8 Algebra Equazioni Disequazioni Trigonometric He
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8^ Lezione
•• EEqquuaazziioonnii ggoonniioommeettrr iicchhee ..
•• EEqquuaazziioonnii lliinneeaarrii (( 11°° ggrraaddoo )) iinn sseennoo ,, ccoosseennoo ee ttaannggeennttee ..
•• EEqquuaazziioonnii ccoommpplleettee ddii 22°° ggrraaddoo iinn sseennoo ,, ccoosseennoo ee ttaannggeennttee ..
•• EEqquuaazziioonnii oommooggeenneeee ddii 11°° ee 22°° iinn sseennoo ee ccoosseennoo ..
•• EEqquuaazziioonnii lliinneeaarrii iinn sseennoo ee ccoosseennoo ..
•• EEqquuaazziioonnii rriiccoonndduucciibbiillii aallllee oommooggeenneeee ..
• DDiisseeqquuaazziioonnii ggoonniioommeettrriicchhee .
Corso di Analisi: Algebra di Base
•• Allegato Esercizi .
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EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Così come per le equazioni algebriche , anche per quelle goniometriche il significato non varia.Risolvere quindi un’equazione significa determinare quel particolare valore da assegnare allavariabile x ( intesa come angolo ) cosichè la eguaglianza sia verificata.
EQUAZIONI LINEARI ( 1° GRADO ) IN SENO , COSENO E TANGENTE
0sen =+ bxa ⇒ sen xb
a= −
es: 2 1 0sen x + = ⇒ sen x = −1
2 ⇒
x k
x k
1
2
7
62
11
62
= +
= +
π π
π π k=0,1,2,….n
x1
7
6= π − 1
2 x2
11
6= π
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Es: 2 1 0cosx − = ⇒ cos x = =1
2
2
2 ⇒
x k
x k
1
2
42
7
42
= +
= +
ππ
π π
Es: 013 =−tgx ⇒ 3
3
3
1+=+=tgx ⇒
ππ
ππ
kx
kx
26
7
26
1
2
1
+=
+=
ππ
kx +=62
1
x1 6=
π
π6
72 =x
3
3
2
2
x1 4=
π
x2
7
4= π
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EQUAZIONI COMPLETE DI 2° GRADO IN SENO , COSENO E TANGENTE
2 3 1 02sen senx x− + = possiamo pensare di sostituire al senx la variabile y avendo così l'equazione di 2° grado relativa :
2 3 1 02y y− + = ⇒ yy
y1
2
1
2
3 9 8
4
12
1=
± −=
=
=
e ricordando della sostituzione sopra:
1sen
21sen
=
=
x
x
ππ
ππππ
kx
kxkx
22
26
5,2
6
3
21
+=
+=+=
0cos2cos2 =− xx si può comunque , in questo caso , procedere anche tramite un raccoglimento :
( )cos cosx x − =2 0 da cui cos
cos
x
x
==
0
2
x k
x
= +
/∀ ∈ ℜ
ππ
2
tan g x2 1 0− = di qui : tan gx = ±1 per cui x k= +π π4 2
.
0sensen2 =++ cxbxa
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EQUAZIONI OMOGENEE DI 1° e 2° GRADO IN SENO E COSENO
Si risolvono dividendo per cosx , cos2 x , escludendo quei valori per i quali cosx = 0 .
Es. 2 2 0sen cosx x+ = ⇒ 2 2 0sen
cos
cos
cos
x
x
x
x+ = ⇒ tgx + =1 0
cos x ≠ 0 ⇒ x k≠ ±π
π2
tgx = −1 ⇒ x k= +3
4π π
valori accettabili poiché diversi da quelli esclusi.
3
4π
π4
7
0cossen =+ xbxa 0cossen 22 =+ xbxa
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Es. 2 3 02 2sen sen cos cosx x x x+ + =
dividendo tutti i termini per cos2 x : 2 3 1 02tg x tgx+ + =
e risolvendo l'equazione di 2° grado in tgx si ottiene :
tgx
tgx
tgx1
2
3 9 8
4
1
1
2
1
2
=− ± −
== −
= −
da cui :
x k
x
1
2
3
41
2
= +
= −
π π
arctg
EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
Si risolvono mediante sostituzione , ponendo sen xtg x
tg x=
+
2 2
1 22
, cosxtg x
tg x=
−
+
1 2
1 2
2
2 , tg x t2 = .
quindi si ha : sen xt
t=
+2
1 2 , cosxt
t=
−+
1
1
2
2 .
