xa.yimg.comxa.yimg.com/kq/groups/25014323/535032020/name/modul dan lks mat... · Cermat : Modul dan...

Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII


CERMAT Cerdas Matematika

MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI

TINGKAT XII SEMESTER GASAL

Disusun oleh : Dirwanto

Nama Siswa : …………………………………..

N I S : …………………………………..

Tingkat : …………………………………..


KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya

penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XII semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri.

Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk

membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Dan juga Modul dan LKS ini dapat dijadikan sebagai alat untuk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar.

Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun

2006 yang isinya mencakup : * Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal * Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian * Ulangan Umum Semester Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari

sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini.

Jakarta, Mei 2009 Penyusun


STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI

TINGKAT XII KURIKULUM 2006

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

16. Menggunakan konsep

limit fungsi dan turunan

fungsi dalam pemecahan

masalah

16. 1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di

suatu titik dan di tak hingga

16. 2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk

menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan

trigonometri

16. 3 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam

perhitungan turunan fungsi

16. 4 Menggunakan turunan untuk menentukan

karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah

16. 5 Menyelesaikan model matematika dari masalah

yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan

penafsirannya

17. Menggunakan konsep

integral dalam pemecahan

masalah

17. 1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral

tentu

17. 2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu

dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang

sederhana

17. 3 Menggunakan integral untuk menghitung luas

daerah di bawah kurva dan volum benda putar


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …………………………………………………………………. 1

KATA PENGANTAR ……………………………………………………………….. 2

PETA KOMPETENSI ………………………………………………………………. 3

DAFTAR ISI ………………………………………………………………………..... 4

KOMPETENSI 1 6LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI …………………………… 5

16.1.Pengertian limit fungsi...........................…………………… 5

16.2. Limit fungsi aljabar da n trigonometri ................................... 7

1. Limit Fungsi Aljabar ................................................. ..... 7

2. Limit Fungsi Trigonometri ......................................... ..... 11

16.3. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri .............................. 19

1. Turunan Fungsi Aljabar ............................................. ..... 19

2. Turunan Fungsi Trigonometri .......................................... 27

16.4. Fungsi naik, fungsi turun, dan stationer ................................ 30

1. Fungsi naik, turun, dan stationer ........................................ 30

2. Persamaan garis singgung .................................................. 32

3. Teorema L'Hospital ..................................................... ...... 33

16.5. Pemakaian turunan ........................................................ ...... 35

1. Hubungan antara jarak, kecepatan dan percepatan ........... 35

2. Maksimum dan Minimum .................................................. 36

KOMPETENSI 17INTEGRAL ............................................………………………. 40

17.1.Integral tak tentu dan integral tertentu ..........……………… 40

1. Integral Tak Tentu ....... .................................................... 40

2. Integral Tertentu ............................................................... 49

17.2.Integral substitusi dan intergal parsial ...................………… 54

1. Integral Substitusi ...................................................... ..... 54

2. Integral Parsial .......................................................... .... 57

17.3. Pemakaian integral ................................................................. 59

1. Luas Daerah ....................................................................... 59

2. Volume Benda Putar .......................................................... 67

LATIHAN ULANGAN UMUM ……………………………………………………… 74

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 78


KOMPETENSI 16 LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI

LIMIT AND DERIVATIVE FUNCTION Standar Kompetensi : 16. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan

fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : 16.1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu

titik dan di tak hingga 16.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung

bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri 16.3. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam

perhitungan turunan fungsi 16.4. Menggunakan turunan untuk menentukan

karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 16.5. Menyelesa ikan model matematika dari masalah

yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

Alokasi Waktu : 36 jam pelajaran Dilaksanakan : Pada minggu ke 1 s.d. ke 9 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar limit dan turunan fungsi pada permasalahan, baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. 16.1. Pengertian Limit Fungsi 16.1. Understanding of Limit Function Indikator : 1. Arti limit fungsi di satu titik dijelaskan melalui perhitungan nilai-nilai

disekitar titik tersebut 2. Arti limit fungsi di tak hingga dijelaskan melalui grafik dan

perhitungan. Tujuan : Siswa dapat : 1. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi disuatu titik melalui

perhitungan 2. Menjelaskan pengertian tentang limit fungsi ta k terhingga 5. Menerapkan konsep limit fungsi dalam menyelesaikan masalah

program keahlian Uraian Materi : Limit dapat digunakan unuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik tertentu terhadap fungsi tersebut.

Kita ambil contoh untuk fungsi f (x) = 3

152x 2

−−+

xx , untuk x = 3, hasilnya adalah bilangan

yang tak terdefinisikan yaitu : f (3) = 33

15)3(2)3( 2

−−+ =

00 . Sehingga tidak dapat mencari

nilai fungsi untuk x tepat sama dengan 3, ma lainkan mendekati 3.

Nilai limit fungsi f (x) untuk x mendekati 3 ditulis : 3 x

15 2x x lim2

3 x −−+

→.


Pendekatan suatu bilangan ada dua arah, yaitu arah dari bilangan yang lebih kecil disebut limit kiri dan dari arah bilangan yang lebih besar disebut limit kanan. Jika nilai limit kiri f(x) sama dengan nilai limit kanan f(x) maka ada nilai limitnya. Sebaliknya jika nilai limit kiri f(x) tidak sama dengan nilai limit kanan f(x) maka nilai limitnya tidak ada.

Limit kiri yaitu 3 x

15 2x x lim2

3 x −−+

−→ pendekatan dari arah kiri

x … 1 2 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,99 … f (x) … 6 7 7,2 7,4 7,6 7,8 7,9 7,99 …

Limit kanan yaitu 3 x

15 2x x lim2

3 x −−+

+→ pendekatan dari kanan

x … 5 4 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,01 … f (x) … 10 9 8,8 8,6 8,4 8,2 8,1 8,01 … Dengan demikian limit kiri sama dengan limit kanan, yaitu :

3 x 15 2x x lim

2

3 x −−+

−→=

3 x 15 2x x lim

2

3 x −−+

+→ = 8

Untuk contoh kedua, kita ambil untuk fungsi f (x) trigonometri dengan limit x mendekati 0.

f (x) = x

sin x → (x dalam radian), untuk x = 0 maka f (x) tidak terdefinisikan, karena

f (0) = 00sin o

= 00 .

Untuk x

sin xlim

0 x −→bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kanan ke kiri, hasilnya bisa dilihat pada

tabel di bawah ini.

x (radian) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,01

xsin x 0,8415 0,8967 0,9411 0,9734 0,9934 0,9999

Untuk x

sin xlim

0 x +→bergerak mendekati 0 (x → 0) dari kiri ke kanan, hasilnya dapat dilihat

pada tabel berikut ini.

x (radian) –1,0 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 –0,01

xsin x 0,8415 0,8967 0,9411 0,9734 0,9934 0,9999

Dari kedua tabel di atas ternyata untuk x → 0, f (x) → 1. Berdasarkan hasil tersebut dapat

dinyatakan dengan rumus : x

sin x lim0 x →

= 1

Berdasarkan uraian tersebut kita dapat mendefinisikan limit secara intuitif, yaitu : Bahwa k (x) f lim

a x =

→ berarti bila x dekat tetapi berlainan dari a maka f (x) dekat ke k.

x → 3 f (x) → 8

x → 3 f (x) → 8


16.2. Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri 16.2. Limit of Algebraic and Trigonometric Function Indikator : 1. Sifat-sifat limit digunakan dalam menghitung nilai limit 2. Bentuk tak tentu dari limit fungsi ditentukan nilainya 3. Limit fungsi aljabar dan trigonometri dihitung dengan menggunakan

sifat-sifat limit Tujuan : Siswa dapat : 1. Menentukan sifat-sifat limit fungsi. 2. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan

menggunakan sifat-sifat limit. 3. Melakukan perhitungan limit dengan manipulasi aljabar 4. Mengenal macam-macam bentuk tak tentu 5. Menghitung nilai limit tak tentu. 6. Menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan

menggunakan sifat-sifat limit fungsi Uraian Materi : 1. Limit Fungsi Aljabar 1. Limit of Algebraic Function Secara umum bentuk limit ditulis : (x) f a x lim→ = f (a)

Jika f (a) = k, maka (x) f a x lim→ = k

Jika f (a) = k0 , maka (x) f a x lim→ = 0

Jika f (a) = 0k , maka (x) f a x lim→ = 8

Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit). Contoh : 1. 3 2x

3 x lim +→

= 2 . 3 + 3 = 9

2. 2x

5 3x

2 x lim

+→

= 2.2

52.3 + = 4

56 + = 4

11 = 243

3. 3x

5 4x x

1 x lim

2 −+→

= 030

3541

)1(35)1(4)1( 2

==−+

=−+

4. 6x

4 5x x 0 x

lim2 −+

→ = ∞=−=−+=−+

04

0400

)0(64)0(5)0( 2


Jika (x) f a x lim→ = 0 dan (x) g a x lim→ = 0, sehingga 00

g(x)f(x)

lima x

=→

maka harus difaktorkan

atau diuraikan terlebih dahulu. Contoh :

1. 2 -x

2 3x - x 2 x

lim2 +

→ → substitusi langsung :

00

2222.322

=−

+− (tidak boleh)

2 -x

2 3x - x

2 x lim

2 +→

= )2(

)2.....)((lim

2 x −−

→ xxx (perhatikan angka belakang : berapa kali ( -2)

hasilnya (+2) → (-1)

2 -x

2 3x - x

2 x lim

2 +→

= 1 - x 2) -(x

2) -(x . 1)-(x limlim

2 x 2 x →→= = 2 – 1 = 1

2. 6 5x x

10 3x xlim 2

2

2 x ++

−−−→

= ....

Substitusi langsung : 6)2(5)2(

10)2(3)2(2

2

+−+−−−−− =

61041064

+−−+ =

00 (tidak boleh)

6 5x x

10 3x xlim 2

2

2 x ++

−−−→

= 2) (x (x.....)2) (x (x.....)

lim2 x +

+−→

(perhatikan angka belakang : berapa kali

(+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2) hasilnya (+6) → (-5) dan (+3)

6 5x x

10 3x xlim 2

2

2 x ++

−−−→

= 2) (x 3) (x 2) (x 5(x

lim2 x ++

+−−→

= 3) (x 5) (x

lim2 x +

−−→

= 3252

+−−− =

17− = –7

3. 3 x 27 x

3 x lim

3

−−

→ ? substitusi langsung :

332733

−− =

00 (tidak boleh)

3 x 27 x

3 x lim

3

−−

→ =

3) (x 9) 3x (x . 3) (x

3 x lim

2

−++−

→ = 9) 3x (x

3 x lim 2 ++→

= 32 + 3 . 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27

4. 3x - x

6x 5x - x 0 x

lim 2

23 +→

? substitusi langsung : 0.30

0.60.502

23

−+− =

00 (tidak boleh)

3x - x

6x 5x - x 0 x

lim 2

23 +→

= 3) -(x x

6) 5x - (xx 0 x

lim2 +

→ =

3) -(x 6) 5x - (x

0 x lim

2 +→

= 30

60.502

−+−

= 3

6−

= –2

Jika (x) f a x lim→ = 0 dan (x) g a x lim→ = 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga

00

g(x)f(x)lim

a x =

→ maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.

(a + b) → sekawannya : (a – b) atau sebaliknya (a – b) → sekawannya : (a + b)


Contoh :

1. 2x

2 x

2 x lim

−−

→ ? substitusi langsung :

2222

−− =

00 (tidak boleh)

2x

2 x

2 x lim

−−

→ =

2x2 x

2 x

lim−−

→ .

2x2x

++ =

)2(x )2x( . 2) (x

2 x lim

−+−

→

= 2x 2 x

lim +→

= 2 + 2

= 2 2

2. 3

21lim

3 x −−+

→ xx → substitusi langsung :

00

022

22213

=−

=−

−+ (tidak boleh)

3

21lim3 x −

−+→ x

x = 3

21lim3 x −

−+→ x

x . 21

21

++

++

x

x = )21)(3(

4)1(lim

3 x ++−−+

→ xx

x

= )21)(3(

)3(lim3 x ++−

−→ xx

x = )21(

1lim3 x ++→ x

= 213

1++

= 41

221 =+

3. 752

42lim

2 x +−+

−→ xx

x → substitusi langsung : 00

3344

725)2(2

4)2(2=

−−

=+−+

− (tidak

boleh)

752

42lim2 x +−+

−→ xx

x = 752

42lim2 x +−+

−→ xx

x . 752

752

+++

+++

xx

xx

= )7()52(

)752)(42(lim

2 x +−++++−

→ xxxxx

= 752

)752)(2(2lim2 x −−+

+++−→ xx

xxx

= )2(

)752)(2(2lim

2 x −+++−

→ xxxx

= )752(2lim2 x

+++→

xx = )725)2(2(2 +++

= 2(3+3) = 12

4. 1

23lim

1 x −

−+→ x

x → substitusi langsung : 00

1122

11

231=

−−

=−

−+ (tidak boleh)

1

23lim

1 x −

−+→ x

x = 1

23lim

1 x −

−+→ x

x . 1

1.

23

23

+

+

++

++

x

x

x

x

= )23)(1()1)(43(lim

1 x ++−+−+

→ xxxx =

)23)(1()1)(1(lim

1 x ++−+−

→ xxxx

= )23(

)1(lim

1 x +++

→ xx

= 21

42

2211

231

11==

++

=++

+


Jika ∞=∞→

f(x)lim x

dan ∞=∞→

g(x)lim x

, sehingga ∞∞

=∞→ g(x)

f(x)lim

x maka harus dibagi dengan

pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya. Contoh :

1. 3x 4x - x8 -6x 2x

23

2

x lim +

+

∞→ → substitusi langsung :

∞∞=

∞+∞−∞−∞+∞

.3.48.6.2

23

2

(tidak boleh)

f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.

