ZNO 11 alg kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/013.pdf · За перший день...

79

ЧАСТИНА 2

АЛГЕБРА ТА ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

РОЗДІЛ І. ЧИСЛА ТА ВИРАЗИ

ТЕМА 1. ОБЧИСЛЕННЯ. АРИФМЕТИЧНІ ЗАДАЧІ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Яке з наведених чисел кратне числу 9?

А Б В Г Д 978999 100009 199999 253647 3333333

2. Знайти найбільший спільний дільник чисел 42 і 63. А Б В Г Д

126 3 7 9 21 3. Знайти найменше спільне кратне чисел 28 і 35.

А Б В Г Д 7 140 70 175 280

4. Обчислити 1,521 : 0,3 – 1,9 · 0,3. А Б В Г Д 0 –0,063 5,13 4,5 –0,63

5. Обчислити 3 12 32 · :4 25 20+ .

А Б В Г Д 3,575 3,7 4,7 5,7 4,07

6. Обчислити –4,8 : (–2,6 + 3,4) + 0,8. А Б В Г Д

–7,2 –6,8 6,8 –5,2 5,2 7. Знайти невідомий член пропорції (5х – 7) : 12 = 2 : 3.

А Б В Г Д 3 2 7 4 6

80

8. Вказати найбільше з наведених чисел. А Б В Г Д

0,23 0,(23) 0,233 0,2(3) 0,2(31) 9. Вказати звичайний дріб, який дорівнює дробу 0,1(3).

А Б В Г Д

13100

1399

1390

313

215

10. 4 ...π− =

А Б В Г Д

π – 4 π + 4 –4π 4 – π 4π 11. Не виконуючи ділення, встановити остачу від ділення 33333333341 на 9.

А Б В Г Д 1 5 14 4 41

12. Із 68 жовтих і 85 червоних троянд склали букети, розділивши жовті та червоні троянди в усі букети порівну. Скільки найбільше букетів можна одержати?

А Б В Г Д

9 20 34 17 Не можна визначити

13. Яка найменша кількість метрів тканини може бути в рулоні, щоб його можна було продати без залишку по 6 м, по 8 м або по 10 м?

А Б В Г Д


14. За три дні зорано 1800 га поля. За перший день зорано 29

поля, а за другий — 16

поля.

Скільки гектарів поля було зорано за третій день? А Б В Г Д

1100 700 1200 800 900

15. За перший день турист пройшов 49

усього шляху, а за другий — решту — 2263

км.

Яку відстань пройшов турист за два дні? А Б В Г Д

1464

км 1543

км 60 км 1564

км 48 км

81

16. Басейн заповнюють водою через першу трубу за а годин, через другу — за b годин. Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох труб разом?

А Б В Г Д

a + b a – b ab aba b+

a bab+

17. Майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а його учень таку ж деталь — за 9 хв. Пра-цюючи разом, вони виготовили 42 деталі. Скільки деталей виготовив майстер?

А Б В Г Д


18. Велосипедист проїхав 20 км зі швидкістю 10 км/год і 15 км — зі швидкістю 5 км/год. Знайти середню швидкість руху велосипедиста.

А Б В Г Д 7,5км/год 7 км/год 5 км/год 12,5 км/год 8 км/год

19. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 25, а середнє арифметичне шести інших чисел дорівнює 34. Знайти середнє арифметичне усіх дев’яти чисел.

А Б В Г Д 5 6 30 60 31

20. В одному місті всі мешканці розмовляють англійською або французькою мовою. Анг-лійською мовою розмовляє 90% усіх мешканців, французькою — 80%. Скільки відсо-тків мешканців володіє лише однією мовою?

А Б В Г Д 70% 60% 30% 20% 10%

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21. Обчислити значення виразу 7 17 18 2 · 2,7 4 : 0,6512 36 3

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

22. Обчислити зручним способом: 2 3 2 374,7 · ( 105,3) · 2 ( 105,3) · 2 · 74,721 7 21 7

+ − − − − .

23. Знайти невідомий член пропорції: 1, 2 : 0,375 0,2 0,016 : 0,12 0,74 26 :15 0,825 5

x− +=+

.

24. Два пароплави заходять у порт після кожного рейсу. Перший робить рейс за 4 дні, а другий — за 6 днів. Якось у неділю вони зустрілись у порту. Через скільки днів вони зустрінуться в порту у неділю наступного разу?

25. Для учнів класу приготували однакові подарунки. В усіх подарунках було разом 588 цукерок, 140 яблук і 252 горіхи. Скільки учнів у класі, якщо їх більше, ніж 20?

6* Капіносов А. та ін. ЗНО. Математика

82

26. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри однин із гравців залишив поле, після чого середній вік футболістів, які залишилися, дорівнював 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?

27. Кішка з кошенятами з’їдають куплений господарем корм за 8 днів. Якби кішку году-вали саму, то їй вистачило б корму на 11 днів. На скільки повних днів вистачило б ко-рму кошенятам?

28. Швидкість товарного поїзда дорівнює 60 км/год. Чому дорівнює його довжина, якщо відомо, що він проходить повз нерухомого спостерігача за 15 секунд?

29. Петрик збирає за 21 хвилину 48 яблук, а Сашко збирає за 84 хвилини 36 яблук. Скіль-ки яблук збере Петрик за час, за який Сашко збере 54 яблука?

30. У класі із 40 учнів 30 уміють плавати, 27 уміють грати у шахи і 5 учнів не вміють ні плавати, ні грати в шахи. Скільки учнів уміють плавати і грати в шахи?

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31. Знайти х, якщо 2,759 7 23 : 6, 2 :12 1,2216 24 3: 457

x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

− + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−

⎝ ⎠⎝ ⎠

.

32. У ліцеї навчається 70 учнів, з них 27 записалося в драмгурток, 32 співають у хорі, 22 захоплюються спортом. Драмгурток відвідує 10 учнів, які також займаються в хорі, у хорі співає 6 спортсменів, у драмгуртку займається 8 спортсменів, 3 спортсмени від-відують і драмгурток, і хор. Скільки дітей не співають у хорі, не захоплюються спор-том і не займаються в драмгуртку?

33. Катер пройшов за течією річки 60 км за деякий час. За цей же час проти течії він прой-шов би 40 км. Яку відстань за цей час пропливе пліт?

34. Відстань між містами за течією річки теплохід проходить за 6 год, а проти течії — за 8 год. За який час пропливе цю відстань пліт?

35. Автомобіль проїхав першу половину шляху зі швидкістю 60 км/год. Шлях, що зали-шився, половину часу він їхав зі швидкістю 80 км/год, а другу половину часу — зі швидкістю 100 км/год. Знайти середню швидкість руху автомобіля на всьому шляху.

83

ТЕМА 2. ВІДСОТКИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Як знайти 52% від числа 960?

А Б В Г Д 960 ·100

52 52 ·100

96 960 · 52

100 960 : 52 960 · 52

2. Як знайти число, 60 % якого дорівнюють 360? А Б В Г Д

360 · 60 36060

60 ·100360

360 · 60100

360 ·10060

3. Як встановити, скільки відсотків становить число 9 від 96? А Б В Г Д

9 ·10096

96 · 9100

96 ·1009

996

969

4. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначити, скільки грошей потрібно по-класти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.

А Б В Г Д 1150 грн. 1050 грн. 950 грн. 850 грн. 750 грн.

5. Вміст олова у сплаві становить 40%. Скільки грамів олова у 300 г такого ж сплаву? А Б В Г Д

11333

г 120 г 75 г 1133

г 240 г

6. Сплав містить 50 г олова і 200 г міді. Який відсотковий вміст олова у сплаві? А Б В Г Д

24% 40% 20% 25% 50% 7. Вкладник вніс до банку 2000 грн., а через рік отримав 2160 грн. Під який відсоток річ-

них були покладені гроші? А Б В Г Д

12% 8% 6% 14% 16% 8. 10%-й розчин солі містить 180 г води. Яка маса цього розчину?

А Б В Г Д 198 г 190 г 1800 г 200 г 400 г

84

9. Ціна товару дорівнює 64 грн. Після зниження ціни товар коштував 56 грн. На скільки відсотків була знижена ціна?

А Б В Г Д

25% 8% 10% 214 %7

12,5%

10. Скільки відсотків від 180 складають 15% від 300? А Б В Г Д

15% 20% 25% 30% 40% 11. Ціна товару була підвищена на 25%. На скільки відсотків необхідно зменшити нову

ціну товару, щоб одержати початкову? А Б В Г Д

25% 15% 35% 20% 10% 12. Деяке додатне число спочатку збільшили на 50%, а потім одержане число зменшили

на 50%. Як змінилося початкове число? А Б В Г Д Не

змінилося Зменшилося на 25%

Зменшилося на 20%

Зменшилося на 5%

Збільшилося на 5%

13. На скільки відсотків збільшиться об’єм куба, якщо його ребро збільшити на 50%? А Б В Г Д

237,5% 125% 150% 50% 337,5% 14. Вкладник вніс до банку 1000 грн. під 8% річних. Яку суму він матиме на рахунку че-

рез 3 роки? А Б В Г Д

3 · 1000 · 1,08 3 · 1000 · 0,08 1000 · 0,082 1000 · 0,083 1000 · 1,083 15. Число а становить 25% числа b. Скільки відсотків становить число b від числа a?

А Б В Г Д 400% 200% 250% 750% 500%

16. Товар подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товару за ту ж кількість грошей?

А Б В Г Д 25% 20% 10% 40% 5%

17. Тривалість робочого дня зменшилась з 8 год до 6 год. На скільки відсотків потрібно підвищити продуктивність праці, щоб випуск продукції залишився тим же?

А Б В Г Д

20% 25% 133 %3

35% 124 %3

85

18. Машиніст провів поїзд за 7 год 30 хв замість 9 год за графіком. На скільки відсотків була збільшена середня швидкість?

А Б В Г Д

20% 216 %3

25% 15% 30%

19. У сплаві міді та цинку мідь становить 17

частину маси цинку. Який відсотковий вміст

міді у сплаві? А Б В Г Д

214 %7

12,5% 25% 45% 6,2%

20. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву олова, щоб отриманий сплав містив 16% міді?

А Б В Г Д 3 кг 2,5 кг 2 кг 4 кг 3,5 кг

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. До 200 г 10%-го розчину солі додали 80 г солі. Визначити вміст солі в новому розчині. 22. 2 кг сплаву міді з оловом містить 40% міді. Скільки потрібно додати до цього сплаву

олова, щоб отриманий сплав містив 25% міді? 23. Скільки води потрібно випарувати зі 100 кг 10%-го розчину солі, щоб одержати роз-

чин з концентрацією 20%? 24. Сплав міді та цинку, маса якого дорівнює 6 кг, містить 45% міді. Яку масу міді потріб-

но додати до цього сплаву, щоб він містив 60% міді? 25. З молока одержують 21% вершків, а з вершків — 24% масла. З якої кількості молока

можна одержати 126 кг масла? 26. Змішали 2 л молока, жирність якого дорівнює 6%, і 3 л молока, жирність якого дорів-

нює 8%. Якою буде жирність утвореної суміші? 27. Щоб одержати 800 г 50%-го розчину азотної кислоти, слід змішати 60%-й розчин цієї

кислоти з 20%-им розчином. Скільки використали 20% розчину? 28. До 400 г 5%-го розчину солі додали солі й одержали 24%-й розчин. Яка маса утворе-

ного розчину? 29. Число а збільшили на 10%. На скільки відсотків потрібно збільшити отримане число,

щоб отримати число, на 20% більше, ніж число а? 30. Порода містить 32% мінералу, в якому є 4,5% золота. Який відсоток золота в породі?

86

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Ціну товару підвищили на 10%. На скільки потрібно знизити нову ціну, щоб вона до-

рівнювала початковій, підвищеній на 5%? 32. Вкладник вніс до банку 9000 грн. Частину грошей він поклав під 10% річних, а реш-

ту — під 8%. Через рік прибутки від обох вкладів були однаковими. Скільки грошей було покладено на перший рахунок?

33. Встановити початкову суму грошей, покладену в банк, якщо через два роки вона дала прибуток 840 грн. за 10% річних.

34. Встановити, який відсоток річних нараховує банк, якщо через два роки за початкового вкладу 800 грн. на рахунку стає 882 грн.

35. Ціна вхідного квитка в кінотеатр становить 36 грн. Після зменшення вхідної плати кі-лькість глядачів збільшилися на 50%, а виручка — на 25%. Скільки став коштувати квиток?

87

ТЕМА 3. ЦІЛІ ВИРАЗИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Обчислити 9999 · 1001 + 1001.

А Б В Г Д 1010000 10100 101001 101000 10010000

2. Обчислити (–1)1 + (–1)2 + (–1)3 + ... + (–1)2008. А Б В Г Д

2008 –2008 0 1 –1

3. Обчислити 5 3

4 5

9 · 427 · 2

.

А Б В Г Д

29

1 2 227

49


16

4 · 3 9 · 39+ .

А Б В Г Д 4 · 316 15 13 4 · 314 5

5. Знайти значення виразу 3 2 3 15 · 21000

n n

n

+ +

.

А Б В Г Д 2 10n 5 50 10n + 2

6. Подати у вигляді многочлена вираз abc cab+ .

А Б В Г Д 110a + 11b + 101c 2a + 2b + 2c 200a + 20b + 2c 200a + 2b + 20c 111a + 11b + c

7. Відомо, що а + b = 1, b + с = 2, а + с = 3. Знайти 3(а + b + с). А Б В Г Д 6 9 12 15 18

8. Спростити вираз (а – 1)(а9 + а8 + а7 + ... + а2 + а + 1) + 1. А Б В Г Д

а10 + а9 а10 + а а10 – 1 а10 а9

88

9. Спростити вираз (2 + 1)(22 + 1)(23 + 1) · ... · (232 + 1) + 1. А Б В Г Д 234 264 264 + 2 234 + 2 234 – 2

10. Розкласти на множники вираз 4(х + у)2 – 9(х – у)2. А Б В Г Д

–(13х – 5у) × × (13х + 5у)

(13х – 5у) × × (13х – 5у)

–(5х – у) × × (5х + у)

(5х – у) × × (5х + у)

(5х – у) × × (5y – х)

11. Знайти (a – b)2, якщо (а + b)2 = 36, а2 – b2 = 24. А Б В Г Д 2 4 8 16 32

12. Знайти (a + b)4, якщо (аb)3 = 125, а2 + b2 = 15. А Б В Г Д 25 225 400 500 625

13. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 2007 – 2008 = ... А Б В Г Д

2008 –2008 1004 –1004 0 14. (200 + 1)(200 – 2)(200 + 3)(200 – 4) ... (200 + 2007)(200 – 2008) = ...

А Б В Г Д 2008000 –2008000 1004000 –1004000 0

15. Знайти x, якщо 222222х = 111111 + 222222 + 333333 + 444444. А Б В Г Д 1 4 5 10 12

16. Обчислити 12 – 22 + 32 – 42 + ... + 992 – 1002 + 1012. А Б В Г Д

–500 4949 1012 – 1 –50 5151 17. Спростити вираз: 70 · (719 + 718 + 717 + ... + 712 + 71) + 71.

А Б В Г Д 7010 7110 – 1 7110 7110 + 1 7010 + 1

18. Якою цифрою закінчується значення виразу 116 + 146 – 133? А Б В Г Д 0 2 3 5 7

19. Знайти частку від ділення многочленів x4 – x2 + x + 1 та х3 – х2 + 1. А Б В Г Д

х2 – 1 х х – 1 х + 1 х2 + 1

89

20. Знайти остачу від ділення многочлена х3 + 5х2 – х – 4 на двочлен х – 1. А Б В Г Д 0 1 2 –1 –2


21. Знайти значення виразу 21 3 10 4

9 10 10

2 · 27 15 · 4 · 96 · 2 12

++

.

22. Подати у вигляді многочлена (2x2 + х – 3)2. 23. Знайти частку від ділення 165 + 215 на 33. 24. Виконати ділення многочлена 2х3 – 3х2 – 11х + 6 на двочлен х – 3. 25. Розкласти на множники а2 + х2 – а2х2 + 4ах – 1. 26. Розкласти на множники х4 + 4. 27. Розкласти на множники а3 + а2 – 12. 28. Розкласти на множники а3 – 7а + 6. 29. Якою цифрою закінчується значення виразу 159 + 269 + 399?

30. Якою цифрою закінчується число 99999 ?

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Подати у вигляді многочлена (х + у + z)3. 32. Розкласти на множники многочлен x5 + x + 1. 33. Розкласти на множники многочлен x8 + x4 + 1. 34. Подати у вигляді квадрата многочлена (n – 2)(n – 1)n(n + 1) + 1. 35. Знайти, за яких значень а і b многочлен x4 + 6x3 + 3x2 + ax + b ділиться без остачі на

многочлен x2 + 4x + 3.

90

ТЕМА 4. ДРОБОВО-РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку.

1. 8 35 2 2 5a a

+− −

= ...

А Б В Г Д

112 5a−

115 2a −

52 5a−

55 2a −

245 2a −

2. 2

2 24c c

cc−

−− = ...

А Б В Г Д

22

4cc−

22

4c

c −

2

2 4c

c −

2

24c

c−

2

2 4c cc

−−

3. 2 6

2 214 49 ·

49a a a

a a− +

− = ...

А Б В Г Д

а4(а – 7) ( )3 77

a aa

−+

( )4 7

7a a

a−

+ –14а5 ( )4 7

7a a

a+−

4. ( )2 2020 :

3b bb ++ = ...

А Б В Г Д 2

3b ( )220

3b b +

3b 3

b 2

3b

5. 7 3 6 5·2

aab a a

+−+

= ...

А Б В Г Д

7 15aab− 7 15b

ab− 7 15b

ab+ 7 15a

ab+ 7 15b

ab−

6. ( )1 1 : 2 11

aa a

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

( )21

2 1a + ( )

( )2

1

2 1

a a

a

+

+ ( )

( )

22 11

aa a

++

a2 + a 21

a a+

91

7. 81 99

aa

+ +−

= ...

А Б В Г Д

29a

a−

2

9a

a − 90

9aa+−

990

aa−+

281

81a −

8. 3

3 28 7 14·

74 2 4a a a

a a a a+ − +− − +

= ...

А Б В Г Д

27a 7

7a

a + 7

7a

a+

2 497

aa+ 2

749

aa +

9. (a2 – b2) : (a–1 + b–1) = ... А Б В Г Д

ab(a – b) ( )1

ab a b− ab

a b− a b

ab− ab(a + b)

10. 6 13

6 13a a

a a− −++

= ...

А Б В Г Д

191

a 78

1a

a78 a19 71a

11. 11 1a b

b a

−⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

ba

ab

( )21abab+

a bab+ ab

a b+

12. Якщо 1 1 1a b c= − , то с = ...

А Б В Г Д

a – b abb a−

a bab− ab

a b− ab

13. 4a bb+ = . Знайти значення виразу b

a.

А Б В Г Д

14

4 3 13

5

92

14. а + а–1 = b. Знайти значення виразу а2 + а–2. А Б В Г Д

21

2b − 2

1b

b2 – 2 2b – 1 b2 + 2

15. Якщо 2xy

z= (х ≠ 0, z ≠ 0), то 2

1x

= ...

А Б В Г Д

zy zy

yz

yz 1yz

16. 1111

1 a

++

+

= ...

А Б В Г Д

32

a + 2 32

aa++

2 12

aa++

22 1aa++

2 12 2

aa++

17. 2 2007

1 2 2007......

a a aa a a− − −

+ + ++ + +

= ...

А Б В Г Д

a2007 a2008 20081

a 2006

1a

a2006

18. 3 3 6 12 24 483 3 6 12 24 48

1 1 1 1 1 1a a a a a a+ + + + +

− + + + + + = ...