Es. 2 3 2 0sen cosx x+ − =
22
13
1
12 02
2
2
t
t
t
t++
−+
− = 4 3 3 2 2
10
2 2
2
t t t
t
+ − − −+
= − + + =5 4 1 02t t
con 1 02+ ≠t ⇒ ∀ ∈ ℜt .
0cossen =++ cxbxa
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0145 2 =−− tt ⇒
−=
−==
+±−=
5
1
1
10
20164
2
1
21 t
tt
e quindi :
5
1
2
12
−=
−=
xtg
xtg
⇒ )
5
1arctg(
2
4
3
2
−=
+=
x
kx
ππ
⇒ )
5
1arctg(2
22
3
−=
+=
x
kx ππ
EQUAZIONI RICONDUCIBILI ALLE OMOGENEE
Si risolvono moltiplicando il termine noto per ( sen cos2 2x x+ ) .
Es. sen sen cos cos2 22 2x x x x− + =
( )sen sen cos cos sen cos2 2 2 22 2x x x x x x− + = + infatti ( )sen cos2 2 1x x+ =
sen sen cos cos sen cos2 2 2 22 2 2x x x x x x− + = +
sen cos sen cos2 2 2 0x x x x+ + = e dividendo per cos2 x :
tg x tgx2 2 1 0+ + = ⇒ ( )tgx + =1 02
⇒ tgx = −1 ⇒ x k= +3
4π π .
dxcxxbxa =++ 22 coscossensen
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DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Per qualunque tipo di disequazione , ci comporteremo nello stesso modo e con la medesimaprocedura che abbiamo usato per le corrispondenti equazioni .
Es. 2 1 0cosx − > ⇒ cos x >1
2
da cui avremo : 0 23
2+ < < +k x kππ
π , 5
32 2 2π π π π+ < < +k x k .
Es. 3 0sen cosx x− ≤
dividendo i termini per cosx : 3 1 0tgx − ≤ .
NOTA BENE: La risoluzione della disequazione sopra non corrisponde alla risoluzione della disequazione data ; tutto questo poiché il coseno, termine che esprime il divisore , può assumere valori sia positivi che negativi . Ecco quindi che sarà necessario mettere a grafico finale i risultati parziali che esprimono i corrispondenti segni.
Avremo allora: 3 1 0tgx − ≤ ⇒ tgx ≤3
3
2
1
π3
5
3π
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06
+ ≤ ≤ +k x kππ
π , π
π π π2
7
6+ ≤ ≤ +k x k
3
22 2π π π π+ ≤ ≤ +k x k
cos x > 0 ⇒ 0 22
2+ < < +k x kππ
π , 3
22 2 2π π π π+ < < +k x k
e quindi la disequazione iniziale è soddisfatta per : π
π π π6
27
62+ ≤ ≤ +k x k , x ≠
π2
.
0 +π6
+π2
+5
6π +π +
7
6π +
3
2π + 2π
+ - - + +
+5
6π
3
3 +
π6
+ π6
7 + π
6
11
0
+π2
+3
2π
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ESERCIZI SULLE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Esercizi della 8°lezione di Algebra di base
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USO DEI PULSANTI
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Risolvere le seguenti equazioni goniometriche :
1. 01sen2 =+x
−−++=
−−++=
⇒−=⇒=+
ππππ
ππππ
kkx
kkx
xx
24
12
4
7
24
32
4
5
2
1sen01sen2
2
1
2. 03cos2 =−x
+−=
++=⇒=⇒=−
πππ
ππ
kx
kxxx
26
26
2
3cos03cos2
2
1
2
1−
π4
5+ π
4
7+
6
π+
2
3
6
π−
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3. 033 =+tgx
++=⇒−=⇒−=⇒=+ ππ kxtgxtgxtgx3
23
3
3033
4. 0cos2sen =+ xx
( )
ππππ
ππ
kxkx
kx
x
x
x
x
xxxxxxx
26
11,2
6
72
2
1sen
0cos
01sen2
0cos
01sen2cos0coscossen20cos2sen
++=++=
++=⇒
−=
=⇒
=+=
⇒
=+⇒=+⇒=+
π3
2+
π3
5+
3−
π6
7+
2
1− π
6
11+
π2
3+
2
π+
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5. 0cossen4cossen 22 =−+ xxxx
++=
++=⇒
++=
++=⇒
=⇒=−⇒=−+
ππ
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
kx
xxxxxx
12
512
26
52
26
2
2
12sen02sen210cossen4cossen 22
6. 12coscos =− xx
( ) ( )
( )
