Potencias en fisica

7/21/2019 Potencias en fisica

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POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1Tema 3

Tema 3

Potenciasy

notación científica




ESQUEMA DE LA UNIDAD

1. Potencia !e e"#onente ne$ati%o

2. Notaci&n cient'(ica

3. O#e)acione en notaci&n cient'(ica

S*ma + ,eta

M*-ti#-icaci&n Di%ii&n

. ,a!ica-e !e 'n!ice n

/. O#e)acione con )a!ica-e. P)o#ie!a!e

0. Potencia !e e"#onente nat*)a-. P)o#ie!a!e.




Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios

factores iguales.

a·a·a·a·a = a5

Eem#-o La potencia de base 3 y exponente 5 es:

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

Potencia !e e"#onente nat*)a-

B!"

"#P$%"%&"

"#P$%"%&"

B!"



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Tema 3

Por e'emplo( para calcular 1453 tecleamos:

y obtenemos como resultado en pantalla )(*++.

C6-c*-o !e #otencia con -a ca-c*-a!o)a

Para calcular potencias con la calculadora utili,amos la tecla "+ o "7+

1 4 "7+ 3 8



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA /Tema 3

P)o#ie!a!e !e -a #otencia !e e"#onente nat*)a-P)o!*cto !e #otencia !e -a mima 9ae

Si multiplicamos dos potencias de la misma base,el resultado es otra potencia de la misma base cuyoexponente es la suma de los exponentes.

an · am = an + m 32 · 34 = 36

Cociente !e #otencia !e -a mima 9ae

Si dividimos dos potencias de la misma base, elresultado es otra potencia de la misma base cuyoexponente es igual a la dierencia de losexponentes.

an ! am = = an – m con n > mm

n

a

a

5

2

3

3 =

3 3 3 3 3

3 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

33

Potencia !e *na #otencia

Si elevamos una potencia a unnuevo exponente, el resultado esotra potencia con la misma basecuyo exponente es el producto delos exponentes.

(an)m = an · m ( ) 623 22 =

Potencia !e *n #)o!*cto

Potencia !e *n cociente

(a·b)n = an · bn

(a : b)n =

n

b

a

n

n

b

a=



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA :Tema 3

1. Potencia !e e"#onente ne$ati%o

-amos a dar significado a la expresión a –n( ue es una potencia en la ue

el exponente es un n/mero negativo. &ambi0n a la expresión a0( en la ueel exponente es 1. Para ello( utili,amos la propiedad del cociente de

potencias de la misma base.

33333

33333

3

34

5

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

"3333

3333

3

34

4

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

25

3

3

"

33333

333

3

3=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

"454

5

333

3== −

#444

4

333

3== −

2535

3

33

3

3 −− ==

33"=

"3# =

22

3

"3 =−

$plicando la deinici%n

de potencia ysimpliicando

$plicando la propiedad del

cociente de potencias deigual base

Si los dos resultados &an

de ser iguales debe ser!



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA ;Tema 3

Los e'emplos anteriores nos permite darnos cuenta de ue es necesario

definir las potencias de exponente negativo 2ue ya no consisten en

multiplicar un n/mero por sí mismo de manera ue adem4s sigan

cumpliendo las propiedades ue ya conocemos.

Las potencias de exponente entero se definen así:

► an = a . a . a . ... . a( para n natural y mayor ue .

► a1 = 1

► a0 = a

► a –n = para n natural y n 6 1"an



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA <Tema 3

Potencia !e e"#onente ne$ati%o con -a ca-c*-a!o)a

74lculo de 23(+ 8) con la calculadora

3 4 "7+ 2 8

"n la pantalla aparece



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA =Tema 3

P6$ina 3 !e- -i9)o




2. Notaci&n cient'(ica

"xisten numerosos contextos donde aparecen n/meros muy grandes o

muy peue9os. Las masas de los astros( las distancias interestelares

son cantidades muy grandes; el peso de los 4tomos( el di4metro de un

glóbulo ro'o son cantidades muy peue9as.

Para traba'ar con ellos utili,amos la notaci&n cient'(ica. "n ella tienen

gran importancia las potencias de 1.

"l di4metrodel !ol es

3<) 111 111 m

"l di4metro

medio de un 4tomo es

1(111 111 111 3 m

"l di4metrodel !ol es

(3<) = 1< m"l di4metro

medio de un 4tomo es

3 = 1>1 m




11 ?

