yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙...

29
: .

Transcript of yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙...

Page 1: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�� ����

��� � ����� � �������

���� ���� :�� ����� ��� !� � � �������

"#�� � ��$ � .&'() � �� ����� ��� !� �

��� �� �� �

� ���� ����� ��������� � ��� �� �� ���� �����

Page 2: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

��������� ���

� � ��4 ������� ����� �������� ������� ..............................4

������� ����� ��� !� �������� �������................................... 4

� �!�� "��#$� %�&���............................................................ 4

������ � �!�� "��#$� %�&���..................................................... 5

'()� %�&* ................................................................... 5

" �#+�� %�&���............................................................................. 6

" �#+�� %�&���, � �!�� "��#$� %�&��� -� ��.��� .................................8

/����� " �#+�� %�&���)1�����( ................................................8

"��#$� %�&��� ................................................................9

������ %�&���............................................................................. 9

%�&��� -� ��.��������� � �!�� "��#$� %�&���, ������ .........................10

3��� %�&* ............................................................................ 10

" �#+�� %�&���, 3��� %�&* -� ��.���. ......................................12

3��� %�&�� " 4��� ���5���� ...............................................13

��.6 .........................................................................14

���� #��$!� �������� �������������� � ................................15

7.�� %�&* ,8 "���9�� %�&���:7� .........................................15

3(�;�� �<�� ............................................................................. 15

=>����� "���9�� %�&��� ........................................................16

"���9�� %�&��� ? ��6 .......................................................16

" �#+�� %�&���, "���9�� %�&��� -� ��.��� ......................................18

3��� %�&*, "���9�� %�&��� -� ��.��� ......................................19

"�@� %�&���............................................................................. 19

Page 3: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

- 3 -

3(�;�� �<��%�&� � ����4A��� ������, �B�+��� ���� ,8 "�@� . .....................19

"�@� %�&��� ? ��6 ........................................................20

���� %�&* .........................................................................21

3(�;�� �<�� ............................................................................. 21

���� %�&* ? ��6 ...........................................................22

���� %�&* ..................................................................23

3(�;�� �<�� ..................................................................23

���� %�&�� ������� ? ��C� ...................................................23

��.6 ..................................................................25

DE � .........................................................................26

Page 4: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

����� 4 ���� �� ���� �������� �� �����

��� � ���� �� ���� ���� �� ���� �� ����

�%&' . � F�G��&��� H� �� 7>�( 38 3I� �##�J '�4�K�� %�&���, �� �L��� MN<��� �OP� �#B) 38 ��� �G���4�K�

MNOL�� . M>��Q� R, =>�A���, "�#��� N����� 1�S R T ���� H� ������ TK R F���&��� UVW ��5��* . UVW )+X8 H�

��Y F���&��� : 3��� %�&*, " �#+�� %�&��� ��G�#��� "�@� %�&���, "���9�� %�&���, [��9;��� F���&� � ���#���

M)4���� F���&� �.

4-1 ����� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��

������ ����� ��� ���Loi hyper géométrique������� ������ ����� ��� ��� � Loi Multi-

hypergéométrique�� �� ��� � � Loi Bernoulli ������ ��� ��� �Loi Binomiale ������ ��� ��� �

������)������(Loi Binomiale négative����� ��� ��� �Loi géométrique � ������� ��� ���Loi

multinomiale� �� � ��� � �Loi de Poisson .

4-1-1 ������ ���� �� !�� ��

(��� . \� ],�#�6 �O#� F��)X 4 , ^�_�� 2 ̂�)` . a�b>c 3,�� /E�(3F��)X . -*)X d 1�e� 1�4�K� /�K�

[H�,�_��3, ��)X [^�_�� F��)X^�_�� ��)X �, [^�_�� M�K�.

F��)X ],�#� H� /E�( �#(8 f)�P( )�*+, -.�/ �W�� n d =�g ],�#��� 3�X ��c [N �O#� ��)X b , ^�_�� r

^�)`(N = b + r) -�� �� d 1�e� 1�4�K� 3hB x ≤ b 1.G6 H� \� T�i 38 H�J ^�_���� F��)��� H�

F��4�K.� "���.��� 3(�;��) �� �4 .�� F��e� /���#�4�� F��e� (F�;�B��� ���5���� k��,:

n

N

xn

r

x

b

C

CCxXP

−⋅== )(

�<���� UVW d4�* :/��(, � �!�� "��#$� %�&��� 3(�� b, p) X ~ H(N, l�K:

p = b/N , = 1– p q = r/N

" � �4X 1�+�� � m�8 d ���bQ� 3I� H�J:

P(X = 2) = C42 . C2

3 / C

16

= 12/20 , P(x = 3) = C43 . C2

0 / C6

3

= 1/5 , …

������ ����� ��� ��� �����

−−

==1

²,N

nNnpqnp σµ

�0�1�:N6@� �V$ ])9�( ���# �W)XV#� " �#+�� %�&���� ��. � �!�� "��#$� %�&� � .

Page 5: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 5

4-1-2 �� ��� ������ ���� �� !�� ��

������� ������ ����� ��� ��� !�� "�����

O�� H�J n�4�* ���� 3(�; � �!�� "��#$� -P#� H� )+X8 �b, ���K d )ko#� ( �#��� o#� TX H� l�K [Ni

[��)X ) ΣNi = N ( .+� p�#��� �A��( 1�4�K� q��e, [2 ^�_�� F��)X )X1 = 2 ( [5 [^�)`1 [^��>& . . . H�J

� �4X F�;�B��� 1.6 H� �#�4��, �4 .�� F��e� �� q��K":

nxNNC

CCCxXxXxXP

k

i

k

in

N

kx

kN

x

N

x

N

kk ====== ∑∑ 11

2

2

1

1

2211 ,...

)..,.,(

������� ������ ����� ��� ��� �����

i

i

i npN

NnXE ==)(

�0�1�:N6@� �V$ ])9�( ���# �W)XV#� " �#+�� %�&���� ��. � �!�� "��#$� %�&� � .

4-1-3 �����" !�� 1

�� �� � �$ !�� "�����

�r8 ��)s H 1;( "���()� " -�A��( T4�u v(�X ��c)-w�K ( -��B�#��A, A’. �( "4A, x�y A’TLB .

a MN<��� z��(X T+{ |�� 3�45�� ���� 6�7 V6}* [ X �4�;��1 ~�e� D;u �# A, 0��X���� ���e� R .

q M�� !�)(p" x�A#�� 1�4�K� " ~�e� D;u 1�4�K�A, q = 1– p �X���� ~�e� 1�4�K� )TLP�� .( %G�&* -��

" � �4X '()�:

.1,0,)0(,)1( ===== XqXPpXP /��(,X ~ B(1, p)

�� �� ��� � �����

= 1(p) + 0(q) = p => E(X) = p. E(X) = Σxipi V(X) = E(X²) – E(X)² = (1²p + 0²q) – p² = p – p² = p(1– p) = pq =>

V(X) = qp.

% ��&� '��(���� �����

M(t) = E(ext) = e

0tq + e

1t p => M(t) = q + pe

t.

1 '()� ��b n���(Jacques Bernoulli) 3);�� )6�,8 R %�&��� �VW 7>� =V�� 17.

Page 6: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

"���)�� ^��KQ� , F��4�K�� �c T6��– ^!�� 1. 6

������� ������� � ������

( ) ²)²()1()0()( 33333

3 pqqpqppqppqpxpx −=−=−+−=−=∑ µµ

qp

pq

qpqp

pqqp ²²²)²(3

3

3

−=

−==

σ

µα

4-1-4 ������� �� ��

������ ������� ����� ���� �������:

'()� ��)s �(>)X ��c n 3hB M)� X) x�A#�� F�)� �� (n�;�� V6}* : X = 0, 1, 2, 3, . . . n

��9� "�> ���(z�� ��)A��� f)�P#� �� M>)�� ���;(n, [F�)�� H� X M>� d 1�e� F�)� �� )F:(

���K : n = 2 X = 0, 1, 2.

P(X = 0) = q.q = q², P(X=1) = P(FP) + P(PF) = p.q + q.p = 2p1q1

���K : n = 3 X = 0, 1, 2, 3.

P(X = 3) = P(FFF) = p.p.p = p3, P(X = 2) = P(FFP ∨ PFF ∨ FPF) = 3p2q1

���K : 4n = X = 0, 1, 2, 3, 4.