А Б В Г Д

9696

1 a−

96196a− 48

961 a+

9696

1 a+ 48

481 a−

19. 2ab= . Знайти значення виразу

2 2

24b aa ab

+−

.

А Б В Г Д –16 8 4 –8 –4

20. Обчислити 1 1 1 1 1 1 11· 2 2 · 3 3 · 4 4 · 5 5 · 6 6 · 7 7 · 8

+ + + + + + = ...

А Б В Г Д

78

− 18

156

78

18

−

93


21. Спростити вираз 2

3 2 2 31 3 6 9:

9 3 9 9b b b

a a a a a b b a b ab− +⎛ ⎞− +⎜ ⎟

− + − −⎝ ⎠.

22. Спростити вираз 21 1 21 : 1

1 1a a

a a⎛ ⎞−⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

23. Спростити вираз 2 2

2 2:a a ab b a a ab ba a ab b a a ab b

+ − − − − ++ + + − + −

.


2 2 26 2 4 4·

25 4 3 2 6 8a a a

a a a a a a+ +⎛ ⎞− +⎜ ⎟

+ + + + + +⎝ ⎠.

25. Спростити вираз 2 3 2 31 1 1 1 1 11 : 1a aa a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

26. Спростити вираз ( )( )

( )

21 1 1 1

2 2 2 2 1 1

1ab a b a b

a b a b ab a b

− − − −

− − − −

+ + −

+ − +.

27. Спростити вираз 2 2 3

2 3 2 3 2 41 1 2

1 1 1 1a a a a a a

a a a a a a a a+ − − −+ + −

− − + − + + + −.


1n n

n na ba b

−− −

− −

⎛ ⎞+−⎜ ⎟−⎝ ⎠.

29. Спростити вираз ( )( ) ( )( ) ( )( )

a b b c c ab c c a c a a b a b b c

+ + ++ +− − − − − −

.

30. Спростити вираз 111 11 11

a

a

−+

−+

.


31. Спростити вираз 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c a b c b c aa b c

+ + + − + + + − + + −+ +

.

32. Спростити вираз ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1 1 13 3 6 6 9 9 12 12 15a a a a a a a a a a+ + + +

+ + + + + + + + +.

94

33. Спростити вираз 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

x y xy y z yz z x zxx y xy y z yz z x zx

− + − + −− + − + −

.

34. Відомо, що 4 25 7a ba b+ =−

. Знайти 4 53a ba b−+

.

35. Знайти значення виразу 3333 333 33 3

21996x x x x

x x+ + + +

+, якщо х2 + х + 1 = 0.

95

ТЕМА 5. ІРРАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ


1. Обчислити 6400 49 0,04 0,0025+ + + .

А Б В Г Д 807,025 870,25 87,0205 87,25 870,025

2. Обчислити 1 12 751 · 136 37 3

+ .

А Б В Г Д

1266

132636

156

556

166

3. Знайти значення виразу ( ) ( )22215 13 3+ − + .

А Б В Г Д 5 31 37 32 42

4. Спростити вираз 10 2 8 50+ + .

А Б В Г Д

17 2 39 2 37 2 19 2 24 2

5. Знайти значення виразу ( )27 3 7− − .

А Б В Г Д

–3 3 2 7− 2 7− 3 3 2 7− −

6. Обчислити 3 3 425 · 5 16− .

А Б В Г Д 1 2 3 4 5

7. Вказати правильну рівність. А Б В Г Д

3 3 62 · 9 18= 5 3 811 11= ( )53 1510 10= ( )1010 2 2− = − ( )99 3 3− = −

8. Обчислити 3 14 216 25+ .

А Б В Г Д 9 12 13 15 31

96

9. Обчислити 6 93 5 · 2 .

А Б В Г Д 200 8000 1600 400 800

10. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу 37 1−

.

А Б В Г Д

7 12+ 7 2

2− ( )2 7 1+ ( )3 7 1+ 7 1

2−

11. Внести множники під знаки коренів: a a b b− + .

А Б В Г Д 3 3a b+ 3 3a b− + − 3 3a b− − − 3 3a b− + 3 3a b− − +

12. 4 3a a a = ...

А Б В Г Д 3 a 9 8a 8 a 8 3a 3 2a

13. Знайти х, якщо 1 1 1 22 2 2

x= .

А Б В Г Д –1,125 –0,875 –0,625 –0,375 –0,125

14. ( ) ( )2 22 5 2 5− − + − = ...

А Б В Г Д

0 4 –4 4 2 5+ 2 5

15. 7 2 10+ = ...

А Б В Г Д

10 3,5 10+ 3 2+ 2 5+ 1 6+

16. Звільнитись від ірраціональності в знаменнику дробу 33

27 2−

.

А Б В Г Д

( )332 7 25

+ ( )3 332 49 14 45

− + ( )3 332 49 14 45

+ + ( )332 7 25

− ( )3 332 49 2 14 45

+ +

97

17. Знайти значення виразу 71 16 7 11 4 7− + − .

А Б В Г Д

10 2 7− –10 –6 10 6

18. Обчислити 2 3 · 2 2 3 · 2 2 2 3 · 2 2 2 3+ + + + + + − + + .

А Б В Г Д 1 2 3 4 5

19. Обчислити ( )2 1 4 9 4 2− + − .

А Б В Г Д

1 2 3 4 2 2

20. Обчислити 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 80 81

+ + + ++ + + +

.

А Б В Г Д 1 3 5 8 9


21. Обчислити ( )( )6 64 427 64 27 64+ − .

22. Обчислити ( )6 3 349 20 6 5 2 6 5 2 6+ + + − .

23. Обчислити 53 2 98 11 13 11 13 2

+ −− + +

.


1 2 22

1 1 12 2 2

1 1 1

1 1

x xxx x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟

+ −⎝ ⎠⎝ ⎠

.

25. Спростити вираз 40,5 0,5

0,5 0,52 2 16

42 2a a

aa a⎛ ⎞+ −+ −⎜ ⎟−− +⎝ ⎠

.

26. Обчислити ( )27 2 50 · 5 2+ − .


2

2 2 44 2

a aa a+ −

− + +.

28. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу 3 3

19 2 3 4− +

.


98

29. Спростити вираз :b ab a b a baa b ab b ab a ab

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ++ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠⎝ ⎠

.

30. Спростити вираз ( )4 4 4

1 344 4 4

:x y y

x x yx x y

−⎛ ⎞−

+ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠.


31. Обчислити 3 5 2 7 · 3 2 2− + .

32. Обчислити 3 32 5 2 5+ + − .

33. Спростити вираз 4 28 16 3− .

34. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу 105 10 20 40 80− + + −

.


2 92

3 2x xy y

yx y xy+ +

−+ −

.

99

ТЕМА 6. ЛОГАРИФМІЧНІ ВИРАЗИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Вказати неправильну рівність.

А Б В Г Д

log216 = 4 21log 4

16= − 1

2

1log 416

= 12

1log 164

= 12

log 16 4= −

2. Обчислити 5log 71 73

15 log log 13

+ + .

А Б В Г Д

6 7 8 173

1123

3. 9 9

6 6

log 27 log 3log 8 log 27

++

= ...

А Б В Г Д

6 67

38

32

23

4. 8 8

2 2


−−

= ...

А Б В Г Д

1 143

2 16 3

5. Обчислити значення виразу 5 55log 49 2log7

+ .

А Б В Г Д 2 1 0 4 25

6. Знайти значення х, якщо 7 7 7 7log 2log 6 log 12 log 15x = − + .

А Б В Г Д

39 7,5 15 741 45

100


3 7


+ .

А Б В Г Д 15 8 25 54 64

8. Обчислити 32 log 4log 38 9+ .

А Б В Г Д 33 7 14 43 60

9. Обчислити log816. А Б В Г Д

8 2 34

12 43

10. Знайти log3200, якщо log32 = a, log35 = b. А Б В Г Д

3a + 2b 32ab 2a + 3b 3a + b 6(a + b) 11. Обчислити lg tg1° lg tg2° lg tg3° ... lg tg88° lg tg89°.

А Б В Г Д 89! 0,1 10 1 0

12. Обчислити lg tg1° + lg tg2° + lg tg3° + ... + lg tg88° + lg tg89°. А Б В Г Д 10 1 0 0,1 89!

13. Обчислити 2 2log 3 log 77 3− .

А Б В Г Д

0 73

1 –1 2

14. Обчислити log57 · log49125. А Б В Г Д

16

1 6 23

1,5

15. 71 log 27 + = ...

А Б В Г Д 9 14 49 343 81

16. ( )7 4 3log 7 4 3

+− = ...

А Б В Г Д 14 2 1 –1 –2

101

17. 5 47log 7 7⋅ = ...

А Б В Г Д

45

54

14

120

1207

18. Обчислити log87 · log76 · log64. А Б В Г Д

32

23

12

2 3


11 1 22

log 2 2log 52 25 1+⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д 8 16 3 4 5

20. Обчислити 2008

log log ...n n nn n n .

А Б В Г Д 2008 –2008 1004 –1004 1


21. Обчислити log 523

4

1log 2 5

1 4log 21 481

−+⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

22. Обчислити 5 72 log 75 log 325 7− −+ .


5 3 7

log 5log 3 log 5 log 493 5 7− + .

24. Обчислити 3 257log 49 · log 5 · log 27 .


32 2 log 2log 3 log 32 3 9− − .

26. Обчислити ( ) ( )3 8 3 8log 3 8 log 3 8

+ −− + + .

27. Обчислити ( ) 1

7312 log 7 log 8 4 33

93 · 7 3 · log 9 9 10−+

− − .

28. Обчислити 1 1 1 12 3 4 99

1 1 1 1log · log · log · ... · log3 4 5 100

.

29. Дано: log23 = a. Знайти: log16254. 30. Дано: lg2 = a, lg7 = b. Знайти: log59,8.

102

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Дано: logaba = 9. Знайти logabb.

32. Спростити вираз ( )log log

logb b

b

aaa .

33. Дано: log502 = a. Знайти: 5 2log 625 .

34. Дано: log615 = a, log1218 = b. Знайти log2524. 35. Обчислити ( )( )5 2 5 2 5log 2 log 5 2 log 2 lg 2 · log 5 log 2+ + − − .

103

ТЕМА 7. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВИРАЗИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. sin4α + sin2αcos2α – sin2α = ...

А Б В Г Д

–2sin2α 1 2cos2α 2sin2α 0

2. tg2β + ctg2β + 2 – 21

cos β = ...

А Б В Г Д

21

sin−

β sin2β 2

1sin β

1 22

sin β

3. Обчислити sin cossin cos

α − αα + α

, якщо tgα = 3.

А Б В Г Д

1 0 12

12

− 2

4. tg7°tg83° + tg19°tg71° = ... А Б В Г Д 0 1 2 3 4

5. ( )

( )cos cos coscos sin sin

α β− α +βα −β − α β

= ...

А Б В Г Д 1 tgαtgβ sinαsinβ cosαcosβ ctgαctgβ

6. ( ) ( )

tg tg tg tgtg tg

x y x yx y x y+ −

++ −

= ...

А Б В Г Д 2 0 1 2tgx 2tg(x + y)

7. ( ) 3 3sin 2 2cos sin2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π − α + π+ α π−α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

sin2α 1 3cos2α 3 0

104

8. 4 4cos sin2 2α α− = ...

А Б В Г Д

sinα cosα cos4α cos2α 1

9. 2sin 40

2cos 20°°

= ...

А Б В Г Д

cos20° 12

sin20° ctg20° tg20°

10. sin48° + sin12° = ... А Б В Г Д

sin36° 32

cos18° 12

1 cos182

°

11. cos70° – cos10° = ... А Б В Г Д

–sin40° sin40° cos30° 12

2sin40°

12. cos70° + cos50° = ... А Б В Г Д

12

− 12

2cos10° sin10° cos10°

13. cos75°cos15° = ... А Б В Г Д

12

34

1 14

32

14. sin105°cos15° = ... А Б В Г Д

32

34

2 34+ 1

2 1 3

2+

15. sin75°sin15° = ... А Б В Г Д

12

14

34

32

34

105

16. 1sin arccos4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

14

34

154

− 12

154

17. 1cos 2arcsin6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

1718

13

34

23

1516

18. 1tg arcsin 0,62

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...

А Б В Г Д

0,3 23

12

13

− 34

19. 2 416cos cos cos9 9 9π π π = ...

А Б В Г Д 0,5 –0,5 2 –2 0

20. 3 5sin sin sin14 14 14π π π− − = ...

А Б В Г Д

12

− 1 0 12

–1


21. Обчислити ( ) ( )

( ) ( )

sin cos tg2

3sin cos ctg2

π⎛ ⎞α + α − π −α⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞α − π α − π−α⎜ ⎟⎝ ⎠

.

22. Спростити sin4α – cos4α – sin2α + cos2α.

23. Спростити 2 2

22 2

tg 1 ctg· tg1 tg ctg

α + α− α

+ α α.

24. Спростити cos cos3 cos5 cos 7sin sin 3 sin 5 sin 7

α − α + α − αα + α + α + α

.

106

25. Спростити 1 cos cos 2 cos3cos cos 2

+ α + α + αα + α

.

26. Спростити ( ) ( ) ( )3sin 2 tg cos sin2

x x x xπ⎛ ⎞π − − − − π − − π⎜ ⎟⎝ ⎠

.

27. Перетворити у добуток sin19° + sin25° + sin31°. 28. Подати у вигляді суми 4sin25°cos15°sin5°. 29. Обчислити sin 20 cos50 sin 60 cos10 . 30. Обчислити sin15°.


31. Обчислити tg1 tg10011 1 1 1...cos1 cos3 cos1 cos5 cos1 cos 7 cos1 cos 2001 2sin1

−+ + + + +

+ + + +.

32. Обчислити 1 1 1...sin sin 2 sin 2 sin 3 sin 999 sin1000

+ + +α α α α α α

.

33. Спростити вираз 5cos5 5cos3 10cos

cosα + α + α

α.

34. Спростити вираз 2 1 7sin 2arctg tg arccos3 2 25

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

35. Спростити вираз ( )( )( )arccos sin 2arctg 3 2+ .

107

РОЗДІЛ ІІ. РІВНЯННЯ Й НЕРІВНОСТІ

ТЕМА 8. ЦІЛІ РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати рівняння ax + b = c, де a ≠ 0.

А Б В Г Д

axb c

=−

axc b

=−

b cxa−= c bx

a−= c bx

a+=

2. Розв’язати рівняння 1 2 07

x − = і –0,2x = 4 та записати добуток їх коренів.

А Б В Г Д

–70 170

− –28 280 –280

3. Розв’язати рівняння |x – 1| = 3 та знайти суму його коренів. А Б В Г Д 0 4 2 –2 –4

4. Знайти дискримінант рівняння 3x2 – 2x – 5 = 0. А Б В Г Д 64 –64 8 –31 49

5. Знайти суму коренів рівняння 2x2 – 5x – 7 = 0. А Б В Г Д 5 –2,5 2,5 –7 –3,5

6. Скласти зведене квадратне рівняння з коренями 2 і 8 .

А Б В Г Д

2 3 2 16 0x x− + = 2 4 3 2 0x x− + = 2 3 2 4 0x x+ + = 2 3 2 4 0x x− + = Скласти

неможливо 7. Скільки коренів має рівняння |x2 – 3x + 2| = 2?

А Б В Г Д Один два три чотири жодного

8. У першій пачці зошитів було удвічі більше, ніж у другій. Коли з другої пачки перекла-ли до першої 10 зошитів, то в другій стало в 4 рази менше зошитів, ніж у першій. Скі-льки зошитів було у другій пачці?

Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість зошитів у другій пачці позначено через х?

108

А Б В Г Д 2х = 4(х – 10) 4(2х + 10) = х – 10 2х + 10 = 4х – 10 2х + 10 = 4(х – 10) х + 2 + 10 = 4(х – 10)

9. Одну й ту ж відстань один автомобіль проїхав за 3 год, а інший — за 2 год. Знайти швидкість руху автомобіля, який їхав повільніше, якщо його швидкість на 24 км/год менша від швидкості іншого автомобіля.

Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо шукану швидкість позначено через х км/год? А Б В Г Д

3(х – 24) = 2х 3(х + 24) = 2х 3х = 2(х + 24) 243 2x x += 3х = 2х + 24

10. У першості з волейболу було зіграно 21 матч, при цьому кожна команда зіграла з ін-шою по одному разу. Скільки команд брало участь у першості?

Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість команд позначено через х? А Б В Г Д

х(х + 1) = 2 ( )121

2x x −

= ( )1

212

x x += х + х – 1 = 21 x(x – 1) = 21

11. За якої умови рівняння ax + b = cx + d не має коренів? А Б В Г Д

a = 0, c ≠ 0 a ≠ c, d ≠ b a ≠ c, d = b a = c, d ≠ b a = c, d = b 12. Коренем рівняння kx = 3 є число 0,2. Знайти корінь рівняння kx = –1.

А Б В Г Д

115

− 15 53

− 53

23

−

13. За якого значення а рівняння а2х – 2а2 = 49х + 14а має єдиний корінь? А Б В Г Д

(–∞; –7) (7; +∞) (–∞; –7)∪(7; +∞) (–7; 7) (–∞; –7)∪ ∪(–7; 7)∪(7; +∞)

14. За якого значення t значення виразу –0,3t + 18 на 5 більше від значення виразу 0,1t + 1? А Б В Г Д

–16,25 16,25 30 55 –30 15. Вказати всі значення а, за яких рівняння |x – 5| – 1 = a має два корені.

А Б В Г Д a > 5 a < 4 a > 1 a ≥ –1 a > –1

16. Знайти всі значення a, за яких один з коренів рівняння х2 + 2ах + а2 = 0 дорівнює –2. А Б В Г Д

а = ±2 а = 2 а = 4 а = ±4 а = –2

109

17. За яких значень m рівняння 4х2 + 2х – m = 0 має тільки один корінь? А Б В Г Д

0,5 –0,5 0,25 –0,25 ±0,25 18. Знайти всі значення c, за яких рівняння 3х2 – 2х + с = 0 має хоча б один спільний ко-

рінь з рівнянням х2 + х – 2 = 0. А Б В Г Д

с = –5, с = –1,6 с = 8, с = 1 с = –16, с = –1 с = 8, с = –1 с = 5, с = 1,6

19. х1 та х2 — корені рівняння х2 – 3х – 5 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти 2 21 2x x+ .

А Б В Г Д –1 19 4 –4 –19

20. Скільки коренів має рівняння х2 – 7|x| + 10 = 0? А Б В Г Д

Один два три чотири жодного


21. Розв’язати рівняння 2 2 5 4 1 45 4 20

x x x x− − −+ + = − .

22. Розв’язати рівняння х6 – 3х3 + 2 = 0.

23. Розв’язати рівняння х3 + 9х2 + 9х + 1 = 0.

24. Розв’язати рівняння (х2 + 3х + 1)(х2 + 3х + 3) + 1 = 0.

25. Розв’язати рівняння (х2 + 2х)2 – (х + 1)2 = 55.

26. Розв’язати рівняння |3x2 – x| = 8 + x.

27. Розв’язати рівняння |x + 1| + |x – 5| = 20.

28. Розв’язати рівняння (a – 2)(a + 3)х = а + 3.

29. Батько старший від сина в 9 разів, а сума їхніх років дорівнює 30. Через скільки років батько стане старшим від сина удвічі?

30. У двоцифровому числі цифра десятків утричі більша, ніж цифра одиниць. Якщо від цього числа відняти число, записане цими ж цифрами, але у зворотному порядку, то отримаємо 36. Знайти це число.

110

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Розв’язати рівняння (х + 2)(х + 1)х(х – 1) = 24. 32. Розв’язати рівняння х4 + (х – 4)4 = 82. 33. Розв’язати рівняння х3 – 5х2 – 2х + 24 = 0. 34. Розв’язати рівняння ||x + 1| – |x – 3|| = |x|. 35. Розв’язати рівняння |x2 – 9| + |x2 – 16| = 7.

