Variable aleatoria continua€¦ · Web viewVARIABLE . ESTATÍSTICA. CONTINUA. Dado o intervalo...

TEMA 1: ESTATÍSTICA DESCRIPTIVA

VARIABLE ESTATÍSTICA CONTINUA

Dado o intervalo de clase chamamos :

Marca de clase a

Amplitude de intervalo : Obtención de intervalos

Rango :

Número de intervalos: ( pero 10 como máximo)

Amplitud :

Frecuencias : nº de observaciones por intervalo

Histograma : Altura MEDIDAS

Medidas de posiciónTendencia central : Moda : É o valor que máis se repite (Mo)Mediana : É o valor que deixa a esquerda e dereita o mesmo número de valores(Me)

Media: É a media aritmética das observacións : Tendencia no central : cuantiles

Cuartiles : Dividen a mostra en catro partes iguais :

O segundo cuartil é a mediana :

Deciles : Dividen a mostra en dez partes iguais :

Percentiles : Dividen a mostra en cen partes iguais : Medidas de dispersión

Absolutas:

Recorrido ou rango :

Rango intercuartílico (RIC) :

Varianza : ou Desviación típica : é a raíz cadrada da varianzaRelativas:

Coeficiente de variación : O coeficiente de variación utilízase para comparar variables . Se o que queremos é comparar individuos en

distintos grupos , debemos utilizar a tipificación de datos:

Medidas de formaAsimetría : Ten asimetría negativa (hacia a esquerda) cando os datos están desprazados á dereita e polo tanto presenta cola á esquerda.Coeficiente de asimetría

Ten asimetría positiva (hacia a dereita) cando os datos están desprazados á esquerda e polo tanto presenta cola á dereita. Coeficiente de asimetría

É simétrica nos demais casos. Coeficiente de asimetría

Curtosis : Mide o grao de apuntamento da distribución ( é dicir da gráfica).Moi puntiaguda: Leptocúrtica. Coeficiente de curtosis

Normal de puntiaguda: Mesocúrtica .Coeficiente de curtosis

Pouco puntiaguda ( máis ben apastada) : Platicúrtica .Coeficiente de curtosis

DIAGRAMA DE CAIXA

É unha representación visual que describe a dispersión e a simetría , válida para variables contínuas. O

diagrama consta dunha caixa delimitada polos cuartís e e no seu interior está representada a mediana. Dos cuartis saen unhas liñas (bigotes) con extremos en e , sendo:

Límite inferior : menor das observacións que sexa

Límite superior : maior das observacións que sexa

Dato atípico : É calquera dato que non se atope dentro do rango . É dicir calquera valor que non se atope entre os extremos dos bigotes.

TEMA 2: PROBABILIDADE

Definición: Chamamos espacio mostral asociado a un experimento aleatorio ó conxunto de todos os resultados posibles.Exemplos:1º) Lanzamos unha moeda

2º) Lanzamos dúas moedas

3º) Lanzamos un dado

4º) Lanzamos dous dados

5º) Posición na estrada dun coche que vai de Lugo a Madrid .

. ( Supoñemos que a distancia é de 504 Km).Como vemos E pode estar formado por un número finito de elementos (conxunto discreto) ou por infinitos elementos que poden formar un conxunto continuo ou un conxunto discreto .Un exemplo de conxunto discreto formado por infinitos elementos é o conxunto dos números naturais .Definición: Chamamos suceso a calquera subconxunto de E.Se o subconxunto ten un único elemento diremos que é un suceso elemental. Se o subconxunto é diremos que é un suceso imposible.Se o subconxunto é E diremos que é un suceso seguro.Dados dous sucesos A e B representamos a unión por , a intersección por e a diferencia por

que á súa vez tamén son sucesos.Dado un suceso A chamaremos suceso complementario e representamolo por , ou ó suceso .Leis de Morgan : ;

Definición: Se dous sucesos A e B son disxuntos diremos que son incompatibles

Definición: Chamamos probabilidade dun suceso A e representamola por ó cociente entre casos favorables e casos posibles:

Axiomas :

1º)

2º) Se entón

3º)

Propiedades :

1ª)

2ª)

3ª) Se

4ª) Se

5ª) Se son incompatibles dous a dous , entón :

6ª) 7ª) A probabilidade dun suceso é igual á suma das probabilidades dos seus sucesos elementais.

Definición : Dados dous sucesos A e B chámase probabilidade de B condicionada a A ó valor .

Decimos que un suceso B é independente de outro suceso A cando .

Se o suceso B é independente de A verifícase que : É evidente que neste caso tamén A é independente B.

Ademais tamén son independentes os pares de sucesosTeorema das probabilidades totais :

Se temos n sucesos incompatibles dous a dous e tales que e un suceso calquera S dependente dos anteriores , verifícase que :

Regra de Bayes :

Dados dous sucesos dependentes e , verifícase que :

Observación :Para memorizar mellor así : Experimentos dependentes e independentes encadeados

Se temos n sucesos realizados sucesivamente e independentes entre sí ,a probabilidade a probabilidade de que se verifiquen todos os sucesos será :

Pero se son dependentes :

Sensibilidade e especificidade

Sensibilidade : Probabilidade de clasificar como enfermo a un enfermo :

Especificidade : Probabilidade de clasificar como sano a un sano

Falso positivo :

Falso negativo :

Prevalencia :

Exactitude : Mide a capacidade dunha proba

TEMA 3: VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Función de masa de probabilidade : É a función que a cada suceso elemental lle adxudica como imaxe

a probabilidade que representamos abreviadamente por .

Verifícase que

Función de distribución : É a función que a cada suceso elemental lle adxudica como imaxe a

probabilidade

Propiedade :

Media ou esperanza :

Varianza : ou mellor :

Distribución binomialA proba repítese veces nas mesmas condicións e non varía a probabilidade.O resultado de cada proba é éxito ou fracaso con probabilidades e Cada proba é independente das demais.

Represéntase por

A función de masa é

A esperanza é :

A varianza é : Distribución de Poisson

Represéntase por

A función de masa é

A esperanza é :

A varianza é :

Aproximación da binomial por Poisson : cando é pequena e grande en lugar da binomial utilizaremos Poisson con

A aproximación considerase boa cando :

Distribución hiperxeométrica

Esta distribución é válida cando temos : obxectos nos que son de tipo e o resto son de tipo . A proba repítese veces sen reemprazamento.

O resultado de cada proba é éxito ou fracaso con probabilidades e para a primeira probaA probabilidade de cada proba varía é dicir cada proba é dependente das anteriores.

Represéntase por

A función de masa é O truco é

A esperanza é :

A varianza é : Aproximación da hiperxeométrica pola binomial: A aproximación é válida se N é grande e n pequeno respecto a N.

Cando entón

Distribución multinomial ou polinomial

É unha xeneralización da binomial.

Fanse n probas independentes con posibles resutados con probabilidades constantes ó longo das n probas.

con

Represéntase por

TEMA 4: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Función de densidade : É unha función tal que :

1º)

2º)

3º)

Función de distribución : É a función que a un suceso lle adxudica como imaxe a

probabilidade


Varianza :

Distribución exponencial

Función de densidade :

Función de distribución :


Varianza :

Distribución Normal

Función de densidade : Non se precisa

Función de distribución : Tabulada

Tipificación :Se entón

Aproximación da binomial pola normal: A distribución binomial se pose aproximar pola normal

A aproximación é válida se sucede que : ou ben

Aproximación de Poisson pola normal: A distribución Poiss ( ) se pose aproximar pola normal

A aproximación é válida se sucede que :

RESUMO DE APROXIMACIÓNS

EXERCICIOS RESOLTOS

TEMA 1

EXERCICIO 1 .-Para controlar a contaminación bacteriana dos alimentos nun laboratorio contouse o número de bacterias en 25 alimentos cinco días despois da data de caducidade, obténdose os seguintes datos:

3, 6, 4, 2, 3, 4, 5, 4, 7, 3, 5, 4, 5, 4, 3, 3, 4, 3, 2, 4, 6, 1, 8, 2, 5A partir dos datos:a) Constrúe a táboa de frecuencias destes datos e debuxa un gráfico de barras.

b) Calcula a media, a varianza, a desviación típica, e o coeficiente de variación.

c) Calcula a mediana e percorrido intercuartilico (Rl).

