REND. SEM. MAT. UNI VERS. POLITECN. TORINO

Vol. 33° (1974-75)

FRANCO PASTRONE

VERGHE IPERELASTICHE E TEORIA DI BERNOULLI-EULERO (*)

SUMMARY. - Following a former paper, here is given the phisical meaning of five elastic coefficients appearing in the expression of a «linearized » stress-energy function for a nine parameter hyper elastic thin rod (RQ), homogeneous and transversely isotropic, within their mutual bounda­ries. Moreover this theory is compared with the Bernoulli-Euler sche­me, finding that the second one is a simplified, particular case of the four parameter thin rod model (R^}, the schemes coinciding only if the undeformed configuration is rectilinear and constitutive equations in 7?4 are suitably linearized.

1. I N T R O D U Z I O N E .

In una recente nota [6] yeniva determinato nn potenziale ela-stico tridimensionale "linearizzato" per una verga iperelastica, tra-sversalmente omogenea e isotropa, a noye parametri, nell'ambito della teoria del primo ordine dei solidi tubolari sottili, sviluppata da BENENTI [2], Goerentemente con tale teoria, e come gia indicato in [2]3, si e dedotto, per integrazione sulla generica sezione del con-tinuo, un potenziale unidimensionale, da cui si e pervenuti alle equazioni costitutiye "linearizzate". Kell'espressione del poten­ziale tridimensionale comparivano delle costanti di elasticita lT

(r = 0 ,1 , . . . , 4), in numero di cinque per Pipotesi di isotropia tra-sversa, ma non meglio caratterizzate.

Classificazione per soggetto AMS (MOS) 1970: 73C30, 73K05. (*) Lavoro eseguito con contribute del C.N.R., nell'ambito del Gruppo Nazionale

per la Fisica Matematica. I risultati ottenuti sono stati oggetto di una comunicazione al X Congresso" U.M.I. (Cagliari, 22-28 settembre 1975).

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Nella prima parte di questo lavoro (n. 3) si ritrova inrianzi tutto, con un procedimento diverso, il potenziale tridimensionale di cui sopra, precisando il significato fisico delle costanti Xr, il loro legame con analogue costanti introdotte da GREEN & ZERNA-[5],

nonch^ le relative limitazioni. Se il solido tubolare e "tangente" ad un continuo isotropo, nei

punti della direttrice, i coefficient! lr si esprimono, come e naturale, medianet le costanti di Lame\

Nella seconda parte del lavoro (nn. 4 e 5) la teoria viene confron-tata con quella classica di BERNGULLI - EULERO. A tale scopo e stato necessario semplificare lo schema, assumendo come modello la verga a quattro parametri JK4, [2]2. Dal confronto con la teoria ordinaria dei solidi tubolari a quattro parametri (cfr. ad es. [3] e [4]) risulta che il modello di Bernoulli-Eulero e un caso particolare dello schema iperelastico qui considerate, avendosi coincidenza trh i due modelli se e solo se la configurazione di riferimento e a direttrice rettiUnea e le equazioni eostitutive (in JK4) sono opportunamente linearizzate.

. ' • ' . • • - • • . • ' • . • . [ . : • : . ' '

2 . ElGHIAMI E GENERALITA'.

Si consideri nell'ordinario spazio euclideo, un continuo tridimen­sionale schematizzabile in una verga a nove parametri; si vuole dire

4 lo schema del primo ordine, secondo la teoria di ANTMAN & WARNER

[1], atto a descrivere con buona approssimazione il comportamento dinamico di strutture tubolari sottili. In tale teoria, la configura­zione attuale G5 del continuo si intende descritta da equazioni para-metriche xtel tipb <; V

(1) OP=r{^,i) + aa(^,i) 0) V

essendo: 0 un punto fisso, OQ = r (a?3, t) l'equazione della direttrice dr

I di C, aa (a?3, t) due vettori indipendenti da a3 = -p^ (tangente

a I), xz E [a, b] i=iR e xa E & (a?3) <= 1R2 coordinate molecolari. Per quanto riguarda lo studio delle proprieta cinematiche e

O Gli indici ]<atini (escluso l'indice r, inteso yariabile da 0 a 4) variano da l a 3, quelli greci da 1 a 2; indici ripetuti sottintendono la somma.