111

ТЕМА 9. ЦІЛІ РАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати нерівність –4х < 20.

А Б В Г Д (–∞; 5) (–∞; –5) (5; +∞) (–5; +∞) (–4; 20)

2. Розв’язати нерівність 1 22

x − < .

А Б В Г Д

(5; +∞) (–∞; 5) (–∞; 3) (3; +∞) 1; 22

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Розв’язати нерівність 42 3x x− ≤ .

А Б В Г Д [4; +∞) (–∞; 4] [24; +∞) (–∞; 24) (–∞; 24]

4. Розв’язати нерівність 2 < х – 7 ≤ 5. А Б В Г Д

(2; 12] (–5; –2] (9; 12] (–5; 5] (–12; 9] 5. Розв’язати нерівність –3 ≤ –х + 4 < 2.

А Б В Г Д (2; 7] [2; 7) [1; 6) [–3; –2) (1; 6]

6. Розв’язати нерівність (х + 7)(х – 3) < 0. А Б В Г Д

(–3; 7) (–∞; 3)∪(7; +∞) (–∞; –7)∪(3; +∞) (3; 7) (–7; 3) 7. Розв’язати нерівність х2 + 7х – 30 ≥ 0.

А Б В Г Д [–10; 3] (–∞; –10]∪[3; +∞) (–∞; –3]∪[10; +∞) [–3; 10] (–∞; 3]∪[10; +∞)

8. Розв’язати нерівність –х2 + 3х + 10 > 0. А Б В Г Д

(2; 5) (–∞; –5)∪(2; +∞) (–5; 2) (–∞; –2)∪(5; +∞) (–2; 5)

112

9. Розв’язати нерівність х2 > 10. А Б В Г Д

( )10; +∞ ( )10; 10− ( )10;− +∞ ( )( )

; 100

100;

−∞ − ∪

∪ +∞

( )( )

; 10

10;

−∞ − ∪

∪ +∞

10. Розв’язати нерівність (х – 1)2 < 16. А Б В Г Д

(–5; 3) (–4; 4) (–3; 5) (–∞; –3)∪(5; +∞) (–∞; –4)∪(4; +∞) 11. Розв’язати нерівність (х – 3)(х + 5)(4 – х) ≥ 0.

А Б В Г Д

(–∞; –5]∪[3; 4] [–5; 3]∪[4; +∞) [–4; –3]∪[5; +∞) (–∞; –4]∪[–3; 5] (–∞; 4] 12. Знайти множину розв’язків нерівності (х – 2)2 (х + 3) ≤ 0.

А Б В Г Д

(–∞; –3]∪[2; +∞) (–∞; –3] [–3; 2] (–∞; –3]∪{2} (–∞; –2]∪{3} 13. Розв’язати нерівність x(5 – x)3 > 0.

А Б В Г Д (5; +∞) (–∞; –5)∪(0; +∞) (–∞;0)∪(5; +∞) (–5; 0) (0; 5)

14. Скільки цілих розв’язків має нерівність –х – 5 < –3х < х – 1? А Б В Г Д

Жодного один два три більше, ніж три 15. Розв’язати нерівність (х2 – 3х – 10)(х – 1) > 0.

А Б В Г Д

(–∞; –2)∪(1; 5) (–2; 1)∪(5; +∞) (–5; –1)∪(2; +∞) (–∞; –5)∪(–1; 2) (1; +∞) 16. Знайти множину розв’язків нерівності |х – 5| < 8.

А Б В Г Д

(–∞; –13)∪(3; +∞) (–∞; 13) (–13; 3) (–3; 13) (–∞; –3)∪(13; +∞)17. Розв’язати нерівність |х + 4| > 3.

А Б В Г Д

(–∞; –7)∪(–1; +∞) (–7; –1) (–1; +∞) (–∞; 1)∪(7; +∞) (1; 7) 18. Розв’язати нерівність |3х| < х + 1.

А Б В Г Д (–∞; 0,5) (0,5; +∞) (–0,25; 0,5) (–0,5; 0)∪(0; 0,25) (0,25; +∞)

113

19. За яких значень а розв’язком нерівності (а – 3)х ≤ 7 є проміжок 7 ;3a

⎡ ⎞+ ∞⎟⎢ −⎣ ⎠?

А Б В Г Д а > 3 a ≥ 3 a ≠ 3 a < 3 a ≤ 3

20. Знайти множину розв’язків нерівності (х – 4)(а – х) ≥ 0, якщо а < 4. А Б В Г Д

(–∞; a]∪[4; +∞) [a; 4] [–4; a] (–∞; –4]∪[a; +∞) [4; –a]


21. Розв’язати нерівність 2 2 1 2 314 10 6

x x x− − −+ < − .

22. Розв’язати нерівність 7 < 1 – 3x < 16.

23. Розв’язати нерівність x + 1 < 2x < x + 2.

24. Розв’язати нерівність 2 ≤ x2 + x < 6. 25. Розв’язати нерівність (x2 + 2x – 15)(x2 – 4x + 3)(x – 1) ≤ 0. 26. Розв’язати нерівність x6 – 9x3 + 8 < 0. 27. Розв’язати нерівність (x – 2)4 – 13(x – 2)2 + 36 ≤ 0. 28. Розв’язати нерівність 1 < |x – 2| < 5. 29. Розв’язати нерівність x2 – 3|x| + 2 < 0. 30. Розв’язати нерівність |3x – 8| < x – 2.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Розв’язати нерівність (х2 – х – 1)(х2 – х – 7) < –5. 32. Розв’язати нерівність |х2 – х + 1| ≥ |х2 – 3х + 4|. 33. Розв’язати нерівність |х2 + х – 6| < х. 34. Розв’язати нерівність |х – 1| + |х + 1| < 4. 35. Розв’язати нерівність (х – а)(х – 2а) < 0.


114

ТЕМА 10. ДРОБОВІ РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ


1. Розв’язати рівняння 5 05

xx− =−

.

А Б В Г Д R 5 ∅ (–∞; 5)∪(5; +∞) (5; +∞)


xx− =−

.

А Б В Г Д 5 R ∅ (–∞; 5)∪(5; +∞) (5; +∞)

3. Розв’язати рівняння 03

x xx− =−

.

А Б В Г Д

∅ R (–∞; –3)∪(–3; +∞) (–∞; 3)∪(3; +∞) –3

4. Розв’язати рівняння 2 21 15 10

9 9x

x x+ = +

− −.

А Б В Г Д {2; 3} ∅ {–3; 2; 3} {–3; 3} {2}


9 9x

x x+ = +

− −.

А Б В Г Д

∅ {0} {–3} {–3; 3} {3}


24 04

x xx− =−

.

А Б В Г Д

∅ {2} {–2; 2} {–2; 0; 2} {0}

7. Розв’язати рівняння ( )( )( )( )

2 29 160

3 4

x xx x− −

=− +

.

А Б В Г Д {–4; –3; 3; 4} {3; 4} {–3; –4} {–3; 4} {–4;3}

115

8. Знайти суму коренів рівняння ( ) ( )3 5

02

x xx

− −=

−.

А Б В Г Д 5 –8 –1 8 10


xx+ =+

.

А Б В Г Д

{–1} { }41;3

− − { }43

− {–2} {2}

10. Вказати інтервал, який містить корені рівняння 3 21x x

=+

.

А Б В Г Д (–5; –3) (–1; 2) (2; 4) (–2; 1) (–4; –2)

11. Розв’язати рівняння 1 1 07 4x x+ =

− + і вказати проміжок, якому належить його корінь.

А Б В Г Д (1; 2) (–2; –1) (–4; –2) (2; 4) (4; 6)

12. Розв’язати рівняння 1 1 1 03 3x x− + =

+ − і вказати проміжок, якому належить більший

його корінь. А Б В Г Д

(0; 1) (2; 3) (4; 5) (3; 4) (4; 5)

13. Знайти суму коренів рівняння 53 2x

x=

+.

А Б В Г Д 2 –2 15 –15 5

14. Встановити значення а, за яких рівняння 2 08 15

x ax x

− =− +

не має коренів.

А Б В Г Д a = 15 a = 3 або а = 5 a = 8 а = –3 або а = –5 а = –8

15. Встановити значення a, за яких рівняння 59 9

x a xx x− −=+ +

не має коренів.

А Б В Г Д а = –23 а = –9 a = 5 а = 23 а = 9

116

16. Катер проходить 160 км за течією річки за той же час, що й 140 км проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо власну швидкість катера позна-чено через х км/год?

А Б В Г Д

2 2160 140x x+ = 2

140 160x x− = 160 140

2 2x x=

− + 160 140

2x x=

+ 160 140

2 2x x=

+ −

17. Робітник повинен був виготовити за деякий час 90 деталей. Щоденно він виготовляв на 3 деталі більше, ніж планувалося, і тому завдання виконав на 1 день раніше. Скіль-ки деталей щоденно виготовляв робітник? Кількість деталей, що виготовляє робітник за 1 день, позначено через х. Яке з наведе-них рівнянь відповідає умові задачі?

А Б В Г Д

90 90 31x x− =

− 90 90 1

3x x− =

− 90 90 1

3x x− =

− 90 90 3

1x x− =

− 90(х – 3) –

– 90х = 1

18. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 300 км, одночасно виїхали два ав-томобілі. Швидкість першого з них на 10 км/год більша від швидкості другого, а тому він приїхав до місця призначення на 1 год раніше. Знайти швидкість кожного з авто-мобілів. Швидкість першого автомобіля позначено через х км/год. Яке з наведених рівнянь від-повідає умові задачі?

А Б В Г Д

300 300 101x x− =

− 300 300 10

1x x− =

− 300 300 1

10x x− =

− 300 300 1

10x x− =

− 10 1

300 300x x− − =

19. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за 60 год. За скільки годин може виконати всю роботу кожний з робітників, працюючи окремо, якщо пер-ший з них може це зробити на 22 год швидше, ніж другий? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо час, за який може виконати за-вдання перший робітник, позначено через х год?

А Б В Г Д

х + (х + 22) = 60 х + (х – 22)=60 1 1 6022x x

+ =+

1 1 122 60x x

+ =+

1 1 122 60x x

+ =−

20. На заводі за певний термін повинні були відремонтувати 300 вагонів. Перевиконуючи план ремонту на 3 вагони за тиждень, за два тижні до закінчення терміну відремонту-вали 299 вагонів. Скільки вагонів ремонтували щотижня? Кількість вагонів, які ремонтували за тиждень, позначено через х. Яке з наведених рів-нянь відповідає умові задачі?

А Б В Г Д

300 299 23x x− =

− 300 299 2

3x x− =

− 300 299 3

2x x− =

− 300 299 3

2x x− =

− 299 300 2

3x x− =

−

117


21. Розв’язати рівняння 2 2 3 5 02 3

x xx x− ++ − =+ −

.


2 2 4x

x x x+ =

+ − −.

23. Розв’язати рівняння 2 2 23 1 3

9 6 9 2 6x x x x x− =

− − + +.

24. Розв’язати рівняння ( )2 3

5 3 12 14 4 4 1

xxx x x

− =−+ + −

.


25 3 4 0

5x x x

x x x+ − + + =

+ −.

26. Розв’язати рівняння 2 224 15 22 8 2 3x x x x

− =+ − + −

.


2 1 2 1x xx x+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Розв’язати задачі за допомогою рівнянь (28–30).

28. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 60 км, спочатку виїхав автобус, а через 20 хв — легковий автомобіль, швидкість якого на 20 км/год більша, ніж швид-кість автобуса. Знайти швидкість автобуса, якщо він приїхав до пункту В на 10 хв піз-ніше від легкового автомобіля.

29. Бригада робітників повинна була за кілька днів виготовити 272 деталі. Перші десять днів бригада виконувала встановлену норму, а потім стала виготовляти щоденно на 4 деталі більше, ніж за нормою. Тому за один день до терміну було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей повинна була виготовляти бригада щоденно за планом?

30. Басейн наповнюється водою двома трубами за 6 год. Перша труба може заповнити ба-сейн водою на 5 год швидше, ніж друга. За який час може заповнити весь басейн лише перша труба?



1 19 2 14x xx x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

32. Розв’язати рівняння ( )( ) ( )( )

16 20 16 1 2 3x x x x

− =+ − + +

.

118


44 2 2x x

x x x x+ = −

− + + +.

34. Розв’язати рівняння 1 2 4 52 3 5 6

x x x xx x x x− − − −− = −+ + + +

.

35. Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння 21 1 0

4a

xx+ + = має тільки один

корінь.

119

ТЕМА 11. ДРОБОВІ РАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ


1. Знайти множину розв’язків нерівності 1 1 2xx x

+ > − .

А Б В Г Д

R (–2; +∞) (–2; 0)∪(0; +∞) (0; +∞) (–∞; –2)∪(–2; 0)∪∪(0; +∞)

2. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є R. А Б В Г Д 2

2 04

xx− ≤−

22 0

3xx−⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

24 04

xx− ≥−

2

21 0x

x+ ≥

2

2 04

xx− ≤+

3. Вибрати нерівність, множиною розв’язків якої є ∅. А Б В Г Д

2

21 11

xx+ ≤+

2

2 11

xx

≤+

2

2 11

xx

≥+

2

21 01

xx− ≥−

2

21 1x

x+ ≥

4. Розв’язати нерівність 05

xx

≥−

.

А Б В Г Д

(–∞; 0]∪(5; +∞) (–∞; 0)∪[5; +∞) (–∞; 0)∪(5; +∞) [0; 5) (0; 5]


xx+ ≤−

.

А Б В Г Д

(–∞; –2)∪[5; +∞) (–∞; –5]∪(2; +∞) [–5; 2] [–5; 2) (–2; 5]

6. Розв’язати нерівність ( )( )

2

5 30

4x x

x+ −

<+

.

А Б В Г Д (–3; 5) (–5; 3) (–∞; –5)∪(2; 3) (–∞; –5)∪(3; +∞) (–∞; –3)∪(5; +∞)


xx+ ≤−

.

А Б В Г Д

[–5; –2)∪(2; +∞) (–∞; –5]∪(–2; 2) (–∞; –5]∪[–2; 2] (–∞; –5) (–∞; 5]

120


xx+ >+

.

А Б В Г Д

(–∞; –5)∪(–3; +∞) (–5; +∞) (–3; +∞) (–∞; –5) (–∞; –3)

9. Розв’язати нерівність 3 4 21

xx+ ≤+

.

А Б В Г Д

11 ; 13

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ [–2; –1] [–2; –1) 11 ; 1

3⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(–∞; –2]∪(–1; +∞)

10. Розв’язати нерівність 1 xx≤ − .

А Б В Г Д

(1; +∞) (–∞; –1) (0; +∞) (–∞; 0) (–∞; 0]

11. Розв’язати нерівність 3 21x x

≤+

.

А Б В Г Д

(–∞; –3]∪(–1; 0) (–∞; –3]∪[–1; 0] [–3; –1) (–1; 0) (–3; –1]

12. Знайти множину розв’язків нерівності 3 13 2x x>

− +.

А Б В Г Д

(–∞; –2)∪(3; +∞) (–∞; –4,5)∪(–2; 3) (–4,5; –2)∪(3; +∞) (–2; 3) (–3; 2)∪(4,5; +∞)

13. Знайти множину розв’язків нерівності ( )( )

24 4 1 04 3

x xx x

− + ≥+ −

.

А Б В Г Д

(–∞; –4)∪(3; +∞) (–4; 3) 14;2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∪(3; +∞) (–∞; –4)∪{ }12

∪

∪(3; +∞) (–∞; –4]∪[3; +∞)


25 6 02 8

x xx x− + ≤+ −

.

А Б В Г Д

(–4; 3) (–4; 2)∪(2; 3] (–∞; –4)∪{2}∪∪(3; +∞) (–∞; –4)∪(3; +∞) (–3; 4)

121

15. Розв’язати нерівність ( ) ( )( )2 3

2

1 7 30

6 9x x x

x x− + +

≥+ +

.

А Б В Г Д

[–7; –3)∪[1; +∞) (–∞; –7]∪(–3; +∞) [–7; –3) (–∞; 3)∪[7; +∞) (3; 7]


25 6 12 8

x xx x− + ≤+ −

.

А Б В Г Д (–4; 3) (–4; 3) (–∞; –4) (–4; +∞) (–4; 2)∪(2; +∞)

17. Знайти множину розв’язків нерівності 1 15x>

−.

А Б В Г Д

(4; 5)∪(5; 6) (4; 6) (–∞; 4)∪(6; +∞) (–6; –4) (–∞; –6)∪(–4; +∞)

18. Знайти множину розв’язків нерівності 7 15x<

+.

А Б В Г Д R (–2; 2) (–∞; –2)∪(2; +∞) (–∞; –5)∪(2; +∞) (–5; 2)

19. Знайти множину розв’язків нерівності ( )( )2

04

x x ax

+ −≤

−, якщо –2< a < 3.

А Б В Г Д [–2; a] [a; 4) [–2; a]∪(4; +∞) (–∞; –2]∪[a; 4) [a; 4]

20. Знайти множину розв’язків нерівності ( )( )

2 2 15 05

x xx x a− − ≤− −

, якщо –3 < a < 5.

А Б В Г Д

[–3; a] [–3; a) (–∞; –3]∪(5; +∞) (–∞; –3]∪[5; +∞) (–∞; –3]∪(a; 5)∪ ∪(5; +∞)



x xx− <+

.


xx x

<+ −

.


xx≥ −

−.

24. Розв’язати нерівність ( )

1 1 12 1 2x x

− ≤+

.

122


23 2x x≤

− +.

26. Розв’язати нерівність ( ) ( )

1 3 123 2 3 2

xx x x x

−+ + ≤− + − +

.

27. Розв’язати нерівність 2 1 13 7 3 1x x x

≤ −+ + +

.


15 4x

xx x− >

+− +.

29. Розв’язати нерівність 3 2 1 0

8x x x

x− + − ≤

+.

30. Розв’язати нерівність 2 5 14 1xx+ <+

.


31. Розв’язати нерівність ( )

1 1112 1 1

1x x

x

− ≥+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

+⎝ ⎠

.

32. Розв’язати нерівність 3 3 2 0

6x x

x− + ≤−

.


75

8 7x

x x+

<+ +

.

34. Розв’язати нерівність 1 21 2x x<

+ −.

35. Розв’язати нерівність 1axx

> .

123

ТЕМА 12. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ


1. Знайти область визначення (область допустимих значень) рівняння 5 1 2x x− + + = .

А Б В Г Д R (–∞; –1] [5; +∞ ) (–1; 5) [–1; 5]

2. Вказати рівняння, областю визначення якого є одне число. А Б В Г Д

4 5 3x x− + − = 5 7 2x x− + − = 2x x x+ − = − 2 6 9 3x x x− + − = 1 2x x+ − − =

3. Вказати рівняння, область визначення якого є порожня множина. А Б В Г Д

4 2x x+ + = 4 2x x− + − = 0x x+ − = 3 6 1x x− + − = 5 4 2x x− + − =

4. Вказати рівняння, коренем якого є число 2. А Б В Г Д

( )2 3 0x x− − = ( )2 3 2 0x x− − = ( )2 0x x− − = ( )2 1 0x x− − = ( )2 1 0x x− − =

5. Знайти суму коренів рівнянь 3 2x = , 3 3x = − і 3 1x− = .

А Б В Г Д –20 –18 0 12 9

6. Знайти суму коренів рівнянь 1 2x − = і 5x− = .

А Б В Г Д 30 –20 8 –7 –24

7. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В Г Д

7 1x + = − 3 1 2x x− + − = 5 2 0x x+ + − = 2 6 3 0x x− + − = 3 2x x+ − = −

8. Знайти значення виразу 2 9x − , якщо значення х задовольняє умову 2 9 6x x− = − .