3x 4x - x8 -6x 2x

23

2

x lim +

+

∞→ =

33

2

3

3

333

2

x

xx3

xx4

xx

x8

x6x

x2x

lim+−

−+

∞→

=

2

32

x

x3

x4

1

x8

x6

x2

lim+−

−+

∞→

= 010

0 0 - 10 - 00

341

862

==+

+=

∞+

∞−

∞−

∞+

∞

2. xxxxxx

362453lim 23

23

x −++−

∞→ → substitusi langsung :

)(3)(6)(2)(4)(5)(3

23

23

∞−∞+∞∞+∞−∞ =

∞∞ (tidak

boleh)

xxxxxx

362453

lim 23

23

x −++−

∞→ =

33

2

3

3

33

2

3

3

462

453

lim x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

−+

+−

∞→ =

2

2

462

453lim

x

xxx

xx

−+

+−

∞→

=

∞−

∞+

∞+

∞−

362

453 =

002003

−++− =

23

Jika ∞=

∞→f(x)lim

x dan ∞=

∞→g(x)lim

x dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga

∞−∞=−∞→

g(x) f(x)lim x

maka harus diselesaikan dulu dengan dikalikan nilai satu dari faktor

sekawannya. Contoh :

1. xxxx +−+∞→

22 5lim x

→ substitusi langsung : ∞+∞−∞+∞ )(5 = ∞ – ∞

(tidak boleh)

xxxx +−+∞→

22 5lim x

= xxxx +−+∞→

22 5lim x

. xxxx

xxxx

+++

+++22

22

5

5

= xxxx

xxxx

+++

+−+∞→ 22

22

5

)()5(lim x

= xxxx

xxxx

+++

−−+∞→ 22

22

5

5lim x

= xxxx

x

+++∞→ 22 5

4lim

x =

22

2

22

2 5

4

lim x

xx

xx

xx

xx

xx

+++∞→


=

xx1

15

1

4lim

x +++

∞→ =

∞++

∞+

11

51

4

= 0101

4

+++ =

114+

= 2

2. 57lim

x −−+

∞→xx → substitusi langsung : 57 −∞−+∞ = ∞ – ∞ (tidak boleh)

57lim x

−−+∞→

xx = 57lim x

−−+∞→

xx . 57

57

−++

−++

xx

xx

= 57

)5()7(lim

x −++

−−+∞→ xx

xx = 57

57lim

x −++

+−+∞→ xx

xx

= 57

12lim x −++∞→ xx

=

xxx

xxx 57

12lim

x −++

∞→

=

∞−+

∞+

51

71

12 =

0101

12

−++ =

1112+

= 6

Untuk menjawab soal pilihan ganda :

Untuk soal : 00

g(x)f(x)

lim0 x

=→

maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.

Jika ada diatas hasilnya = 8 , jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.

3x - x

6x 5x - x 0 x

lim 2

23 +→

= 3

6−

= -2

Untuk soal : ∞∞

=∞→ g(x)

f(x)lim

x maka harus dilihat pangkat tertingginya

Jika diatas hasilnya = 8 , jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.

3x 4x - x8 -6x 2x

23

2

x lim +

+

∞→

= 10 = 0 ;

3 4x - 3x5x - 7x 3x

2

23

x lim +

+

∞→

= 03 = 8 ;

2 7x - 2x4x - 6x 3x

3

23

x lim +

+

∞→

= 23


Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan sifat-sifat limit.

1. a. 2 x 4xlim

2

2 x −−

→ = …. b.

3 x 3 x 4 xlim

2

3- x +++

→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. a. 10 3x x6 5x xlim 2

2

2 x −++−

→ = …. b.

4 x 64xlim

3

4 x −−

→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. a. 2 x

8 x6xlim2

0 x −+−

→ = …. b.

2x x8x x42xlim 2

23

0 x ++−

→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. a. 3 5 x

2 x lim

22 x −+

−→

= …. b. 9x3x lim 23 x −

−→

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. a. 2x x2x6x x54x

lim 23

23

x −−+−

∞→ = …. b. 63lim

x −−−

∞→xx = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 1 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.

1. Nilai dari 4 2x

16 2x 3x lim2

2 x −−+

→ = ….

a. 7 b. 6 c. 4 d. 2 e. 0

2. 3 1 5x

4x lim2

2 x −−−

→ = ….

a. 551 b. 4

54 c. 2

52 d. 1

51 e.

54

3. 1 x

5 6x x lim 2

2

1 x −+−

→ = ….

a. –4 b. –3 c. –2 d. 3 e. 4

4. 6 x x

8 xlim 2

3

2 x −+−

→ = …

a. 0 b. 34 c. 2 d.

512 e. 4

5. 16 8x 3x

16 x lim 2

2

4 x −−−

→ = ….

a. 81 b.

61 c.

41 d.

31 e.

21


6. 6 x x2 5x 2x lim 2

2

2 x −++−

→ = ….

a. 53 b.

75 c.

52 d. –

52 e. –

35

7. 22 x x4x 2 lim

−−

→ = ….

a. 8 2 b. 2 2 c. 2 d. 81 2 e.

161 2

8. 4 3x x2 6x 3x

lim 2

2

0 x −−+−

→ = ….

a. 34 b. 1 c.

21 d. –

21 e. –

34

9. Nilai dari 10 4x 2x3x 5x 2x lim 2

23

x +−+−

∞→ = ....

a. –25 b. –

21 c. 0 d.

41 e. ∞

10. 4x 5x 3x12 4x 5x lim 23

23

x −+−−

∞→ = ….

a. 54− b. 0 c. 1 d.

35 e. ∞

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.

1. 2 -3x 2x

6 3x lim 22 x +

+−→

= ….

Jawab : .............................................................................................................................................

2. 6 -7x 3x

9 - x lim 2

2

3 x −→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. 2 1 3x

2 2x lim

1 x −+

−→

= ….

Jawab : .............................................................................................................................................

4. 3x 2x

x 5x 2x lim 2

23

0 x −+−

→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. 3x 2x x

4x 4x 9 lim 23

3

x ++−+

∞→ = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………


2. Limit Fungsi Trigonometri 2. Limit of Trigonometric Function

1 x sin

x x

x sin limlim0 x 0 x

==→→

atau 1 ax sin

ax ax

ax sin limlim0 x 0 x

==→→

1 x tan

x

xx tan

limlim0 x 0 x

==→→

atau 1 ax tan

ax

axax tan

limlim0 x 0 x

==→→

Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya 00 funsi f (x) harus diuraikan

dengan aturan rumus trigonometri. Contoh :

1. 3x

5xsin

0 x lim→

= 3x

5xsin

0 x lim→

. 55 =

35 .

5x5xsin

0 x

lim→

= 35 . 1 =

35

atau : 3x

5xsin

0 x lim→

= 35

2. 2xtan

6x

0 x lim→

= 2xtan

6x

0 x lim→

. 22 =

26 .

2xtan 2x

0 x

lim→

= 26 . 1 = 3

atau : 2xtan

6x

0 x lim→

= 26 = 3

3. 3xtan 4xsin

0 x

lim→

= 3xtan 4xsin

0 x

lim→

. 4x4x .

3x3x =

3x4x .

4x 4xsin

0 x

lim→

. 3xtan

3x

0 x lim→

= 34

atau : 3xtan 4xsin

0 x

lim→

= 34

4. sin x x cos

2x cos

4 x

lim−→ π

= oo

o

45sin 45 cos45 . 2 cos

− = oo

o

45sin 45 cos90 cos

− =

221

221

0

− =

00

fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri. cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)

sin x x cos

2x cos

4 x

lim−→ π

= sin x) x (cos

sin x) x (cos sinx) x (cos

4 x

lim−

+−

→ π = sin x) x(cos

4 x

lim +→ π

= cos 45o + sin 45o = 21 2 +

21 2 = 2

5. sin x5x

2x cos 1lim

0 x

−→

→ substitusi langsung : 00

0.011

0sin).0(50cos1 =−=−

o

o

(tidak boleh)

f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri

sin x5x

2x cos 1lim

0 x

−→

= sin x5x

x)2sin (1 1lim

2

0 x

−−→

→ cos 2x = 1 – 2sin2 x

= sin x5x

x2sin 1 1lim2

0 x

+−→

= sin x5x

x2sinlim2

0 x → =

sin xsin x

lim . x

sin xlim

52

0 x 0 x →→

= 52 . 1 . 1 =

52


Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan aturan limit

1. a. 4x

6xsin lim

0 x → = …. b.

3x tg5x

lim0 x →

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. a. 4x tg3xsin

lim0 x →

= …. b. 2xsin 5x tg

lim0 x →

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. 2

2

0 x 4x 2x sin lim

→ = …. b.

3x tg.2x sin 2x lim

2

0 x → = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. 2

2

0 x x2x tg

lim→

= …. b. 4x tg

x lim2

2

0 x → = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. xcos3x

2xsin lim

0 x → = …. b.

2xsin xcos

lim2

x π→ = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………

EVALUASI 2 A. Pilihlah jawaban yang benar.

1. 5x

3xsin lim

0 x → = ….

a. 23 b.

53 c.

52 d.

51 e. 0

2. 2xsin x

3x tg.5x sin lim

0 x → = ….

a. 23 b.

25 c. 3 d. 5 e. 7

21

3. 6xsin 2x tg4

lim0 x →

= ….

a. 0 b. 31 c.

32 d.

34 e. ∞

4. xsin 4

3x lim 2

2

0 x → = ….

a. 43 b.

23 c.

49 d. 3 e. ∞


5. 2

2

4x 4x sin

0 x lim→

= ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 8

6.

→ 3xsin 4x

x3x tg

lim0 x

= ….

a. 4 b. 3 c. 1 d. 34 e.

31

7. 2xsin

xcos .sin x lim

2 x π→

= ….

a. 0 b. 41 c.

21 d. 2 e. 4

8. 2x cos

2x cos 1 lim

6 x

+→ π

= ….

a. 2 b. 3 c. 2 d. 3 e. ∞ 9. Nilai

0 x lim

→2 sin x cotg x adalah …

a. 2 b. 1 c. 0 d. –1 e. –2

10. 25x

2x cos 1 lim

0 x

−→

= ....

a. 53 b.

21 c.

52 d.

31 e. 0


1. 20 x 8x5x tg.4x sin

lim→

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. xsin5x 2x tg4x lim 2

2

0 x → = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. 20 x 4x2x cos 1

lim−

→ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. sin x3x

1 2x cos lim

0 x

−→

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5.

2xsin x

xcos 1 lim

0 x

−→

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


ULANGAN HARIAN 1 A. Pilihlah jawaban yang benar.

1. 2 2x

3 4x x lim2

1 x −+−

→ = ….

a. –3 b. –2 c. –1 d. 2 e. 3

2. 8 2x x

4 x lim 24 x −−

−→

= ….

a. 81 b.

61 c.

41 d.

31 e.

21

3. 2 5x 2x

4 2x lim 22 x ++

+−→

= ….

a. 34 b.

32 c.

31 d. –

31 e. –

32

4. 12 x x3 7x 2x

lim 2

2

3 x −++−

→ = ….

a. 35 b.

75 c.

52 d. –

52 e. –

35

5. 2 1 3x

2 2x lim

1 x −+

−→

= ….

a. 32 b. 1

32 c. 2

31 d. 2

32 e. 3

31

6. x 2

x4 lim2

2 x −−

→ = ….

a. 8 2 b. 4 2 c. 2 2 d. 2 e. 41 2

7. 3 5x 2x

4 5x x lim 2

2

0 x −−+−

→ = ….

a. 34 b. 1 c.

21 d. –

21 e. –

34

8. 2 3x 2x2x 7x 3x lim 2

23

0 x −−+−

→ = ….

a. ∞ b. 37 c.

23 d. 0 e. –1

9. 12x 5x 3x12 4x 5x lim 23

2

x −+−−

∞→ = ….

a. 54− b. 0 c. 1 d.

35 e. ∞

10. 3x 3x 2x6x 4x 2x

lim 23

32

x +++−

∞→ = ….

a. –2 b. –34 c. 1 d. 2 e. ∞


11. 2

2

0 x 3x3x sin lim

→ = ….

a. 0 b. 31 c. 1 d. 3 e. ∞

12. sin x 4x

2x 5x tg lim 2

2

0 x → = ….

a. 0 b. 51 c.

21 d.

25 e. 5

13. 2xsin xcos 2

lim0 x →

= ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. ∞

14. 2xsin x 2x cos 1

lim0 x

−→

= ….

a. 2 b. 1 c. 21 d.

41 e. 0

15. 2xsin 2x cos

lim2

x π

→

= ….

a. ∞ b. 2 c. 1 d. 21 e. 0


1. 6 x x

2 3x 2x lim 2

2

2 x −+−−

→ = ….

Jawab : .............................................................................................................................................

2. 2 1 x

3 x lim

3 x −+

−→

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. 20 x x9

3x 4x tgsin lim

→ = ….

Jawab : .............................................................................................................................................

4. 2xsin x 5

1 2x cos lim

0 x

−→

= ….

Jawab : ………………………………………………………………………………………….....

5. sin x x cos

2x coslim

4 x −→ π

= ….

Jawab : .............................................................................................................................................


