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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1Tema 3
Tema 3
Potenciasy
notación científica
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2Tema 3
ESQUEMA DE LA UNIDAD
1. Potencia !e e"#onente ne$ati%o
2. Notaci&n cient'(ica
3. O#e)acione en notaci&n cient'(ica
S*ma + ,eta
M*-ti#-icaci&n Di%ii&n
. ,a!ica-e !e 'n!ice n
/. O#e)acione con )a!ica-e. P)o#ie!a!e
0. Potencia !e e"#onente nat*)a-. P)o#ie!a!e.
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3Tema 3
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios
factores iguales.
a·a·a·a·a = a5
Eem#-o La potencia de base 3 y exponente 5 es:
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
Potencia !e e"#onente nat*)a-
B!"
"#P$%"%&"
"#P$%"%&"
B!"
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Tema 3
Por e'emplo( para calcular 1453 tecleamos:
y obtenemos como resultado en pantalla )(*++.
C6-c*-o !e #otencia con -a ca-c*-a!o)a
Para calcular potencias con la calculadora utili,amos la tecla "+ o "7+
1 4 "7+ 3 8
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA /Tema 3
P)o#ie!a!e !e -a #otencia !e e"#onente nat*)a-P)o!*cto !e #otencia !e -a mima 9ae
Si multiplicamos dos potencias de la misma base,el resultado es otra potencia de la misma base cuyoexponente es la suma de los exponentes.
an · am = an + m 32 · 34 = 36
Cociente !e #otencia !e -a mima 9ae
Si dividimos dos potencias de la misma base, elresultado es otra potencia de la misma base cuyoexponente es igual a la dierencia de losexponentes.
an ! am = = an – m con n > mm
n
a
a
5
2
3
3 =
3 3 3 3 3
3 3
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
33
Potencia !e *na #otencia
Si elevamos una potencia a unnuevo exponente, el resultado esotra potencia con la misma basecuyo exponente es el producto delos exponentes.
(an)m = an · m ( ) 623 22 =
Potencia !e *n #)o!*cto
Potencia !e *n cociente
(a·b)n = an · bn
(a : b)n =
n
b
a
n
n
b
a=
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA :Tema 3
1. Potencia !e e"#onente ne$ati%o
-amos a dar significado a la expresión a –n( ue es una potencia en la ue
el exponente es un n/mero negativo. &ambi0n a la expresión a0( en la ueel exponente es 1. Para ello( utili,amos la propiedad del cociente de
potencias de la misma base.
33333
33333
3
34
5
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
"3333
3333
3
34
4
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
25
3
3
"
33333
333
3
3=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
"454
5
333
3== −
#444
4
333
3== −
2535
3
33
3
3 −− ==
33"=
"3# =
22
3
"3 =−
$plicando la deinici%n
de potencia ysimpliicando
$plicando la propiedad del
cociente de potencias deigual base
Si los dos resultados &an
de ser iguales debe ser!
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA ;Tema 3
Los e'emplos anteriores nos permite darnos cuenta de ue es necesario
definir las potencias de exponente negativo 2ue ya no consisten en
multiplicar un n/mero por sí mismo de manera ue adem4s sigan
cumpliendo las propiedades ue ya conocemos.
Las potencias de exponente entero se definen así:
► an = a . a . a . ... . a( para n natural y mayor ue .
► a1 = 1
► a0 = a
► a –n = para n natural y n 6 1"an
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA <Tema 3
Potencia !e e"#onente ne$ati%o con -a ca-c*-a!o)a
74lculo de 23(+ 8) con la calculadora
3 4 "7+ 2 8
"n la pantalla aparece
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA =Tema 3
P6$ina 3 !e- -i9)o
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 10Tema 3
2. Notaci&n cient'(ica
"xisten numerosos contextos donde aparecen n/meros muy grandes o
muy peue9os. Las masas de los astros( las distancias interestelares
son cantidades muy grandes; el peso de los 4tomos( el di4metro de un
glóbulo ro'o son cantidades muy peue9as.
Para traba'ar con ellos utili,amos la notaci&n cient'(ica. "n ella tienen
gran importancia las potencias de 1.
"l di4metrodel !ol es
3<) 111 111 m
"l di4metro
medio de un 4tomo es
1(111 111 111 3 m
"l di4metrodel !ol es
(3<) = 1< m"l di4metro
medio de un 4tomo es
3 = 1>1 m
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 11Tema 3
11 ?