P(X = 3) = P(FFFP ∨ PFFF ∨ FPFF ∨ FFPF) = 4 p3q1

����� �K.( MN6@� �A��#�� R3 W x ����� [ 1 W n - x �����, [ 4 ~.Gw d 1�E � �4 .�� ])9�� �� W

-� H� F�K�y(n = 4)��K H�J, [q>�s " � �4X \� :

)!(!

!

xnx

nC x

n−

=

�� �� 1�4�K�B '�����,x-� H� F�K�A#�� H� n " � �4X /�g ���()� ��)s:

....,3,2,1,,....,3,2,1,0,)( ==== −nnxqpCxXP

xnxx

n

l�Kx [x�A#�� F�)� �� p x�A#�� 1�4�K� M�K��� ��)A��� R)��)A��� >�)�* �# v��w d;��( [q = 1 – p 1�4�K�

, TLP��nq>�A��� �� .

o�)�* "" �#+�� %�&��� 3(��"�� " � �4X �_�8 /�: xnxx

n ppCxXP−−== )1()(

8, X ~ B(n, p).

-������ -�)L�� )B* �# ��5��� " �#+�� %�&��� 38 �_�� D�� ��:

F�)�� H� ��� �� M>)�� ���()� ��)s[

v��w ��)A��� R x�A#�� 1�4�K�)� ;��� q>�A���(.

Page 7: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 7

npq

pq6134

−+=α

���� : �(&��� ���;( ��9� "�> �# /�K84�)� d 1�e� 1�4�K� F :

[-*)� [M�K�, M)� [M>� M)� �, 3 [F�)� 4F�)� .

P(X = x) = Cxn p

x q

n –x => P(X = 0) = C

04 0.5

0 0.5

4 = 1/16

P(X = 1) = C14 0.5

1 0.5

3 P(X = 2) = C

24 0.5

2 0.5

2

����2 : a�b>Q�� /E�(3 =�g ],�#� H� F��)X 5 F��)X �O#�3^�)` .

-*)X d 1�e� 1�4�K� /�K8 )`H�,�.

P(X = 2) = C23 (3/5)

2 (2/5)

1

������ ������� �����

���� � ����� : >���� H�JX���()� � ;��� F�N<�� a4S X = X1 + X2 + … X i+ … + Xn �GP( �$

n ���p %���� �P( '�����, (E(Xi) = p)�_�8 .�c�y H������, %���� ? ��6 ���5���� �:

E(X) = E(X1 + X2 + … Xi + … + Xn) = ΣE(Xi) = Σpi = np => E(X) = np

V(X) = V(X1 + X2 + … Xi + … + Xn),

Xi3�c � ;��� = ΣV(Xi) = Σpq => V(X) = npq

���� :D����� 1�+4 � H������, %���� /�K8:

E(X) = np = 3(3/5) = 9/5 ; V(X) = npq = 3(3/5)(2/5) = 18/25

������ ������ �� �� : >�����X � ;��� ���()� F�N<�� a4S X = X1 + X2 + …Xi + … + Xn �GP( �$

n ���p �,!� � M��A��� ������ �P(, : MX(t) = [q + pet]�� ���5����, -(�;,!� � � ������ ��� �;������ :

"Tb8 H�1 X, X2�,!� � � ������ �$ � ;��� a � Mx1(t)� Mx2(t) 3hB: Mx1 + x2 (t) = Mx1(t). Mx2(t) " p

��#��(:

MX(t) = Mx=x1+ x2 +…xn(t) = Mx1(t) . Mx2(t) … Mxn(t)

MX(t) = E(ex1t) . E(e

x2t) … E(e

xnt) => MX(t) = [q + pe

t]n

������ �����

( ) ( )∑∑ −==−=−== )(...)()(.33

33

33 pqnpqxpnpxxpx µµ

σ

µα

[ ]σ

αp

npqnpq

ppnpq 21)1(3

−=

−−=⇒

npq

pq −=3:

���# .w�4�� " �#+�� %�&��� �E#� 3�� α3 = 0 => 2p = 1 => p = ½

��� ��� ����

%�&��� �E#� 3�� " �#+�����# ����� α4 = 3 => qp = 1/6

Page 8: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

"���)�� ^��KQ� , F��4�K�� �c T6��– ^!�� 1. 8

������ �������� !����� �!�"�� ������� ��� ��#��

���K RN ��b N�X ) �c 1,��∞ (9�� 3,�G� /EG��� ����, � �!�� "��#$� %�&��� H� ���)� � ��( " �#+�� %�&��� "

a�b>Q�� /E� � ���);* �;��9� a�b>c . 3@ " �#+�� %�&��� H���* H� q)�;� �_�8 H������ )G���� (N – n) / (N – 1)

� �c 1,�1) n�,�� ..(

4-1-5 ������ ������� �� ��)������ (

����� ���� �������$����� ������ ��:

����: d 1�e� ���� �c �;( ��9� "; ( 3 M>� F�)� ) � ,8 ������� .( �G�� k�� d T�i 38 1�4�K� /�K85

[F���>4 [F���> 3H������ /�K8, ��&.�� F���)�� �� %�* [F���> .

�#��� 1�+�� �VW R ���()� ��)s) TLB, x�y -�A��( ( UVW H�� [M>)�� M)�� ��� �� !� ��"# ��$ %&)r ( �)�

*�+��,� .X "W ���e� UVW R �-.��� / .01 * .� �� d 1�e� ���� �c rx�y .

o�X /�g 1�4�K�� � n �( 38 D;u x�A#�� r M)� \��4�K� pr 1�4�K�, TLP�� (x – r) M)G� =,�G�� q

x – r . ��c

1�4�K�� q 9�� H4_�� ^��b H�VW -��4�K�� pr q

x–r . H�� ��#W ��� H� ])9�� .��4 � D�;E�� r x�y H� -� X

��)s %� n ��� 38 )6� ��)s "W x�y . 38 ����)A��� MN6@� �� �� �A��#�� )x�y( �4 .�� ])9�� �� 3hB [=,��� ��G

])9�� �4 .�� >���6� (r – 1) x�y H� -�(x – 1) ��)s [=8 Cr–1

x–1 ��c:

∞+=∞+++=== −−

− ,...,3,2,1,...,2,1,,)( 1

1 rrrrXqpCxXPrxrr

x

/��(, /����� " �#+�� ,8 1����� %�&* %�&��� �VW d4�� :X~BN (r, p)

" � �� D����� 1�+�� � m�8 d ���bQ� ��c H�J :

P (X = 5) = C3–1

5–1 p3 q

5–3 = C

24 (½)

3 (½)

2 = 6 (1/8) (1/4) = 9/32

µ = r/p = 3/(1/2) = 6 , σ² = rq/p² = 3 (1/2) / (1/2)² = 12/2 = 6

$����� ������ ������� �����

( )rtt

qe

eptM

p

rq

p

r

−===

1)(,

²², σµ

nq

nqq

q

q )1(3)²2(3,

143

−+++=

+= αα

Page 9: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

T�P��IV .����5��� )+X@� ����4�K�� F���&��� 9

4-1-6 ������� �� ��

������� �� �� ��� �� � ��

���� .�� �� ��� �� �� ����� ���� ���� . �� !��"� �� ��#"$%4& '�(�� :P(X = 4) = P(PPPF) .

�*��� ���+% %,& - �(��./ �/.0��.1� 2% ���3 �� *�% �� �� �45% 6�7) ��$%4 �.� 6�9 .( �(;%<��% �=>"+%X ��? @�%

�/.7"�% �%.1A '%.� B� )6�7*�% �C(D ��$ @�% �.+% �C(D �E (�F�*G% H�I"�% HJ"A.

K 6�7*�% ��#"$L ��M�� % �p K �<N�% ��#"$L4 q��� �#O P"/�"O Q1R ��#"$L% �SD :P(X = 4) = q3p

�/4 � �#(� T� ��#"$% �SD ��� �N X��� �#O P* U�� :

...,3,2,1,)( 1 === − XpqxXP x

������� �� �� �����

( )tt

qe

eptM

p

q

p −===

1)(,

²²,

1σµ

q

p

q

q ²12,

143 +=

+= αα

��� �� V($ ��1F�/ H�IA Q� ��W ���$ L� & �� �F�*G% H�I"�%r = 1 .