А Б В Г Д

∅ 5 або –1 1 або –1 5 1

9. Знайти значення виразу 11x + , якщо значення х задовольняє умову 11 1x x+ = − .

А Б В Г Д 3 або 4 3 або –3 3 4 або –4 4

124

10. Знайти суму коренів рівняння 3 2 33 2 0x x− + = .

А Б В Г Д 9 –9 3 –3 2

11. Скільки коренів має рівняння 3 53 1 7 1 3 7x x x x− + − = + ?

А Б В Г Д Жодного один два три більше, ніж три

12. Скільки цілих коренів має рівняння 34 3 6 6 2 2x x x− + + = − − ?

А Б В Г Д Жодного один два три чотири

13. Скільки цілих коренів має рівняння 2008 2007 1x x− + − = ?


14. Скільки ірраціональних коренів має рівняння 2 3 3 2x x− = − ?


15. Скільки коренів має рівняння ( )( )2 5 0x x x− + − = ?


16. Скільки коренів має рівняння ( ) 21 6 6 6x x x x− − − = − ?


17. Розв’язати рівняння x a a− = .

А Б В Г Д

За будь-якого а х = 2а

за будь-якого ах = а2 + а

якщо а ≤ 0, х∈∅,якщо а > 0, х = а2 + а

якщо а < 0, х∉∅,якщо а ≥ 0, х = а2 + а

якщо а < 0, х∉∅,якщо а ≥ 0, х = 2а

18. Розв’язати рівняння 4 2x a+ = − .

А Б В Г Д

За будь-якого а х = а2 – 2а

якщо а < 2, х∈∅,якщо а ≥ 0, х = а – 2

якщо а ≤ 2, х∈∅,якщо а > 0, х = а – 2

якщо а ≤ 2, х∈∅,якщо а > 0, х = а2 – 2а

якщо а < 2, х∈∅,якщо а ≥ 0, х = а2 – 4a

125

19. Знайти всі значення а, за яких рівняння ( )( )1 0x a x− + = і ( ) 1 0x a x− + = рівносильні.

А Б В Г Д

а ≤ –1 а = –1 а > –1 а ≥ –1 а < –1

20. Знайти всі значення а, за яких рівняння ( )( )1 0x a x− + = і ( )1 0x x a+ − = рівноси-льні.

А Б В Г Д

а ≤ –1 а = –1 а > –1 а ≥ –1 а < –1

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Розв’язати рівняння 2 5 1 4x x x− + = − . 22. Розв’язати рівняння 3 2 2x x− − = .

23. Розв’язати рівняння 24 2 2x x x+ − = − .

24. Розв’язати рівняння ( ) 21 42 0x x x− − − = .

25. Розв’язати рівняння 5 1x x+ − = . 26. Розв’язати рівняння 1 3 1 1x x x− + − = + .


3 5x x

x x− ++ =+ −

.

28. Розв’язати рівняння 2 23 5 3 7x x x x− + = − + + .


33 2

1 1 411

x x xxx

− −− =+−

.

30. Розв’язати систему рівнянь 7 9 2;

7 9 2.

x y

y x

⎧ + − − =⎪⎨

+ − − =⎪⎩


31. Розв’язати рівняння ( ) ( ) ( )( )2 23 3 32 7 7 2 3x x x x− + + − + − = .

32. Розв’язати рівняння 3 7 3 0x x+ − + = .

33. Розв’язати рівняння 26 1 2 5 6 51 2x x x x x+ + − + + − = − .

34. Розв’язати рівняння 6 4 2 6 4 2 4x x x x+ + + − + − + = .

35. Розв’язати рівняння 1x x a+ − = .

126

ТЕМА 13. ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ


1. Знайти множину розв’язків нерівності 3x > − .

А Б В Г Д R ∅ (9; +∞) [0; +∞) (0; +∞)

2. Розв’язати нерівність 5x ≥ .

А Б В Г Д

[0; +∞) [5; +∞) [25; +∞) (5; +∞) (25; +∞)

3. Розв’язати нерівність 4x ≤ .

А Б В Г Д

(–∞; 16] (0; 2] [0; 2] (0; 16] [0; 16]

4. Знайти множину розв’язків нерівності 2x < − . А Б В Г Д R ∅ (–∞; –2) (–∞; –4) [0; 4)

5. Розв’язати нерівність 4 2x < .

А Б В Г Д [0; 2) [0; 8) (–∞; 16) [0; 16) (0; 16)

6. Розв’язати нерівність 3 2x > − .

А Б В Г Д

(–8; +∞) (0; +∞) (8; +∞) (–8; 0) (–8; 0]

7. Знайти множину розв’язків нерівності 3 1x x+ > − .

А Б В Г Д R [3; +∞) [1; +∞) (1; +∞) [3; +∞)

8. Розв’язати нерівність x x≤ .

А Б В Г Д

[1; +∞) [0; +∞) [0; 1] {0}∪(1; +∞) {0}∪[1; +∞)

9. Скільки цілих розв’язків має нерівність 2x x≥ ?


127

10. Розв’язати нерівність ( )4 0x x+ − > .

А Б В Г Д

∅ (–4; 0) (–4; 0] (–4; +∞) {0}∪(4; +∞)

11. Скільки цілих розв’язків має нерівність ( )5 0x x− > ?

А Б В Г Д Три чотири п’ять шість більше, ніж шість

12. Розв’язати нерівність ( )6 0x x− ≥ .

А Б В Г Д

(0; +∞) [0; +∞) (6; +∞) [6; +∞) {0}∪[6; +∞)

13. Розв’язати нерівність ( )1 3 0x x+ + ≤ .

А Б В Г Д

∅ [–3; +∞) [–1; +∞;) [–3; –1] [1; 3]

14. Розв’язати нерівність 2 9x x− < .

А Б В Г Д

(–∞; –3]∪[3; +∞) (3; +∞) [3; +∞) (–∞; –3] ∅

15. Знайти множину розв’язків нерівності 2 1x x− > .

А Б В Г Д

∅ [–1; 1] (–∞; –1]∪[1; +∞) (–∞; –1) (–∞; –1]

16. Знайти множину розв’язків нерівності 3 7 1x x+ < + .

А Б В Г Д

7 ;3

⎡ ⎞− +∞⎟⎢⎣ ⎠ (–1; 0) (3; +∞) [3; +∞) (–1; 3)

17. Серед наведених нерівностей вибрати ту, множина розв’язків якої містить множину натуральних чисел.

А Б В Г Д

1x > 1x > − 1x < − 1x < 1x− > −

18. Серед наведених нерівностей вибрати ту, множиною розв’язків якої є відрізок [–2; 0]. А Б В Г Д

2x− ≥ 2x ≥ 2x ≤ 2x− ≤ 2x− ≤ −

19. Розв’язати нерівність 3 43 2 5 0x x x− − − ≤ .

А Б В Г Д

[3; +∞) [5; +∞) (–∞; 3] [2; 3] [2; 3]∪{5}

128

20. Знайти суму цілих розв’язків нерівності 3 43 3 5 0x x x− − − ≥ .

А Б В Г Д 14 12 9 7 6


21. Розв’язати нерівність 2 7 5 3 4x x x− + ≥ − .

22. Розв’язати нерівність 2 3 24 1 2

x xx x− −≥− +

.

23. Розв’язати нерівність ( )( )3 2 3 2x x x− − < + .

24. Розв’язати нерівність 2 6 5 8 2x x x− + − > − .


xx

− <−

.

26. Розв’язати нерівність ( ) 21 2 0x x x− − − ≥ .

27. Розв’язати нерівність 6 10 1x x− − + ≤ .

28. Розв’язати нерівність 2 1 15 5x x− + + ≤ .

29. Розв’язати нерівність 2 23 5 7 3 5 2 1x x x x+ + − + + > .

30. Розв’язати нерівність ( )23 2 6x x− > + .


31. Розв’язати нерівність 2 3 7 2 1x x− − ≥ − − + .

32. Розв’язати нерівність 2 1225 xx

− ≤ .

33. Розв’язати нерівність 211 25 2x

x− − ≤ .

34. Розв’язати нерівність 1 1 11 xxx x x

−− − − ≤ .

35. Розв’язати нерівність 9 2a x + < .

129

ТЕМА 14. ПОКАЗНИКОВІ РІВНЯННЯ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати рівняння 5x = 8.

А Б В Г Д 5 8 8 5 log58 log85 8 5±

2. Розв’язати рівняння 95 5x− = і 3 3 0x − = та вказати суму їх коренів.

А Б В Г Д 0 1 8 9 11


21 42

xx

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

і 3 1 2 14 8x x+ − −= та вказати інтервал, який містить їх ко-

рені. А Б В Г Д

(–3; –2) (–2; –1) (–1; 0) (0; 1) (1; 2)

4. Розв’язати рівняння ( )( )2

2 15 1x

x x−

+ − = і ( )( )2 4 12 1

3

x x− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

та вказати їх спільні корені.

А Б В Г Д –2; 2 i 1 2 i 1 –2 i 1 –2 i 2 2

5. Серед наведених рівнянь вказати рівняння, рівносильне рівнянню 18 16 32x x−= .

А Б В Г Д

3x = x – 1 3 12xx = − 53 4

2xx = ⋅ 53 4

2xx = − 63 4

2xx = −

6. Яке з наведених рівнянь має корені? А Б В Г Д

2 172

x = 172

x = 172

x = 7 0x = 172

x = −

7. Розв’язати рівняння 1 16 3x x+ += і 5 52 8x x− −= та знайти суму їх коренів.

А Б В Г Д 4 –4 5 –5 53

8. Розв’язати рівняння 2 14 4 4 39x x x+ +− + = .

А Б В Г Д 4 3 3 4 log34 log43 ∅


130

9. Знайти суму коренів рівняння 25 6 · 5 5 0x x− + = .

А Б В Г Д 1 0 –6 6 –5

10. Встановити кількість коренів рівняння 2 223 12 · 3 27 0x x− + = .



7 2x = .

А Б В Г Д

2log 7± 2log 7 7log 2± 7log 2 7±

12. Розв’язати рівняння 12 · 3 72x x− = і 2 · 7 196x x = та вказати суму їх коренів.

А Б В Г Д 8 7 6 5 4

13. Розв’язати рівняння 2 9 27·3 8 64

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

і 2 25 · 6 900x x = та вказати суму їх коренів.

А Б В Г Д 8 7 6 5 4

14. Знайти значення виразу 7x, якщо 117 6

7

xx

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д 1 2 6 7 14

15. Знайти значення виразу 23

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, якщо 2 23 · 2 2 · 3 5 · 6x x x+ = .

А Б В Г Д

4 3 або 4 23

або 1 0 або 1 49

або 1

16. Знайти значення виразу 2x, якщо 2 12 2 1x x− −− = . А Б В Г Д 2 2 або –4 1 4 2 або 4

17. Знайти значення виразу 1

9 x , якщо 1 1

81 4 · 9 45x x− = .

А Б В Г Д 4 або 9 –4 або 9 9 81 16 або 25

131

18. Вказати проміжок, якому належить корінь рівняння 3 3

9 2 · 3 27 0x

x x+

+ − = .

А Б В Г Д [–4; –2] [–2; 0] [0; 2] [2; 4] [4; 6]

19. Розв’язати рівняння 2 2sin cos2 2 3x x+ = .

А Б В Г Д

∅ 0 2πk, k∈Z πk, k∈Z 2kπ , k∈Z

20. За якого значення параметра а рівняння ( )16 1 · 4 0x xa a− + + = має один корінь?

А Б В Г Д –2 –1 0 1 2



2 5 20,125 · 84

x−

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


3 3 92 · 4 · 0,125 4x x x = .

23. Розв’язати рівняння 2 4 6 2 285 · 5 · 5 · ... · 5 0,04x −= .

24. Розв’язати рівняння 2 1 12 2 12 2x x x+ + −− = + .

25. Розв’язати рівняння 1 3 27 · 3 5 3 5x x x x+ + +− = − .

26. Розв’язати рівняння 2 5 53 10 · 3 9 0x x+ +− + = .

27. Розв’язати рівняння 4 1 22 2 2 3x x− =

+ −.

28. Розв’язати рівняння 8 · 81 9 · 64 17 · 72x x x+ = .

29. Розв’язати рівняння 2cos 2 cos2 3 · 2 4x x= − .

30. Розв’язати рівняння 5 20 150 · 7 7 7 0x x− − +− − = .

132


31. Розв’язати рівняння 6 · 9 6 · 4 13 · 6 0xx x+ − = .


36 63 3 83 3

x xx x

⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


5 61 381 · 10 310 3

xx

−− ⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

34. Розв’язати рівняння 65 1x

xx −− = .

35. Розв’язати рівняння ( ) 225 2 1 · 5 0x xa a a− + + + = .

133

ТЕМА 15. ПОКАЗНИКОВІ НЕРІВНОСТІ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати нерівність 5 5x > .

А Б В Г Д

(–∞; 1) (–∞; 0) (0; +∞) (1; +∞) (5; +∞)


x⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

(1; +∞) 1 ;3

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

1;3

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

(–∞; 0) (–∞; 1)

3. Знайти множину розв’язків нерівності 0,7 1x < .

А Б В Г Д

∅ (–∞; +∞) (–∞; 0) (0; +∞) (1; +∞)


x < .

А Б В Г Д

(–∞; –3) 1;3

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

1;3

⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(–3; +∞) 1 ;3

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Розв’язати нерівність 59 27x x+ > .

А Б В Г Д

(–∞; 5) (10; +∞) (–∞; 10) (0; 10) будь-яке дійсне число

6. Яка з наведених нерівностей має розв’язки? А Б В Г Д

7 1x < − 7 0,7x < 2

7 1x < 2

1 27

x⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 27

x⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠


7 7 0x x− > .

А Б В Г Д

(–∞; –1)∪(0; 1) (–1; 1) (1; +∞) (–∞; –1)∪(1; +∞) (–1; 0)∪(1; +∞)

134

8. Знайти множину розв’язків нерівності 4 3x > .

А Б В Г Д R (–∞; log43) (–∞; log34) (log43; +∞) (log34; +∞)


x⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

10;3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[0; 3] 1 ;13⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[–3; 0] 1 ; 03

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

10. Розв’язати нерівність 3 5x x> .

А Б В Г Д

(–∞; 0) (0; +∞) (–∞; –1) (1; +∞) ∅


3

x x− −⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

1 1;4 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(–5; 4) (4; 5) 1 1;5 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(–4; 5)

12. Розв’язати нерівність 12 2 24x x+ + < . А Б В Г Д

(–3; +∞) (–∞; –3) (3; +∞) (0; 3) (–∞; 3)

13. Знайти множину розв’язків нерівності 4 6 · 2 8 0x x− + < .

А Б В Г Д (–6; 8) (2; 4) (1; 2) (–∞; 2)∪(4; +∞) (–∞; 1)∪(2; +∞)

14. Розв’язати нерівність 2 1· 3 3 0x xx +− ≤ .

А Б В Г Д

(–∞; –1)∪(–1; 1) (–1; 1) 3; 3⎡ ⎤−⎣ ⎦ (–3; 3) ( ) ( ); 3 3;−∞ − ∪ +∞

15. Розв’язати нерівність 23 3 10x x−+ > .

А Б В Г Д

(–∞; 0)∪(2; +∞) (–∞; 1)∪(9; +∞) (0; 2) (–∞; 3)∪(10; +∞) (1; 9)

16. Розв’язати нерівність 23 27x + > .

А Б В Г Д

(–∞; –5)∪(5; +∞) (–5; 5) (–1; 1) (–∞; –1)∪(1; +∞) ∅

135


2 8

x −⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д R (–∞; –4)∪(4; +∞) (–4; 4) (4; +∞) (–∞; –2)∪(2; +∞)

18. Розв’язати нерівність ( ) 22 2 5 6 0x x x− − + ≥ .

А Б В Г Д

[1; 2)∪(3; +∞) [0; 2]∪[3; +∞) [3; +∞) [1; +∞) [1; 2]∪[3; +∞)


2 sinx x> .

А Б В Г Д R ∅ (–∞; 0)∪(0; +∞) 0 (–∞; 1)∪(1; +∞)

20. За якого значення параметра a нерівність 2 1 12 · 4 · 2 0x xa a+ +− − > не має розв’язків?

А Б В Г Д a > 1 a ≠ 0 a < 0 a > 0 a = 0



2 124327 · 3

3x x

x−

+≥ .

22. Розв’язати нерівність 2 32 8 · 2 0x x x+ − > .

23. Розв’язати нерівність 15 · 2 3 · 2 56x x −− ≥ .

24. Розв’язати нерівність 12 2 3 0x x− ++ − < .

25. Розв’язати нерівність 12 2 1x x−− ≤ .

26. Розв’язати нерівність ( )( )22 8 4 3 0x x x− − + > .


2 1 2 3x x+ >− +

.

28. Розв’язати нерівність 2 · 4 5 · 6 3 · 9 0x x x− + < .

29. Розв’язати нерівність ( ) ( )6 6

12 1 2 1x xx− −+− ≤ + .

30. Розв’язати нерівність 2 2 2 22 1 1 13 5 5 3x x x x+ − + −− > + .

136


31. Розв’язати нерівність 19 24 2 3x x ++ − > .

32. Розв’язати нерівність 22 0,5

2 101 24

x xx x

−− +⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠.

33. Розв’язати нерівність 25 307 3x x x− + −> .

34. Розв’язати нерівність ( ) ( )5 2 5 2 2 5x x

− + + < .

35. Розв’язати нерівність ( )22 7 53 1x xx − − −+ < .

137

ТЕМА 16. ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати рівняння logax = c.

А Б В Г Д

∅ a · c ca ac ca


log 4x = − .

А Б В Г Д

∅ –16 116

116

; 16 16

3. Розв’язати рівняння ( )2log 5x− = .

А Б В Г Д

∅ 32 –32 132

132

−

4. Розв’язати рівняння ( )2lg 1 lg5x x− = − .

А Б В Г Д

∅ –3; 2 –2; 1 –2; 3 –1; 2

5. Скільки коренів має рівняння ( )4 2 3lg 10 lg3x x x− = ?


6. Розв’язати рівняння ( ) ( )6 6log 2 log 1 1x x− + − = і вказати проміжок, якому належить його корінь. А Б В Г Д

(–2,1; –1,9) (3,9; 4,1) (2,9; 3,1) (1,9; 3,1) (5,9;6,1)

7. Розв’язати рівняння ( ) ( )2 2log 1 log 1 1x x+ − − = і вказати проміжок, якому належить його корінь.

А Б В Г Д (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (2,9; 3,1) (3,9; 4,1) (5,9; 6,1)

138

8. Розв’язати рівняння ( ) ( )2 2 2log 1 log 2 3 log 4x x+ + + = − і вказати проміжок, якому на-лежить його корінь.

А Б В Г Д (–1,1; –0,9) (–0,1; 0,1) (0,9; 1,1) (1,9; 2,1) (3,9; 4,1)

9. Розв’язати рівняння 22 2log 2log 3 0x x− − = і вказати суму його коренів.

А Б В Г Д –8,5 7,5 –2 2 8,5

10. Вказати рівняння, рівносильне рівнянню 3 9 81log log log 7x x x+ + = .

А Б В Г Д

349log4

x = log3x = 1 log3x = 4 log3x = 75

− log3x = 35

11. Вказати рівняння, рівносильне рівнянню lg 10xx = .

А Б В Г Д 2lgx = 10 2lgx = 1 lg2x = 10 lg2x = 1 lg2x = 2

12. Вказати рівняння, яке утворюється з рівняння lg 21000xx x= у результаті логарифму-вання обох його частин.