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dinamiche della verga, nonche* del tipo di potenziale usato e delle equazioni costitutive introdotte, anche nel caso "lineare", si riman-da ai lavori citati in [2] e [6]. Bichiameremo qui solo quanto e essenziale per il prosieguo. Innanzi tutto viene fatta la seguente scelta delle variabili geometrico-cinematiche:

/ _ 3 \ f) aij (x5> l) s ar ai > K = 58a0 • a

1 , ^ 3 = —zj

con le limitazioni

det || atj || > 0 , 1 + k*x?> 0 , V xEa (x5) ;

e delle variabili dinamiche:

& (x\ t) = f % (at) ®dZ , eMa(x\ t)= f xat (n) d2 ,

a a

essendo r Fomografia di tensione, n il versore della normale alia ds J—

sezione 2, £ — ^ = F%3 > 0 (ds elemento d'arco di I), © = t • n

(1+fc/ xa) > 0 ( t=l /e a, versore tangente a I). Vengono inoltre assunte, come caratteristiche di deformazione, le differenze

(2) E^ 1/2 {ay- AJ , F* = 1/2 (*< - K$ ,

dove le Ay e le Kla si riferiscono alia configurazione di riferimento

00, e come caratteristiche di sforzo le componenti

'-.••;5*'"-=Si-a> , M?=Ma-at .

Nel caso di un continuo iperelastico (in senso tridimensionale) di potenziale S> si puo assumere, nello schema considerato, un poten­ziale unidimensionale q> [BjF) del tipo [4]3, nonch6 [2]3, ottenuto per integrazione sulla generica sezione 2:

<P=I/Q f k&(EIF/x)®d2 , con g « j k®d2 ,

a &

(2) a* •" ak = dkl ,

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essendo.ft la densita; quindi le equazioni costitutive della verga assumono la forma: . .Vi.

S^=-Qh. , M?=-l/2Q d(p

E« % '• dFi ' •IJ

Infine, se la verga iperelastica e trasversalmente isotropa, il potenziale tridimensionale $ e funzione delle caratteristiche di deformazione per il tramite dei cinque invarianti

I0 - A™ e , 1,^ AaH , I2 ^ A*AP as., / o \ 33 oc|3 cc|3 /xv

I3^A™Aa?8 8 , IA^A**A«*A?8e 8 8 , q3 |33 ay |33 <53

/ •

essendo e le componenti del tensore locale di deformazione (di-retta) iJ

e = l /2(C— 1)

(C tensore destro di CAUCHY-GREEN, 1 tensore identico) nella base ( 4* J della configurazione di riferimento O0 (

3):

(4) &=9(lo,Ii,It,h,l4) •

Per via quasi euristica si e inoltre dedotto in [6] un potenziale elastico tridimensionale "linearizzato", per una verga iperelastica trasversalmente omogenea e isotropa a nove paranjetri:

(5) y(/r)=VJ + V J + ^ 4 + Vi + ^ / i " .

edi qui il potenziale unidimensionale

(6) 9> = l/e / k$®d2 , a

(s) Per quanto riguarda l'espressione delle « e degli invarianti Ir in termini delle

caratteristiche di deformazione £"u e Falsi veda [2]8 e [6].

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con le relative equazioni costitutive esplicite nelle caratteristiche Ey e ^a- Si noti che le lr sono dei parametri reali aventi il carattere di costanti di elasticita (4). ..

Si osservi esplicitamente che la linearizzazione e stata fatta rispetto alle caratteristiche e ,. e non rispetto alle E{j e Fj, per il

a motivo che, mentre le e sono tutte esprimibili alio stesso modo

a in termini dello spostamento u = P0 P, o meglio del suo gradiente diu=ei — Eir essendo { j e (l£f) le basi naturali nelle configurazioni attuale e di riferimento, non cosi accade per le caratteristiche Eti e F^ che, cfr. [6]: (19), (20), (26), dipendono in parte dalle derivate prime e in parte dalle derivate seconde dello spostamento e pertan-to non e del tutto naturale il relativo confronto (5).

3. Potenziale elastico"linearizzato" e costanti di elasticita.

Alio scopo di meglio caratterizzare le costanti di elasticita Xr, con le eventuali limitazioni connesse, conviene "linearizzare" di­rettamente il potenziale (4), apartire da uno sviluppo in serie di potenze nelle e , per il tramite degli invarianti Jr, arrestando tale

sviluppo ai termini quadratici nelle e (al riguardo cfr. [7], pag. 229). ''«;

Se si suppone la cohfigurazione di riferimento G0 stato di equi­libria naturale si ha innanzi tutto

(6) f [ / r ( £ ) ]~ / ( e )= l /2 d^[lr(e)]}

d s de . ij hk

e e €—0 a hk

(*) Meno restrittivamente. in [6] si era supposto le Ar cos'anti solo sulle sezioni 2 (omogeneita trasversa), ma non c'e difncolta a supporre le K costanti in tutto C (verga omogenea).