4-1-7 ��� ��� �� ��

��� ��� ������� �� �� ��� �� � ��

���� . B.� ���� ����7 '%.� .� ��2% ��#"$% �X4� Y�.�% ZA.� �6 Y�.�% ZA.�4 1 4 3 Y�.�% '%.� 5 .

���[�� B��"+% H�I"�% �#�"\� ]^�D Z"7("� �J�A �/.0 ���$ - �#�"\� �45% �#*(JD ]�;�*��% H�I"�� Y(#�A & B��"+% H�I"�%

B� �/.7"�� �1� V($ �����%k�*1#+% _;�"*�% Q� ]�C`�/ Q K��7"�% �(�a�"F% H� .� K _;�"*�% b,G M�.A1, A2, .

. . Ak K �cL�#"$L4 p1, p2, p3, . . . pk . d%�$5% �� �E)_;�"*�% ( Ai�SD �(D�*"�:

= 1 p1+ p2 + p3 + . . . + pk

�/.7"�% b,& ���.O % ����� B� _;�"*�% n d�$ �1� �*��� �1(\D '%.+% Q� )�7("� ( '%.e� B� ��? �(;%< �=>"�

P �4. K '%=>"+% b,G M�.� X1, X2, . . . Xk V($ X1 + X2 + . . . + Xk = n.

!O.+% d�2% ��#"$% !\f :X1 = x1, X2 = x2, . . ., Xk = xk ��� �#O :

kx

k

xx

k

kk pppxxx

nxXxXxXP ...

!...!!

!),...,,( 21

21

21

2211 ====

��� ��� �� �� �����

E(X1) = np1, E(X2) = np2, . . . , E(Xk) = npk

V(X1) = np1q1, V(X2) = np2q2, . . . V(Xk) = npkqk

Page 10: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�g��.�% h��$i% 4 'L�#"$L% �� �W��– hMk% 1. 10

������� ��� ��� �� �� ����� ��� ������ ������� �� ��

���� B��"+% H�I"�% _;�"� Q� �J�.� _;�"����* ]B��"+% �;%M�% �F�*G% H�I"�% :

N�∞, Ni�∞, Ni/N �pi .

���� :B.� ���� �*(�� % � 42\$� ]�.� PA% Y�.�% H� !F�*"� '%.+% Q� B� Y�� �O .Cl� �� ��#"$% !) Y�.�%1 .eCl�

Y�.�% ]ZA.�2 .Cl� 4 Y�.�% ]'%.� 3 .Cl� 6%,1&4 '%.� .(

( ) 124

621 )6/1(...)6/1²(6/1!12...!6!4!2

!42)12...,4,2( ==== XXXP

����2 . P/ m4�* Q� ![\�5 Q� �#�.� '��.O 1 �� 5 m4�*��% �� �C�X.� n ��.O o%"�% �� '%.� HJF . �X4�

��#"$% :3� '% '��.O Y�1 Y�� '% Z"�.O ]2 Y�� '% Z"�.O4 4.

4-1-8 ������ �� 1

��� �� � ��� ���� �� �

'%.+% Q� �;�pL 4� %�X =JO B� ��.1� �(��./ �/.0 �*��� Q1"� . �=>"+% �(;�J�X H�I"�% HJ"A '�$�7*�% B� ��? @�%

%,& �>( ��#�"F�/ ��#"$L% K�\$ !��� �� Q1� ]�;�*��% �1A ���* H�I"�% n�=JO . a����#"$% 20 % � 6�9

q��On = 100& :802020

100 999.0001.0)20( ⋅⋅= CP.

�l2 - d�2% r�s ��#"$% �1�4 ]Q�M��/ �F��� �/.7"�% �%.1A '%.� B� tJ�� u�%.#"F�/ �/.7"�% �.1"A ���* ��

%�X %=> .���2% b,& - v�"� T� ] ���* n �� �4w� ∞ ] ��� �>( B�x� ���;�*��% H�I"�% �>( �B��A.

H`�λV(y q/�z p = λ/n :

( )

xnx

xnxx

nnnxxn

nqpCxp

−−

−⋅

⋅−

=⋅⋅=λλ

1!!

!)(

xnx

nnx

xnnnnxp

−−+−−−

= )1()(!

)1).....(2)(1()(

λλ

xn

nx

n

xn

n

n

n

n

n

n

xpx −

+−−−

= )1(!

)1(.....)2()1(

)(λ

λ

xnx

nx

n

x

nn−

−−−−

= )1(!

)1

1).....(2

1)(1

1(1 λλ

xnλ −

1 ������ ��� ������ ���(Siméon-Denis Poisson) (1840-1781) ��� ����� ��� ������ ���� ������ ������� � ������� 1837 ! "# $���% !

&�'� (�)� ! �*�+� (�, ! ��-./� (���.�(Recherche sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière

civile) � (�-��� ����� ���0�% 12�3 "�. � ��4�� ����� . 67 ��8� $9� 1�: ���� ����;� $� (��8��� (3 �3 <71830 . =.�> ������ �3 67 ?@�AB� @�C

D�E�F�E� =��G H�� ?IF-�� ���J/� ���K �� L�23 ��0M ���K ! 1N��� . O��P�@� Q Q �K3[1997] .

Page 11: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

1R���IV .�M������ �4%/� ������.<� S�8�P���� 11

xnx

xnx

nnxnxxp

nnn

−− −−=−=⇒===⇒∞→ )1()1(!

)1(!

1)(0...

21 λλλλλ

T-�: λλ −

∞→ =

− en

n

n 1lim

( ) 1011lim =−=

− −−

∞→x

x

nn

λ

�V7

...,2,1,0!

)( ==−

xx

exp

x λλ

(���.� �� x "�. ������ W�P�G =�. ?�.� TMP ?�. ! X�Y λ > 0 . =�-X~P(λ)

����� : ...71828.21

1lim ==

+∞→ en

n

n

������ ��� �� ��

[ ]λ

αλ

αλλ1

3,1

,)1(exp)(,)()( 43 +==−=== tetMXVXE

/� ��>�Z� [;J T�\ ]������ ��;8' T��F��� ������� W^���� ?���M ]6 �^_8�� ��������λλe

nn

n

=∑∞

=0 ! :

( ) ( )∑∑∑∑∑∞

=

−−

=

−∞

=

−∞

=

−∞

= −=

−====

1

1

1100 !1!1!!)()(

x

x

x

x

x

x

x

x

x xe

xe

x

ex

x

exxxfXE

λλ

λλλ λλλλ

W���n = x – 1 ��

λλλ

λ λλλ === −∞

=

− ∑ een

eXEx

n

0 !)(

( ) ( )

λλλλ

λλλλλ

λ

λλ

λλ

λλ

λ

λλ

λλλλ

=−+=

+=

+=

+=

+=−

=−

==

−=

∑∑ ∑

∑∑∑∑∞

=

=

=

−−

=

−∞

=

−−∞

=

−∞

=

²²)(

²)()(!!

!)1(

!1!1!²)²(

²)()(

00 0

01

1

10

2

XV

nPXEn

e

n

en

n

en

x

ex

x

ex

x

exXE

XEXV

nn n

nn

n

n

x

x

x

x

x

x

� ������ � �� � ���� � ��t�� ���� .

����� � �� � ��t�� ���� ����� ����� λ � λt���� :

( )...,3,2,1,0,

!)( ===

Xx

etxXP

tx

t

λλ

� � . ����� �� ��! "#$�% "&'% (�� )*%+, �-.� /0 �1% 2�� 34*%+5� �+6+76� �� � �.*! λ=5 3�4�+8�� 9 .

��;� �+<'�� =>�7?1�� 34�+@ 9 �+6+7� .

( )!7

)5(5.1)7()5(5.1

)7(5.17 −

===e

XPtλ

Page 12: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

)A+#.�� B+1�C� � �D+<'�D� /0 �E��– B�G� 1. 12

���� ��� � ������ � �� � ���� � �� .

+- �H0 �X ���� �� ��! "#$�% "&'# λ �I� JY= aX ���� �� ��! "#$�% "&'# .EK� �, aλ.

� � .���� �� ��! "#$�% "&'% (�� )*%+, �-.� /0 �1% 2�� 34*%+5� �+6+76� �� � �.*! λ=5 �� J3�4�+@ 9

6%34�� �+6+7� ), �+6+76� LM, �� . �1% � �+<'�� =>�9� �+6+7� 34�+@ 9 34�.

