Part I
UNIVERSIDAD POLITECNICASALESIANANombre: Christian CollaguazoAsignatura: Calculo Vectorial (3BM)
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS YESFÉRICAS
Cuando en cálculo en �sica, ingenieria o geometria implica un cilindro, uncono o ouna esfera, con frecuencia podemos simpli�car nuestro trabajp usandocoordenadas cilindrica o esféricas, que presentaremos a continuación. E n siel procedimiento para transformar a estas coordenadas y evaluar las integralestriples resultantes es similar a la transformación a coordenadas polares en elplano.
1 INTEGRACIÓNENCOORDENADASCILÍN-DRICAS
Para obtrener las coordenadas cilindricas en el espacio combinamos las coorde-nadas polares del plano xy con el eje z. Esto asigna a todo punto en el espaciouna o más tercias de coordenadas (r; �; z); como se muestra en la �gura.
DEFINICIÓN Coordenadas CilíndricasLas coordenadas cilindricas representan un punto P en el espacio mediante
tercias ordenadas (r; �; z) en donde
1
1. r y � son las coordenadas polares para la proyección vertical de P sobreel plano xy2. z es la coordenada vertical rectangular.
Los valores de x; y; r y � en coordenadas rectangulares y cilindricas serelacionan mediante las ecuasiones usuales.
Ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares (x; y; z) ylas cilindricas (r; �; z)! x = r cos �! y = r sin �! z = z! r2 = x2 + y2
! tan � = yx
En coordenadas cilindricas, la ecuacion r=a describe no sólo una circunfer-encia en el plano xy, sino todo un cilindro alrededor del eje z. El eje z esta dadopor r=0. La ecuación � = �0 describe el plano que contiene al eje z y formaun angulo �0 con el semieje positivo x, e igualmente como en las coordenadasrectangulares, la ecuacion z = z0 describe un plano perpendicular al eje z.
Las coordenadas cilindricas son buenas para describir cuyo eje corre a lo largodel eje z y a los planos que contienen al eje z o que son perpendicularmenteal mismo eje z. Super�cies como éstas tienen ecuaciones con coordenadascilindricas constantes:r = 4 Cilindro, radio 4, su eje es el eje x� = �
3 Plano que contiene el eje zz = 2 Plano perpendicular el eje z
Cómo integrar en coordenadas cilindricas.
2
Para evaluarR R RD
f(r; �; z) dV; sobre una region D en el espacio en coorde-
nadas cilíndricas, integrando primero con respecto a z, luego con respecto a r y�nalmente con respecto a �; siga los siguientes pasos:1. Haga un bosquejo. Trace la region D junto con su proyección R sobre el
plano xy: Marque las super�cies y las curvas que acotan a D y a R.
2. Determine los limites de integración. Trace una recta M paralela al ejez, por un punto típico (r; �) de R: Mientras z crece, M entra a D en z = g1(r; �)y sle en z = g2(r; �): estos son los limites de integracion en z:
3. Determine los limites de integracion en r. Trace un rayo L por (r; �)desde el origen. El rayo entra a R en r = h1(�) y sale en r = h2(�): Estoslimites de integracion en r:
3
4. Determine los limites de integración en �: Cuando L barre R; el ángulo� que forma con el semieje positivo x va desde � = � hasta � = �: Éstos son loslimites de integracion en �:
La integral es:R R RD
f(r; �; z) dV =R �=��=�
R r=h2(�)r=h1(�)
R z=g2(r;�)z=g1(r;�)
f(r; �; z) dz r dr d�:
2 INTEGRACIÓN EN COORDENADAS ES-FÉRICAS
Las coordenadas esféricas ubican los puntos en el espacio mediante dos ángulos
y una distancia, como lo muestra la �gura. La primera coordenada, � =�����!OP ��� ;
es la distancia del punto al origen. A diferencia de r, la variable � nunca esnegativa. La segunda coordenada, �; es el angulo
��!OP que forma con el semieje
positivo z. Se requiere que esté en el intervalo [0; �] : La tercera coordenada esel ángulo � medido en coordenadas cilindricas.
4
DEFINICIÓN Coordenadas Esféricas
Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espacio mediante lastercias ordenadas (�; �; �) en las que:1. � es la distancia de P al origen.2. � es el ángulo que
��!OP forma con el semieje positivo z(0 � � � �):
3. � es el ángulo de las coordenadas cilíndricas.