1 ? x 1 ? 1
1) ? x 1 x 1 ? 11
13 ? x 1 x 1 x 1 ? 111
1 8 ? ? ? 1(
1
1
1 8) ? ? ? 1(1
1 = 1
1)
1 83 ? ? ? 1(11
1 = 1 = 1
13
Potencia !e 10
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 12Tema 3
P)e(io S'm9o-o Decima- E>*i%a-ente Potencia !e 10
tera' T " ### ### ### ### "#"2
giga' ( " ### ### ### "#)
mega' * " ### ### "#6
+ilo' " ### "#3
&ecto' & "## "#2
deca' da "# "#"
" "##
deci' d #," "#'"
centi' c #,#" "#'2
milli' m #,##" "#'3
micro' µ #,### ##" "#'6
nano' n #,### ### ##" "#')
pico' p #,### ### ### ##" "#'"2
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 13Tema 3
% x 1n
"l n/mero de 4tomos en ) g de carbono:
@1) )11 111 111 111 111 111 111 @(1)) = 1)3
La masa de un 4tomo de carbono en gramos:
1(1111111111111111111111<< (<< = 1>)3
La e"#)ei&n !e *n n?me)o en notaci&n cient'(ica conite en)e#)eenta)-o como *n n?me)o ente)o o *n !ecima- con *na o-a
ci()a ente)a en am9o cao !e- 1 a- =5 m*-ti#-ica!o #o) *na#otencia !e 10 #oiti%a o ne$ati%a5.
% es un n/mero
entre y 1
n es un n/mero entero
positivo o negativo
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1Tema 3
-n nmero en notaci%n cient/ica 0 = a,bcd... . "#n consta de!
1 -na parte entera ormada por una s%lo cira! a1 -na parte decimal! bcd ...1 -na potencia de base "# con exponente entero! "#n
n esta notaci%n el exponente n indica el orden de la magnitud.
)1 311 tiene cinco dígitos enteros; tendremos ue despla,ar la coma Aacia
la i,uierda + lugares( es decir( )1 311 ? )(13 = 1+.
1(11115@ tiene como primer dígito no nulo 5. abr4 ue despla,ar la coma
Aacia la derecAa 5 lugares; 1(11115@ ? 5(@ = 15.
Cado un n/mero en notación científica( llamamos o)!en !e ma$nit*! al
exponente de la potencia de 1. %os da una idea clara de cómo es el
n/mero con el ue estamos tratando. Por e'emplo( si es @( estamos
Aablando de millones; si es )( de billones; si es 83( de mil0simas( etc.
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1/Tema 3
E"#)ea) *n n?me)o en notaci&n cient'(ica
1(1 1 1 1 ) ) 1 5 ? )()15 = 1 85
3 <1 111 ? 3(< = 1@
123/:
1 2 3 /
%D en notación decimal %D en notación científica
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1:Tema 3
E"#)ea) *n n?me)o !a!o en notaci&n cient'(ica
en notaci&n !ecima-
1(111 11 )3+ 31+ 111
()3+ = 1 8@
Puesto ue el exponente es 8@(
Aacer el n/mero m4s peue9o
moviendo la coma decimal @lugares a la i,uierda.
!i faltan dígitos( a9ade ceros.
111 11()3+
3(1+ = 15
Puesto ue el exponente es 5(
Aacer el n/mero m4s grande
moviendo la coma decimal 5lugares a la derecAa.
!i faltan dígitos( a9ade ceros.
3(1+ 111
Por tanto(
()3+ = 1 8@ ? 1(111 11 )3+Por tanto(
3(1+ = 15 ? 31+ 111
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1;Tema 3
!i al traba'ar con calculadora reali,amos
operaciones con resultados muy grandes omuy peue9os( es ella la ue los expresa en
notación científica autom4ticamente.
as calculadoras muestran nmeros ennotaci%n cient/ica. $s/ el nmero ue
muestra la calculadora es!
##)43,#"###
43,)"#46,) 3 ==⋅ −
N?me)o en notaci&n cient'(ica en -a ca-c*-a!o)a
Para introducir el n/mero *(3 = 1< tecleamos
Para introducir E(@+ = 1 83 teclearemos
!e utili,an las teclas E@P +
; 4 3 E@P =
< 4 : E@P 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1<Tema 3
P6$ina !e- -i9)o
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1=Tema 3
3. O#e)acione con n?me)o en notaci&n cient'(ica
Feali,ar c4lculos con n/meros escritos en notación científica es muy f4cil:basta con operar( por un lado( con los n/meros ue aparecen antes de la
potencia de 1 y( por otro( con las potencias.