16.3. Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri 16.3. Derivative Algebraic and Trigonometric Function Indikator : 1. Arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri dari turunan

dijelaskan konsepnya 2. Turunan fungsi yang sederhana dihitung dengan menggunakan definisi

turunan 3. Turunan fungsi dijelaska n sifat-sifatnya 4. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan dengan

menggunakan sifat-sifat turunan 5. Turunan fungsi komposisi ditentukan dengan menggunakan aturan

rantai. Tujuan : Siswa dapat : 1. Mengtahui konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran

geometrisnya 2. Menjelaskan pengertian turunan fungsi. 3. Menghitung nilai turunan fungsi aljabar dengan menggunakan aturan

turunan fungsi. 4. Menurunkan sifat-sifat turunan dengan menggunakani sifat lmit 5. Menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri 6. Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai 7. Melakukan latihan soal tentang turunan fungsi Uraian Materi : 1. Turunan Fungsi Aljabar 1. Derivative Algebraic Function Turunan pertama dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f'(x), dirumuskan dengan :

f'(x) = h

f(x) h) f(x lim

0 h

−+→

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4x2 Jawab :

f'(x) = h

xfhxfh

)()(lim

0

−+→

= h

xhxh

22

0

4)(4lim

−+→

= h

xhxhxh

222

0

4)2(4lim −++→

= h

xhxhxh

222

0

4484lim −++→

= h

hxhh

2

0

48lim +→

= h

hxhh

)48(lim

0

+→

= )48(lim0

hxh

+→

= 8x + 4(0) = 8x Jadi f(x) = 4x2 → f'(x) = 8x


2. Tentukan turunan pertama dari f(x) = x3 – 6x Jawab :

f'(x) = h

xfhxfh

)()(lim

0

−+→

= h

xxhxhxh

)6()}(6){(lim33

0

−−+−+→

= h

xxhxhxhhxxh

66633lim33223

0

+−−−+++→

= h

hhxhhxh

633lim322

0

−++→

= h

hxhxhh

)633(lim

22

0

−++→

= )633(lim 22

0−++

→hxhx

h

= 3x2 + 3x(0) + (0)2 – 6 = 3x2 – 6 Jadi f(x) = x3 – 6x → f'(x) = 3x2 – 6 a. Rumus Turunan Fungsi Aljabar a. Formula of Derivative Algebraic Fuction

Rumus Dasar Turunan 1. f (x) = axn → df (x)/dx atau f' (x) = n . ax n – 1

2. f (x) = ax → f' (x) = a

3. f (x) = a → f' (x) = 0

4. f (x) = ln x → f'(x) = x1

5. f (x) = e x → f' (x) = ex

Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 3x Jawab : f'(x) = 2 . 2x2 – 1 + 3 = 4x + 3 2. Turunan dari f(x) = 4x3 – 2x2 + 6x – 5 adalah : Jawab : f' (x) = 3 . 4x3 – 1 – 2 . 2x2 – 1 + 6 = 12x2 – 4x + 6 2. Turunan dari f(x) = (x – 2) (2x + 6) adalah : Jawab : f (x) = 2x2 + 6x – 4x – 12 = 2x2 + 2x – 12 f' (x) = 4x + 2 3. Turunan dari f(x) = (2x + 3) 2 adalah : Jawab : f (x) = 4x2 + 12x + 9 f' (x) = 8x + 12


4. Tentukan turunan pertama dari f (x) = 2

23

2642

xxxx +−

Jawab : Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu

f (x) = 32

2

2

3

26

24

22

xx

xx

xx +− = x – 2 + 3x-1

f' (x) = 1 – 0 + (-1) . 3x–1 – 1 f' (x) = 1 – 3x–2

f' (x) = 1 – 2

3x

5. Turunan dari f (x) = 2ex adalah : Jawab : f' (x) = 2ex f' (x) = 2ex 6. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x x – 4 x Jawab :

f (x) = 2x x – 4 x = 2 23

x – 4 21

x

f' (x) = 2 . 23 2

1

x – 4 . 21 2

1

x−

= 3 21

x – 21

x

2

f' (x) = 3 x – x

2

Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari fungsi : 1. a. f(x) = 3x4 – x3 + 5x2 b. f(x) = 2x5 + 5x3 – 7x + 4 Jawab : ............................................................................................................................................. 2. a. f(x) = 3x (x2 + 2x) b. f(x) = (2x + 1) (3x – 5) Jawab : ............................................................................................................................................. 3. a. f(x) = (x – 6)2 b. f(x) = (3x + 2)2 Jawab : ............................................................................................................................................

4. a. f(x) = 2

23

4523

xxxx −+ b. f(x) = 3

23

29346

xxxx +−+

Jawab : .............................................................................................................................................

5. a. f(x) = 3 33 2 xx + b. f(x) = x (3x2 – 4x) Jawab : .............................................................................................................................................


b. Aturan Rantai b. Chine Rule Turunan bentuk pangkat Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x + 5)3 Jawab : Misal : U = 2x + 5 → dU/dx = 2 f(U) = U3 → df(x)/dU = 3U2 = 3(2x + 5)2 f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 3(2x + 5) 2 . 2 f'(x) = 6(2x + 5)2 2. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 – 3)4 Jawab : Misal : U = x2 – 3 → dU/dx = 2x f(U) = U4 → df(x)/dU = 4U3 = 4(x2 – 3)3 f'(x) = df(x)/dx = df(x)/dU . dU/dx = 4(x2 – 3)3 . 2x f'(x) = 8x(x2 – 3)3 Dari contoh diatas dapat dirumuskan sebagai berikut : F(x) = U n → f'(x) = n . Un – 1 . U' Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x – 4)5 Jawab : f'(x) = 5 . (3x – 4)4 . 3 = 15(3x – 4)4 2. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x2 + 7)7 Jawab : f'(x) = 7 . (2x2 + 7)6 . 4x = 28x(2x2 + 7) 6 3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2) (3x + Jawab :

f(x) = 2) (3x + = 21

)23( +x

f'(x) = 3.)23(21 2

1−

+x = 21

)23.(2

3

+x

f'(x) = )23(2

3

+x


Turunan bentuk perkalian Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (3x + 2) Jawab : Misal : U = 5x – 1 → U' = dU/dx = 5 V = 3x + 2 → V' = dV/dx = 3 f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U f'(x) = 5(3x + 2) + 3(5x – 1) = 15x + 10 + 15x – 3 f'(x) = 30x + 7 2. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (x2 + 3) (4x – 5) Jawab : Misal : U = x2 + 3 → U' = dU/dx = 2x V = 4x – 5 → V' = dV/dx = 4 f(x) = U . V → f'(x) = dU/dx . V + dV/dx . U f'(x) = 2x(4x – 5) + 4(x2 + 3) = 8x2 – 10x + 4x2 + 12 f'(x) = 12x2 – 10x + 12 Dari contoh diatas maka dapat dirumuskan : f(x) = U . V → f'(x) = U' . V + V' . U Contoh : 1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (6x + 3) (3x – 1) Jawab : f'(x) = 6(3x – 1) + 3(6x + 3) = 18x – 6 + 16x + 9 f'(x) = 36x + 3 2. Tentukan turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) (2x2 + 4) Jawab : f'(x) = 5(2x2 + 4) + 4x(5x – 1) = 10x2 + 20 + 20x2 – 4x f'(x) = 30x2 – 4x + 20 Turunan bentuk pembagian

VU

f(x)= → 2V

U . V' V . U' (x)f'

−=

Contoh :

1. Tentukan turunan pertama dari )12()35(

)(+−

=xx

xf

Jawab :

2)12(

)35(2)12(5)('

+−−+

=x

xxxf =

2)12(610510

++−+

xxx

2)12(

11)('

+=

xxf


2. Tentukan turunan pertama dari )43()2()(

2

−+=

xxxf

Jawab :

2

2

)43()2(3)43(2)('

−+−−=

xxxxxf =

2

22

)43(6386

−−−−

xxxx

2

2

)43(683)('

−−−=

xxxxf

Dengan cara lain :

dcxbax

xf++=)( →

2)(..

)('dcx

bcdaxf

+−

=

Contoh :

1. )23()35(

)(−+

=xx

xf → 2)23(3.3)2.(5

)('−

−−=

xxf =

2)23(910

−−−

x =

2)23(19−

−x

2. )32()14(

)(+−

=xx

xf → 2)32(

)1.(23.4)('

+−−

=x

xf = 2)32(

212++

x =

2)32(14+x

Turunan fungsi f(x) = e U F(x) = e U → f'(x) = U' . e U Contoh : 1. f(x) = e3x → f'(x) = 3e3x 2. f(x) = e(5x – 2) → f'(x) = 5e (5x – 2) Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari : 1. a. f(x) = (5x – 7)3 b. f(x) = (6x + 3)5 Jawab : ............................................................................................................................................. 2. a. f(x) = (x2 – 5)6 b. f(x) = 45 −x Jawab : ............................................................................................................................................. 3. a. f(x) = (2x – 7) (6x + 1) b. f(x) = (4x + 5) (3x – 2) Jawab : ............................................................................................................................................. 4. a. f(x) = (x2 + 4) (4x – 2) b. f(x) = (2x2 – 1) (x2 + 3) Jawab : .............................................................................................................................................

5. a. )2()53(

)(+−

=xx

xf b. )72()64(

)(++

=xx

xf

Jawab : .............................................................................................................................................


c. Nilai Turunan c. Derivative Value Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f(x) → f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu, kemudian x nya diganti dengan a Contoh : 1. Tentukan nilai f'(3) dari : f(x) = 4x2 + 5x – 4 Jawab : f'(x) = 8x + 5 → f'(3) = 8(3) + 5 = 24 + 5 = 29 2. Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (2x + 3) (x – 1) Jawab : f(x) = 2x2 – 2x + 3x – 3 = 2x2 + x – 3 f'(x) = 4x + 1 → f'(2) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9 3. Tentukan nilai f'(4) dari : f(x) = (2x – 5)2 Jawab : f(x) = 4x2 – 20x + 25 f'(x) = 8x – 20 → f'(4) = 8(4) – 20 = 32 – 20 = 12 4. Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (3x – 2)3 Jawab : f'(x) = 3(3x – 2)2 . 3 = 9(3x – 2)2 f'(2) = 9(3(2) – 2)2 = 9(6 – 2)2 = 9 . 16 = 144

5. Tentukan nilai f'(1) dari : )53()74(

)(−−

=xx

xf

Jawab :

2)53(

)7.(3)5.(4)('

−−−−

=x

xf = 2)53(

2120−+−

x =

2)53(1−x

41

)53(1

)5)1(3(1

)1(' 22 =−

=−

=f

Soal latihan : Tentukan nilai dari turunan pertama berikut ini. 1. a. f(x) = 3x3 + 2x2 – 9x → f'(2) = .... b. f(x) = 2x4 – 4x3 + 3x2 → f'(3) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 2. a. f(x) = (x2 + 1) (3x – 2) → f'(1) = .... b. f(x) = (4x + 3) (2x2 – 1) → f'(–2) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 3. a. f(x) = (x – 7)2 → f'(–3) = .... b. f(x) = (3x + 2)2 → f'(1) = .... Jawab : .......................................................................................................................................................... 4. a. f(x) = (2x + 3)4 → f'(1) = .... b. f(x) = (3x – 4)5 → f'(2) = .... Jawab : ..........................................................................................................................................................

5. a. )14()32(

)(++

=xx

xf → f'(2) = ..... b. )32()45(

)(−−

=xx

xf f'(1) = ....

Jawab : ..........................................................................................................................................................


EVALUASI 3 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 5x2 – 6x adalah f' (x) = …. a. 6x4 + 10x3 – 6x2 c. 6x2 + 10x – 6 e. 2x2 + 5x – 6 b. 6x3 + 10x2 – 6x d. 2x2 + 10x – 6 2. Turunan dari f (x) = 4x3 – 2x2 + 5x adalah …. a. 24x b. 24x – 4 c. 12x2 – 4 d. 12x2 – 4x e. 12x2 – 4x + 5 3. Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 3) (x2 + 1) adalah f' (x) = …. a. 2x3 – 3x2 + 2x – 3 c. 6x2 – 6x – 3 e. 2x2 – 3x + 2 b. 6x2 – 6x + 2 d. 6x2 + 2x – 3 4. Turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x – 1)2 adalah f' (x) = …. a. 4x2 – 4x + 1 c. 2x2 – 2x + 1 e. 4x – 4 b. 2x2 – 4x + 1 d. 4x – 2 5. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 6 x adalah f' (x) = ….

a. 8 – x

3 b. 8 + x

3 c. 8 – 3 x d. 8 + 3 x e. 8 – 6 x

6. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x (x2 – 4) adalah f' (x). Nilai f' (2) = …. a. 8 b. 12 c. 16 d. 20 e. 24 7. Turunan pertama dari fungsi f (x) = (x – 3)3 adalah f' (x). Nilai f' (1) = …. a. 12 b. 8 c. 4 d. –4 e. –8 8. Turunan pertama dari f(x) = (2x – 3) (x2 + 6) adalah f'(x). Nilai dari f'(1) = …. a. 18 b. 12 c. 8 d. 6 e. 4

9. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3) (5x 2) (6x

++ adalah f' (x) = ….

a. 23) (5x

28+

b. 23) (5x

8+

c. 23) (5x

1+

d. 23) (5x

10+

− e. 23) (5x

18+

−

10. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 3

34

2x 4 6x 2x −+ adalah f'(x) = ....

a. x – 3 + 2x6 c. 1 –

x3 + 2x

6 e. 1 + 2x6

b. x – x3 +

2x6 d. 1 +

x3 –

2x6

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f(x) = (3x2 + 1) (x – 4) b. f(x) = (x + 4)2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f(x) = 3x2 + 5x – 2 unuk f'(3). b. f(x) = (2x + 4)2 untuk f'(2) c. f(x) = (4x – 3) (3x + 2) untuk f'(–2) Jawab : …………………………………………………………………………………………….


2. Turunan Fungsi Trigonometri 2. Derivative of Trigonometric Function a. Rumus Turunan Fungsi Trigonometri a. Formula of D erivative Trigonometric Function Contoh : 1. Turunan dari f (x) = 2 sin 3x adalah : Jawab : f'(x) = 3 . 2 cos 3x = 6 cos 3x 2. Turunan dari f (x) = 4 cos (2x – 5) Jawab : f'(x) = -2 . 4 cos (2x – 5) = -8 sin (2x – 5) 3. Tentukan turuna n pertama dari f(x) = 4sin 2x – 3 cos x Jawab : f'(x) = 4 . 2 cos 2x + 3 sin x = 8 cos 2x + 3 sin x

4. Tentukan turunan pertama dari f(x) = x2 – sin 32 x + 5 cos 3x

Jawab :

f'(x) = 2x – 32 cos

32 x – 15 sin 3x

5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2 sin (4x – 1) + 3 cos (5 – 2x) Jawab : f'(x) = 2 . 4 cos (4x – 1) – (-2) sin (5 – 2x) = 8 cos (4x – 1) + 2 sin (5 – 2x) 6. Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos (3x + 2) + 5 sin (2x – 7) Jawab : f'(x) = –3 sin (3x + 2) + 10 cos (2x – 7)

Rumus :

1. f (x) = sin x → f' (x) = cos x ; f (x) = sin ax ? f' (x) = a cos ax

2. f (x) = cos x → f' (x) = - sin x ; f (x) = cos ax ? f' (x) = -a sin ax

3. f (x) = sin (ax + b) ? f' (x) = a cos (ax + b)

4. f (x) = cos (ax + b) ? f' (x) = -a sin (ax + b)

5. f (x) = tan x ? f' (x) = sec2 x ; f (x) = tan ax ? f' (x) = a sec2 ax


b. Nilai Turunan b. Derivative Value Setelah fungsi f(x) diturunkan, kemudian x diganti dengan nilai yang diminta Contoh : 1. Tentukan nilai f'(60o) dari f(x) = 4 sin x adalah : Jawab : f'(x) = 4 cos x

f' (60o) = 4 cos 60o = 4 . 21 = 2

2. Tentukan nilai f'(30o) dari f(x) = 3 cos 3x Jawab : f'(x) = –6 sin 3x f'(30o) = –6 sin 3(30o) = –6 sin 90o = –6 . 1 = –6 3. Tentukan nilai f'(45o) dari f(x) = 2 sin 4x Jawab : f'(x) = 8 cos 4x f'(45o) = 8 cos 4(45o) = 8 cos 180o = 8 . (–1) = –8 Soal Latihan : 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = sin 4x c. f (x) = 3 sin (x – 3) b. f (x) = 2 sin 3x d. f (x) = 4 sin (5 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = cos 2x c. f (x) = 5 cos (3x – 1) b. f (x) = 4 cos 5x d. f (x) = 2 cos (4 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f (x) = sin 2x → f' (30o) = …. b. f (x) = 3 cos 2x → f' (45o) = …. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 4 A. Pilihlah jawaban yang paling benar. 1. Turunan pertama dari f (x) = 2 cos 3x adalah f' (x) = ….