Resolución

a) “nº de bacterias en 5 dias”

Valores : Frecuencias :

Frecuencias

relativas :

Frecuencias absolutas

acumuladas:

Frecuencias relativas

acumuladas:1 1 0´04 1 0´042 3 0´12 4 0´163 6 0´24 10 0´44 7 0´28 17 0´685 4 0´16 21 0´846 2 0´08 23 0´927 1 0´04 24 0´968 1 0´04 25 1

Totais 25

b)

Coeficiente de Variación :

Outra forma

1 1 1 -3 9 92 3 6 -2 4 123 6 18 -1 1 64 7 28 0 0 05 4 20 1 1 46 2 12 2 4 87 1 7 3 9 98 1 8 4 16 16

Total 25 100 64

c) Mediana :

;

Percorrido ou Rango Intercuartílico :

EXERCICIO 2 .- A seguinte táboa mostra o número de horas que tardan en xerminar 20 sementes nun invernadoiro

7 10 12 4 10 8 3 8 5 5

5 8 3 12 4 10 3 12 12 7A partir dos datos obter:a) Constrúe a táboa de frecuencias e un diagrama de barras e o polígono de frecuencias.b) O nº medio de horas que tardan en xerminar as sementes.c) A varianza para o nº de horas que tardan en xerminar as sementesd) O percentil correspondente ó 80%.

Resolución

a) “nº de horas que tarda en xerminar a semente”


Frecuencias

relativas :


acumuladas:

Frecuencias relativas

acumuladas:

%

3 3 0´15 3 0´15 154 2 0´1 5 0´25 105 3 0´15 8 0´4 157 2 0´1 10 0´5 108 3 0´15 13 0´65 1510 3 0´15 16 0´8 1512 4 0´2 20 1 20

Totais 20 1

b)

..................Observación :A media truncada faise a media eliminando os valores extremos , por exemplo se temos os valores

1 , 4 , 5 , 6 , 9 a media truncada sería : A media recortada faise a media eliminando unha porcentaxe dos valores extremos e substituíndo por valores do punto de corte , por exemplo o 20%Se temos os valores

a media recortada sería :

..................b)

3 3 9 -4´4 19´36 58´084 2 8 -3´4 11´56 23´125 3 15 -2´4 5´76 17´287 2 14 -0´4 0´16 0´328 3 24 0´6 0´36 1´0810 3 30 2´6 6´76 20´2812 4 48 4´6 21´16 84´64

Totais 20 148 204´8

A desviación típica é : d)O número de datos é 20 . O 80% de 20 é 16 . Buscamos o dato que deixa atrás 16 datos e adiante 4 . Para eso tería que haber 21 datos e nese caso sería o dato 17 . Pero como non é así sería o dato entre o 16º e 17º

que como non existe será a media destes dous é dicir .O percentil pedido é 11

EXERCICIO 4 .- Tomouse unha mostra de 17 raposos que habitaban nos bosques galegos no ano 2000. As súas lonxitudes (sen contar a cola) foron as seguintes:

63 72 62 69 71 84 81 78 61 7684 67 86 69 64 87 76

a) Calcular: media, mediana, moda, rango, varianza, coeficiente de variación e percorrido intercuartílico.b) Debuxar o correspondente diagrama de caixas.c) Debuxar o histograma considerando 5 intervalos de clase.Resolución

a) “lonxitude dos raposos ”

Valores : Frecuencias : Frecuencias

acumuladas : 61 1 162 1 263 1 364 1 467 1 569 2 7

71 1 872 1 976 2 1178 1 1281 1 1384 2 1586 1 1687 1 17

Mediana : Moda: Rango: 87-61=26

Coeficiente de Variación :

;

Percorrido Intercuartílico :

b)Mediana :

; ;

Bigotes : LI menor das observacións

Logo LI

LS maior das observacións

Logo LS

c)

Amplitude da clase:

Intervalos[60’5, 65’9) 63’2 4 0’235 4 0’235[65’9, 71’3) 68’6 4 0’235 8 0’471[71’3,76’7) 74 3 0’176 11 0’647[76’7, 82’1) 79’4 2 0’118 13 0’765

84’8 4 0’235 17 1’00

1.00

EXERCICIO 5 .- Cos datos recolleitos por Rede de Vixilancia e Control da Contaminación Atmosférica de

Andalucía realízase un Informe Diario de Calidade do Aire. Consideramos unha mostra de 403 medicións

dos que se recolleu información de 6 variables, co obxectivo de estudar a calidade do aire.

Móstranse os valores medios semi-horarios, cuarto-horarios ou de dez minutos.

: Dióxido de xofre

PART: Partículas en suspensión

: Dióxido de nitróxeno

CO: Monóxido de carbono

: Ozono

As unidades están expresadas en microgramos/metro cubico (ug/m3).

Data - Hora PART NO2 CO O3

07/02/10-00:10 11 35 52 707/02/10-00:20 12 21 30 2407/02/10-00:30 14 49 24 2607/02/10-00:40 11 64 16 3407/02/10-00:50 13 41 13 3507/02/10-01:00 12 9 13 3507/02/10-01:10 12 22 14 3407/02/10-01:20 13 54 15 3007/02/10-01:30 13 26 14 2907/02/10-01:40 13 29 13 3107/02/10-01:50 12 34 13 3107/02/10-02:00 12 25 12 3007/02/10-02:10 13 15 13 2807/02/10-02:20 13 32 13 2707/02/10-02:30 13 23 15 2707/02/10-02:40 11 26 16 24

... E así ata completar datos de 403 medicións

No diagrama de caixas representamos as características dos 403 datos da variable PART: Partículas en

suspensión.

a) Identifica medidas de localización e os seus valores aproximados para describir.

b) ¿Que medida de dispersión podes deducir a partir desta gráfica?

c) ¿Algunha medición presenta valores de PART: Partículas en suspensión anormais?

¿Existen valores atípicos?

d) ¿Que podes dicir sobre as medidas de forma?

e) ¿Hai algunha característica da distribución que non poidas determinar?

Resumo do procesamento dos casos Casos

Válidos Perdidos TotalN Porcentaxe N Porcentaxe N Porcentaxe

PART 403 100,0% 0 0% 403 100,0%

Descriptivos Estatístico Error típ.

PART Media 35,48 ,875

Intervalo de confianza Límite inferior 33,76para a media ó 95% Límite superior 37,20Media recortada ó 5% 34,15Mediana 31,00Varianza 308,260Desv. típ. 17,557Mínimo 3Máximo 131Rango 128Amplitude intercuartil 21Asimetría 1,412 ,122Curtosis 3,288 ,243

Resolucióna)

; ; b)

A medida que se pode deducir é o Tamén o rango da variable c)Existen valores atípicos , corresponden ós datos nº :391; 393; 394; 397; 398; 399;400; 401; 402; 403Estas son as medicións que presenta valores de PART anormais.d) Como a caixa está claramente na parte baixa do espacio ente LI e LS , podemos dicir que presenta asimetría positiva ou á dereita.Como a caixa é relativamente delgada podemos dicir que o 50% dos datos está concentrado nunha amplitude pequena ademais a mediana está claramente na parte baixa da caixa o cal quere dicir que o 25% dos datos está nunha amplitude especialmente pequena polo tanto desde o punto de vista da curtosis é leptocúrtica.e) Desde logo a media a moda a varianza a desviación típica e o CV.

EXERCICIO 6 .- Tras medir a concentración de sodio na suor dunha mostra de 50 universitarios, obtivéronse os seguintes datos:

29 35 54 37 52

46 60 51 43 7963 47 53 77 3558 60 56 59 4343 69 72 36 3961 59 75 45 3573 53 52 63 3138 31 63 67 6971 39 57 44 6347 66 54 35 53

a) De que tipo é a variable a estudo?b) Calcular a media e a mediana dos 50 datos.c) Calcular as medidas de dispersión asociadas ós devanditos datos.d) Calcular os cuartiles da distribución.e) ¿Por encima de que valor da concentración se atopa o 80% dos universitarios?f) ¿Por baixo de que valor da concentración atópase o 40% dos universitarios?g) Obter a distribución de frecuencias absolutas, relativas e acumuladas, considerando 8 intervalos de clase.h) Construír o histograma e o diagrama de caixas (box-and- wisher plot). Interpreta a distribución (simetría/asimetría) da variable con ambas representacións.Resolucióna) É unha variable cuantitativa continuab) Agrupamos os datos:



acumuladas:29 1 131 2 335 4 736 1 8

37 1 938 1 1039 2 1243 3 1544 1 1645 1 1746 1 1847 2 2051 1 2152 2 2353 3 2654 2 2856 1 2957 1 3058 1 3159 2 3360 2 3561 1 3663 4 4066 1 4167 1 4269 2 4471 1 4572 1 4673 1 4775 1 4877 1 4979 1 50

; d)

; c)As medidas de dispersión son :

Rango ou recorrido : ;

; ; e)

. Logo será a media dos datos nº 10 e 11 . É dicir :

f)

. Logo será a media dos datos nº 20 e 21 . É dicir : g)

Anchura do intervalo :

Intervalos[28’5, 34’875) 3 0’06 3 0’06

[34’875, 41’25) 9 0’18 12 0’24[41’25, 47’625) 8 0’16 20 0’40

[47’625, 54) 6 0’12 26 0’52[54, 60’375) 9 0’18 35 0’70

[60’375, 66’75) 6 0’12 41 0’82[66’75, 73’125) 6 0’12 47 0’94[73’125, 79’5) 3 0’06 50 1’00

h)