S*ma + )eta en notaci&n cient'(ica
7onsideremos la suma )(35 = 1* G ()@+ = 1*. 7omo el exponente deambos n/meros es el mismo( basta con sacar factor com/n 1*:
)(35 = 1* G ()@+ = 1* ? 2)(35 G ()@+ = 1* ? 3(@+ = 1*
7uando el exponente de ambos es diferente( se reducen a exponentecom/n 2el mayor de ellos multiplicando el menor por la potencia de 1
adecuada.
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 20Tema 3
+(3 = 1 G 3(< = 13 ?
? +(3 = 1 G 1(3< = 1 ?
? 2+(3 G 1(3<=1
? +(*1 = 1
Eem#-o
Eem#-o 7alcula la suma
scribe los dos nmeros con elmismo exponente el mayor.
3,) · "#3 = #,3) · "#4
2() = 13 G 23(+ = 15
() = 13 ? 1(1) = 13G)?5 21(1) = 15 G 23(+ = 15 ?
21(1) G 3(+ = 15
? 3(+) = 15
7espla8a 2←
Suma 2
scribe ",2 · "#3 con exponente 5.
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 21Tema 3
Para reali,ar restas se sigue el mismo proceso: se reducen al exponente
mayor y se resta la parte entera o decimal de ambos n/meros.
Eem#-o 23(+ = 15 8 2() = 1+
() = 1+ ? 1() = 1+G?5
23(+ = 15 8 21() = 15 ?
23(+ 8 1() = 15
? 3()E = 15
Suma "
7espla8a "←
2() = 1 8@ G 23() = 1 8* ?
3() = 1 8* ? 1(3) = 1 8*G?8@
2() = 1 8@ G 21(3) = 1 8@ ? 2() G 1(3) = 1 8@
? (5) = 1 8@
7espla8a "←
25(@ = 1 8@ 8 23(+ = 1 8< ?
3(+ = 1 8< ? 1(113+ = 1 8<G3?8@
25(@ = 1 8@ 8 21(113+ = 1 8@ ? 25(@ 8 1(113+=1 8@
? 5(5<@@ = 1 8@
7espla8a 3←
Eem#-o
Eem#-oSuma "
Suma 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 22Tema 3
P6$ina / !e- -i9)o
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 23Tema 3
Para multiplicar n/meros en notación científica( multiplica los primerosfactores decimales y suma los exponentes.
"'emplo:
:4;2 10B2
"'ercicio: Hultiplica 2< = 1* = 2(5 = 1+ 143/ 1012
M*-ti#-icaci&n + !i%ii&n en notaci&n cient'(ica
Hultiplica 23() = 1 8* = 2)( = 15
23() = )( = 1 8*G5 ?
Para dividir n/meros en notación científica( divide el primer factor decimal del
numerador por el primer factor decimal del denominador. Entonces resta el
exponente del denominador al exponente del numerador.
"'emplo:
34;: 10
"'ercicio: Civide 2)(+ = 1 8*
: 23( = 1+
;4; 10B22
Civide 2@(+ = 1@ : 2(* = 1)
2@(+ : (* = 1@8) ?
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2Tema 3
O#e)acione en notaci&n cient'(ica con -a ca-c*-a!o)a
Para multiplicar o dividir en la calculadora basta con teclear los factores
2incluso sin expresarlos en notación científica:
"n pantalla obtenemos:
sí( para Aacer la multiplicación 31< /4=2; 1025( tecleamos:
-amos a calcular la suma =4/: 1013 14:; 101:.
7on la calculadora la suma se reali,a de forma muy r4pida y sencilla( no
Aace falta reducir al exponente mayor 2lo Aace ella sola.
&ecleamos:
y en pantalla obtenemos el resultado:
= 4 /: E"# 13 1 4 :; E"# 1: 8
Fecuerda ue esto
significa
14:;=/: 101:
31< " / 4 =2; E"# 2 8
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2/Tema 3
P6$ina : !e- -i9)o
Ó Í
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2:Tema 3
. ,a!ica-e
La elevación a potencias tiene una operación inversa:
la radicación. "n ella se conoce la potencia y elexponente y tenemos ue encontrar la base.
¿Cuál es el lado de un cuadrado de área 25 cm2 ?
!abemos ue el 4rea del cuadrado es a) ? )5.
Cebemos encontrar un n/mero ue elevado al
cuadrado nos d0 )5.
ese n/mero se le llama la )a' c*a!)a!a de )5 y se
escribe √)5. 7omprueba ue 5 y 85 son raíces
cuadradas de )5. "n este caso sólo consideramos el
valor 5( ya ue un lado negativo carece de sentido.