a. 6 sin 3x c. -6 sin 3x e. 32 sim 3x

b. 6 cos 3x d. 32 cos 3x

2. Turunan pertama dari f (x) = sin 4x - 2 cos x adalah f' (x) = .... a. 4 cos 4x - 2 sin x c. -4 cos 4x + 2 sin x e. 4 cos 4x + 2 sin x b. -4 cos 4x - 2 sin x d. 4 sin 4x - 2 cos x


3. Turunan pertama dari f (x) = cos (5 - 4x) adalah f' (x) = .... a. 5 sin (5 - 4x) c. -4 sin (5 - 4x) e. -5 sin (5 - 4x)

b. 4 sin (5 - 4x) d. 41 sin (5 - 4x)

4. Turunan dari f (x) = sin (1 - 3x) adalah f' (x) = ....

a. -3 cos (1 - 3x) c. cos (1 - 3x) e. 31 sin (1 - 3x)

b. 3 cos (1 - 3x) d. -cos (1 - 3x) 5. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 4x adalah f' (x) = ….

a. 43 cos 4x c. –12 cos 4x e. 12 sin 4x

b. –43 cos 4x d. 12 cos 4x

6. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (3x – 5) adalah f' (x) = ….

a. 2 sin (3x – 5) c. 32 sin (3x – 5) e. –6 sin (3x – 5)

b. 6 sin (3x – 5) d. –32 sin (3x – 5)

7. Turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 4x – 3 cos 2x adalah f' (x) = …. a. cos 4x – sin 2x c. 4 cos 4x – 6 sin 2x e. 4 sin 4x + 6 cos 2x b. cos 4x + sin 2x d. 4 cos 4x + 6 sin 2x 8. Turunan dari fungsi f(x) = sin (2x + 60o) adalah f'(x). Nilai dari f'(45o) = ....

a. 0 b. 21 c.

21 2 d.

21

3 e. 1

9. Turunan dari f (x) = cos 2x adalah f' (x). Nilai dari f (45o) = .... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 10. Turunan dari 2 sin 3x adalah f' (x). Nilai dari f' (60o) = .... a. 6 b. 3 c. 0 d. -3 e. -6 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin (4x – 1) Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Tentukan turunan dari f (x) = 4 cos (3 – 2x) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x unuk f' (90o). Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4 Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f (x) = 2 cos (5) untuk f' (30o) Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Tentukan nilai dari turunan pertama dari fungsi f (x) = sin 2x - cos 3x untuk f'(30o) Jawab : .............................................................................................................................................


16.4. Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer 16.4. Function Increase, Decrease and Stationer Indikator : 1. Fungsi monoton naik dan turun ditentukan dengan menggunakan

konsep turunan pertama 2. Sketsa grafik fungsi dinggambar dengan menggunakan sifat-sifat

turunan 3. Titik ekstrim grafik fungsi ditentukan koordinatnya 4. Garis singgung sebuah fungsi ditentukan persamaannya Tujuan : Siswa dapat : 1. Mengenal secara geometris tentang fungsi naik dan turun 2. Mengidentifikasi fungsi naik atau fungsi turun menggunakan aturan

turunan. 3. Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menentukan perpotongan

sumbu koordinat, titik stasioner dan kemonotonannya 4. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya 5. Menentukan persamaan garis singgung fungsi. Uraian Materi : 1. Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer 1. Function Increase, Decrease and Stationer Pada gambar fungsi f (x), titik P terletak pada kurva

dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk x < a, fungsi f (x) merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk x > a, fungsi f (x) merupakan fungsi naik. Untuk x = a, fungsi f (x) dalam kondisi diam(tidak turun dan tidak naik). Kondisi diam tersebut dinamakan stationer.

a. Fungsi turun, jika turunannya f' (x) < 0 b. Fungsi naik, jika turunannya f' (x) > 0 c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' (x) = 0 Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 6 jika fungsinya turun. Jawab : Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f (x) < 0 → f' (x) < 0 f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 6 → f' (x) = 3x2 + 6x – 9 < 0 3x2 + 6x – 9 < 0 (dibagi dengan 3) x2 + 2x – 3 < 0 (x + 3) (x – 1) < 0 x + 3 > 0 → x < –3 x – 1 < 0 → x < 1 HP : {x –3 < x < 1}

f (x) turun f (x) naik

y = f (x)

{a, f (x)}

x

y


2. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = = x2 – 8x + 12 Jawab : f (x) = = x2 – 8x + 12 → f' (x) = 2x – 8 < 0 2x – 8 < 0 → 2x < 8 x < 4 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya naik. Jawab : Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) > 0 → f' (x) > 0 f (x) = x (x + 2)2 = x (x2 + 4x + 4) = x3 + 4x2 + 4x f' (x) = 3x2 + 8x + 4 > 0 (3x + 2) (x + 2) > 0

3x + 2 > 0 → 3x > –2 → x > –32

x + 2 < 0 → x < –2

HP : {x x < –2 atau x > –32 }

4. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x3 jika fungsinya naik. Jawab : f (x) = 1 + 2x – 2x2 – 2x3 → f'(x) = 2 – 4x – 6x2 > 0 2 – 4x – 6x2 > 0 (dibagi dengan 2) 1 – 2x – 3x2 > 0 → 3x2 + 2x – 1 < 0 (3x – 1) (x + 1) < 0

3x – 1 < 0 → 3x < 1 → x < 31

x + > 0 → x > –1

HP : {x –1 < x < 31 }

5. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 8 jika fungsinya diam

(stationer). Jawab : Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0 → f' (x) = 0 f (x) = x3 – 3x2 – 9x + 8 → f' (x) = 3x2 – 6x – 9 = 0 3x2 – 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3) x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 x – 3 = 0 → x = 3 x + 1 = 0 → x = –1 HP : {–1, 3}


Soal latihan : 1. Tenuktan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya turun : a. f (x) = x2 – 2x + 6 b. f (x) = x3 – 2x2 + 55x – 5 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya naik : a. f (x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 14 b. f (x) = 2x3 + 3x2 + 12x + 6 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai stationer dari fungsi : a. f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 11 b. f (x) = x2 – 2x – 3 Jawab : …………………………………………………………………………………………..... 2. Persamaan Garis Singgung 2. Equation of Polecat Line Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x1, y1) adalah …. y – y1 = m (x – x1) m = gradien garis = f'(x) Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x – 6 di titik (2, –12). Jawab : y = x2 – 5x – 6 → y' = 2x – 5 m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1 y – y1 = m (x – x1) y – (-12) = –1(x – 2) y + 12 = –x + 2 x + y + 12 – 2 = 0 x + y + 10 = 0 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis

x1 = 2. Jawab : y = x2 + 4 → y' = 2x m = 2 (2) = 4 y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8 y = m (x – x1) + y1 y = 4 (x – 2) + 8 y = 4x – 8 + 8 y = 4x


3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan garis y = 3x – 6.

Jawab : y = 3x2 → y' = 6x → m1 = 6x y = 3x – 6 → y' = 3 → m2 = 3 Karena garisnya sejajar maka m1 = m2 = 3

6x = 3 → x1 = 21

y1 = 3 (21 )2 = 3 (

41 ) =

43

y = m (x – x1) + y1

y = 3 (x – 21 ) +

43

y = 3x – 23 +

43

y = 3x – 43 atau 4y – 12x + 3 = 0

Soal latihan : 1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva : a. y = 3x2 – 4x di titik (1 , –1) b. y = x2 + 4x di titik (1, 5) c. y = x2 + 1 di titik dengan absis x1 = 2 d. y = x2 + 4x + 1 di titik dengan absis x1 = 1 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 1, jika : a. sejajar dengan garis y = 4x + 1 b. tegak lurus dengan garis y = 3 – 2x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Teorema L'Hospital 3. L'Hospital Theorem

Jika Jika (x) f a x lim→ = 0 dan (x) g a x lim→ = 0, sehingga 00

g(x)f(x)

lima x

=→

maka

(x)g'(x)f'lim

g(x)f(x)lim

a x a x →→= . (masing-masing diturunkan)

Contoh :

1. 3 x

3 2x xlim

2

3 x −−−

→ =

12 2x

lim3 x

−→

= 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4

2. 2 3x x

10 7x xlim 2

2

2 x +−+−

→ =

3 2x 7 2x

lim2 x −

−→

= 3)2(27)2(2

−− =

3474

−− = –3


3. 6 3x 8xlim

3

2 x −−

→ =

33xlim

2

2 x → =

3)2(3 2

= 4

4. 2x

1 x coslim 20 x

−→

= 4xsin x

lim0 x

−→

= 4

xcoslim

0 x

−→

= 41

40cos

=− o

EVALUASI 5 A. Pilihlah jawaban yang benar. 1. Himpunan penyelesaian dari f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 11 jika fungsinya turun

adalah …. a. {x x < –1 atau x > 2} c. {x –2 < x < 1} e. {x 1 < x < 2} b. {x x < –1 atau x > –2} d. {x –2 < x < –1}

2. Fungsi f (x) = 31 x3 –

21 x2 – 2x + 5, naik pada ….

a. {x x < –1 atau x > 2} c. {x x < –2 atau x > 1} e. {x –2 < x < 1} b. {x x < 1 atau x > 2} d. {x 1 < x < 2} 3. Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 6, jika fungsinya turun adalah …. a. {x x < 1 atau x > 3} c. {x 0 < x < 2} e. {x –2 < x < 0} b. {x x < 0 atau x > 2} d. {x 0 < x < 3} 4. Himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 1, jika fungsinya diam adalah …. a. {1, –3} c. {3, –1) e. {2, 3} b. {1, 3} d. {–3, 3}

5. Fungsi f (x) = 31 x3 – 4x, stationer pada titik ….

a. {1, 1} c. {2, 2} e. {2, –2} b. (1 , –1} d. (1 , –2} 6. Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = x3 – x2 – x + 1, jika fungsinya naik adalah ….

a. {x x < –1 atau x > 31 } c. {x x <

31 atau x > 1} e. {x –1 < x <

31 }

b. {x x < –31 atau x > 1} d. {x –

31 < x < 1}

7. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + x di titik (1, 2) adalah …. a. y = 4x + 2 c. y = 2x – 4 e. 2x – 2 b. y = 4x – 2 d. y = 2x + 2 8. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 1 – x3 di titik dengan absis = 2 adalah …. a. y – 12x + 17 = 0 c. 12x + y – 17 = 0 e. 12x + y + 17 = 0 b. 12x – y – 17 = 0 d. 12x – y + 17 = 0 9. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 – x di titik (2, 6) adalah …. a. y = 11x + 6 c. y = 11x + 16 e. y = 11x – 16 b. y = –11x + 6 d. y = –11x + 16 10. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 3 dan sejajar dengan garis

y = 2 – 6x adalah …. a. 6x + y + 7 = 0 c. x + 6y + 7 = 0 e. 6x – y – 7 = 0 b. 6x + y – 7 = 0 d. x – 6y – 7 = 0


B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x2, jika fungsinya turun. Jawab : …………………………………………………………………………………………… 2. Tentukan nilai x yang memenuhi dari fungsi f (x) = x3 + 9x2 + 15x + 5, jika fungsinya

naik. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan nilai stationer dari fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 2. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 di titik (2, –2) Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 4 – x2 di titik dengan absis

x1 = 1 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 16.5. Pemakaian Turunan 16.5. The Derivative Indikator : 1. Masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi

disusun model matematikanya 2. Model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

ditentukan penyelesaiannya Tujuan : Siswa dapat : 1. Menentukan variabel-variabel (x dan y) dari masalah ekstrim fungsi 2. Menyatakan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dibentuk ke

dalam model matematika 3. Menentukan penyelesaian model matematika dengan menggunakan

konsep ekstrim fungsi. Uraian Materi : 1. Hubungan antara Jarak (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a) 1. Relationship between distance (S), speed (v) and acceleration (a) Jika persamaan dari jarak S (t) diturunkan terhadap waktu (t) maka menjadi kecepatan

atau v (t).

S (t) → dt

dS(t) = S'(t) = v (t)

Jika persamaan dari kecepatan v (t) diturunkan erhadap waktu (t) maka menjadi perceparat atau a (t).

v (t) → dt

dv(t) = v'(t) = a (t)


Contoh : 1. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 2t3 + 3t2.

Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t = 3 detik.

Jawab : S (t) = 2t3 + 3t2 v (t) = 6t2 + 6t ? v (3) = 6 . 32 + 6 . 3 = 54 + 18 = 72 m/s a (t) = 12t + 6 ? a (3) = 12 . 3 + 6 = 36 + 6 = 42 m/s2 2. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) = 4t2 + 12t + 8.

Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t = 4 detik.

Jawab : S (t) = 4t2 + 12t + 8

v (t) = dt

dS(t) = 8t + 12

v (4) = 8 (4) + 12 = 32 + 12 = 44 m/s v (t) = 8t + 12

a (t) = dt

dv(t) = 8

a (4) = 8 m/s2 (gerak beraturan) 2. Maksimum dan Minimum 2. Maximum and Minimum Syarat nilai maksimum dan minimum adalah turunan dari fungsi f (x) = 0 atau f' (x) = 0. Contoh : 1. Sebuah bola ditembakan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h

(t) = 32 – 4t2. Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.

Jawab : h (t) = 32t – 4t2 → h' (t) = 32 – 8t Syarat maksimum jika h' (t) = 0 32 – 8t = 0 → 8t = 32 t = 4 detik h (4) = 32 (4) – 4 (4)2 = 128 – 64 = 64 meter. 2. Sebuah ba lok dengan alas berbentuk bujur sangkar dan bagian atasnya tanpa tutup

dibuat agar dapat menampung volume 32 cm3. Tentukan ukuran dari balok agar bahan yang dipakai minimum.