1 ? x 1 ? 1

1) ? x 1 x 1 ? 11

13 ? x 1 x 1 x 1 ? 111

1 8 ? ? ? 1(

1

1

1 8) ? ? ? 1(1

1 = 1

1)

1 83 ? ? ? 1(11

1 = 1 = 1

13

Potencia !e 10




P)e(io S'm9o-o Decima- E>*i%a-ente Potencia !e 10

tera' T " ### ### ### ### "#"2

giga' ( " ### ### ### "#)

mega' * " ### ### "#6

+ilo' " ### "#3

&ecto' & "## "#2

deca' da "# "#"

" "##

deci' d #," "#'"

centi' c #,#" "#'2

milli' m #,##" "#'3

micro' µ #,### ##" "#'6

nano' n #,### ### ##" "#')

pico' p #,### ### ### ##" "#'"2




% x 1n

"l n/mero de 4tomos en ) g de carbono:

@1) )11 111 111 111 111 111 111 @(1)) = 1)3

La masa de un 4tomo de carbono en gramos:

1(1111111111111111111111<< (<< = 1>)3

La e"#)ei&n !e *n n?me)o en notaci&n cient'(ica conite en)e#)eenta)-o como *n n?me)o ente)o o *n !ecima- con *na o-a

ci()a ente)a en am9o cao !e- 1 a- =5 m*-ti#-ica!o #o) *na#otencia !e 10 #oiti%a o ne$ati%a5.

% es un n/mero

entre y 1

n es un n/mero entero

positivo o negativo




-n nmero en notaci%n cient/ica 0 = a,bcd... . "#n consta de!

1 -na parte entera ormada por una s%lo cira! a1 -na parte decimal! bcd ...1 -na potencia de base "# con exponente entero! "#n

n esta notaci%n el exponente n indica el orden de la magnitud.

)1 311 tiene cinco dígitos enteros; tendremos ue despla,ar la coma Aacia

la i,uierda + lugares( es decir( )1 311 ? )(13 = 1+.

1(11115@ tiene como primer dígito no nulo 5. abr4 ue despla,ar la coma

Aacia la derecAa 5 lugares; 1(11115@ ? 5(@ = 15.

Cado un n/mero en notación científica( llamamos o)!en !e ma$nit*! al

exponente de la potencia de 1. %os da una idea clara de cómo es el

n/mero con el ue estamos tratando. Por e'emplo( si es @( estamos

Aablando de millones; si es )( de billones; si es 83( de mil0simas( etc.



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1/Tema 3

E"#)ea) *n n?me)o en notaci&n cient'(ica

1(1 1 1 1 ) ) 1 5 ? )()15 = 1 85

3 <1 111 ? 3(< = 1@

123/:

1 2 3 /

%D en notación decimal %D en notación científica



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1:Tema 3

E"#)ea) *n n?me)o !a!o en notaci&n cient'(ica

en notaci&n !ecima-

1(111 11 )3+ 31+ 111

()3+ = 1 8@

Puesto ue el exponente es 8@(

Aacer el n/mero m4s peue9o

moviendo la coma decimal @lugares a la i,uierda.

!i faltan dígitos( a9ade ceros.

111 11()3+

3(1+ = 15

Puesto ue el exponente es 5(

Aacer el n/mero m4s grande

moviendo la coma decimal 5lugares a la derecAa.

!i faltan dígitos( a9ade ceros.

3(1+ 111

Por tanto(

()3+ = 1 8@ ? 1(111 11 )3+Por tanto(

3(1+ = 15 ? 31+ 111



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1;Tema 3

!i al traba'ar con calculadora reali,amos

operaciones con resultados muy grandes omuy peue9os( es ella la ue los expresa en

notación científica autom4ticamente.

as calculadoras muestran nmeros ennotaci%n cient/ica. $s/ el nmero ue

muestra la calculadora es!

##)43,#"###

43,)"#46,) 3 ==⋅ −

N?me)o en notaci&n cient'(ica en -a ca-c*-a!o)a

Para introducir el n/mero *(3 = 1< tecleamos

Para introducir E(@+ = 1 83 teclearemos

!e utili,an las teclas E@P +

; 4 3 E@P =

< 4 : E@P 3



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1<Tema 3

P6$ina !e- -i9)o



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1=Tema 3

3. O#e)acione con n?me)o en notaci&n cient'(ica

Feali,ar c4lculos con n/meros escritos en notación científica es muy f4cil:basta con operar( por un lado( con los n/meros ue aparecen antes de la

potencia de 1 y( por otro( con las potencias.

