �
9�� � ��+ % -)� � � @7 &[� -���� + � �� �� -��D��3 %� ��� � � "~1� ) �JLj� �� " ��) �� �
Multi-connected��
peak distributions��
peak correlations��
Global Minkowski functionals��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgi ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�JLf! JLg! JLd! JLL! JLK! JKm! JKJ! JKe! JKf! JKi! JKj! JKg! JKd! JKL! $�� � -�� " ��
!�# (��#� ��%R �� �� ���#)� (�1� .JKK! emm! emJ! eme! emf! emi! emj! emg! emd! emL! emK�
$� � �� �� �� �D��3 %� !-�(�� � "? �� .�#� �� (�# -���� S# -��(��� � � 70� -��(��� �� �� + �
-� >1�? D��3 %� $ " �� � � �� � %�(�� � 6��: � $�� � -�� " �� 9�� � ��+ % -)� � � @7 &[� -���� + � ��
T�� � � � ��"��� I 2�� ����R -)� � � ��� : � ) ��� T�� � T �� � ����� � � 7� (����� ) ��� (��% 6��:�
Bipolar power spectrum �"%�� ���#)� � � -���R -��>%��1�x�� � "~1� .���� ��_� �� T���
-���R -��>%��1� �� -�(�1� D��3%� $"� �� �� ��� (�# ���� �JjL! eJm! eJJ! eJe! eJf! eJi�
.��� (��% (�����
����+� ��&�� �� .=�����o� $�� � -��" �� 9��� -���R x�� ��� ���� �� ����� �� =���� �4X !���+� ��� ��
��0 �� !�#�� = ��� �� % ��%R �� $�� � -��" �� 9��� ���� -��� �� �� ���4� -���"�R�� , 73� �� `���
-���)�� *� +� !��� -���+%)� �� rJPDFs �&�S1� '�1&;� '�>? T��� �� (��O&�� �� .��� =��� z��� �0/�
!�D���� �"�R�� -���R x�� �� (��O&�� �� .= "�� � <� ��"���I 2�� ����R -)� �� �� ��>&�S1�
�� =��; ����<� ) (��� � <� !�"�� ��&�� D���� -�(� Z%� �"�R�� G� ��0 �� CMB $R �� �� -���)�� *� +�
-��" �� 9��� � ����� ����<� -���R -���MX ��� �� �5� �� .=��)R� ���� �� ��� : � ) ��� T��� T��� '3�
�� �� CMB -���R -��>%��1� ) $�� �� � 0�� .= "��b[�� ��% /V ��� &�� �� *��� �� �� $�� �
.= ��� ���X �<���� ��� ���&���� , 73� G1� �� ) ��'��� a ������ \���] � <� �� ,0�; c��&% �� (��O&��
Joint probability density function��
Correlation angular scale ��
Markov process��
Kramers-Moyal��
Fractal analysis�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgj ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�M��R (�����5�M S���A� 6B6
�� .�#� ,0�; =&� � G I �)� � �_��<� Y�1� ,; G1� �� G I �)���� =&� � G� ,��� w��
-��� F&� U�� �� =&� � ) �&�5 (��� ���4� @ 0� G� �� ������"� �� % ��pI $� �� ��� ��� TX�� �� -�� ��
�_��<� �� �� �� &�� �� � "? .= "�� @ 0� !�""�� : � ) ��� ���4� ��0 �� �� I �)����
�� �� �_��<� ��� ,; >%>? ��� �� �3� .�%��� �5) ��% ��0 �� �/15 ��%R �� �� ����� $1"��
�� �_��<� ��� _V 1<� .�Z"�� �����4� , �%��O�� �_��<� (�)�3� �� �"��� : % ��$)^%_ �_��<� ��%R
-��� .�%#� �&#% !G I �)���� -��� F&� �� =��; " <� �_��<� �� \��"� ��% �/15 $��� ���]�
'�1&;� T��� T��� �� =��; , �%��O�� �_��<� $��� '��<� ��0 �� �� �#� (��� $��% ��1&� � ��� ����
�� �)�� ) �&&;�� ( # ��� �VS��h .�1% �S30 ��%R ,; �� T5�� ) ��)R ���� �� G I �)���� -��� F&� ���
.��� rFPs��G%/I a��� ����<� �_��<� ��� 8% ����(��� .��� $)^%_ �_��<� ,; ]��� -���� ~ I
T��� '3� �� =��; G%/I a ��� �_��<� � ��; �� �"&�� �� � h , �%��O�� �_��<� �V�1� $)^%_ ����<�
�� ��� �1�X ��� �� .��� �3� ) ,; 6)� -��� -�>�� ��:� �� : % ��� .�"&�� �� !'�1&;� T���
�� �) �� �� � $�� � -��" �� 9��� -���R , 73� -��� -��:�� $�"� �� �� '�1&;� -�l� '0� ) = ��O� ���&1��
.��� �<5��� �eJj! eJg! eJd! eJL� T5��� �� $��� ,4O� ��3 ]� -��� .= "�� $� � �0/� ��0 ��
����T8 �)��UV�� � <�I�@� �$�C/ 34>4>
��� .�#�� !n ��5 �"%�� -�>�� �&����I �� �� $��� �� �&���) �����4� � F&� G� !ξ -�<�� M ����� �� � "����
���+� �� DZ��� �� $R ���+� ���� = ��%� ���4� � 1� G� �� ξ .�#�� �&��� �� �&� I �%��� ���4� � F&�
U���# ��� �� ���/P� �S1� , �� �� '�u� -���s �� % " � 9 I ,��X " <� ��0 �� n ��5 �� $��� (�[��
Langevin equation�
stochastic��
Fokker - Planck��
stochastic variable��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgg ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
"<� Y�k (�[�� ��,S���%R -��� ���+� N !9����R N ��� � �� .r�>�� '�Z� -���&����I �5) , �� �� �� ) � �)�
�=��)R� ���� ��� ��0 �� ξk
ξk :: ξk(n�) = T�, ..., ξk(nN ) = TN rj.efs
�� n (�[�� ��5 �� � 1� ��� U�&� ������"� !�#�� = ��� ξ -��� ,S���%R s ���<� -� �(���%� s ��� � ��
��� ���� ��� ��0
< ξ(n) >= lims→∞
�
s[ξ�(n) + ξ�(n) + ... + ξs(n)] rj.eis
��#� �&#% ��� ��0 �� !f(ξ) "<� !ξ ���4� � F&� �� (�[�� T��� �� U�&� � "~1�
< f(ξ(n)) >= lims→∞
�
s[f(ξ�(n)) + f(ξ�(n)) + ... + f(ξs(n))] rj.ejs
'�1&;� T��� T��� .= "�� Dp; �� �#��� ,S���%R (��1# (�"��1% �� ���%� !���� -��� �<� �� ��� ��
(��� �� ξ �&��� '�1&;� .�#��� ξ ≤ T ��0 �� n (�[�� ��5 �� ξ � 1� -��� -���+� �&��� '�1&;� !P (T, n)
��#� (��� ��� ��0 �� !p(T, n) !rPDFs ��'�1&;� ��>? T��� U�� !n (�[�� ��5 �� T ≤ ξ ≤ T + dT
P (T ≤ ξ ≤ T + dt, n) = p(T, n)dT
P (T, n) =∫ T
−∞p(T ′, T )dT ′ rj.egs
��� �"�� v�Z�� '�1&;� ��>? $�� ��Z"�� `�#
P (−∞ ≤ ξ ≤ +∞, n) =∫ +∞
−∞p(T, n)dT = � rj.eds
��#% ��� ��0 �� �� rj.ejs ����<� rPDFs '�1&;� ��>? T��� @��<� �� (��O&�� �� $��� �&� I ���; ��
〈f(ξ, n)〉 =∫ +∞
−∞f(T, n)p(T, n)dT rj.eLs
ensemble��
probability density function��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jgd ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
�� �� rm-JPDFs ��-���+% m �&�S1� '�1&;� ��>? T��� �� �� 9%�� �� ���4� �"�R�� G� �� ,��� ���/P�
���R� ���� !�#� (��� $��% ��� ��0
p(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...; T�, n�) rj.eKs
�� T� ���+� \ ��� � 1� �� ) nm−� ��5 �� Tm−� ) nm ��5 �� Tm ���+� $��:1� �&��� '�1&;� � 1� ���
� <� ���+� -���� ��%R �� ���<� m − � $R �� �� ���4� � F&� m�� -�"�� I $R �� .�"�� � <� �� n� ��5
��� ��0 �� !� F&� � ��m -��� rCPDFs �P�# '�1&;� ��>? !�"#�� ξm−�(nm−�), ..., ξ�(n�) = T�
���R� ����
p(Tm, nm|Tm−�, nm−�, ..., T�, n�)
��>? T��� .=�� �� �B% �� !n� < n� < ... < nm−� < nm !�)�� ��� �� �7l�� $�� 7� � "�� $)�� $"��
��#� �&#% ��� ��0 �� P�# '�1&;� ��>? T��� \�; �� 7� ���; �� !-���+% m �&�S1� '�1&;�
p(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...T�, n�) = p(Tm, nm|Tm−�, nm−�; ...; T�, n�)
×p(Tm−�, nm−�|Tm−�, nm−�; ...; T�, n�)
×... × p(T�, n�|T�, n�) rj.fms
� "�� `�# �� n� ��5 �� T� ���+� �&��� P�# '�1&;� ��>? p(T�, n�|T�, n�) � 1� rj.fms ����<� ��
)� �&�S1� ��>? T��� \�; �� P�# '�1&;� ��>? T��� ��� .���� ���� !�# �� I n� ��5 �� T� ���+�
��#� $� � ��� ��0 �� -���+%
p(T�, n�|T�, n�) =p(T�, n�; T�, n�)
p(T�, n�)rj.fJs
m-joint probability density function��
conditional probability density function��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JgL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
T� ���+� �&��� �� ,+&�� n� ��5 �� T� -��� P�# '�1&;� ��>? T��� ��� �� ���� � 1�� ) � ��� �� �Z &% ���
) (�� !p(T�, n�|T�, n�) = p(T�, n�) !��0 $R �� �#�� n� ��5 ��
p(T�, n�; T�, n�) = p(T�, n�) × p(T�, n�) rj.fes
8]� ��� �� � � �� .�"#��� �>�� � �� ,+&�� !@7&[� ��5 )� �� (�[�� ����+� �&��� '�1&;� �� "<� ����
Θ = arccos(n�.n�) �� � X� ��0 �� �� Θ = |n� − n�| (���%� -Z&�5 �� @7&[� -���"�R�� -��� $���
(� ��% ��>&�S1� ��)�� *� +� �V;/�0� Θ .�# ���X�� rj.fes ����� -���)�� ���5 ��� -��� �� �����I
.r�� ���� �S&<� ����I -���"�R�� -��� >&�S1� r��)��s 'P ��� �&S��s �#�
����� �5) '�1&;� ��>? T��� -��� ��� x�� _�� @���<� �� (��O&�� ��
p(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...T�, n�) =∫
p(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...T�, n�)dT�
p(T�, n�) =∫
p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�)dT� rj.ffs
��#� @��<� ��� ��0 �� -���+% m '�1&;� ��>? T��� �� (��O&�� �� -���+% m >&�S1� T���
〈ξm(nm)ξm−�(nm−�)...ξ�(n�) =∫
T� × ... × Tmp(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...T�, n�)dT�...dTm
rj.fis
���0 �� Zξ(λ, n) !���4[�� T��� @��<� ��
Zξ(λ, n) = 〈exp(iλξ(n))〉 =∫ +∞
−∞exp(iλT )p(T, n)dT, rj.fjs
�4[�� T��� �� ���� * <� ,��S� �� �� �#��� '�1&;� ��>? T��� ���� ,��S� !�4[�� T��� �� ��� 2]�)
���R� ���� '�1&;� ��>? T���
p(T, n) =∫
exp(−iλT )Zξ(λ, n)dλ, rj.fgs
correlation angular scale��
Stationary process�
characteristic function�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JgK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
���� � <� �� !Cm Cumulant � ��m ) !Mm ≡ 〈ξm(n)〉 ��$�1� � ��m $��� !�4[�� T��� �&#�� ��
Mm = 〈ξm〉 =�
imdm
dλmZξ(λ, n)|λ=� rj.fds
Cm =�
imdm
dλmln(Zξ(λ, n))|λ=� rj.fLs
.�#� � <� �4[�� T��� !�7 � U�� �� (��O&�� �� !�"#�� Y7<� @7&[� -��%�1� Y�1� ��� �>�� ��P ��
����T8 �)� �W�� � ��2PL 54>4>
��%#� -�"�= �+� ��� 7� �&�� )� �� �: � -���"�R��
� X� ��0 �� ) (�� " <� /V ��� ��%R '3� �� =��; �_��<� �� ����"�R�� "<� � " <� -���"�R�� �@��
.��� � <� �� ��%R (�"�R $���
�� ��%R '3� �� =��; ����<� �� �715 G� ,X��; �� �#� �&O� ����"�R�� �� � ���4� -���"�R�� �v
.�"� � � F� ���4� ��0
��"#��� -�"�= �+� ,��X ��� �&�� �� �� ξ ���4� � F&� *��� �� �� ���4� -���"�R��
����D� EF ��7 ���-$�G��
�� n′ ��5 �� ,+&�� /V ��� !n (�[�� ��5 �� �� T ���+� �� �&��� '�1&;� !���4� -���"�R�� 8% ��� ��
�=���� ]��� $��� �� �#��� n′ < n ��0
p(Tm, nm|Tm−�, nm−�; ...T�, n�) = p(Tm, nm) rj.fKs
��� ���� ��� ��0 �� rj.fms ����<� ������"�
p(Tm, nm, Tm−�, nm−�; ...T�, n�) = p(Tm, nm) rj.ims
moment��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��1&� � ��� ) �#��� -���+% G� '�1&;� ��>? T��� �� ���"�R�� 8% ��� ��� �� ,��� ���/P� �� "<� ����
.�"#��� �B��; $)�� �V;/�0�
�����, ����D� ���-$�G��
�>�� %� � �� .���� �5) -���+% m �&�S1� '�1&;� ��>? T��� �� =&� � �� ,��� ���/P� ���"�R�� 8% ��� ��
.�"#��� ��� �"7� �B��; -���� ��=&� � ���
H27��� ���-$�G��
�� �� �~%R "<� 7SX � <]) �� U+� !nm ��5 �� Tm ���+� �&��� '�1&;� !��D���� �V;/�0� -���"�R�� ��
(��� G� ������"� .�#��� ���(��� =&� � �B��; ���"�R�� 8% ��� �� .��� �� � C�� !���� Q� nm−� ��5
����� �5) ��� ��0 �� P�# '�1&;� ��>? T��� �� -���
p(Tm, nm|Tm−�, nm−�; ...T�, n�) = p(Tm, nm|Tm−�, nm−�) rj.iJs
��#� ,��S� ��� ��0 �� rj.fms ����<� rj.iJs ����<� G1� ��
p(Tm, nm; Tm−�, nm−�; ...T�, n�) = p(Tm, nm|Tm−�, nm−�)p(Tm−�, nm−�|Tm−�, nm−�)
×... × p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�) rj.ies
�7�����# T:� >��;5 (<� �2 (�/�<�0 ���C��� &�U 9B6
-���P ��� �� � .�#� @��<� ��"# $�� � �� -��<&� �4[�� -���P �# $� � f ,4� �� �� ��%�1�
�� ��� �"7� 9" 1��� D�<� �+ +; �� � 1� ��� .�#��� �� &O5�) $��)� �� -���)�� >&�S1� 'P �4[��
Markov process��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JdJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��� !�4[�� 'P ��� � <� -��� .�#��� 7E�� ��� @��<� �� ,+&�� /V ��� ) (�� ��"���I 2�� ����R -)�
��� W%����) ) U�&� \ ��� �� σ ) T �� = "�� @��<� !T ′(θ, φ) ≡ (T (θ, φ) − T )/σ ��0 �� �� ��� : � )
�;�) $R W%����) ) �O0 ��%R U�&� �� ���(��� -�� ������"� = "�� Dp; �� ′ ��/� ���� -��� .�#���
�� ��� ����� !�#��� (�[�� ��5G� n = (θ, φ) �� T (n) � 1� '�1&;� ��>? T��� .�#�� = ��� !��� (�#
) ��� $�: � n� ��5 �� ��� .��� �&�S1� ���4� � 1� n �= n� -��� T (n) � 1� �� "<� ���� .p(T, n)
n�, n�, · · · , nk ��&� -��%� � �� �� T (n) � 1� P�# '�1&;� ��>? T��� �#�� T (n�) = T� �� ����� : �
��� ��� ���S� �#�� T (n�), T (n�), · · · , T (nk) ����+� -����
p�k(Tk, nk; · · · ; T�, n�|T�, n�)dTkdTk−� · · · dT� = Prob{T (ni) ∈ [Ti, Ti + dTi]
for i = �,�, · · ·k and T (n�) = T�}. rj.ifs
'�1&;� ��>? T��� �� �� ���4� -��� EF&� ���<� � ��I W��%� ) ��P�# ���<� _�� W��%� �&#% ( # ��� ��
!�#��� ���� �� ���4� �"�R�� G� -���R x�� Y�1� �� -���+% k '�1&;� ��>? T��� .�"��� $��% �&�S1�
��#� $� � P�# '�1&;� ��>? T��� v�M70�; ��0 ��
p(Tk, nk; Tk−�, nk−�; ...; T�, n�; T�, n�) = pk�(Tk, nk|Tk−�, nk−�; ...; T�, n�; T�, n�)
×pk−��
(Tk−�, nk−�|Tk−�, nk−�; ...; T�, n�; T�, n�)
×...p��(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�) rj.iis
�� -���+% )� �&�S1� '�1&;� ��>? T��� =�� � 0�� *��� �� �� >&�S1� -���)�� *� +� � �� (��5� $"��
�= "� @��<� ��� ��0
p(T�, n�; T�, n�)|ΘC = p(T�, n�)p(T�, n�) rj.ijs
� <]) -���R ��0 �� !Θ = arccos(n�.n�) �� Θ ≥ ΘC -���)�� ���5 �� �� �"�� $� � rj.ijs ����<�
ΘC � <� -��� .�ei! eJK��#��� n� (�[�� ��5 �� �5� � <]) �� ,+&�� !n� (�[�� ��5 �� �� =��;
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jde ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Θο
P(T
2,T
1)
10 15 20 25 30
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
Δ
-���)�� �70�� \�; �� -���+% )� T��� T��� ,]�O� T��� �Jdaj , #
ΔP (T�, T�) = |p(T�, n�; T�, n�)− p(T�, n�)p(T�, n�)|� 1� CMB �� ��-���R -��>%��1� �&��� �B% �� ��
���� ��0 �� ��<��� ���&1� G3� �� (��O&�� �� .=��(��� =�� rJdajs , # �� !Θ \�; �� ��
χ� =∫
[p(T�, n�; T�, n�) − p(T�, n�)p(T�, n�)]�
σ�PDF + σ��−joint
dT�dT�, rj.igs
σ��−joint ) σ�PDF rj.igs ����<� �� .���� Q� ΘC >&�S1� -���)�� *� +� DZ��� �� χ� � 1� �7�� �" 1�
���+ � � " 1 � �� ���� $�� % c �� & % .� "#� �� p(T�, n�; T�, n�) ) p(T�, n�)p(T�, n�) W%� ���) \ �� � � �
���<� N ) χ�ν = χ�/N s χ�ν = �.�� ���+� �� �σ ����� ���� �� ΘC = ��.��◦ ± �.�� DZ�]� �� ΔP (T�, T�)
.�eem� ���� Q� r �#��� -���R �5��
V����� ���5�M < %���� (�/���0 12� WB6
-��" �� 9��� $�� D���� � 0�� =���� �4X $"�� .=���� � <� �� >&�S1� -���)�� *� +� 7SX 9[� ��
!�#��� ��� : � ) ��� �4[�� -���P �� �>�� � �� �� ��D���� -���)�� *� +� ) (��� ���� �� $�� �
�� =��; '3� T��� !�#�� $��� '�� ,��X D���� (� Z%� G� �"%�� $�� � -��" �� 9��� '3� ��� .= "� � <�
statistical isotropy��
Markov angular scale��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdf ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��)�� �� <��� \�; �� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� '3� ����<� � "~1� ) T��� T��� ��>?