Jawab : Volume balok : V = p x l x t → alas berbenuk bujur sangkar, p = l

32 = p x p x t → t = 2p

32


Luas permukaan balok anpa tutup : Lp = p x l + 2 x p x t + 2 l x t → p = l Lp = p x p + 2 x p x t + 2 p x t Lp = p2 + 4pt

Lp = p2 + 4p. 2p

32 → Lp = p2 + p

128

Agar luas bahan yang digunakan minimum → Lp' = 0

Lp' = 2p – 2p

128 = 0

2p – 2p

128 = 0 (dikali dengan p2)

2p3 – 128 = 0 → p3 = 64

p = 3 64 = 4 cm l = p = 4 cm

t = 2p

32 = 2432 = 2 cm

Jadi ukuran balok adalah panjang = 4 cm, lebar = 4 cm dan tinggi = 2 cm. Soal latihan : 1. Sebuah benda bergerak sepanjang lintasannya memenuhi persamaan gerak

S (t ) = 4t3 – 3t2 + 8t + 10 (satuan meter). Pada saat benda bergerak dalam waktu 3 detik, tentukan :

a. kecepatan b. percepatan Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Peluru ditembakan keatas tegak lurus dengan persamaan h (t) = 60t – 5t2 (meter) Berapa tinggi maksimum sebelum peluru kembali lagi ke bawah ? Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Reaksi obat tidur setelah disuntikan pada tubuh dapat dinyatakan dengan persamaan

F (t) = 6t – t2, dimana t adalah waktu perjam. Tentukan reaksi maksimum yang dicapai. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Talang air terbuat dari seng denan lebar 4 meter. Jika penampang talang berbentuk

persegi panjang dengan ukuran x dan y, tentukan ukuran penampang talang agar air yang mengaliir sebanyak-banyaknya.

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng, dapat menampung minyak se banyak

64π cm3. Tentukan ukuran dari tabung agar luas bahan yang digunakan minimum. Jawab : …………………………………………………………………………………………….


ULANGAN HARIAN 2 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Turunan pertama dari f (x) = 4x (x2 + 3) adalah f' (x) = …. a. 4x3 + 12x c. 4x2 + 12x e. 12 (x + 1) b. 12x2 + 12x d. 12 (x2 + 1) 2. Turunan pertama dari fungsi f (x) = (x – 5)2 adalah f'(x) = …. a. 2x – 10 c. 2x + 25 e. x2 – 10x + 25 b. 2x + 10 d. x2 – 10x – 25 3. Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x4 – 1) adalah …. a. 12x6 + x4 – x3 – 1 c. 7x6 + 4x3 – 3x2 e. 42x5 + 12x2 – 6x b. 12x6 – x4 + x3 d. 7x6 – 4x3 + 3x2 4. Turunan pertama dari f (x) = x2 (x3 + 2) adalah …. a. f '(x) = 5x4 + 4 c. f '(x) = 5x + 2 e. f '(x) = x2 (5x2 + 4) b. f '(x) = 6x4 + 2x d. f '(x) = x (5x3 + 4) 5. Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2 + 6) adalah f' (x) = …. a. 2x3 – 3x2 + 12x – 18 c. 6x2 – 3x + 6 e. 6 (x2 – x + 2) b. 2x3 – 3x2 + 12x d. 2 (x2 – x + 6) 6. Turunan pertama fungsi f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = ….

a. 3 x – 3x c. 3 x + 3x e. x

3 + 3

b. 3 x – 3 d. x

3 – 3x

7. Turunan pertama fungsi y = 24x 17 − adalah y' = ….

a. 24x 17

x8

−− c.

24x 17

x2

−− e.

24x 17

1

−−

b. 24x 17

x4

−− d.

24x 17

x

−−

8. Turunan dari fungsi y = sin (4x + 3) adalah f ‘(x) = …. a. ¼ cos (4x + 3) c. –4 cos (4x + 3) d. cos (4x + 3) b. –¼ cos (4x + 3) d. 4 cos (4x + 3) 9. Turunan pertama dari y = sin 2x – cos 3x adalah …. a. cos 2x + sin 3x c. –2 cos 2x + 3 sin 3x e. –2 cos 2x – 3 sin 3x b. –cos 2x – sin 3x d. 2 cos 2x + 3 sin 3x 10. Turunan fungsi f (x) = 4x3 + 2x2 – 8x adalah f' (x). Nilai f' (–1) = …. a. 6 c. 2 e. –4 b. 4 d. 0 11. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 – 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah …. a. 3y – x – 11 = 0 c. 3x + y + 11 = 0 e. 3x – y – 11 = 0 b. 3y + x + 11 = 0 d. 3x – y + 11 = 0 12. Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, naik pada interval …. a. -1 < x < 3 c. x > 1 atau x > 3 e. x < -1 atau x > 1 b. 1 < x < -3 d. x < 1 atau x > -1 13. Fungsi y = x3 – 3x2, turun pada interval …. a. x > 0 c. 0 < x < 3 e. x > 3 b. x > 2 d. 0 < x < 2


14. Fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 2, turun pada interval …. a. 1 < x < 2 c. -2 < x < 2 e. -1 < x < 2 b. -2 < x < 1 d. -1 < x < 1 15. Fungsi f yang ditentukan oleh : f (x) = 2x3 + 9x2 – 24x naik pada interval: a. x < -4 atau x > 1 c. x < -1 atau x > 4 e. -4 < x < 1 b. x < -4 atau x > -1 d. -1 < x < 4 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = (2x2 – 1) (x2 + 3x). Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 5x – x

8

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 3 sin 2x + 5 cos 3x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 5x + 4 pada titik yang

berbsis 2. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. Grafik fungsi f (x) = 31 x3 – 3x2 + 5x, naik pada interval ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

Siapa yang keluar rumah untuk menuntut ilmu maka ia berjuang fisabilillah hingga kembali

Who went out to the science he struggled to return Fisabilillah


KOMPETENSI 17 INTEGRAL INTEGRAL

Standar Kompetensi : 17. Integral Kompetensi Dasar : 17.1. Memahami konsep Intergral tak tentu dan Integral tentu 17.2. Integral Subsitusi dan Integral Parsial 17.3. Pemakaian Integral Alokasi Waktu : 36 jam pelajaran Dilaksanakan Pada : Minggu ke 10 s.d. ke 18 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dari integral dalam memecahkan permasalahan baik di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. 17.1. Integral Tak Tentu dan Tertentu 17.1. Not Necessarily and a Certain Integral Indikator : 1. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tak tentunya 2. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tentunya 3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tentu dan tak tentu Tujuan : Siswa dapat : 1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan 2. Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana 3. Merumuskan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri 4. Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu 5. Mengenal integral tentu seba gai luas daerah dibawah kurva 6. Mendiskusikan teorema dasar kalkulus 7. Merumuskan sifat integral tentu 8. Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu Uraian Materi : 1. Integral Tak Tentu 1. Not Necessarily Integral A. Fungsi Aljabar A. Algebraic Function

Rumus Dasar Integral tak tentu :

1. C x1 n

a dx ax 1 nn +

+= +∫ → n ≠ -1

2. C ax dx a +=∫

3. ∫∫ +== C x ln dx x dx x1 -1


Contoh :

1. ∫ + dx 3) x 2( = 11

2+

x1+1 + 3x + C = x2 + 3x + C

2. ∫ +− dx 5) x 6(3x 2 = 12

3+

x2+1 – 11

6+

x1+1 + 5x + C

= x3 – 3x2 + 5x + C

3. ∫ −+ dx x)21

x65

x23

( 23 = 13

23

+x3+1 +

1265

+x2+1 –

1121

+x1+1 + C

= 423

x4 + 365

x3 – 221

x2 + C

= 83 x4 +

185 x3 –

41 x2 + C

4. ∫ +− dx )2x x3x4( 41

21

32

= C x1

41

2x

121

3x

132

4 141

121

132

++

++

−+

+++

= C x

452

x

233

x

354 4

523

35

++− = C x58x2x

512 4

523

35

++−

5. ∫ + dx )x65

x43

( 31

21

= C x1

31

65

x1

21

43

1311

21

++

++

++ = C x

3465

x

2343

34

23

++

= C x2415

x126 3

423

++ = C x85

x21 3

423

++

Soal Latihan : 1. a. ∫ dx x6 3 = …. b. ∫ − dx x)64x( 2 = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. a. ∫ +− dx 3) 8x x2( 2 = …. b. dx 6) 5x x3x8( 23 +−+∫ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. a. ∫ − dx x)51

x21

( 2 = …. b. dx 4) x 43

x23

x52

( 23 +++∫ = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


4. a. ∫ + dx )x5x4( 41

31

= …. b. ∫ +− dx )x3x6x5( 81

51

32

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. ∫ + dx )x65

x45

( 41

43

= …. b. ∫ +− dx )3x x43

x32

( 51

31

21

= ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. Bentuk Perkalian Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian, sebelum di integralkan perkaliannya diselesaiaka n dulu. Contoh :

1. ∫ + dx 4) (5x 3x = ∫ + dx 12x) 15x( 2 = 3

15 x3 + 2

12 x2 + C

= 5x3 + 6x2 + C 2. ∫ + dx 4) -(2x 3) (x = ∫ +− dx 12) -6x x42x( 2 = ∫ + dx 12) -2x 2x( 2

= 32 x3 + x2 – 12x + C

Bentuk Pembagian Untuk menyelesaikan integral bentuk pembagian, sebelum di integralkan pembagiannya di selesaikan dulu Contoh :

1. dx )x2

8x x4x6( 3

23

∫+− = ∫ +− dx )4x x23( -2-1 = 3x – 2 ln x – 4x-1 + C

2. ∫+−+ dx )

x31 x 2x3x5( 2

34

= ∫ +−+ dx )x31

x32

x x35

( 2-1-2

= C x1

31

ln x 32

x21

x335

1-23 +−

+−+

= 95 x3 +

21 x2 –

32 ln x –

31 x-1 + C

Bentuk Pangkat Untuk menyelesaikan integral bentuk pangkat, sebelum di integralkan fungsinya di pangkatkan dulu. Contoh :

1. ∫ + dx 3) x ( 2 = ∫ ++ dx 9) 6x (x2 = 31 x3 + 3x2 + 9x + C

2. ∫ − dx )4(2x 2 = ∫ +− dx 16) x 16(4x 2 = 34 x3 – 8x2 + 16x + C


Bentuk Akar Untuk menyelesaikan integral bentuk akar, akarnya diubah dulu ke bentuk pangkat pecahan. Contoh :

1. dx xx∫ = ∫ dx x.x 21

= ∫ dx x 23

= C x

251 2

5

+ = 25

x52 + C

2. ∫ 3x

dx = ∫ dx x 23-

= C x

21

1 21

-+

−= 2

1-

x2− + C

Soal latihan : 1. a. ∫ +− dx 10x) 9x 8x( 25 = …. b. ∫ +−+ dx 5) 4x 6x 12x( 23 = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. a. ∫ + dx 4) (2x x3 2 = …. b. ∫ ++ dx 3) (2x 2) (4x = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. a. ∫ +− dx )x1

x3

x2

( 23 = …. b. ∫+− dx )

x28 x 43x( 3

2

= ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. a. ∫ + dx 5) (x 2 = …. b. dx 2) (3x 2∫ − = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. a. dx x5∫ = …. b. dx )xx(2x 3∫ − = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


EVALUASI 6 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar 1. ∫ +− dx 12) 6x x( 2 = ….

a. 2x – 6 + C d. 31 x3 – 3x2 + 12x + C

b. x3 – 3x2 + 12 + C e. 31 x3 – 6x2 + 12x + C

c. 31 x3 – 3x2 + 12 + C

2. ∫ ++ dx 2) 4x x3( 2 = ….

a. x2 + 2x + 2 + C d. 3x3 + 2x2 + 2x + C b. x3 + 2x2 + 2 + C e. 3x3 + 4x2 + 2x + C c. x3 + 2x2 + 2x + C 3. ∫ − dx 3) (x 2 = ...

a. 31 x3 – 6x2 + 9x + C c.

31 x3 – 6x2 + 6x + C e. x2 – 6x + 6 + C

b. 31 x3 – 3x2 + 9x + C d. x2 – 6x + 9 + C

4. ∫ +− dx 4) 4x (x4x 2 = ….

a. 32 x3 – 4x2 + 16x + C d. x4 – 8x3 + 8x2 + C

b. x4 – 3

16 x3 + 8x2 + C e. x4 – 16x3 + 8x2 + C

c. x4 – 3

16 x3 + 16x2 + C

5. ∫ − dx 6)(x 2 = ….

a. 31 x3 – 6x2 + 36x + C d.

31 x3 – 12x2 – 36x + C

b. 31 x3 – 12x2 + 36x + C e.

31 x3 – 12x2 – 36 + C

c. 31 x3 – 6x2 – 36x + C

6. ∫+− dx )

x26 x 4x3( 3

2

= ….

a. 23 – 2x-1 – 3x-2 + C d.

23 ln x – 2x-1 +

23 x-2 + C

b. 23 + 2x-1 – 3x-2 + C e.

23 ln x + 2x-1

23

− x-2 + C

c. 23 ln x – 2x-1

23− x-2 + C


7. ∫ −+ dx 3) (2x 4) (x = ....

a. 32 x3 +

25 x2 - 12x + C c. x3 - 5x2 - 12x + C e. 2x2 + 5x - 12 + C

b. 32 x3 -

25 x2 - 12x + C d. 2x2 - 5x - 12 + C

8. dx x3x 5∫ = ….

a. xx32 4 + C d. xx

92 3 + C e. xx

92 4 + C

b. xx32 3 + C e. xx

92 2 + C

9. ∫ − dx 3) (2x 2 = ….

a. 34 x3 + 6x2 + 9x + C c.

34 x3 – 6x2 + 9x + C e. 8x2 – 9x + C

b. 34 x3 – 6x2 – 9x + C d.

34 x3 + 9x + C

10. ∫ − dxxx )2( 3 = ....

a. 35

43

25

xx − + C c. 35

34

52

xx − + C e. 35 xx − + C

b. 35

34

25

xx − + C d. 35

43

52

xx − + C

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. ∫ +− dxxx )543( 2 = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. ∫ +− dxxx )1)(23( 2 = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. ∫ + dxx 2)13( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. ∫

++dx

xxx3

2

345

= ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. ∫ dxxx 37 = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


B. Fungsi Trigonometri B. Trigonometric Function Contoh :

1. ∫ dx4x cos = 41 sin 4x + C

2. ∫ dxx 32

sin = –23 cos

32 x + C

3. ∫ dx 6x)sin 2 -5x (cos = 51 sin 5x +

31 cos 6x + C

4. ∫ ++ dx 3x) cos 4 8x sin (2x = x2 – 81 cos 8x +

34 sin 3x + C

Soal latihan : 1. a. ∫ − dx x)cos 52x(sin = …. b. ∫ + dx 3x)sin 2 5x cos( = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. ∫ + dx 3) (4x cos = …. b. ∫ + dx 3) (2x sin 5 = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. ∫ ++ dx )4x 2x sin 4 x 43

cos (3 3 = …. b. ∫ −+ dx 2x)) (5 cos 3 5x sin (4 = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. ∫ +− dx 3x) cos 6 5x sin 65

x41

( 2 = …. b. ∫ +− dx 7x)sin 2 x 52

cos (3x 2 = ….