; ;


Logo LI


Logo LS

A distribución é claramente simétricaEXERCICIO 7 .- Nun experimento utilizáronse saltóns para estudar a dirección durante o voo. O interese centrábase na reacción do saltón a un estímulo acústico e visual. En cada caso, a variable de interese era a latencia, o tempo que pasa entre a recepción do estímulo e o movemento da cabeza realizado polo saltón, que dá como resultado unha alteración da marcha. Obtivéronse os seguintes datos:

Latencia, ms

Acústico Visual

86 106 117 72 95 73102 109 120 99 71 90103 113 101 102 97 7199 114 126 75 80 70108 107 109 100 104 81100 107 106 103 101 103115 77 78 89

A partir dos datos obter:a) A media, a mediana e a desviación típica para cada un dos estímulos.b)¿Baixo que estímulo é máis dispersa a latencia?c) Obter o diagrama de caixas para a latencia para cada estímulo.d) ¿É simétrica a distribución?e) ¿Que suxiren estes datos con respecto á latencia cando a comparamos en cada un dos estímulos?f) ¿Estes resultados provén suficientes bases para tomar decisións científicamente válidas?

Resolucióna)Latencia baixo estímulo acústico

Estímulo acústico



acumuladas:

86 1 199 1 2100 1 3101 1 4102 1 5103 1 6106 2 8107 2 10108 1 11109 2 13113 1 14114 1 15115 1 16117 1 17120 1 18126 1 19

; ;

Latencia baixo estímulo visual

Estímulo visual



acumuladas:70 1 171 2 372 1 473 1 575 1 677 1 778 1 880 1 981 1 1089 1 1190 1 1295 1 1397 1 1499 1 15100 1 16101 1 17102 1 18103 2 20104 1 21

; ;

b)

Baixo o estímulo acústico porque ten máis desviación típica.c)Diagrama de caixas baixo estímulo acústico

; ;


Logo LI


Logo LS

Diagrama de caixas baixo estímulo visual

; ;


Logo LI


Logo LS

Diagramas de caixas comparados despois de tipificar os datos e facelo con EXCEL

rrrrr

e) A latencia é máis curta e máis concentrada no caso de estímulo acústico pois é claramente menor o intervalo intercuartílico . Tamén podemos dicir que é máis variable no caso de estímulo acústico pois o intervalo LI-LS é superior.f) Sí , digo eu

EXERCICIO .- Para avaliar a viabilidade dun proxecto de reforestación dunha zona sometida a unha forte actividade turística , analízase a composición en por de lixo orgánico do territorio .Os datos que se obteñen son os seguintes

2’3 2’72 9’1 9’3 10’8 10’9 12’3 13’5 15’4 16’717’3 17’9 19’2 20’3 20’3 22’5 23’8 25’5 25’9 31’5

a) Debuxar o histograma correspondente.b) Obter o correspondente diagrama de caixas . ¿Hai algún dato atípico?Resolucióna)

Intervalos[1’9, 7’9) 4’9 2 0’10 2 0’10

[7’9,13’9) 10’9 6 0’30 8 0’40[13’9,19’9) 16’9 5 0’25 13 0’65[19’9, 25’9) 22’9 5 0’25 18 0’90[25’9, 31’9) 28’9 2 0’10 20 1’00 1.00

b)

; ;


Logo LI


Logo LS

Non hai ningún dato atípico pois todos están entre LI e LS

TEMA 2

Exercicio 1.- Os mariscadores que chegan á lonxa poden seleccionar entre unha das tres seccións S1 (mercado local) S2 ( mercados nacionais) e S3 ( mercados internaionales) para vender o seu produto. Supoñamos que os compradores asígnanse ao azar ás seccións e que os mariscadores non teñen preferencia especial por ningunha das seccións. Tres mariscadores chegan á lonxa e rexístrase á sección que escollen.a) Cales son os puntos mostrais para este experimento?b) Sexa A o suceso “cada sección recibe un mariscador”. Indicar os puntos mostrais de A e calcular a probabilidade de devandito suceso.

Exercicio 2.- Nunha investigación sobre a influencia da dieta alimenticia sobre a diabetes estanse utilizando tres tipos de ratas: A, B e C, coas seguintes probabilidades: P(A)=0’6; P(B)=0’3; P(C)=0’1.A probabilidade de padecer diabetes entre as ratas do tipo A é 0’25; a de padecer unha lesión no fígado entre as ratas diabéticas do tipo A é 0’35.Si elíxese unha rata ao azar, cal é a probabilidade de que sexa do tipo A, sexa diabética e teña unha lesión no fígado?

Exercicio 3.- Proxectouse un estudo para coñecer a asociación entre cor e cheiro en azaleas silvestres dos montes GReat Smoky. Seleccionouse un área de 5 acres de terreo e atopouse que contiña 200 brotes desa planta. Cada brote clasificouse en función de que teña ou non cor e presencia ou ausencia de cheiro. Os resultados móstranse na seguinte táboa:

Cor SI Cor NONFragrancia SI 12 118Fragrancia NON 50 20

Para ese terreo se seleccionáse unha azalea ao azar calcular as seguintes probabilidades:a) Teña cor.b) Teña cheiro.c) Teña cor e cheiro.d) Teña cor si ten cheiro.e) Teña cheiro si ten cor.

Exercicio 4.- Nunha cidade o 55% da poboación consome habitualmente leite desnatada, o 30% enteira e o 20% leite desnatada e enteira. Escóllese unha persoa ao azar.a)Si consome leite desnatada, cal é a probabilidade de que consuma tamén leite enteiro?b)Si consome leite de enteira, cal é a probabilidade de que non consuma leite desnatada?c)Cal é a probabilidade de que non consuma leite desnatada nin leite enteiro?

Exercicio 5.- A ostra de mangle, Crassostrea rhizophorae, é un dos moluscos con maiores perspectivas para o desenvolvemento da acuicultura no Caribe e na costa atlántica tropical. Realizáronse estudos para establecer o seu cultivo, e determinar a influencia dos factores ambientais no seu desenvolvemento baixo distintas condicións de cultivo.Ostras de 30 mm foron cultivados en cestas a 4 m de profundidade na lagoa da Restinga, Illa de Margarita, Venezuela. Mensualmente determináronse a lonxitude e masa da concha, así como a masa do tecido brando e os organismos e material depositado sobre as valvas (fouling), ademais da supervivencia. A temperatura rexistrouse continuamente , semanalmente observouse a transparencia do auga e determináronse a salinidad, osíxeno, seston (total, orgánico e inorgánico) e a biomasa fitoplanctónica.

Das recoiro cultivadas o 20% aumentou a (LyM) da concha, o 55% aumentou a (MTB), e o 60% aumentou a (LyM) ou a (MTB).É independente o aumento da (LyM) do aumento (MTB)?

Exercicio 6.- A probabilidade de que unha unidade de sangue proceda dun donante remunerado é 0'67. Si o donante é remunerado, a probabilidade de que a unidade conteña o soro da hepatitis é 0'0144. Si o donante é desinteresado, esta probabilidade é 0?0012.Un paciente recibe unha unidade de sangue. Cal é a probabilidade de que contraia hepatitis como consecuencia diso?

Exercicio 7.- Unha proba para detectar a existencia sustancias contaminantes nas augas dun rio ten unha sensibilidade de 0?9 e unha especificidad de 0?8. Por experiencias anteriores sábese que a probabilidade de que unha mostra de auga conteña sustancias contaminantes é 0?2.Calcular as seguintes probabilidades:a) Si a proba deu resultado positivo que haxa presenza de sustancias contaminantes.b) Si a proba deu resultado negativo que haxa presenza de sustancias contaminantes.c) De que haxa sustancias contaminantes e ademais a proba dea positiva.d) De que haxa sustancias contaminantes ou o test dea positivo.

Exercicio 8.- Un médico dubida entre tres enfermidades posibles nun paciente (E1, E2, E3). Á vista do estado xeral do enfermo, E1 parécelle a causa máis probable da dolencia, tres veces máis probable que calquera das outras dúas. Con todo, ordena unha análise de sangue e ten que os resultados X da análise

asócianse de cando en cando con E1, moifrecuentemente con E2 e a miúdo con E3, de forma que P(X/E1)=0'1, P(X/E2) = 0'9 e P(X/E3) = 0'6.Cal é a probabilidade final (a posteriori) de cada unha das enfermidades?