�" 1� �+ +; �� ΘMarkov D���� ��)�� .=�����I� (�# �&O� T��� )� � 1�� �� ����� �� .���� � <� ,��X
���5 $R �� �� CMB $��� ) (��� ��&�� D���� (� Z%� G� � S# !Y�� $R �� CMB �� ��� ���)�� ���5
-���"�R�� � 0�� � X� @��<� .�eeJ! eee! eef����� �B% �� D���� �"�R�� G� � S# $��� -���)��
��� ��� ���S� ]��� $��� �� D����
p(Tk, nk|Tk−�, nk−�; · · · ; T�, n�; T�, n�) = p(Tk, nk|Tk−�, nk−�) rj.ids
-�"�R�� !�>�� %� � �� .�#� `��� !���� ���(��� �B��; �� -�"�R�� �� TX�) �� D���� �"�R�� �: � � S<�
��5 �� Tk � 1� �&��� '�1&;� D���� �"�R�� G� �� �� �O� $��� .�"�� 6���� T��� �� �� �&#p� ��
G� �"�R�� ��� �� .���pI� � C� � !���� �70�� D���� ��)�� (���%� �� �� ������1� ���� G��:% �� U+� !nk
��eJj����� Q� ��� ��0 �� -���+%ak �&�S1� '�1&;� ��>? T��� @��<� �� 1�� -���(���
p(Tk, nk; Tk−�, nk−�; · · · ; T�, n�|T�, n�) =k∏
i=�
p(Ti, ni|Ti−�, ni−�) rj.iLs
-���)�� *� +� ��� �� )� ��� �� (��O&�� �� �Z"�� �� .���� �5) ��� �� )� �V���� !CMB D���� ��)�� � <� -���
.=���1#��� �� G� �� ��:� !6)� )� ��� �� (��O&�� �1] �� . = "�� � <� �� D����
X����� <�L Y��Z8 ��� X��.�I�. [ YI\/ ]�� 34^4>
.��� � 1� � h /V 1� !��� N�:� 7 � k �� &X) !D���� -���)�� *� +� � <� -��� rj.ids ����<� ����
.= "�� ���� ��%R <X�) -�����; -��� �� ���� �5) !�#�� � k = � �� &��; -��� Y�_ `�# G� ������"�
�=���� ���4� �"�R�� �� -���
p(T�, n�; T�, n�) =∫
dT�p(T�, n�, T�, n�, T�, n�)
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdi ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
=∫
dT�p(T�, n�|T�, n�, T�, n�)p(T�, n�, T�, n�)
rj.iKs
�"<� D���� �"�R�� =�� � 0�� �� �5� �� .=��(��� Dp; �� �&�S1� '�1&;� ��>? T��� -�����%� ���� -���
p(T�, n�|T�, n�, T�, n�) = p(T�, n�|T�, n�) rj.jms
��# ���� ,��S� ��� ��0 �� D���� �"�R�� G� -��� rj.iKs ����<�
p(T�, n�; T�, n�) =∫
dT�p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�, T�, n�)
=∫
dT�p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�)
p(T�, n�|T�, n�) =∫
dT�p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�|T�, n�) rj.jJs
�� n� ����+� Y�1� -��� ���� �� �#� (� ��% rCKs ��D)��17� a �1o? Y�_ `�# rj.jJs ����<� ��R �����
������"� �#��� (�[�� ��5 )� -���)�� �70�� Θij = arccos(ni.nj) �Z"�� �� .�# �]�� !n� < n� < n� `�#
��0 �� �� Q(Θ) � 1� $"�� .= "�� v�[&%� Θ ≡ Θ�� = Θ�� ���� -��� .�� ���� Θ�� > Θ��, Θ��
�= "�� @��<� ���
Q(Θ) =∣∣∣∣p(T�, n�|T�, n�) −
∫dT�p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�|T�, n�)
∣∣∣∣ rj.jes
-�� �)�� ��� 5 �� � 1 � � �� .� �� � $� � % -�� �)�� ��� 5 \�; � � �� Q(Θ) � 1 � rJLajs , #
v�[&%� ΘMarkov �� ����� -���)�� ���5 ��� �� "<� ���� .�eem��#� �" 1� ΘMarkov = �.��◦ ± �.��◦
�� CK Y�_ `�# -���X�� ��SC� rJKajs , # .�"�� ��&�� D���� �"�R�� G� ��0 �� ��� : � ) ��� !�#
r:��Xs �.���s @7&[� ���� �� �� �� CK ����<� D�P )� -)��� rJKajs , # �� _�� ���1% .���� $��%
\ ��� �� �I� ) ���� 'S1 � .���� $��% P�# '�1&;� ��>? T��� �� rr:S�s �.��� ) r�Rs �.��
Chapman-Kolmogorov��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdj ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Θο0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.1
0.15
0.2
0.25
Q
D)��17� a �1o? G3� ,]�O� "3"� �JLaj , #
�� P�# '�1&;� ��>? T��� : % � ��I , # .�#��� rj.jJs ����<� ��R �715 �? ) ���� �1� �715 (�"��1%
Y�� �� �V1 +&�� D���� 'P �S��3� -��� !6)� ��� �� �# (����� �� ��%�1� .���� $��% T� = ±σ -���
�X� �� $��1% � "~1� .��� Y�% !����� ���� $�"� �� $R �� $��1% ) �#� `��� -��%���� ���%�� �� ��[&%�
� 1� �#� , �� �� ="� ���]� $���I �� ��� Y�_ .��� � <� !���� �5) $R �� D���� 'P ���+� �� -�(�)�3�
��� !�#� \��h Q(Θ) T��� -��: � ) ��� CK `�# -���X�� �� WI �� ��� ��� Θ > ΘMarkov �� WI Q(Θ)
�� ) (��� , � �O0 �1� �� : % ��: � ) ��� 8% ��� �� ��� $��% $��� �"� , � ����%� �1� �� ��(��� ���<�
.�%��� X�� �� �" 1� ���+� �� �� 1� Q(Θ) "3"� CK `�# -���X�� �� WI �>�� %� �
X����� ������ 1��2� Y��Z8 ��� ���I �%�� ]�� 54^4>
T��� -��� @��<� 8% )� .��� = ��� �S��3� �� D���� 'P ���+� ��1"&��� : ��%R �� (��O&�� �� �1�X ��� ��
-Z&�5 �� !χ� ��<��� ���&1� G3� �� (��O&�� �� .=�� �� �B% �� -���+% �� �&�S1� '�1&;� ��>?
�� &��; �� -���+% �� �&�S1� '�1&;� ��>? T��� ����� !$R DZ��� �� �� =�����I� -���)�� ���5 -��� -���+�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdg ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
T3
P(
T3
|T1
)
-4 -2 0 2 40
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
T3
P(
T3
|T1
)
-4 -2 0 2 40
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
T1
T3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
D���� G3� ���� �JKaj , #
�&�S1� '�1&;� ��>? T��� �>�� ��� � �� (��5� ���+� ��� �� .�#� =���� !�"�� �]�� �� D���� �"�R�� `�#
�= ��"� ��� ��0 �� ��
p(T�, n�, T�, n�, T�, n�) = p(T�, n�|T�, n�, T�, n�)p(T�, n�, T�, n�) rj.jfs
��� ��� ����� rj.jfs ����<� !�#�� D���� 'P �� ����� ��)�� ���5 �� ��>"� "<� !D���� �"�R�� G� -���
p(T�, n�, T�, n�, T�, n�) ≡ pMar(T�, n�, T�, n�, T�, n�)
= p(T�, n�|T�, n�)p(T�, n�, T�, n�) rj.jis
��eei� ��� ��0 �� ��]� -���&����I $)�� ��1% ���� -���R : ��%R �� (��O&�� �� $"��
p(arccos(n�.n�)) =∏
T�,T�,T�
�√�π(σ�
�−joint+ σ�Mar)
exp[− [p(T�, n�; T�, n�; T�, n�) − pMar(T�, n�; T�, n�; T�, n�)]�
�(σ��−joint
+ σ�Mar)]
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Jdd ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Θο
χ2 ν
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
101
102
-���)�� ���5 �� <��� \�; �� ��<��� ���&1� "3"� �emaj , #
rj.jjs
χ� � 1� $�# �" 1� �� ����� '�1&;� T��� �" � � .�# �" � � rj.jjs '�1&;� T��� �� =����� ���Θ '�S%� ��
��#���
χ� =∫
dT�dT�dT�[p(T�, n�; T�, n�; T�, n�) − pMar(T�, n�; T�, n�; T�, n�)]�/[σ��−joint + σ�Mar
]rj.jgs
, # .�#��� pMar(T�, n�; T�, n�; T�, n�)) p(T�, n�; T�, n�; T�, n�) W%����) \ ��� �� σ�Mar ) σ��−joint
�� ����� \ ��� �� �� �#��� �.�� �� ����� χ� ���+� �" 1� .���� $��% Θ \�; �� χ� � 1� remajs
, # .�eem� �#��� �σ ) �σ ����� ���� �� ΘMarkov = �.��+�.��−�.��
) ΘMarkov = �.��+�.��−�.��
D���� 'P
�� -�1� � ? U� ) �&� I `�� , # ��� �� .���� $��% �� rrj.jjs ����<�s ��1% ���� T��� reJajs
���+� �� � "�� �� WI χ� ���+� �#� (����� : % �Z"�� �� .�eem��"��� $��% �� �σ ) �σ ����� �)�; \ ���
��: � ) ��� W%����) $�# \��h �� #�% �+ +; �� 9��:�� ��� !�#�� ���� ���:�� G� � �� �� �" 1�
.�# ���� Dp; ���:�� �%) � ��� ��(��� ���<� 9��:�� �� �� �#���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JdL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Θο
Rel
ativ
eL
ikel
ihoo
d
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-���)�� ���5 \�; �� S�% ��1% ���� "3"� �eJaj , #
��&�� �� ��� -��8 ��$�8 ��� �$��Z� 94^4>
rrj.jJs ����<�s CK ����<� 7 �%��O�� , # �� $��� !�# � <� CMB -��� D���� -���)�� *� +� �� $"��
����� (��� ��� ��0 �� '�1&;� ��>? T��� '3� -��� !�#� �Z"� rKMs �� '��� a ������ U�� �� ��
d
dφp(T, φ) =
∞∑n=�
(− ∂
∂T)n[D(n)(T, φ)p(T, φ)] rj.jds
-��>%��1� ��� �� (��O&�� �� ) ���� -��� �� � "� �5� .�#� (� ��% KM \���] !D(n)(T, φ) �Z"�� ��
'3� r= "�� ��SC� CMB �� �� $R �5) -�<� -���[� �� ��� =�� �� �B% �� ��� $�"� �� �Z"�� ��s -���R
��>? T��� �S��3� �� �V1 +&��KM \���] .=�� �� �B% �� φ &1� ��)�� �� <��� U+� �� '�1&;� ��>? T���
��eJj��%#� � <� M (n) P�#
D(n)(T, φ) =�
n!lim
Δφ→�
M (n),
M (n) =�
Δφ
∫dT ′(T ′ − T )np(T ′, φ + Δφ|T, φ) rj.jLs
Kramers-Moyal��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JdK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
T
D1
(T
)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
TD
2(
T)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
��� : � ) ��� -��� '��� a ������ \���] �eeaj , #
) �S��3� reeajs , # �� KM \���] !rj.jLs �_��<� �� -� �(��� ) WMAP (����� c��&% �� (��O&�� ��
��9[I ) ���Z��5 \��] �V;/�0� \ ��� �� �� D(�) ) D(�) \���] -��� <��� , # .��� (�# (��� $��%
��eem��"�R� ���� ��� ��0 �� !�%#� (� ��%
D(�)(T ) = −�.���T,
D(�)(T ) = �.���T � + �.���T + �.���, rj.jKs
D(�) ∼ � �"�R�� G� -��� ��� !�_t�I � MX *��� �� .�"#��� ��)�� �� ,+&�� -��>%��1� ��� �� �5� �� ��
��� ����<� �� rj.jds ����<� ) (�� #I=�? ,��X n ≥ � -��� !D(n) !KM \���] Y�1� ��0 $R �� !�#��
��#� ,��S� T��� T��� ��>? '3� -��� G%/I a
d
dφp(T, φ) =
[− ∂
∂TD(�)(T, φ) +
∂�
∂T �D(�)(T, φ)
]p(T, φ) rj.gms
drift��
diffusion��
Pawula’s theorem�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� ���4� � F&� �� =��; '3� ����<� �eJj! eJg� Ito @��<� �� (��O&�� ��
��#� $� � $)^%_ ����<� G� ��0 �� ��"���I
d
dφT (φ) = D(�)(T ) +
√D(�)(T ) f(φ) rj.gJs
r< f(φ)f(φ′) >= δ(φ − φ′)s�&�� >&�S1� T��� !�� T��� T��� �� ���4� /V ��� T��� G� f(φ) ����<� ��� ��
(��#� $R �� &���� �� -��& % .D(�) ∼ ��−�D(�) �� ���� $��% CMB -��(��� : ��%R .��� �O0 � >%� � )
!D���� 'P -���)�� (���%� �� �S�% (�# �0� -��(��� -���)�� �X� $�� �& ?� �� �5� �� �� ��� ��� ���
.�#��� -���)�� �X� �� ,+&�� (��R ���� c��&%
������ ���8 K�L � CMB ������� ��)�� ;4^4>
���� �1�X ��� �� !=���� ��<� �� $R ,4� ��� -��&�� �� �� Cl -���)�� $�� @ P ) KM \���] � � `�S���
��� �� (��O&�� �� .= "�� @��<� S� = 〈(T (n�) − T (n�))�〉 ��0 �� ,]�O� $�1� Y�% �� -���5 � 1� .= "�
�&��� �B% �� �� $��� �>�� ��P �� .�%#� � <� ��Cl Wo� ) (��� � <� �� 〈T (n�T (n�))〉 $��� � 1�
〈T (n�T (n�))〉 -��� �3� ����<� ) ��� � <� �� p(ΔT, Θ) G%/I a��� ����<� ΔT (Θ) = T (n�) − T (n�)
G%/I a��� ����<� .��� $� � KM \���] \�; �� �� ��Cl �V1 +&�� $��� !����<� $R ,; �� �� ��)R ����
���R� ���� ��� ��0 �� ��� : � ) ��� ,]�+�
d
dΘp(ΔT, Θ) = [− ∂
∂ΔTD(�)(ΔT, Θ) +
∂�
∂ΔT �D(�)(ΔT, Θ)]p(ΔT, Θ) rj.ges
��eem��� �"��� ��� ��0 �� 9[I ) ��Z��5 \���] rj.ges ����<� ��
D(�)(ΔT, Θ) = (−�.��− �.���
Θ)ΔT,
D(�)(ΔT, Θ) = [�.��� + �.�� exp(− Θ�.��
)](ΔT )� + �.��+�.���
�.���
rj.gfs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Θο
<T
(n 1
)T
(n 2
)>
10 20 30 40 50
-0.001
0
0.001
0.002
0.003Numerical solutionDirect computation
-���)�� $�� @ P ) D���� ��� �� �efaj , #
�=���� -� � '��>&%� �� ) (��� v�] ΔT � �� �� rj.ges ����<� � ��P
d
dΘ〈T (n�)T (n�)〉 = �[α(Θ) + ω(Θ)]〈T (n�)T (n�)〉 − σ�[�α(Θ) + �ω(Θ) − β(Θ)]
rj.gis
D(�)(ΔT, Θ) = β(Θ)σ�+λ(Θ)σΔT (Θ)+ ) D(�)(ΔT, Θ) = α(Θ)ΔT (Θ) ) σ� = 〈T �〉 !rj.gis ����<� ��
����<� �%�O��&� .�%#� (��� rj.gfs ����<� U�� ω(Θ) ) α(Θ) ) β(Θ),λ(Θ) \���] �� ω(Θ)ΔT (Θ)�
) (��� ,; -��� ��0 �� �� $R ������"� ��� ,; 7 73� ��0 �� �� $R $�&� �� ��� $R �� ��(� ~ I rj.gis
.��� $� � D(�)(ΔT, Θ) ) D(�)(ΔT, Θ) \�; �� �� -���)�� $�� @ P $��� ��%�^� T��� \�; �� $R U�� ��
.�eem����� $��% �� ��� >&�S1� T��� = +&�� �S��3� ) rj.gis ����<� -��� ,; refajs , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLe ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
%���� (�/���0 12� �4�����M G�L� XB6
!�#�� G����� =&� � �� ��0 �� .�"�R� ���� 7S���%R -� �U�&� �� !6��� �� ) ��pI(����� -��� 1�
-� � U�&� ��0 $R �� �%�#o� �� ��� -�M� Y�1� !�# �&#�p� $R �� &�� �� ��� $��� ��� �� "<� ����
) >&�S1� T��� � B% ! �: � -��� 1� � <� -��� '�; �� �� .�#� ,��S� %��� -� � U�&� �� 7S���%R
-��<&� ���<� = %�&� �� =����% ��B&%� �� 1� ��� .= #��� =&� � $R �� O7&[� -��,S���%R �� �"��� % !(� h
-��� .�# )��) � '� #� �� TX�� �&� � �� ��� �� ��� ���� �B% �� ������" � =��)R ���� -���R ,S���%R
r-��>%��1�s ">1� !��5 �� $� � �� $��� ,+&�� �&����I �� �S�% ��%R �� �� ����"�R�� "<� s���I -���"�R��
-��� .���� ,+&"� ��1Z� G� G� -)� -� � U�&� �� �� 7S���%R -� � U�&� $��� r�#�� �&#�� �5)
>&�S1� T��� �S��3� -��� ��� >� �B% �� �� ξ(t�) = x�, ..., ξ(tm) = xm %��� -�� !8]� $�# �&3]�)
%��� ">1� �5) ��0 �� .��� � <� �� >&�S1� $�&� �� = #�� �&#�� ,S���%R -���<� &���� 〈ξ(tn)ξ(tm)〉
� "<� ]��� $��� �� r %��� ����Is
〈ξ(tn)ξ(tm)〉 = f(tn, tm) ≡ f(|tn − tm|) rj.gjs
�� 1� ��� .��� (��O&�� f(tn, tm) = f(|tn − tm|) >&�S1� T��� �S��3� -��� ��1Z� G� �� U+� $���
� <� !��,S���%R v� h �� !����# � "? �� ������"� .�#�� �&#�� �5) $�� ���I `�# �� �� ��)� �� $��1%
�� 5��� ,��� ��� �5) \S� �� ��� �>�� ��P �� .�� ���� � 1� � h �: � ��pI(����� -��� 1�
-��#)� �&��� .���� (��� �5� ��� -��� 1� � <� -��� 70� -��(��� �� �V1 +&�� $��1% !�������R
�� (��O&�� �� $�&% �� �%#� \S� ��� ,��� 7� �P �� .���� �B% �� -�)�] ) Y�_ !��(��� , 73� �"1#�
���� (��O&�� ��%R �� �V1 +&�� $�&% &; �� ��� Y�Z%� �� (�[�� -��-� �U�&� ��1Z� G� G�
���� �� �%� �� ���X ����% ) �����%) � �"%�� 7��� � C�� �3� ��9����R �� (��R ���� c��&% �V S��h aJ
-���R x�� �&��� &; .�)� � � �� /V ��� �� (�# O[� =&� � ��| -��: � ) ��� ����I � ��� �%#�
Trend�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLf ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
.�#��� ��%R -���R x�� � <� )�� �� =&� �
.�#��� '�Z� ��(��� �� �5� -����% DZ��"� TX�� �� -�� �� �� �%�O��&� ae
!�5� -����% ) ���%) � -���R x�� � <� �� =&� � ��| -���R x�� �&��� !�# �&O� �� ��%�1� af
.�"#��� Y7<� �% -���R x�� ��� TX�� �&� � �� �%�O��&� ) (�� ��pI $� ��
JKjJ '�� �� .�# ���"� I ��(��� '�&"� �3� : �� %R -��� -��<&� -��#)� jm ��� ,��)� �� (: >%� ��� � �
z��� �#� -� �(��� %� �< SP �� �� %��� -��-�� , 73� -�� � �� ����� U�� ��R/S : �� %R 6)�
U�� ��Disp 6)� !�eej� JKLj '�� �� �� ���'�"� U�� ��SWV 6)� $R �� WI .�eej! eeg� �#
) �eed� JKKi '�� �� �� �"I� U�� �DFA (�# �%)� $)�� : � ) ��� 6)� !JKLL '�� �� �� ��)��" ���
�� ��<&� -����% �5) �� �5� �� �Z"�� �� .�# ���"� I emme '�� �� �MF-DFA Y�% �� $R �&��� = 1<� 8%
-)� �� �� ��� : � ) ��� !��&���� , 73� -��#)� �� (��O&�� �� ��%R , # �� �� ���R Y�� ) $�� � -��" �� 9���
�� ��� �� +� x�� � <� ��� �"���S� �� D���� �+ +; �� .= �� � ���X �<���� ���!��"���I 2�� ����R
��>? T��� T��� ����� $�: � � <� ) -���R -��>%��1� ��� &����% �� &��� � <� ! �: � =�� -��� 1�
.�� T��� T��� �� CMB -��� : � ) ��� '�1&;�
Rescaled rang��
Hurst��
Scaled windowed variance��
Mandelbort ��
Dispersional analysis��
Bassingthwaighte��
Detrended fluctuation analysis��
Peng��
Multifractal detrended fluctuation analusis� B
y: Mov
ahed
www.smov
ahed
.ir
JLi ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
��" ��� ���� ��E � ��� 0��_8 34`4>
!���" �R� � �: � =�� -���1 % � < � � � ()/� �� (� � DFA �& �� � = 1< � � %� �+ +; �� MF-DFA 6)�
6)� ��� .�"��b[�� �� ����&���� �"? ��� ��Z�� DZ��"� ) (��� � <� : % �� ��%R ����&���� �"? x��
\7X $���] -�� !�eed! eeL� ��DNA x�� ���� �715 �� �< SP �� -��<&� -���"�R�� ���� -���
�� �5� -��1&� � !�efg� -��4&X� -��1&� � �eff! efi! efj� ��"#�� !�eeK! efm! efJ! efe�
=�� -��1&� � �>�� ) �efL� ���%���)� vR $���5 $�: � : � ) ��� !�efd� -� #�� `�+% �"%�� �< SP
��&���� =� ����� ���I �� ��&���� , 73� (��� 6)� .��� (�# (��� �� � �eed! efK! eim! eiJ! eie! eif�
�� ����I �� �B"� �<� �� ��� ��s ���I -���"�R�� -��� U+� ( # ��� �%�O��&� .��� ��&�� ����%�&�� 6��I T���
r�#��� -���R -��>%��1� -�"<� �� -���)�� -��-�� -��� ) ">1� -�"<� �� %� � ) %��� -�� -��
�� ����"�R�� ���� -��� �" �� #)� �+ +; �� MF-DFA 6)� .�eii! eij! eig! eid� ���� ������
MF-DFA 6)� .�eed! eeK! eiL! eiK! ejm� �#��� !�� % Y7<� $��& ��� �� ����%) � ) ����% �M;
��eed! efK! eim! eiJ! eie� �#� , �� ��� �7;�� j ��
:,� ���� 0I
��� ��0 �� �<1Z� -�� ')� �7;�� �� .��� >� �B% �� xi, i = �, ..., N ��0 �� -�<�� G� -�� G�
��#� �&���
Y (i) ≡i∑
k=�
[xk − 〈x〉] , i = �, . . . , N. rj.ggs
!�#� #�% -�� �&�� T15 �� �� ����%) � Dp; -��� .�#��� ��x � >%� � 〈x〉 � 1� rj.ggs ����<� ��
$? �� % ��:�� � >%� � $��� =� !��� �5) �� .�# =� U�&� ���+� �&�� T15 �7;�� �� �� �� ��� Y�_
.�# ���� Dp; !�%) � Dp; �� ��� = ��� Y� �7;�� �� �� ��%�1�
Multifractal�
profile��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLj ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
>,� ���� 0J
$? .= "�� = �+� !�#��� ��+% s -���� G� �� �� ,+&�� 9[� Ns ≡ int(N/s) �� �� Y (i) ���5 -��
.�%��� X�� <1Z� -�� -��&%� �� G?� 9[� G� !�� % s *� +� �� 3 30 v�M� -�� 'P \7h�
'P �� ,+&�� -���[� �� �� $R !<1Z� -�� -��&%� �� �>�� ��� G� !��% �&��� (����% �1�X ��� � "�� -���
.��R� ���� �1�X �Ns 81Z� �� ������"� != "�� = �+� s $�� �
>2! ���� 0K
�"? ��� .���� $��% �1�X �� �� �� 73� �%) � �� !(�# ���$)�� -��715 �"? G� �� ��(��� !9[� �� ��
!�#��� W%����) �� � S# �� ��� � 1� !ν 9[� �� �� $"�� .= ��� $��% yν �� �� Y�ν 9[� �� -��715
��#� �S��3�
F�(s, ν) ≡ �
s
s∑i=�
{Y [(ν − �)s + i] − yν(i)}� , rj.gds
���� ��0 �� ν = Ns + �, ...,�Ns -��� ) ν = �, ..., Ns -���
F�(s, ν) ≡ �
s
s∑i=�
{Y [N − (ν − Ns)s + i] − yν(i)}� , rj.gLs
DFA TX�) �� .�#� `��� !� �)� -�� �� �)�O&� ��5�� �� ����%) � �5) �� yν @7&[� -���5�� $����� �
�S��� DFAs DFAm �� '�u� -��� .���� ��(��� �� �5� -���%) � Dp; �� �)�O&� ��%�� !�)�O&� -���S��� ��
-����u� �� � "�� .�%#� Dp; 70� -�� m − � �5�� -���%) � ) <1Z� -�� m �5�� -���%) � rY�m
!= "�� ��<� �� $R ����� �� �� <��� �� +� , # (����� �� �# v�[&%� 6���� T��� �� �S��� Y��� 71�
.�eed! efm! eim! eiJ� ��� US���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLg ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
>��6L ���� 0M
�= "�� �S��3� ��� ��0 �� ���[� Y�1� �� �� F�(s, ν) T��� Y�q �S��� � >%� � $"��
Fq(s) ≡{
�
�Ns
�Ns∑ν=�
[F�(s, ν)
]q/�}�/q
rj.gKs
���� ����%�&�� DFA 6)� $�1� q = � -��� .�"� v�[&%� �� �O0 @��[� ��� �� �%��� q � 1� �Z"�� ��
.��R�
�B$= ���� 0N
��0 $R �� �#�� ���X�� Y (i) -��� ����� �� � �)� ��� ��� .= "�� ��� � �)�O&� -��s -��� �� _�� ,;���
���� ���X�� s ) Fq(s) � � ��� �� +� ����� s N�:� ����+� -���
Fq(s) ∼ sh(q) rj.dms
�V;/�0� �� h(q) -�1% ,0�; U� \ # = �� 6���� ���� U� G� �� �� s \�; �� �� Fq(s) !log-log ���1% ���
$R �� !��� 6���� ���� U� G� $�&% �� ����"�R�� �� .���� ���� !�#� (� ��% �&��� = 1<� Hurst -�1%
�� Hurst -�1% H ≡ h(q = �) "<� q = � -��� .����% �5) =&� � $R -��� : % ��&���� � 0�� � � ��0
���5 (���%� s � 1� -�Z� $�� � -��" �� 9��� -��� .��R� ���� �#� (� ��% : % ����� �� -�1%
�������"� !�"�� -��� 9+% γs = arccos(ns.n�) "<� � �)� (�[�� ��5 �� �S�% -���)��
Fq(γs) ∼ γh(q)s rj.dJs
G� rj.ggs ����<� �� Y (i) �� � fGn �"%�� ���I -���"�R�� -��� .��� �&���) q �� h(q) -�1% 7� ���; ��
Hurst D)�<� -�1% $�1� h(�) -�1% ) �#��� � < h(q = �) < � ���; ��� �� �� ���� �fBm '�"> �
fractional Gaussian noise��
fractional Brownian motion��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLd ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Hurst -�1% �� h(q) , �� � 1� �� .��� (�# (��)R �P��� �� t:5 C �� I �� �eed! eii! ejJ� �#���
fBm '�"> �G� rj.ggs ����<� �� Y (i) � 1� !fBm �"%�� ��� I � h -���"�R�� -��� .�"��%� �&��� = 1<�
.�#��� h(q = �) > � "<� �;�) �� �&��:� h(q = �) "<� F�(s) �� US��� �� +� -�1% ) �#��� <1Z�
���"�R�� 8% ��� �� `��� �� �:5 D �� I �� .��� H = h(q = �) − � �� ����� ���"�R�� 8% ��� Hurst -�1%
MF-DFA1 6)� �� (��R ���� -�1% !-��>%��1� �5) ��0 �� -�<�� )� -�� G� -��� .��� (�# (��)R
��S��3� �� t:5 F �� I �� !�#��� �# �&O� -�<�� G� -��-�� ��� �� �� �~%R �"%�� Hurst -�1% �� �����
.��� (��R
���1% T��� ��0 �� ���I�% ) ���I -���"�R�� -��� >&�S1� T���
C(s) ≡ 〈nknk+s〉 ∼ s−γ rj.des
) γ = � − �H �� ����� ���I�% ) ���I �"�R�� -��� \ ��� �� γ >&�S1� -�1% rj.des ����<� �� .�#� � <�
��#� (��� $��% ��� ��0 �� ���� -�M� �� $�� @ P T��� � "~1� .�#��� γ = −�H
S(ω) ∼ ω−β rj.dfs
(��O&�� �� .�eej! eed� �#��� β = �H + � ) β = �H − �\ ��� �� ���I�% ) ���I -���"�R�� -��� : % β � 1�
��"#��� ��� ��0 �� ��&��� = 1<� ��&���� �<�� ) ���&���� �"? �� +� -�1% !6��I T��� ����%�&�� D� �� ��
τ(q) = qh(q) − �
D(q) ≡ τ(q)q − �
=qh(q) − �
q − �rj.dis
,��S� �� �� �#��� !f(α) !>" � @ P �� (��O&�� ���"�R�� ��&���� �"? x�� @ 0� �� �>�� ( # G�
��eii! eig� �#� �&#% ��� ��0 �� τ(q) \�; �� ��%�^�
α = τ ′(q) and f(α) = qα − τ(q) rj.djs
multifractal scaling exponent��
generalized multifractal dimension��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
����<� �� (��O &�� � � .�#� (� �� % Holder -�1% � � �>" � ��# �V;/�0� α � 1� rj.djs ����<� ��
��#% ��� ��0 �� h(q) \�; �� �� >" � @ P $��� rj.dis
α = h(q) + qh′(q) and f(α) = q[α − h(q)] + � rj.dgs
��&���� �"? -���"�R�� �� �� ��; �� ��R� ���� f(α) -��� x�� ���+� G� !��&����G� -���"�R�� -���
���&1�� `�S��� rJajs ')�5 �� �� ���� f(α) = � !α = h(q = �) DZ��� �� �� � �� f(α) -��� @ P G�
.�#��� q �� ,+&�� h(q = �) -�1% ��&���� G� -���"�R�� -��� .��� (��R Hurst -�1% �� �� �� +� -���1%
(�# �%)� $)�� : � ) ��� �� (��R ���� =�� -���1% ��� �Jaj ')�5D(fractal − dimention) HfBm HfGn β h(q = �)
a �− HfBm a �−β�
�− h(q = �) D
�− D a a β−��
h(q = �) − � HfBm
a a a β+��
h(q = �) HfGn
− �D �HfBm + � �HfGn − � a �h(q = �) − � β
�− D HfBm + � HfGnβ+��
a h(q = �)
$�� � -���R ��0 �� 9[� �� -��� F�(s, ν) : � ) ��� � 1� �� �#� #�% � <X�) ��� �� � <]) ���
.�#�� ���� q ����+� Y�1� -��� %�� � �� +� ��&�� rj.gKs ����<� �� -� � U�&� �"�R�� �V&���% ) �#���
-��� ������"� �# �"��� \��h rj.gKs ����<� �� �"&�� ���� W%����) -���� �� ����[� q �Su� ����+� -���
�� ����[� q < � ����+� -��� W � �� .�"�� @ 0� �� N�:� -��: � ) ��� -���R � ��� h(q) !q > �
.�eje� ���� $��% �� G?� -��: � ) ��� -���R x�� h(q) ) (�# \��h �"&��G?� : � ) ��� -����
��� �����)�3� -���� ��� �#��� ���4� -��(��� , 73� -��� -�"1���X ��� �� DFA 6)� �� �"?��
��#���
W � �Z &% ��&���� G� =&� � G� -��� ��� � 1� !��0 $R �� �#�� G?� ��(��� -�� (���%� ��� aJ
.��� ����
singularity strength��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JLK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
\S� �� �� �� = ��� s \�; �� Fq(s) � 1� �� +� ��&�� �� � F� G� �)�"� -���%) � �5) ��0 �� ae
<X�) ��&�� �� �� $R �efd� F-DFA �"%�� �>�� -��#)� G1� �� ���� ) �� % =&� � ��| -��: � ) ���
.��� : 1� =&� �
SWV ]�� 54`4>
�� �1�X �� W%����) ) (��� -�"�=�+� s (���%� � � -)��� -���[� �� Y (i) <1Z� -�� SWV ��� �� ��
��#� �S��3� ��� ����� �� (��O&��
SWV (s) =
(�
s
s∑i=�
[Y (i) − 〈Y (s)〉]�)�/�
rj.dds
T��� ��1% ��&�� G1� �� ) (�# ��� � s @7&[� -��(���%� -��� �S��3� ���
SWV (s) ∼ sH rj.dLs
.��R� ���� Hurst -�1%
R/S ]�� 94`4>
(���%� �� ����[� �� ) (�# �&��� <1Z� -�� !�#� Y�Z%� DFA �� SWV �� �� �~%R �"%�� 6)� ��� ��
-��� 1� 9[� �� �� .�#� -�"�= �+� -)���
R(s) = Max{Y (s)} − Min{Y (s)}
S(s) =
(�
s
s∑i=�
[x(i) − 〈X〉]�)�/�
, s = �, . . . , N rj.dKs
��0 �� s \�;�� R/S T��� log-log ���1% �� (��O&�� �� �V&���% ) �%#� �S��3�
R(s)/S ∼ sH rj.Lms
.�eej! eeg� ����� � <� Hurst -�1%
Fourier Detrended Fluctuation Analysis��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
γο
σ
10 20 30 40 50 60
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
s
�� &O5�) $��� �� (�Z"I -���)�� (���%� \�; �� W%����) -�����I ���� �eiaj , #
WMAP �)���� �$������ 0��_8 ;4`4>
-)� �� ��� : � ) ��� �� =��(���R �# ��<� ���4� -��(��� ��&���� , 73� -����:�� ���&1�� �� $"��
.= �� ���X ���� ��� �� ���(�# (��� WMAP (����� U�� �� ��"���I 2�� ����R
G� $�"� �� (��� �&�� G� �� = +&�� (��O&�� !-���R -��>%��1� v� h �� !�# �&O� ��� �� 9 I �� �%>%�1�
�� �� #)� �&��� ������"� �#�� ���� '�S%� �� �� &����% c��&% !>&�S1� T��� �S��3� -��� -���R ,S���%R
-���R x�� != +&�� � h -��#)� �� (��O&�� �� �>�� -� �� ) �"� ���� �� -���R -��>%��1� �30 � G�
����(��� .�eej! eed! efK! eii! ejf� ��� ������� -�(^�) (�>��5 �� !��� ���� �� $�� � -��" �� 9���
-���)�� (���%� �� <��� \�; �� ��(��� W%����) -�����I �S��3� CMB -���R -��>%��1� ���� -��� 6)�
γs -���)�� (���%� \�; �� �� ��� W%����) reiajs , # .��� !�#� �S��3�W%����) $R �� �� -�(�Z"I
�� ���� $��% �Z &% ��� .�#� 8�S#� N�:� -���)� �� W%����) �� �#� (����� �Z"�� �� .���� $��%
6)� �� (��O&�� �� .�eej! eed! efK! eii! ejf� ���� �5) $�� � -��" �� 9��� �� ��� �"7� >&�S1�
.��R� ���� rejais , # ��0 �� CMB -��� q \�; �� �&��� = 1<� � ����� -�1% MF-DFA
Hurst��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
α
f(
)
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.020.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
αh
(q
)
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
q
τ(
)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-2
0
2
qSlope = 1.00
Slope = 0.79
70� -�� (��� -��� (�# �%)� $)�� : � ) ��� �� (��R ���� c��&% �ejaj , #
���1% \ # � "~1� .���� ��&���� �"? � 0�� CMB �� ��� � <X�) ��� �>%� � q �� h(q) >&���)
(��&�� .�eji� �#��� �.��± �.�� ) �.� ± �.�� �� ����� \ ��� �� q < � ) q > � -��� q \�; �� τ(q)
����� CMB -��� ����� -�1% ���+� .�#��� CMB ��&���� �"? � 0�� �� ��; : % >" >� @ P $��
. �ejf� ��� $�� � -��" �� 9��� �� ��� �"7� >&�S1� �5) �>%���1% �� !�#��� H = �.� ± �.�� ��
.����� � ��� : % -���R -��>%��1� �5) !�#��� G� ��� �� �&1� � 1� ��� � "�� �� �5� �� � "~1�
� � � "~1� �Z" �� �� .��� (�# (��)R reajs ')�5 �� CMB -�� � � ����� -�1 % � � US �� � -��� 1�
\ ��� �� CMB -��� ����� -�1% ���+� rredajs , #s R/S ) rregajs , #s SWV -��#)� �� (��O&��
MF-DFA 6)� �� (��R ���� ���+� �� �� �#��� HR/S = �. ± �.�� ) HSWV = �.± �.�� �� �����
(��R ���� c��&% !s \�; �� F�(s) ���1% �� �� +� ��&�� � F� �5) Y�� �� �5� �� .�eji��%��� %�[1�
.�#��� !WMAP (����� U�� (�# �0� -��(��� -���)�� �X� �� ,+&��
Hurst�
Hurst�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKe ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
γο
SW
V
1 2 3 4
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
s
H= 0.95
70� -�� (��� -��� ��&���� : ��%R �egaj , #
γο
R/S
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
40
60
80
100
120
140
s
H=
0.95
70� -�� (��� -��� ��&���� : ��%R �edaj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKf ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
WMAP �)���� ���� �%�. �%��� >4`4>
-��" �� 9��� = &O� �� ��%�1� .��� ���� �� 8]� ��� ��% ������ �� $��� MF-DFA 6)� �� (��O&�� ��
'�� ��� �� ���I -��� .���� �B% �� Y�_ $R DZ��"� �&��� ������"� ��� ��&���� �"? � ��� -���� $�� �
.�#� ���� ��&���� �"? DZ��"� �� �&���) DZ:5 $�"� �� =� ��� : � ) ��� $�� �� x�� �� ��� = ���
����� �5) ��&���� �"? x�� -��� �)�O&� DZ��"� )� 7� �P ��
O1 , ��� �L27 , P�O� ��6!�1<� �� Q,�R�� ����'��?(� 0I
"<� = %:� ��� �� ���� ��� -��(��� ��� ) ���� �� T��� �� �� ����� ��: � ) ��� T��� T��� ���; ��� ��
�&��� = 1<� ����� -�1% ) �&�� � ��� ��&���� �"? DZ��"� !=��S� � � �� �� $R �� �5� -��>&�S1� ) �B��;
.�# ���� q �� ,+&�� !h(q) !$R
�!2& S�.2� S��� .� H��T�� 0J
��� ���; ��� �� .��� �� T��� �� ��(��� T��� T��� ����� Y�� !��&���� �"? ��&�� ��Z�� �� `��� T��"� �>�� ��
$R �� !�# ,��S� �� /V ��� , # �� �<���� ��� -�� T��� T��� !��(��� , 73� �� ����%�&�� -��#)� G1� ��
.�# ���� q �� ,+&�� h(q) ��0
T��� ,��S� �� !�#�� ��&���� �"? � 0�� ��Z�� 'l�� =&� � �� @7&[� -��>&�S1� �� &��; �� ������"�
q \�; �� h(q) ���1% �� %��"? �)�O� !�#� (� ��% $��� �� � ������ �V;/�0� �� �� , # ����(��� T���
h(q) ���1% ����(��� $�� ��� �� � ��; �� !�#1% (����� !��� (��� Q� 70� -��(��� ��� �� �� �~%R ��
!�&��� ���� ,��S� �� (��O&�� �� � ������ 6)� �� .�� ���� hshuf (q) = �. ���+� ) �# ���� q �� ,+&��
,��S� G1� �� Wo� ) (��� v�] �[� T��� T��� �� ���4� ��� G� �� �� (��R ���� ���� ,��S� \���]
Surrogate��
Shuffled��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKi ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
X�� � F� $)�� ��>&�S1� ) (�� �� T��� T��� -���� -:��� �; � MX *��� �� �� ���(��� * <� ����
!��0 $R �� !�"#�� ��&���� �"?x�� ��Z�� 'l�� (�# ��| DZ��"� )� �� ��� .�#� � �� ��� (�%���
@ <] ��0 �� 70� -�� �� �S�% !hsur !(�# �� ) !hshuf !(��� ��� -�� )� �� �� `��� h(q) T���
.�� �"��� �&���) q �� -��
-��� MF-DFA 6)� �� (��R ���� c��&% �� (��O&�� �� $�� � -��" �� 9��� �� ��&���� �"? DZ��"� � <� -���
-���1 % !F surrq (γs) !(�# �� T�� � � � ����� �� %R T�� � T �� � �� ���(��� ) !F shuf
q (γs) (������ -��(���
��%#� � <� ��� �� +�
Fq(γs)/F shufq (γs) ∼ γ
h(q)−hshuf (q)s = γhcorr(q)
s . rj.LJs
)
Fq(γs)/F surq (γs) ∼ γh(q)−hsur(q)
s = γhPDF (q)s . rj.Les
D�P �� .��� hcorr(q) = �WI h(q) = hshuf (q) ��0 $R �� �#�� ��&���� �"?DZ��"� T��� T��� ��"� ���
���� hPDF (q) = � ) hcorr(q) �= � ��0 $R �� !�"#�� ��&���� �"? ��&�� ��Z�� ���� ��>&�S1� ��� �>��
hshuf (q) -��� 1� D��3%� .���� $��% �)�O&� � 0�� �� �� CMB -��� �� h(q) T��� reLajs , # .��
��#� � <� ��� ��0 �� ��<��� ���&1� T��� �� h(q) �� hsur(q) )
χ�� =N∑
i=�
[h(qi) − h�(qi)]�
σ(qi)� + σ�(qi)�, rj.Lfs
D��;� -��� ) ”sur” �� 70� -��(��� �� �S�% Surrogate c��&% D��3%� -��� ” � ” ��1% rj.Lfs ����<� ��
�5�� ���<� N s χ�ν� = χ��/N (N ���+� .�#� ��:>��5 !”shuf” � � � �)� -�� �� �S�% Shuffled c��& %
!>" � @ P .�#��� ���.�� ) ��.�� �� ����� \ ��� �� Surrogate ) Shuffled -��� r�#��� -���R
(��� ��� -�� -��� 1� �� �� -�"�I -���� � ��; �� (�� � �)� -�� �� � S# 7 � Surrogate �� `��� !f(α)
(�� Δαshuf = α(qmin) − α(qmax) � �.�� �� ����� (��� ��� -�� -��� >" � @ P -�"�I ���+� .�#���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKj ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
Shuffled data
Surrogate data
q
h(
q)
-3 -2 -1 0 1 2 30.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Original data
-�� 8% �� -��� �&��� = 1<� ����� -�1% ���1% �eLaj , #
-��7 # .�#��� G?� Δα =� �.�� !� �)� -�� ) !Δαsur =� �.� !Surrogate -�� �� ����+� �� ��
�� ��� ����+� .�"��� $��% �� (�# �� -�� ) (��� ��� -�� �� `��� c��&% rfmajs ) reKajs
�� `��� c��&% ����+� .��� (��R reajs ')�5 �� (�# �� ) (��� ��� -�� �� `��� �� +� -���1%
�"?x�� ��Z�� 70� ,��� �V S ��+ � �� ���� $��% (�# �� ) (��� ��� ) 70� -�� -��� MF-DFA
���S# ��P �� ) (�� N�:� ) G?� -��*� +� �� �)�O&� -��>&�S1� !$�� � -��" �� 9��� �� ��&����
�� � 0�� �� (�1� D��3%� -��� -���# �5) Y�� �� ��_� 70� -�� �� (�# �� -�� �� `��� c��&%
.�eji����� CMB $��
-��" �� 9��� �� $�� �� � 0�� �� D��3%� -���+� Extended Self Similarity 6)� �� (��O&�� �� �V� ��
D��3%� $�: � $��� 1E � -��� ����� $��% �� ()�� ��� c��&% rfJajs , # .�ejj� ��� (�# 6��:� $�� �
9��� �"5 ) ��1# (��= % $�� �� � 0�� ���� � "~1� ) CMB �� T��� T��� �� G?� �"?��
G� -��� = %��� �� ��%�1� .��� (��O&�� �%�# �S��3� ,SX �1�X �� �� KM \���] �� $��� $�� � -��" ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKg ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
h(
q)
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
α
f(
)
0.49 0.495 0.5 0.505 0.51
0.98
0.985
0.99
0.995
1
α
q
τ(
)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0q
Slope = 0.48
(��� �� -�� -��� ��&���� : ��%R �eKaj , #
α
f(
)
0.86 0.88 0.9 0.920.93
0.96
0.99
αh
(q
)
0.85
0.9
0.95
1
q
τ(
)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
q
Slope = 0.74
Slope = 0.92
(�# �� -�� -��� ��&���� : ��%R �fmaj , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKd ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
(�# �� ) (��� �� !70� -�� (��� -��� (��R ���� -���1% �eaj ')�5D τ H Data
�.��± �.�� �.��± �.�� �.�± �.�� CMB
�.��± �.�� �.��± �.�� �.��± �.�� Surrogate
�.���± �.��� �.��� ± �.��� �.�± �.��� Shuffled
q
ξ
1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
1
1.5
2
2.5
Gaussian ProcessCMB
q
-��" �� 9��� -��(��� ) �� -�l� G� -��� . *� . *� . -� 6)� �� ,0�; c��&% ����+� �fJaj , #$�� �
����� �� �"�R��
〈T �〉�〈T �〉� = �
-��� � 1� ��� !rrfajs ')�5s $�� � -��" �� 9��� -��� @7&[� -��%�1� ����+� �� �5� �� .�#��� ���X��
) �.�� ± �.�� !�.��� ± �.��� ����+� -���� \ ��� �� �"5 (��= % ) ��1# (��= % !CMB ��+% Y�1�
"<� �� �"�R�� -��� ��_�� $�1� �� D���&� -�>�� �;�) � 1� .�#��� �.��� ± �.��
〈T 〉�〈T �〉� = �
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKL ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
.�#��� �.��� ± �.�� ) �.�� ± �.��� !�.��± �.��� �� ����� \ ��� �� : % 7SX �1�X �� -���
�� �%��� ��� $�1� .�#��� �O0 � h CMB ��+% 7SX �1�X �� -��� 〈T �〉 ) 〈T �〉 �� `��� ����+� � "~1�
�"5 ) ��1# (��= % !��(��� ,� -��� @7&[� \���� -��%�1� ����+� �faj ')�5
〈T �〉 〈T �〉 〈T �〉 〈T �〉(−�.��± �.���) (�.��± �.���) (−�.��� ± �.���) (.�� ± �.��) Whole
×��− ×��−� ×��−� ×��−� sphere
(�.��� ± �.���) (�.���± �.���) (�.���± �.��) (�.�� ± �.���) Northern
×��−� ×��−� ×��−� ×��−� hemisphere
(−�.��± �.���) (�.���± �.��) (−.��� ± �.��) (�.��� ± �.���) Southern
×��− ×��−� ×��−� ×��−� hemisphere
�"5 (��= % � ;�% .�) � �� � $�� � -��" ��9��� ��+% @7&[� ;�% �� Y�� ) ��� `�+% �5) �� -���# $�"�
.���� ��� � >%� � �� �S�% ����� ;�% -���R $�� \��h �� ��_� �� �#��� Y� $�1� -��� O"� ���+� -����
T n $��� v�] �� $"�� .���� '�S%� �� W ��� �Z &% �� �#��� �Su� ��1# (��= % -��� � 1� � 1�W ���
Y�n �S��� $�1� '3� -��� ��� ����<� !T -)� -� � '��>&%� ) rrj.gms ����<�s G%/I a��� ����<� � ��P ��
���R� ����
d
dφ〈T n〉 =
∞∑m=�
n!(n − m)!