(5) Si sarebbe potuto ottenere un potenziale ridotto, nel senso di SIGNORINI [7], pagg. 229-233, esplicitato cioe in termini della parte lineare delle e :

per poi pervenire a equazioni costitutive effettivamente linearizzate nelle caratteristiche Eij e Fa' .Ma, a parte l'opportunita di tale linearizzazione, nel senso predetto, per quanto riguarda le costanti X'r, non c'e diffeernza tra lo scegliere le e o le rji). "Nel seguito si

<7 linearizzera direttamente nelle Eij e Fat le equazioni costitutive trovate, per il confronto con la teoria di BERNOULLI-EULERO.

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D'altra parte si deve intendere

d2$ _ d*$ dlr 8I8 d$ 82lr

Be de dlrdl8 de de dlr de de "" if hk ij hk ii hk

in modo cbe, con le posizioni

_ /d.Sf\ . . ' _ _ / d2$ \

la (6) si esplicita nel modo seguente

(8) f(e)=U2 [$00P0 + SiiIl + 2$!,Ii + 2$3I3+$l)lI0I1] .

Confrontando la (8) con la' (5) si ricava il significato delle costanti elastiche Xr:

(9) A0=l/2sr00 , A1 = l/2s :

11 , A2=^2 , ^3=^3 > A4=l/2^0 1 .

Questi legami ci inducono a ficonoscere, a meno di inessenziali coefficienti numerici maltipbcativi, una certa analogia delle costanti Xx e A4 con i moduli di estensione trasversa, di X2 e x3 con i modub secanti di scorrimento, di A0 con il modulo tangente di estensione longitudinale (cfr. [8], pp. 145-46).

Si trovano inoltre delle facib relazioni tra i coefficienti (7) (e quindile costanti Ar) e le costanti di elasticita crs™n , nel caso di isotropia trasversa, riportate in [5], pp. 155-56:

c ^ v = ^ n ( W < v + 2 2 (W V ,

c ^ 3 = 2 ^ 3 ^ , c3333=^00 .

Inflne l'ipotesi (cfr. [7]) che il potenziale/(e) sia, almeno local-mente nell'intorno della posizione di equibbrio naturale, una forma quadratica definita positiva nelle e{. = Aik e impbca cbe il deter-

ik

minante Ak di tale forma quadratica sia positivo, con tutti i supi minori principab. Poicb^, a conti fatti, e

4 l —^2^3

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1 ~ " 2 ^1 / 4

1 "1 ~^~ 2 / 4

1/2 A4 1/2 A4 A0

si ricavano per le costanti Xr le seguenti limitazioni:

(10) A0>0, X2>0, A3>0, 2 ^ + A s > 0 , 2A0(24, + X2)> X\ .

OSSERVAZIONE. Si supponga il continuo (tubolare) isotropo e si voglia determinare il potenziale elastico "linearizzato" nell'am-bito della teoria tridimensionale, limitatamente ai punti della diret-

trice I. Tale potenziale/ (e) dipende dalle caratteristiche di defor-mazione per il tramite degli invarianti di deformazione (diretta) lineare e quadratico relativi alia metrica di riferimento:

( i i ) / (« )=l /2( iL« + 2 ^ ,

essendo A e JLL le costanti di LAME. D'altra parte, sulla direttrice, si ha GfJ = Aip in modo che risulta

£ = V > QE = AiAhkeih*k .

Ne consegue che l'espressione (11) non differisce da

(11') /(«) = 1/2 [(X + 2p) II + XI\ + 2jul2 + 4/J8 + 2X1,1,] ,

e cioe e del tipo (5). In altri termini un filo iperelastico trasversalmente isotropo

diviene isotropo non appena le costanti di elasticity Ar siano op-portunamente legate alle costanti di Lam£ I e ju (6):

(12) 2k1=k4=X 9 l2=\\2X%=fx , 2XQ — X + 2[A .

(°) Lo stesso risultato si puo ottenere a partire dalle definizioni di isotropia e di isotropia trasversa date in GREEN & ZERNA [5], ppp. 150 e segg.: infatti riducendosi sul filo le componenti del tensore di deformazione alle

V = l/2 (aap—daft) , * = 1 / 2 aa3,e7.e = l / 2 > 2 — 1) , ; _ . -••g-JtyW „ —y -jy •

la funzione /(fi) e invariante sia per trasformazioni del tipo [5], (5.4.18), caratterizzanti l'isotropia, ch'e del tipo (5.4.12), caratterizzanti l'isotropia trasversa.