Exercicio 9.- A cucaracha americana, a chinche de cama ou o mosquito tigre son algunhas das pragas que reapareceron ou chegado por primeira vez a España da man da globalización e o cambio climático.Procedente de Asia, o mosquito tigre ('Aedes albopictus') é un exemplo de como o transporte de mercancías favorece a chegada de pragas e o cambio climático o seu asentamiento. A diferenza do mosquito común (Culex pipiens), o mosquito tigre pica sempre de día e os seus picaduras provocan inflamaciones así como reaccións alérgicas.O mosquito común representa o 65% dos mosquitos e o mosquito tigre o outro 35%. Unha picadura do tigre provoca unha forte inflamación no 70% dos casos, mentres que unha picadura do común provoca esa mesma irritación só no 40% dos casos. Unha persoa sofre unha picadura:a) Cal é a probabilidade de que experimente forte inflamación?b) Obsérvase que non sufriu forte inflamación, cal é a probabilidade de que lle picara un mosquito común?

Exercicio 10.- Unha análise para detectar a rabia en cans ten unha especificidad do 95% e unha sensibilidade do 99%. Sabemos que na poboación en estudo a prevalencia da enfermidade é do 0?1%. Si nunha clínica preséntase un animal para sometelo a devandita análise e o resultado cualifícao como doente, cal é a probabilidade de que se cometeu un erro?

Exercicio 11.- (EX. 2011) Un productor danés de alimento para salmones, que mellora a pigmentacion visible dos filetes, dispón de catro sedes 1, 2, 3 e 4 que producen respectivamente o 40%, o 30%, 20% e

10% do número total de sacos de 25 quilos de alimento que produce devandito fabricante. Por distintos motivos en cada unha das sedes prodúcense o 5%, 4%, 2% e 1% dos sacos con algún defecto. Seleccionado ao azar un saco, calcular:a) Probabilidade de que o saco sexa defectuoso.b) Si o saco elixido é defectuoso, cal é a probabilidade de que fose fabricado na sé 1?

Exercicio 12.- (EX. 2012) Unha empresa de produtos de laboratorio solicita a un dos seus compradores habituais unha carta de presentación para conseguir unha venda a unha multinacional. A empresa estima que ten un 80% de posibilidades de conseguir a venda cunha carta boa, un 40% si a carta é estándar e un 10% si non envía carta. A empresa tamén cre que as posibilidades de que a carta sexa boa ou estándar son 0,5 e 0,3 respectivamente.a) Cal é a probabilidade de que consiga a venda?b) Cal é a probabilidade de que a carta sexa boa si conseguiu a venda?

TEMA 3

Exercicio 1.- Dada a masa de probabilidade da variable aleatoria X

X 3 4 5 6 7

Pi 0,1 0,3 0,3 ? 0,2

Achar:a) A súa masa de probabilidade e a súa función de distribuciónb) P(X≥4) ; E(X) ; E(X2) ; V(X).

Exercicio 2.- Sexa X unha variable aleatoria discreta. Indicar a verdade ou falsedad das seguintes afirmacións:a) P( x1 X ? x2 ) = F(x2) - F(x1)b) P( X > x) = 1 - F(x)c) P( X ≤ x1 ) + P( X >x2 ) = 1- ( F(x2) - F(x1))d) Se x1 < x2 entón F(x1) < F(x2)

Exercicio 3.- Un portador dunha determinada enfermidade das aves ten un 10% de posibilidades de transmitir a enfermidade a outra ave que non estea exposta con anterioridad.Durante un día un portador entra en contacto con 10 aves:a) Cantas aves espérase que contraian a enfermidade?b) Cal é a probabilidade de que se contaxie a metade?

Exercicio 4.- Unha compañía de explotación petrolífera vai a perforar 10 pozos, e cada un deles ten unha probabilidade 0’1 de producir petróleo en forma comercial. Á compañía cústalle 10.000 u.m. perforar cada pozo. Un pozo comercial saca petróleo por valor de 500.000 u.m.a) Calcular a ganancia que espera obter a compañía polos 10 pozos.b) Calcular a desviación típica das ganancias da firma.

Exercicio 5.- Quérese probar a eficacia dun insecticida. Para iso fumigase unha pequena cantidade nun recinto con 10 mosquitos. A probabilidade de que un mosquito morra ao entrar en contacto co insecticida é 0’8.Sexa X a variable aleatoria “nº de mosquitos mortos”.a) Determinar a función de masa de probabilidade de X.b) Calcular a probabilidade de que como máximo morran “tres” mosquitos.c) Calcular a probabilidade de que morra polo menos un mosquito.

Exercicio 6.- Supoñamos que entre os recentemente nacidos a probabilidade de ser varón é 0,45. Nunha familia de seis fillos:a) Cal é a probabilidade de que polo menos un sexa varón?b) Cal é a probabilidade de que polo menos teñan unha nena?

Exercicio 7.- Nun lago habitan insectos de dúas especies, A e B. Cada insecto dispón de seis patas. Así, para cada pata, a probabilidade de que presente unha cor azul é 0’1 para os insectos da especie A, e é 0’6 para os insectos da especie B. Sabemos que o 80% dos insectos do lago son da especie A.a) Si un insecto é da especie A, cal é a probabilidade de que teña tres patas azuis?b) Si un insecto ten tres patas azuis, cal é a probabilidade de que sexa da especie B?

Exercicio 8.- O nº medio de quiasmas por célula na meiosis dunha determinada especie animal é dúas. Si definimos a variable X = “Nº de quiasmas por célula”, determinar:a) Que tipo de distribución ten X?b) Cales son os parámetros da distribución?c) Cal é a probabilidade de que nunha célula déanse entre un e tres quiasmas (ambos inclusive)?

Exercicio 9.- Nunha determinada zona de España ocorren como media, cinco tormentas ao ano. Calcular:a) A probabilidade de que nun determinado ano prodúzanse tres tormentas.b) A probabilidade de que nun determinado ano prodúzanse entre cinco e sete (ambos incluídos).

Exercicio 10.- Nun centímetro cúbico de auga hai máis ou menos 3 bacterias dun certo tipo. Calcular a probabilidade de que unha mostra de 2 centímetros cúbicos non estea contaminada.

Exercicio 11.- Dúas poboacións de aves da mesma especie habitan en 2 illas do Pacífico separadas o suficiente como para que só se produza, como media, o paso dun ave dunha a outra illa cada 10 anos. Si chamamos X á variable aleatoria ?nº de emigrantes por ano?.a) Que tipo de distribución ten X?b) Cales son os parámetros da distribución?c) Cal é a probabilidade de que un determinado ano haxa 10 emigrantes?d) Cal é a probabilidade de que un determinado ano haxa entre 0 e 2 emigrantes (ambos inclusive)?

Exercicio 12.- Sospéitase que a auga dun río foi contaminada por operarios irresponsables dunha planta de tratamento de augas. Tomáronse moitas mostras de auga, todas do mesmo tamaño, e atopouse que o nº medio de microorganismos por mostra foi de 5. Si tómase unha nova mostra do mesmo tamaño, calcular:a) A probabilidade de que conteña polo menos 8 microorganismos.b) A probabilidade de que conteña 4 ou menos microorganismos.c) A probabilidade de que conteña exactamente 5 microorganismos.

Exercicio 13.- Dun total de 100 ratas 30 son brancas e 70 negras. Elíxense 50 delas ao azar para sometelas a un certo experimento.a) Cal é a probabilidade de que entre as 50 ratas elixidas haxa 10 brancas?

Exercicio 14.- Supoñamos que a FAO decidiu realizar unha inspección veterinaria entre as ovellas españolas. Para iso, tomaranse o 5% dos animais de cada rebaño e someteráselles ás probas necesarias para identificar as enfermidades máis frecuentes. Si entre as ovellas estudadas non hai ningunha enferma, supoñerase o bo estado de saúde de todo o rebaño. Si algunha está doente, revisarase o rebaño enteiro.a) Cal é a probabilidade de que se certifique a boa saúde dun rebaño de 40 ovellas no que hai 5 enfermas?b) Cal é a probabilidade de que se revise por completo un rebaño de 100 onde só hai unha enferma?

Exercicio 15.- Unha caixa contén 20 guisantes, dos cales 12 son verdes e 8 amarelos.a) Efectúanse tres extracciones, dun guisante cada unha, devolvendo o guisante á caixa antes de extraer o seguinte. Sexa X o "nº de guisantes verdes extraídos". Pídese determinar a distribución de probabilidade, a esperanza e a varianza de X.b) Extráense dunha sóla vez tres guisantes da urna. Sexa E o "nº de guisantes verdes extraídos". Pídese determinar a distribución de probabilidade, a esperanza e varianza de E.c) Fanse 3 extracciones sucesivas sen reemplazamiento. Determinar a probabilidade de que apareza primeiro un verde e a continuación dous amarelos.

Exercicio 16.- Un acuario contén 5 peixes vermellos, 4 brancos e 3 azuis. Extráese un peixe do acuario, compróbase que está san, anótase a súa cor e devólvese ao acuario.Calcular a probabilidade de que, de seis peixes extraídos desta forma, 3 sexan vermellos, 2 sexan brancos e un sexa azul.