¿Cuál es la longitud de la arista del cubo de volumen 27 cm3?
"n este caso tenemos ue encontrar un n/mero ue
elevado al cubo nos d0 )*. "se n/mero es la )a'c?9ica de )* y se escribe . "n este caso su valor
es 3( 33
? )*.
329
Ó Í
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2;Tema 3
En $ene)a- --amamoraíz n-ésima
!e *n n?me)o !a!o a- n?me)o>*e e-e%a!o a n no !a e- #)ime)o.
radical radicando
:ndice
rriba Aemos visto e'emplos de radicales de índice ) 2cuadr4ticos y de
índice 3 2c/bicos. $bserva ue( en el caso de los cuadr4ticos( el índice no
se escribe.
b = a ⇔ bn = an
naSe ec)i9e
Ó Í
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2<Tema 3
P6$ina ; !e- -i9)o
Ó ÍT 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2=Tema 3
/. O#e)acione con )a!ica-e. P)o#ie!a!e
la Aora de operar con
radicales es interesante
ue sepas cómo Aallar sus
valores utili,ando la
calculadora científica.
Por e'emplo( para Aallar tecleamos:59
en ambos casos obtenemos
allar el radical de índice n de un n/mero euivale en la calculadora
científica a elevar dicAo n/mero a 1In. Cespu0s veremos el significado de
las potencias de exponente fraccionario.
; "+ / 1" 8 ; "+ 1 a9c / 8o bien
"+
1"
a9c
Tec-a #a)a e- c6-c*-o !e )a!ica-e"leva el n/mero x a la potencia
7alcula el inverso del n/mero x
Permite escribir fracciones
O C S O C Ó C Í CT 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 30Tema 3
. Producto de radicales ;ara multiplicar radicales del mismo/ndice se de<a el mismo /ndice y semultiplican los radicandos.
). 7ociente de radicales
3. Potencia de un radical
+. Faí, de una raí,
;ara dividir radicales del mismo/ndice se de<a el mismo /ndice y sedividen los radicandos.
;ara elevar un radical a una
potencia se eleva el radicando adic&a potencia.
;ara &allar el radical de otroradical se multiplican los /ndicesde ambos.
P)o#ie!a! Eem#-o En*ncia!o
P)o#ie!a!e !e -o )a!ica-e
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 31T 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 31Tema 3
La primera propiedad tiene una aplicación muy importante a la Aora de
introducir 2o sacar factores de un radical. $bserva unos e'emplos:
2"#2·2·52·52·52## 3232 ====
953·53·53·5 22 ===
33 333 33 4#5·25·252 ===
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 32T 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 32Tema 3
,aciona-iacione
1 n los clculos manuales, conviene evitar denominadores con ra/ces.1 l proceso de obtener como denominador un nmero racional se llama
racionali8aci%n.1 ste proceso puede ser necesario para simpliicar.
=
+−
+635635
6352=− 35
2=
−+35
35235 +
=2
2=
⋅⋅
22
22=
⋅22
22=
⋅2
222
=52 =⋅⋅ 5552 =⋅ 25
525
52 ⋅
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 33T 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 33Tema 3
P6$ina < !e- -i9)o
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3Tema 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3Tema 3
Potencia !e e"#onente ()acciona)io
-na potencia de exponente raccionario es igual a un radical donde1 el denominador de la racci%n es el /ndice del radical, y
1 el numerador de la racci%n es el exponente del radicando.
n mn
m
aa =
>?u@ sentido se le puede dar a expresiones del tipo , , A2
"
a 3
"−
a 3
5
a
aaa =⋅
aaaa =⋅⋅ 333
aa =2
"
33
"
aa =
aaaaa ===⋅ +
"2
"
2
"
2
"
2
"
aaaaaa ===⋅⋅ ++
"3
"
3
"
3
"
3
"
3
"
3
"
$plicando la deinici%nde ra/8
$plicando la propiedad del productode potencias de igual base
Si los dos resultados&an de ser iguales
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3/Tema 3
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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 3/Tema 3
74lculo con potencias y raíces
1 as potencias de exponente raccionario veriican las mismas propiedadesue las potencias de exponente entero.
1 as operaciones con radicales se pueden reali8ar recurriendo a las potenciasde exponente raccionario
nnnbaba ⋅=⋅
n
n
n
b
a
b
a
=
nmm naa
⋅=
( ) nnn baba
"""
⋅=⋅
n
nn
b
a
b
a
"
""
=
mnmn
m
n aaa ⋅⋅
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