S*ma + )eta en notaci&n cient'(ica

7onsideremos la suma )(35 = 1* G ()@+ = 1*. 7omo el exponente deambos n/meros es el mismo( basta con sacar factor com/n 1*:

)(35 = 1* G ()@+ = 1* ? 2)(35 G ()@+ = 1* ? 3(@+ = 1*

7uando el exponente de ambos es diferente( se reducen a exponentecom/n 2el mayor de ellos multiplicando el menor por la potencia de 1

adecuada.




+(3 = 1 G 3(< = 13 ?

? +(3 = 1 G 1(3< = 1 ?

? 2+(3 G 1(3<=1

? +(*1 = 1

Eem#-o

Eem#-o 7alcula la suma

scribe los dos nmeros con elmismo exponente el mayor.

3,) · "#3 = #,3) · "#4

2() = 13 G 23(+ = 15

() = 13 ? 1(1) = 13G)?5 21(1) = 15 G 23(+ = 15 ?

21(1) G 3(+ = 15

? 3(+) = 15

7espla8a 2←

Suma 2

scribe ",2 · "#3 con exponente 5.




Para reali,ar restas se sigue el mismo proceso: se reducen al exponente

mayor y se resta la parte entera o decimal de ambos n/meros.

Eem#-o 23(+ = 15 8 2() = 1+

() = 1+ ? 1() = 1+G?5

23(+ = 15 8 21() = 15 ?

23(+ 8 1() = 15

? 3()E = 15

Suma "

7espla8a "←

2() = 1 8@ G 23() = 1 8* ?

3() = 1 8* ? 1(3) = 1 8*G?8@

2() = 1 8@ G 21(3) = 1 8@ ? 2() G 1(3) = 1 8@

? (5) = 1 8@

7espla8a "←

25(@ = 1 8@ 8 23(+ = 1 8< ?

3(+ = 1 8< ? 1(113+ = 1 8<G3?8@

25(@ = 1 8@ 8 21(113+ = 1 8@ ? 25(@ 8 1(113+=1 8@

? 5(5<@@ = 1 8@

7espla8a 3←

Eem#-o

Eem#-oSuma "

Suma 3




P6$ina / !e- -i9)o




Para multiplicar n/meros en notación científica( multiplica los primerosfactores decimales y suma los exponentes.

"'emplo:

:4;2 10B2

"'ercicio: Hultiplica 2< = 1* = 2(5 = 1+ 143/ 1012

M*-ti#-icaci&n + !i%ii&n en notaci&n cient'(ica

Hultiplica 23() = 1 8* = 2)( = 15

23() = )( = 1 8*G5 ?

Para dividir n/meros en notación científica( divide el primer factor decimal del

numerador por el primer factor decimal del denominador. Entonces resta el

exponente del denominador al exponente del numerador.

"'emplo:

34;: 10

"'ercicio: Civide 2)(+ = 1 8*

: 23( = 1+

;4; 10B22

Civide 2@(+ = 1@ : 2(* = 1)

2@(+ : (* = 1@8) ?




O#e)acione en notaci&n cient'(ica con -a ca-c*-a!o)a

Para multiplicar o dividir en la calculadora basta con teclear los factores

2incluso sin expresarlos en notación científica:

"n pantalla obtenemos:

sí( para Aacer la multiplicación 31< /4=2; 1025( tecleamos:

-amos a calcular la suma =4/: 1013 14:; 101:.

7on la calculadora la suma se reali,a de forma muy r4pida y sencilla( no

Aace falta reducir al exponente mayor 2lo Aace ella sola.

&ecleamos:

y en pantalla obtenemos el resultado:

= 4 /: E"# 13 1 4 :; E"# 1: 8

Fecuerda ue esto

significa

14:;=/: 101:

31< " / 4 =2; E"# 2 8




P6$ina : !e- -i9)o

Ó Í



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2:Tema 3

. ,a!ica-e

La elevación a potencias tiene una operación inversa:

la radicación. "n ella se conoce la potencia y elexponente y tenemos ue encontrar la base.

¿Cuál es el lado de un cuadrado de área 25 cm2 ?

!abemos ue el 4rea del cuadrado es a) ? )5.

Cebemos encontrar un n/mero ue elevado al

cuadrado nos d0 )5.

ese n/mero se le llama la )a' c*a!)a!a de )5 y se

escribe √)5. 7omprueba ue 5 y 85 son raíces

cuadradas de )5. "n este caso sólo consideramos el

valor 5( ya ue un lado negativo carece de sentido.