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. ∫ ++ dx )x3 sin x 5 8x cos (2 = …. b. ∫ +−− dx 2x) cos 6 3x) (4sin xx( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

Rumus dasar integral : 1. ∫ dxx sin = – cos x = C

2. ∫ +−= C ax cos a1

dx ax sin ; ∫ ++−=+ C b) (ax cos a1

dx b) (ax sin

3. ∫ dxx cos = sin x + C

4. ∫ += C ax sin a1

dx ax cos ; ∫ ++=+ C b) (ax sin a1

dx b) (ax cos


EVALUASI 7 A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. ∫ =+ .... dx 5) (4x sin

a. –¼cos (4x + 5) + C c. –4sin (4x + 5) + C e. cos (4x + 5) + C b. ¼cos (4x + 5) + C d. 4sin (4x + 5) + C 2. ∫ − dxxx )3sin2cos2( = ....

a. 4sin 2x - 3cos 3x + C d. sin 2x - 31 cis 3x + C

b. -4sin 2x - 3cos 3x + C e. sin 2x + cos 3x + C

e. sin 2x + 31 cos 3x + C

3. ∫ − dxx)25sin( = ....

a. 21 cos (5 - 2x) + C d.

51 cos (5 - 2x) + C

b. 21 cos (5 + 2x) + C e. -

51 cos (5 - 2x) + C

c. -21 cos (5 - 2x) + C

4. ∫ − dxxx )cos32sin6( = ....

a. 3cos 2x + 3sin x + C d. 3cos 2x - 3sin x + C b. -3cos 2x + 3sin x + C e. 3sin 2x + 3cos x + C c. -3cos 2x - 3sin x + C 5. ∫ + dx 3) (4x cos = ….

a. 41 sin 4x + C c.

41 sin (4x + 3) + C e.

31 sin 4x + C

b. -41 sin 4x + C d. -

41 sin (4x + 3) + C

6. ∫ − dx 3x) (2sin = ….

a. 21 cos (2 – 3x) + C c. -

31 cos (2 – 3x) + C e. -

21 cos 3x + C

b. 31 cos (2 – 3x) + C d. -

21 cos (2 – 3x) + C

7. ∫ dx 2x)sin - x cos (2 = ....

a. 2sin x – 2 cos 2x + C d. 2sin x + 21 cos 2x + C

b. 2sin x – cos 2x + C e. 2sin x + cos 2x + C

c. 2sin x – 21 cos 2x + C


8. ∫ = .... dx 3x)sin 2 -4x (cos

a. -4sin 4x – 6 cos 3x + C d. 41 sin 4x –

32 cos 3x + C

b. 4sin 4x + 6 cos 3x + C e. 41 sin 4x +

32 cos 3x + C

c. 41 sin 4x +

61 cos 3x + C

9. ∫ ++ dxxxx )sin32cos( 2 = ….

a. 31 x3 +

21 sin 2x - 3cos x + C d. 2x - 2sin 2x + 3cos x + C

b. 31 x3 +

21 sin 2x + 3cos x + C e. 2x + 2sin 2x - 3cos x + C

c. 31 x3 -

21 sin 2x - 3cos x + C

10. ∫ + dx 5x) cos 5 2x sin -(2x = ….

a. 2 – 21 cos 2x + sin 5x + C d. x2 –

21 cos 2x + sin 5x + C

b. 2x – 21 cos 2x + sin 5x + C e. x2 +

21 cos 2x + sin 5x + C

c. x2 + 21 cos 2x +

51 sin 5x + C

B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar ! 1. ∫ =+− .... dx x)8x64x( 23

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. ∫ =++ .... dx 4) (2x 3) (x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. ∫ =+ .... dx )2(3x 2

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. ∫ = .... dx xx2 3

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. ∫ =++ .... dx 5x)sin 3 1) (2x (cos

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


2. Integral Tertentu 2. Certain Integral A. Bentuk Umum Integral Tertentu A. The Form of a General Integral

∫ ==b

a

ba (a) F - (b) F (x) F dx (x) f

Dimana : a = batas bawah b = batas atas F (x) = fungsi hasil integral dari f (x) F (b) = nilai fungsi F (x) untuk x = b F (a) = nilai fungsi F (x) untuk x = a B. Sifat-sifat Integral Tertentu B. Attributes a Certain Integral Contoh :

1. ∫ =3

1

.... dx 2x

Penyelesaian :

∫3

1

dx 2x = [ ]312x = (32 – 12)

= 9 – 1 = 8

1. ∫ ∫=b

a

a

bdx (x) f - dx (x) f

2. ∫ ∫ ∫+=c

a

b

a

c

bdx (x) f dx (x) f dx (x) f ; a < b < c

3. ∫ =a

a0 dx (x) f

4. ∫ ∫=b

a

b

adx (x) f k dx (x) f . k ; k = konstanta


2. ∫ ++2

1

2 dx 4) x 4x( = ….

Penyelesaian :

∫ ++2

1

2 dx 4) x 4x( = 2

1

23 x4x2x31

++

= 31 (23 – 13) + 2 (22 – 12) + 4 (2 – 1)

= 31 (8 – 1) + 2 (4 – 1) + 4 . 1 = 2

31 + 6 + 4

= 1231

3. ∫ +3

1

2 dx 3) (x = ….

Penyelesaia n :

∫ +3

1

2 dx 3) (x = ∫ ++3

1

2 dx 9) 6x x( = 3

1

23 9x 3x x31

++

= 31 (33 – 13) + 3 (32 – 12) + 9 (3 – 1)

= 31 (27 – 1) + 3 (9 – 1) + 9 . 2

= 832 + 24 + 18

= 5032

4. dx xx104

1∫ = ….

Penyelesaian :

dx xx104

1∫ = dx 10x

4

1

23

∫ =

4

1

25

x

25

10 = 4

1

5x4

= 4 ( 55 14 − ) = 4 ( 1)2( 52 − ) = 4 (25 – 1) = 4 (32 – 1) = 124


5. ∫ −+3

132

dx )x6

x4 x 2( = ….

Penyelesaian :

∫ −+3

132

dx )x6

x4 x 2( = ∫ −+

3

1

3-2- dx )6x 4x (2x = 3

1

2-1-2 x2

6x

14

x−

−−

+

= 3

12

2

x3

x4

x +− = (32 – 12) – )13(

4−

+ )13(

322 −

= 9 – 1 - 24 +

193−

= 8 – 2 + 83

= 683

6. ∫π

π2

dx2x sin = ….

Penyelesaian :

∫π

π2

dx2x sin = π

π2

2x cos 21

− =

21

− (cos 2 . 180o – cos 2 . 90o)

= 21− (cos 360o – cos 180o) =

21− (1 – (-1))

= 21

− . 2

= - 1

7. ∫2

6

dx 4x cos 3

π

π

= ….

Penyelesaian :

∫2

6

dx 4x cos 3

π

π

= 2

6

4xsin 43

π

π

=

43 (sin 4 . 90o – sin 4 . 30o)

= 43 (sin 360o – sin 120o) =

43 (0 – 3

21 )

= 383−


Soal latihan :

1. a. ∫ +2

0

dx 2) (4x = …. b. ∫ +−3

1

2 dx 5) 2x (3x = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. a. ∫−

+2

1

dx 1) (3x 2x = …. b. ∫−

++1

1

dx 3) (x 2) (x = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. a. ∫ +3

0

2 dx 2) (x = …. b. ∫ −2

1

2 dx 3) (2x = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. a. ∫2

0

dx x2x = …. b. ∫ +3

12

dx )x1 (2x = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. a. ∫2

0

dx sin x 2

π

= …. b. ∫π

π3

dx2x cos = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 8 A. Pilihlah jawaban yang paling benar !

1. ∫ +3

0dx 3) 2x ( = ….

a. 9 b. 15 c. 18 d. 24 e. 27

2. ∫ +−4

1

2 dx 1) 4x 3x( = ….

a. 15 b. 30 c. 33 d. 36 e. 63

3. ∫−

++2

1

2 dx 5) 2x x( = ….

a. 21 b. 17 c. 15 d. 9 e. 5

4. ∫ −3

0dx )13x( = ….

a. 8 b. 1021 c. 13

21 d. 16

21 e. 18

5. ∫ +5

2dx 2) 4x ( = ….

a. 6 b. 12 c. 24 d. 42 e. 48


6. ∫ −4

0dx )x3( = ….

a. 12 b. 9 c. 731 d. 6

32 e. 5

31

7. ∫ −9

0

3 dx )xx( = ….

a. 7951 b. 54

53 c. 33

32 d. 27 e. 18

8. ∫4

1dx x3 = ….

a. 16 b. 14 c. 12 d. 8 e. 7

9. ∫π

0dxsin x 2 = ….

a. -4 b. -2 c. 0 d. 2 e. 4

10. ∫2

0dx x cos

π

= ….

a. -1 b. 21 c. 1 d.

23 e. 2

B. Jawablah pertanyaan di bawah !

1. ∫ +−3

1

2 dx 2) 2x x( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

2. ∫ +2

0dx 1) 6x ( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. ∫ +−4

1

2 dx 4) 3x 2x( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

4. ∫ +4

0dx )x 2x ( = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

5. ∫π

π2

dx2x sin = ….

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


17.2. Integral Substitusi dan Integral Parsial 17.2. Substitution Integral and Partial Integral Indikator : 1. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi 2. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial 3. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi

trigonometri Tujuan : Siswa dapat : 1. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara

substitusi 2. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial 3. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara

substitusi trigonometri 4. Melakukan teknik pengintegralan untuk menyelesaikan masalah. Uraian Materi : 1. Integral Substitusi 1. Substitution Integral Untuk mengerjakan soal-soal integral benuk perkalian, pembagian, dan bentuk pengkat, maka sebelum diintegralkan erlebih dahulu harus diselesaikan dalam bentuk penjumlahan atau selisih. Jika bentuk-bentuk ttersebut tidak dapat diubah ke bentuk jumlah atau selisih, maka harus diselesaikan dengan cara substitusi. Ingat rumus dasar intergal :

∫ dxx n = cxn

n ++

+1

11 ; n ≠ –1

∫ xdxsin = –cos x + c

∫ xdxcos = sin x + c

Karena yang akan diselesaikan adalah fungsi dari aljabar dan fungsi trigonometri, maka untuk integral substitusi rumusnya adalah :

∫ duu n = Cun

n ++

+1

11 ; n ≠ –1 dan u = f (x)

∫ udusin = –cos u + C

∫ uducos = sin u + C

Contoh : 1. Selesaikan : ∫ − 32 )2(xx dx

Jawab :

Misal : u = x2 – 2 → dxdu = 2x atau dx =

xdu2

∫ − 32 )2(xx dx = ∫ xdu

ux2

. 3 = ∫ duu 3

21

= 13

)13(21 +

+u + C =

81 u4 + C =

81 (x2 – 2)4 + C


2. Selesaikan : ∫ + dxxx 6)5(2

Jawab :

Misal : u = x + 5 → dxdu = 1 atau dx = du

∫ + dxxx 6)5(2 = ∫ duux 6.

Karena masih ada unsur x, maka x harus dinyatakan dalam u. u = x + 5 → x = u – 5 → 2x = 2(u – 5), jadi : ∫ + dxxx 6)5(2 = ∫ − duuu 6).5(2

= ∫ − duuu 67 102

= 82 u8 –

710 u7 + C

= 41 (x + 5)8 –

710 (x + 5)7 + C

3. Selesaikan : ∫ −dx

xx

53

2

)3(

Jawab :

Misal : u = x3 – 3 → dxdu = 3x2 → dx =

23xdu

∫ −dx

xx

53

2

)3( = ∫ 25

2

3xdu

ux = ∫ 53u

du = ∫ − duu 5

31

= )15(3

1+−

u–5 + 1 + C

= 121− u–4 + C

= 121

− (x3 – 3)–4 + C

= 43 )3(12

1−

−x

+ C

4. Selesaikan : ∫ + 62xx dx

Jawab :

Misal : u = x2 + 6 → dxdu = 2x → dx =

xdu2

∫ + 62xx dx = ∫ xdu

ux2

= ∫ duu 21

21

= Cu ++

+121

)121

(2

1 = Cu +23

)23

(2

1

= Cx ++ 23

2 )6(31 = Cx ++ 32 )6(

31


5. Selesaikan : ∫ − dxxx )1cos(4 2

Jawab :

Misal : u = x2 – 1 → dxdu = 2x → dx =

xdu2

∫ − dxxx )1cos(4 2 = ∫ xdu

ux2

cos4 = ∫ uducos2

= 2 sin u + C = 2 sin (x2 – 1) + C 6. Selesaikan : ∫ xdxx cos.sin 3

Misal : u = sin x → dxdu = cos x → dx =

xdu

cos

∫ xdxx cos.sin 3 = ∫ xdu

xucos

cos3 = ∫ duu 3

= 41 u4 + C

= 41 sin4 + C

Soal latihan : 1. Selesaikan : a. ∫ + dxxx 42 )2(4 b. ∫ −− dxxxx 52 ))(12(

Jawab : …………………………………………………………………………………………..... 2. Selesaikan : a. ∫ − dxxx 332 )4(3 b. ∫ ++ dxxxx )4)(43( 32

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Selesaikan :

a. ∫ −dx

xx

42 )2(4 b. ∫ +

+dx

xxx

)3()32(

2

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. Selesaikan :

a. ∫ − dxxx 53 2 b. ∫ + dxxx 123 32

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Selesaikan : a. ∫ − dxxx )62sin(4 2 b. ∫ xdxx sin.cos 4

Jawab : …………………………………………………………………………………………….