А Б В Г Д lg2x + 2lgx +

+1000 = 0 lg2x – 2lgx – – 1000 = 0 lg2x = 6lgx lg2x + 2lgx + 3 = 0 lg2x – 2lgx –

3 = 0 13. Вказати рівняння, рівносильне рівнянню 2lgx2 – lg2(–x) = 4.

А Б В Г Д

5lg(–x) = 4 3lg(–x) = 4 lg2x – 4lgx + 4 = 0 lg2(–x) – –4lg(–x) + 4 = 0

lg2(–x) – –4lg(–x) – 4 = 0

14. Розв’язати рівняння logalogblogcx = 0. А Б В Г Д cb abc bc ac abc

15. Вказати кількість коренів рівняння 2 2 42 2log 5log 24 0x x− + = .

А Б В Г Д Чотири три два один жодного

16. Розв’язати рівняння lgx log2x = lg2 і знайти суму його коренів. А Б В Г Д

2,5 3,5 4,5 10,5 1

139

17. Розв’язати рівняння 3 3log log 55 50x x+ = і вказати проміжок, якому належить його корінь.

А Б В Г Д (3,9; 4,1) (4,9; 5,1) (5,9; 6,1) (6,9; 7,1) (8,9; 9,1)

18. Вказати рівняння, рівносильне рівнянню ( ) 9lg 9 lg 0xx xx++ + = .

А Б В Г Д lgx = 0 lg(x + 9) = 0 lg|x| = 0 lg|x + 9| = 0 lg|–x – 9| = 0

19. Розв’язати рівняння 25 7x

= .

А Б В Г Д log5log27 log2log57 log7log52 log7log25 log2log75

20. За якого найбільшого значення параметра а рівняння ( ) ( )2log 3 8 0x a x− − = має один корінь?

А Б В Г Д –3 –1 0 1 3


21. Розв’язати рівняння ( ) ( ) ( )7 7 7log 2 log 2 1 log 2 7x x x− − + = − − .


5log log 25 05

x xx− + − =+

.

23. Розв’язати рівняння 2 4 14lg lg 2x x− = .

24. Розв’язати рівняння ( )2 24 lg lg 16x x− − = .

25. Розв’язати рівняння 1 2 15 lg 1 lgx x

+ =− +

.

26. Розв’язати рівняння ( ) ( )2 2 1lg 100 lg 10 14 lgx xx

+ = + .

27. Розв’язати рівняння 5log log 25 3xx + = .

28. Розв’язати рівняння 2 4 8log · log · log 36x x x = .

29. Розв’язати рівняння 3 4log log 2x x+ = .

30. Розв’язати рівняння lg 21000xx x= .

140


31. Розв’язати рівняння 26 6log log6 12x xx+ = .

32. Розв’язати рівняння lg 10xx = .

33. Розв’язати рівняння 4 163log 4 2log 4 3log 4 0x x x+ + = .

34. Розв’язати рівняння 55log 4 log 4 1x x− − − = .

35. Розв’язати рівняння xba c= (a > 0, b > 0, c > 0, а ≠ 1, b ≠ 1).

141

ТЕМА 17. ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти множину розв’язків нерівності ( )3 3log 4 log 8x − ≤ .

А Б В Г Д (–∞; 12) (–∞; 12] [4; 12] (4; 12] (0; 12]

2. Розв’язати нерівність ( )0,1 0,1log 2 5 logx x− > .

А Б В Г Д (2,5; +∞) (5; +∞) (–∞; 5) (0; 5) (2,5; 5)

3. Розв’язати нерівність log log 3 log 5xπ π π> + .

А Б В Г Д (15; +∞) (–∞; 15) (0; 15) (8; +∞) (0; 8)

4. Розв’язати нерівність ( )0,1 0,1 0,1log 2 1 log 10 log 2x − ≥ − .

А Б В Г Д (0; 3] [3; +∞) (–∞; 3] (0,5; 3] (0,5; 4,5]

5. Знайти множину розв’язків нерівності sin1 sin1log 2log 7x > .

А Б В Г Д (49; +∞) (0; 49) (14; +∞) (0; 14) (–∞; 49)

6. Знайти множину розв’язків нерівності 5log 2x < .

А Б В Г Д (–∞; 25) (25; +∞) (0; 25) (0; 2) (–∞; 2)

7. Скільки цілих чисел є розв’язками нерівності ( )12

log 3 1x + ≥ − ?

А Б В Г Д Одне два три жодне більше, ніж три

8. Розв’язати нерівність ( )81log 3 103

x − < .

А Б В Г Д

10; 33

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 331⎛ ⎞−∞⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4; +∞) (–∞; 4) 13 ; 4

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

142

9. Розв’язати нерівність ( )1

5

log 21 25

x−⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д (–∞; 2) (–∞; 0) (0; +∞) (0; 2) (2; +∞)

10. Скільки цілих розв’язків має нерівність 12

2 log 3x− < < ?

А Б В Г Д Один два три жодного більше, ніж три

11. Розв’язати нерівність 23 3log 3log 2 0x x− + ≤ .

А Б В Г Д

(–∞; 1]∪[2; +∞) [1; 2] [3; 9] (–∞; 3]∪[9; +∞) (3; 9)

12. Розв’язати нерівність 2lg 4 lg 3 0x x− + ≥ .

А Б В Г Д

(–∞; 1]∪[3; +∞) (0; 1]∪[3; +∞) [10; 1000] (–∞; 10]∪[1000; +∞) (0; 10]∪[1000; +∞)

13. Розв’язати нерівність ( )1 53

log log 0x ≥ .

А Б В Г Д

1 ; 53

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

(1; 5] (0; 1] (–∞; 0]∪[1; +∞) (–∞; 1]∪[5; +∞)

14. Скільки цілих розв’язків має нерівність ( )2

3 0log 2 3

xx+ ≤−

?


15. Знайти множину розв’язків нерівності log 5 1x < .

А Б В Г Д

(0; 1)∪(1; +∞) (0; 1)∪(5; +∞) (0; +∞) (0; 5)∪(5; +∞) (0; 1)∪(1; 5)

16. Розв’язати нерівність ( )29log 3 1x + ≤ .

А Б В Г Д [–6; 0] [–6; –3)∪(–3; +∞) (–∞; –6]∪[0; +∞) (–∞; –6)∪(0; +∞) [–6; –3)∪(–3; 0]

17. Розв’язати нерівність ( ) 0,52 log 0x x− ≤ .

А Б В Г Д

(–∞; 1]∪[2; +∞) [1; 2] (0; 1]∪[2; +∞) (0; 2] (0; 1)∪(2; +∞)

143

18. Розв’язати нерівність 1xx < , якщо х > 0, застосувавши логарифмування.

А Б В Г Д

(1; +∞) (0; +∞) (0; 1) (–∞; 0)∪(0; 1) 1


log 1x ≤ .

А Б В Г Д

1 ; 22⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1 ;2⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠

10;2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

10;2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[2; +∞)

20. Розв’язати нерівність |log3x| ≥ 1. А Б В Г Д

1 ; 33⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[3; +∞) 1; [3; )3

⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

10; [3; )3

⎛ ⎤ ∪ +∞⎜ ⎥⎝ ⎦ 1 ; 0 [3; )

3⎡ ⎞− ∪ +∞⎟⎢⎣ ⎠


21. Розв’язати нерівність ( )212

log 5 6 1x x− + > − .

22. Розв’язати нерівність ( ) ( )lg 2 lg 27 2x x− + − < .

23. Розв’язати нерівність lg 6log 10 5xx + ≤ .


log log log 0x > .

25. Розв’язати нерівність ( )2 2lg lg 3 0x x− + − < .

26. Розв’язати нерівність 2lg 100 5lg 6x x− > .

27. Розв’язати нерівність 23 3log log9 4 3x xx< − .

28. Розв’язати нерівність 22 1log

3 2xx

x≤

−.

29. Розв’язати нерівність 2 2log 2 · log 2 · log 4 1x x x > .

30. Розв’язати нерівність 3 12 1x

xx−− > .

144


31. Розв’язати нерівність ( )2 11log 5 log 68xx +− ≥ − .


log 1x x≥ − .

33. Розв’язати нерівність ( )7log 3 log 3x xx x≤ .

34. Розв’язати нерівність 1log 2 1x x+ − ≤ .

35. Розв’язати нерівність ( )1 1

log 3a x>

−.

145

ТЕМА 18. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Розв’язати рівняння 2sinx = –1.

А Б В Г Д

( )1 ,12 2

n nx

n Z

π π= − +

∈

( ) 11 ,12 2

n nx

n Z

+ π π= − +

∈

,4

x n

n Z

π= − + π

∈ ( ) 11 ,

6 2n nx

n Z

+ π π= − +

∈

( ) 11 ,6

nx n

n Z

+ π= − + π

∈

2. Розв’язати рівняння sinπx = 1. А Б В Г Д

2 ,2

x n

n Z

π= + π

∈

222 ,

2x n

n Z

π= + π

∈ ,

2x n

n Z

π= + π

∈

1 ,2

x n

n Z

= +

∈

1 2 ,2

x n

n Z

= +

∈

3. Розв’язати рівняння 2cos 2 2x = − .

А Б В Г Д

∅ 3 ,8

x n

n Z

π= ± + π

∈ ,

8x n

n Z

π= ± + π

∈

3 2 ,4

x n

n Z

π= ± + π

∈ ,

4x n

n Z

π= ± + π

∈

4. Розв’язати рівняння 3 tg 16

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

,x nn Z= π∈

,6

x n

n Z

π= + π

∈ ,

3x n

n Z

π= − + π

∈ 2 ,

6x n

n Z

π= + π

∈ ,

4x n

n Z

π= + π

∈

5. Розв’язати рівняння ( )100ctg 1x = .

А Б В Г Д

,4

x n

n Z

π= − + π

∈ ,

4x n

n Z

π= + π

∈ ,

4x n

n Z

π= ± + π

∈ 0

arcctg100 ,x nn Z= +π∈

6. Яке з наведених рівнянь має хоча б один корінь? А Б В Г Д

cos3

x π= arccos3

x π= − arcsin x = π arctg 2x = arcctg 3x =


146

7. Яке з наведених рівнянь має тільки один корінь? А Б В Г Д

sin 1x = − cos 2x = − arctg 1x = tg 1x = cos 1 0sin

xx− =

8. Розв’язати рівняння 2sin sin 0x x− = .

А Б В Г Д

,x nn Z= π∈

, ,2

x n x n

n Z

π= π = + π

∈ 2 ,

2x n

n Z

π= + π

∈ , ,

2x n x n

n Z

π= π = − +π

∈

, 2 ,2

x n x n

n Z

π= π = + π

∈

9. Розв’язати рівняння tgx = ctgx. А Б В Г Д

,4

x n

n Z

π= + π

∈ ,

4x n

n Z

π= − + π

∈ 2 ,

4x n

n Z

π= ± + π

∈ ,

4 2nx

n Z

π π= +

∈

рівняння коренів немає

10. Розв’язати рівняння cos 0sin 1

xx

=−

.

А Б В Г Д

,2

x n

n Z

π= − + π

∈ 2 ,

2x n

n Z

π= − + π

∈ 2 ,

2x n

n Z

π= + π

∈

,x nn Z= π∈

,2

x n

n Z

π= + π

∈

11. Розв’язати рівняння 3 sin cos 0x x− = .

А Б В Г Д

,6

x n

n Z

π= + π

∈ 2 ,

3x n

n Z

π= + π

∈ ,

3x n

n Z

π= + π

∈ ,

6x n

n Z

π= − + π

∈ ,

4x n

n Z

π= + π

∈

12. Розв’язати рівняння 2cos 5cos 6 0x x+ − = .

А Б В Г Д

2 ,x nn Z= π + π∈

arccos1 ,x n

n Z= ± + π∈

( )2 , ,

arccos62 ,

x n n Zx

k k Z

= π ∈

= ± π− +

+ π ∈

,x nn Z= π∈

2 ,x nn Z= π∈

13. Розв’язати рівняння sin cos 2x x+ = − .

А Б В Г Д

2 ,4

x n

n Z

π= ± + π

∈

2 ,x nn Z= π + π∈

3 2 ,4

x n

n Z

π= − + π

∈

5 ,4

x n

n Z

π= + π

∈ ( )arctg 2 ,x n

n Z

= − +π

∈

147

14. Розв’язати рівняння 2sin 0x = .

А Б В Г Д

,n n Nπ ∈ 0 { } { }0 2 ,n n N∪ π ∈ 2 ,n n N− π ∈ { } { }0 ,n n N∪ ± π ∈

15. Розв’язати рівняння tg 1x = − .

А Б В Г Д 2

,4

x n

n N

π⎛ ⎞= + π⎜ ⎟⎝ ⎠

∈

2

2 2 ,16

x n

n N

π= − + π

∈

2

,4

x n

n N

π⎛ ⎞= − + π⎜ ⎟⎝ ⎠

∈

2

2 2 ,16

x n

n N

π= + π

∈ ,

4x n

n N

π= − + π

∈

16. У якому вигляді можна подати розв’язок рівняння ( ) 2cos 4 5x x xπ = − + ?

А Б В Г Д

2logπ π logπ π log2ππ 1log

π

π 3logπ π

17. Розв’язати рівняння cos(cos ) 1x = .

А Б В Г Д

∅ ,

2x n

n Z

π= + π

∈

( )arccos 22 ,

x nn n Z

= ± π +

+ π ∈

2 ,x nn Z= π∈

2 ,x n

n Z= ±π + π∈

18. Розв’язати рівняння sinx + sin|x| = 0. А Б В Г Д

,n n Zπ ∈ 0 (–∞; 0] ( ] { }; 0 ,n n Z−∞ ∪ π ∈ ( ] { };0 ,2

n n Zπ−∞ ∪ +π ∈

19. Розв’язати рівняння |cosx| = cosx + 2sinx. А Б В Г Д

2 ,x nn Z= π∈

,x n

n Z= π∈

,

42 , ,

x n x

k n k Z

π= π = − +

+ π ∈

,4

, ,

x n x

k n k Z

π= π = − +

+π ∈

32 ,4

2 , ,

x n x

k n k Z

π= π = +

+ π ∈

20. Знайти всі значення а, за яких рівняння ( ) 22 sin 4a x a+ = − має корені.

А Б В Г Д

а∈(1; 3) а∈R а ≠ 2 а∈{–2}∪[1; 3] ∅

148

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Розв’язати рівняння ( )sin sin 1xπ = − .

22. Розв’язати рівняння 23sin 2cos 3x x− = − .

23. Розв’язати рівняння 2 23sin 4sin cos cos 0x x x x− + = .

24. Розв’язати рівняння 1 sin cosx x− = . 25. Розв’язати рівняння cos cos3 sin 2x x x− = . 26. Розв’язати рівняння cosx = sin3x.

27. Розв’язати рівняння cos 3 sin 2x x− = .

28. Розв’язати рівняння 2 2 1sin 2 sin2

x x− = .

29. Розв’язати рівняння 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x+ + + = .

30. Розв’язати рівняння ( ) ( )2sin cos 3 sin cos 2 0x x x x+ − + + = .

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Розв’язати рівняння ( ) ( )sin cos cos sinx xπ = π .

32. Розв’язати рівняння 4 4 2 1sin 2 cos 2 cos 44

x x x+ = + .

33. Розв’язати рівняння ( ) ( )24 49 tg ctg 15 tg ctg 2x x x x+ = + + .

34. Розв’язати рівняння ( )arccos sin2xx = .

35. Розв’язати рівняння 4 4sin cos sin 2x x x a+ + = .

149

ТЕМА 19. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ


1. Розв’язати нерівність 2sin 2 2x > − .

А Б В Г Д

3; ,8 8

k k

k Z

π π⎛ ⎞− +π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

3; ,4 4

k k

k Z

π π⎛ ⎞− +π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

32 ; 2 ,4 4

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

52 ; 2 ,8 8

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

5; ,8 8

k k

k Z

π π⎛ ⎞− +π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки не-рівності 2sinx ≤ 1.

А Б В Г Д

32π 6

3π 4

3π 8

3π 2

3π

3. Розв’язати нерівність 1cos2

xπ > .

А Б В Г Д

2 ; 2 ,3 3

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

1 12 ; 2 ,8 6

k k

k Z

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

1 72 ; 2 ,3 3

k k

k Z

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

1 1; ,3 3

k k

k Z

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

1 12 ; 2 ,3 3

k k

k Z

⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

4. Знайти довжину кожного з відрізків координатної прямої, які утворюють розв’язки не-

рівності 2 2 3cos sin2 2 2x x− ≤ − .

А Б В Г Д

3π

6π 5

6π 7

3π 2

3π

5. Розв’язати нерівність 3 tg 16

x π⎛ ⎞+ >⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А Б В Г Д

; ,4 2

n n

n Z

π π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,3 2

n n

n Z

π π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,6 2

n n

n Z

π π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,2 6

n n

n Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,3

n n

n Z

π⎛ ⎞π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

150

6. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка не має розв’язків. А Б В Г Д

3cos4

x < − sin 0, 2x ≥ arctg 2x ≥ 1tg3

x ≤ arctg 1,2x ≤

7. Серед наведених нерівностей вибрати ту, яка має розв’язки. А Б В Г Д

3cos2

x ≥ cos 1x < − sin 1x > tg 3x ≤ arcsin x ≤ −π

8. Розв’язати нерівність 1cos5 cos sin 5 sin2

x x x x− < − .

А Б В Г Д

2 42 ; 2 ,3 3

n n

n Z

⎛ ⎞π+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2 ; 2 ,6 3

n n

n Z

π π⎛ ⎞π+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

4 22 ; 2 ,3 3

n n

n Z

⎛ ⎞− π+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2; ,9 3 9 3

n n

n Z

π π π π⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2 ; ,9 3 9 3

n n

n Z

π π π⎛ ⎞− π+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∈

9. Розв’язати нерівність 2 1sin4

x > .

А Б В Г Д

52 ; 2 ,6 6

n n

n Z

π⎛ ⎞+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2 ; 2 ,6 6

n n

n Z

π π⎛ ⎞− + π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

72 ; 2 ,6 6

n n

n Z

π⎛ ⎞− + π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; 2 ,6 6

n n

n Z

π π⎛ ⎞− +π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

5; ,6 6

n n

n Z

π⎛ ⎞+ π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

10. Розв’язати нерівність 2 1cos4

x ≤ .

А Б В Г Д

; ,3 3

k k

k Z

π π⎡ ⎤− +π +π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2; ,

3 3k k

k Z

π π⎡ ⎤+π +π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2 ; 2 ,3 3

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

22 ; 2 ,3 3

k k

k Z

π⎡ ⎤+ π π+ π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2; ,3 3

k k

k Z

π⎛ ⎞π+π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

11. Розв’язати нерівність ( )2sin 3 tg 0x x− ≥ .

А Б В Г Д

2 ;2 ,2

n n

n Z

π⎛ ⎤− + π π⎜ ⎥⎝ ⎦∈

; ,2

n n

n Z

π⎡ ⎞π + π ⎟⎢⎣ ⎠∈

; ,

2n n

n Z

π⎛ ⎤− + π π⎜ ⎥⎝ ⎦∈

∅ ; ,

2n n

n Z

π⎡ ⎞− + π π ⎟⎢⎣ ⎠∈

12. Розв’язати нерівність sin cosx x< .

А Б В Г Д

2 ; 2 ,4 2

n n

n Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

3 ; ,4 4

n n

n Z

π⎛ ⎞− π+π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

3 2 ; 2 ,4 4

n n

n Z

π⎛ ⎞− π+ π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

( )2 ;2 ,n nn Z−π+ π π

∈

52 ; 2 ,4 4

n n

n Z

π⎛ ⎞+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

151

13. Розв’язати нерівність sinx – cosx > 1. А Б В Г Д

2 ; 2 ,2

k k

k Z

π⎛ ⎞+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

32 ; 2 ,4 4

k k

k Z

π⎛ ⎞+ π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,2

k k

k Z

π⎛ ⎞+ π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

3 9; ,4 4

k k

k Z

⎛ ⎞π+π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

52 ; 2 ,2

k k

k Z

⎛ ⎞π+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

14. Розв’язати нерівність sin cosx x≥ .