En los mapas de la Tierra, � se relaciona con el meridiano de un punto sobrela Tiera y � con su latitud, mientras que � = a describe la esfera (super�ciesférica) de radio a con centro en el origen. La ecuacion � = �0 describe uncono cuyo vertice está en el origen y cuyo eje está a lo largo del eje z. (Ampliamosnuestra interpretacion para incluir el plano xy como el cono � = �
2 ) . Si �0 esmayor que �
2 ; el cono � = �0 se abre hacia abajo.La ecuacion � = �0 describre el semiplano que contien al eje z y forma un
ángulo �0 con el semieje positivo x.
Ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coor-denadas cartesianas y cilindricas.! r = � sin�! x = r cos � = � sin� cos �! z = � cos�! y = r sin � = � sin� sin �! � = 2
px2 + y2 + z2 = 2
pr2 + z2
Las coordenadas esféricas son adecuadas para describir esferas con centro enel origen, semiplanos acoplados a los largo del eje z y conos con vértice en elorigen y eje a lo largo del eje z. Super�cies como éstas tienen ecuaciones convalores constantes para las coordenadas:
5
� = 4 Esfera de radio 4 , centro en el origen.� = �
3 Cono que abre hacia arriba desde el origewn, formando un ángulode �
3 radianes con el semieje positivo z-� = �
3 Semiplano, acoplado con el eje z formando un ángulo de �3 radianescon el semieje positivo x.Cómo integrar en coordenadas esféricas.
Para evaluarR R RD
f(�; �; �) dV sobre una región D en el espacio en coorde-
nadas esféricas, integrando primero con respecto a �; luego con respecto a �; ypor ultimo con respecto a �; siga estos paso:1. Haga un bosquejo. Trace la region D junto con su proyección R sobre el
plano xy: Marque las super�cies que acotan a D .
2. Determine los limites de integración en �. Trace una recta M desde elorigen hacia D formando un ángulo � con el semieje positivoz. Trace ademas laproyección de M sobre el plano xy (llame a la proyeccion L). E l rayo L formaun ángulo � con el semieje positivo x. Al crecer � M entra a D en � = g1(�; �)y sale en � = g2(�; �): Estos son los limites de integración en �:
6
3. Determine los limites de integracion en � . Para cualquier �;dado, elángulo � que M forma con el eje z va desde � = �min hasta � = �max: Éstos sonlos limites de integracion en �:4. Determine los limites de integración en �: El rayoo L barre R cuando �
va de � a �: Éstos son los limites de integracion en �:
La integral es:R R RD
f(�; �; �) dV =R �=��=�
R �=�max�=�min
R �=g2(�;�)�=g1(�;�)
f(�; �; �) �2 sin� d� d� d�
En Resumen Coordenadas Cilíndricas Esféricas
!a) En coordenadas cilíndricasSi f es una función continua en una región R del espacio, entonces:R R RR
f(x; y; z)dx dy dz =R R RR
f(� sin� cos �; r sin �; z)r dz dr d�:
!b) En coordenadas esféricasSi f es una función continua en una región R del espacio, entonces :R R RR
f(x; y; z)dx dy dz =R R RR
f(� sin� cos �; � sin� sin �; � sin�)�2 sin� d�
d� d�:
Resolver las siguientes ejercicios.
COORDENADAS CILÍNDRICASEjercicion 1Hallar en coordenadas cilíndricas el volumen interior a r2 = 16 que está
sobre z = 0 y bajo 2z = y:Aplicamos un argumento «tapa-fondo» , donde la «tapa» es el plano2z = y
y el «fondo» eldisco de centro el origen y radio 4 en el plano OXY , con y � 0:
Efectuamos un cambio de Variable a cilíndricas:
7
x = r cos �y = r sin �z = z;jJ(r; �; z)j = r(0 � � � �; 0 � r � 4; 0 � z � r sin �
2 )El volumen V buscado resulta ser:V =
R �0d�R 40rdr
R r sin �2
0dz
V =R �0d�R 40r( r sin �2 )dr = 32
3 sin � :16r3 sin �
V =R �0d��16r3 sin �
�40
V = 323
R �0
Rsin �d� : � cos �
V = 323 (� cos �)
�0
V = 323 (2)
V = 643
Ejercicion 2Calcular el volumen del sólido S interior al cilindro x2 + y2 = 2ax, que está
comprendido entre el plano z = 0 y la parte superior del cono x2 + y2 = z2:
(x� 1)2 + y2 = 12La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia(x� a)2+
y2 = a2, de centro (a; 0) y radio a.
Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas y usamos la simetría delrecinto respecto al plano y = 0 junto con la paridad del integrando para obtenerel volumen pedido, que viene dado por la integralV =
R R RR
f(x; y; z)dx dy dz
V = 2R �
2
0d�R 2a cos �0
rdrR r0dz
V = 2R �
2
0d�R 2a cos �0
rdr [(z)]r0
V = 2R �
2
0d�R 2a cos �0
r2dr
V = 2R �
2
0d�hr3
3
i2a cos �0
8
V = 2R �
2
083a3 cos3 �d�
V = 16a3
3
R �2
0cos3 �d�
V = 16a3
3
R �2
0cos3 �d�
V = 16a3
3
h(sin � � sin3 �
3 )i�2
0
V = 32a3
9
Ejercicion 3
Calcular el volumen de la región limitada por las super�cies z = x2 + y2 yz = 5� y2.
4
42
4
y2
z2 4
x0
00
22
2
4
4
La proyección en el plano OXY de la intersección del paraboloide circularz = x2 +y2 con el cilindro parabólico z = 5 � y2 es la elipse x2 + 2y2 = 5, desemiejes 2
p5 y 2
q52 . Para calcular el volumen del sólido determinado por ambas
super�cies es su�ciente integrar sobre el interior de esta elipse la diferencia entrela «tapa» (cilindro) y el «fondo» (paraboloide) del sólido, dada por la funciónf(x; y) = 5� x2 � 2y2:
A tal �n, efectuamos un cambio a cilíndricas generalizadas:x = 2
p5r cos �
y = 2
q52r sin �
z = zjJ(r; �; z)j= 5r
2p2 , con 0 � � � 2�, 0 � r � 1.De este modo, z(r; �) = f(x(r; q); y(r; q)) = 5(1 � r2); y si V denota el
volumen pedido encontramos que
Ejercicion 4El dominio de integración esta limitado por arriba por el paraboloide z =
2� x2 � y2 y por abajo por el paraboloide z = x2 + y2
9
4
4
2x4
42z
y
0
2
4
0
0
2
4
2
2
Entonces cambiando a coordenadas cilíndricas tenemos:V =
R 1�1R 2p1�x2� 2p1�x2
R 2�x2�y2x2+y2
(x2 + y2)32 dz dy dx
V =R 2�0
R 10
R 2�r2r2
r4 dz dr d�
V =R 2�0
R 10[z]
2�r2r2 r4 dr d�
V =R 2�0
R 102r4 � 2r6 dr d�
V =R 2�0
h2r5
5 � 2r7
7
i10d�
V =R 2�0
�25 �
27
�10d�
V = 435
R 2�0
d�
V = 435 [�]
2�0
V = 435 (2� � 0)
V = 835�
Ejercicion 5Calcular
R R RV
z(x2 + y2) dxdydz siendo V el volumen exterior a la hoja
superior del cono z2 = x2 + y2 e interior al cilindro x2 + y2 = 1, con z � 0:
y x4
24
200 2
z424
02
4
2
4
10
Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas, utilizando un argumento«tapa-fondo» y teniendo en cuenta que la ecuación del semicono superior en lasnuevas coordenadas e0s z = r:
x = r cos �y = r sin �z = z;jJ(r; �; z)j = r(0 � � � 2�; 0 � r � 1; 0 � z � r) :
V =R R RV
z(x2 + y2) dxdydz
V =R 2�0d�R 10rr2dr
R r0zdz
V =R 2�0d�R 10r:r2( 12r
2)
V = 12
R 2�0d�R 10r5dr
V = 12
R 2�0
h�r6
6
�i10d�
V = 12
R 2�0
16d�
V = 112
R 2�0d�
V = 112 [(0)]
2�0
V = 112 (2�)
V = 16�
Ejercicion 6R R RD
�x2 + y2
�dx dy dz; D sólido limitado por las sper�cies z = 2 y x2+y2 =
2z
424 24
z 0 024
4
y x2
02 2
La interseccion del plano z = 2con el paraboloide x2 + y2 = 2z es una curvacuya proyección en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 4:Empleando coordenadas cilíndricasx = r cos �y = r sin
11
z = zjj(r; �; x)j = rel sólido D se describe como:0 � r � 20 � � � 2�12r2 � z � 2
V =R R RD
�x2 + y2
�dx dy dz
V =R 2�0
R 20
R 212 r
2 r dz dr d�
V =R 2�0
R 20
R 212 r
2 r dz dr d�
V =R 2�0
R 20
Rr3(2� 1
2r2)dr d�
V =R 2�0
h( r
4
2 �r6
12 )i20d�
V =R 2�0
83d�
V = 83 (�)
2�0
V = 163 �
COORDENADAS ESFÉRICAS
Ejercicion 1
Calcular el volumen del casquete esférico limitado por:x2 + y2 + z2 = a2
x2 + y2 + z2 = b2
x2 + y2 = z2
con z � 0, siendo 0 < a < b.