2. Integral Parsial 2. Partial Integral Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan soal-soal integral fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang tidak dapat diselesaikan dengan cara substiusi. Rumus Integral Parsial : ∫ ∫−= dxuvuvvdxu ''.

dimana : u = f (x) dan v = f (x) u' = turunan dari u dan v' turunan dari v

∫ dx x sin n = ∫ −− −+− dx sin

n1 n

n xsin . x cos 2 n

1 n

∫ dx x cos n = ∫ −− −+ dx cos

n1 n

n xcos .sin x 2 n

1 n

Contoh : 1. Selesaikan : ∫ xdxxsin

Misal : u' = sin x → u = –cos x v = x → v' = 1 ∫ xdxxsin = uv – ∫ dxuv'

= –cosx . x – ∫− dxx 1.cos

= –x coc x + ∫ xdxcos

= –x coc x + sinx + c = sinx – x cos x + c 2. Selesaikan : ∫ xdxx cos2

Misal : u' = cosx → u = sin x v = x2 → v' = 2x ∫ xdxx cos2 = uv – ∫ dxuv'

= sin x . x2 – ∫ xdxx 2.sin

= x2 sin x – ∫ xdxx sin2

Misal : u' = sin x → u = –cos x v = 2x → v' = 2 ∫ xdxx cos2 = x2 sin x – {(– cos x . 2x) – ∫− dxx 2.cos }

∫ xdxx cos2 = x2 sin x + 2x cos x - ∫ xdxcos2

∫ xdxx cos2 = x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C


3. Selesaikan : ∫ dx x sin 3

Jawab :

∫ dx x sin 3 = ∫ −− −+− dx sin

31 3

3 xsin . x cos 2 3

1 3

= 31

− cos x . sin2 x + 32 ∫ xdxsin

= 31− cos x . sin2 x –

32 cos x + c

Dalam menyelesaiakn integral parsial dapat juga dilakukan dengan cara tabel contoh : 1. ∫ dxxx )2cos4( = ….

Jawab : di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan

silang. 4x cos 2x dx

4

21 sin 2x + C

0 -

41 cos 2x + C

Hasilnya : 4x . (21 sin 2x) + -4 . (-

41 cos 2x) + C

2x sin 2x + cos 2x + C 2. ∫ xdxx cos2 = ….

Jawab : di depan diturunkan sampai hasilnya 0 dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan

silang. x2 cos x dx 2x sin x + C

2 -cos x + C 0 -sin x + C

Hasilnya : x2 sin x -2x (-cos x) - 2 sin x + C x2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C

tanda (+)

tanda (-)

tanda (+)

tanda (+) tanda (-)


Soal latihan : Selesaikan soal-soa l di bawah ini. 1. a. ∫ dx x cosx b. ∫ dx2x sin x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. a. ∫ dxsin x x 2 b. ∫ dx2x cos x 2

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. a. ∫ + dxsin x 2) (x b. ∫ dx x cos 3) -(2x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. a. ∫ dx3x cos2x b. ∫ dx5x sin 3x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. a. ∫ dx x cos 3 b. ∫ dx x sin 2

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 17.3. Pemakaian Integral 17.3. The Integral Indikator : 1. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan/atau sumbu-sumbu koordinat

dihitung luasnya menggunakan integral. 2. Volume benda putar dihitung dengan menggunakan integral. Tujuan : Siswa dapat : 1. Menggambar grafik-grafik fungsi dan menentukan perpotongan grafik

fungsi sebagai batas integrasi. 2. Menentukan luas daerah dibawah kurva dengan menggunakan integral 3. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah kurva 4. Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar (menggambar

daerahnya, batas integrasi) 5. Menghitung volum benda putar dengan menggunakan integral Uraian Materi : 1. Luas Daerah 1. Wide Area a. menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu x 1. Daerah diatas sumbu x Jika y = f (x) > 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus :

∫=b

a

dx (x) fL (daerah diatas sumbu x)

a b x

y y = f(x)


2. Daerah dibawah sumbu x Jika y = f (x) < 0 maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x), sumbu x, garis x = a dan x = b dapat dihitung dengan rumus :

∫−=b

a

dx (x) fL (daerah dibawah sumbu x)

3. Daerah diatas dan dibawah sumbu x Jika y = f (x) > 0 dan y = f (x) < 0, (daerah diatas dan dibawah sumbu x), maka dapat dihitung dengan rumus :

L = ∫b

a

dx (x) f – ∫c

b

dx (x) f

Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 4, sumbu x, garis x = 2 dan

x = 4 ! Penyelesaian :

L = ∫ +4

2

dx 4) 2x (

= [ ]42

2 4x x + = (42 – 22) + 4 (4 – 2) = 16 – 4 + 8 = 20 satuan luas 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu x ! Penyelesaian : Titik potong kurva dengan sumbu x 6x – x2 = 0 x (6 – x) = 0 ? x = 0 dan x = 6

L = ∫ −6

0

2 dx ) x6x(

L = 6

0

32 x31

3x

−

= 3 (62 – 0) – 31 (63 – 0)

= 3 . 36 – 31 . 216 = 108 – 72

L = 36 satuan luas

a b x y

y = f(x)

b a c x

y

y = f(x)

2 4 x

y y = 2x + 4

0 6 x

y


3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x + 8, sumbu x, x = 2 dan x = 4 Penyelesaian : Luas daerah ada dibawah sumbu x (tanda integral negatif)

L = - ∫ +−4

2

2 dx 8) 6x (x

L = - 4

2

23 x83x x31

+−

= - {31 (43 – 23) – 3 (42 – 22) + 8 (4 – 2)}

= - {31 (64 – 8) – 3 (16 – 4) + 8 . 2}

= - (1832 – 36 + 16) = - (-1

31 )

L = 131 satuan luas

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x ; sumbu x ; x = -1, x = 0 dan x = 3

seperti terlihat pada gambar ! Penyelesaian :

L = - ∫ ∫−

+0

1

3

0

dxx dx x

L = - 3

0

20

1

2 x21

x21

+

−

= - 21 (0 – (-1)2)+

21 (32 – 0)

= -21 (-1) + 4

21 =

21 + 4

21

L = 5 satuan luas 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin 2x ; sumbu x ; x = 0 dan x = π π Penyelesaian :

L = ∫ ∫−2

02

dx2x sin dx 2x sin

ππ

π

L = π

π

π

2

2

0

2x cos 212x cos

21

−−

−

2 4 x

y

–1 0 3 x

y

2π π x 0

y


= - 21 (cos 2 . 90o – cos 2 . 0o) +

21 (cos 2 . 180o – cos 2 . 90o)

= - 21 (cos 180o – cos 0o) +

21 (cos 360o – cos 180o)

= - 21 (-1 – 1) +

21 (1 – (-1))

= - 21 (-2) +

21 . 2 = 1 + 1

L = 2 satuan luas Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan sumbu x dapat dihitung dengan rumus :

L = 26

.a

DD dengan D = diskriminan

D = b2 - 4.a.c Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 5x + 4 dan sumbu x. Jawab : a = 1 ; b = -5 ; c = 4 Titik potong kurva dengan sumbu x x2 - 5x + 4 = 0 (x - 1) (x - 4) = 0 x = 1 dan x = 4 D = b2 - 4.a.c = (-5)2 - 4 . 1 . 4 = 25 - 16 = 9

L = 26

.a

DD = 21.69.9

= 63.9 =

627

= 421 satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x2 - 6x + 4 dan sumbu x. Jawab : a = 2 ; b = -6 ; c = 4 D = b2 - 4.a.c = (-6)2 - 4 . 2 . 4 = 36 - 32 = 4

L = 26.a

DD = 22.64.4

= 4.62.4 =

248

= 31 satuan luas

1 4 x

4

y


b. Menentukan Luas Daerah antara dua Kurva Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dan y = g (x), dimana f (x) > g (x) dalam interval x = a dan x = b, dapat dihitung dengan rumus :

L = ∫ −b

adx (x)} g (x) {f

Untuk luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan sumbu x dapat juga dihitung

dengan rumus : L = 26

.a

DD dengan D = b2 - 4.a.c

Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan garis y = 2x ! Penyelesaian : Perpotongan kedua kurva : y = x2 – 2x ; y = 2x x2 – 2x = 2x x2 – 2x – 2x = 0 x2 – 4x = 0 x (x – 4) = 0 x = 0 dan x = 4

L = ∫ −−4

0

2 dx 2x)} (x {2x = ∫ +−4

0

2 dx 2x) x(2x = ∫ −4

0

2 dx ) x(4x

L = 4

0

32 x31

2x

− = 2 (42 – 0) –

31 (43 – 0)

L = 2 . 16 – 31 . 64 = 32 – 21

31

L = 1032 satuan luas

Dihitung dengan rumus : L = 26

.a

DD

Perpotongan dua kurva : x2 - 4x = 0 a = 1 ; b = -4 ; c = 0 D = b2 - 4.a.c = (-4)2 - 4. 1 . 0 = 16

L = 26.a

DD = 21.616.16

= 6

4.16 = 6

64

= 1032 satuan luas

f(x)

g(x)

x

y

0 2 4 x

y

y = 2x

y = x2 – 2x


2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan y = 4x – x2 ! Penyelesaian : Perpotongan kedua kurva y = x2 – 2x dan y = 4x – x2 x2 – 2x = 4x – x2 x2 – 2x – 4x + x2 = 0 2x2 – 6x = 0 2x (x – 3) = 0 x = 0 dan x = 3

L = ∫ −−−3

0

22 dx 2x)} (x ) x{(4x = ∫ +−−3

0

22 dx 2x) x x(4x

L = ∫ −3

0

2 dx )2x (6x = 3

0

32 x32

3x

−

L = 3 (32 – 0) – 32 (33 – 0) = 3 . 9 –

32 . 27

L = 27 – 18 L = 9 satuan luas

Dihitung dengan rumus L = 26.a

DD

Perpotongan dua kurva : 2x2 - 6x = 0 a = 2 ; b = -6 ; c = 0 D = b2 - 4.a.c = (-6)2 - 4 . 2 . 0 = 36

L = 26

.a

DD = 22.636.36

= 4.66.36 =

436

= 9 satuan luas Soal latihan : 1. Tentukan luas daerah dari kurva dan garis -garis berikut ini : a. y = 4 – x2 ; x = -2 dan x = 2 b. y = x2 – 3x – 4 ; x = 0 dan x = 3 c. y = 4x – x2 ; x = 1 dan x = 3 d. y = x2 – 3x ; x = 0 dan x = 3 Jawab : …………………………………………………………………………………………….

0 2 3 x

y

y = 4x – x2

y = x2 – 2x


2. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini : a. c. b. d. Jawab : …………………………………………………………………………………………….

EVALUASI 9 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar. 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x + 2, x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 12 b. 14 c. 16 d. 18 e. 24 2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x, x = 0 dan x = 3 adalah … satuan luas. a. -18 b. -9 c. 9 d. 18 e. 27 3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x2, x = 0 dan x = 2 adalah … satuan luas.

a. 232 b. 5

31 c. 8 d. 10

32 e. 12

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x + 1, sumbu x, x = 1 dan x = 3 adalah … satuan luas.

a. 6 b. 7 c. 12 d. 14 e. 15 5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3 seperti terlihat pada gambar di bawah

ini adalah … satuan luas. a. 14 b. 16 c. 18 d. 20 e. 24

0 4 x

y y = x

0 2 x

y y = x2 – 2x

0 4 6 x

y

y = 4 – x

x

y

y = 9 – x2

0 3 –3

1 3

3

0 x

y y = 2x + 3


6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x – 8, sumbu x, dan sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah … satuan luas.

a. 1032

b. 16 c. 21 -2 4

d. 2132

e. 36 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, untuk x = 0 dan x = 2 seperti terlihat pada

gambar di bawah ini adalah … satuan luas.

a. 232

b. 421

c. 531

d. 8

e. 1032

8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan luas.

a. 8 b. 421 c. 3

32 d. 1

32 e. 1

31

9. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas. a. 8 b. 12 c. 22 d. 24 e. 36 10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan

luas.

a. 131 b. 2

32 c. 4

21 d. 5

31 e. 9

4 –2 x

y

y = x2 – 2x – 8

0 2 x

y

0 2 x 6

y y = x +2


B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva : a. y = 2x + 1 dengan x = 1, dan x = 4 b. y = x2 - 2x - 3x dengan x = 0, dan x = 3 c. y = 3x2 - 3x - 6 dengan x = -1, dan x = 2 Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Hitunglah luas daerah antara dua kurva berikut ini : a. y = x2 – 7x + 10 dan y = 2 – x b. y = x2 dan y = 2x Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Volume benda putar 2. Volum of Play a. Perputaran terhadap sumbu x y Jika daerah yang dibatasi kurva y = f (x), garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka akan didapatkan benda yang volumenya :

V = ∫b

a

2 dx y p

a b x b. Perputaran terhadap sumbu y y x = f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva x = f (y), garis y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya :

V = ∫b

a

2 dy x p

a x Contoh : 1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 2

diputar mengelilingi sumbu x Penyelesaian :

V = ∫b

a

2 dx y π

V = ∫ +2

0

2 dx 2) (x π = ∫ ++2

0

2 dx 4) 4x (x π


V = π 2

0

23 4x 2x x31

++

= π {31 (23 – 0) + 2 (22 – 0) + 4 (2 – 0)}

= π (31 . 8 + 2 . 4 + 4 . 2)

= π (232 + 8 + 8)

V = 1832 π satuan volum

2. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 ; x = 0 dan x = 3

diputar mengelilingi sumbu x ! Penyelesaian :

V = ∫b

a

2 dx y π

V = π ∫ −3

0

22 dx ) x(6x = π ∫ +−3

0

432 dx ) x 12x (36x

= π 3

0

543 x51

3x x12

+−

= π {12 (33 – 0) – 3 (34 – 0) + 51 (35 – 0)

= π (12 . 27 – 3 . 81 + 51 . 243)

= π (324 – 243 + 4853 )

V = 12953 π satuan volum

Soal latihan : 1. Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini

diputar mengelilingi sumbu x ! a. y = 3x – 1 ; x = 1 dan x = 4 b. y = 4 x ; x = 0 dan x = 2 Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini

diputar mengelilingi sumbu y ! a. x = y ; y = 0 dan y = 3 b. y = 2 – x ; y = 2 dan y = 3 Jawab : .............................................................................................................................................