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Si ha cosi una relazione esplicita (anche se valida sulla sola diret­trice) tra le costanti di Lame* e le costanti Ar, con la conferma delle analogie viste precedentemente.

Le (10) implicano per le costanti di Lame'le limitazioni —

(13) A-j-2^0 , fj,>0 , A'+/*>0 , 3A+2^>0' , -

che non differiscono da quelle classiche

(14) ju>0 , 3X + 2ju>0 .

4 . - POTENZIALE ELASTIGO ED EQUAZIONI COSTITUTIVE LINEARIZZATE

PER UNA VERGA A QUATTRO PARAMETRI.

Tra i diversi schemi di solido tubolare deducibih da quello a noye parametri, quello piu semplice e che piu si presta ad un confronto con il modello della teoria di BERNOULLI-EULERO e senza dubbio lo schema a quattro parametri, in cui le sezioni piane normali alia di­rettrice l0 di una assegnata conflgurazione di riferimento <70

r e _

stano piane, indeformate e ortogonali, in ogni conflgurazione (7, alia relativa direttrice J / Tale verga, che chiameremo, in accordo con [2], Riy viene schematizzata in una direttrice munita, in ogni suo punto, di una coppia di assi ad angolo costante fra loro e per-pendicolari alia direttrice (7)/Le condizioni imposte si traducono, per le variabili cinematiche, nelle limitazioni

(15) a a 3 =0 ; aaP=Aa^=costante."

Tale condizione fa si che dei cinque invarianti di def ormazione (3) tre siano uguali a zero (1^ = I2 =-'Z4 == 0), mentre i due restanti assumono la forma esplicita

(16) I0 = A» [E33 + 2 (Au+ 2ESS) (1 + F* f ) F*J°] + 27, ,

(7) Per quanto riguarda le equazioni di moto si veda [2] 2. Nel seguito pero farerrio uso, anche per R.h delle equazioni di moto piu generali.

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a? avendo posto, per brevita, (cfr. [6], (5')), £ e = 3 a .

Di conseguenza il potenziale elastico "linearizzato" assume la semplice forma

(17) , / W - V o + V a 3 3 *o+ 2 ^...QpS* ••*?' 0

da cui il potenziale unidimensionale

(17') <p(E;F) = $0ii; $Qlmt.e,Je*...6p

1 f dove le quantita Jei - 6 P = - / Jc£ei ... £eP<$>d2 sono costanti, come Q i in [6] (10) e segg., e insieme si ha

$s=U0(AyE33(A33+2E3JF* ,

ff „ „ - H (A°*)>(A33 + 2E3S) (An + 2E3i)FIF* + A™ [U0A™Ei3 +

( 1 8 ) ' +Xs]AapF^Fl ,

^* ,=8A„ (^33)2 (4s+2£,3) t ( ^ « + 2 ^ ) F'Fl +AafFZFT\ F^ ,

*...-*.=4Jo C^33)2 [(4» + 2£33) « + A a t F t ° F Z \ [(AS3 +

+2Eu)F*F*+AafF^FQ .

Alio scopo di semplificare la scrittura, supponiamo che le terne {%}e [Ah^ rispettiyamente nella configurazione. attuale e di riferi-mento, coincidano con le terne "principali" di inerzia [ih\ e [i0h] localmente associate ai punti Q e Q0 della direttrice scelta (9):

(8) Si noti che in R* e L = /o, Q — /o2 + 2I3, per cui, supposta, come gia si era fatto net caso del filo elastico, la verga isotropa, si ha per il potenziale linearizzato I'espressione 1/2(M? + 2f*Q) = 1/2[(A + 2^)/o2 -f 4jt*r8]. Identificando ora A0 con 1/2U+ 2//) e A3

con 2|M(e necessario supporre le Ar costanti su tutto il continuo) si ottiene perfetta iden­tity con la (9.2), nonche una conferma dell'analogia di X0 e A3 con i moduli tangente di estensione longitudinale e secante di scorrimento gia notata. E dunque anche in questo caso equivalente supporre la verga isotropa o traversalmente isotropa.

(9) ih - ik = ioh • iok = Shk .