!9

))5(05.0()9(

)5(05.09 −

==e

XP

������ ���� � ����� ������

�� ��! "#$�% N .# O�<� P��� �QE ��(Diagramme en bâtons) +�R�'� +�#$�% S��7� . T�U� �� ��! "#$�'�

)�4&R�� "#$�'�� �V W�+�%) 34�+<'�D� �+�#$�'U� W�+�'�� T�U>�� Y�� )�4&R�� "#$�'�� Y� .Z� ( 3<4\ O+#$ ��� 3<U�6�

λ ]�H 3Z�Q� �7^� J � O�#��'� N4\ � �� �� ��! "#$�'� 34�+4&�� _� .�� �� �� 3��+�� �QE �� λ � .�`Z# a4�

)�4&R�� "#$�'�� �� +b4c� +b4d �.'�# "#$�'�� +6 λ 3#+*7�� S4� +� e&- .]�H (&% 34�+'�� 34�+4&�� _� .�� .

���4 1!� ��� "#��#$ %!�#& '#(� ��(�)� � λλλλ

� ��� ������ ������ ������ ��� �����.

+����n�∞�� ��! "#$�'�� /0 )f+�8�� "#$�'�� ��g# h!+@ i �'6�� . "#$�'�� �� 3&#.\ jf+'� �� ��! "#$�% )R�# +4U<�

+6 )f+�8��:

Page 13: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�1*��IV .+���k' � .8-l� 34�+<'�D� �+�#$�'�� 13

30 ≥ n � 5 < np �* 5 < nq

O��+��� (4f+1�C� m�! _�k'>#� 34�+'�� 1 :

n ≥ 25 � p ≤ 0,1

� � : �=o> +4f��c� .c� �� �����0 ?�+'�� +` +'�0 3&>� 3�p P+'�10% . ��7# � �+<'�� =>� ������� (! ��

� 3!�o>6��+'*�+% �+%��.

P(X = 2) = C210 (0.1)² (0.9)

8 = 0.1937

q2 .�� ��! "#$�% �+<�' +! : 3<U�6� 3<4\ D� =>V λ )�� ��! ���+\ 3<U��:(

λ = µ = np = 10(0,1) = 1 P(2) = λ

x (e

–λ/x!) = 1

2 (e –

1 / 2 !) = 1/(2e) = 1,1839

4-1-8-1 ������ ���� ������ �������

O��'� �D+r 9 �<�'># _�4�� S�7� JO�+��� s���l� �48<'� i�� �<�'># 3U#�t O.'*� �� ��! "#$�% �u . � �+r 9 _�U��

3��4\��� +�4 ���4&�� 9� 3��c� O+�� ��� 38�&�6� �+b#�G� �� 3 ���� B+#�4*�� 9 Q8� �� ��! "#$�% _�k'># 3�4\���

(microbiologie) ��+v ��� 9 +#e'7&�� .@+7% 3&\�.6J. . .

9 �� ��! "#$�% _�k'># e4>'�� �+r 9 J+4f+1�0 O�G� 3&\�.�) �� �+<'�� �+>w J3�*�+'�� ������� �� (... +�<-

3�U�'� �f+>� 3 �� ��� x+E �7c! _�k'>#"�+Z'�D� .,��Z!" ���;� � �.'*# +� �e8- J�f+>6� �� z���� �M, )*� {

�� ��! "#$�% "&'# 3��|� �+7� /0 �f+!��� . ]�H 3U8� �� : .E��&�� �� J��$ O��� 9 �+R6� /0 �1% 2�� ��.f+R�� ��

2�� 2��� 3�4*%+5� �+6+76� �� J��$ O��� 9 }�#.! ='7� /0 ��U1# �#M�� �f+!��� �� J��$ O��� 9 B+�4� /0 �1%

J~*c'>� /0 �1% 2�� 34�+��' D� �D+w� �� J)*%+, �-.� /0 �1% ... �+Z'�D� ��*; 3#.Z� 9 .,��Z�� LM, ~<>%

"��;��� .,��Z! ."

� �1 . � 3 �� h�4!+4��# ('@+� ���� �� ��! "#$�% "&'# (�� �<�� 9 �<��� s��� �� .

(�� _�# 9 s+� } ��># D � �+<'�� � � ._�# 9 �\l� ~U� s+� �+<'�� � �:

P(X = 0) = λx (e

–λ/x!) = λ

0 (e

–λ/0!) => P(X = 0) = e

–λ = e

–2

P(X ≥ 1) = 1– P(0) = 1– [λ0 (e

–λ/0!)] => P(X ≥ 1) = 1 – e

–λ = 1 – e

–2

� �2 . 3�+>�� (! 3�4�� �#�! 3R� /0 �1% 2�� ���+4>�� �� � 3�!+ 34f+1�0 3 �� h�4!12:00 � 12:05 9 �,

i �'6�3 �� ��! "#$�% "&'# 3R�� /0 �1% 2�� ���+4>�� �� � 3 ����� h�4! +<- J���+4 . 1% � �+<'�� � � �4

(! ���+4 12:00� 12:05.

3�+>�� 9 ���+4>�� �� i �'� =2 X 3 = 6S��� :

= 1296 (e–6/24) = 54 (e

–6) P(X = 4) = 6

4 (e

–6/4!)

1 ]4!$�� .Z�1997 x J262 .

Page 14: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

)A+#.�� B+1�C� � �D+<'�D� /0 �E��– B�G� 1. 14

)!(!

!

xnx

nC x

n −=

4-1-9 ����

Oe`c�� 3�R�'6� �+�#$�'�� ��� q+���� N, �kU# �oU6� ���G� .

���+ 1� �� ,-( ��-��� .�/�� ��01�)� 2 �!�#�3

%!�#�3� 4�-��! 5 �67��(3 ��8�)� ��13� � ���9� �! :�3�� %;#�3�

�<�=3� >���?�

X~H(N, b, p)

z+ �0 ���! =o .

(*�; �� �+#.-.

X = {0, 1, 2, …, b}

b ≤ b + r = N

n

N

xn

r

x

b

C

CCxXP

−⋅== )(

n �� 3!�o>6� �+#.7��

N �� ��� )U7�� �+#.7U

b B+�4&�� �+#.7�� ��

r B�.<w� �+#.7�� z

µ = np

−−

=1

²N

nNnpqσ

p = b/N � q = r/N

������� ����

�� ���

� ������ ���

��� ������ �� ���

��� �� ���� ����

�� �!�� ��.

Xi = {0, 1, 2,…,Ni}

Σxi = n, ΣNi = N

P(X1=x1, X2=x2, …Xk=xk) =

n

N

xk

Nk

x

N

x

N

x

N

C

CCCC ⋅⋅⋅=

3

3

2

2

1

1

E[Xi] = n (Ni/N)

= npi

#������$

X~B(1, p)

% �&�� '$�() *�+

%,�!� (�./0. 1234. X = {0, 1}

P(X = 1) = p,

P(X = 0) = 1 – p = q µ = p, σ² = pq

�������

X~B(n, p)

5'/0.��� '0���6 7,�(

'83.9�� %,�!�) p

:$�6.(

X = {0, 1, 2, …, n}

P(X = x) = Cxn p

x qn–x

µ= np, σ² = npq

�����) ������

������(

X: 7,��/.�� � <

=8< >�?@8� '�AB��

� <r ��&�/��� ��

'0���$ 7,�( C.

X = {r, r +1, r +2,

…, +∞} P(X = x) = Cr–1

x–1 pr q

x–r µ = r/p ,

σ² = rq/p²

����

X: 7,��/.�� � <

=8< >�?@8� '�AB��

C >�D� E����/���

%,�!� '0���$ 7,�(.

X = {1, 2, …, +∞} P(X = x) = qx–1

p

µ = 1/p,

σ² = q/p²

�� ��� �������

�� A�.8� F0�GH4 �I

'�$�( =�8< �������

J��.��� %� H.� %,�!� . ∑∑

=

=

≤≤∀

=

=

NNi

nxi

Nixii

k

i

k

i

1

1 ,

,0,

==== ),...,,( 2211 kk xXxXxXP

kx

k

xx

k

pppxxx

n...

!...!!

