KALKULUS I3 SKS
Pertemuan I
Kontrak Perkuliahan
MateriFungsi dan Teori LimitTurunan dasar, berantai dan parsial
Aplikasi TurunanIntegralAplikasi Integral
Kontrak Perkuliahan
PustakaKuhfitting, P.KF. 1984. Basic Technical
Mathematics with Calculus. California: Brooks/ Cole Publishing Company
Faires, J.D.1988. Calculus. Second Edition. New York: Random House
Purcell, E.J & Varberg, D.1996. Kalkulus dan Geometri analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga
dsb
Kontrak Perkuliahan
PenilaianUTS: 30 %UAS: 30 %Tugas: 40%- Quiz : 20 %- Tugas (Paper/ Makalah): 15 %- Keaktifan: 5%
MATERI
FUNGSI:Pengertian fungsiIstilah dan lambang fungsiGrafik fungsiJumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi
fungsiFungsi KomposisiFungsi Invers.
1. PENGERTIAN FUNGSI
A. Relasi
Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain) dengan anggota himpunan kawan (kodomain)
Contoh : Relasi antara negara dan ibu kota. Relasi bilangan yang lebih besar dari. Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
l. Diagram panah2. Himpunan pasangan berurutan3. Diagram Cartesius
Contoh :Via: aku senang permen dan coklatAndre: aku senang coklat dan es krimIta: aku suka es krim
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Diagram panah
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Himpunan pasangan berurutan{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Diagram Cartesius
B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Syarat fungsi:
1. Ada himpunan asal (domain)
2. Ada himpunan kawan (kodomain)
3. Ada himpunan daerah hasil (range)
4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan
5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.
Syarat fungsi:
1. Ada himpunan asal (domain)
2. Ada himpunan kawan (kodomain)
3. Ada himpunan daerah hasil (range)
4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan
5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Korespondensi satu-satuFungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-
satu jika merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.
2. Istilah dan Lambang Fungsi
Notasi Fungsi :
Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan sebuah huruf tunggal, seperti f.
Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x
Contoh : Jika f(x) = x2 + 2x+1, maka : f(0) = f(1) = f(a) = f(a+b) =
Contoh :
1. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan : a. f(5) b. f(5+h) c. f(5+h) – f(5) d. [f(5+h) – f(5)]/h
2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan [g(a+h)-g(a)]/h
Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), maka x disebut variabel bebas, dan y disebut variabel tak bebas/terikat.
Contoh : y = f(x)= x +2, maka x adalah variabel bebas, dan y variabel terikat.
Variabel Bebas dan Terikat
Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan, juga daerah asal fungsi (domain), yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada.
Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.
Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Latihan:Carilah daerah asal dan daerah hasil dari :
a. f(x) = 2 / x-8b. f(w) = 1 / (9-w2)1/2
c. g(x) = (x-5)/xd. f(x) = 5x2+3xe. f(x) = x / (x-1)
3. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah
fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka dapat dibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat.
Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan grafik fungsi :
i. f(x) = (x-2)/x ii. g(x) = ( 4 – x)1/2
4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi Fungsi
Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan daerah asal masing-masing, maka :
(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) - g(x) (f.g)(x) = f(x) . g(x) (f/g)(x) = f(x) / g(x)
Catatan : hati-hati dengan daerah asal!
Contoh:
Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.
Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2x-1, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.
5. Fungsi Komposisi
Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi g dengan f.
Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f.
Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x))Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))
Latihan (1):
Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)
Jika diketahui f(x) = 2x2 dan g(x)= x-5 maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)
Jika f(x) =2x2+5x dan g (x) = 1/x maka tentukan (fog)(2)
Jika f(x) = x2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan (gof)(t)
Latihan (2):
Jika f(x) = 2x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f o g) (a)= 5 maka tentukan a
Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x2)+f2(x)-2f(x)
Jika f(x) = 2x , g(x) = x+1, dan h(x) = x3
maka tentukan (h o g o f)
Jika f(x) = 2x2+3x-5 dan g(x)=3x-2, agar (gof)(a)=-11 maka tentukan a
6. Fungsi Invers
Jika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers dari
fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x)
Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f -1(x)
Contoh 2: Jika f(x) = 1/x2, maka tentukan f -
1(x)
Latihan: Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3-x)/ 2 maka
tentukan (f 0 g)-1 (6)
Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2x+4 maka tentukan (g o f)-1 (10)
Jika f(x) = 2x dan g(x) = 3 - 5x. Tentukan (g o f)-1 (x)
Jika (f o g)(x) = 4x2+8x-3 dan g(x)= 2x+4 maka tentukan f-1(x)
TUGAS 11. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu,
kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan lahir/tanggal lahir/kota lahir/makanan kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat badan mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.