++=++=
++=⇒
=
=⇒
=−=
⇒=−⇒=+−⇒
=+−−⇒=−−⇒=−
ππππ
ππ
kxkx
kx
x
x
x
xxxxx
xxxxxxxx
23
5,2
3
2
2
1cos
0cos
0cos21
0cos0cos21cos0coscos2
1cos1coscos1sencoscos12coscos
2
2222
π12
5+
12
π+
π12
13+
π12
17+
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7. 12coscos2 =− xx
( )
++=
−−=⇒
+=−=
⇒±=⇒
=⇒=−−⇒=−
ππ
ππ
kx
kx
x
xx
xxxxxx
22
22
1sen
1sen1sen
1sen1sencoscos12coscos 22222
2
1+
3
π+2
π+
π3
5+
π2
3+
2
π+
2
π−
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8. xxx cos12sensen −=−
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( )
( )( )
+
±=
++=
=
⇒
+
±=
++=
=
⇒
−=−=
=
=
⇒
=−−
=−=
⇒=−−−⇒
=+
−−−⇒=+
++−⇒=+
−−+−⇒
=+
−+−−−+−+⇒
+
+−+=
+
−−+⇒
+−
−=+−
⋅+
−+
⇒+−
=+
=⇒
=⇒−=−⇒−=−
π
πππ
π
ππ
π
kx
kx
kx
kx
kx
kx
xtg
xtg
xtg
xtg
tt
t
t
tttt
t
tttt
t
tttt
t
tttt
t
ttttttt
t
tt
t
tttt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tx
t
tx
tx
tgpostoxxxxxxx
22
335arctg2
22
2
2
335arctg
2
42
2
2
335
2,
2
335
2
12
02
025
01
0
0251
01
2510
1
2360
1
236
01
1214422
1
11
1
1412
1
11
1
1
1
22
1
2
1
1cos,
1
2sen
2cos1cossen2sencos12sensen
2
2
22
2
22
23
22
234
22
22433
22
222
22
22
2
2
2
2
222
2
2
+
2
335arctg2
+
2
335arctg
2
π+
π2
−
2
335arctg
−
2
335arctg2
![Page 17: 8 Algebra Equazioni Disequazioni Trigonometric He](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022020206/540f60a77bef0a21408b4721/html5/thumbnails/17.jpg)
9. xx sen211cos2 +=−
( ) ππ
kxxxx
xxxxxx
22
1sen01sen01sen
01sen2sensen21sensen211cos
2
222
+−=⇒−=⇒=+⇒=+⇒
=++⇒+=−⇒+=−
10. ( )xxx 22 sen123sen2cos4 −+=+
( ) ( )
( )
ππkxx
xxxx
xxxxxx
232
1cos
01cos201cos201cos4cos4
cos23cos12cos4sen123sen2cos4
22
2222
+±=⇒=⇒
=−⇒=−⇒=+−⇒
+=−+⇒−+=+
2
π−
2
1
3
π−
3
π+
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11. xxx 22 cos222sen2cos3 −=+
( )
( )
++=
+
−=
⇒
=
−=⇒
=
−=⇒=−−⇒
=⇒=−−⇒=+⇒
≠⇒=+⇒
−=+⇒−=+
ππ
π
kx
kx
tgx
tgx
t
ttt
ttgxpostotgxxtgxtgtgx
xpostoxperdividendoxxxx
xxxxxx
4
5
1arctg
15
1
15
10145
0145541
0coscossen5cossen4cos
cos152sen2coscos552sen2cos
2
12
22
222
2222
12. 32sen2cos =− xx
( )
( )
ℜ∈∀/⇒ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=++⇒
=⇒=++⇒=++⇒
≠⇒=++⇒
+=−−⇒=−
xttt
ttgxpostotgxxtgtgxxtg
xpostoxperdividendoxxxx
xxxxxxxx
07012
0120242
0coscos0cossen2sen4cos2
cossen3cossen2sencos32sen2cos
2
22
222
2222
1+
5
1−
4
π+
−5
1arctg
π2
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Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche :
13. 02
1cos >−x
ππ
ππ
kxkxx 23
232
1cos0
2
1cos ++<<+−⇒>⇒>−
14. 01sen2 ≥−− x
ππππ kxk
xxx
24
72
4
5
2
2sen
2
1sen01sen2
+<<++⇒
−≤⇒−
≤⇒≥−−
2
1
3
π+
3
π−
π4
7+π
4
5+
2
2−
![Page 20: 8 Algebra Equazioni Disequazioni Trigonometric He](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022020206/540f60a77bef0a21408b4721/html5/thumbnails/20.jpg)
15. 0sen
2
1cos
>−
x
x
πππ
ππ
ππ
kxk
kxk
x
x
x
x
22
23
23
0sen2
1cos
0sen
2
1cos
+<<
++<<+−⇒
>
>⇒>
−
e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :
Quindi : ππ
πππ
ππ kxkkxk 23
2,23
2 ++<<+−<<+−
O anche :
Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio 6
π=x :
sostituendo nella disequazione di partenza si ha :
0130
2
12
1
2
3
0
6sen
2
1
6cos
>−⇒>−
⇒>
−
π
π
che verifica .
