GENERATING FUNCTION
Yeni Susanti
May 13, 2014
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 1 / 5
Outline
Outline
1 Generating FunctionSifat GFSoal Latihan
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 2 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .
2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .
3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 2
1x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function
Generating Function
Definisi
Diberikan barisan bilangan real{an} = {a0, a1, a2, a3, . . .} Fungsi A(x)disebut generating function (disingkat GF) barisan {an} jika
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + . . . + anxn + . . . .
Contoh
1. GF barisan {1, 1, 1, 1, . . .} adalah 1 + x + x2 + x3 + . . . = 11x .2. GF barisan {0, 1, 1, 1, . . .} adalah x + x2 + x3 + x4 + . . . = x1x .3. GF barisan {2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .} adalah
2 + 2x2 + 2x4 + 2x6 + . . . = 21x2 .
4. GF barisan {1, 2, 3, 4, 5, . . .} adalah 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . =ddx (1 + x + x
2 + x3 + x4 + . . .) = ddx (1
1x ) =1
(1x)2 .
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 3 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Sifat GF
Sifat GF
SIFAT
1. (Penjumlahan) Jika A(x) dan B(x) berturut-turut adalah GFbarisan-barisan {an} dan {bn}, maka A(x) + B(x) adalah GF barisan{an + bn}.
2. (Perkalian dengan skalar) Jika A(x) adalah GF barisan {an} dan kbilangan real, maka kA(x) adalah GF barisan {kan}.
3. (Pergeseran) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .} dan kbilangan asli, maka xkA(x) adalah GF barisan{0, . . . , 0 , a0, a1, a2, a3, . . .} (disisipi 0 sebanyak k di depan barisan).
4. (Turunan) Jika A(x) adalah GF barisan {a0, a1, a2, a3, . . .}, makaddxA(x) adalah GF barisan {an} = {a1, 2a2, 3a3, . . .}.
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 4 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}
2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}
3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}
4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantinex1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating Function Soal Latihan
Soal-Soal Latihan
Tentukan GF barisan-barisan berikut:
1. {1, n, (n1)n2 , (n2)(n1)n6 , . . . , n!(nk)!k! , . . . , n, 1, 0, 0, . . .}2. {0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, 10, . . .}3. {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}4. {an} dengan an menyatakan banyaknya solusi persamaan Diophantine
x1 + x2 + x3 = n dengan x1 {0, 1, 2}, x2 {0, 3, 6, 9, 12, . . .} danx3 0.
5. {an} dengan an = an1 + 2an2, a0 = 2, a1 = 4
Yeni Susanti GENERATING FUNCTION May 13, 2014 5 / 5
Generating FunctionSifat GFSoal Latihan
Top Related