— 190 —

(19) Ah l0h 9 ar la 9 a3 ~~ el3 o-

Supporremo inoltre che la direttrice l0 sia baricentrale: J6=0 e che siano trascurabili i momenti del terzo e quarto ordine: J&lfi=0, JQO^ _ Q, j n taLcaso, tenuto conto che si deve intendere, in virtu dei vincoli imposti, Fga = Aap F% — Flea], ovvero F{ga) ~ 0, il potenziale unidimensioriale avra l'espressione

v=l0(E„y+ M0(I + 2ES3?FlFUe"+(h r ^EM)6^F[ea]FwJ^ .

Di qui le seguenti equazioni costitutive:

(20)

\:S-=-2itelEta + 8E^l + 2E„)^Fl+2ff*Fa^Fl^\J"

Mt=-*Xa(l+2EnyFU" ._

Naturalmente, sullo schema considerato, a quattro parametri, le grandezze .$"& e Sa,i hanno il car otter e di stress reattivo, unita-mente alia parte simmetrica di MQa. = J.a|i Jf| (n).

In ogni caso dalle (20) si ottengono le seguenti equazione costi­tutive linearizzate, quattro quante ne occorrono:

(21)

S8S =' ~ - 2A0 Q Eri ,

M[Qa]=- -2iteF;j»i" ,

M«3 = --U^FlJw ,

In esse, Q e la "densita di massa" sulla sezione 2, Je" il ''ten-sore di inerzia" della medesima rispetto agli assi di versori afr

con Jef*"= 0 per Q ^ JU, in quanto tali assi sono supposti principali di inerzia.

Per passare a caratteristiche di deformazione piu atte al con-fronto con la teoria di BERNOULLI-EULERO, si introducano dappri-ma i vettori:

(10) Le (8.1) continuano a valere in questo riferimento. (11) Al riguardo si veda [2]2, pag. 178.

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(22) M = a„x eMa n

Valgono i legami, invertibili,

(23) K — h- « « = ^ A$

dove si e posto: j?ap s . a ° x a p . n, essendo n il versore della nor-male sezione 2. Nello schema assunto valgono le relazioni n = t — \jB a3 — e a* = i3 e gli indici vengono alzati e abbassati, come di consueto, mediante le atj.

Come caratteristiche di deformazione assumeremo quelle usuali

(24) n^K-Ki•-.: . £ - i / 2 ( « - i ) ,

legate alle precedenti dalle-(23 )s, e dalla

(25) E,S=2E(E+V) .

Le (21), avuto riguardo delle (2), (23), (24), (25), nonche* della rela­tione (13): Q=QO/S ™ (1—• 2E) @0, avendo ulteriormente bnearizzato nelle caratteristiche yh ed i£, di vengonoinfine:

(26)

S**=~-4>XoQoE',

M2=—2l0Q0Juyj2 ,

^ 3 = = - o ^ 0 ^ 3 > 3 >

dove si e posto J33 — J11 + J22. Queste sono le equazioni costitu-tive cercate, ottenute mediante successive sempbflcazioni e linea-rizzazioni.

(12) Confronta [2] 2 , (25), (27). (13) BQ = Q0= cost e una conseguenza dell'equazione di continuita lagrangiana (cfr.

[2]«, (14)). '

— 192 —

OSSERVAZIONE. Si noti come la (21)1? pur lineare nella caratte-ristica JS7 339 sia invece quadratica nell'"allungamento'' E della di-rettrice lG:

(27) &*=-4>X0QE(E + 1) . . . . .

La (21)x, ovvero la (27), rappresenta dunque una legge di HooJce generalizzata, cioe lineare nella caratteristica di deformazione, non nell'allungament o.

Se inflne riduciamo la verga a quattro parametri alia sola diret-triee, la (27) rappresenta una legge di HOOKE generalizzata per i fili elastici, avente uguali coefficienti sia per il termine lineare che per quello quadratico.

5. - Lo schema R± e la teoria di BERNOULLI-EULERO.

Anche nello schema R4 faremo riferimento alle equazioni di moto valide in generale per le verghe a nove parametri, non essen­do essenziale che esse siano pure o contengano reazioni vincolari. Piu precisamente adotteremo la forma alternativa come in BE-NENTI [2]2, (23), (11'), anche se lievemente modificata per maggior praticita: —

(28) | ef=Q(r-za~aa) + llj>83(eR) ,

.. I d gm=Q (zaaa x r + Ja paa x aa)—R x a3 + 1/e dsM , fl8= T~3, ,

cxK

In esse si e posto (cfr. [2]) :

QZa= f kxa<$d2 , gy^= I kxax^d2

Qf= J kg<$d2 , m^aax m a = l / e \ kQPxg^dZ ,

a d • R^S3-klMe ,

essendo: g la densita di forza di massaj m il momento specifico delle forze di massa rispetto a Q\ M, come deflnito in precedenza, il mo­mento specifico degli sforzi relativi alia normale a i1 in §. Inflne il punto indica derivazione rispetto al tempo.