π− 3
π− 0
3
π+ π+
+ - + -
3
π+
3
π−
2
1
π−0
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16. 01cos2
1sen2
>−−
x
x
+±−ℜ∈∀/⇒+≥−≤⇒≥−⇒ ππ
kxxxxRC2
1sen,1sen01sen.. 2
e poiché la condizione di realtà è verificata solo per i valori
+± ππ
k2
che al tempo stesso
annullano il numeratore è evidente che la disequazione non è verificata per alcun valore reale .
17. 02sen2
4
1cos
3
2
>−
−
x
x
ππππππ
π
ππππ
πππππππ
kxkkxkD
kxk
kxkkxkN
x
xx
x
x
x
x
2224
7,2
420
2223
5
23
2,23
42
3
20
2
2sen
2
1cos,
2
1cos
02sen2
4
1cos
02sen2
4
1cos
3
2
3
2
+<<+++<<⇒>
++<<+⇒
++<<++<<++⇒>
⇒
>
+>−<⇒
>−
>⇒>
−
−
e graficamente nell'intervallo [ ]π2;0 + :
Quindi :
ππππππππ
πππππππ
kxkkxk
kxkkxk
2224
7,2
3
52
3
4
,23
22
3,2
42
++<<++++<<+
++<<++++<<
0 4
π+
3
π+ π
3
2+ π+ π
3
4+ π
3
5+ π
4
7+ π2+
+ - + - + - +
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O anche :
Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π2
3=x :
sostituendo nella disequazione di partenza si ha :
0224
10
22
4
1
0
22
3sen2
4
1
2
3cos
333
2
>+
⇒>−−
−⇒>
−
−
π
π che verifica .
18. 0cos11
2sen≤
−− x
x
ℜ∈∀⇒≤⇒≥−⇒ xxxRC 1cos0cos1..
ππππ
ππ
π
ππ
πππ
π
πππ
kxk
kxk
x
kxk
x
kxk
x
kxk
x
x
x
x
22
22
2
0cos2
0cos2
1cos1
222
0cos11
02sen0
cos11
2sen
++<<+−
++≤≤⇒
>
++≤≤⇒
<−
++≤≤⇒
<−
++≤≤⇒
>−−
≥⇒≤
−−
π3
2+
4
π+
π4
7+
3
π+
π3
4+ π
3
5+
π−0
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e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :
Quindi : ππ
πππ
ππ kxkkxk 22
2,22
2 ++≤≤+−<≤+−
O anche :
Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π4
3−=x :
sostituendo nella disequazione di partenza si ha :
0
2
111
1
0
2
111
10
4
3cos11
2
3sen
0
4
3cos11
4
32sen
≤+−
≤
−−−
⇒≤
−−−
−
⇒≤
−−−
−
π
π
π
π
che verifica .
π− 2
π− 0
2
π+ π+
+ - + -
2
π+
2
π−
π−0
![Page 24: 8 Algebra Equazioni Disequazioni Trigonometric He](https://reader030.fdocuments.us/reader030/viewer/2022020206/540f60a77bef0a21408b4721/html5/thumbnails/24.jpg)
19. 0cos412cos3 ≤−−− xx
( )
ππ karxkar
x
x
xxttt
txpostoxxxx
xxxxxx
23
1cos2
3
1cos
3
1cos
1cos
3
1cos1
3
110123
cos01cos2cos302cos4cos6
01cos41cos2301cos42cos30cos412cos3
2
22
2
+
+≤≤+
−
ℜ∈∀⇒
+≤
−≥⇒+≤≤−⇒+≤≤−⇒≥−+⇒
=⇒≥−+⇒≥−+⇒
≥++−⇒≥++⇒≤−−−
e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :
Quindi : ππ karxkar 23
1cos2
3
1cos +
+<≤+
−
π−
−
3
1cosar 0
+
3
1cosar π+
−
3
1cosar
+
3
1cosar
3
1+
π−0
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20. 0sen1cos 22 ≥+− xx
ℜ∈∀⇒≥⇒≥+− xxx 000sen1cos 22