А Б В Г Д

52 ; 2 ,4 4

k k

k Z

π⎡ ⎤+ π π+ π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2 ; 2 ,2

k k

k Z

π⎡ ⎤π + π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2 ; 2 ,2

k k

k Z

π⎛ ⎞π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

∅ 2 ; 2 ,

4 2k k

k Z

π π⎡ ⎤+ π + π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

15. Розв’язати нерівність 1sin2

x < .

А Б В Г Д

2 ; 2 ,6 6

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

5; ,6 6

k k

k Z

π⎛ ⎞+π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,6 6

k k

k Z

π π⎛ ⎞− +π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

52 ; 2 ,6 6

k k

k Z

π⎛ ⎞+ π π+ π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

7; ,6 6

k k

k Z

π⎛ ⎞− +π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

16. Розв’язати нерівність 1cos2

x > .

А Б В Г Д

2; ,3 3

k k

k Z

π⎛ ⎞+ π π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

5; ,3 6

k k

k Z

π⎛ ⎞+π π+π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2; ,3 3

k k

k Z

π π⎛ ⎞+π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

2 ; 2 ,3 3

k k

k Z

π π⎛ ⎞− + π + π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

; ,3 3

k k

k Z

π π⎛ ⎞− +π +π⎜ ⎟⎝ ⎠∈

17. Розв’язати нерівність 1arccos2

x ≤ .

А Б В Г Д

1cos ;12

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

0;3π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ 11; cos

2⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

1cos ;12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

11; cos2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

18. Розв’язати нерівність 0 arcsin3

x π< ≤ .

А Б В Г Д

30;2

⎡ ⎞⎟⎢

⎣ ⎠ 10;

2⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

20;2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

30;2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

10;2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

152

19. Розв’язати нерівність arctg3

x π≥ .

А Б В Г Д

( ; 3⎤−∞ ⎦ 3 ;3

⎡ ⎞+∞⎟⎢

⎣ ⎠ [1; +∞) )3;⎡ + ∞⎣ 3;

3⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

20. Розв’язати нерівність arctg4 3

xπ π− < ≤ .

А Б В Г Д

( 3;1⎤− ⎦ 31;3

⎛ ⎤−⎜ ⎥⎝ ⎦

( 1; 3⎤− ⎦ )3;1⎡−⎣ 3 ;13

⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠


21. Розв’язати нерівність 3 3sin4 9 2

x π⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

.

22. Розв’язати нерівність 2tg tg 2 0x x− − > . 23. Розв’язати нерівність 22sin 5sin 2 0.x x− + < 24. Розв’язати нерівність 2sin cosx x> . 25. Розв’язати нерівність 2 2sin 3sin cos 2cos 0x x x x− + < . 26. Розв’язати нерівність cos 2 cos 0x x+ ≥ . 27. Розв’язати нерівність 4 22sin 2 sin 2x x≥ . 28. Розв’язати нерівність 3 sin cos 1x x+ < .

29. Розв’язати нерівність cos 02sin 1

xx

≥−

.

30. Розв’язати нерівність 2cos 2 4 cos 1x x+ > .


33. Розв’язати нерівність 22cos 0xπ > .

34. Розв’язати нерівність ( )sin cos5 0xπ ≤ .

35. Розв’язати нерівність 1 1arcsin arccos 2x x+ < .

153

ТЕМА 20. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ


1. Розв’язати систему рівнянь 3 14;

2 6x y

y x+ =⎧

⎨ − =⎩ і знайти добуток компонентів розв’язку.

А Б В Г Д

16 20 8 115

1133

2. Дано систему рівнянь 3;

2 3 4.x y

x y+ =⎧

⎨ − = −⎩ Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівнян-

ня виразити змінну y через x і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість y? А Б В Г Д

5x + 3 = –4 3x – 9 = –4 5x – 3 = –4 5x + 9 = –4 5x – 9 = –4

3. Знайти суму компонентів x0 + y0 + z0 розв’язку системи рівнянь 2;11;

1.

x yy zx z

+ = −⎧⎪ + = −⎨⎪ + =⎩

А Б В Г Д –6 –12 –18 –24 –3

4. Знайти компонент x0 розв’язку (x0; y0) системи рівнянь

2 1 4;

1 3 9.

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

А Б В Г Д

3 13

147 91 617

5. Скільки розв’язків має система рівнянь 2 2

2 2

5;2 7?

x yx y

⎧ + =⎪⎨

− = −⎪⎩


154

6. Скільки розв’язків має система рівнянь 3 0;4 0?

x yxy

⎧ − − =⎪⎨

− =⎪⎩


7. Розв’язати систему рівнянь 16;

8

x y

x y

− =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ і вказати добуток компонентів її розв’язку.

А Б В Г Д 34 128 64 15 225

8. Розв’язати систему рівнянь 3 27;4 0,25

x y

x y

+

−

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ і вказати компонент x0 її розв’язку (x0; y0).

А Б В Г Д 0 –1 1 2 –2

9. Розв’язати систему рівнянь lg( ) 2;lg( ) 1

x yx y+ =⎧

⎨ − =⎩ і вказати компонент y0 її розв’язку (x0; y0).

А Б В Г Д 35 110 90 55 45

10. Знайти суму компонентів розв’язку системи рівнянь 2 2

lg lg lg 2;5.

x yx y

+ =⎧⎨

+ =⎩

А Б В Г Д

–3 3 7 9 7

11. Яка з наведених систем за будь-яких значень p має єдиний розв’язок? А Б В Г Д

2 ;

2

y xxy p

=⎧⎪⎨ = +⎪⎩

3;

22

x y

x y p

⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩

2 5;

2 4x y

x y p− =⎧

⎨ − =⎩

2 3;x yx y p+ =⎧

⎨ − =⎩

3 5;6 2x y

y x p− =⎧

⎨ − =⎩

12. За якого значення а система рівнянь 2 5;

2x y

x ay− =⎧

⎨ + =⎩ не має розв’язків?

А Б В Г Д 0,5 –0,5 –1 2,5 10

13. За якого значення а система рівнянь 3 15;

5x yx ay+ = −⎧

⎨− − =⎩ має безліч розв’язків?

А Б В Г Д 13

13

− 3 –3 –1

155

14. За яких значень а і b система рівнянь 6 5 ;5 6

x by aax y b+ =⎧

⎨ − =⎩ має розв’язок (–1; 2)?

А Б В Г Д

a = 2, b = 2

12

a = , 12

b = 12

a = − , 12

b = a = –2, b = –2

a = –1, b =2

15. Скільки розв’язків системи рівнянь 2 2

2

2 4;4

x xy yx xy

⎧ − + =⎪⎨

+ =⎪⎩ містять нульовий компонент?


16. Скільки розв’язків має система рівнянь 2

0;

4 0?

x y

x x

⎧ − =⎪⎨

− =⎪⎩

А Б В Г Д Один два три більше, ніж три жодного

17. За якого значення а система рівнянь 2 2 4;x y

x y a⎧ + =⎨

− =⎩ має єдиний розв’язок?

А Б В Г Д

а = 3 2 3a = а = 2 2− або а = 2 2

2 3a = − або 2 3a =

2a = − або 2a =

18. Скільки розв’язків має система рівнянь 6;8;12?

xyyzzx

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩


19. За якого значення k пряма y = kx + 2 проходить через точку перетину прямих x + y = 5 і x – y = 1?

А Б В Г Д –2 –1 0 1 2

20. За якого значення а система рівнянь

1 1 11 ;2

1 1 1 ;2

13

x y

x yax y

⎧ + =⎪⎪⎪ − = −⎨⎪⎪ + =⎪⎩

має розв’язок?

А Б В Г Д –2 –3 4 5 6

156


21. Розв’язати систему рівнянь 2 5 12;3 4 5.

x yx y+ =⎧

⎨ − = −⎩

22. Розв’язати систему рівнянь 2 2

7;25.

x yx y+ =⎧

⎨+ =⎩


3 3

3;9.

x xy yx y

⎧ − + =⎪⎨

+ =⎪⎩

24. Розв’язати систему рівнянь 2

2

6;3.

x xyy xy

⎧ − =⎪⎨

− =⎪⎩

25. Розв’язати систему рівнянь

3 1 2 ;2 2 5

7 2 3 .2 2 5

x y x y

x y x y

⎧ + =⎪ + −⎪⎨⎪ + =⎪ + −⎩

26. Розв’язати систему рівнянь ( )

2 2log log 1;2 40.

x yy x

− =⎧⎪⎨ + =⎪⎩

27. Розв’язати систему рівнянь 2 · 3 4 14;3 4 13.

x y

x y

⎧ − =⎪⎨

+ =⎪⎩

28. Розв’язати систему рівнянь ( )

( ) ( )

1 lg10 40;lg lg 3lg 2.

x y

x y x y

+ +⎧ =⎪⎨

− + + =⎪⎩

29. Розв’язати систему рівнянь 1 1 10;

1 · 1 16.

x y

x y

⎧ − + + =⎪⎨

− + =⎪⎩

30. Розв’язати систему рівнянь cos sin 0,5;cos sin 0,5.

x yx y+ =⎧

⎨ − =⎩


31. Розв’язати систему рівнянь 1;2;8.

xyyzzx

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

157

32. Розв’язати систему рівнянь 4 30;

23 28.

xxyyxxyy

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩


2 2

2 0;3 1.

x xy yx xy y

⎧ + − =⎪⎨

− + = −⎪⎩

34. Розв’язати систему рівнянь ( )8 8 8

88

8

log 3log · log ;log

4log .log

xy x yxx

y y

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

35. За якого значення а сума х + у набуває найменшого значення, якщо 2

2

2 3 2 12 8;3 2 3 8 12?

x y a ax y a a

⎧ + = − +⎪⎨

− = + +⎪⎩

158

РОЗДІЛ ІІІ. ФУНКЦІЇ

ТЕМА 21. АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЇ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії 3; 5,5; 8; ...

А Б В Г Д 85,5 83 80,5 78 73,5

2. В арифметичній прогресії (an) a1 = –2,7; a16 = 1,8. Знайти різницю прогресії. А Б В Г Д

0,5 0,2 0,4 -0,4 0,3 3. Ламана містить 14 відрізків. Кожний її відрізок, починаючи з другого, на 2 см більший

від попереднього. Знайти довжину найменшого з відрізків, якщо найбільший з них до-рівнює 29 см?

А Б В Г Д 2 см 2,5 см 3 см 3,5 см 4 см

4. В арифметичній прогресії тридцять членів. Знайти суму всіх членів прогресії, якщо перший її член дорівнює –12, а останній — 75.

А Б В Г Д 1305 945 2610 835 1890

5. Знайти суму перших тринадцяти членів арифметичної прогресії –8; –5; –2; ... А Б В Г Д

140 120 130 240 260 6. Записати формулу для обчислення n-го члена геометричної прогресії 4; 12; 36; ...

А Б В Г Д

13 · 4nnb −= 14 · 8n

nb −= 114 ·

3

n

nb−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

14 · 3nnb −= 4 · 3n

nb =

7. Записати формулу для обчислення суми n перших членів геометричної прогресії 2; 6; 18; ...

А Б В Г Д 2n 3n+1 – 7 3n – 1 2n + 1 3n – 1

8. 17 + 172 + 173 + ... + 1720 = ... А Б В Г Д

( )2016 · 17 1

17

−

( )1917 · 17 1

16

−

( )2017 · 17 1

16

−

2017 116−

2117 116−

159

9. Знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії 3; 32

− ; 34

; 38

− ; ...

А Б В Г Д 2 3 6 2,5 1

10. Обчислити суму 21–1 + 21–2 + 21–3 = ... А Б В Г Д

0,1 0,05 0,01 0,2 0,02 11. (аn) — арифметична прогресія, в якої a1 = 9, a10 = 27. Знайти a15.

А Б В Г Д Не можна визначити 41 39 47 37

12. В арифметичній прогресії (an) a8 = 6. Знайти S15. А Б В Г Д

180 84 96 90 не можна визначити

13. Сума восьмого і двадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює 48. Знайти чо-тирнадцятий член прогресії.

А Б В Г Д

96 24 26 22 не можна визначити

14. (an) — арифметична прогресія. Знайти суму перших її десяти членів, якщо a4 = 10 i a7 = 19.

А Б В Г Д 145 290 155 390 310

15. Знайти суму натуральних чисел від 40 до 200 включно. А Б В Г Д

19280 19200 19320 38400 38640 16. Знайти знаменник нескінченно спадної геометричної прогресії, якщо її перший член

11

101b = , а сума — 1

100.

А Б В Г Д

150

1100

1101

1200

1300

17. Вираз 1 – а + а2 – а3 + а4 – а5 + а6 – а7 + а8 – а9, де а ≠ 1, тотожно дорівнює виразу ... А Б В Г Д

10 11

aa−−

10 1

1aa++

10 1

1aa−+

1011

aa−+

911

aa−+

160

18. У пробірці міститься три клітини, які розмножуються поділом навпіл. Скільки утво-риться клітин після n-го поділу?

А Б В Г Д 2 · 3n 2 · 3n–1 3 + 2n 3 · 2n–1 3 · 2n

19. Вкладник вніс до банку a гривень під 10% річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через n років?

А Б В Г Д 1,1na 1,1an (1 + 0,1n)a (1 + 1,1n)a 0,1an

20. 11 101 1001 10001 100...001 ...n

+ + + + =

А Б В Г Д 110 10

9

n n+ + − 210 9 1

9

n n+ + − 210 109

n+ − 110 109

n+ − 210 10 1

9

n n+ + −

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Знайти найбільший від’ємний член арифметичної прогресії (an), в якої a1 = 101, d = –7. 22. Знайти суму членів арифметичної прогресії (an) з десятого до сорокового включно,

якщо a1 = –10, d = 2. 23. Із двох точок, відстань між якими дорівнює 155 м, одночасно починають рухатися на-

зустріч одне одному два тіла. Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 8 м/c, а друге тіло за першу секунду пройшло 3 м, а кожної наступної секунди проходить на 1 м більше, ніж за попередню. Через скільки секунд тіла зустрінуться?

24. Знайти суму всіх трицифрових натуральних чисел, які діляться на число 7 без остачі. 25. Знайти значення x, за яких числа x – 1, 2x – 1 і x2 – 5, записані в указаному порядку,

утворюють арифметичну прогресію. 26. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо сума перших її 100 членів на 50 більша

від суми ста наступних. 27. Інфузорії-туфельки розмножуються поділом на дві частини. Скільки утвориться інфу-

зорій з п’яти після n поділів?

28. (xn) — нескінченна спадна геометрична прогресія, в якої x1 = 3, 13

q = . Знайти суму її

членів з непарними номерами. 29. У посудині міститься a л повітря. Кожний рух поршня розріджувального насоса вида-

ляє з посудини 0,1 частину повітря. Скільки літрів повітря залишиться у посудині піс-ля n рухів поршня?

30. Знайти значення виразу 5 3 5 3 5 3 · ... .

161

ЧАСТИНА 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. В арифметичній прогресії (аn) ap = q і aq = p. Знайти am. 32. У геометричній прогресії (bn) bm = k, bn = l. Знайти bp.

33. Спростити рівняння функції ( ) ( )

4 4 44

4 2 34 4...

1 1 1

x x xy xx x x

= + + + ++ + +

та побудувати її

графік. 34. Знайти перші п’ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; … і 3; 10; 17;…,

які однакові в обох прогресіях та обчислити їх суму. 35. Числа m, n і p, відмінні від нуля та записані в заданій послідовності, утворюють геоме-

тричну прогресію, а числа m + n, n + p і p + m, записані в заданій послідовності — арифметичну прогресію. Знайти знаменник геометричної прогресії, відмінний від 1.


162

ТЕМА 22. ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ


1. Знайти область визначення функції ( )2lg 6 8y x x= − + .

А Б В Г Д

R (–∞; 2]∪[4; +∞) (–∞; 2)∪(4; +∞) (2; 4) (–∞; 2)∪(2; 4)∪ ∪(4; +∞)

2. Знайти область визначення функції 41

xyx−=+

.

А Б В Г Д

(–∞; –1)∪(–1; +∞) (–1; +∞) (–1; 4) (–∞; –1)∪(4; +∞) (–∞; –1)∪[4; +∞) 3. Знайти множину значень функції y = –x2 + 4x – 5.

А Б В Г Д

(–∞; 1] (–∞; –1] [1; +∞) (–∞; 5] [–5; +∞) 4. Знайти множину значень функції y = –2cosx + 5.

А Б В Г Д [–1; 1] [2; 5] [–2; –5] [3; 7] R

5. Дано функцію 1( )1

xf xx

−=+

. Знайти f(x + 1).

А Б В Г Д

( )12

xf xx

+ =+

( ) 211

f xx

+ =+

( )12

xf xx

+ = −+

( ) 111

xf xx

++ =−

( ) 211

f xx

+ = −+

6. Яка з наведених функцій є парною? А Б В Г Д

y = x3 + x y = x6 + 3x y = x2 + |x| 1

xyx

=−

y = sinx + tgx

7. Яка з наведених функцій є непарною? А Б В Г Д

y = x + |x| y = sin2x 2

1xy

x=

− 3y x= 3y x=

163

8. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

y = –2x + 4 y = 2x – 4 y = 2x + 4 y = –2x – 4 y = –4x – 4 9. За ескізом графіка y = ax + b вказати знаки параметрів a і b.

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

a > 0, b > 0 a > 0, b < 0 a < 0, b > 0 a < 0, b < 0 a > 0, b = 0 10. За ескізом графіка функції y = ax2 + bx + c знайти значення параметрів a, b і c.

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

a > 0, b > 0, c > 0 a > 0, b > 0, c < 0 a > 0, b < 0, c < 0 a > 0, b < 0, c > 0 a < 0, b < 0, c < 0

11. Вказати функцію, в якої основний період дорівнює π. А Б В Г Д

y = sin(x + π) y = cos(2x + 1) y = tg(3x + π) y = ctg(4x + 2) y = π

164

12. Знайти основний період функції y = cos26x.

А Б В Г Д

23π 3π 3

π 6π 6π

13. Знайти основний період функції 2cos 3tg3 8x xy = + .

А Б В Г Д

24π 6π 24π 8π функція

неперіодична

14. Вказати функцію, обернену до функції y = 4x – 1.

А Б В Г Д

14

xy += 14 1

yx

=−

14xy = + y = 4x + 1 y = –4x + 1

15. Вказати функцію, обернену до функції y = x2 – 2, x∈[0; +∞).

А Б В Г Д

21

2y

x=

− 2y x= − 2y x= + 2y x= − + 2y x= +

16. Вказати складену функцію y = f(g(x)), якщо 1( )g xx

= , 21( )

1f x

x=

+.

А Б В Г Д 2

2 1xy

x=

+ y = x2 + 1 2 1

xyx

=+

2 1xyx+=

2

21xy

x+=

17. Вказати складену функцію y = f(g(x)), якщо ( ) 1g x x= + , 2( ) 1f x x= − .

А Б В Г Д

( )2 1 1y x x= − + ,

D(y) = [–1; +∞) y = x,

D(y) = (–∞; +∞)y x= ,

D(y) = [0; +∞)

2y x= , D(y) = (–∞; +∞)

y = x D(y) = [–1; +∞)

165

18. Графік якої з наведених функцій зображено на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

2xyx

= 2y x= lg10 xy = ( )2y x= y = |x|

19. Знайти множину значень функції sin5 xy = .

А Б В Г Д

(0; +∞) R [–5; 5] 1 ; 55⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[–1; 1]

20. Знайти множину значень функції 21

1y

x=

+.