a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!b) Jika B himpunan (baca soal diatas) teman-temanmu, tulislah
anggota B !c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram
panah, dan dengan himpunan pasangan berurutan.2. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan :
[f(nim+h) – f(nim)]/h3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta grafiknya dari :
a. g(x) = 2x2 + 5 (NIM gasal)b. f(x) = x2 - 2x (NIM genap)
TUGAS 21. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)b. (g o f)(x)
2. Diketahui f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !
3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
4. Jika diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5x – 2 Tentukan (f o g)-1(x)
3
1,
13
52)(
xx
xxf
KALKULUS I3 SKS
Pertemuan II
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi
Fungsi aljabar Fungsi non aljabar
f.irrasional f.rasional
f. Polinomf.linearf.kuadrat
f.pangkat
f. Eksponensialf. logaritmikf. Trigonometrikf. hiperbolik
Fungsi Aljabar
Fungsi Kuadrat (Parabola)f(x)=ax2+bx+cdengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama
dengan nolContoh:3x2+2x+1
Fungsi Pangkat Tiga (Kubik)f(x)=ax3+bx2+cx+ddengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama
dengan nolContoh:x3+x2+5x
Fungsi Aljabar
Fungsi Polinom (Suku Banyak)f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
Contoh:f(x)=-x5+7
Fungsi Linierf(x)=ax+bContoh:5x+9
Fungsi Trigonometri
Apabila sebuah sudut sebesar θ derajat ditempatkan dalam kedudukan standar pada pusat sebuah lingkaran berjari-jari c seperti pada gambar di bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan oleh rumus-rumus berikut:
b
a
c miringsisi
berhadapanyangsisisin
c
bsin
Fungsi Trigonometri lanj..
miringsisi
mengapityangsisiinus cos
c
acos
mengapityangsisi
berhadapanyangsisigen tan
a
btan
KALKULUS I3 SKS
Pertemuan III
1. Identitas Trigonometri
2. Fungsi Pangkat
3. Fungsi Eksponen
1. Identitas Trigonometri
•Kesamaan Ganjil-Genap
•Kesamaan Fungsi Trigonometri
•Kesamaan Jumlah
•Kesamaan Sudut Rangkap Dua
Kesamaan Ganjil - Genap
xx
xx
xx
tantan
coscos
sinsin
Kesamaan Fungsi Trigonometri
A
AA
AA
AA
A
AA
cos
sintan
csccot1
seccos
1tan1
1cossin
22
22
2
22
Kesamaan Fungsi Trigonometri..lanj
sec x = 1 cos x
cosec x = 1 sin x
cot x = 1 = cos x tan x sin x
INGAT !
Kesamaan Jumlah
BA
BABA
BA
BABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
tantan1
tantantan
tantan1
tantantan
sinsincoscoscos
sinsincoscoscos
sincoscossinsin
sincoscossinsin
Kesamaan Sudut Rangkap Dua
Atg
tgAAtg
AAAAA
AAA
2
2222
1
22
sin211cos2sincos2cos
cossin22sin
AAA
tgAsec
cossin
1
1coscossinsin 4222
244 cos21cossin
1.
2.
3.
LATIHAN
Latihan Kelompok
xxx
2tantancot
2
tt
t 22
2
sinsec
1sec
sin2sin1
cos
sin1
cos 22
tgA
A
A
A cos1
1sec
sin
1.
2.
3.
4.
5. AAtg
AtgA 22
22
sin1cos
Tugas 3
AA
A
A
Asec2
cos
sin1
sin1
cos
AAA cot2csc)1(cot 22
1sin2
1
cottan
cottan2
AAA
AA
A
AAA
sin1
sin1)tan(sec 2
1.
2.
3.
4.
KALKULUS I3 SKS
Pertemuan V
2. Fungsi Pangkatnxy y: variabel tak bebas
x: variabel bebasn: konstanta
Identitas fungsi Pangkat:baba xxx .baba xxx :
baba xx .aa xx /1
a
aa
z
x
z
x
ab
b xxa
10 x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Latihan
111
1
2
2
2
21
m
m
m
m
2
1
2
3
2
14 xx
7.