〈D(m)(T )T n−m〉 rj.Lis
��eem� ��R� ���� ��� ��0 �� KM \���] \�; �� Y���? $�1� -��� '3� ����<� !n = � �&��� �B% �� ��
d
dφ〈T �〉 = �〈D(�)(T )T �〉 + ��〈D(�)(T )T �〉
+��〈D(�)(T )T 〉 + ��〈D(�)(T )〉 rj.Ljs
�� �� Y���? $�1� ���+� $��� $�� � -��" �� 9��� ��+% @7&[� -���1�X -��� KM \���] �S��3� �� $"��
) ��1# (��= % -��� KM \���] �� `��� ����+� riajs ')�5 �� .��)R ���� ��� ��I �S��� -��$�1� \�;
�� �"5 ) ��1# (��= % 9[I ) ��Z��5 \���] rfeajs , # .���(�# (��)R ,+&�� ��0 �� �"5
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
JKK ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
������"� �� ���� φ �� ,+&�� rj.Ljs ����<� �? �1� -���R -��>%��1� �&��� �B% �� �� .���� $��%
��eem��� ���� ��� ��0 �� �"5 ) ��1# (��= % -��� ��� ��I �S��� -��%�1� \�; �� Y���? $�1�
〈T �〉north = (�.�� ± �.��)〈T �〉� + (�.���± �.���)〈T �〉√
〈T �〉,
〈T �〉south = (�.�� ± �.�)〈T �〉� − (�.���± �.���)〈T �〉√
〈T �〉 rj.Lgs
\ ��� �� �"5 ) ��1# (��= % -��� rj.Lgs �_��<� ��
〈T �〉 = (�.���± �.��) × ��−�
√〈T �〉 = (�.��� ± �.���) × ��
−�
〈T �〉 = (−.���± �.��) × ��−�
√〈T �〉 = (�.�� ± �.���) × ��
−�
��eem�=���� = �� Y�Z%� CMB ��+% ,� -��� �� 7SX ��S��3� ��� .�"#���
〈T �〉 = (�.�� ± �.��)〈T �〉� + (�.���± �.���)〈T �〉√
〈T �〉 rj.Lds
-�� � 1� rj.Lds ����<� ��
〈T �〉 = (−�.���± �.���) × ��−�
)
√〈T �〉 = (�.�� ± �.���) × ��
−�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emm ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
T
D1
(T
)
-2 -1 0 1 2-1
-0.5
0
0.5
1
North HemisphereSouth Hemisphere
TD
2(
T)
-2 -1 0 1 20.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
North HemisphereSouth Hemisphere
�"5 ) ��1# (�� = % -��� '��� a ������ \���] �feaj , #
-��" �� 9��� -��� �� T��� T��� �� ?� D��3%� �� �"�� � $��% rj.Lds ) rj.Lgs �_��<� .�"#���
�� �S�% T��� T��� Y� �� ���� $��% ��1# (��= % -��� f ��� �� 〈T �〉 \��] $�� �& ?� .���� �5) $�� �
�� �S�% T��� T��� Y� $�� ��_�� (�"�� $��% �"5 (��= % -��� � 1� � 1� !��� �� � ��I �� ���;
����� MF-DFA 6)� �� (��R ���� c��&% � � : % �� ���; �� G?� �V &S�% D��3%� ��� .�#��� ��
.�eem! eji�����
�"5 ) ��1# (��= % -��� '��� a������ \���] �iaj ')�5
D(�)(T ) D(�)(T ) D(�)(T ) D(�)(T )
�.���− �.���T + �.����T � −�.���− �.���T �.�� − �.���T −�.���T Northern
−�.���T � + �.���T � +�.���T � − �.���T � +�.��T � hemisphere
�.���− �.���T + �.���T � �.���− �.���T �.�� + �.���T −�.��T Southern
+�.���T � − �.���T � −�.��T � − �.���T � +�.���T � hemisphere
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emJ ����� #�.���/ 01�* 2���!3 4 ���
V����� &�U (�� ��Y ZB6
��� �� 7E�� 'P ) 'P ��� � � +�"� P�S��� $��� !ΘMarkov !D���� 'P �: � -�"<� �� �5� ��
��� �� = +&�� ��0 �� �: � ���/P� �� �Z%R �� .��� ���X�� ��"���I 2�� ����R $��� �� !Θcau !����) �
2�� ����R -)� �� ����) � ��� �� �~%R = +&�� ��0 �� =���&�%�� $"�� �O� $��� !�#� ,+&"� ����) �
� <� !�#� `��� !θac = θcau/cs ! &��R ��� �� cs �0 �C� ���� � 1� �� ) (�# (� ��% ��"���I
�; �� '�+&%� �&����I ���+� !ΘMarkov = �.��+�.��−�.��
"<� CMB -��� D���� ��)�� 'P ���+� G1� �� .= "�
"3"� �� (��O&�� �� � 1� ��� �� ="�� -�)R��� .RMarkov ≡ R = �.���+�.���−�.���
�� ��� ����� �σ �����
���5 -�0� � X G� $�"<� $"�� RMarkov � 1� .�#��� R = �.��� ± �.��� �� ����� -���)�� $�� @ P
.�eem� �"� �O�� ���� 9+% !��"#$�� � -��� 1� ��S&�� (�)�3� ) ����+� � <� �� �%���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
���
���2 �3���
�� ��"#$�� � =�� -��� 1� ) ����+� ��&�� �� .=���� ���X ���� ��� �� (�1� �3S� )� ���% $���I ��� ��
!�� "#$�� � =�� ,0� )� �� (�� O &�� ) ��� &�" �R Y�� � S� % $�� � �_��<� �� (�� O &�� � � .= ���� @��< �
N�:� -���� +� �� $�� � G ��"�� �� =��; �_��<� !(��� G��&� G� �t��� ) -��>%��1� ) ">1� "<�
�� (��O&�� ) $�� � (�%��� �0�"� �� �5� �� .�%�# � <� !�%��� Y�% FRW �_��<� �V;/�0� �� !rl ≥ ���Mpcs
!9��� !(�)� �� -��� !��>? ) *� +� ,��� >&���) !���� $��% �� ��>? ) ���� � � `�S��� �� ���; ����<�
�t��� �� .�# $� � �4&[� ��0 �� ��"#$�� � ����%�&�� '�� �/ �� ���&1�� .�# � <� !\��h -H�%� ) (���
'�� ,���� ���&1�� �%>? �� =���� $��% !T��� �� �� `��S%� (�)� G� �� $�� � "<� !��� ����%�&�� '��
)� !�"�� �O�� �� 1�� 9+% ΛCDM '�� �� �� ��"#$�� � ���C ��<� �� .�#� ,; !��"#$�� � ����%�&��
, �� .=���� ��<� !���C ��� ��� �7l�� $�"� �� �� %�� � ����� ) @��A = B"� �7l�� "<� !$R ���� , ��
�%��� ��� �� =�H� �� $��%�� N�:� \S� �� �� !7E� ��� (���%� �� �& ?� �) N�:� *� +� �� �����&���
.=���� ���� Y)� ,4� -��&%� �� �� �%���% & S�% ��3 34� �� -�� % ��� �� �S�% $�� �& ?� \S� �� )
eme
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emf #�5 .6��! 7 ���
�� .�# ��<� !�#� (� ��% -)�� 9S�� '�� �V;/�0� �� ��� h =�H� �� ��&��� '3� (��� �� �� '�� G�
-��'�� �� ,+&�� ��0 �� ��%R ����+� �� -�0� -��%��R !Y� ,4� �� !��"#$�� � -��� 1� ���"#
��"#$�� � �� ����%�&�� T1# $�"� �� �� Ia 8% -���&��%��� .�%�# z�P !�%#� � <� !G���� -H�%�
�70�� ) (�# ��<� �%��� $�� � G ��"�� � <� �� 1�� 9+% rz ≤ �.�s G?� -����� �� '�+&%� �� -�0�
2�� ����R -)� �� &��R ��%��% �7X �� (��O&�� �� .�# � <� '�� -���&����I \�; �� ��"����
$�� a $���� (��# ��%��% -�I�� �� %���� ��%��% .�# ��<� $�� � -��" �� 9��� '�+&%� �&����I !��"���I
Q�� -��%�� �� >&�S1� T��� �� (��O&�� �� !�"#��� *� +� N�:� -����&��� -)� �� �� &O5�) $��)� ��
>&�S1� T��� �� �0�� ���� -� �(���%� �� �V1 +&�� �� �#� W��%� .�# ���� !SDSS 9����R U�� $�����
.�# 6��:� !�&����I ��� -��� (�# �t��� ���+� ���� � X� ) (�# ��<� !�#� � <� N�:� -����&���
����<� �� �5� �� .�%�# ��<� !�"&�� D)�<� Quintessence -����� �� �� G���� -H�%� -����� �� �&�� G�
$� � �&����I -���<� \�; �� ��%R ���; �&����I �� %�� ) 1&���>� &��"# (���I '�� )� !G���� -H�%� ���;
�� '�+&%� \�; �� ���; ����<� U�� �� ���"��� \���� �� <��� � "? �� �# �B;/� .�%�# ��<� !�#�
�� ��%�1� .�"� @ 0� !�%��� ���X Q�� �� '�+&%� �� < �) (��� �� �� %�� � ���C� �%��� ���� !�#��� Q��
�� �5� �� �>�� D�P �� .�""� ,; �� %�� � ����� �7l�� �� �X� �� �"%��� (�# ��<� '�� )� �� =����
���| G�: � � � +�"� P�S��� $��� !�#��� -H�%� ��>? � "? ��Z�� 'l�� �� -��� �� , �%�&I ) $�� �
) '�+&%� �&����I !Ia 8% -���&��%��� -�0� -��� X G1� �� .��� ��Z�� !-�0� c��&% ) _�� -��-H�%� ) -�� "�
�5� �� G?� Q�� �� '�+&%� �� %���� &��R $��% !$�� � -��" �� 9��� -���)�� $�� @ P -���7X $� �
(��O&�� �� �>�� � �� ��%R c��&% \ ��� ) �dFGRS 9����R �� �5� �� ����&��� �#� W��%� ���+� ) SDSS c��&% ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emi #�5 .6��! 7 ���
G���� -H�%� '�� �� ��� $��% c��&% .=���� � <� �� ����� -���&����I Y�1� ��S&�� (�)�3� !��1% ���� : ��%R ��
.�%� � ���X �5� ��� ��"#$�� � ���C ��:>��5 $�"� �� �"%��� : % %�� ) 1&���>�
� �)� ���+� �&��� �B% �� ) '�; $��� �� ,��� ���C ���+� -��� HST-Key 9����R �� (��R ���� � X $��� �� � ��
(�# z��� �V� �� �� �1� $��3� �7l�� !(�# ��<� '�� )� -��� !w� = −� !'�; $��� �� ���; �&����I ���+� -���
G���� -H�%� �� $�� � �M; �� : % ��&��� , �� .�#��� ,; ,��X !ΛCDM ����%�&�� '�� D/� �� ! ���
.���� ���X ���� ��� %�� ) 1&���>�
2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� !-���R , 73� ��% -����:�� �� -� �(��� �� !���% $���I ��� Y)� 9[� ��
��& �� �� .���� ���X �<���� ��� ��� (�# (��� emmf '�� �� WMAP (����� U�� �� rCMBs ��"��� I
) �&�S1� T��� T��� $��� � �� .�# @ 0� ��%R ��&���� �"? , 73� ) ���4� -���"�R�� : ��%R ��:�� ���&1��
(� Z%� G� ��0 �� CMB �� =���� $��% .�%�# � <� CMB -��� D���� ) >&�S1� -���)�� *� +� !P�#
-���"�R�� �� � "�� �� �5� �� .�"�� ��&�� !�σ ����� ���� �� ΘMarkov = �.��+�.��−�.��
-���)�� (���%� �� D����
�� ����) � ��� ) D���� ��)�� � � >"��>"� `�S��� �� ���� �B% �� !�#� �O; D���� 'P �� �B��; D����
7E� ��� �� $��� �� �� = +&�� ��0 �� �: � ���/P� �+ +; �� .���� �5) ��"���I 2�� ����R -)�
����) $)�� ) = +&�� ��0 �� ���" 1��� ���# D���� 'P �� D���� -���"�R�� $��� �� !�#� ,+&"�
'��� a ������ \���] ) D���� -���)�� *� +� � <� �� WI !D���� -���"�R�� G�: � �� �5� �� .�� = ���
G1� �� .�%�# (��� !��� : � ) ��� � ����� $)^%_ ����<� ) T��� T��� ��>? G%/I a ��� ����<� !CMB -���
��� $��% c��&% .�# � <� $�� � -��" �� 9��� �� +� -���1% ) ��&����x�� !��&���� �"? , 73� -��#)�
9��� ����� -�1% �� �5� �� .�#��� ��� �"7� >&�S1� -���� ) ��&���� �"? ��&�� �� -�"�R�� !CMB ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emj #�5 .6��! 7 ���
�3� >&�S1� T��� ����)�% -�"<� �� �� -���R -��>%��1� �30 !H = �.� ± �.�� !$�� � -��" ��
T��� �� ?� D��3%� !��&���� �"? : ��%R ) ��� G%/I a ��� ����<� G1� �� .�#� � 1M� !�7�)� $��)�
T��� T��� �� �#b[�� !�"5 ) ��1# (��= % -��� ��#)� ��� $����� � �� � "~1� .�# (����� �� T���
) �"5 (��= % �� Y� $�1� $�� O"� .�"#��� ����I �� ���; �� �S�% !(��= % )� �� �� ��� : � ) ���
!��1# (��= % -��� Y�� ;�% ) �"5 (��= % -��� ��� ;�% $�� \��h �� ! ��1# (��= % �� $R $�� �Su�
.���� ��_� -���R ��0 ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
A �� �
��� �04� .����
�� =����% ��B&%� :��� �>�����R &; ) ��>�����R ,���) � B% ������)�3� \S� �� -����Z� Y7� ��
� <� -� �(���%� -��� �S��3� �� �� $R ��S&�� ) �X� $��� ��� .�#�� <X�) ���+� D�<� !(��R ���� ����+�
(�1� �&�� )� �� $��� �� ����� .=��)R� : % �� $R " 1[� -��� !�Z &% �� �� (��1� ��� ��� -��� .���
�&�� G� ���� ��1� �� $R ���+� �� ��� ����G ��1&� � -��� .��� -�"�= �+� -�(���� ) G ��1&� �
=� �� $R $�� O"� �� �Su� '�1&;� ) �"�� � F� �� ��� ���� : % -�(���� -��� .��� ���C -� �(���%�
�%#� \S�G ��1&� � -����� v� h �� ) .�%��� �5) 9����R G� �� (��1� ����� 8% ��� .��� -)���
()/� �� rrJaAs , #s �%# (��&�� �B% ��� � 1� + +; ���+� D��P� �� ��&� -��-� �(���%� c��&% ��
(�# �Z��5 ���+� G� D��P� �� � 7� + +; ���+� D��P� �� �% c��&% !�#�� �5� : % G ��1&� � -��� ���
�S��3� �� ) .��� �� #R ��-� �(���%� ��� � �� $��� �� -�(���� -����� .rreaAs , # s�%#� (��&��
-��� ��� �� 8]� ��� ��� .��� �� G��:% + +; ���+� �� �� =��)R� ���� -��� ���; � >%� �
.=�����o� 9����R G� �� ��� �S��3� �� �� =��(���R $"�� ���+� ��� �� .����% � <X�) G ��1&� �
emg
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emd #���3 #�,�89 ��31 A �:��
�%# � (�"���I <X�) ���+� '; ��-� �(���%� G ��1&� � -��� v� h �� �JaA , #
�%#� ,+&"� ���C ���+� (���%� �� ��-� �(���%� G ��1&� � -��� �M; �� �eaA , #
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emL #���3 #�,�89 ��31 A �:��
��#�� (��R ���� ��� ��0 �� = +&�� 9����R U�� � 1� G� �� -� �(���%� �� N � "� ���
x�, x�, x�, ..., xN rJ.Js
��� ��� ����� Y�i -� �(���%� �� ��� ������"� �#�� X �� ����� � 1� <X�) ���+� ���
ei = xi − X rJ.es
��� ��� ����� -� �(���%� $�1� -��� : % rσs�� <� -��� )
σ� = 〈e�〉 =�
m
m∑i=�
e�i =∫ ∞
−∞(x − X)�f(x)dx rJ.fs
�P �� �� �� -� �(���%� G� G� �&��� ���X '�1&;� f(x)dx � 1� �� ��� T��� T��� f(x) !rJ.fs ����<� ��
��"���I "<� T��� ���&�� (�"��1% σ � 1� .���� $��% [x, x + dx] (��� �� (�# �&��� T��� �� -�(����
.��� ��-� �(���%�
>������ ����� (�:; $BA
-��� v� h �� <X�) ���+� �� � 1[� ���&�� $�"� �� �� ���; � >%� � -� �(���%� �&�� G� -��� �� �Z%R ��
'�u� G� �� � �� (��5� .= #�� �&#�� � 1� ��� -��� ��� �� " 1[� &���� ������"� �#� 6��:� G ��1&� �
G� �� �� � "���� .= "� ���� �� $R � 1[� 6)� � "~1� ) σ �� � >%� � �� <� -��� �)�O� ) � 1��
Y�Z%� �S��� m �� ��� ��� = ��� $��% x(�) �� �� $R � >%� � ) = �� Y�Z%� � 1� G� �� -� �(���%� m 9����R
��#�� = ��� ��� ��0 �� �� ��� >%� � �� ���m -���1Z� ������"� WI = ���
x(�), ..., x(m) rJ.is
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
emK #���3 #�,�89 ��31 A �:��
�� �� � >%� � �� ��� .�#� (� ��% � >%� � �� <� D��3%� �V;/�0� �� = ��� $��% σm �� �� ����� ��� ��"���I
�= "�� @��<� ��� ��0 �� -� �(���%� � ��i �� ��� �� �5�
E = x − X =�
m
m∑i
ei rJ.js
�=���� rJ.js ����<� �5� ��
E� =�
m�
m∑i
e�i +�
m�
m∑i
m∑j �=i
eiej rJ.gs
�=���� ����1Z� ��� -)� -� �U�&� �� ������"� = #�� �&#�� ��U�&� �� ��1Z� ��m �� =�� >� �B% �� ���
〈E�〉 =�
m〈e�〉 rJ.ds
G� G� �� �� <� -��� ) � >%� � �� <� -��� �>%���1% \ ��� �� σ� = 〈e�〉 ) σm = 〈E�〉 !rJ.ds ����<� �� ��
�� �Z%R �� .�� � 1[� =� �� σm $��� ��0 $R �� = #�� �&#�� σ �� �� � 1[� ��� .�"#��� -� �(���%�
�= "�� (��O&�� ��� ��0 �� ��(�%�1 X�� @��<� �� WI = %��1% �� X "<� � 1� <X�) ���+� _V 1<�
di = xi − x = ei − E rJ.Ls
��#��� ��� ��0 �� d � 1� �� <� D��3%�
s� =�
m
m∑i
d�i =�
m
m∑i
e�i − E� rJ.Ks
�=���� ����1Z� -)� -� �U�&� �� �#��� ��1Z� G� �� `��� rJ.Ks ����<�
〈s�〉 = σ� − σ�m rJ.Jms
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJm #���3 #�,�89 ��31 A �:��
�=���� rJ.Jms ) rJ.ds �_��<� G1� ��
σ� =m
m − �〈s�〉
σ�m =�
m − �〈s�〉 rJ.JJs
�WI .��� s� $R -��� � 1[� ���&�� ��� �� % Y7<� 〈s�〉 � 1� �� � "� �5�
σ ∼(
m
m − �
)�/�
s
σm ∼(
�
m − �
)�/�
s rJ.Jes
��� ��� ����� � 1� -��� (�# 6��:� ���+� �V&���% )
x = x ± σm rJ.Jfs
&����� I�0� I2� �4��[ (�:; >��\ 'BA
��� 4 � ��� + � � �m !n ��5 �� ξ ��� 4 � � F & � !� " � �� � '� 1 & ;� �� > ? -� � � � S �� 3 � -�� �
� F&� � "�� '�1&;� !P (T, n) T��� @��<� �� �5� �� .�" � v�[&%� �� ξ(n) = T�, ξ(n) = T�, ..., ξ(n) = Tm
�� T ���+� ��� k ��� �>�� D�P �� .���� ���� �"� v�[&%� n ��5 �� [T, T + dT ] (��� �� -���+� ξ ���4�
�=���� '�1&;� T��� G1� �� ��0 $R �� �"� v�[&%� n ��5 ��
P (T, n) =k
m= p(T, n)dT rJ.Jis
.�#��� '�1&;� ��>? p(T, n) ���S� rJ.Jis ����<� ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJJ #���3 #�,�89 ��31 A �:��
�=���� -� Z%� �&�� 6)� �� (��O&�� �� '�1&;� ��>? T��� �� '�1&;� T��� -��� �S��3� -���
ΔP (T, n) =Δk
mrJ.Jjs
��#� @��<� ��� ��0 �� ) �#��� T ���+� -�]� �� ���<� W%����) Δk � 1�
(Δk)� = 〈(k − k)�〉 rJ.Jgs
�=���� �B"� ��� -��� = "� � <� �� ���<� U�&� ��&�� &���� Δk � <� -���
k =m∑k
P (k)k rJ.Jds
��#� � <� -��715)� T��� T��� G1� �� P (k) � 1� rJ.Jds ����<� ��
P (k) =m!