!21

21

21

E(Xk) = npk

V(Xk) = npkqk

�����

X~P(λ) λ > 0

X : ���� � ��<

%���.K C L� ��&D�

��A 5 �� &��� � <

'�@�� C '��.�� ��

5M�N...

X ={0, 1, 2, …

+∞}

!)(

x

exXP

x λλ −

== P(X = 0) = e

–λ

P(X ≥ 1) = 1 – e–λ

E(x) = V(x) = λ

Page 15: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

1?��IV .��� O.�� ���D� '0��G.&P� ��H A�.�� 15

4-2 ������� ���� ��������� ���� �������

������� ����� D. Normale ou D. de Laplace-Gausse

������� �� Distribution exponentielle

����� ���� Distribution gamma

����� ���� Distribution bêta

4-2-1 ��� �� �� �� ������ �� ������� 1

H �I��Q�� �� %*2� '29 =8< R2S�4 T��?U �� V� �W X� O.�P� 'H��� '0��G.&P� ��H A�.�� FI� �� �H02S�� � A�.��

' ��?.YP�� '0<�G.�P�� '0H02S�� . ,�� C � ,�W� �� ��� �� 'Z� 'K ?��$ ��.U� �8K %*2� '29 � ��� F���[� ��9Y� �� \

'��3�� ,�?Y �� �� '$,�3� '29� '��3�� >��[ �� '808Y '29� 5�� ]��.� �� '2 �Y �^�� .M�A�_� '29���$ �`I 1��� . ��8�� ���

�a 5>�G.&P� V0G9 M� �!b �� �� 5'29��� 1�b c`�� d@�W� M�!� ��/.� ��H.� F8H� C ���02�� e`I ���� 1!�

�H02S�� � A�.�� ��� �I� ]��.W� >�& 16�G.� )F���� �Q�(:

4-2-1-1 ������� ��

��� ��� ���� ������� ���� ������ �� � ���� :

∞<<−∞

−−

=

x

x

exf

2

2/1

2

1)(

σµ

πσ

������ �� �)������ �� � (���� ������������� �� � "# $%&�# '���(�

1 �%� )����� *+�,�(-%.� )���.� / )�0��1.� )�2� 34,5 (Pière Simon de Laplace 1749-1827) 3�6 7��8 / (Carl Freidrich

Gauss 1777-1855))�-�9� :; <=�� "# >0 /? "# �-�� "�:� . )�+A, �B� ���� ������ ��(� C��D? "# �#?(Pearson) E 1893 .%F-? G,�/ H�

(1997) I J 329 .

���4� 2��� �� �� ����� ��

f(x)

x µ

Page 16: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�2��%� K�LMN / O5���M5 PQ >R #– K1T 1. 16

+=

2

²²exp)(

µµ

tttM x

∫ ∞−

−−

=≤=x

v

dvexXPxF

2

2/1

2

1)()( σ

µ

πσ

UMµ/ σ V ��� W�D �X YH��� Z %[5 / �6��� . ���-/ X ~ N(µ, σ)

4-2-1-2 ������� ������� �������

��H��� $A\�� ] ^�(�Z = (X – µ)/σO5���M4� �0�LMN _/ T "����� :

P(0 ≤ Z ≤ z) /?F(z) = P(Z ≤ z)J

�� � �,���, `�(� UMf/ Fa ��5 , M / _�BZ "# 5 , 3a >;�x/ µ/ σ ��� ��� G�b/:

∞<<∞−= − zzf ez 2/²

2

1)(

π

∫ ∞−−

=≤=z u

duezZPzF 2

²

2

1)()(

π c�A\�� c, ��d �64�� PQ %F���, X/ Z J )e�Z ����� f.- ��� X���� ������ Y? .-/)? *��:

E(Z) = 0, V(Z) = 1

���� :Z ~ N(0, 1) _�9-/ :ZYH��� ���� ������ ��� .

4-2-1-3 ������� ����� ����

]/1��� $� ��� �� � $A\�� ���� ������ :

5 ��# g��� h-? ���� ������ i0�LR "#J`��.�� >#��# g��� UM J����.# 5/ �, # 5 1 = 3)4(α �������

O����� _ �D5 H��# ���� .

h-? �k�? ���� ������ i0�LR "# ��6��� ��9� _�M >l���#03

33 ==

σµ

α

���# >l�mX n+��� _�M)-?� %FC�-�? *+% ( ���� >l�m o��Z _�M 0 $A\���� ��6 Y? >p? "# h-? o�� �q J

��H��� z > 0:

1 `��.�� >#��# �\r �(M α4 = µ4 / σ

4 �\L� ] ^�(� "� �(���, �#? Jα4 = (µ4 / σ4) - 3 Y/�(� ���� ������� `��.�� >#���� J0 .

Page 17: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

>L.� IV .�# ^�+ %��8 �����M5 O������� 17

P(0 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 0) = P(-z ≤ Z ≤ z) / 2

P(-∞ ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ ∞) = P(-z ≤ Z ≤ z)/2

P(Z ≤ -z) = 1– P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z) ��H��� $A\�� ] ^�+ Z O5���M5 s�(t `u )O�M�(� (�r�R �B�#/ ���� vw :

P(-σ ≤ X ≤ σ) = P(-σ ≤ Z ≤ σ) = 0.6837,

P(-2σ ≤ X ≤ 2σ) = P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544,

P(-3σ ≤ X ≤ 3σ) = P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.

:;�p %� "# A��� E �; x y� �0�LMN _/ T E $%���# �;Az/ *9� C.

���� vw $A� �M�(# )? {M5 J�2��%� �6��� s%9, O �%.� 1�%� �k�? ���� ������ i0�LR "#) *+%� %F-?

C�-� ( _�| E $H�L}(-3 σ ≤ X ≤ 3 σ)� O �%.� �(- )? o�� �# J p ��~2 _�| :; "D �%� y:

P(X ≤ -3σ) = P(X ≥ 3σ) = (1 – 0.9973) / 2 = 0.0027.

P(X ≤ -4σ) = P(X ≥ 4σ) ≅ 0 , P(X ≤ 4σ) = P(X ≥ -4σ) ≅ 1

-z 0 z Z

P(-z ≤ Z ≤ 0) P(0 ≤ Z ≤ z)

P(-z ≤ Z ≤ z)

P(-∞ ≤ Z ≤ z) P(-z ≤ Z ≤ ∞)

P(Z ≥ z) P(Z ≤ -z)

�4�3 � ���� � ���� � � ���� ������

Page 18: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�2��%� K�LMN / O5���M5 PQ >R #– K1T 1. 18

µ - 4σ µ - 3σ µ - 2σ µ -1σ µ µ +1σ µ + 2σ µ + 3σ µ + 4σ

2σ = 68.26%

4σ = 95.44%

6σ = 99.73%

���� : �0�LM5 _/ T _����+�,1 ( �(M? :P(0 ≤ Z ≤ z) UM z =1, 2, 3

2( �(M? P(-z ≤ Z ≤ z) _ *9� f.- >p? "# z.

1 (0.3413 J 0.47725 J 0.49865

2 (0.6827 J0.9545 J0.9973

4-2-1-4 ������� ������ ������� ����� ��� ������

���M En / $A� p "# ��%6 Az 0���� ������� p ��%9�� �0���� ������ H��D "�� . %��? '0��- )������� ����/

v-�� ���� �,H�9�n%��? $A� .���-/:

npq

npxzdzebzaP

b

a

z

n

−==≤≤ ∫ −

∞→ ,2

1)(lim 2/²

π )�� ���� ������ "# �0���� ������ sH�9� �%(�/p "# ��%6 0.5.

� !"�#� $�%�& :

� �# �D ��04# �0���� ������ PQ ��%9�� g��- �#��Dnp / nq # g�? �X4� "0.5.

0�LM5 ��, ] ^�(� �����, "# >B+? �Bk�, �%R? D �6 )�1 �B�# :

npq9 n 20, np 10, nq 10

1 G,�/ H� %F-?1997 . I262 .

�4�4 '(�)� �����*� +, - ./�#� 01��

23(45#�

Page 19: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

>L.� IV .�# ^�+ %��8 �����M5 O������� 19

4-2-1-5 ������ ���� ������� ����� ��� ������

�# �D λ→ ∞ ���-/ �9,���# '0��- )���� )�+ �,/ ���� c������ )e�:

∫−

∞→=

−≤

b

a

z

dzebx

aP 2

²

2

1lim

πλ

λλ

��%9�� $ D�6:

��%9�� )? g��- �#��D� ������ PQ )�+ �, ������ "# ��� *04# �� λ ≥ 15

c0�LMN "# � D ���� ���1 ��%9��� �%=� λ ≥ 10

�4�� O������� '0��- sH�9�� )? "��/��# :$H��:� �/%=� �(M ���� / )�+ �, J�0���� .