Exercicio 17.- Un vendedor ambulante de comida para cans sabe, por longa experiencia, que o 10% dos fogares teñen can e que a probabilidade de que consiga realizar unha venda nun destes é 0?5.a) Calcular a probabilidade de que si visita 7 fogares polo menos dous deles teñan can.b) Calcular a probabilidade de que si visita 100 fogares consiga realizar exactamente unha venda.c) Suposto que a ganancia obtida con cada unha das vendas é 30?, calcular a ganancia que espera obter ao visitar 20 fogares.

Exame 2012: En 1969 descubriuse que os faisanes de Montana padecían unha apreciable contaminación por

mercurio que podía deberse a que comeran sementes que foron tratadas con metilo de mercurio durante o seu crecemento. Considérase que un faisán está gravemente contaminado si o seu contido en mercurio é superior a 0.35 partes por millón. Si o nivel de mercurio dun paxaro segue unha distribución normal de media 0.25 e desviación típica 0.08 partes por millón.a) Cal é a probabilidade de que elixido ao azar un faisán de Montana estea gravemente contaminado?Elíxense 10 faisanes ao azar,b) cal é a probabilidade de que como máximo estean gravemente contaminados a metade?c) Cantos faisanes espérase que estean gravemente contaminados?

Respostas:

TEMA 4

Comprobouse que o tempo de vida de certo tipo de marcapasos é unha variable aleatoria continua con

función de densidade:¿Cal é a probabilidade de que a unha persoa á que se lle implantou ese marcapasos se lle deba reimplantar outro antes de 20 anos?¿Cal é a vida media deste tipo de marcapasos?¿Canto vale a varianza para o tempo de vida?

Resolucióna)X = “tempo de vida do marcapasos”

b)

esta integral pode facerse por partes , pero segundo

a teoría : c)

Segundo a teoría : c) Outra forma:

…………………………………

…………………………………

Volvendo a temos :

Volvendo a temos :

Pero

EXERCICIO 1 – TEMA 4 .- Unha variable aleatoria continua, X, ten por función de densidade a seguinte:

a) Atopa para que sexa función de densidade. Representa esta gráficamente.b) Acha a función de distribución da variable X.

c) Acha a media, a varianza e a desviación típica.

d) Calcula as probabilidades seguintes: Resolucióna)

Entón a función da densidade queda así:

No intervalo a gráfica é unha parábola.

Se fora sempre , teríamos :

, entón “comeza” no punto

, entón “remata” no punto

; aquí está o vértice .

; . Hai un mínimo en

b)

no intervalo .

En xeral :

c)

d)

EXERCICIO 2 – TEMA 4 .- Para establecer o prezo a pagar por cada litro de leite, unha central leiteira dividiu, atendendo ó contido de materia graxa por litro en %, o leite recibido na súa factoría, en tres categorías:Categoría 1: contido de materia graxa inferior ó 4%Categoría 2: contido de materia graxa entre o 4% e o 5%Categoría 3: contido de materia graxa superior ó 5%Por estudos anteriores, sábese que a porcentaxe de materia graxa por litro de leite procesado por esta empresa é unha variable aleatoria, X, coa seguinte función de densidade:

Sabendo que o prezo dun litro de leite, pagado por esta empresa, é de 0.20 para a categoría 1, 0.30 para a categoría 2 e 0.40 para a categoría 3, obtéñase o prezo medio do litro de leite pagado pola empresa láctea.

Resolución

Para calcular a probabilidade de que un leite sexa dun ou doutro tipo necesito a función da distribución.

Consideramos os seguintes sucesos :

Temos así , agora , unha distribución discreta Y :

Onde son os prezos pagados.

EXERCICIO 3 – TEMA 4 .- O diámetro do niño dunha certa especie animal é unha variable aleatoria normal con media 20 cm. e desviación típica 0´1 cm. De estudos anteriores o niño considérase non anómalo se o diámetro está comprendido entre 19'804 cm. e 20'196 cm.a) Calcular o tanto por cento de niños anómalos.b) Calcular a probabilidade de que nun grupo de 10 niños haxa algún anómalo.c) Calcular a probabilidade de que nun grupo de 40 niños a décima parte ou máis sexan anómalos .

Resolución

É unha distribución onde a variable aleatoria éa) Calculo a probabilidade de que un niño non sexa anómalo:

Logo a probabilidade de que sexa anómalo é : 0´05 . Esto quere dicir que o 5% dos niños é anómalo.

b)Considero a variable aleatoria : Y = “nº de niños anómalos entre 10”

Segue unha distribución binomial

c)Considero a variable aleatoria : V = “nº de niños anómalos entre 40”

Segue unha distribución binomial A décima parte de 40 son 4.

c) A intención quizais fora que o fixeras por Poisson . Neste caso

EXERCICIO 4 – TEMA 4 .- No ecosistema dos manantiais de Comal (EEUU) habita o escaravello rifle, unha especie en perigo de extinción. O tamaño dos machos é unha variable normal de media 0´32 cm e de desviación típica 0´1 cm. O tamaño das femias ten media 0´41cm e desviación típica 0´08 cm.a) Calcula a probabilidade de que un macho mida máis de 0´5 cm.b) Calcula a probabilidade de que un escaravello rifle mida máis de 0´6 cm. se os machos representan un 53% da poboación do escaravello rifle.c) Se tomamos 80 escaravellos rifle, calcula a probabilidade de que menos do 5% midan máis de 0´6 cm. Resolución

Temos dúas distribucións : X = “ tamaño dos machos” .

Y = “ tamaño das femias” . a)

b)Consideramos os seguintes sucesos :

Volvendo a temos que :c)V= “ nº de escaravellos , entre 80 , que miden máis de 0´6”.Para os escaravellos rifle en xeral a probabilidade de que mida máis de 0´6 cm. é . Como N=80.

Estamos ante unha distribución Podemos aproximala por Poisson con

Por outra banda o 5% de 80 é 4.

EXERCICIO 5 – TEMA 4 .- Nun estudo da presión diastólica dunha clase de enfermos do corazón obtívose, mediante longa experiencia, que a media das presións diastólicas é 90 mm. de Hg e a desviación típica é de 12 mm de Hg, sendo a poboación de presións aproximadamente normal.a) Calcular a probabilidade de que a presión diastólica dun paciente do grupo difira da media en menos de 20 unidades.

b) Determinar o valor da presión diastólica tal que só o 5% dos pacientes teñan unha presión diastólica superior a devandito valor. Resolucióna)

Trátase dunha distribución

b)Hai que calcular primeiro cal é o valor da variable aleatoria normal tipificada que deixa unha “cola” superior

do 5% . É dicir temos que calcular o valor de tal que .“Destipificamos” :

EXERCICIO 6 –TEMA 4.- Nunha estación agronómica obtívose un tipo de semente de millo de calidade extra que xermina no 98% dos casos. O millo comercialízase en bolsas de 500 sementes e garántese a xerminación dun 96% como mínimo. ¿Cal é a probabilidade de que unha bolsa non cumpra a garantía?

ResoluciónProbabilidade de que xermine : . Tamaño da mostra : 500 .Estamos nunha distribución

Temos que ; ; Manexando os datos : ; logo estamos nun dos supostos nos que a binomial pode aproximarse por medio da normal.

Se garantimos a xerminación do 96% , garantimos que nunha bolsa de 500 hai 460 boas.Polo tanto a probabilidade de que non cumpra a garantía é:

A probabilidade é do 0´07%.

EXERCICIO 7 – TEMA 4 .- Estase realizando un estudo de reprodución controlada dunha especie animal en perigo de extinción. Sábese que a presentación de anomalías xenéticas aparece cunha probabilidade do 1%. Determinar un número de anomalías, de maneira que se garanta que a probabilidade de non superar devandito número sexa de polo menos o 95%, nos casos seguintes:a) Un día no que hai 5 reproducións.b) Un día no que hai 80 reproducións.c) Un día no que hai 900 reproducións.ResoluciónSe chamo á probabilidade de que aparezan anomalías , temos : a)

Se hai 5 reproducións , estamos ante unha binomial .Trátase de ver para que valor , da variable aleatoria , a función de distribución acada o valor 0´95 .

.Vemos que xa hai un 95% de probabilidade de non pasar de 0 anomalíasb)

Se hai 80 reproducións , estamos ante unha binomial Observamos que e e polo tanto pode aproximarse por Poissón . Pero non se pode

aproximar por medio da normal pois .Aproximamos por:Poissón

Trátase de ver para que valor , da variable aleatoria , a función de distribución acada o valor 0´95 .