— 193 —

ISTello schema di BERNOULLI-EULERO le equazioni di moto si pos-sono scrivere nella forma (cfr. ad es. [4], (17); [3], (1)):

(29) M<e) = ~M<m) + a3 x RW + d3MW

essendo: K(i) e M{i) il risultante e il momento risultante, rispetto a Q-9 delle forze intime; a Pacceleraziorie del punto generico di lG) M(n,)_ il momento delle forze d'inerzia; R(e) e M(eV il risultante e il momento risultante delle forze est erne j tutte grandezze riferite all'unita di lunghezza di lG.

Alle (29) vengono associate le seguenti equazioni costitutive, lineari nelle caratteristiche di deformazione (u):

(30) m 3 ^ M ( < ) - i 3 = - . a ( 3 ) ^ 3 ,

T '=-R«>-i 8 =.- 2aE ,

dove a e a(h) sono quantita positive dipendenti eselusivamente dalle proprieta fisiche e geometriche della sezione 2.

II confront o tra i due schemi si presenta in maniera naturale se si suppone che nella configurazione di riferimento O0 la verga sia a direttrice rettilinea. In tal caso si deve intendere E^ — 0, con il risultato che, insieme con Ka — ^ E^ = 0, la componente lungo i8 (componente tangenziale) di e R e proprio #33 (a meno di termini di ordine superiore nelle attuali caratteristiche di deforma­zione). Al tempo stesso risulta 'ia--'^xa

y nonchd z°;..= J" = 0, y°P = J°P.

Cio posto, appare del tutto naturale identificare eR con R(l),

(") Le (30) si ottengono ad es. da [4], (19), (20) partendo dalle caratteristiche di deformazione ivi definite in (9') e (1):

--- g ds y;hz=G • fa — G • ion, d= -7-3 — 1 »

3 essendo G==l/2 2 ihXds*h -

h=l

Sara quindi •»/>«= (2.E + 1) ipa-\-2EKa, ^3 = ^3? <5 = 2E, da cui, eliminando il termine non lineare nelle attuali caratteristiche E e yjh, si perviene all'espressione cercata.

13

— 194 —

M con M(i\ K(e) con QQ f, M(e> con g0m, a e — M(w) coincidendo •• ••

ovviamente con r e (yaQ aa x ap), e quindi Jfi con mi e r con —7 $33; il che conduce alle seguenti uguaglianze, per le costanti fisico-geo-metriche:

(31) a=2X0Q0, a(1) = 2A0o0/22, a(2) = 2A0g0J

l\ a(3) = l/2A3e0733.

Se invece fosse stato 2£| ¥=• 0, e cioe la dirrettrice in C0 non rettilinea, tale identificazione non sarebbe stata possibile, sia per il termine aggiuntivo di cui alia (30), sia perche* la componente tangenziale di sR, nell'approssimazione lineare, sarebbe stata #33 —x*eM

e.

Lo schema di Bernoulli-Eulero si ottiene dunque come schema molto semplificato, sia per quanto riguarda le ipotesi di lineariz-zazione e la scelta delle caratteristiche di deformazione, sia per le ipotesi sulla configurazione di riferimento, a partire dal modello di verga a quattro parametri, che, a sua volta, costituisce uno schema speciale di verga a 9 parametri. il pertanto presumibile che lo schema di verga usato (sia a quattro che nove parametri) dia una descrizione piu accurata del comportamento di un continuo rap-presentabile come un solido tubolare sottile. Eventuali difetti di schema, come quello messo in rilievo da GREEN & ZERNA [7], e cioe che il caso della pura flessione di una sbarra non possa rien-trarvi, neppure in prima approssimazione, sono superabili solo facendo ricorso a teorie del secondo ordine, eventualmente pseudo-lineari.

Ringraziamento. Desidero ringraziare il Prof. G. FERBARESE per i preziosi consigli e le stimolanti osservazioni.

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BIBLIOGRAFIA

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FRANCO PASTRONE, Istituto di Meccanica Razionale, Universita di Torino.