k!(m − k)!pkqm−k rJ.JLs
�=���� � "~1�
(p + q)m =∑ m!
k!(m − k)!pkqm−k = � rJ.JKs
� WI
〈k〉 =∑
kP (k) =[
∂
∂p(p + q)m
]p = mp rJ.ems
)
(Δk)� = 〈k�〉 − 〈k〉� = mpq rJ.eJs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJe #���3 #�,�89 ��31 A �:��
���R� ���� ��� ��0 �� rP (T, n)s '�1&;� T��� T��� -��� rJ.eJs ����<� �� (��O&�� ��
ΔP (T, n) =Δk
m=
√mpq
mrJ.ees
&���� 0����� ]���! (�:; >��\ )BA
�"<� \���] ��� @��<� �� �5� ��
D(q)(T ) = 〈(T ′ − T )q〉|T=fixed rJ.efs
=∫
(T ′ − T )qp(T ′, n′|T, n)dT ′
=∫
(T ′ − T )q p(T ′, n′; T, n)p(T, n)
dT ′ rJ.eis
��� ��� ����� � 1� ��� -���
(ΔD(q))� =∫ {[
(T ′ − T )qΔp(T ′, n′; T, n)p(T, n)
]�+[(T ′ − T )qp(T ′, n′; T, n)Δp(T, n)
p(T, n)�
]�}dT ′
rJ.ejs
-_�� �; $��)R ���� ���� =�� (��� �B% D�0 �715 )� W%����l� -��� �� rJ.ejs ����<� �� �� � "� �5�
.��� ��� ���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
B �� �
��� �05.�. �.�� %"�
9����R �� (��R ���� c��&% �� -�l� (� ~ I '�� G� 6���� �� �VS��h ��9����R �� -�� �� ) -����Z� Y7� ��
.= "� � <� �� ��%R ��S&�� (�)�3� ) (�� � 1[� �� -�l� -���&����I &���� ��� �� ��� �� .=�#� )��) �
� 1� .= #��� !���� = +&�� -��-� �(���%� ) ������� �� �� ����� ���&�� �� ��� '�S%� �� : % TX�� ���
�� <X�� � "? �� .�#�� �&#�� �� , # G� �� -��715 �"? G� �"%�� -�(��� �� �� , # '�� �� ���
!���&����I �� Y����� �� �#�� �� % ��� � 1� �>�� D�P �� .��� 1E � �� '�� $��� ����%�&�� -��6)� �� ����
��>��� ')��&� -��6)� �� �#� )��) � ���9��? �� $��� '�� � <]) ��� �� .�""� �]�� �� ��:Z� '��
��%R G1� �� �� = &�� )��) � (�# � +� -���� %) �� �� -���1Z� �� �V���� ��(��� $��� '�� �� .�#��1%
T��� G� &���� (�# ��| D���� -��� .= "� � US��� �&� I \��"� T��� �� �� �&��� `�+% �� -���1Z�
TX�) �� ) �#� � <� \��"� T��� -���&����I G1� �� ��(��� ) '�� ����� .= "� ;��P �� v�[&%� �\��"�
Y�� �5 ) \S� �� .= ��� 6���� -���&����I ���&�� ��%R �� �� �""�� �" 1� �� \��"� T��� !���&����I ���&��
/V ��� '�� ��� &; !�#�� �&#�� ,��� ����� '�� �� (����� G� �� =����% ��B&%� :��� !��Z� -��(��� �� � <�X
Meritfunction�
eJf
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJi #���3 #�,; � � � �� B �:��
� 6���� 6��� G3� �� !�% �� ��� \��"� ��(��� @ 0� -��� �&�� ��� �� '�� � "�� � <� -��� .�#�� 2 30
���&����I -��� \��"� ���+� $��)R ���� �� WI TX�� �&� � �� .= "�� ��<� �� $R ����� �� �� = "�� (��O&��
�&��� �B% �� -���R -����� �C� �� �#� ���� ��� ��� .= "� �S��3� �� ��%R -��� ) ��S&�� (�)�3� &����
�= &�� )��) � ��� ,;��� �� ��(��� $��� '�� -��� �0/� �P �� .�#
$R -���&����I ) '�� , # � <� rJ
�rMLEs��1%���� 6)� �� -� ���� re
-���&%�� ) �rMRLs (�# �C� � S�% ��1%���� �� (��O&�� �� ��%R � � >&�S1� ) ���&����I -��� � 1[� rf
������ ����
��Z� c��&% �� '�� 6���� &��� $�: � � <� ri
�� ��<��� ���&1� '1<� 6)� !=�����o� ��1%���� , 73� ) '�� � <� Y�� 6)� �� � "�� �� ,SX � �� (��5�
.=�����o� $R 7� 6)� �� Wo� ) =���1#�� ��%R -�����)�3� ) = "� ��<�
&����� /�� �2 �7>��\ ,� %���J /2 S��2�� >����� $BB
��0 �� ��+% N ,��# �� ������� � "� ���
(xi, yi) , i = �,�, ..., N re.Js
Goodness of fit�
Maximum Likelihood Estimation�
Marginalized relative likelihood�
Level of confidence�
Least squares�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJj #���3 #�,; � � � �� B �:��
�(�>%R �#�� �&����I M -���� (�# �&��� �B% �� '�� ��� .�#��� xi �� \�&"� � 1� yi ) �&����I xi �� �#��
aj , j = �,�, ..M re.es
��"�� " � 9 I �&���) -��� F&� ) (�# Y�Z%� ,+&�� -��-� �(���%� � � <��� ����� G� '�� )
y(x) = y(x; a�, a�, ..., aM )
= a� + a�x + ... + aMxM−� re.fs
��#�� ��� ��0 �� �%��� re.fs ����<� ��7� , #
y(x) =M∑
k=�
akXk(x) re.is
���&1� ��� �� �� �� �~%R .�#� (� ��% ���I T��� �� ��� x �� ��[�� T��� �� !Xk(x) T��� re.is ����<� ��
�&�� (��� Z&�5 ���&����I -�M� �� ) = ��� , �� �� �\��"� T��� �� ��� ��� �� �� Y�Z%� ��<���
���� ��� ��0 �� T��� ��� , # �"� �" 1� �� T��� ��� �� = "�� v�[&%� �� '�� �� ����&����I
χ�({a}) =N∑
i=�
[yi −
∑Mk=� akX(xi)
]�σ�i
re.js
) $�� � �� ��%R �#�S% Y7<� ��-� �(���%� -��� ��� .�#��� -� �(���%� � ��i W%����) TX�) �� σi ����<� ��� ��
� �� (��5� .�ejg! ejd� �#� Y�Z%� -��<&� -��#)� �� χ� T��� $��� �" 1� .=�� �� �B% �� �;�) �� �����
�=�����o� re.js ����<� ��� �� ���� '�l� )� ���� ��
k�"�R� ���� T��� ��� $��� �" 1� �� '�� -���&����I ���&�� ��? aJ
k�� ? ��� ��&�� $R �� re.js ����<� �� 7� ,0� !�V���� ae
mericfunction�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJg #���3 #�,; � � � �� B �:��
�� �� �� = ��� '�l� ��� �� ���I '�S%� �� .=���� �� % '�1&;� �" � � ��� 1[� �� �_�� ��� �� ���I -���
'�� $�: � �? �� "<� $�� ���� �� �B"� k�� ���� ���� ��1&;� �? �� {a} (�# � <� -���&����I �� �&��
9����R �� (��R ���� c��&% ��1&;� �? �� !{a} ���&����I �� �&�� �� �>�� %� � �� ) k���� %�[1� 9����R ��
yi -� �(���%� �� � "� ��� .= "� ���X�� re.js ����<� �� ��"<� `�S��� �� =��(���R $"�� k�"��� ���� ��
�� T��� T��� -���� y(xi) "<� �#� (��� '�� U�� �� -���+� '; ) (�� ��-� �(���%� �>�� �� ,+&��
�=���� (xi, yi) -� �(���%� �� -��� ������"� �#�� σi �� <� D��3%� ��
Pi ≡ P (xi, yi; a�, .., aM ) re.gs
��� ��� ����� ,� '�1&;� WI
L(a|(x, y)) = P ((x, y)|a�, ..., aM ) =N∏
i=�
Pi
=N∏
i=�
�√�πσ�i
exp
[(yi − y(xi))�
�σ�i
]re.ds
�� �� &�� -��� re.js ����<� $��� �" 1� �� P ((x,y)|a�, ..., aM ) '�1&;� $��� �" � � -��� 6/� ��� 2]�)
��-� �(���%� ��� !��� '�1&;� �" � � ��� 1[� G� �+ +; �� ��<��� ���&1� 6���� .���Z%�� �" �� '��
���<� �� ���� �&� � �� .�"#�� (�# T��� �� T��� G� ��0 �� U�&� ���+� '; ) �"#�� �>�� � �� ,+&��
) (�# )��) � 9��? �� T��� T��� $�� �� ��� !�"#�S% �>�� � �� ,+&�� �1] �� ) �#�S% ���� ��-� �(���%�
.= &�� '�1&;� �" � � ��� 1[� �� = +&�� (��O&�� �� �"��� %
) (��� ���; '�� -���&����I -�M� �� �� ��� ��� �#� Y�Z%� ,1� �� �� �~%R ��<��� ���&1� ��� �� ��
-� �(���%� �� �5� -�� ���)�3� , �� �� (��� � .= "�� �� I χ� �7�� �" 1� �� ����� '�� -���&����I �&��
�%��1&� 2�03 1 �� 4�-�� 4��� 5�6��� �7�&' 18� 9 � ��": ;�<�" �� ��=> -� 9?�?� �� #��� 1 �� @��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJd #���3 #�,; � � � �� B �:��
�#��� re.Ls ����<� '��>&%� ���+� �>%���1% (�� �#�� � ;�% �JaB , #
� 1�� �� (��R ���� '�� � O � � <� ������"� .���� W <��� ) -� �(���%� �� �S�"� �V+ X� ��� $��1%
-�M� �� �5� -���&����I �&�� � "�� '�1&;� $�: � �&��� TX�) �� 6���� � O � G3� .��� ������� -�(^�)
� "<� .���� ���� χ�min -)��� ) �&��:� ���χ� !-�&����I
Pχ(χ�; ν) =∫ ∞
χ�
pμ(μ, ν)dμ = Q(ν − �
�,χ�
�) re.Ls
� �ejg� �� ��� ����� pμ(μ, ν) !re.Ls ����<� ��
pμ(μ, ν) =μ
ν−�
� e−μ�
�ν/�Γ(ν/�)re.Ks
Q < �.� ��� .�#��� ,����% -���� T��� Q(ν−��
, χ�
�) ) �#��� '�� -���R �5�� ���<� �>%���1% ν = N − M )
T��� !��;�P ��0 �� rJaBs , # .�#��1% v� (�# �t��� '�� �� ��� "<� ���� ��R ���� Q > �. ��
T5�� �� $��� 7� ���; -��� = "�� ��SC� �� χ� T��� T��� , # !ν = � -��� .���� $��% �� Pχ '�1&;�
� "<� �#� �&��� ��� ��0 �� χ� T��� �+ +; �� .��� �<5��� �ejL�
χ� = x��
+ x��
+ ... + x�ν re.Jms
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJL #���3 #�,; � � � �� B �:��
-���R �5�� G� �� χ� T��� T��� , # = ������� ��� �� $"�� .�#��� �� ��x T��� T��� � "~1� )
WI .= "� � <�
P (χ�;�) = P (x� < χ�) = P (−√
χ� < x <
√χ�)
=�√�π
∫ +√
χ�
−√
χ�
e�
�x�dx =
�√�π
∫ +√
χ�
�
e�
�x�dx re.JJs
�=���� x� = μ � F&� � F� ��
P (χ�;�) =�√�π
∫ χ�
�
μ− �
� e−�
�μdμ re.Jes
.�#��� ν = � DZ��� �� re.Ks ����<� �� ����� �V+ X� re.Jes ����<� (����>&%�
��� .= #�� 9����R @ 0� -��� '�� -���&����I �&�� ��)R�� �� � X� �P �� $��� �� = &�� -��7;�� �� $"��
�= "� @��<� �� ��� -��� 1� $��� .� "� �5� re.js ����<� �� �>��
Aij =Xj(xi)
σi
bi =yi
σire.Jfs
�� a ) (�� N �S��� �� -��� ����� b .�#� (� ��% �z�P W����� ) �#��� N × M �S��� �� ������ A ��
���� ��� ��0 �� z�P W����� ������"� .�#��� M �S��� �� %&� -����� !�"��b[�� �� ���&����I �&��
���⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
X�(x�)σ�
X�(x�)σ�
. . . XM (x�)σ�
. . .
. . .
. . .
X�(xN )σN
X�(xN)σN
. . . XM (xN )σN
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠re.Jis
Design Matrix
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eJK #���3 #�,; � � � �� B �:��
��"�R� ���� ��� ����<� $��� �" 1� �� \��"� -���&����I �&�� '�1&;� �" � � ��� 1[� *��� ��
Min ‖ b − Aa ‖ re.Jjs
��ejd�"<� ��� ��� �� )� G1� �� 7� �P �� re.Jjs ����<� $��� �" 1�
��'���% T��� G1� �� � @��
��� � ����+� ��:Z� G1� �� � v
��� .�# �O0 {ai} ���&����I Y�1� �� �S�% χ� �&�� �� �#� �" 1� re.js ����<� &X) !@�� ��� �� *��� ��
��#� !,I� ����<� M � �� ���� `�#
� =∂χ�
∂ak=
N∑i=�
⎡⎣yi −M∑
j=�
ajXj(xi)
⎤⎦ Xk(xi)σ�i
, k = �, ..., M re.Jgs
��#% ������ ����<� G� ��0 �� $��� �� re.Jgs ����<�
M∑j=�
αkjaj = βk re.Jds
��
αkj =N∑
i=�
Xj(xi)Xk(xi)σ�i
re.JLs
)
βk =N∑
i=�
yiXk(xi)σ�i
re.JKs
Normal equations��
Singularity values decomposion��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eem #���3 #�,; � � � �� B �:��
,��X ��� ��0 �� {a} ���&���� I �&�� �V & ���% .�"&�� D)�<� '���% �_��<� �� re.JKs ) re.JLs �_��<�
���� �S��3�
aj =M∑
k=�
[αik]−�βk =N∑
i=�
yiXk(xi)σ�i
re.ems
��� ��� ����� !ai ���&����I �� G��� �� `��� � >%� � �� <� D��3%� ) cik ≡ [αik]−� ��
σ�(ai) =N∑
j=�
σ�j
(∂ai
∂yj
)�
=M∑
k=�
M∑l=�
cikcil
⎡⎣ N∑j=�
Xk(xj)Xl(xj)σ�j
⎤⎦ re.eJs
��� ��� ����� re.eJs ����<� ������"� .�#��� [c] * <� W����� !����� �� �5� � 1�
σ(ai)� = cii re.ees
ai W%����)l� -��X � h �0�"� ) .�"#��� ���&����I � >%� � �� <� D��3%� $�1� [c] -��X �0�"� �>�� %��� ��
��� �� �%#�G��:% � � ���+� �� 7 � rre.JKs ) re.JLss '���% �_��<� ���� ��� �� .�#��� aj )
����+� ��:Z� "<� ”v” 6)� �� �S��3� ���; ��� �� .�#� @X&� �S��3� ) (��� ����� �� " � �� ��0
.��� (��R �ejg! ejd� T5��� �� $R @ 0� �� �#� '�S%� � �
<�� �)������( �� A��D8 �)�@ 3434B
-�>�� (�>% =���� �4X $"�� .�#� (��� re.eJs ����<� U�� �� ��� -�� <� D��3%� -���� a %&� �����
.= "�� $� � �� ������� -���; 1E � � <� 6)� �1] �� .= #�� �&#�� ���&����I ��� �� � <�X Y�� Y�O� ��
�� .�%#� � <� '�� -���&����I ��%R *��� �� ��)R� ���� �� ��(��� �� -��&�� ��9����R G� �� ��>"�
Confidence Levels��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eeJ #���3 #�,; � � � �� B �:��
� <� Y�� -���� (�# � <� -���&����I !��R1% ��1# �� (�# -� �(���%� �&�� ��"� ��(��� �&�� ��� �� �Z%R
ai �� -� �(��� %� ��� � � US ��� -���&���� I � &�� = "�b[�� Di � � �� -� �(��� %� � &�� G� ��� .�"#� ��
�� U+� $�& � ��%R � E<� Y�� � <� �� ) �� ���� O[� �V���� atrue "<� '�� -���&����I � X� ���+� .= ��%�
� "�� $)�� ai − atrue '�1&;� T��� �� �#� z��� '�l� ��� $"�� .��� � <� �� ���&����I �5) � ;�% '�1&;�
G� .�#��� -�&����I M -�M� �� <��� TX�) �� '�1&;� T��� k��� ��+? �#�� Y7<� atrue � X� ���+�
.�#��� 7� '�1&;� T��� �� " <� �0�� ,��# �� ��� -�<�� M -�M� �� � ;�% G� �+ +; �� ����� � ;�%
.���� ���X � ;�% ��� �� <X�) ���+� ��% '�1&;� �� "<� = "��b[�� ����� ���� ��% �� -�� ;�%&X) /V u�
��0 �� � "�� �� ,SX .= &�� )��) � $�M � �� M � �� ��_�� -���<�� �� ) (��� G� !�<�� G� �� ������"�
���� ;�% � <� G3� $�"� �� ���C χ� �� ;�% 2 ]� �� O � ��0 �� =�����o� ����� ���� � <� �� 7 73�
.=�����I� �����
�� ������"� .���� χ�min "<� �" 1� ���+� �� χ� � 1� a0 DZ��� �� �� � "���� !�# z��� : % /V SX �� ��%�1�
�� �� a -���&����I �&�� .���� 9��:�� ) (��� D�3"� 6��" 1� ���+� �� �� χ� ���+� !���&����I �� D��3%� $�: �
v)��5 -�<�� M -�M� �� -�� ;�% !�"�R� ���� Δχ� = χ� − χ�min ��0 �� χ� ���+� �� " <� � F� DZ���
-�<�� M -�M� �� (�# v)��5 � ;�% ) 6��" 1� ���+� �� χ� D��3%� $�: � � � >"��>"� `�S��� ������"� .�""��
.���� �5) '�� -���&����I
T��� T��� �&��� �B% �� �� �+ +; �� .��� �S��3� ,��X ������ 7 � ����� ���� -�&����I G� -�M� ��
��� ���� ��� ��0 �� -�&����I G� -�M� -��� @7&[� -��'�1&;� !��
��.�% =∫ x+σ
x−σ
e− x−x
�σ�√�πσ�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eee #���3 #�,; � � � �� B �:��
����� �)�; �eaB , #
.�% =∫ x+�σ
x−�σ
e−x−x
�σ�√�πσ�
.��% =∫ x+�σ
x−�σ
e−x−x
�σ�√�πσ�
re.efs
$R �� !�#�� �5� ���>&�S1� : % ���&����I ��� � � �1] �� ) = #�� �&#�� �&����I �"? �� )� �� ��>"�
v)��5 ;�% v�[&%� � 7� �� ���[% q� -�����; ���� �� ����� ��� � '�1&;� @��<� ��" � �% ��0
�� (�� �&����I j -���� '�� !9����R G� �� � "� ��� .�� � Y�Z%� �X� �� &���� ���&����I -�M� �� (�#
$��% (a�, a�) -�M� �� �� ����� -������ reaBs , # .�""� �" 1� �� χ� ���+� a��) a�
�!a��!a��!a��-���&����I
-���&����I �� ��� (��R ���� ��0 ���� !��� (�# (��� $��% �&1� `�� �� �� �& ?� -����� .����
;�% ) (�# v)��5 (�%�1 X�� -���&����I -�M� ) �%�(�# �&��� �B% �� ���C a� = a��) a� = a�
�!a� = a�
�
��0 ���� !��� (�# (��� $��% �"7� � ? U� �� �� �&��:� -���&%�� .��� (�#b[�� Δχ� = �,�,�
) �"� �" 1� χ� ���+� ) (��� � F� ���&����I � +� �� ��� (�# (��� (��5� (a�, a�) �O5 �� -��� �� �%�(��R ����
� ��� z��� ��� '�� )� '�; .��� (�#b[�� Δχ� = �,�,� ;�% (���)�
k���� %�[1� �σ ) �σ !�σ ;�% �� Δχ� -��� -����+� �? aJ
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eef #���3 #�,; � � � �� B �:��
k�#� v�[&%� ����� ���� ;�% � <� -��� q� -����� �� �� G� Y��� ae
-���&����I � � >&�S1� � � �� ��0 �� .= "� �#)� �� �&1� `�� �� ����� @ 7 � �5 � 1� �� � �� (��5�
��B&%� $��1% >&�S1� �%� �� �M; �� ��� .�"��� ���� $�� � c��&% _�� ���; )� !�#�� �&#��% �5) '��
M − ν � �)� ���+� ')� �&����I ν �� � F� �� DZ��� �� ���� �"�� $��% �� �� �X/� ��� � ;�% �& ?� -����� �� �#��
!� <]) �� �� �"7� -��� ? U� �� ;�% ������"� .�"� �" 1� <]� ��0 �� �� χ� �%��1% (�%�1 X�� �&����I
!G� -�M� �� ����� ;�% � <� �� �"��X/� �� �VS��h .�#� +7� �X/� ��� ;�% �&��� -��� 2 306)�
�� -�<�� M '�1&;� T��� T��� ��4� �� ����� Y����� �� .= &�� -�<�� M -�5 �� -�<�� �� �u���; ) )�
-�<�� M � ;�% ��4� !-�<�� M -�M� �� -�<�� ν -�M� ��� �� ����� ���� � ;�% .�#��� ��� ��I -���<��
� � `�S��� �� 7 73� ��0 �� � �� (��5� $"�� .��� -�<�� ν -�M� ��� �� δχ� � <� ���+� U�� (�# �)�3�
�� �5� �� �� �# z��� '�� ��� ���# .=�����o� ����� ���� '�1&;� ) Δχ� = const U�� (�# �)�3� ;�%
70� , �� .=��S�I ����� ���� ;�% �� !6��" 1� ���+� �� χ� � F� �� = ���� �� ��? !7 73� `�S��� �5)
'���% -� �(���%� -����� ��� &; ��� '�� -���&����I� 1[� -��� -������ #)� χ� $��� �" 1� �� ��� ���
��"&�� q��0 �"#�� (�# T��� '���% ��0 �� -� �(���%� -����� �� &X) ��� -����I -���MX .�#�S%
�� δa ≡ a − a0 '�1&;� T��� T��� ��� ���� �� χ� > χ�min ���+� �� �"#�� ���&����I �� -��&�� a ��� aJ � MX
��#��� ��� ��0
P (δa)da�...daM ∼ exp{−��
δa.[α].δa} re.eis
-���R �5�� M �� rre.ds ����<�s χ� T��� T��� �"%�� δχ� = χ�(a) − χ�(a0) � 1� T��� T��� ae � MX
.�#���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eei #���3 #�,; � � � �� B �:��
a� ���R �&����I -��� �� ����� ���� = ���� .�#�� ν = � �� ����� -���R ��5�� ���<� �7l�� G� �� � "� ���
�=���� e � MX �� �5� �� .= "� � <�
χ� = −� ln(P (a�, a�, ..., aM )) + �
N∑i=�
ln(σi
√�π)
=(a� − a�
�)�
σ(a�)�+ const re.ejs
��#% $��� (�>%R �""� �" 1� �� χ� ) (��� � F� ���&����I � +� !a� �� DZ��� �� ���
χ� = χ�min +∂�χ�
∂a��
(a� − a��)�
�
= χ�min +(a� − a�
�)�
σ(a�)�re.egs
���+� �� χ� ���+� ��� F� -�&����I G� -�M� �� ������"� Δχ� = n� ��0 $R �� �#�� a� = a��
+ nσ(a�) ���
T��� T��� 7� ���; �� .�"��b[�� a� �&����I -��� �� nσ �� ����� ����� ���� ;�% n� ��0 �� �" 1�
��� ��� ����� '�� -���&����I �&��
P (a�, a�, ..., aM ) =(�π)M/�(
det[α]−�)�/�
× exp{−��
M∑i,j
δai.αij .δaj} re.eds
)
Δχ� =M∑ij
δai.αij .δaj re.eLs
')� �&����I ν -�<�� M -�M� �� � "�� '�1&;� P �� ��� � <� �� Δχ�(P ) $��� �%>? �� ��� ��� '�� $"��
��� -�<�� ν $�M � =Z; �� `��� '�1&;� ��� k�"��b[�� !�� � � ���X ����� ���� $�M � ��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eej #���3 #�,; � � � �� B �:��
�"<�
∫(�π)ν/�(
det[α]−�)�/�
× exp{−��
ν∑i,j
δai.αij .δaj}dδa�...dδaν = P (ν
�,Δχ�
�) re.eKs
���� ��� ��0 �� re.eKs ����<� ���� �1� ��
P (ν
�,Δχ�
�) =
�
Γ(ν/�)
∫ Δχ�/�
�
tν/�−�e−tdt re.fms
����<� �� (��O&�� �� $��� P '�1&;� �� �A�"&� ����� ���� -����� $��)R ���� -��� -�<�� ν -�M� �� ������"�
@7&[� -���R ��5�� ���<� -��� Δχ� �� `��� ����+� rJaBs ')�5 �� .��)R ���� �� Δχ� ���+� re.fms
-�<�� ν -�M� �� �� ����� ���� ;�% = ��[� �� ��>"� �O� $��� �0/� �P �� .�ejd� ��� (�# (���
����� ���� '�1&;� ;�% ��Z�� -��� ��<��� ���&1� � 1� �� � F� $�: � �JaB ')�5� � � � � M
Δχ� Δχ� Δχ� Δχ� Δχ� Δχ� p%
�.�� .� �.�� �.� �.�� �.�� ��.�%
��.� .�� �.�� �.� �.�� �.�� �%
��.�� ��.�� .�� �.�� �.�� �.�� .�%
��.�� �.�� ��.�� ��.�� .�� �.�� %
��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� .�� .��%
��.�� �.�� ��.� ��.�� ��.�� �.�� .%
!�"��� ���� �� ��1% ���� T��� �7�� �" � � �� �� χ�min �7�� �" 1� �� ����&����I �&�� ��&�� = "� b[��
�>% ���C = "� � <� ��%R -��� �� ����� ���� "3"� = ���� �� ����&����I M �� �� ν Wo� ) (��� � <�
-��� �>�� D�P �� .=��)R� ���� �� χ�loc <]� �" 1� ) (��� ���; ���&����I � +� -�M� -)� �� ) �&#��
�� ����� ���� -����� ) (��)R ���� �� Δχ� = χ�loc − χ�min ���+� (� h ) .�% !��.�% /V u� -��'�1&;�
.���� $��% -�<�� )� -�M� �� �� ��"3"� ��� ��)z�P ��0 �� rfaBs , # .= "��b[��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eeg #���3 #�,; � � � �� B �:��
����� ���� "3"� ��) z�P �faB , #
�� �Z%R �� .��R� v��; �� '�� �" �� -���&����I � <� -��� -�"1���X ��:�� χ� 6)� �� =���� ,SX �1�X ��
rMLEs '�1&;� �" � � �>" 1[� �� = +&�� (��O&�� �� ��� �&�� �#��� '�1&;� $��� �" � � �� 6)� ��� *���
����� � E35�� χ� �� (��O&�� �� ��� , �� )� �� �+ +; �� MLE �� = +&�� (��O&�� .= #�� �&#�� -�(��#�
U�&� ���+� '; T��� T��� $�� �� `�# !�#� ���� 9����R �� (��R ���� -��(��� $�� =� aJ
.��% (��)R��
�� �V1 +&�� ������"� .�#��1% $�� � �V�):� T��� T��� , # (�# -� �(���%� ���+� �� DZ��� �� TX�� �&� � �� ae
�= "�� (��O&�� MLE
L(a�, ..., aM ) =N∏
i=�
Pi re.fJs
.��R �"��� ���� '�� -���&����I $R $��� �" � � �� )
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eed #���3 #�,; � � � �� B �:��
���a� �)������( Xb@ � ��" ��.<��C�� <�I�@� � ��� �C �I�8 ]�� 5434B
���; �� ��� � 1� �� -�l� '�� G� ) (����� �� ,0�; c��&% 6���� �� �V S��h ���/P� -����Z� Y7� ��
�" � � ��� 1[� �� (��O&�� ���&����I ��� � 1[� -��� ( # ���&1�� .�#� y��[&�� �#�� (� ~ I �V&S�% 7�
6)� ��� �# =���� -� �(���%� �� -��� �� T��� T��� �� (��O&�� -��� Y�_ `�# �� <X�� �� .��� '�1&;�
���&1� 6)� �� �#�� $�� � ��-� �(���%� � <�X Y�� �� &X) �� ) ���Z%�� χ� G3� �� = +&�� (��O&�� ��
.= ��� ��<���
�&��� q�O�� �VS��h �� �~%R �) .�""�� �O�� �: � -���"�R�� �� �� =�� �� 1�� ) (�1� 9+% '�� -���&����I
�&O� ����]� -���&����I ��%R �� �V;/�0� �� !�"#��1% � X� � <� �� �"��� % ���R -���&����I Y�1� �� ��� ���
���� '�� -���&����I �� � <�X Y�� �5) . ���#� Dp; $�#�C� !��%R -)� -� �'��>&%� �� _V 1<� �#�
�� ��>"� �X/� ��� -���&����I � 1[� -��� �" �� 6)� �&��� ������"� .�#� (�# �t��� '�� �� � E<� Y��
��0 �� 7� ���; �� �" � � �>" 1[� T��� � "� ��� .���� -�(^�) (�>��5 �%��� �5) -�)�] � h -���&����I
��#�� ���
L(a, λ|(x, y)) re.fes
) �X/� ��� -���&����I \ ��� �� λ ) a ) .�#��� (��R ���� -� �(���%� �� �V1 +&�� �� -����+� (x,y) ��
6)� .= #�� �&#�� �� λ � X� ���+� � "�� $)�� �#��� a �" �� ����+� �&��� �Z"�� �� D�� .�"#��� '�� ��]�
��� ) =�� >% �B% �� �� -�)�] � h -���&����I �� � <� Y�� �� ��� ��� a ���� ���+� y��[&�� �� '1<�
Nuicence Parameter��
Marginalized Likelihood Estimator��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eeL #���3 #�,; � � � �� B �:��
�= "� -��p��5 �>" 1[� T��� �� ) (��� |�[�� �>�� -��6)� �� $�1���/P� �� �5� �� ��%R -��� " <� ���+� ���
L(a|(x, y)) =∏
i
Pi(a, λ = λ|(x, y)) re.ffs
-���&����I ��0 $R �� �"#�� � <�X Y�� -���� �� -�)�] � h -���&����I ��� �� ��� b[�� �V3]�)
-���&���� I � 1[� $��� �" �� -��� .�ejK! egm! egJ! ege! egf��� ���� � X� � h (�# (�� � 1[�
Butler -����� ����� �� 6)� ��� .�#� (��O&�� MRL ��� �� �� -�)�] � h -���&����I �M; �� -�)�]
�C� 6)� ��� �� .�ejK! egm! egJ! ege! egf! egi� ��� (�# , 1 � � +� U�� ) ��� (�# ���"� I 1988
�"<� �)�� � � �� ��%R -)� -� �'��>&%� �� -�)�] � h -���&����I
L(a|(x, y)) =∫
L(a, λ|(x, y))dλ re.fis
��� ��" ��.<��C�� <�I�@� � ��� �C �I�8 ]�� 9434B
-�)�3� (��� �V �):� (x,y) -� �(���%��� ,0�; -��(��� �� (��O&�� �� '�� -�)�] -���&����I �&�� y��[&��
.=���� �� % $�� � 1[� -��� -�&� � � �)� ���/P� �� ���"<� $��� ��� .���1% ��� �� '�� -���&����I -���
.�#� �&��� �B% �� �5) ��0 �� (�[�� -���&����I -��� ��� �)� T��� T��� G� � <]) ��� ��
LB(a|(x, y)) = L(a|(x, y))Π(a) re.fjs
7� ���; �� �� )
LBM (a|(x, y)) =
∫L(a, λ|(x, y))Π(a)Π(λ)dλ re.fgs
prior��
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eeK #���3 #�,; � � � �� B �:��
-�)�] ) -�)�] � h -���&���� I � �)� '�1&;� T�� � \ �� � � � Π(a) ) Π(λ) -��� 1� re.fgs ����<� ��
D�P �� ) ��� �&�� � ��� -� � '��>&%� �� ��]� -���&����I �C� �� �� = ��� �l1�� ��P �� $"�� .�"#���
� �)� -���&����I -��� �� -���)�3� (��� ��� (��R ���� � �)� ���/P� �� �� � �)� '�1&;� T��� �M; �� �>��
.=��)R� ����
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
C �� �
�6� � DFA �� 5"�� �#"� �6� 7�� 89��
�, ��# �� ���� Hurst
� "� ��� .=��)R ���� Hurst -�1% ) DFA1 6)� �� (��R ���� -�1% � � ����� =���� �4X �1�X ��� ��
��� ���� fBm -�� G� Y (i) -�� ��0 $R �� .�#�� ���I "<� fGn -�� G� x(k) ��
Y (i) =i∑
k=�
[x(k) − 〈x〉]� rf.Js
"3"� \ # ) DZ��S� �� ��� \ ��� �� bν ) aν �� �#��� !yν(i) = aν + bνi ��0 �� 6���� "3"� DFA1 ��
WI .�#� �S��3� �:Z� ��0 �� (�Z"I �� -��� ) .�#���
bν =∑s
i=� Y (i)i − �
s
∑si=� Y (i)
∑si=� i∑s
i=� i� − �
s [∑s
i=� i]�,
�∑s
i=� Y (i)i − s�
∑si=� Y (i)
s�/��,
aν =�
s
s∑i=�
Y (i) − bν
s
s∑i=�
i,
� �
s
s∑i=�
Y (i) − bνs
�, rf.es
efm
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efJ �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� C �:��
�"<� Fq(s) � 1� @��<� �� �5� ��
Fq(s) ≡{
�
�Ns
�Ns∑ν=�
[F�(s, ν)
]q/�}�/q
, rf.fs
��#� @��<� ��� ��0 �� F�(s; ν) $R �� ��
F�(s; ν) =�
s
s∑i=�
[Yν(i) − yν(i)]� , rf.is
�=���� rf.is ) rf.fs !rf.es �_��<� �� �5� ��
⟨[F�(s; ν)
]⟩=
⟨�
s
s∑i=�
[Y (i) − a − bi]�⟩
,
�⟨�
s
s∑i=�
Y (i)�⟩
+⟨a�⟩
+s�
�
⟨b�⟩
+ s 〈ab〉
−�⟨
a
s
s∑i=�
Y (i)
⟩− �
⟨b
s
s∑i=�
iY (i)
⟩, rf.js
-�� G� �� fBm -�� G� = %��� .=��(��� Dp; �� ��� (�Z"I (��1# D�<� �� ν W��%� ���� -��� �Z"�� ��
��#� ���� ��� ��0 �� fGn
Y (i) = iHx rf.gs
)
Y (i) − Y (k) = |i − k|Hx, rf.ds
������"�
〈[Y (i) − Y (k)]�〉 = σ�|i − k|�H rf.Ls
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efe �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� C �:��
�1� $��� U�� �� .��� �eed�⟨Y (i)�
⟩= σ�i�H ��0 �� fBm -�� W%����) .σ� =
⟨x(i)�
⟩�Z"�� ��
��� ���� ��� ��0 �� Y (i) -�� >&�S1� T��� �� ��� b[�� ���� �� rf.Ls ����<� �?
〈Y (i)Y (k)〉 =σ�
�[i�H + k�H − |i − k|�H ] rf.Ks
��#� ,��S� ��� ��0 �� rf.js ����<� rf.Ks ) rf.es �_��<� G1� �� $"��
⟨[F�(s; ν)
]⟩ν
= CH(s)�H rf.Jms
�= &�� ��� ��0 �� �/15 �S��3� �� �"��� % CH � 1� � <� -���
s∑i,j=�
〈iY (i)Y (j)〉 =σ�
�
s∑i,j=�
(i�H+� + ij�H − i|i − j|�H
),
=σ�
�
s∑i,j=�
(i�H+� + ij�H
)− σ�
�
s∑i=�
i∑j=�
i(i − j)�H
−σ�
�
s∑i=�
s∑j=i
i(j − i)�H ,
∼ σ�
�
(s�H+�
�H + �+
s�H+�
�(�H + �)ght)
−σ�
�
s∑i=�
i�H+�
(∫ �
�
(�− x)�Hdx −∫ �
�
x(� − x)�Hdx
),
=σ�s�H+�
�
(�
H + �− �
�H + �
)rf.JJs
)
s∑i,j=�
〈Y (i)Y (j)〉 =σ�
�
s∑i,j=�
(i�H + j�H − |i − j|�H
),
=σ�
�
s∑i,j=�
(i�H + j�H
)− σ�
s∑i=�
i∑j=�
(i − j)�H ,
∼ σ�
(s�H+�
�H + �−
s∑i=�
i�H+�
∫ �
�
(�− x)�H
),
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eff �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� C �:��
∼ σ�s�H+�
(�
�H + �− �
(�H + �)(�H + �)
). rf.Jes
���R� ���� ��� ��0 �� CH �V&���%
CH =σ�
(�H + �)− �σ�
�H + �
+�σ�(
�
H + �− �
�H + �
)
− �σ�
(H + �)
(�− �
(H + �)(�H + �)
). rf.Jfs
.�#� `��� �"�R�� $R Hurst -�1% �� �V1 +&�� DFA1 �� (��R ���� -�1% ���I -�� G� -��� ������"�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
D �� �
�6� � DFA �� 5"�� �#"� �6� 7�� 89��
�,� ��# �� ���� Hurst
� "� ��� .=��)R ���� Hurst -�1% ) DFA1 6)� �� (��R ���� -�1% � � ����� =���� �4X �1�X ��� ��
��� ���� (�# T15 fBm -�� G� Y (i) -�� ��4%R �� .�#�� ���I�% "<� fBm -�� G� x(k) ��
Y (i) =i∑
k=�
[x(k) − 〈x〉]� ri.Js
"3"� \ # ) DZ��S� �� ��� \ ��� �� bν ) aν �� �#��� !yν(i) = aν + bνi ��0 �� 6���� "3"� DFA1 ��
WI .�#� �S��3� �:Z� ��0 �� (�Z"I �� -��� ) .�#���
bν =∑s
i=� Y (i)i − �
s
∑si=� Y (i)
∑si=� i∑s
i=� i� − �
s [∑s
i=� i]�,
�∑s
i=� Y (i)i − s�
∑si=� Y (i)
s�/��,
aν =�
s
s∑i=�
Y (i) − bν
s
s∑i=�
i,
� �
s
s∑i=�
Y (i) − bνs
�, ri.es
efi
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efj �)���! # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� D �:��
�"<� Fq(s) � 1� @��<� �� �5� ��
Fq(s) ≡{
�
�Ns
�Ns∑ν=�
[F�(s, ν)
]q/�}�/q
, ri.fs
��#� @��<� ��� ��0 �� F�(s; ν) $R �� ��
F�(s; ν) =�
s
s∑i=�
[Yν(i) − yν(i)]� , ri.is
�=���� ri.is ) ri.fs !ri.es �_��<� �� �5� ��
⟨[F�(s, ν)
]⟩=
⟨�
s
s∑i=�
(Y (i) − a − bi)�⟩
�⟨�
s
s∑i=�
Y (i)�⟩
+ �
⟩+
s�
�
⟨b�⟩
−�⟨
a
s
s∑i=�
Y (i)
⟩− �
⟨b
s
s∑i=�
iY (i)
⟩+ s 〈ab〉 ,
=
⟨�
s
s∑i=�
Y (i)�⟩
− �
s�
⟨[s∑
i=�
Y (i)
]�⟩
−��s�
⟨[s∑
i=�
iY (i)
]�⟩+��
s�
⟨s∑
i=�
iY (i)s∑
i=�
Y (i)
⟩,
=A
s− �
s�B − ��
s�D +
��
s�C. ri.js
) C !B !A -��� 1� &���� $"�� .=��(��� Dp; �� ��� (�Z"I (��1# D�<� �� ν W��%� ���� -��� �Z"�� ��
�"<� fBm -�� G� ) (�#T15 fBm -�� G� increment �� = %��� .= "� � <� &���� ��D
x(i) = Y (i) − Y (i − �)
u(i) = x(i) − x(i − �) ri.gs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efg �)���! # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� D �:��
��0 �� x(i) ) Y (i) >&�S1� T��� .�� ���� u(i) "<� fGn -�� G� ) x(i) "<� fBm -�� G� \ ��� ��
� �ejJ��� ���� ���
〈x(i)x(j)〉 =σ�
�
[i�H + j�H − |i − j|�H
],
〈Y (i)Y (j)〉 =σ�
(H + �)�(ij)H+� ri.ds
������"�
〈[Y (i) − Y (k)]�〉 = σ�|i − k|�H ri.Ls
$"�� .�eed����⟨Y (i)�
⟩= σ�
(H+�)�i�(H+�) ��0 �� <1Z� fBm -�� W%����) .σ� =
⟨u(i)�
⟩�Z"�� ��
��#� ,��S� ��� ��0 �� ri.js ����<� ri.ds ) ri.es �_��<� G1� ��
⟨[F�(s; ν)
]⟩ν
= CH(s)�(H+�) ri.Ks
��#��� ��� ��0 �� CH ��
CH =σ�
(�H + �)(H + �)�− �σ�
[(H + �)(H + �)]�
− ��σ�
[(H + �)(H + �)]�+
��σ�
(H + �)�(H + �)(H + �). ri.Jms
�" �R�� $R Hurst -�1%H �� ��� H + � � � � ��� � DFA1 �� (��R ���� -�1% � �� I� % -�� G� -�� � ���� �� " �
.�#���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
E �� �
�6� � DFA �� 5"�� �#"� �6� 7�� 89��
�":�; �. �, ��# �� ���� Hurst
� "� ��� .=��)R ���� Hurst -�1% ) DFA1 6)� �� (��R ���� -�1% � � ����� =���� �4X �1�X ��� ��
��� ���� fBm -�� G� Y (i, j) -�� ��4%R �� .�#�� ���I "<� fGn -�� G� x(k, l) ��
Y (i) =i∑
k=�
j∑l=�
[x(k, l) − 〈x〉]� rj.Js
�� (�Z"I �� -��� \ ��� �� cν ) bν ) aν �� �#��� !yν(i, j) = aν + bνi + cνj ��0 �� 6���� ��) � DFA1 ��
WI .�#� �S��3� �:Z� ��0
bν =
∑s,mi,j=� Y (i, j)i − �
s×m
∑s,mi,j=� Y (i, j)
∑smi,j=� i∑s,m
i,j=� i� − �
s×m
[∑s,mi,j=� i
]� ,
�∑s,m
i,j=� Y (i, j)i − s�
∑s,mi,j=� Y (i, j)
m × s�/��
cν =
∑s,mi,j=� Y (i, j)j − �
s×m
∑s,mi,j=� Y (i, j)
∑smi,j=� j∑s,m
i,j=� j� − �
s×m
[∑s,mi,j=� j
]� ,
�∑s,m
i,j=� Y (i, j)j − m�
∑s,mi,j=� Y (i, j)
s × m�/��
efd
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efL #�@1A � �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� E �:��
aν =�
s × m
s∑i=�
m∑j=�
Y (i, j) − bν
s × m
s∑i=�
m∑j=�
i − cν
s × m
s∑i=�
m∑j=�
j
� �
s × m
s,m∑i,j=�
Y (i, j) − bνs
�− cνm
�, rj.es
�"<� Fq(s, m) � 1� @��<� �� �5� ��
Fq(s, m) ≡{
�
�Nsm
�Nsm∑ν=�
[F�(s, m; ν)
]q/�}�/q
, rj.fs
��#� @��<� ��� ��0 �� F�(s, m; ν) $R �� ��
F�(s; ν) =�
sm
s∑i=�
m∑j=�
[Yν(i, j) − yν(i, j)]� , rj.is
�=���� rj.is ) rj.fs !rj.es �_��<� �� �5� ��
⟨[F�(s, m; ν)
]⟩=
⟨�
s × m
s,m∑i,j=�
[Y (i, j) − a − bi − cj]�⟩
�⟨
�
s × m
s,m∑i,j=�
Y (i, j)�⟩
+⟨a�⟩
+s�
�
⟨b�⟩
+m�
�
⟨c�⟩
−�⟨
a
s × m
s,m∑i,j=�
Y (i, j)
⟩− �
⟨b
s × m
sm∑i,j=�
iY (i, j)
⟩
−�⟨
c
s × m
sm∑i,j=�
jY (i, j)
⟩+ s 〈ab〉 + m 〈ac〉 +
s × m
�〈bc〉 .