Entón hai un 95% de probabilidade de non pasar de 2 anomalías

c)

Se hai 900 reproducións , estamos ante unha binomial , con : e . Polo tanto pde aproximarse por medio da normal , con :

e

Trátase de ver para que valor , da variable aleatoria , a función de distribución acada o valor 0´95 .Primeiro calculamos ese valor para a normal tipificada. É dicir me pregunto :

¿Cal é o valor da variable aleatoria tipificada tal que ou superior ?.

Resposta .

Agora “destipificamos” : Entón hai un 95% de probabilidade de non pasar de 14 anomalías

EXERCICIO 8 – TEMA 4 .- De acordo cun estudo publicado por un equipo de sociólogos da Universidade de Massachusetts, aproximadamente o 49% dos consumidores de Valium nese estado norteamericano son directivos de empresas. Selecciónanse ó azar 1000 consumidores de Valium en Massachusetts, cal é a probabilidade de que entre 482 e 510, ambos valores incluídos, sexan directivos de empresa?

Resolución

de ser directivo . Tamaño da mostra : 1000 .Segue unha distribución binomial

Temos que ; Logo estamos no primeiro dos supostos nos que a binomial pode aproximarse por medio da normal con:

Se garantimos a xerminación do 96% , garantimos que nunha bolsa de 500 hai 460 boas.Polo tanto a garantía cómprese con probabilidade :

EXERCICIO 9 – TEMA 4 .- Un Biólogo comprobou que a probabilidade, de que ó inxectar a unha rata un determinado producto sobrevivise logo dunha semana, era de 0'5. Se o Biólogo inxectou o producto a un lote de 100 ratas, pídese calcular:a) Probabilidade de que vivan máis de 65 ratas.b)Probabilidade de que vivan máis de 40 e menos de 60.c) Probabilidade de que vivan menos de 30.d)Probabilidade de que vivan máis de 45.

Resolucióna)X= “Número de ratas que sobreviven máis dunha semana”

En principio é unha distribución .Como e podemos aproximar a binomial por medio dunha normal con e

é dicir e

a)

b)

c)

d)

EXERCICIO 10 – TEMA 4 .- Efectúase unha medición de acidez sobre un certo tipo de ácido. Cada medición de PH ten un erro. Ademais sábese que a magnitude do erro nesas medicións é unha variable, X, que se distribúe normalmente con media 0 e varianza 0'36. Determinar a probabilidade de que si se efectúan 5 medicións independentes, resulten todas cun erro (en valor absoluto) superior a 0'5.

ResoluciónX = “Magnitude de erro das medicións”

Segue unha distribución normal . A media é e a varianza

Calculo a probabilidade de que unha medición teña un erro (en valor absoluto) superior a 0'5.

Este dato usámolo como a probabilidade p dunha distribución binomial de 5 probas.

Y = “nº de probas con erro superior a 0´5”

EXERCICIO 11 – TEMA 4 .- Un técnico de laboratorio debe realizar diariamente unha análise. O tempo empregado segue unha distribución normal de media 24 minutos e desviación típica 3´8 minutos. Para un día determinado, responder ás seguintes preguntas:a) Cal é a probabilidade de que o tempo que lle leve realizalo sexa polo menos media hora?b) Atopa o período de tempo encima do cal atópase o 15 % das análises máis lentas.Resolución

X = “Tempo de realización de análise”

É unha distribución a)

b)Hai que calcular primeiro cal é o valor da variable aleatoria normal tipificada que deixa unha “cola” superior

do 15% . É dicir temos que calcular o valor de tal que .“Destipificamos” :

EXERCICIO 12 – TEMA 4 .- Nun estudo sobre contaminación considérase unha poboación de vehículos na que o 20% son vehículos pequenos, o 50% son medianos e o resto son grandes. O 40% dos pequenos usa un silenciador estandart, mentres que dos medianos e grandes úsano un 50% e un 60% respectivamente. Sábese que o nivel de ruído que provoca un vehículo é unha variable normal, con media 730 decibelios e desviación típica 20 no caso dun vehículo con silenciador estandart e con media e desviación típica 800 e 13, respectivamente, para os vehículos con silenciador non estandart.Elíxese un vehículo ó azar. Calcular a probabilidade de que o nivel de ruído sexa inferior a 790 decibelios. ResoluciónNomeamos os sucesos : I = “Suceso de que o ruído sexa inferior a 790 decibelios” Q = “Suceso de que o vehículo sexa pequeno” M = “Suceso de que o vehículo sexa mediano” G = “Suceso de que o vehículo sexa grande” S = “Suceso de que o vehículo use silenciador standart”

Nomeamos as variables aleatorias : X = “nivel de ruído con silenciador standart” , é

Y = “nivel de ruído con silenciador non standart” é

( non era preciso)

Volvendo á posición temos :

EXERCICIO 13 –(EXAME 2012) - TEMA 4 .- En 1969 descubriuse que os faisáns de Montana padecían unha apreciable contaminación por mercurio que podía deberse a que comeran sementes que foron tratadas con metilo de mercurio durante o seu crecemento. Considérase que un faisán está gravemente contaminado se o seu contido en mercurio é superior a 0´35 partes por millón. Se o nivel de mercurio dun paxaro segue unha distribución normal de media 0´25 e desviación típica 0´08 partes por millón.a) Cal é a probabilidade de que elixido ó azar un faisán de Montana estea gravemente contaminado?

Elíxense 10 faisáns ó azar,b) ¿Cal é a probabilidade de que como máximo estean gravemente contaminados a metade?c) ¿Cantos faisáns espérase que estean gravemente contaminados?

Resolucióna)

É unha distribución

b)

Trátase dunha distribución binomial

Dada a pregunta é mellor traballar con

c)

TEMA 5

EXERCICIO 1 – TEMA 5 .- Unha empresa de productos de laboratorio desexa coñecer a proporción de

clientes dispostos a demandar un dos productos que ofrece. Para iso consultou ó azar a 100 deles, e obtivo

que

o 30 % estaría disposto a demandar e o resto non.

a) Obter a estimación puntual da proporción poboacional de demandantes.

b) Calcular a probabilidade de que a proporción mostral de demandantes difira da correspondente

proporción poboacional en menos de 0'15.

Resolución

a)

b)

A proporción mostral segue unha distribución pero se é descoñecida aproxímase por

.

Logo segue unha distribución normal

EXERCICIO 2 – TEMA 5 .- Nun estudo biolóxico quérese estimar a media dunha poboación normal que

ten desviación típica . Preténdese que a media mostral difira da poboacional en menos de 0'4 con

probabilidade de polo menos 0'97. Cantas observacións hai que realizar para que se cumpran os obxectivos

propostos?

Resolución

A distribución da media mostral será é dicir :

Que a media mostral difira da poboacional en menos de 0'4 con probabilidade de polo menos 0'97 quere

dicir que:

Outra forma

A distribución da media mostral

O tema é que o erro sexa inferior a 0'4 con probabilidade 0´97.

O erro ven dado por sendo tal que deixa unha cola superior .

Polo tanto e o erro é e queremos que sexa en valor absoluto inferior a 0´4

EXERCICIO 3 – TEMA 5 .- O nº de barrís de petróleo cru que produce un pozo diariamente é unha

variable aleatoria cunha distribución non especificada. Se observamos a producción en 64 días,

seleccionados de forma aleatoria, e sábese que a desviación típica por día é , determinar a

probabilidade de que a media mostral se atopa a non máis de 4 barrís do verdadeiro valor medio da

producción por día.

Resolución

EXERCICIO 4 – TEMA 5 .- Sábese que a glucemia basal segue unha distribución normal con media 80 e

desviación típica 10 nos individuos sans e que segue unha distribución normal con media 160 e desviación

típica 31'4 nos individuos diabéticos. Téñense dúas mostras aleatorias de 100 e 50 individuos,

respectivamente, de cada unha das poboacións. ¿Cal é a probabilidade de que as medias das mostras difiran

como máximo en 90 unidades?

Resolución

Chamo á variable aleatoria “ medias das mostras de tamaño 100 de individuos sans”

Chamo á variable aleatoria “ medias das mostras de tamaño 50 de individuos diabéticos”

é unha variable aleatoria :

EXERCICIO 5 – TEMA 5 .- Nunha maternidade sábese que a probabilidade de que un nado sexa varón é

igual a 0'51. ¿Cantas observacións deberán realizarse para que a proporción mostral de varóns difira da

correspondente proporción poboacional en menos de cunha probabilidade igual a 0'95?

Resolución

A proporción mostral segue unha distribución :

Observación

A partir da posición poderiamos dicir que deixa detrás unha área

Logo

EXERCICIO 5 – TEMA 5 (reducido) .- Nunha maternidade sábese que a probabilidade de que un nado

sexa varón é igual a 0'51. ¿Cantas observacións deberán realizarse para que a proporción mostral de varóns

difira da correspondente proporción poboacional en menos de cunha probabilidade igual a 0'95?