4-2-2 ���� �����

����� ��� � ��� ����� � ���� ������� ������ �� ��� .��" ��� #�$ �� ��� %�&'�( �)�*� ��� %��+�� ,�-. �

��� %��/ 0 1' ��� %�2. �3"�� 4�3&'���5� 6 7�18� �-9 :��� ;�<�=�... ������ �9��� �� ��� � ���� �������

��>)� ?�;@�� ��A ��� �BC��(atomes radioactives) �DE 6-� F�� �<2 �� � G���� +�� HA %#*&�' :I �-9

� J�� �C�K� L1=. ��)� :ME %������� �@( �-�� �� N��AI O�9P :�Q �$ME %:����� �������� �3.�-� �9R ���� ����� �

:ME :����� ������� �-�� �� ���" �Q3� ST ������� 7�JP :�Q �$T %#�$ 6 7�BCQ U���� ������� �-�' VW�A O�9P V�

:��� 7�JP V� �X���� ��)�"I "���� ������� �-�' Z��)� :�����P .���� :�=��� �[J \��X��� �X �9R��� ]@( V-�' .

4-2-2-1 ������� �� ������ �������� ������ ������ ��� �� ���� .

7��^ :����� ����' �-�' V�� �C�� � �C��� N���A �� :I ���;� _X�λ ���� N��A .

�A �`�� :I 7�C�A� �aPI �9�� 6 N�)3BQI PI N��A ( � ���t ���.

P(X ≥ 1) = 1 – e–λt P(X ≥ 1) =1– P(0) =1– [λ

0t . e

–λt/0!] =>

d ��3X�T ��� � )����� (VW��A V� �X��� :�*� :$T f(t) P %VW��A V� ��� � �E�B*�� ����F(t) = P(T ≤ t) ����

7 �������T .

e�2X�� 7�C�AP :I VW��A V� ����� :�*� ����9I PI:

�X���P = P(T ≤ t = 1) :$T :

)1 ............ (P = F(t = 1)

��� g3"I �A�= ��I :PV�� ��� � N��A �9�� 6 �`�� :I 7�C�Ah 7���� �( :

)2( .......... P = P(X ≥ 1) = 1 – e–λt

��)1 (P)2 ( :I i�X��=) 3............ ( tλ–

e – 1 = )t(F

jX� P f(t) = F(t)’ = (1 – e –λt)’

���λ e –λt f(t) =

1 j�&= �a3)� .

Page 20: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�k��3�� l�1Am� P ?h�C�Ah� ST �"��– l�o� 1. 20

�� �9 :P ����� � ;3*�� �� ����> N�A :�Q �$T:����� ����' pE:

( )!

)(

xxp e

x λτ

τλτ

=

����� :METZ���� ������� �-�� VW��A V� :

>=

0,0

0,)(

τ

τλτ

λτef

HAλea�� �A �� .

������� �@( 6C��::����� ������ j�9R�� e����� ���� ������� �q�I 6C��P ���� ������� .

4-2-2-2 ���� ������ �����

ttMMed x −=<===λλ

µµλσλµ )(,)2ln(,²/1²,/1

(+=� �k��3�� �9���� 6 � � �CQ ���� ����� � ���-��� P :

[ ] ( )[ ] .1

)(1

00)(

.)(,.)(

.)(0)()(

00

00

0

00

0

λλλ

λλ

λ

λλλ

λλλ

λ

=⇒−

−=

−+=−−−=−=

−=⇒==⇒==

+==

∫∫

∫∫

∫∫

∞+∞−

−∞−∞+∞

−−∞+∞+ −

+∞ −+∞

∞−

XEe

dxeexvduuvXE

evdxedvdxduxuudvdxex

dxexdxxxfXE

xxx

xxx

x

[ ] ( )[ ]

11

²

2)²(²)()(

2)(220)2(²²)(

.)(,2².)²(

)²(0)(²²)(

)²(²)()(

2

000

00

00

0

λλλ

λλ

λλ

λ

λλλ

λλλ

λ

=

−=−=

==+=−−−=−=

−=⇒==⇒==

+==

−=

∫∫∫

∫∫

∫∫

∞+ −∞+ −∞−∞+∞

−−∞+∞+ −

∞+ −∞+

∞−

XEXEXV

XEdxxedxxeexvduuvXE

evdxedvxdxduxuudvdxex

dxexdxxfxXE

XEXEXV

xxx

xxx

x

��� 4�5 ���� �� �� �����

��� ������ ����� ������� ��� !��

��"#��� ��$�� %&'( ) *+ ,����� -..

Page 21: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�����IV .���� � ����� ��������� ��������� 21

��� ��� � �� ������� ��������� ����� �� !"#$ ��� :

>−=

==≤

−=+−=

−=+==>

∞−

−−−

∞−∞−

∫∫∫

0,0

0,1)(

00)(:0

110)()(:00

0

0

x

xexF

duxFx

eee

dueduduufxFx

x

x

xx

xu

xu

x

λ

λλλ

λ

λλλ

4-2-3 ���� ����

&'() �$)�* +���, -���� ��. ��������� ! �� �) � ��/ 01�2 ���3) ��( �����, 45� &6�� ������, ���, ��

-����7� 8�( . ���������3 ��9�(1�� �:�; -������� !�<" ='$F >t?) >2 . �� �"��@�� A�3 ������ ��( ����, B��5�

�C�� D)�E FG '�H6��) �H�� ����,1 .

4-2-3-1 ������� ��

�J��� ���6 F$�� �.K ��( ����, �L�, �M; ��N��O &PQ� ! R�S$��� ��� �9:

>=

−−

0,0

0,)(

/1

x

xecxxf

x βα

T��

( )0,0,)(,

10

1 >>=ΓΓ

= ∫∞ −− βαα

αβα

αdxexc x

�U�� �

0,0,

0,0

0,)()(

/1

>>

>Γ=

−−

βααβ α

βα

x

xex

xf

x

4�V$) Γ(α, β) X ~

1 �@$; : >0)�HW ) 0������W1983> X 158.

Page 22: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

�Y����� Z���[� ) �������� \K �H– Z+^� 1. 22

4-2-3-2 ��� ����� �����

µ = α β , σ² = α β², M(t) = (1 – βt) –α

�_; !α >1:

Γ(α) = (α – 1)Γ(α – 1) ���� ` )α ∈ N :

Γ(α) = (α – 1)! , Γ(1/2) = √π !�; ��( ����, ! �a�H ���� �" PH�� �<9J >� �� �������3 �(1 ��( ������α = 1? ����, 0; ��� > 2 �b��� �"

�7 ��( ����, ! �a�Hα = ν/2 !�;ν) ��c 4_� ���Ld 6 β = 2.

,� ..��� � 45�; :

( ) ( ) ( ).5.2,5.4,7,,,0 2/10

6

0

4 ΓΓΓ∫∫∫∞

−∞ −∞ −

dxx

edxexdtet

xxt

( ) ==Γ===Γ= ∫∫∞ −∞ − ,720!67,24!4)5(0

6

0

4 dxexdtet xt( ) π=Γ== ∫∫∞ −−∞ −

2/1,7200

2/1

0 2/1dxexdx

x

e xx

( ) ( ) ( ) ( )( ) 5.1)5.0(5.1)5.2(,720!67

5.2)5.2(5.35.35.315.35.4

=Γ=Γ==Γ

Γ=Γ=+Γ=Γ ) ( )π

π)5.0)(5.1)(5.2(5.35.0)5.0)(5.1)(5.2(5.35.2 =Γ=

( ) π5.1)5.0(5.1)5.2(,720!67 =Γ=Γ==Γ ����2 .�� �� �������� �������� �������� ����X� Y� Z �� ��! "#��� :

( )

>=

>Γ=

−−

,

0,0

0,)6(4)(,

0,0

0,52)( 4

4/3

5

2/4

f

y

yey

yf

x

xex

xf

yx

>=

0,0

0,6)(,

0

02

z

zez

zf

z

,20²)2(5²²,10)2(5 ====== xx αβσαβµ

��� 4�6���� �� � ������� ����

f(x)

0 x

Page 23: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

%&'��IV .���()��� #�!*� ������+� ����,���� 23

3²,3)1(3,64²)4(4²,16)4(4,20 ======= zzyy σµσµ

4-2-4 ���� �����

������� �� �� � �� ��� ������ ���� ����� �����)���� ��� ( ����� "�#$ %&'�#� (�)t² *F +,�-.�� *+,�-.�� ������� *

�/�0� 1��#��1 3����� 4�� 5��6�7� 8�� 9�.��� %&'�#�� * :�0� 1;< *5��� 7� � =����� > #-? �� > #� 9.� * .