6.
8.
9.
10.
26
243
4..2
.)2(10
y
yyx
224332 cbaxcba
1322221 3:3 qpqp
1
44
2
32
b
ba
ba
ab
24324 ba1.
2.
3.
4.
5.
23 510 aa
263 327 abba
22532 33 pqqp
3. Fungsi Eksponenxay y = peubah tak bebas
a = konstanta, 0a
x = peubah bebas
(i) af(x) = ap maka f(x) = p
(ii) af(x) = ag(x) maka f(x) = g (x)
(iii) af(x) + ag(x) = c maka af(x) + ag(x) =a0
f(x) + g (x) = 0
Latihan
1.2.
3.
8
12 2 x
2263 22
55 xxxx
25212
2
2
216
16
xxxx
4.
1255 22 xx
18 62 x
3437 107 x
5.
6.
Tugas 4
xxx 2.2423
2
122
232
43
1125.5
xx
a.
b.
c.
d.
e.
g.
f.
h.
i.
j.
xxx 3.3923
16
272.14 )32( x
xxx 21636.216 )2( 2
2163.2 5252 xx
5321
23125
5.5
xxx
0224 xx
4
2
7
2
2
2
4
32
xx
x
533.2 12 xx
KALKULUS I3 SKS
Pertemuan VI
LIMIT FUNGSI
Tinjau fungsi yang ditentukan oleh :
f(x) = pada x = 1
Tetapi , bagaimana nilai f(x) jika x mendekati 1?
Perhatikan tabel di bawah ini :
1
13
x
x
LIMIT FUNGSI
x 1
1)(
3
x
xxf
1,25 3,813 1,1 3,310
1,01 3,030 1,001 3,003
1,000 ?
0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710
0,75 2,313
LIMIT FUNGSI
Dari tabel yang ada, dapat disusun suatu kesimpulan yaitu : f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1.
Secara matematis ditulis
31
1lim
3
1
x
xx
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Bentuk tak tentu 0/0dapat diselesaikan dengan 2 cara :
1. Memfaktorkan
)()(
)()(lim
)(
)(lim
xgax
xfax
xG
xFaxax
1
22lim
2
1
x
xx
CONTOH:
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
2. L’Hospital
)('
)('lim)(lim
xG
xFxF
axax
1
22lim
2
1
x
xx
CONTOH:
1-nn
1n
x.. y'x.
. y'xy
0 y'
naay
xn
cyn
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Bentuk tak tentu ~/~dapat diselesaikan dengan :
Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut
12
3lim
2
xx
xx
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sbb :
...
...lim
1
1
nn
mm
x qxpx
bxax
Jika m = n hasilnya a/pJika m > n hasilnya ~Jika m< n hasilnya 0
jadi 012
3lim
2
xx
xx
karena pangkat pembilang < pangkat penyebut
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Contoh soal :
1
1lim
2
x
xxx
karena m > n
1
1lim
2
x
xxx
jadi
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Bentuk
Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar,
maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawanf(x) atau sekawan g(x).
)(
)(lim
xg
xfax
152
144lim
25
xx
xxx
CONTOH:
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Bentuk 112)52(lim 22
xxxxx
gunakan rumus sbb:
a
pbqpxaxcbxax
x 2(lim 22
berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)
Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:)12(lim 2
2
xx
x)5(lim
3
x
x
213
21lim
1
t
tt 2
4lim
2
2
x
xx
1
64lim
23
1
x
xxxx tx
txtx
22
lim
a. b. c. d. e. f.
g. 7
214lim
2
7
t
ttt
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1sin
lim0
x
xx
1sin
lim0
x
xx
1
lim0
xtg
xx
1lim0
x
tgxx
1cos
lim0
x
xx
1cos
lim0
x
xx
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat
Θ 00 300 450 600 900
Sin θ 0 1
Cos θ 1
0
Tan θ 0
1 ∞
21
321
221
32122
1
2132
1
3
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:
1
coslim
0 x
xx t
tt sin1
coslim
2
0
x
tgxxx sin
3lim
0 x
xx 2
sinlim
0
x
xx 2
3sinlim
0
a. b. c. d. e.
Tugas 5
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:
xx
xxx 3
183lim
2
2
3
1
4lim
3
2
2
x
xx
xx
xxt
12
254lim 20
12coslim
x
xx
4
2sinlim
22
x
xx x
xx 2cot
cotlim
0
a. b. c. d. e. f.
Top Related