Resolución

A proporción mostral segue unha distribución :

EXERCICIO 6 – TEMA 5 .- Tómase unha mostra aleatoria de dez alumnos de 2º de Bacharelato. De

experiencias anteriores sábese que a súa estatura constitúe unha característica que se distribúe segundo unha

variable aleatoria normal de media 167 cm. e desviación típica 3'2 cm. Pídese:

a) Probabilidade de que a media mostral das alturas dos dez alumnos sexa inferior a 165 cm.

b) Probabilidade de que a cuasivarianza mostral das alturas dos dez alumnos sexa superior a 16'50.

Resolución

a)

A media mostral segue unha distribución

b)

b)

Outra forma que parece mellor

EXERCICIO 6 – TEMA 5 (reducido) .- Tómase unha mostra aleatoria de dez alumnos de 2º de

Bacharelato. De experiencias anteriores sábese que a súa estatura constitúe unha característica que se

distribúe segundo unha variable aleatoria normal de media 167 cm. e desviación típica 3'2 cm. Pídese:

a) Probabilidade de que a media mostral das alturas dos dez alumnos sexa inferior a 165 cm.

b) Probabilidade de que a cuasivarianza mostral das alturas dos dez alumnos sexa superior a 16'50.

Resolución

a)

A media mostral segue unha distribución

b)

TEMA 6

EXERCICIO 1 TEMA 6 .- Nun traballo de laboratorio desexase levar a cabo comprobacións coidadosas da variabilidade dos resultados que producen mostras estándar. Nun estudo da cantidade de calcio na auga potable, o cal se efectúa como parte do control da calidade dun auga, analizouse seis veces a mesma mostra no laboratorio en intervalos aleatorios. Os seis resultados, en partes por millón foron 9'54, 9'61, 9'32, 9'48, 9'70, e 9'26.a) Estimar , a varianza dos resultados da poboación para este estándar, usando un intervalo de confianza do 90%.b) ¿Cal é o erro máximo cometido na estimación?.

Resolución a)

9´54 0´055 0,0030259´61 0´125 0´0156259´32 -0´165 0´0272259´48 -0´005 0´0000259´7 0´215 0´0462259´26 -0´225 0´050625

A varianza estímase pola cuasivaranza cando a media da poboación non é coñecida .

Ademais sucede que : . No noso caso

Logo inicialmente vou buscar un intervalo de confianza do 95% para

. Pero a distribución chi-cadrado non é simétrica , logo (como aproximación) vou

buscar os valores e tales que : e

Son : e

Logo:

O intervalo de confianza do 90% para é

b)

EN PRINCIPIO (Logo xa veremos) : O erro cometido é a metade da amplitude do intervalo :

EXERCICIO 2 TEMA 6 .- Quérese probar a efectividade dun antitérmico en reducir a temperatura. Para iso tomouse a temperatura de 10 nenos de 4 anos de idade afectados de gripe, antes e logo de haberlles fornecido o antitérmico e obtivéronse as seguintes reduccións de temperatura:1'2, 1'7,1'6, 1'7,1,1,1, 2'6, 3,1Supoñendo que a variable reducción de temperatura é normal, achar un intervalo de confianza do 95% para a media.

1´2 -0´38 0,14441´7 0´12 0´01441´6 0´02 0´00041´7 0´12 0´01441 -0´58 0´33641 -0´58 0´33641 -0´58 0´3364

2´6 1´02 1´04043 1´42 2´01641 -0´58 0´3364

; ;

Trátase dunha poboación que segue unha distribución normal de varianza descoñecida e mostras pequenas ,

polo que a estimación faise por unha t-Student con 9 graos de liberdade .

Calculo tal que .

Resulta ser

Temos así que :

O intervalo de confianza do 95% para a media é

EXERCICIO 2 TEMA 6 (reducido) .- Quérese probar a efectividade dun antitérmico en reducir a temperatura. Para iso tomouse a temperatura de 10 nenos de 4 anos de idade afectados de gripe, antes e logo de haberlles fornecido o antitérmico e obtivéronse as seguintes reduccións de temperatura:1'2, 1'7,1'6, 1'7,1,1,1, 2'6, 3,1Supoñendo que a variable reducción de temperatura é normal, achar un intervalo de confianza do 95% para a media.

1´2 -0´38 0,14441´7 0´12 0´01441´6 0´02 0´00041´7 0´12 0´01441 -0´58 0´33641 -0´58 0´33641 -0´58 0´3364

2´6 1´02 1´04043 1´42 2´01641 -0´58 0´3364

; ;

Trátase dunha poboación que segue unha distribución normal de varianza descoñecida e mostras pequenas ,

polo que a estimación faise por unha t-Student con 9 graos de liberdade .

Calculo tal que .

Resulta ser

Temos así que :

O intervalo de confianza do 95% para a media é

EXERCICIO 3 TEMA 6 .- Unha cooperativa agrícola ten as súas propias plantacións de certa clase de

vexetal. Nalgunhas delas emprégase un fertilizante natural conseguindo plantas cuxa altura está

normalmente distribuída con varianza igual a 47 e nas parcelas nas que se emprega abono industrial a

altura das plantas é tamén normal pero agora a varianza é igual a 39 . Para comparar as alturas medias

conseguidas con ambos fertilizantes elixíronse ó azar 11 plantas no primeiro tipo de parcelas e 14 no

segundo tipo, sendo 102 cm. e 95 cm. as súas respectivas alturas medias.

Obter un intervalo de confianza do 95% para a diferenza de medias poboacionais. Interpretar o resultado.

Resolución

A diferenza de medias mostrais segue unha distribución normal de media a diferenza de medias

poboacionais e desviación típica sendo e as varianzas de cada unha das

distribucións e e os tamaños das mostras .

Logo o intervalo de confianza será o de centro e radio sendo o valor da

variable aleatoria normal tipificada que deixa unha “cola” inferior . Entón

Centro :

Radio

Logo o intervalo de confianza é :

A interpretación é que podemos afirmar cunha confianza do 95% que a diferencia das medias está

no intervalo .

Outra forma de dicir o mesmo sería que o erro máximo cometido ó estimar que a diferencia das medias está

no intervalo é 5´21 cunha confianza do 95% .

EXERCICIO 3 TEMA 6 (reducido) .- Unha cooperativa agrícola ten as súas propias plantacións de certa

clase de vexetal. Nalgunhas delas emprégase un fertilizante natural conseguindo plantas cuxa altura está

normalmente distribuída con varianza igual a 47 e nas parcelas nas que se emprega abono industrial a

altura das plantas é tamén normal pero agora a varianza é igual a 39 . Para comparar as alturas medias

conseguidas con ambos fertilizantes elixíronse ó azar 11 plantas no primeiro tipo de parcelas e 14 no

segundo tipo, sendo 102 cm. e 95 cm. as súas respectivas alturas medias.

Obter un intervalo de confianza do 95% para a diferenza de medias poboacionais. Interpretar o resultado.

Resolución


poboacionais e desviación típica sendo e as varianzas de cada unha das

distribucións e e os tamaños das mostras .

;

O valor da variable aleatoria normal tipificada que deixa cara atrás é . Logo:



no intervalo .


no intervalo é 5´21 cunha confianza do 95% .

EXERCICIO 4 TEMA 6 .- Un novo producto curou a 70 de 200 cabalos doentes. Pídese:

a) Estimar, mediante un intervalo de confianza do 99%, a proporción de animais curados se o novo producto

se aplicou a unha manada formada por todos os cabalos con esa enfermidade.

b) ¿Cal é a lonxitude do intervalo de confianza ó 95%?

c) Comparar as lonxitudes dos dous intervalos e interpretar o resultado.

Resolución

a)

Pide un intervalo de confianza do 99% para

Sabemos que

segue unha distribución normal de media e desviación típica neste caso

Logo o intervalo de confianza será o de centro e radio sendo o valor da variable

aleatoria normal tipificada que deixa unha “cola” inferior . Entón

Centro :

Radio


b)

A amplitude do intervalo de confianza do 95% será o dobre de sendo o valor da variable


Entón a amplitude será

c)

A lonxitude para unha confianza do 99% é


É maior a lonxitude para unha confianza do 99% porque se queremos aumentar a confianza nas previsións

temos que aceptar unha marxe de erro maior e polo tanto debe ser maior a amplitude do intervalo de

confianza.

EXERCICIO 4 TEMA 6 (reducido) .- Un novo producto curou a 70 de 200 cabalos doentes. Pídese:

a) Estimar, mediante un intervalo de confianza do 99%, a proporción de animais curados se o novo producto

se aplicou a unha manada formada por todos os cabalos con esa enfermidade.

b) ¿Cal é a lonxitude do intervalo de confianza ó 95%?

c) Comparar as lonxitudes dos dous intervalos e interpretar o resultado.