4-2-4-1 ������� ��

+�� ��? �A�B�.? >��C D��? �E< ���� ����� � �� �F >�,��GH ��6�� IH J��:

( )( ) )0,(

0

10,

1

)(

11

>

<<

−=

−−

βαβαβ

βα

ailleurs

xxx

xf

(�)B(α, β)���� >��&�� +/ : 0,,)1(),(1

0

11 >−= ∫ −− βαβα βαduuuB

1��� � B(α, β) X ~

���4� 7 � �� �� �������� ����� �� ��� � α �β . ��� !" #$ �% &�� '(�&��" )*+x = 0.5

4-2-4-2 �� ����� ���������� �����

( ) ( )1²²,

+++=

+=

βαβααβ

σβα

αα

��� ���� ,��"-�" , ��.��":

1 L��#�� �M�7� .

0 0,5 1 X

f(x)

1

α = 2, β = 4

α = 4, β = 2

α = 1/2, β = 1/2

Page 24: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

+N����� O�P)Q� � 5R���)R� S< 9T&�– O�V� 1. 24

)(

)()(),(

βαβα

βα+ΓΓΓ

=B

J�.� .+�� �� 1#) :

)()1,(),,1(),2,(),2/1,2/1(),4,3( NnnBnBnBBB ∈

( )( )BB ,

)2/1()2/1()2/1,2/1(,

60

1

120

2

)!17(

)!14()!13()4,3( =

+===

−−= π

ππ

nn

nnB ,

)!1(

1

)!12(

!1)!1()2,(

+=

+−

=

nn

nnB

nnn

n

n

nnB

1

!

1)!1()1,(,

1

)!1(

)!1(

!

)!1(1),1( =

−==

−−

=−

=

J�.�2 .+�� �� 1#) : ∫∫ −−1

0

1

0

34 )1(,)1( dxxxdxxx,)2,3(B

12/1)]4(3/[1)]1(/[1)2,3( ==+= nnB

( ),

280

1

!8

!3!4

)45(

)4(5)4,5()1(

1

0

34 ==+ΓΓΓ

==−∫ Bdxxx

6/1!3

!1!1)2,2()1(

1

0===−∫ Bdxxx

>WX��� J��������)(

)()(),(

βαβα

βα+ΓΓΓ

=B

&Y 1��� ���� ������� >B�.��� >��C Z �[�:

( ) ( )

<<−ΓΓ+Γ

=−−

ailleurs

xxxxf

,0

10,1)()()(

11 βα

βαβα

��&-H ���W ����� I� >\�T >��) �/ +�]� �������α = 1 , β = 1/λ .

^ �������2 ��&-H ���W ����� I� >\�T >��) �/ α = υ/2 , β = 2 (�) υ���_ 1M�� +�� ` C&H .

J�.�3 .��� � �� =����� a���Q� > #� D��? �E< *I�� ���� =����� a���b� >�W��7� > #-�� 1#) c���� ����:

<<−

=sinon,0

10,)1(6)(

5xx

xf

�-�&� L��#�� J�.7� I� :).6,1(/16/1),1( BnnB =⇒=

�N��α � β Z����#� 1� 6 Z &Y *c����� d�H B(1, 6) X ~

�-�� :( ).20/1

)5(16

4

)1²(²,2/1 ==

+++==

+=

βαβααβ

σβα

αµ

J�.�4 .c���� ������� � �� >#�e� f g� 7� a���Q� > #� .>�W��7� > #-�� 1#) � Z J���)�� &�� > #-��IH35% .

%605/323

3)2,3(~)2,3(/1124*312

sinon,0

10),1²(12)(

==+

=+

=⇒⇒=⇒=

<<−

=

BXB

xxxxf

βαα

µ

.)1²(12)35.0(1

35,0−=> ∫ dxxxXP

Page 25: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

9Ph��IV .���&'��� �.?]� >�����)R� 5�������� 25

I���

1²: −== xuetdxxvsoit

3125.0²3

)1(12)35.0(11

35,0

1

35,0

3

=

+

−=>⇒ ∫ dxx

xxXPx

4-2-5 ����

����� �������� � ����� ������� ��������� ��������� � �!" ��#�.

���� 2������ � ��� ������ �������� �� ����

������ � � !�� ���" #���$��� �%��� ������ �&�'(

)�*$+�� ������

,-�*���

X~N(0, 1)

Med = Mod = µ = 0, σ² = 1

P(Z ≤ -z) = P(Z ≥ z) P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6826, P(-2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544, P(-3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9973.

)�� ������

>=

0,0

0,)(

x

xexf

xλλ µ = 1/λ, σ² = 1/ λ²

F(x) = 1– e–λx

Med < µ, P(X ≤ µ) = 0.63

����.���%

X~ Γ(α,β) 0,0

0,)()(

/1

>Γ=

−−

αβ α

βα

x

xex

xf

x

α > 0, β > 0

µ = α β, σ² = α β²

0,)(0

1 >=Γ ∫∞ −− αα α dtet t

�*/ ����.

B(α, β) X ~

><<

−=

−−

;<=>?

xB

xx

xf

,0

0,,10,),(

)1(

)(

11

βαβα

βα

µ( ) ( )1²

²,+++

=+

=βαβα

αβσ

βαα

α

duuuB ∫ −− −=1

0

11 )1(),( βαβα

)(

)()(),(

βαβα

βα+ΓΓΓ

=B

α > 0, β > 0 B(1, n) = B(n, 1) = 1/n

(n>0, n∈ )

∞<<∞−= − zzf ez 2/²

2

1)(

π

Page 26: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

%&����� '�!�(� � �������� )* +"�– '-� 1. 26

4-2-6 ����

���� ���� � � �� ����� ���� �������

�� ��.�/ ���� �� +����� % �� 0������ 1���� ���2 �2�3�) 56�7�8� �� 5��" �� (... :�� �;* �<= ��� >?�@

1/λ 1A�3�#� 0BC �� (vieillissement) :D ED 6���� � ������ �� �7F �? ��.�7�� ����T ��t∆ =3G 0H�I

�t∆ � �7J#�� 0H�I �T K �LD M�N�I �+HO P� ��.�7�� �Q���A R�� ���? �@S .

������ ����� : � ��������� �G��U�� ���A V��W� � +XD P�T ������ ���F� P� Y#ZW8 �[ �ZHI��� ���\]�� � . PU��P(t)

�7J#�� ���^ )* _�W�� �D ��Z3�� ���� ������t ��`� a bcO�I 12 ������ �. �� 5(t, t1) d�� t1 = t + ∆t . �'�W?

�G����� �2�3�� e#2 :P(B/A) = P(AB)/P(A)f :

P(t1/t) = P(t1)/P(t)

g -��W� h�"D �QX P�Q(t, t1) 56��i�� ��`� �j" +Z2 k�O� ������

Q(t, t1) = 1 – P(t, t1) = 1 – P(t1)/P(t) = [P(t) – P(t1)]/P(t) = [P(t) – P(t + ∆t)]/P(t) = [P(t) – P(t + ∆t)]∆t/P(t)∆t

:D l#�8 : P'(t) = lim∆t�0 [P(t + ∆t) – P(t)]/∆t

bW�� Q(t, t1) = [-P'(t)/P(t)] ∆t + ο(∆t)

0&�? � -P'(t)/P(t) = λ(t) ���� a f ∆t�0

Q(t, t1) ≈ λ(t) ∆t

λ(t) ���c�� �j" mO��I n ��ZO :D ������ �. (0, t) op� ��Z2�� ��� b�#2 Y#Z� � �#H3�� �7J#�� a mO��I (taux

de défaillance instantané).q�U8� :

λ(t)dt = P(TBF < t + dt | TBF > t)

P�DTBF �7J#�� iW� +Z2 :�A ��Z3�� +�2 �� +�r (t = 0) g �6�!�"� �< -��W � 5T.