Si escribimos el volumen en coordenadas esféricas, de acuerdo a la �guratenemos:
12
x = r cos � sin' a � r � b
y = r sin � sin' donde 0 � ' � �4
z = r cos � 0 � � � 2�
Recordando que el Jacobiano de la transformació es J = r2 sin'; el volumense escribe ahora de la siguiente forma:
V =R badrR �
4
0d�R 2�0r2 sin' d�
V =�r3
3 jba
��� cos' j
�40
�2� =
V = b3�a33 (1�
2p22 )2�
V = �3 (2�
2p2)(b3 � a3)
Ejercicion 2Calcular el volumen del "cono de helado" D cortado en la esfera sólida � � 1
por el cono � = �3 :
El volumen esR R RV
�2 sin� d� d� d�; la integral de f(�; �; �) = 1; sobre D.
Para determinar los limites de integracion y evaluar la integral, comenzamosgra�cando D y su proyeccion R sobre el plano xy.Los limites de integracion en �: Trazamos un rayo M desde el origen hacia D
que forme un ángulo � con el semieje positivo x. El rayo M entra a D en � = 0y sale en � = 1:Los limites de integración en �: El cono � = �
3 forma un ángulo de�3 con el
semieje positivo z. Para cualquier �, dado, el ángulo � = 0 hasta � = �3 :
Los limites de integracion en �: El rayo L barre R cuando � vs de 0 a 2�:
V =R R RV
�2 sin� d� d� d�
13
V =R 2�0
R �3
0
R 10�2 sin� d� d� d�
V =R 2�0
R �3
0
h�3
3
i10sin� d� d�
V =R 2�0
R �3
013 sin� d� d�
V =R 2�0
�� 13 cos�
��3
0d�
V =R 2�0
�� 16 +
13
�d�
V =��� 16 +
13
���2�0
V = 16 (2�)
V = 13�
Ejercicion 3Hallar el volumen de la porcióon del cono y2 = x2 + y2; limitada superior-
mente por la esfera x2 + y2 + y2 = a2:
Gra�cando
La integral para el volumen seria
V =R 2�0
R �4
0
R a0�2 sin� d� d� d�
V =R 2�0
R �4
0�3
3 ja0 sin� d�
V = a3
3
R 2�0(� cos�)
�40 d�
V = a3
3
R 2�0(� cos �4 � (� cos 0) d�
V = a3
3
R 2�0(1�
2p22 )d�
V = a3
3
�(1�
2p22 )�
2�
0
V = a3
3 (1�2p22 )(2� � 0)
V = 2�a3
3 (1�2p22 )
14
Ejercicion 4Calcular la integral triple
R R RV
(4x2+9y2+36z2)dxdydz siendo V el interior
del elipsoide 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36
:
2
3
4 5
44
3
55
1
3
3
2x
2
y
3
1
2
0 00 555z
1
1 1
2
1
2
3
Dividiendo ambos miembros de la ecuación del elipsoide por 36 encontramosque éste tiene semiejes 3, 2 y 1
Efectuamos el siguiente cambio a coordenadas esféricas generalizadas:x = 3� cos � sin', y = 2� sin � sin';z = � cos',jJ(�; �;')j = 6�2 sin'(0 � � � 2�; 0 � ' � �; 0 � � � 1).