rj.js
-�� G� �� fBm -�� G� = %��� .=��(��� Dp; �� ��� (�Z"I (��1# D�<� �� ν W��%� ���� -��� �Z"�� ��
��#� ���� ��� ��0 �� fGn
Y (i, j) = (ij)Hx rj.gs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
efK #�@1A � �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� E �:��
)
Y (i, j) − Y (k, l) = Y (i, l) + Y (k, j) + |i − k|H |j − l|Hx
=[(il)H + (kj)H + |i − k|H |j − l|H]x, rj.ds
������"�
〈[Y (i, j) − Y (k, l)]�〉 = σ�[(il)H + (kj)H + |i − k|H |j − l|H]� , rj.Ls
$��� U�� �� .��� �eed�⟨Y (i, j)�
⟩= σ�(ij)�H ��0 �� fBm -�� W%����) .σ� =
⟨x(i, j)�
⟩�Z"�� ��
��� ���� ��� ��0 �� Y (i, j) -�� >&�S1� T��� �� ��� b[�� ���� �� rj.Ls ����<� �? �1�
〈Y (i, j)Y (k, l)〉 =σ�
�[(ij)�H + (kl)�H − (ik)�H − (jl)�H
−�|i − k|H |j − l|H [(il)H + (kj)H]
−|i − k|�H |j − l|�H − �(ijkl)H ], rj.Ks
��#� ,��S� ��� ��0 �� rj.js ����<� rj.Ks ) rj.es �_��<� G1� �� $"��
⟨[F�(s, m; ν)
]⟩ν
= CH(s × m)�H , rj.Jms
��#� @��<� ��� ��0 �� CH � 1� )
CH =�
�σ�[
��+ H (��+ H [���+ H(�+ H)(�+ �H(�+ H))])(�+ H)�(�+ H)�(�+ �H)�
+{− ��(�Γ[� + H ]� + Γ[�+ �H ])(�+ H)�(�+ H)Γ[�+ �H ]Γ[�+ �H ]�
×{�Γ[�+ �H ](Γ[�+ H ]
{�H�Γ[H ] + (�+ H)Γ[�+ H ] + Γ[�+ H ]
}+ (�+ H)Γ[�+ �H ]
)
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eim #�@1A � �)�� # () #�1 HURST #�<! �1 DFA /� ;��3 ��1 #�<! =�1 >�?*�� E �:��
+Γ[�+ H ]�Γ[+ �H ]} +
(�
(�+ H)�+�Γ[�+ H ]�
Γ[�+ �H ]
)
×(�
[�
(�+ H)�+�Γ[�+ H ]�
Γ[�+ �H ]
]+
��
(�+ H)(�+ H)Γ[+ �H ]�
×(�Γ[�+ H ]�Γ[�+ �H ] +
(�(�+ H)(�+ H)Γ[�+ H ]� + Γ[�+ �H ]
)Γ[+ �H ]
))}].rj.JJs
��#��� ��� ��0 �� Γ(x) T��� !rj.JJs ����<� ��
Γ(x) ≡ (x − �)! =∫ ∞
�
tx−�e−tdt rj.Jes
`��� �"�R�� $R Hurst -�1% �� �V1 +&�� DFA1 �� (��R ���� -�1% -�<�� )� ��� I -�� G� -��� ������" �
.�#�
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
F �� �
�0��6� ���25��"�� . -���� �4�
-#�'����
) ��� �� ��R �� �5� -�� ���)�3� \S� � � �# �3� -�� �R -����� � S��3� �1�X �� �� �� %�1�
-� �(���%� ��S&�� (�; � <�X Y�� ��� �&�%�� �� ) (�� � E<� Y�� -���� (��R ���� ����+� ��-� �(���%�
-���1�X ���&1�� �� -�0� ����+� �� �5� -����� ��)R�� : % -�0� ��"#$�� � �� .�#�b[��
� 1�� �� ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� ���4� $�� � $�� �� .�)�� ��1# �� c��&% � S<�
T��� 7� �P �� �� -���+%�� >&�S1� T��� �S��3� !$R ��� -��� 6)� ����(��� .��� ������� -�(��<��q�
G ��1&� � -����� \S� �� .�#��� $�� � �" �� �� ��$�� �� &O5�) $��)� �� ��� : � ) ��� !��� >&�S1�
�� =����% ��B&%� ��� �#�� �� /V ��� ��� $�� � ��� &; �� ��� 2]�) rA �� I �� � "� 85�s -�(���� )
�� �#� ���� ��� �� � X� �V&S�% -��)R�� ������"� .�"�� ���� �� �O0 ���+� �V+ X� ��� -��>&�S1� T���
�� 1�� 9+% �� Cl-���)�� $�� @ P � 1� � "~1� .���� ���%�" � TX�) $�� �� ��� �� �� -� �= 14�
-����� �� �B% D�0 .�#��� ��� -���� : % �"�� �O�� ��"#$�� � @7&[� -��� 1� -��� ����+� � <�
eiJ
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eie ��������� #�,��<� #�5;/��!� � �!���� #�89 F �:��
\S� �� �� �>�� -��� 8% G� !���4� -����� ) -� �(���%� -����>&�� �� #�% -����� �"%�� ����
�� ��%R �X� �� &���� �� ���� �5) %�� � -��� Y�% �� != "�� ��5 ����� (�1� �&�� )� �� �� $R 9& 1��
.=�����o� $R @ 0� �� ) (��� �S��3� �� ��� 8% ��� ��Cl -��� =���� �4X ���+� ��� �� .��)R v��;
�= �� U�� -)�� ���<&� T��� \�; �� �� ΔT/T ��� : � ) ��� �� ��� >� �B% �� �>�� ���
ΔT
T(θ, φ) =
∑l=�
l∑m=−l
almYlm(θ, φ) rg.Js
)
alm =∫
ΔT
T( ˆθ, φ)Ylm(θ, φ)dΩ rg.es
�= �� ���X �B% ��� �� $R >&�S1� ���
〈alma∗l′m′〉ansmble =
∫dΩdΩ′Ylm(θ, φ)Y ∗
l′m′(θ′, φ′)⟨
ΔT
T(θ, φ)
ΔT
T(θ′, φ′)
⟩rg.fs
��#�� = ��� (�>%R C(n, n′) = C(n.n′) = "<� -���R -��>%��1� ��� ��
C(n, n′) =⟨
ΔT
T(n)
ΔT
T(n′)⟩
= C(n.n′) =�
�π
∑l
(�l + �)ClPl(cos(γ)) rg.is
��� ��� ����� rg.fs ����<� \ ��� ��� �� .��� cos(γ) = n.n′ !rg.is ����<� ��
〈alma∗l′m′〉ansmble = δll′δmm′Cl rg.js
��� ��� ���S� ��Cl -��� � 1[� ���&�� .�"�R� ���� 7S���%R -� �U�&� �� ��Cl �� ��� 2]�) ������"�
Cl =�
�l + �
+l∑m=−l
|alm|� rg.gs
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eif ��������� #�,��<� #�5;/��!� � �!���� #�89 F �:��
-���R -��>%��1� �M; �� ������"� !���� �5) �< SP �� $�� � -��" �� 9��� ��+% G� U+� �� �Z%R ��
!l �� -��� .��� Y�Z%� �� -� �U�&� ) ���� ��<&� -��,S���%R !�7�)� -���)� �3� !��+% $��)� �� $���
=���� ��B&%� ) (�� =� ���%1% ���<� !rl = π/γs G?� -��l -��� ������"� ! �#�� = ��� �%1% �l + � ���<�
��� ��� ����� Cl �� <� -��� .����� 9��:�� -���)�� $�� @ P � >%� � �� <� -��� ��
σ�l = 〈C�l 〉 − 〈Cl〉� rg.ds
��� ��� ����� rg.ds ����<� ���� �1� ')� �715 !Wick � MX �� (��O&�� �� !�#�� �� alm ���
〈C�l 〉 =
�
(�l + �)�∑mm′
〈alma∗lm〉 〈alm′a∗
lm′〉
= �C�l rg.Ls
��� ��� ����� rg.ds ����<� ���� �1� Y)� �715 � "~1�
〈Cl〉 =�
�l + �
∑m
〈alma∗lm〉 = 〈alma∗
lm〉 rg.Ks
�������"�
〈Cl〉� = C�l rg.Jms
��� ��� ����� ��Cl �� <� -��� )
σ�l = �C�l rg.JJs
�=���� !=���� � >%� � �� <� -��� ) �� <� -��� `�S��� ��� �� A �� I �� �� �~%R *��� ��
σ�m =σ�
N=
�
�l + �C�
l rg.Jes
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eii ��������� #�,��<� #�5;/��!� � �!���� #�89 F �:��
(�l + �)−�/� S�% � <�X Y�� = �� 9��� ��Cl -� �(���%� �� �� �>�� -����� (���%� �� �� ��� 2]�)
(� ��% %�� � -��� �V;/�0� � <�X Y�� ��� .�#� \S� ��Cl � X� ���+� $��)R ���� �� -�5 ���)�3�
�� ��� ��� =�� &���� : % ��"���I 2�� ����R -)� �� ��� : � ) ��� $�� � $�� �� ���� -��� .�#�
.��� (��� ���� �� $R ,4O� �egj� T5�� �� �� =��)R v��; �� -���+% �� >&�S1� T��� -���
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
���<��
[1] G. Lazarides, lectures given at the Corfu Summer Institute on Elementary Particle Physics
(South European School on Elementary Particle Physics), 6-26 September 1998, Kerkyra,
Greece (to appear in the proceedings) Report-no: UT-STPD-4/99, arXive:hep-ph/9904502
[2] A. R. Liddle and D. H. Lyth, Cosmological Inflation and Large Scale Structure, Cambridge
University Press, 1998.
[3] T. Padmanabhan, Structure Formation in the Universe, Cambridge Univ. Press 1993.
[4] D. Raine and T. Thomas, An Introduction to the Science of Cosmology, IoP Press, 2002.
[5] S. Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press, (2003).
[6] N. Breton, J.L. Cervantes-Cota, M. Salgado , The early universe and observational cos-
mology, Springer (2004).
[7] S. Perlmutter, M. S. Turner and M. White, Phys. Rev. Lett. 83, 670, (1999).
eij
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eig .��!B���
[8] B. P. Schmidt et al., Astrophys. J. 507, 46 (1998).
[9] J. L. Tonry et al., Astrophys. J. 594, 1 (2003).
[10] B. J. Barris et al., Astrophys. J. 602, 571 (2004).
[11] D. N. Spergel et al., [WMAP Collaboration], ApJ Suppl. 148, 175 (2003).
[12] A. G. Riess et al., Astrophys. J. 607, 665 (2004).
[13] Fixsen DJ et al., ApJ 473:576 (1996)
[14] A. Guth, Phys. Rev. D, 23, 2 (1981)
[15] R. Brandenberger, arXiv:astro-ph/9411049.
[16] J. Rich, Fundamental of Cosmology, Springer Press, 2001.
[17] M. Trodden and S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0401547.
[18] S. D. Landy, S. A. Shectman, H. Lin, R. P. Kirshner, A. A. Oemler D. Tucker, 456, L1
(LCRS), 1996.
[19] V. de Lapparent, M. Geller and J. Huchra, Ap. J. (Lett) 302, L1 (1986).
[20] R. Brandenberger, Invited lectures at the International School on Cosmology, Kish Island,
Iran, Jan. 22 - Feb. 4 1999, to be publ. in the proceedings (Kluwer, Dordrecht, 2000),
arXiv:hep-ph/9910410.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eid .��!B���
[21] J. Peacock: Cosmological Physics, (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999).
[22] R.Brandenberger, Lect.Notes Phys. 646, 127-167 (2004), arXiv:hep-th/0306071.
[23] S. Weinberg: Gravitation and Cosmology, (Wiley, New York, 1972).
[24] P. J. E. Peebles, The Large Scale Structure of the Universe, Princeton University Press,
Princeton, NJ (1980).
[25] R. H. Brandenberger in N. Breton, J. L. Cervantes-Cota and M. Salgado eds, Lecture
Notes in Physics, The early universe and observational cosmology, 646, p.127 (2004).
[26] R. Mansouri and S. Rahvar, Int.J. Mod. Phy. D, 11, 312 (2002).
[27] O. Lahav, P. B. Lilje, J. R. Primack and M. J. Rees, MNRAS, 251, 128 (1991).
[28] S. Gottlober E. Lokas, A. Klypin and Y. Hoffman, MNRAS, 344, 715 (2003).
[29] Y. Friedmann and T. Piran, arXiv:astro-ph/0009320.
[30] For a discussion of these older techniques, see. e.g., G. Bothun: Modern cosmological
observations and problems, (Taylor & Francis, 1998).
[31] R. D. Blandford and R. Narayan, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 30, 311 (1992).
[32] Y. Rephaeli, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 33, 541 (1995); M. Birkinshaw, Phys. Rep.
310, 97 (1999).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eiL .��!B���
[33] Nugent, P., A. Kim and S. Perlmutter, PASP, 114, 803 (2002).
[34] A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998).
[35] S. Perlmutter et al., Astrophys. J. 517, 565 (1999).
[36] C. Alcock and B. Paczynski, Nature 281, 358 (1979).
[37] A. Nusser, Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 364 (2005) 743-750, arXiv:astro-ph/0410420.
[38] R. Barkana, Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 372 (2006) 259-264, arXiv:astro-ph/0508341.
[39] K. A. Eriksen, A. R.Marble, C. D. Impey, L. Bai and C. E. Petry, AAS 203, 8207 (2003);
K. A. Eriksen, A. R.Marble, C. D. Impey, L. Bai and C. E. Petry, ASPC 339, 172 (2005).
[40] A. Melchiorri, L. Mersini, C.L. Odman and M. Trodden, Phys.Rev. D, 68, 043509, 2003,
arXiv:astro-ph/0211522.
[41] T. J. Pearson et al. (CBI Collaboration), Astrophys. J. 591, 556 (2003); C. L. Kuo et al.
(ACBAR Collaboration), Astrophys. J. 600, 32 (2004).
[42] G. Huey et. al., Phys. Rev. D, 59 063005 (1999).
[43] W. Hu and M. White, in Proceedings of 31st Rencounters de Moriond: Microwave Back-
ground Anisotropies, Les Arcs France, 16-23 March 1996 (Edition Froutiers), arXiv:astro-
ph/ 9606140.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eiK .��!B���
[44] L. Amendola, Phys. Rev. D, 62 043511 (2000).
[45] P. Brax et. al., Phys. Rev. D, 62 103505 (2000).
[46] K. Coble et al., Phys. Rev. D, 55 1851 (1997).
[47] M. Doran et. al., Astrophys.J. 559 (2001) 501-506, arXiv:astro-ph/0012139.
[48] M. Doran and M. Lilley, Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 330 (2002) 965-970 arXiv:astro-
ph/0104486.
[49] W. Hu et. al., Nature 386 (1997) 37-43, arXiv:astro-ph/9604166.
[50] W. Hu et. al., Astrophys.J. 549 (2001) 669, arXiv:astro-ph/0006436.
[51] W. Hu and N. Sugiyama, ApJ, 444, 489 (1995).
[52] D.J. Eisentein et. al., Astrophys.J. 633 (2005) 560-574, arXiv:astro-ph/0501171.
[53] P.J.E. Peebles and J.T. Yu, APJ., 162, 815 (1970).
[54] J.R. Bond and G. Efstathiou, APJ. 285, L45 (1984).
[55] J.A. Holtzmann, APJS. 71 ,1 (1989).
[56] W. Hu, N. Sugiyama, APJ.471, 542 (1996).
[57] D.J. Eisenstein, and W. Hu, APJ. 496, 605 (1998).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejm .��!B���
[58] T.J. Broadhurst, R.S. Ellis, D.C. Koo and A.S. Szalay, Nature. 343, 726 (1990).
[59] J. Einasto et al., Nature. 385, 139 (1997).
[60] W.J. Percival et al. (the 2dFGRS Team), MNRAS. 327, 1297 (2001).
[61] E. Hawkins et al., Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 346 (2003) 78, arXiv:astro-ph/0212375.
[62] I. Zehavi et al. Astrophys.J. 630 (2005) 1-27, arXiv:astro-ph/0408569.
[63] D.G. York et al., AJ. 120, 1579 (2000).
[64] I. Zehavi et al., Astrophys.J. 621 (2005) 22-31, arXiv:astro-ph/0411557.
[65] D.J. Eisenstein et al., Astrophys.J. 619 (2005) 178-192, arXiv:astro-ph/0411559.
[66] http:www.sdss.org.
[67] http:www.mso.anu.edu.au/2dFGRS.
[68] http:www.naao.edu/kaos.
[69] http:astro.estec.esa.nl/planck.
[70] http:astro.uchicago.edu/spt
[71] M. Fukugita, T. Ichikawa, J.E. Gunn, M. Doi, K. Shimasaku and D.P. Schneider, AJ. 111,
1748 (1996).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejJ .��!B���
[72] J.E. Gunn et al., AJ. 116, 3040 (1998).
[73] S.D. Landy and A.S. Szalay, APJ. 412, 64 (1993).
[74] E. Hawkins, S. Maddox, E. Branchini and W. Saunders, MNRAS, 325, 589 (2001).
[75] S.J. Maddox, G. Efstathiou and W.J. Sutherland, MNRAS, 246, 433 (1990).
[76] L. Verde, M. Kamionkowski, J.J. Mohr, A. J. Benson, MNRAS, 321, L7 (2001).
[77] O. Lahav, S. L. Bridle, W. J. Percival and the 2dFGRS Team, MNRAS, 333, 961 (2002).
[78] J.P. Ostriker and P.J. Steinhardt, The observational case for a low-density Universe with
a non-zero cosmological constant, Nature 377, 600-3 (1995).
[79] L. Krauss and M.S. Turner, The cosmological constant is back, Gen. Rel. Grav. 27,1137-
44 (1995).
[80] N.A. Bahcall and X. Fan, The most massive distant clusters: determining Ωm and σ,
Ap.J.504,1-6 (1998).
[81] A. E. Evrard, MNRAS 292, 289 (1997).
[82] L. Knox and L. Page, Phys.Rev.Lett. 85 (2000) 1366-1369 ,arXiv:astro-ph/0002162.
[83] M. Kamionkowski, D. N. Spergel and N. Sugiyama, ApJ 426, L57 (1994).
[84] A. Einstein, Sitz. Preuss. Akad. Wiss. 142, (1917).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eje .��!B���
[85] N. Bilic, G.B. Tupper and R. Viollier, Phys. Lett. B 535, 17 (2002).
[86] J.S. Fabris, S.V. Goncalves and P.E. de Souza, arXiv:astro-ph/0207430.
[87] V. Gorini, A. Kamenshchik and U. Moschella, Phys.Rev. D 67 (2003) 063509, arXiv:astro-
ph/0209395.
[88] J.S. Alcaniz, D. Jain and A. Dev, Phys. Rev. D 67, 043514 (2003),arXiv:astro-ph/0210476.
[89] C. Avelino, L.M.G. Beca, J.P.M. de Carvalho, C.J.A.P. Martins, and P. Pinto, Phys. Rev.
D 67, 023511 (2003), arXiv:astro-ph/0208528.
[90] R. Bean and O. Dore, Phys. Rev. D 68 023515 (2003), arXiv:astro-ph/0301308.
[91] M. Mackler, Q.S. de Oliviera and I. Waga, Phys. Rev. D 68 123521 (2003), arXiv:astroph/
0306507.
[92] T. Multimaki, M. Manera and E. Gaztanaga, Phys. Rev. D 69 023004, (2004),
arXiv:astroph/ 0307533.
[93] A. Dev, D. Jain and J. Alcaniz, Astron.Astrophys. 417 (2004) 847-852, arXiv:astro-
ph/0311056.
[94] M. Bento, Bertolami and A.A. Sen, Phys. Lett. B 575 172, (2003), arXiv:astro-ph/0303538.
[95] R.R. Caldwell, Phys. Lett. B 545, 23 (2002), arXiv:astro-ph/9908168.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejf .��!B���
[96] R.A. Knop et al., Astrophys.J. 598 (2003) 102, arXiv:astro-ph/0309368.
[97] V. Sahni, Lect.Notes Phys. 653 (2004) 141-180, arXiv:astro-ph/0403324.
[98] Caldwell,R. R., Dave, R., Steinhardt, P.J. 1998 Cosmological imprint of an energy com-
ponent with general equation of state. Phys. Rev. Lett.80, 1582-5.
[99] V. Sahni, Class. Quant. Grav. 19 3435 (2002), arXiv:astro-ph/0202076.
[100] V. Sahni and A.A. Starobinsky, Int.J.Mod.Phys. D 9 373 (2000).
[101] I. Affleck et al., Nucl. Phys. B 256, 557 (1985).
[102] I. Affleck et al., Nucl. Phys. B 256, 557 (1985).
[103] P. Binetruy, M. K. Gaillard, and Y.-Y.Wu, Nucl. Phys. B 481, 109 (1996).
[104] A. Masiero, M. Pietroni, and F. Rosati, Phys. Rev. D 61 023504 (2000).
[105] Steinhardt, P.J. 1997, Cosmological challenges for the 21st century. in ”Critical problems
in physics,” ed. by V.L. Fitch and D.R. Marlow (Princeton U. Press).
[106] R.H. Dicke and P.J.E. Peebles, in General Relativity: An Einstein Centenary Survey, ed.
by S.W. Hawking W. Israel (Cambridge U. Press, 1979).
[107] B. Ratra and P. J. E. Peebles, Phys. Rev. D 37, 3406 (1988).
[108] P. J. E. Peebles and B. Ratra, ApJ 325 L17 (1988).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
eji .��!B���
[109] P. Binetruy, Phys. Rev. D 60, 063502 (1999).
[110] R.R. Caldwell, Brazilian Journal of Physics, vol. 30, no. 2, June 2000.
[111] C. Wetterich, Physics Lett. B 594, 17 (2004).