¿Cuál es la longitud de la arista del cubo de volumen 27 cm3?

"n este caso tenemos ue encontrar un n/mero ue

elevado al cubo nos d0 )*. "se n/mero es la )a'c?9ica de )* y se escribe . "n este caso su valor

es 3( 33

? )*.

329

Ó Í



POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 2;Tema 3

En $ene)a- --amamoraíz n-ésima

!e *n n?me)o !a!o a- n?me)o>*e e-e%a!o a n no !a e- #)ime)o.

radical radicando

:ndice

rriba Aemos visto e'emplos de radicales de índice ) 2cuadr4ticos y de

índice 3 2c/bicos. $bserva ue( en el caso de los cuadr4ticos( el índice no

se escribe.

b = a ⇔ bn = an

naSe ec)i9e

Ó Í




P6$ina ; !e- -i9)o

Ó ÍT 3




/. O#e)acione con )a!ica-e. P)o#ie!a!e

la Aora de operar con

radicales es interesante

ue sepas cómo Aallar sus

valores utili,ando la

calculadora científica.

Por e'emplo( para Aallar tecleamos:59

en ambos casos obtenemos

allar el radical de índice n de un n/mero euivale en la calculadora

científica a elevar dicAo n/mero a 1In. Cespu0s veremos el significado de

las potencias de exponente fraccionario.

; "+ / 1" 8 ; "+ 1 a9c / 8o bien

"+

1"

a9c

Tec-a #a)a e- c6-c*-o !e )a!ica-e"leva el n/mero x a la potencia

7alcula el inverso del n/mero x

Permite escribir fracciones

O C S O C Ó C Í CT 3




. Producto de radicales ;ara multiplicar radicales del mismo/ndice se de<a el mismo /ndice y semultiplican los radicandos.

). 7ociente de radicales

3. Potencia de un radical

+. Faí, de una raí,

;ara dividir radicales del mismo/ndice se de<a el mismo /ndice y sedividen los radicandos.

;ara elevar un radical a una

potencia se eleva el radicando adic&a potencia.

;ara &allar el radical de otroradical se multiplican los /ndicesde ambos.

P)o#ie!a! Eem#-o En*ncia!o

P)o#ie!a!e !e -o )a!ica-e

POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 31T 3




La primera propiedad tiene una aplicación muy importante a la Aora de

introducir 2o sacar factores de un radical. $bserva unos e'emplos:

2"#2·2·52·52·52## 3232 ====

953·53·53·5 22 ===

33 333 33 4#5·25·252 ===





,aciona-iacione

1 n los clculos manuales, conviene evitar denominadores con ra/ces.1 l proceso de obtener como denominador un nmero racional se llama

racionali8aci%n.1 ste proceso puede ser necesario para simpliicar.

=

+−

+635635

6352=− 35

2=

−+35

35235 +

=2

2=

⋅⋅

22

22=

⋅22

22=

⋅2

222

=52 =⋅⋅ 5552 =⋅ 25

525

52 ⋅





P6$ina < !e- -i9)o





Potencia !e e"#onente ()acciona)io

-na potencia de exponente raccionario es igual a un radical donde1 el denominador de la racci%n es el /ndice del radical, y

1 el numerador de la racci%n es el exponente del radicando.

n mn

m

aa =

>?u@ sentido se le puede dar a expresiones del tipo , , A2

"

a 3

"−

a 3

5

a

aaa =⋅

aaaa =⋅⋅ 333

aa =2

"

33

"

aa =

aaaaa ===⋅ +

"2

"

2

"

2

"

2

"

aaaaaa ===⋅⋅ ++

"3

"

3

"

3

"

3

"

3

"

3

"

$plicando la deinici%nde ra/8

$plicando la propiedad del productode potencias de igual base

Si los dos resultados&an de ser iguales





74lculo con potencias y raíces

1 as potencias de exponente raccionario veriican las mismas propiedadesue las potencias de exponente entero.

1 as operaciones con radicales se pueden reali8ar recurriendo a las potenciasde exponente raccionario

nnnbaba ⋅=⋅

n

n

n

b

a

b

a

=

nmm naa

⋅=

( ) nnn baba

"""

⋅=⋅

n

nn

b

a

b

a

"

""

=

mnmn

m

n aaa ⋅⋅

==

""""

"

Bomo ra/ces Bomo potencias




P6$ina /0 !e- -i9)o





P6$ina /1 !e- -i9)o


Potencias en fisica

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