А Б В Г Д

R (o; +∞) (0; 1] 10;2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10;2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠


21. Знайти область визначення функції 25 4

3x xy

x− −=−

.

22. Знайти область визначення функції 0,31log5

xyx−=+

.

23. Знайти область визначення функції ( )24log 9 8xy x x+= − − .

24. Знайти область визначення функції ( ) ( )

( )2

4 3lg 1

x xy

x+ −

=+

.

25. Знайти область визначення функції 2 2sin cosy x x= − .

26. Знайти область визначення функції ( )25arcsin lg 10 246

xy x x−= − − + .

166

27. Знайти область визначення функції 4arccos xyx−= .

28. Знайти область значень функції y = 3sin2x + 2cos2x.

29. Знайти період функції sin cos sin3 5x xy x= + + .

30. Знайти функцію, обернену до функції 31 3

x

xy =+

.


31. Знайти область визначення функції ( )22( ) log 8 15xf x x x−= − + .

32. За яких значень параметра а функція ( )2 2( ) lnf x a x x= + − буде непарною?

33. За яких значень параметра а число π є періодом функції cos( )sin

xf xa x

=+

?

34. Для функції y = sin3x з областю визначення 3;2 2π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

знайти обернену функцію.

35. Знайти область визначення функції 4 5y x a x= − + − , де a — параметр.

167

ТЕМА 23. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ МЕТОДОМ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ


1. Вказати формулу функції, графік якої отримують з графіка 1yx

= у результаті його

паралельного перенесення в додатному напрямі осі y на 5 одиниць. А Б В Г Д

15

yx

=+

15

yx

=−

1 5yx

= − 1 5yx

= + 5yx

=

2. На якому з рисунків зображено графік функції y = |x| – 3? А Б В Г Д

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

3. Вказати формулу функції, графік якої отримують із графіка y = cosx у результаті його стискування до осі х утричі.

А Б В Г Д

y = 3cosx 1 cos3

y x= y = cos3x cos3xy = 1 cos

3 3xy =

4. Областю значень функції y = f(x) є проміжок [–4; 16]. Знайти область значень функції 1 ( )4

y f x= .

А Б В Г Д

[–16; 64] [4; 4] [–1; 4] [–4; 16] не можна визначити

5. На якому з рисунків зображено графік функції y = –2x? А Б В Г Д

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

168

6. Вказати формулу функції, графік якої отримують з графіка функції y = x3 у результаті його паралельного перенесення в додатному напрямі осі x на 4 одиниці.

А Б В Г Д y = (x – 4)3 y = (x + 4)3 y = x3 – 4 y = x3 + 4 y = 4x3

7. На якому з рисунків зображено графік функції 1y x= + ?

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0

8. Вказати формулу функції, графік якої отримують із графіка функції y = sinx у резуль-таті його розтягування від осі у у 8 разів?

А Б В Г Д

1 sin8

y x= y = 8sinx sin8xy = y = sin8x y = sinx + 8

9. Областю визначення функції y = f(x) є проміжок [–4; 6]. Знайти область визначення функції y = f(2x).

А Б В Г Д

[–8; 12] [–2; 3] [–4; 3] [–2; 8] не можна визначити

10. На рисунку зображено ескіз графіка функції y = f(x). На якому з рисунків зображено ескіз графіка функції ?)( xfy −=

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

169

11. На якому з рисунків зображено графік функції y = |log2x|?

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0

12. На рисунку зображено графік функції y = f(x). На якому з рисунків зображено графік функції y = f(|x|)?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

11

2

2

y

x0–2–2

13. Графік функції y = x3 зсунули вліво на 4 одиниці й відобразили симетрично відносно осі x. Графік якої функції отримали в результаті таких перетворень?

А Б В Г Д y = –(x – 4)3 y = –(x + 4)3 y = (–x)3 – 4 y = (–x)3 + 4 y = (x + 4)3

14. Областю значень функції y = f(x) є проміжок [–2; 2]. Знайти область значень функції y = 4f(x) –3.

А Б В Г Д [–20; –4] [–2; 2] [–3,5; –2,5] [–11; 5] [0; 5]

15. У результаті яких послідовних перетворень із графіка функції y = f(x) можна отримати графік функції y = f(2x + 6)?

А Б В Г Д Стиском до осі у удвічі й паралель-ним перенесенням ліворуч на 6 оди-

ниць

Розтягом від осі уудвічі й парале-льним перенесен-ням ліворуч на 6

одиниць

Стиском до осі у удвічі й парале-льним перенесен-ням ліворуч на 3

одиниці

Стиском до осі у удвічі й парале-льним перене-сенням праворуч на 3 одиниці

Розтягом від осі уудвічі й парале-льним перенесен-ням ліворуч на

3 одиниці

170

16. Областю визначення функції y = f(x) є проміжок [0; 2]. Знайти область визначення фу-

нкції 42xy f ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

А Б В Г Д [–4; –2] [4; 5] [–8; –4] [4; 8] [8; 12]

17. Ескіз графіка, якої з наведених функцій зображено на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

y = (x + 2)2 + 1 y = –(x – 2)2 + 1 y = –(x – 2)2 – 1 y = (–x – 2)2 + 1 y = –(x – 2)2 – 1 18. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

y = |ln(x – 1)| y = |ln(x + 1)| y = ln(|x| + 1) y = ln(|x| – 1) y = ln(|x| – 2)

19. На якому з рисунків зображено графік функції 12

xyx−=−

?

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0

171

20. Ескіз графіка якої з наведених функцій зображено на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

1y x= + 1y x= − 1y x= − + 1y x= − + 1y x= − +


21. Побудувати графік функції 42

xyx−=+

.

22. Побудувати графік функції 1 2

log 33 xy−

= .

23. Побудувати графік функції 1y x= − − .

24. Побудувати графік функції 2y x= − − .

25. Побудувати графік функції 2

x xy

−= .

26. Побудувати графік функції 2 2 8y x x= − − .

27. Побудувати графік функції 2 2y x x= − − + .

28. Побудувати графік функції 2logy x= .

29. Побудувати графік функції sin 2x

y xx

= .

30. Побудувати графік функції 1 2 3y x x x= + + − + − .

172


31. Побудувати графік функції 3log3 xy = .

32. Побудувати графік функції 21 cos

cosxy

x−= .

33. Побудувати графік функції sinsin3

xxy = .

34. Побудувати графік рівняння x + |x| = y + |y|.

35. Побудувати графік рівняння |y| = |sinx|.

173

ТЕМА 24. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ, ЇЇ ГЕОМЕТРИЧНИЙ І МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. (x6 + 3x2 – x + 3)′ = ...

А Б В Г Д 7 2

3 37 2x xx x+ − + 6x5 + 6x 6x5 + 6x – 1 6x5 + 6x – 3

7 23 3 1

7 2x xx x+ − + +

2. 31 ...xx

′⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

А Б В Г Д

23 1

2x x− + 4

3 12x x

− + 2

1 23

xx

− + 4

3 1x x

+ 2

123x

x+

3. 1 cos 3 tg ...8

x x′⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠

А Б В Г Д

2

38sincos

xx

− − 21 3sin8 cos

xx

− 21 3sin8 sin

xx

− − 1 sin 3ctg8

x x− − 21 3sin8 cos

xx

− −

4. ( )5 · 7 ...xx ′ =

А Б В Г Д 5x4 · 7x + x5 · 7xlg7 5x4 · 7xln7 5x4 · 7xlg7 5x4 · 7x + x57x · ln7 5x4 + 7xln7

5. 4ln ...xx

′⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

А Б В Г Д

4 3

8

1 4 lnx x xx

x

− 3

1

4xx

3ln4

xx

4 3

4

1 4 lnx x xx

x

−

4 3

3

1 4 ln

4

x x xx

x

−

6. ( )3 5 ...xe + ′ =

А Б В Г Д

3 513

xe + 3 xe ( ) 3 53 5 xx e ++ 3 53 xe + 3 5xe +

174

7. Знайти похідну функції y = cos3x у точці x0 = 18π .

А Б В Г Д

12

− 32

− 3 32

− 32

− 32

8. Знайти кут, який утворює з додатним напрямом осі Ox дотична до графіка функції 41

4y x= у точці x0 = –1.

А Б В Г Д 30° 45° 120° 135° 150°

9. Скласти рівняння дотичної до графіка функції y = x3 у точці (2; 8). А Б В Г Д

y + 8 = 12(x + 2) ( )18 212

y x− = − y – 8 = x – 2 y – 8 = 8(x – 2) y – 8 = 12(x – 2)

10. Знайти миттєву швидкість точки, яка рухається за законом 31( ) 4 13

S t t t= + + (S —

шлях у метрах, t — час у секундах) через 3 с після початку руху. А Б В Г Д

12 м/с 13 м/с 14 м/с 15 м/с 16 м/с

11. Обчислити f′(x), якщо f(x) = sin5 + e3. А Б В Г Д

cos5 + 3e2 sin5 + e3 cos5 0 3e2

12. Обчислити f′(x), якщо f(x) = lncosx2. А Б В Г Д

–2xtgx2 –tgx2 22

cosxx

–2tgx2 2xtgx2

13. Обчислити f′(x), якщо f(x) = sin2(2x + 0,5). А Б В Г Д

2(2x + 0,5)cos2x××(2x + 0,5) 2cos(4x + 1) –2cos(4x + 1) 2sin(4x + 1) –2sin(4x + 1)

14. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом 2( ) 2,5 15s t t t= − , S — шлях у метрах, t — час у секундах. Через який час від початку руху ця точка зупинилася?

А Б В Г Д 1 c 2 с 3 с 3,5 с 4 с

175

15. На рисунку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою x0. Знайти значення f′(x0).

x

y

0 1 2 4 6 812468

1012

–2–2

А Б В Г Д 5 –2 2 0,5 –0,5

16. Дано функцію y = |3x + 2|. У якій точці функція не має похідної? А Б В Г Д

2 –2 23

− 32

− Похідна існує в будь-якій точці

x0∈R

17. Обчисліть похідну функції y = |2x – 5| на проміжку (–∞; 0]. А Б В Г Д

2,5 5 –5 2 –2

18. f(x) = x(x – 1)(x – 2)...(x – 19)(x – 20). Знайти f′(0). А Б В Г Д

–20! 20! 0 1 20 19. На якому з рисунків побудовано графік похідної функції y = |1 – x|?

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0

176

20. На рисунку зображено графік функції y = f(x). Серед наведених графіків вказати графік функції y = f′(x).

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0


21. Обчислити значення похідної функції tg 6y x= у точці 0 24x π= .

22. Обчислити значення похідної функції y = (2x2 – 1)ln2x у точці x0 = 1.

23. Знати похідну функції 4 31 cosy x= + .

24. Знати похідну функції 1ln sin xyx−= .

25. Знати похідну функції y x x x= .

26. Записати рівняння дотичної до графіка функції y = 5x2 – 2x, яка утворює з додатним напрямом осі Ox кут 135°.

27. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = e5x + 1, яка паралельна прямій y = 5x – 8.

28. Пряма 34

y x C= − + є дотичною до лінії, заданої рівнянням y = 0,5x4 – x. Знайти коор-

динати точки дотику. 29. Знайти кути, під якими парабола y = x2 + 2x – 8 перетинає вісь абсцис. 30. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка фу-

нкції 2( )1

xf xx+=−

у точці з абсцисою x0 = 2.

177


31. Знати похідну функції y x x x= + + .

32. Знати похідну функції 2 26 6cosy x= + у точці 0 2x π= .

33. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку 1 ; 22

M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

і дотикається до графі-

ка функції 2

22xy = − .

34. За якого значення параметра а пряма 2xy = дотикається до кривої y x a= − ?

35. У якій точці потрібно провести дотичну до графіка функції 53

xyx+=+

, щоб вона прой-

шла через початок координат?


178

ТЕМА 25. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти проміжки зростання функції y = f(x), якщо f′(x) = (x – 1)(x – 5).

А Б В Г Д

(–∞; –5]∪[1; +∞) [–5; –1] [1; –5] (–∞; 1]∪[5; +∞) (–∞; –5]

2. Знайти проміжки спадання функції y = ϕ(x), якщо ϕ′(x) = (x + 2)(х – 1)2(x – 3). А Б В Г Д

[–3; 2] (–∞; –3] і [–1; 2] (–∞; –2] і [1; 3] (–∞; –2] і [3; +∞) [–2; 3]

3. Знайти проміжки зростання функції 2 xy x e= .

А Б В Г Д

(–∞; +∞) (–∞; –2] і [0; +∞) [–2; 0] (–∞; 0] і [2; +∞) [0; 2]

4. Знайти проміжки спадання функції y = sin2x. А Б В Г Д

; ,2

n n

n Z

π⎡ ⎤+ π π+ π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

2 ; 2 ,2

n n

n Z

π⎡ ⎤+ π π+ π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

[ ]2 ; 2 2 ,n nn Zπ+ π π+ π

∈

; ,2

n n

n Z

π⎡ ⎤π + π⎢ ⎥⎣ ⎦∈

(–∞; +∞)

5. Серед наведених функцій вибрати ту, яка є зростаючою на множині дійсних чисел. А Б В Г Д

y = –x7 y = cos2x y = ln(x2 + 1) 3xy e z= xy e=

6. Серед наведених функцій вибрати ту, в якої проміжком спадання є проміжок [0; +∞). А Б В Г Д

21

1y

x=

+ y = xex y = ln(x3 + 1)

5xy e= 2xy e=

179

7. Скільки критичних точок має функція y = f(x), зображена на рисунку?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

Одну дві три чотири більше, ніж чотири

8. Знайти критичні точки функції 3

2( ) 33xf x x x= − − .

А Б В Г Д 0 –3 і –1 –3 і 1 1 і 3 –1 і 3

9. Знайти точки максимуму функції y = f(x), якщо f′(x) = x(x + 3)(x – 5). А Б В Г Д

–3 і 5 –3 0 5 0 і 5

10. Знайти точки мінімуму функції y = f(x), якщо f′(x) = x(x – 2)2(x – 5). А Б В Г Д 5 2 0 0 і 5 0 і 2

11. Визначити усі критичні точки функції y = f(x) на відрізку [–4; 4], якщо на рисунку зо-бражено графік функції y = f′(x).

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

–3; –1 і 1 –3 і –1 –2 і 1 –4 і 4 –3 і 1

180

12. Вказати усі точки екстремуму функції y = f(x) на відрізку [–3; 4], якщо на рисунку зо-бражено графік функції y = f′(x).

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

–1 і 2 –1; 1 і 2 –2; 1 і 3 –2 і 3 –3 і 4

13. Вказати проміжки зростання функції y = ϕ(x) на відрізку [–5; 5], якщо на рисунку зо-бражено графік функції y = ϕ′(x).

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

[–2; 3] [–1; 2] [–2; 1] і [4; 5] [1; 3] [–5; –3] і [1; 4] 14. Функція y = f(x) визначена на множині дійсних чисел; –3 і 2 — нулі функції. Зміна зна-

ків похідної функції дана в таблиці.

(–∞; –1) –1 (–1; 3) 3 (3; +∞)

f′(x) < 0 f′(–1) = 0 f′(x) > 0 f′(3) = 0 f′(x) < 0 Який з наведених графіків може бути графіком функції y = f(x)?

А Б В Г Д

11

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x01

1

y

x0

181

15. На рисунку зображено графік функції y = f′(x). Який з наведених графіків може бути графіком функції y = f(x)?

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–2–3–4

–1

А Б В Г Д

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

11

3

3

y

x0–3

–3

16. Знайти точку, в якій функція y = xlnx приймає найменшого значення. А Б В Г Д

21e

1e

1 e e2

17. Знайти точку максимуму функції ln xyx

= .

А Б В Г Д

1e

e 1 e e2

18. За яких значень а функція 3

2

3xy x ax= − + має критичні точки, але не має точок екст-

ремумів? А Б В Г Д –1 –1 і 1 1 –4 і 4 4

19. За яких значень а точка 5 є точкою мінімуму функції y = f(x), якщо f′(x) = (x – 5)(x – а)? А Б В Г Д

а ≥ 5 а = 5 a > 5 a ≤ 5 a < 5

182

20. За яких значень а точка 3 є точкою максимуму функції 3

23 33 2x ay x ax+= − + ?

А Б В Г Д a = 3 a ≥ 3 a ≤ 3 a < 3 a > 3


21. Знайти проміжки зростання функції 4 21 1 54 2

y x x= − + .

22. Знайти проміжки спадання функції 23

1x xyx+=−

.

23. Знайти точки екстремуму функції 2

lnxy

x= .

24. Знайти точки мінімуму функції 2sin2

y x x= − .

25. Знайти найбільше і найменше значення функції y = –2x3 + 6x2 + 9 на відрізку [0; 3]. 26. Дослідити функцію y = x3 – 3x + 2 і побудувати її графік. 27. Дослідити функцію y = xlnx і побудувати її графік. 28. Число 64 подати у вигляді добутку двох додатних множників так, щоб сума їхніх ква-

дратів була найменшою. 29. Прямокутну ділянку землі, яка прилягає до стіни будинку, потрібно обгородити пар-

каном завдовжки 160 метрів. Знайти розміри прямокутника, за яких площа ділянки бу-де найбільшою.

30. Визначити розміри відкритого басейну із квадратним дном об’ємом 32 м3 такого, щоб на облицювання його стін і дна витрати на матеріал, були найменшими.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. За яких значень а функція y = x3 + 3x2 + ax – 1 не має критичних точок? 32. За яких значень b один із екстремумів функції y = 2x3 – 3x2 + b дорівнює –1? 33. За яких значень а функція y = xex на проміжку [a – 5; a + 3] є спадною?

34. Дослідити і побудувати графік функції 2

1xy

x−

= .

35. Знайти, за яких значень параметра а сума кубів коренів рівняння 6x2 + 6(a – 1)x – – 5a + 2a2 = 0 буде найбільшою.

183

ТЕМА 26. ПЕРВІСНА. ІНТЕГРАЛ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = x10 – x8 + x + 13.

А Б В Г Д

F(x) = 10x9 – – 8x7 + 1 + C

11 9

( )11 9x xF x = − +

2

132x x C+ + +

11 9

( )11 9x xF x = − +

2

132x C+ + +

F(x) = 11x11 – 9x9 +

+ 2x2 + 13x + C

11 9

( )11 9x xF x = − + −

2

132x x C− − +

2. Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = –4cosx. А Б В Г Д

F(x) = –4sinx + C F(x) = 4sinx + C F(x) = –4cosx + C F(x) = 4cosx + C F(x) = –16cosx + C

3. Яка з функцій задовольняє рівняння ( ) 2

10 ?sin

f xx

′ =

А Б В Г Д

f(x) = 10tgx f(x) = –10ctgx f(x) = –10tgx 1( ) ctg10

f x x= − f(x) = 10ctgx

4. Для функції f(x) = sinx знайти первісну F(x), графік якої проходить через точку О(0; 0). А Б В Г Д

F(x) = sinx F(x) = cosx F(x) = cosx + 1 F(x) = 1 – cosx F(x) = cosx – 1

5. Обчислити інтеграл 1

20

0

x dx∫ .

А Б В Г Д

19 21 20 120

121

6. 0

sin ...2xdx

π

=∫

А Б В Г Д

02cos x π

01 cos2 2

x π−

01 cos2 2

x π 0

2cos2x π

− 0

2cos2x π

184

7. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 2t + 1. Знайти закон руху тіла S(t), якщо S(1) = 3.