0 t ∆t t1

Page 27: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

+!c��IV .����� � ����� ��������� ��������� 27

�7J#�� +HO +Z2 k�O� 12 ������t� -��� g bv(t) ��Z3#� ������� ���A �D ���F� ���A +�s � ) -���� 1���� �8���D�

R(t) .(

������ ���� ���� ��� . P�-�� P2 �jZ���� �j3� � ���G a ED ��Z2�� ��� 6��3� � ���� a t :�U� λ(t) = λ

��?�@ . �7F ���^ )* ��Z3�� ���� ������tD k�O� 12 ������ bI�; �. ���&�c�� +/ a� 5���c�� ti. �j" +Z2 E

��Z2�� A2 :�U� P�-�� P2 �<j3� �� ��Z2�� ��� ��H@ P2 �3?����) g b� -��W�X ( ���c�� at :� ��? 0���I 0H��

g

P(X = 0) = (λt)0 e-λt /0! = e

-λt = v(t)

"�#4$ 8 ������ ���� ���� ��� % �&���'� ���(v(t) = P(T > t) = e-λt

λ ��Z2�� ��� �D P�� ��� a ��Z2�� A2 = ��� (taux de défaillance).

� ��������� ����� V��W� � PUs ����-�� uc8 P�T a 03I R�� ��Z2�� A2 +�r ��X vw�� 0&�? ��Z3�� ���� ��

P�-�� ���(0, t):

= P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – e-λt F(t) = P(T ≤ t)

�vw��#� �G��U�� ���A e#2 +!x 0������ ���A y�3�\�?T :

f(t) = F'(t) = λ e-λt (t > 0)

% �� 0������ ���A %.� .

• %. ��Z3�� ���F ��O���� ���

λ

λλ

λ

λ

/1)(

/1)()(

00

00

∫∫

∫∫∞ −∞

∞ −∞

===

====

dtedttv

dtetdtttftEMTTF

t

t

��Z2�� ��� g�#3� �. � .

• �vwz ��W�� ���G a +Z��� ������dt��Z3� ������ �. �? +Z��I n λdt.

)* +� ,��(temps de éparation) . ��#� ��������� �G��U�� ���A V��W� � +�#J��� a �{�; �3��Z�� 1���8 :D PUs

�#Z�� ��ZO |jz* ��#�2 �QO�w��I R��TR 6��3�} � ���� a |jz(� ���A )* +!W� �3?���� ���Z~� uc8 0H�8 d�� 5

|jz(� ���:

f(t) = µ e-µt (t > 0)

Page 28: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

%&����� '�!�(� � �������� )* +"�– '-� 1. 28

d��µP�� ��� a ���jz(� A2 = ��� ED |jz(� ��� .

• |jz(� �� = ���MTTR = 1/µ

• ��-.�� ���� )* +Z��� ���� P� ��3�8�� ������)��#!I ( �� adt E���� µdt.

g ����Q� ���F �8-�6 �;* 1 g +Z��� ���F � 03�8�� ������� :�UI +� ��� ��:

:�U� 6��3� �� ���� a� 5��G��6�� �#�# +�s l ��� :P'0(t) = P'1(t) = 0 � λP0(t) = µP1(t)

d��P0(t) � ��-.�� ���� ������ P1(t)+Z��� ���� ������ .

6��3� �� ��\ +& a :�UI :D ������ ED ��-.�� �\]� �. �"� lQ� �\]� e#2 +!J�8 ���6�� ���78 1��� �? �

�� �7F a �F�z ��Z3��A(t) = A �� t���L � �� )* ��]I :

MTTRMTTF

MTTRA

+=

+=

µλµ

�.6�3� ��-.�X :�G ����� +�H e#299% +��I ��ZO �D 1�7W� 24/24 ��I 1���� a �2� 72� �Q��� a +Z�I ��

��W�?15 P2 +3I � ��-.�X q#Z�� 1�7W�� uwW� �Q��� a +Z�I �3�OA %99.965 .

j�� ������� ���78 a % �� 0������ 1���8(théorie de la fiabilité) >8�� �;* ���� �Q#Z�I +HO ��� +�2 �� +�����

������� ucW? +Z�#� ����I ���� �s3�� ��p�. �#���� %. ��p� ��2 P� �W��� �#��� a �A�2 ����� �i. Y3J��

1A�3��� ���G � yjZ8�� ���G �? �Z ���� . _�W�� +�w��� )��� ���c�� a(période de rodage) +Z���� ������ :�U�

��Z3�� �D ��p� 0�W!I ��#�2 a �W��� � �38 qH�? �vH�) +#" 5������ �A��� a +#" 5q������ a(... �Z~� �i. PU� 5

�2��? �'�B��)MJW�� �78D ( %��HZ�� �jw� �� ���G e2I� ��8���� �#���� �S��(période d'exploitation normale)

��3��� ��Z2�� ��� :�U� d��(t) = λ)λ( . �#3���� ��H�8 �6A�8 ��Z2�� :�UI d�� 6��3� �� P� ���c�� ti. �?

��2 P2 ��p� )P�-�� P2 � P�� ( 1A�3��� �#��� �SI(période de vieillissement) ���-�� ��Z2�� ��� :�U� d��

=��� ���B� �Q&��I qH�?� 1��� �� qH�? ��p� �j�.� ��Z2�� ti. qH :�U� �)5�?��6 5�6��� .(... 0������

�� 0���I �. ��� �j��� +����� m!� Ei�� ������� +H(Weibull)%#� ��� ����� :

)()(1)(,1)(

,)/11²()/21(

²,)/11(

0,0

0,1)(

/2/1

tvatetTPatetFbabtt

a

bbMTTF

a

b

t

tatebabttf

bb

bb

b

=−=>⇒−−=−=

+Γ−+Γ==

+Γ=

>−=

λ

σµ

Page 29: yassinesegc.e-monsite.comyassinesegc.e-monsite.com/medias/files/ch4.pdf · 2012-07-29 · 4 ˝ ˙ ˇˆ g ˙4 kˇ fg & ˙ h 7>( 38 3i ##˝ j '4 kˇ % & ˙, l ˙ mn< ˆ op #b)

+!c��IV .����� � ����� ��������� ��������� 29

bH��� l�� _�W�� :� )��� �#���� qZ�I �v�� ���� a� 5����� ���c�� �L� �z�" ���D ��; eZ ��� �#���� ���I

D � �3W�� �D '�Z"�� ��J!�� ����W�� :D ��� K0�H�� ��#�2 +HO ED ���W�� �� ]�� +HO P� �c����� ����W�� �i� �

��X���WU��� 6�ZI �H���� _�W�� ��H� � l�� :D +HO 1A�3��� ���G )* +!I �� �6A�8 ��8���U�(� .

P�D +H�� 0���I P� �z�" ���� �. % �� 0������b = 18���� �#���� a �i. Y3J�� � 5��?�@ ��Z2�� ��� :�U� P�D ��

g -�r )��� �#����b < 1 g -�r �v"�� �#���� � b >1 0O���� 5 µ ��� ��Z2�� �#U�� ���� a t6�H�2� PUs

�Z ����)��O���� (����� +Z��� +HO(Mean Time To First Failure) 5 λ(t) = ��� )��� ( ��� a ��Z2�� A2

� P�-��v(t) ��O�@��� ���A )������� �B�D e��I ( (fonction de la fiabilité) +���� 6���� � ������ %.� ) A�X� 12

��Z2D ( �? �� )*t.

���G��� ��� mz�� ��G��^�s�� a �B�D 1���� :D PUs +H�� 0���I(mortalité) )* �G�&(�? 5�c#���� 6��2�� a

mz�� ���� b���� � A2 �? P� �vw�� �wz� ������ :�8�3� �D 5�j�.j� �F� :�� ����3�n ��vw��� P�

�� 0������ �#@���� �#3����n� ∞.

"�#4$9 .���� ���� �*� � �&���'� -�.�

λ(t) ��O�@���

+Z���� ���

0 t

I II III