[112] E. Carretta et al., Astrophys. J. 533, 215 (2000); L. M. Krauss and B. Chaboyer,
arXiv:astro-ph/0111597; B. Chaboyer and L. M. Krauss, Astrophys. J. Lett. 567, L45
(2002).
[113] H. B. Richer et al., Astrophys. J. 574, L151 (2002).
[114] M. Sadegh Movahed and S. Rahvar, Phys. Rev. D 73, 083518 (2006).
[115] B. M. S. Hansen et al., Astrophys. J. 574, L155 (2002).
[116] X. Zhang and F.Q. Wu, Phys. Rev. D 72, 043524 (2005).
[117] L. Page et al., Astrophysical J. (2003).
[118] W. L. Freedman et al., Astrophys. J. Lett. 553, 47 (2001).
[119] J. Dunlop et al., Nature (London) 381, 581 (1996); H. Spinrard, Astrophys. J. 484, 581
(1997).
[120] J. Dunlop, in The Most Distant Radio Galaxies, edited by H. J. A. Rottgering, P. Best,
and M. D. Lehnert (Kluwer, Dordrecht, 1999), p. 71.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejj .��!B���
[121] G. Hasinger, N. Schartel and S. Komossa, Astrophys. J. Lett. 573, L77 (2002); S. Komossa
and G. Hasinger, arXiv:astro-ph/0207321.
[122] D. Jain., A. Dev., Phys.Lett. B 633 (2006) 436-440, arXiv:astro-ph/0509212.
[123] S. Arbabi, M. Sadegh Movahed and S. Rahvar, International Jou. of Mod. Phys. D 15,
no. 10, 1-18 (2006).
[124] S. Rahvar and M. Sadegh Movahed, Phys. Rev. D 75, 023512 (2007), arXiv:astro-
ph/0604206.
[125] R.A. Alpher and R.C. Herman. Phys. Rev. 75:1089 (1949).
[126] G. Gamow, Phys. Rev. 70:572 (1946).
[127] R.H. Dicke and P.J.E. Peebles, Roll PG, Wilkinson DT. ApJ 142:414 (1965).
[128] B.E. Coreyand D.T. Wilkinson, Bull. Am. Astron. Soc. 8:351 (1976).
[129] G.F. Smoot, M.V. Gorenstein and R.A. Muller RA. 39:898 (1977).
[130] G.F. Smoot et al., ApJ. L. 371:L1 (1991).
[131] G.F. Smoot et al., ApJ. L. 396:L1 (1992).
[132] A. Kogut et al., ApJ. 419:1 (1993).
[133] D. J. Fixsen, et al. ApJ 402,32 (1994).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejg .��!B���
[134] Particle Data Group, Europ. Phys. J. C 3, 128 (1998).
[135] M. Zaldarriaga, Lecture note.
[136] W. Hu N. Sugiyama and J. Silk, Nature 386 (1997) 37-43, arXiv:astro-ph/9604166.
[137] W.Hu, PhD thesis, arXive:astro-ph/9508126.
[138] A.A. Starobinsky, Sov. Astron. Lett. 11:133 (1985).
[139] A.R. Liddle, D.H. Lyth, Physical Review B, 291:391 (1992).
[140] R.L. Davis et al., Phys.Rev.Lett. 69 (1992) 1856-1859.
[141] F. Lucchin, S. Matarrese and S. Mollerach Astrophys.J. 401 (1992) L49.
[142] J.E. Lidsey and P. Coles, Astrophys.J. 258:L57 (1992).
[143] M.S. Turner, Phys. Rev. D 48:3502 (1993).
[144] M.S. Turner, Phys. Rev. D 48:5539 (1993).
[145] E.J. Copeland et al., PRL 71:219 (1993).
[146] E.J. Copeland, E.W. Kolb, A.R Liddle and J.E. Lidsey, Phys. Rev. D 48:2529 (1993).
[147] E.J. Copeland, E.W. Kolb, A.R Liddle and J.E. Lidsey, Phys. Rev. D 49:1840 (1994).
[148] A.R. Liddle and M.S. Turner, Phys. Rev. D 50:758 (1994).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejd .��!B���
[149] P.J.E. Peebles and J.T. Yu, Astrophys. J. 162, 815 (1970).
[150] E.R. Harrison, Phys. Rev. D 1:2726 (1970).
[151] R.A. Sunyaev and Y.B. Zeldovich, Comm. Ap.Sp.Phys. 4, 173 (1972).
[152] A. Linde and V. F. Mukhanov, Phys. Rev. D 56, 535 (1997).
[153] I. Antoniadis, P. O. Mazur and E. Mottola, Comment on ” Nongaussian Isocurvature
Perturbations from Inflation”, arXiv:astro-ph/9705200.
[154] P. J. E. Peebles, Ap.J. 510, 531 (1999).
[155] P. J. E. Peebles, Ap.J. 510, 523 (1999).
[156] P.G. Ferreira, J. Magueijo and K.M. Gorski, Astrophys.J. 503 (1998) L1-L4.
[157] M. Kamionkowski and A. Kosowsky, Rev.Nucl.Part.Sci. 49 (1999) 77-123, arXiv:astro-
ph/9904108.
[158] A. Hajian and T. Souradeep, arXiv:astro-ph/0501001.
[159] Chung-Pei Ma, Edmund Bertschinger, Astrophys.J. 455 (1995) 7-25.
[160] M. Tegmark, ApJ. 480, L87 (1997).
[161] K. Schwarzschild, Vierteljahrsschrift Astron. Gesellschaft 35, 337, (1900).
[162] A. Einstein, Sitzungsber. Preuβ. Akad. Wiss. 142, (1917).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejL .��!B���
[163] G.F.R. Ellis, Gen. Rel. Grav. 2, 7 (1971).
[164] D. D. Sokolov and V. F. Shvartsman (1974) Zh. Eksp. Theor. Fiz. 66, 412 [JETP,39, 196
(1974)].
[165] J. R. Gott, Mon. Not. R. Astr. Soc. 193, 153 (1980).
[166] M. Lachieze-Rey and J.P. Luminet, Phys. Rep. 25, 136 (1995).
[167] de Oliveira-Costa, A. Smoot, G. F., Starobinsky, A. A., ApJ 468, 457 (1996).
[168] G. Starkman, Class. Quantum Grav. 15, 2529 (1998).
[169] J. Levin, E. Scannapieco, J. Silk, Class.Quant.Grav. 15, 2689 (1998).
[170] J.R. Bond, D. Pogosyan and T. Souradeep, Class. Quant. Grav. 15, 2671 (1998); ibid.
Phys. Rev. D 62,043005 (2000); Phys. Rev. D 62,043006 (2000).
[171] A. de Oliveira-Costa, M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A. Hamilton, Phys. Rev.D69,
063516 (2004).
[172] P. Dineen, G. Rocha and P. Coles, Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 358 (2005) 1285-1289.
[173] C.J. Copi, D. Huterer and G.D. Starkman, Phys.Rev. D 70 (2004) 043515.
[174] B. Ratra, Astrophys.J. 391, L1 (1992).
[175] K. Bamba and J. Yokoyama, Phys.Rev. D 69 (2004) 043507.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ejK .��!B���
[176] R. Durrer, T. Kahniashvili and A. Yates, Phys. Rev. D 58, 3004 (1998).
[177] G. Chen, P. Mukherjee, T. Kahniashvili, B. Ratra and Y. Wang, Astrophys.J. 611 (2004)
655.
[178] A. Hajian, G. Chen, T. Souradeep, T. Kahniashvilli and B. Ratra, in preparation (2004).
[179] J. M. Bardeen, J. R. Bond, N. Kaiser and A. S. Szalay, Ap. J. 304, 15 (1986).
[180] J. R. Bond, and G. Efstathiou, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 226, 655 (1987).
[181] P. Coles, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 234, 509 (1988).
[182] G. F. Smoot, L. Tenorio, A. Kogut, E. L. Wright, Ap. J. 437, 1 (1994).
[183] A. Kogut, A. J. Banday, Ap. J. Lett. 464, L29 (1996).
[184] S. Winitzki, and A. Kosowsky, New Astronomy 3, 75 (1997).
[185] A. Bershadskii and K. R. Sreenivasan, Phys. Lett. A. 319, 21 (2003).
[186] A. F. Heavens, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 299, 805 (1998).
[187] J. Schmalzing and K.M. Gorski, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 297, 355 (1998).
[188] P. G. Ferreira, J. Magueijo and K. M. Gorski, Ap. J. Lett. 503, L1 (1998).
[189] J. Pando, D. Valls-Gabaud and L. Z. Fang, Phys. Rev. Lett. 81, 4568 (1998).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egm .��!B���
[190] B. C. Bromley and M. Tegmark, Ap. J. Lett. 524, L79 (1999).
[191] A. J. Banday, S. Zaroubi and K. M. Gorski, Ap. J. 533, 575 (2000).
[192] C. R. Contaldi, P. G. Ferreira, J. Magueijo and K. M. Gorski, Ap. J. 534, 25 (2000).
[193] P. Mukherjee, M. P. Hobson and A. N. Lasenby, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 318, 1157
(2000).
[194] J. Magueijo, Ap. J. Lett. 528, L57 (2000).
[195] D. Novikov, J. Schmalzing and V. F. Mukhanov, A&A 364, 17 (2000).
[196] H. B. Sandvik and J. Magueijo, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 325, 463 (2001).
[197] J. Magueijo, Ap. J. Lett. 528, L57 (2000).
[198] R. B. Barreiro, M. P. Hobson, A. N. Lasenby, A. J. Banday, K. M. Gorski and G. Hinshaw,
Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 318, 475 (2000).
[199] N. G. Phillips and A. Kogut, Ap. J. 548, 540 (2001).
[200] E. Komatsu and U. Seljak, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 336, 1256 (2002).
[201] E. Komatsu and D. N. Spergel, Phys. Rev. D 63, 63002 (2001).
[202] M. Kunz, A. J. Banday, P. G. Castro, P. G. Ferreira and K. M. Gorski, Ap. J. Lett. 563,
L99 (2001).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egJ .��!B���
[203] N. Aghanim, O. Forni and F. R. Bouchet, A&A 365, 341 (2001).
[204] L. Cayon, E. Martinez-Gonzalez, F. Argueso, A. J. Banday and K. M. Gorski, Mon. Not.
Roy. Astron. Soc., 339, 1189 (2003).
[205] C. Park, B. Ratra and M. Tegmark, Ap. J. 556, 582 (2001).
[206] S. F. Shandarin, H. A. Feldman, Y. Xu and M. Tegmark, Ap. J. S. 141, 1 (2002).
[207] J. H. Wu et al., Phys. Rev. Lett. 87, 251303 (2001).
[208] M. G. Santos, A. Cooray, Z. Haiman, L. Knox and Ch. Ma., Ap. J. 598, 756 (2003).
[209] G. Polenta et al., Ap. J. Lett. 572, L27 (2002).
[210] A. Hajian and T. Souradeep, Astrophys.J. 597 (2003) L5-L8, arXiv:astro-ph/0308001.
[211] A. Hajian and T. Souradeep, Astrophys.J. 618 (2004) L63-L66, arXiv:astro-ph/0406354.
[212] A. Hajian and T. Souradeep, Invited talk at the 14th international workshop on General
relativity and Gravitation (JGRG-14), Yukawa Institute for Theoretical Physics, Nov 29-
Dec 3, 2004, arXiv:astro-ph/0502248.
[213] A. Hajian and T. Souradeep, arXiv:astro-ph/0607153.
[214] T. Souradeep, A. Hajian and S. Basak, New Astron.Rev. 50 (2006) 889-895 arXiv:astro-
ph/0607577.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
ege .��!B���
[215] Risken H. The Fokker-Planck equation, Springer, Berlin, 1984.
[216] F. Ghasemi, PhD Thesis 1384.
[217] C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the natural
Science , Second edition, Springer Publication (1989).
[218] D. E. Newland, an Introduction to Random vibrations, Spectral and wavlete analysis Third
edition, Longman Publication (1993).
[219] E. P. Donoghue, J. F. Donoghue, Phys. Rev. D 71, 043002 (2005); A. Hajian, T. Souradeep
and N. Cornish, ApJ, 618, 63 (2004).
[220] F Ghasemi, A Bahraminasab, M Sadegh Movahed, Sohrab Rahvar, K R Sreenivasan and
M Reza Rahimi Tabar, J. Stat. Mech. (2006) P11008.
[221] R. Friedrich, J. Zeller and J. Peinke, Europhys. Lett. 41, 153 (1998).
[222] G.R. Jafari, S.M. Fazlei, F. Ghasemi, S.M. Vaez Allaei, M.R. Rahimi Tabar, A. Iraji Zad
and G. Kavei, Phys. Rev. Lett. 91 226101 (2003).
[223] F. Ghasemi, J. Peinke, M. Sahimi and Reza Rahimi Tabar, Eur. Phys. J. B 47, 411-415
(2005).
[224] Jr. R.Colistete , J.C. Fabris, S. V. B. Gon?calves and P. E. de Souza , Int. J. Mod. Phys.
D 13, 669 (2004).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egf .��!B���
[225] A. Eke, P. Herman, L. Kocsis and L. R. Kozak, Physiol. Meas. 23, R1-R38 (2002).
[226] H. E. Hurst, R. P. Black and Y. M. Simaika Y M,Long-term storage. An experimental
study (Constable, London) (1965).
[227] C. K. Peng, S.V. Buldyrev, S. Havlin, M. Simons, H.E. Stanley and A.L. Goldberger,
Phys. Rev. E 49, 1685 (1994); S.M. Ossadnik et al., Biophys. J. 67, 64 (1994).
[228] S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin, R. N. Mantegna, M. E. Matsa, C.-K. Peng, M.
Simons, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 51, 5084 (1995); S. V. Buldyrev, N. V. Dokholyan,
A. L. Goldberger, S. Havlin, C.-K. Peng, H. E. Stanley, and G. M. Viswanathan, Physica
A 249, 430 (1998).
[229] C.-K. Peng, S. Havlin, H. E. Stanley, and A. L. Goldberger, Chaos 5, 82 (1995); P.
Ch. Ivanov, A. Bunde, L. A. N. Amaral, S. Havlin, J. Fritsch-Yelle, R. M. Baevsky, H.
E. Stanley, and A. L. Goldberger, Europhys. Lett. 48, 594 (1999); Y. Ashkenazy, M.
Lewkowicz, J. Levitan, S. Havlin, K. Saermark, H. Moelgaard, P. E. B. Thomsen, M.
Moller, U. Hintze, and H. V. Huikuri, Europhys. Lett. 53, 709 (2001); Y. Ashkenazy, P.
Ch. Ivanov, S. Havlin, C.-K. Peng, A. L. Goldberger, and H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett.
86, 1900 (2001).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egi .��!B���
[230] A. Bunde, S. Havlin, J. W. Kantelhardt, T. Penzel, J.-H. Peter, and K. Voigt, Phys. Rev.
Lett. 85, 3736 (2000).
[231] S. Blesic, S. Milosevic, D. Stratimirovic, and M. Ljubisavljevic, Physica A 268, 275 (1999);
S. Bahar, J. W. Kantelhardt, A. Neiman, H. H. A. Rego, D. F. Russell, L. Wilkens, A.
Bunde, and F. Moss, Europhys. Lett. 56, 454 (2001).
[232] J. M. Hausdorff, S. L. Mitchell, R. Firtion, C.-K. Peng, M. E. Cudkowicz, J. Y. Wei, and
A. L. Goldberger, J. Appl. Physiology 82, 262 (1997).
[233] E. Koscielny-Bunde, A. Bunde, S. Havlin, H.E. Roman, Y. Goldreich, and H.-J. Schellnhu-
ber, Phys. Rev. Lett. 81, 729 (1998); K. Ivanova and M. Ausloos, Physica A 274, 349
(1999); P. Talkner and R.O. Weber, Phys. Rev. E 62, 150 (2000); R. G. Kavasseri and R.
Nagarajian, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 51, 2255 (2004).
[234] K. Ivanova, M. Ausloos, E. E. Clothiaux, and T. P. Ackerman, Europhys. Lett. 52, 40
(2000).
[235] C. L. Alados and M. A. Huffman, Ethnology 106, 105 (2000).
[236] R. N. Mantegna and H. E. Stanley, An Introduction to Econophysics (Cambridge University
Press, Cambridge, 2000); Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, C.-K. Peng, and
H. E. Stanley, Phys. Rev. E 60, 1390 (1999); N. Vandewalle, M. Ausloos, and P. Boveroux,
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egj .��!B���
Physica A 269, 170 (1999); P. Oswiecimka, J. Kwapien and S. Drozdz, Physica A, 347,
626 (2005).
[237] M. Sadegh Movahed, G. R. Jafari, F. Ghasemi, Sohrab Rahvar and M. Reza Rahimi Tabar,
J. Stat. Mech. P02003 (2006).
[238] M. Sadegh Movahed and E. Hermanis, arXiv:physics/0608056.
[239] M. S. Taqqu, V. Teverovsky, and W. Willinger, Fractals 3, 785 (1995).
[240] J. W. Kantelhardt, E. Koscielny-Bunde, H. H. A. Rego, S. Havlin, and A. Bunde, Physica
A 295, 441 (2001).
[241] K. Hu, P. Ch. Ivanov, Z. Chen, P. Carpena, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 64, 011114
(2001).
[242] Z. Chen, P. Ch. Ivanov, K. Hu, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 65, (2002).
[243] J. W. Kantelhardt, R. Berkovits, S. Havlin, and A. Bunde, Physica A 266, 461 (1999); N.
Vandewalle, M. Ausloos, M. Houssa, P. W. Mertens, and M. M. Heyns, Appl. Phys. Lett.
74, 1579 (1999).
[244] J. Feder, Fractals (Plenum Press, New York, 1988).
[245] A.L. Barabasi and T. Vicsek, Phys. Rev. A 44, 2730 (1991).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egg .��!B���
[246] H.O. Peitgen, H. Jurgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals (Springer-Verlag, New York,
1992), Appendix B.
[247] E. Bacry, J. Delour, and J. F. Muzy, Phys. Rev. E 64, 026103 (2001).
[248] U. Fano, Phys. Rev. 72, 26 (1947).
[249] J. A. Barmes and D. W. Allan, Proc. IEEE 54, 176 (1996).
[250] S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger, S. Havlin, R. N. Mantegna, M. E. Matsa, C. K. Peng,
M. Simons, H. E. Stanley, Phys. Rev. E 51, 5084 (1995).
[251] Taqqu M S, Teverovsky V and Willinger W, 1995 Fractals 3, 785
[252] For the maximum scale s = N the fluctuation function Fq(s) is independent of q, since the
sum in Eq. (reffdef) runs over only two identical segments (Ns ≡ [N/s] = �). For smaller
scales s � N the averaging procedure runs over several segments, and the average value
Fq(s) will be dominated by the F�(s, ν) from the segments with small (large) fluctuations
if q < � (q > �). Thus, for s � N , Fq(s) with q < � will be smaller than Fq(s) with
q > �, while both become equal for s = N . Hence, if we assume an homogeneous scaling
behavior of Fq(s) following Eq. (refHq), the slope h(q) in a log-log plot of Fq(s) with q < �
versus s must be larger than the corresponding slope for Fq(s) with q > �. Thus, h(q) for
q < � will usually be larger than h(q) for q > �.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egd .��!B���
[253] J. W. Gantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Kosciliny-Bunde, A. Bunde, S. Pavlin and H. E.
Stanley, Physica A 316, 78-114 (2002).
[254] M. Sadegh Movahed et. al., Submitted to Phys. Rev. D, arXiv:astro-ph/0602461.
[255] A. Bershadskii and K. R. Sreenivasan, Phys. Lett., A 21, 319 (2003).
[256] P.R. Bevington and D.K. Robinson, Data reduction and error analysis for the physical
sciences McGraw-Hill, 1992.
[257] J. Honerkamp, Statistical Physics, Springer, second edition 2002.
[258] S. Brandt, Statistical and Computational Methods in Data Analysis, second, revised edi-
tion. North-Holland publication, 1976.
[259] J. O. Berger, B. Liseo and R.L. Wolpert, Statistical science vol. 14, No. 1, 1-28 (1999).
[260] http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/italia
[261] H. Bindslev, JET Joint Undertaking, Abingdon, Oxfordshire, OX14 3EA, UK.
[262] J.A. Harting, The Annals of Statistics, vol. 26, No. 6, 2083-2103 (1998).
[263] N.C. Barford, Experimental measurements: Precision, Error and Truth, John Wilew Sons,
second edition (1985).
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
egL .��!B���
[264] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vettering and B. P. Flannery, Numerical Recipes,
Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
[265] M.Srednicki, arXiv:astro-ph/9306012.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
Abstract
Standard model of cosmology including inflation is a successful model to describe the evolution
of our universe. Recent observation of cosmic microwave background radiation and supernovae type
Ia show that the expansion rate of universe is positive and almost �/� of amount of total density
of matter in universe is formed by an exotic matter with negative pressure with the equation of
state of w� < −�/�. In CDM, cosmological constant can describe this equation of state. It is well-
known that this constant has two main problems: Cosmic Coincidence and Fine tuning. The first
one states that since the energy densities of dark energy and dark matter scale so differently during
the expansion of the Universe, why are they nearly equal today?. The second one demonstrates that
the theoretical cosmological constant with ��� orders of magnitude larger than the observed value
of ��−�� GeV�. There are some efforts to solve two above problems, one of them is variable dark
energy model or quintessence model. In this thesis I investigate two phenomenological quintessence
models. We compare these model with large structure formation CMB shift parameter, Baryonic
acoustic oscillation , distance modulus of supernovea type Ia and growth index of large scale structure
observations and put constraints on the free parameters of model. In the second part, we analysis
statistically the CMB data of WMAP experiment. We show that temperature fluctuations at the last
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
edm .��!B���
scattering surface is markov chain with markov angular scale, ΘMarkov = �.��+�.��−�.��
. The Langevin
equation to regenerate temperature field is given. To investigate the Gaussianity and Statistical
Isotropy of temperature fluctuations, some fractal analysis methods are used.
Keywords: Standard model, Structure formation, Drak energy, CMB, Statistical isotropy, Gaussian-
ity.
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir
�Sharif University of Technology
Department of Physics
Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of PhD
Field: Complex Systems and Cosmology
Cosmology of Variable Dark Energy and
Statistical Analysis of Cosmic Microwave
Background Radiation
by
M. Sadegh Movahed
Under supervision of
Dr. Sohrab Rahvar & Dr. M.R. Rahimi Tabar
November 2006
By:
Movah
ed
www.smov
ahed
.ir