А Б В Г Д S(t) = t2 + t + 3 S(t) = t2 + t S(t) = t2 + t + 1 S(t) = t2 + t + 2 S(t) = t2 + t – 1

8. Вказати інтеграл для обчислення площі фігури, обмеженої лініями y = x2, y = 0 і x = 2. А Б В Г Д

42

0

x dx∫ ( )2

2

0

x x dx−∫ 2

0

2xdx∫ 2 3

0 3x dx∫

22

0

x dx∫

9. Вказати формулу для обчислення площі S фігури, обмеженої лініями y = x2 і y = x. А Б В Г Д

( )1

2

0

S x x dx= −∫ ( )1

2

0

S x x dx= +∫ ( )1

2

0

S x x dx= −∫ 1

2

0

S x dx= ∫ 1

0

S xdx= ∫

10. Вказати формулу для обчислення площі фігури, зображеної на рисунку.

x

y

0 1 2 3 4

12

–1–2

–1

y f x= ( )

А Б В Г Д

( )4

1

S f x dx= ∫ ( )4

1

2S f x dx= ∫ ( )

( )

2

14

2

S f x dx

f x dx

= −

−

∫

∫

( )

( )

2

14

2

S f x dx

f x dx

= +

+

∫

∫

( )

( )

2

14

2

S f x dx

f x dx

= −

−

∫

∫

11. Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = cos2x. А Б В Г Д

F(x) = –sin2x + C ( )

21 sin 24

xF x

x C

= +

+ +

( )2

1 sin 24

xF x

x C

= −

− + ( )

2sin 2

xF x

x C

= +

+ +

1( )2

1 cos 22

F x

x C

= +

+ +


0 2 1dxx +∫ .

А Б В Г Д 3 1,5 6 2 0,75

185

13. Використовуючи геометричний зміст інтеграла, обчислити 4

2

4

16 x dx−

−∫ .

А Б В Г Д 8 16 8π 16π 32π

14. Вказати формулу для обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням навколо осі абс-

цис фігури, утвореної лініями cosy x= , y = 0, 4

x π= − , 4

x π= .

А Б В Г Д

4

4

sinV xπ

π−= π 4

4

cosV xπ

π−= π 4

42 cosV

x

π

π−

π= 4

4

cosV xπ

π−= π 4

4

sinV xπ

π−= π

15. Вказати первісну функцію для функції f(x) = tg2x. А Б В Г Д

F(x) = ctg2x + C F(x) = tgx – x F(x) = ctgx – x F(x) = ctgx + x F(x) = tgx + x 16. Вказати формулу для обчислення площі фігури, обмеженої частинами параболи

y = x2 – 4 й осі абсцис. А Б В Г Д

( )4

2

4

4S x dx−

= −∫ ( )2

2

2

4S x dx−

= −∫2 3

2

43xS x dx

−

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ( )

42

4

4S x dx−

= − −∫ ( )2

2

2

4S x dx−

= − −∫

17. Вказати формулу для обчислення площі трикутника, заштрихованого на рисунку.

x

y

0 1–2–3–4 2 3 4

1234

–1–1

А Б В Г Д

( )3

3

3S x dx−

= −∫ ( )3

3

3S x dx−

= +∫ ( )3

3

3S x dx−

= −∫ 3

3

3S x dx−

= −∫ 3

3

3S x dx−

= +∫

18. Серед наведених інтегралів вказати той, значення якого найменше. А Б В Г Д

1

0

dx∫ 1

0

xdx∫ 1

2

0

x dx∫ 1

3

0

x dx∫ 1

0

dxx∫

186

19. Обчислити інтеграл cosx xdxπ

−π∫ .

А Б В Г Д

–4π 4π –2π 2π 0 20. Яка з наведених функцій є первісною для функції y = 2|x|?

А Б В Г Д y = x2 y = |x2| y = –x2 y = x|x| y = –x|x|

Частина 2 Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит. 21. Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = sin4x.

22. Знайти загальний вигляд первісних для функції 3( ) cos sin2 2xf x x= .

23. Точка рухається прямолінійно з прискоренням a(t) = 12t2 + 4. Знайти закон руху S(t) точки, якщо в момент часу t = 1 c її швидкість дорівнювала 10 м/с, а S(1) = 12 м.

24. Обчислити інтеграл 3 4

2

11

x dxx

−−∫ .


4 3 4dxx +∫ .

26. Обчислити площу фігури, обмежену заданими лініями y = sinx, 12

y = , 6

x π= , 56

x π= .

27. Обчислити площу фігури, обмежену заданими лініями y = 6 – 2x, y = 6 + x – x2. 28. Обчислити площу фігури, обмежену заданими лініями y = x2, y = x3. 29. Обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції f(x) = 8 – 0,5x2, дотичною до

нього в точці x = –2 і прямою x = 1. 30. Знайти об’єм тіла обертання, утвореного при обертанні навколо осі абсцис фігури, об-

меженої лініями y x= і y = x.

Частина 3 Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логі-чні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, гра-фіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит. 31. Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = |x|(x – 2).

32. Для площі криволінійної трапеції ( )0

sin 3 cos 2a

x x dx+ =∫ 02

a π⎛ ⎞< <⎜ ⎟⎝ ⎠

знайти значен-

ня параметра a.

187

33. Знайти найбільше і найменше значення інтеграла 0

cos2

a x dx∫ , a∈R.

34. Знайти площу кожної з фігур, на які пряма y = x + 4 ділить фігуру, обмежену лініями 21

2y x= і y = 8.

35. За якого значення а площа фігури, яка обмежена лініями y = x2 + 4x + a (a > 0), x = 0, x = 2 та y = 2, дорівнює 12?

188

РОЗДІЛ IV. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ ТА ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

ТЕМА 27. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. Є 5 різних олівців і 7 різних ручок. Скількома різними способами можна утворити на-

бір з однієї ручки й одного олівця? А Б В Г Д

7! + 5! 57 75 5 · 7 7 + 5 2. У їдальні є 3 перші страви, 5 других і 2 треті страви. Скількома способами можна

скласти з них обід? А Б В Г Д 17 10 30 15 11

3. Скількома способами можна скласти список з 8 учнів? А Б В Г Д 82 88 8 1 + 2 + 3 + ... + 8 1 · 2 · 3 · ... · 8

4. Скількома способами можна з 30 учнів вибрати трьох чергових? А Б В Г Д

P30 30 · 3 30 + 29 + 28 330A 3

30C

5. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 3, 5, 7 і 9, якщо цифри в числі не повторюються?

А Б В Г Д 45A 4

5C P5 P4 45

6. Скільки існує звичайних правильних дробів, у яких чисельники і знаменники прості числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 і 23?

А Б В Г Д 19 18 144 72 36

7. Скількома способами групу із 15 осіб можна розділити на дві групи, так щоб в одній було 11 осіб, а в іншій — 4?

А Б В Г Д 4

15C 1115A 4

11A 1115 4A P− 11 4

15 15·C C

8. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять п’ять цифр? А Б В Г Д 5! 1 + 2 + 3 + 4 + 5 55 95 105

189

9. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять сім цифр і не починаються з нуля? А Б В Г Д 9! 97 107 9 · 106 10!

10. Скільки є чисел, кратних числу 5, серед п’ятицифрових чисел, складених з цифр 1, 3, 5, 7 і 9 без повторення?

А Б В Г Д

3! 45A 4

5C 5! 4!

11. Скільки існує точок у координатному просторі, координати яких є цілими одноцифро-вими додатними числами?

А Б В Г Д

310 39 93 103 39А

12. Скільки існує шестицифрових чисел, усі цифри в яких непарні? А Б В Г Д

56 65 5! 6! 56A

13. З п’яти різних томів прози і шести різних томів віршів потрібно вибрати 2 томи прози і 4 томи віршів. Скількома способами можна це зробити?

А Б В Г Д 64А 2 4

5 6А С⋅ 2 45 6С С⋅ 2 4

5 6А А⋅ 2 45 6С С+

14. Збори з 20 осіб обирають голову, секретаря і трьох членів редакційної комісії. Скіль-кома способами можна це зробити?

А Б В Г Д 2 320 18С С⋅ 2 3

20 18А С⋅ 2 320 18А А⋅ 2 3

20 18A A+ 2 320 18A A+

15. Автомобільний номер складається з двох букв (усього використовують 30 букв) і чо-тирьох цифр (використовують усі 10 цифр). Скільки існує таких номерів?

А Б В Г Д 302 · 410 230 · 104 230 · 410 304 · 102 302 · 104

16. У шкільному розкладі на понеділок є шість різних уроків, серед них є алгебра та гео-метрія. Скількома способами можна скласти розклад уроків на цей день, щоб уроки математики стояли поруч?

А Б В Г Д 26C P5 P6 P5 · P2 2

6A

17. Скільки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 і 5 без повторення, щоб парні цифри не стояли поруч?

А Б В Г Д P5 P4 · P2 P5 – P4 · P2 P4 – P3 · P2 P3 · P2

190

18. Скількома способами 5 хлопчиків і 5 дівчаток можуть зайняти в театрі в одному ряді місця з 1 по 10 так, щоб хлопчики сиділи на непарних місцях, а дівчатка — на парних?

А Б В Г Д 5! · 5! 10! 5! 10! · 5! 5! + 5!

19. Поїзд, у якому їдуть 300 пасажирів, робить k зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках?

А Б В Г Д 300k 300k k300 300 + k 300k!

20. У ліфт 12-поверхового будинку зайшло на першому поверсі 10 осіб. Скількома спосо-бами вони можуть вийти з ліфта?

А Б В Г Д 1211 1011 1012 1210 1110


21. Обчислити ( )5 37 77

10

6! C CA

+ .

22. Розв’язати рівняння 23 21xС − = .

23. Знайти четвертий член розкладу степеня двочлена 2 6( )x y− .

24. Знайти п’ятий член розкладу степеня двочлена 9

33

1xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠.

25. Скільки всього існує трицифрових чисел, у яких усі цифри різні й непарні? 26. У лабораторії працюють 8 фізиків і 10 хіміків. Потрібно створити групи за трьома те-

мами. У першу групу повинні увійти 4 фізики, у другу 5 хіміків, а третя повинна скла-датися із 3 осіб, які можуть бути як фізиками, так і хіміками. Скількома способами це можна зробити?

27. Із цифр 1, 2, 3, 4 і 5 складають різні п’ятицифрові числа, які не містять однакових цифр. Скільки серед цих чисел є таких, які не починаються з числа 45?

28. У чемпіонаті України з футболу грають 18 команд. Скількома способами можуть роз-поділитися місця в турнірній таблиці, якщо відомо, що команди «Динамо», «Шахтар», «Дніпро», «Металіст» посядуть перші чотири місця?

29. Протягом десяти тижнів школярі повинні написати 10 контрольних робіт, у тому числі дві з математики. Скількома способами можна скласти розклад цих робіт, щоб щотиж-ня проводилася одна контрольна робота і щоб контрольні роботи з математики не йшли одна за одною?

30. В одного учня 6 різних книжок з математики, а в іншого — 10. Скількома способами можна обміняти 3 книжки першого учня на 3 книжки другого учня?

191


31. Знайти член розкладу степеня двочлена 121 x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

, який не залежить від х.

32. Скількома способами можна розташувати на полиці 3 чорних, 2 синіх і 5 червоних куль?

33. Із 10 різних троянд і 8 різних жоржин потрібно скласти букет, у якому повинно бути не менше 8 троянд і 7 жоржин. Скількома способами це можна зробити?

34. Серед членів шахового гуртка 2 дівчинки і 7 хлопчиків. Для участі в змаганнях необ-хідно скласти команду з чотирьох осіб, у яку обов’язково повинна ввійти хоча б одна дівчина. Скількома способами можна це зробити?

35. Ліфт, у якому є 9 пасажирів, може зупинитися на 10 поверхах. Пасажири виходять групами по два, три і чотири особи. Скількома способами це може відбутися?

192

ТЕМА 28. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Частина 1 Завдання 1–20 мають по п’ять варіантів відповідей, з яких тільки ОДНА ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку. 1. У лотереї 10 виграшних квитків і 240 квитків без виграшу. Яка ймовірність виграти в

цю лотерею, купивши один квиток? А Б В Г Д

120

12

123

124

125

2. У ящику з 25 деталей 23 стандартні. Яка ймовірність, що перша навмання взята деталь буде нестандартною?

А Б В Г Д

2325

2523

252

225

223

3. З шухляди, в якій лежить 8 червоних, 3 синіх і 20 зелених олівців, навмання вийняли один олівець. Яка ймовірність того, що це не зелений олівець?

А Б В Г Д

331

831

2031

1120

1131

4. Імовірність того, що стрілець одним пострілом влучає у ціль, дорівнює 0,4. Стрілець виконав два постріли. Знайти ймовірність того, що обома пострілами стрілець влучив у ціль.

А Б В Г Д 0,4 0,8 0,16 1,6 0,6

5. Тричі кидають гральний кубик. Яка ймовірність того, що тричі випаде «4»? А Б В Г Д

1216

14

34

18

3216

6. У коробці 10 куль, з них 7 біліих. Навмання беруть одну за одною дві кулі, до того ж узяту першу кулю до коробки не повертають. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білі.

А Б В Г Д

710

49100

4290

4990

42100

193

7. Стрілець стріляє по мішені та влучає в десятку з імовірністю 0,2, а в дев’ятку — з імо-вірністю 0,3. Виконано один постріл. Яка ймовірність того, що вибито не менше дев’яти очок?

А Б В Г Д 0,06 0,3 0,6 0,9 0,5

8. Імовірність закинути у корзину м’яч для першого хлопчика дорівнює 0,6, а для друго-го — 0,5. Обидва хлопчики роблять по одному кидку. Яка ймовірність того, що хоча б один з них закине м’яч у корзину?

А Б В Г Д 1,1 0,3 0,7 0,8 0,2

9. При увімкненні запалення двигун починає працювати з імовірністю 0,8. Яка ймовір-ність того, що двигун почав працювати за другого ввімкнення?

А Б В Г Д 0,16 0,64 0,04 0,8 0,2

10. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,9. Визначити ймовірність то-го, що з шести навмання взятих деталей 4 виявляться стандартними.

А Б В Г Д 46 0,9⋅ 4 20,9 0,1⋅ 4 4

6 0,9C ⋅ 4 4 26 0,9 0,1C ⋅ ⋅ 4 2

6 0,1C ⋅

11. У коробці є шість однакових занумерованих кубиків. Навмання дістають по одному всі кубики. Яка ймовірність того, що номери вийнятих кубиків з’являтимуться в по-рядку зростання?

А Б В Г Д

136

16

16!

66!

112

12. У ящику 100 деталей, з них 6 пофарбовані. Навмання виймають 2 деталі. Яка ймовір-ність того, що обидві деталі будуть пофарбовані?

А Б В Г Д

2 26 100

1А А⋅

2 26 100

1С С⋅

262

100

СА

262

100

АА

262

100

СС

13. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам’ятаючи, що цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібні цифри.

А Б В Г Д

210

1А

210

1С

21

10 1

2 10!⋅ 2

9

1А


194

14. У мішку лежать 20 однакових на дотик куль: 12 білих та 8 чорних. З мішка навмання витягнуто 8 куль. Яка ймовірність того, що рівно 3 з них чорні?

А Б В Г Д 3 58 20

820

С СС⋅

820

3 58 12

СС С⋅

3 58 12

820

С СС+

3 58 12

820

А АА⋅

3 58 12

820

С СС⋅

15. В одному класі з 20 учнів є 8 хлопчиків, а в іншому з 25 учнів — 15 хлопчиків. За же-ребкуванням вибирають двох учнів з кожного класу. Яка ймовірність того, що з кож-ного класу виберуть тільки дівчат?

А Б В Г Д 22

10122 220 25

CAA A

+ 22

10122 220 25

AAA A

⋅ 22

10122 220 25

CCC C

+ 22

10122 220 25

CCC C

⋅ 432445

CC

16. У скриньці є 12 білих і 8 чорних куль. Навмання вибрали 2 кулі. Яка ймовірність того, що вони одного кольору?

А Б В Г Д 22812

2 220 20

CCC C

⋅ 22812

2 220 20

CCC C

+ 22812

2 220 20

AAA A

⋅ 22812

2 220 20

AAA A

+ 120

2С

17. У ящику лежить 31 деталь першого сорту та 6 деталей другого сорту. Навмання виби-рають три деталі. Яка ймовірність того, що хоча б одна з деталей першого сорту?

А Б В Г Д 36337

СС

36337

1СС

− 331337

СС

331337

1СС

− 36337

АА

18. Механізм складається з трьох виробів. Імовірність браку при виготовленні першого виробу дорівнює 0,1, другого — 0,2, третього — 0,3. Яка ймовірність браку при виго-товленні механізму?

А Б В Г Д 0,9 + 0,8107 – – 0,9 · 0,8 · 0,7 1 – 0,1 · 0,2 · 0,3 0,1 · 0,2 · 0,3 0,9 · 0,8 · 0,7 1 – 0,9 · 0,8 · 0,7

19. У сім’ї троє дітей. Знайти ймовірність того, що серед них є хоча б один хлопчик.

А Б В Г Д

23

13

0,875 0,125 0,5

195

20. У результаті експерименту відбуваються рівноможливі події, які виключають одна од-ну. Ймовірність появи кожної з них дорівнює 0,05. Яка кількість цих подій?

А Б В Г Д

500 50 20 200 не можна виразити


21. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих на-вмання деталей виявиться 4 стандартних.

22. Імовірність того, що Петрик розв’яже задачу, дорівнює 0,7, а ймовірність того, що за-дачу розв’яже Михайлик, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що жоден з них не розв’яже цю задачу.

23. Два стрільці намагають влучити в одну мішень. Імовірність влучення в мішень пер-шим стрільцем дорівнює 0,6, а другим — 0,9. Знайти ймовірність того, що в мішень влучить тільки один з них.

24. У кожній із трьох партій є 100 деталей. У першій партії є 5 бракованих деталей, у дру-гій — 4, а в третій — 6. Навмання вибирають по одній деталі з кожної партії. Яка ймо-вірність того, що хоча б одна деталь виявиться бракованою?

25. У конверті серед 100 карток є потрібна картка. З конверта навмання витягують 10 кар-ток. Яка ймовірність того, що серед вибраних карток є потрібна?

26. Серед 20 уболівальників випадковим чином розподіляють 12 квитків на футбол і 8 — на баскетбол. Яка ймовірність того, що двоє друзів відвідають одні й ті ж змагання?

27. На деякій прямій узято 3 точки, а на паралельній до неї прямій — 4 точки. Навмання вибирають 3 точки. Знайти ймовірність того, що вони будуть вершинами трикутника.

28. В урні 10 куль. Скільки в урні білих куль, якщо ймовірність того, що 3 навмання виб-

рані кулі будуть білими, дорівнює 16

?

29. Імовірність хоча б одного влучення в ціль чотирьох пострілів дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення у ціль одним пострілом.

30. Під час тестування з математики учень має відповісти на 5 запитань. Імовірність того, що він правильно відповість на одне запитання, дорівнює 0,8. Щоб скласти тест, учне-ві потрібно дати правильну відповідь не менше ніж на 3 запитання. Знайти ймовірність того, що учень складе тест.

196


31. У лотереї випущено n білетів, з яких m виграшних. Знайти імовірність виграшу, для людини, яка купить k білетів.

32. Монету кидають 6 разів. Знайти ймовірність того, що випаде більше разів «герб», ніж «число».

33. Два гравці по черзі кидають монету. Виграє той, у кого раніше з’явиться «герб». Знай-ти ймовірність виграшу для того, хто починає гру.

34. Імовірність виграшу в грошово-речовій лотереї на кожен квиток дорівнює 0,5. Скільки лотерейних квитків потрібно купити, щоб з імовірністю не менше ніж 0,999 отримати виграш принаймні по одному квитку?

35. Імовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань подія А настане хоча б один раз, дорівнює 0,8704. Знайти імовірність ненастання події А за одного ви-пробування, якщо вона під час усіх випробувань однакова.

ZNO 11 alg kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/013.pdf · За перший день...

Documents

Transcript of ZNO 11 alg kapinosov B5fel2005.dp.ua/docs/blog/14/013.pdf · За перший день...