Entonces:
V =R R RV
(4x2 + 9y2 + 36z2)dxdydz
V = 6:36R 2�0d�R �0sin' d'
R 10�4d� : 15
V = 216R 2�0d�R �0sin'( 15 ) d'
V = 2165
R 2�0d�R �0sin' d' : : 2
V = 2165
R 2�0[� cos']�0 d�
V = 2165
R 2�02d�
V = 4325
R 2�0d�
V = 4325 [�]
2�0
V = 4325 (2�)
V = 8645 �
Ejercicion 5Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la
simeesfera x2 + y2 + z2 = 16; z � 0:
15
42
y
24
0
4
z 0
x0
24
2
2
4
24
x = r sin� cos �,y = r sin� sin �;z = r cos�jJ(�; �;')j = r2 sin�
Descripcion de las fronteras de D en coordenadas esféricas:Cono : z2 = x2 + y2; cos2 � = sin2 �; tan� = �1Al considerar la parte superior: tan� = 1; � = �
4Esfera : x2 + y2 + z2 = 16; r = 4Descripció en esféricas de D:0 � r � 40 � � � �
40 � � � 2�
V =R R RD
dx dy dz
V =R 2�0
R �4
0
R 40r2 sin� dr d� d�
V =R 2�0d�R �
4
0sin�d�
R 40r2 dr
V =R 2�0d�R �
4
0sin�d�
V = 43
3
R 2�0(� cos�)�=40 d�
V = 43
3 (� 2p22 + 1)
R 2�0d�
V = 43
3 (� 2p22 + 1)(�)2�0
V = 43
3 (� 2p22 + 1)(2�)
V = � 643 ��p2� 2
�3
16
4 Demostrar Integral de PoissonR +1�1 e�x
2
dx =2p�
Calculemos al principio la integral IR =RD
Re�x
2�y2dxdy; donde el dominio deintegracion D es un circulo x2 + y2 = R2
2
0
2
0
y
44 2
2044
zx1
Pasando a coordenadas polares �, �; tenemos:
IR =R 2�0(R R0e��
2
� d�) d� == � 12
R 2�0e��
2 jR0 d� = ��1� e�R2
�Si hacemos que el radio R tienda al in�nito (es decir si ampliamos inde�nida-
mente el dominio de integracion), obtenemos la asi llamada integral multipleimpropia.R 2�
0(R10e��
2
� d�) d� =
limR!1
R 2�0(R10e��
2
� d�) d� = limR!1
��1� e�R2
�= �
Demostremos que la integralRD
Re�x
2�y2dx dy tiende al limite �; cuando eldominio D�de forma arbitraria se amplia de modo tal, que todo punto del planose encuentra, por �n, en D�y permanezca en él (anotemos convencionmalmenteesta ampliación del dominio D�por la correlación D�!1 ).Sean R1 y R2 las distancias mínima y máxima de la frontera del dominio D�
a partir del origen de coordenadas.
17
Como la funcion e�x2�y2 > 0 por donde quiera, las desigualdades:
IR1 �RD�
Re�x
2�y2dx dy � IR2
ó��1� e�R2
��RD�
Re�x
2�y2dx dy � ��1� e�R2
�son válidas.ComoD�!1 , es evidente que R1 !1 y R2 !1 y los miembros extremos
de la desigualdad tienden a un mismo limite �: Por consiguiente, a este limitetiende también el miembro medio es decir,
limD0!1
RD�
Re�x
2�y2dxdy = � ....(1)
Supongamos en particular, que el dominio D0es un cuadrado de lado igual
a 2a y centro en el origen de coordenadas, entonces:RD�
Re�x
2�y2dxdy =R a�aR a�a e
�x2�y2dx dy =R a�aR a�a e
�x2 � e�y2dx dy =R a�a(R a�a e
�x2 � e�y2dx) dy:Saquemos ahora el factor e�y
2
fuera del signo de integral interior (podemoshacerlo, puesto que e�y
2
no depende de la variable de integracion (x).Entonces:RD�
Re�x
2�y2dxdy =R a�a e
�y2(R a�a e
�x2dx) dy:
PongamosR a�a e
�y2dx = Ba este es un numero constante (dependiendo sólode a); por estoR
D�
Re�x
2�y2dxdy =R a�a e
�y2Ba dy = BaR a�a e
�y2dy:
Pero, la ultima integral es tambien igual a Ba (puesto queR a�a e
�x2dx =R a�a�e
�y2dy; por consiguiente,RD�
Re�x
2�y2dx dy = BaBa = B2a:
Pasemos en esta ecuación al limite, haciendo que a tienda al in�nito (en estecaso D�se ampía inde�nidamente):
limD0!1
RD�
Re�x
2�y2dx dy = lima!1
B2a = lima!1
hR a�a e
�x2dxi2=hR1�1 e
�x2dxi2:
Pero según lo demostrado (véase (1)),lim
D0!1
RD�
Re�x
2�y2dx dy = �
Por tanto:hR1�1 e
�x2dxi2= �
2
rhR1�1 e
�x2dxi2= 2p�R1
�1 e�x2dx =
p�
18
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