8/18/2019 Guia 11 Integrales Impropias
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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática II (MAT022)Guı́a de ejercicios N◦11 parte Cálculo
Integrales impropias
1. Estudie la convergencia de la integral impropia: 4−2
dx
(x − 1)2/3
2. Determine si es posible, la existencia y/o el valor de las integrales:
a) π/40
cos2x − 1 + sin x2(1− sin x) dx
b)
+∞0
2e−x
sin xdx
3. Estudie la convergencia según los valores de a ∈ R: +∞0
xe−axdx
4. Sea
I n =
∞
0
x2n−1
(x2 + 1)n+3dx; n ≥ 1
a) Demostrar que
I n =n − 1n + 2 I n−1
b) Encontrar ∞
0
x3
(x2 + 1)5dx
5. Estudie la convergencia de la integral:
I =
∞
1
dx√ x2 − 1
6. Determine (si es que existe) el valor de:
+∞a
dx
x2√ x2 − a2
para a ∈ R+.7. Determine 1
−1
d
dx
arctan
1
x
dx
8. Decida si la siguiente integral converge o diverge. Justifique adecuadamente su respuesta.
∞
0
dx (1 + x)(2 + x)(3 + x)
Ayuda: No intente integrar.
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9. Encuentre
ĺıma→+∞
10
f (x)dx
donde
f (x) = x2
ax , a > 1, x ∈ [0, +∞[10. Sea
f (x) = 1√
2e−
x2
2k2
una distribución normal. Suponga que:
+∞0
e−x2
dx =
√ π
2
Demuestre que:
+∞
−∞
f (x)dx = 1
11. Evalúe la integral impropia
I =
42
w√ w2 − 9 dw
12. Determine +∞0
2x
3xdx
13. Determine el valor de n ∈ N, de manera que la integral ∞
1
dx
x(xn + 1)
sea convergente. Justifique claramente su respuesta.
14. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o no. En caso afirmativo calcule la integral:
a) +∞−∞
y3e−y2
dy
b) 10
dx x(1− x)
c) +∞−∞
dx
x2 + 6x + 12
d) 0−2
dx3√
x + 1
e) 1−1
dx |x|
f ) 41
dx(x − 3)√ x + 5
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15. Establezca la convergencia de:
a) 10
ln(x + 2)√ 1
−x2
dx
b) +∞0
dx
x2 +√
x
16. Demostrar que:
a) Para cualquier n ∈ N la siguiente integral converge 10
(ln x)n√ x
b) Para a > 0 la integral a0
xk ln xdx
converge ∀k > −1 y diverge ∀k ≤ −1.
17. Si 0 < p
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24. Calcular:
a) 42
x + 1√ x2
−2x
dx
b) 3x − 2
x4 + x3 − 2x2 dx
25. Determine los posibles valores de k ∈ R de manera que: +∞0
1√ 1 + x2
− kkx + 1
dx
sea convergente.
26. Determinar la convergencia o divergencia de:
+∞
1
cosh x3√
x dx
27. Estudie la convergencia de ∞
0
ln
x2 + 1
x2
dx
28. Estudie la convergencia de ∞
0
dx√ x + x4
4