EVALUASI 10 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar. 1. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o

mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

a. 2132 π b. 37

21 π c. 43π d. 64π e. 81π

2. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.

a. 19831 π b. 200

32 π c. 201π d. 211π e. 231

32 π

3. Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2. Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut adalah … satuan volum.

a. 18 π 32 y y = x + 2

b. 19 π 53

c. 20 π 21 0 2 x

d. 20 π 32

e. 24 π 4. Volume benda putar yang terjadi jika y = x – 3, sumbu y dan x = 3 diputar mengelilingi

sumbu x seperti gambar di samping adalah ... satuan volum. a. 9π b. 18π c. 21π d. 24π e. 30π 5. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x, x = 0, x = 2, dan sumbu x jika

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

a. 331 π b. 4

32 π c. 5

31 π d. 6

32 π e. 10

32 π

6. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3, dan sumbu x jika diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

a. 27π b. 45π c. 54π d. 63π e. 76π 7. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu x, x = 0, dan x = 2

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

a. 1832 π b. 19

53 π c. 21π d. 21

31 π e. 24π

y

0 3 x

y = x – 3


8. Volume benda putar dari kurva y = x + 1, x = 1 dan x = 4 dan diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.

a. 21 π b. 27 π c. 39 π d. 42 π e. 45 π 9. Volume benda putar dari kurva y = x2, y = 0, y = 4 dan diputar mengelilingi sumbu y

360o seperti terlihat pada gambar di bawah adalah … satuan volum. a. 2 π y b. 4 π c. 6 π d. 8 π e. 16 π 0 x 10. Volume benda putar dari kurva y = 3x, x = 0, x = 3 dan diputar mengelilingi sumbu x

seperti terlihat pada gambar adalah …. y = 3x a. 27 π satuan volum y

b. 3631 π satuan volum

c. 5232 π satuan volum 0 3 x

d. 81 π satuan volum e. 96 π satuan volum B. Jawablah pertanyaan dibawah ini ! 1. Hitung volume benda putar dari kurva y = x, x = 1, x = 4 dan diputar 360o mengelilingi

sumbu x ! Jawab : ............................................................................................................................................. 2. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2, x = 0, x = 2 dan

diputar 360o mengelilingi sumbu x. Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 3. Tentukan volume benda putar dari kurva y = x2 , y = 0, y = 4, dan diputar 360o

mengelilingi sumbu y. Jawab : ............................................................................................................................................. 4. Tentukan volume benda putar dari kurva y = x + 2, y = 2, y = 4, dan diputar 360o

mengelilingi sumbu y. Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Tentukan volume benda putar dari kurva y = 3 – x, x = 0, x = 3, dan diputar 360o

mengelilingi sumbu x. Jawab : .............................................................................................................................................


ULANGAN HARIAN 3 A. Pilihlah jawaban yang paling benar !

1. Nilai dari ∫ + dx 3) (2x = ….

a. 5 c. 21 2x + 3x + C e. 2x - 3x + C

b. 2 2x + 3 d. 2x + 3x + C

2. ∫ =+ .... dx 1) -(x . 1) x (

a. 3x31

+ x + C c. 3x31

- 2 e. 3x31

+ C

b. 3x31

- x + C d. 3x31

- 2x + C

3. ∫ − dx )1(x 2 = ….

a. 31 x3 – 2x2 – x + C c.

31 x3 – x2 + x + C e. x2 – 2x + 1 + C

b. 31 x3 – x2 – x + C d.

31 x3 – x2 + 1 + C

4. dx x5x∫ = ….

a. C x 2x 2 + c. C x 5 + e. C xx7

10 3 +

b. C x x21

2 2 + d. C x10 +

5. ∫ = .... dx sin x) 3 - x (cos

a. sin x + 3 cos x + C d. -sin x + 3 cos x + C b. -cos x – 3 sin x + C e. 3 sin x + cos x + C c. -sin x – 3 cos x + C 6. ∫ =+ .... dx 5) (4x cos

a. - ¼ sin (4x + 5) + C c. - 4 sin (4x + 5) + C e. sin (4x + 5) + C b. ¼ sin (4x + 5) + C d. 4 sin (4x + 5) + C

7. Hasil dari ∫−

++2

1

3 dx )42(4x x adalah …

a. 24 b. 26 c. 28 d. 30 e. 32

8. ∫ =−2

123

....)12( dxxx

a. 41 b.

21 c.

32 d.

43 e. 1

9. ∫ =4

02 .... dx )

xx - 1

(

a. 41

b. 43 c. 1 d. 2 e. 4


10. Nilai dari ∫π

21

0

dx sin x) 3 -2x (cos adalah ….

a. 3 b. 2 c. 1 d. -1 e. -3


π21

dx x cos 2 = ….

a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2 12. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah …. a. 8 satuan luas y b. 12 satuan luas y = x + 2 c. 22 satuan luas d. 24 satuan luas e. 36 satuan luas 0 2 6 x 13. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 9 dan garis y = x –1 adalah …

satuan luas.

a. 4 b. 421 c. 16 d. 20

21 e. 31

14. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut y adalah …. a. 24 satuan luas b. 21 satuan luas y = 9 – x2

c. 18 satuan luas d. 12 satuan luas e. 6 satuan luas x 0 3 15. Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2.

Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di samping. Volume kerucut itu adalah … y y = x + 2

a. 18 π 32 satuan volume

b. 19 π 53 satuan volume

c. 20 π 21 satuan volume 0 2 x

d. 20 π 32 satuan volume

e. 24 π satuan volume


B. Jawablah dengan benar soal-soal dibawah ini ! 1. ∫ =+− .... dx 6) x 8(3x 2

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 2. ∫ =+ .... dx 4) (3x cos

Jawab : …………………………………………………………………………………………….

3. ∫ =+3

1

2 .... dx 3) 4x - (x

Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 4. y y = x2 – 7x + 6 Tentukan luas daerah yang diarsir ! 1 6 x Jawab : ……………………………………………………………………………………………. 5. Tentukan volume benda putar dari kurva y = 2x yang diputar 3600 terhadap sumbu x

untuk x = 0 dan x = 4 Jawab : …………………………………………………………………………………………….


LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER Pilihlah jawaban yang paling benar !

1. Nilai dar i 1 x

2 3x x lim2

2 x −++

→ = ….

a. 0 b. 4 c. 6 d. 8 e. 12

2. Nilai dari 1x

5 6x x lim 2

2

1 x −+−

→ adalah …

a. 4 b. 2 c. 0 d. –2 e. –4

3. 6 2x

15 2x x lim2

3 x −−+

→ = ….

a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0

4. 3 1 5x

4x lim2

2 x −−−

→ = ….

a. 551 b. 4

54 c. 2

52 d. 1

51 e.

54

5. Nilai dari 4x 2x 3x

10 3x x lim 23

2

0 x −+−+

→ adalah ….

a. 0 b. 31 c.

23 d.

25 e. ∞

6. 6x 4x 2x

2 8x 4x 6x lim 23

23

x −++−+

∞→ = ….

a. 0 b. 1 c. 34 d. 3 e. ∞

7. 4x x tg36xsin 4x lim

2

2

0 x → = ….

a. ∞ b. 6 c. 4 d. 2 e. 21

8. Nilai dari 3xsin 5x

3x tg.3x cos lim2

0 x → adalah ….

a. 53 b.

54 c. 1

51 d. 1

54 e. 4

51

9. xx

x cos42sin

lim2π

→ = ….

a. 0 b. 41 c.

21 d. 2 e. ∞

10. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x3 + 4x2 – 6x adalah f' (x) = …. a. 2x2 + 8x – 6 c. 6x3 + 8x2 – 6x e. 6x4 + 8x3 – 6x2 b. 6x2 + 8x – 6 d. 2x4 + 2x3 – 3x2 11. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 3x (x2 – 4x) adalah f' (x) = …. a. 3x3 – 12x2 c. 3x2 – 8x e. 3x (3x – 8) b. 3x2 – 12x d. 6x (x – 2)


12. Tur unan pertama dari fungsi f (x) = (x + 5) 2 adalah f' (x). Nilai f' (–2) = …. a. 6 b. 4 c. 2 d. –2 e. –4 13. Turunan pertama dari fungsi f (x) = 8x – 4 x adalah f' (x) = ….

a. 8 – x

2 b. 8 + x

2 c. 8 – 2 x d. 8 + 2 x e. 8 – 2x x

14. Turunan pertama dari f (x) = 2 cos (3x + 2) adalah f' (x) = ….

a. –6 sin (3x + 2) c. 32 sin (3x + 2) e. 6 sin (3x + 2)

b. –32 sin (3x + 2) d.

23 sin (3x + 2)

15. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 – 5x – 2 di titik (1, –4) adalah …. a. y = x – 5 c. y = 3x – 3 e. y = 6x – 5 b. y = x + 5 d. y = 3x + 3 16. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 – 2x – 8 di titik (2, –8) adalah …. a. y = 2x + 12 c. y = 2x – 8 e. y = 2x – 12 b. y = –2x – 12 d. y = –2x + 8 17. Peluru ditembakan tegak lurus ke atas dengan persamaan h (t) = 160t – 5t2 (dalam

satuan m). Ketinggia n maksimum yang dicapai oleh peluru adalah …. a. 640 m b. 720 m c. 1.080 m d. 1.280 m e. 2.560 m 18. Grafik fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 – 12x turun pada interval …. a. –1 < x < 2 c. x < –1 atau x > 2 e. x < 1 atau x > 2 b. –2 < x < 1 d. x < –2 atau x > 1 19. Himpunan penyelesaian dari fungsi f (x) = x3 – 3x + 3, jika fungsinya naik adalah …. a. –1 < x < 1 c. x < –1 atau x > 1 e. x < –3 atau x > 1 b. –3 < x < 1 d. x < 1 atau x > 3 20. Nilai x yang memenuhi fungsi f (x) = 4x3 + 9x2 – 12x + 3, jika fungsinya diam

(stationer) adalah ….

a. {21 , 2} b. {–

21 , 2} c. {–

21 , –2} d. {–2,

21 } e. {–2, 1}

21. ∫ −+ dx 1) (x 5) (3x = ….

a. 3x3 + 2x2 – 5x + c c. x3 + 2x2 – 5x + c e. 3x + 2 + c b. 3x3 + x2 – 5x + c d. x3 + x2 – 5x + c 22. dx x3∫ = ….

a. 2x x + c b. 3x x + c c. 4x x + c d. 6x x + c e. 9x x + c 23. ∫ dx2x cos 2 = ….

a. –sin 2x + c c. sin 2x + c e. 4 sin 2x + c

b. –41 sin 2x + c d. 2 sin 2x + c

24. ∫ + dx 5) (3x sin = ….

a. –3cos (3x + 5) + c c. 31 cos (3x + 5) + c e. cos (3x + 5) + c

b. –31 cos (3x + 5) + c d. 3cos (3x + 5) + c


25. Nilai dari : ∫ +4

1dx 2) 6x ( = ….

a. 20 b. 36 c. 45 d. 49 e. 51

26. Nilai dari : ∫9

4dx x6 = ….

a. 114 b. 89 c. 76 d. 30 e. 6 27. ∫ − dx 3) (x 2 = ...

a. 31 x3 – 6x2 + 9x + c c.

31 x3 – 6x2 + 6x + c e. x2 – 6x + 6 + c

b. 31 x3 – 3x2 + 9x + c d. x2 – 6x + 9 + c

28. Nilai dari ∫ +−2

1dx 4) 3x x

21( 2 = ….

a. 32 b. 2

31 c. 5

31 d. 6

31 e. 9

31


21

0

dx sin x) 3 -2x (cos adalah ….

a. 3 b. 2 c. 1 d. –1 e. –3

30. ∫ =+ .... dx 5) (4x cos

a. –¼ sin (4x + 5) + C c. –4 sin (4x + 5) + C e. sin (4x + 5) + C b. ¼ sin (4x + 5) + C d. 4 sin (4x + 5) + C

31. Nilai dari : ∫π

0dxsin x 3 = ….

a. 6 b. 3 c. 0 d. –6 e. –12 32. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x – 5, x = 2 dan x = 5 seperti terlihat

pada gambar adalah … satuan luas. a. 21 y y = x2 – 4x – 5 b. 18

c. 325 x

d. –18 e. –21 33. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 0 dan x = 4 adalah … satuan luas.

a. 332 b. 4

21 c. 6

31 d. 10

31 e. 10

32

34. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2, sumbu x adalah ... satuan luas.

a. 131 b. 2

32 c. 4

21 d. 5

31 e. 9

35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 5x + 4 dan y = x – 4 adalah … satuan luas.

a. 8 b. 421 c. 3

32 d. 1

32 e. 1

31

2 -1

-5

5


36. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah … satuan luas. a. 8 y y = x + 2 b. 12 c. 22 d. 24 e. 36 0 2 6 x 37. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 3, x = 1, x = 4 dan diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah … satuan volum.

a. 19831 π b. 200

32 π c. 201π d. 211π e. 231

32 π

38. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 1, x = 2, x = 3 dan diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volum.

a. 2132 π b. 37

21 π c. 43π d. 64π e. 81π

39. Sebuah kerucut terpancung yang dibentuk oleh garis y = x + 2, sumbu x ; x = 0, x = 2. Diputar 360o mengelilingi sumbu x seperti gambar di bawah. Volume kerucut tersebut adalah … satuan volum.

a. 18 π 32 y y = x + 2

b. 19 π 53

c. 20 π 21 0 2 x

d. 20 π 32

e. 24 π 40. Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, x = 0, x = 3 dan diputar 360o

terhadap sumbu x seperti terlihat pada gambar adalah … satuan volum. a. 27 π y y = x + 3 b. 45 π c. 54 π x d. 63 π 0 3 e. 76 π


DAFTAR PUSTAKA

LIST OF LIBRARIES

Wiyoto, Drs.2000. Matematika Teknik , Bandung: Angkasa.

Sartono Wirodikromo, Drs. 1996. Matematika SMU III , Jakarta: Erlangga.

Suwah Sembiring, 2003. Matematika untuk SMU Jilid III, YRAMA WIDYA. Bandung.

Asep Sudraja, dkk. 2003. Pintar Matematika. Untuk SMU Kelas 2. Bandung : Ganeca Exact.

M.K. Alamsyah, Drs. 1995. Matematika SMK, Bandung: Armico.

Susilo, Drs. 1988. Panduan matematika, Bandung: Ganesa Exact.

H. Heru Seno, 2004. Matematika Dasar, Primagama. Yogyakarta

Kumpulan naskah soal Ujian Nasional

xa.yimg.comxa.yimg.com/kq/groups/25014323/535032020/name/modul dan lks mat... · Cermat : Modul dan...

Documents

Transcript of xa.yimg.comxa.yimg.com/kq/groups/25014323/535032020/name/modul dan lks mat... · Cermat : Modul dan...