8/18/2019 Guia 11 Integrales Impropias

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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a

Departamento de Matemática

Coordinación de Matemática II (MAT022)Guı́a de ejercicios N◦11 parte Cálculo

Integrales impropias

1. Estudie la convergencia de la integral impropia:   4−2

dx

(x − 1)2/3

2. Determine si es posible, la existencia y/o el valor de las integrales:

a)    π/40

cos2x − 1 + sin x2(1− sin x)   dx

b)

   +∞0

2e−x

sin xdx

3. Estudie la convergencia según los valores de a ∈ R:   +∞0

xe−axdx

4. Sea

I n  =

   ∞

0

x2n−1

(x2 + 1)n+3dx;   n ≥ 1

a) Demostrar que

I n  =n − 1n + 2 I n−1

b) Encontrar    ∞

0

x3

(x2 + 1)5dx

5. Estudie la convergencia de la integral:

I  =

   ∞

1

dx√ x2 − 1

6. Determine (si es que existe) el valor de:

   +∞a

dx

x2√ x2 − a2

para a ∈ R+.7. Determine    1

−1

d

dx

arctan

 1

x

dx

8. Decida si la siguiente integral converge o diverge. Justifique adecuadamente su respuesta.

   ∞

0

dx (1 + x)(2 + x)(3 + x)

 Ayuda: No intente integrar.

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9. Encuentre

ĺıma→+∞

   10

f (x)dx

donde

f (x) =  x2

ax , a > 1, x ∈ [0, +∞[10. Sea

f (x) =  1√ 

2e−

  x2

2k2

una distribución normal. Suponga que:

   +∞0

e−x2

dx =

√ π

2

Demuestre que:

   +∞

−∞

f (x)dx = 1

11. Evalúe la integral impropia

I  =

   42

w√ w2 − 9 dw

12. Determine    +∞0

2x

3xdx

13. Determine el valor de n ∈ N, de manera que la integral   ∞

1

dx

x(xn + 1)

sea convergente. Justifique claramente su respuesta.

14. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o no. En caso afirmativo calcule la integral:

a)    +∞−∞

y3e−y2

dy

b)    10

dx x(1− x)

c)    +∞−∞

dx

x2 + 6x + 12

d)    0−2

dx3√ 

x + 1

e)    1−1

dx |x|

 f )    41

dx(x − 3)√ x + 5

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15. Establezca la convergencia de:

a)    10

ln(x + 2)√ 1

−x2

dx

b)    +∞0

dx

x2 +√ 

x

16. Demostrar que:

a) Para cualquier n ∈ N la siguiente integral converge   10

(ln x)n√ x

b) Para a > 0  la integral    a0

xk ln xdx

converge ∀k > −1 y diverge ∀k ≤ −1.

17. Si 0  < p

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24. Calcular:

a)    42

x + 1√ x2

−2x

dx

b)    3x − 2

x4 + x3 − 2x2 dx

25. Determine los posibles valores de k ∈ R de manera que:   +∞0

  1√ 1 + x2

−   kkx + 1

dx

sea convergente.

26. Determinar la convergencia o divergencia de:

   +∞

1

cosh x3√ 

x  dx

27. Estudie la convergencia de    ∞

0

ln

x2 + 1

x2

dx

28. Estudie la convergencia de    ∞

0

dx√ x + x4

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