Resolución

a)

Pide un intervalo de confianza do 99% para

Sabemos que




b)

A amplitude do intervalo de confianza do 95% será o dobre de sendo o valor da variable


Entón a amplitude será

c)



É maior a lonxitude para unha confianza do 99% porque se queremos aumentar a confianza nas previsións

temos que aceptar unha marxe de erro maior e polo tanto debe ser maior a amplitude do intervalo de

confianza.

EXERCICIO 5 TEMA 6 .- Preténdese estudar a diferenza na taxa de insuficiencia renal entre os pacientes

que reciben prednisona e aqueles que non a reciben. Tomáronse dúas mostras de tamaños 34 e 38

respectivamente para as que se obtiveron taxas de 0'03 e 0'26 respectivamente. Obter un intervalo de

confianza do 95% para a diferenza de taxas. Interpretar o resultado.

Resolución

Segundo entende a profesora (xa é entender , pero... o certo é que non hai outra ) os valores 0'03 e 0'26 son

proporcións mostrais.

A diferenza de proporcións mostrais segue unha distribución normal de media a diferenza de medias

poboacionais e desviación típica

O intervalo de confianza do 95% para a distribución normal tipificada será tal que :

En vez de utilizo porque descoñecemos as proporcións poboacionais.

. Logo o intervalo de confianza é .

Como está centrado claramente na parte negativa podemos dicir que : Interesa dar tratamento xa que a taxa

de insuficiencia renal é máis baixa no caso de tratamento con prednisona.

EXERCICIO 6 TEMA 6 .- Un grupo de 90 inadaptados foron ingresados en dous centros de rehabilitación.

No centro A foron ingresados 50 deles, conseguindo a súa recuperación nun prazo medio de 150 días cunha

desviación típica de 30 días. Os 40 restantes foron ingresados no centro B e para eles o tempo medio de

recuperación foi de 160 días cunha desviación típica de 25 días. Supoñendo que o tempo de recuperación

segue unha distribución normal, obter un intervalo de confianza do 95% para comparar os tempos medios de

recuperación nos dous centros. Interpretar o resultado.

Resolución


poboacionais e desviación típica sendo e as cuasivarianzas de cada unha das

mostras e e os tamaños das mostras .

Logo o intervalo de confianza será o de centro e radio sendo o valor da

variable aleatoria normal tipificada que deixa unha “cola” inferior . Entón

Centro :

Calculo ;

Radio



no intervalo .


no intervalo é cunha confianza do 95% .

EXERCICIO 6 TEMA 6 (reducido) .- Un grupo de 90 inadaptados foron ingresados en dous centros de

rehabilitación. No centro A foron ingresados 50 deles, conseguindo a súa recuperación nun prazo medio de

150 días cunha desviación típica de 30 días. Os 40 restantes foron ingresados no centro B e para eles o

tempo medio de recuperación foi de 160 días cunha desviación típica de 25 días. Supoñendo que o tempo de

recuperación segue unha distribución normal, obter un intervalo de confianza do 95% para comparar os

tempos medios de recuperación nos dous centros. Interpretar o resultado.

Resolución


poboacionais e desviación típica sendo e as cuasivarianzas de cada unha das

mostras e e os tamaños das mostras .

; ;




no intervalo .


no intervalo é cunha confianza do 95% .

EXERCICIO 7 TEMA 6 .- Quérese coñecer a permanencia media dos pacientes nun hospital, co fin de

estudar unha posible ampliación do mesmo. Sábese que a permanencia segue unha distribución normal con

varianza poboacional 81. Para unha mostra de 800 pacientes obtívose unha permanencia media de 8'1 días.

Entre que valores estará a estancia media cunha confianza do 95% ?

Resolución


Logo o intervalo de confianza será o de centro e radio sendo o valor da variable aleatoria

normal tipificada que deixa unha “cola” inferior . Entón

Centro :

Radio


EXERCICIO 7 TEMA 6 (reducido) .- Quérese coñecer a permanencia media dos pacientes nun hospital, co

fin de estudar unha posible ampliación do mesmo. Sábese que a permanencia segue unha distribución

normal con varianza poboacional 81. Para unha mostra de 800 pacientes obtívose unha permanencia media

de 8'1 días. Entre que valores estará a estancia media cunha confianza do 95% ?

Resolución

segue unha distribución normal de media e desviación típica

;



EXERCICIO 8 TEMA 6 .- Nun estudo sobre a anxina de peito en ratas, dividiuse aleatoriamente a 18

animais afectados en dous grupos de 9 individuos cada un. A un grupo fornecéuselle un placebo e ao outro

un fármaco experimental FL 113. Logo dun exercicio controlado sobre unha cinta sen fin, determinouse o

tempo de recuperación de cada rata. Obtivéronse os seguintes datos:

Placebo: , media segundos, desviación típica segundos

FL113: , media segundos, desviación típica segundos

Obter un intervalo de confianza do 95% para a diferenza nos tempos medios de recuperación. Suponse que a

variable de interese segue unha distribución normal e que as varianzas poboacionais son iguais.

Resolución

Vemos que as varianzas poboacionais son descoñecidas pero iguais e o tamaño das mostras é pequeno.

Entón:

A diferenza de medias mostrais segue unha distribución t-Student de media a diferenza de

medias poboacionais e desviación típica sendo e e

os tamaños das mostras .

;

Logo o intervalo de confianza será o de centro e radio sendo o valor

da variable aleatoria t-Student que deixa unha “cola” superior . Entón

Centro :

Radio


EXERCICIO 8 TEMA 6 (reducido) .- Nun estudo sobre a anxina de peito en ratas, dividiuse aleatoriamente a

18 animais afectados en dous grupos de 9 individuos cada un. A un grupo fornecéuselle un placebo e ao

outro un fármaco experimental FL 113. Logo dun exercicio controlado sobre unha cinta sen fin,

determinouse o tempo de recuperación de cada rata. Obtivéronse os seguintes datos:

Placebo: , media segundos, desviación típica segundos

FL113: , media segundos, desviación típica segundos

Obter un intervalo de confianza do 95% para a diferenza nos tempos medios de recuperación. Suponse que a

variable de interese segue unha distribución normal e que as varianzas poboacionais son iguais.

Resolución

Vemos que as varianzas poboacionais son descoñecidas pero iguais e o tamaño das mostras é pequeno.

Entón:

A diferenza de medias mostrais segue unha distribución t-Student de media a diferenza de

medias poboacionais e desviación típica sendo e e

os tamaños das mostras .

;

A diferenza de medias mostrais segue unha distribución

O valor da variable aleatoria normal tipificada que deixa cara atrás , deixa cara adiante

unha probabilidade logo é

Entón :


TEMA 7

EXERCICIO 1.- A concentración media de dióxido de carbono no aire nunha certa zona non é

habitualmente maior que 355 p.p.m.v. (partes por millón en volume). Sospéitase que esta concentración é

maior na capa de aire máis próxima á superficie. Para contrastar esta hipótese analízase o aire en 20 puntos

elixidos aleatoriamente a unha mesma altura preto do chan. Resultou unha media mostral de 580 p.p.m.v. e

unha cuasi-desviación típica mostral de 180. Supoñendo normalidade para as medicións, ¿proporcionan

estes datos suficiente evidencia estatística, ó nivel 0´01, a favor da hipótese de que a concentración media é

maior cerca do chan? Indicar razoadamente se o p-valor é maior ou menor que 0´01.

Resolución

Como é descoñecida as medias mostrais seguen unha distribución t-Student con graos de liberdade

Hipótese nula :

Hipótese alternativa :

O valor do estatístico baixo a hipótese nula é :

Para un nivel de significación na t-Student , temos que:

Posto que o valor do estatístico baixo a hipótese nula está fora da zona de aceptación: , REXEITAMOS a hipótese de que a concentración media de dióxido de carbono no aire non é habitualmente maior que 355 p.p.m.v. e polo tanto estes datos proporcionan suficiente evidencia estatística, ó nivel 0´01, a favor da hipótese de que a concentración media é maior cerca do chan.

b)

O p-valor (unha cola neste caso) é o valor p tal que :

.

Polo tanto é menor que 0´01

EXERCICIO 2.- Por estudos realizados anteriormente sábese que a talla media dun tipo de verme é

de 171'33 mm. e a desviación típica é de 2'50 mm. Extraeuse unha mostra de 400 vermes e obtívose que a

súa talla media foi 172'23 mm.

Pódese dicir que a mostra foi extraída correctamente?

Resolución

Como é coñecida as medias mostrais seguen unha distribución normal:

Hipótese nula :


Para o valor de o valor do estatístico baixo a hipótese nula é :

O p-valor é o valor p tal que :

Logo a mostra está mal obtida porque o p-valor é menor que calquera nivel de significación razonable .

EXERCICIO 3.- Débese repoñer o abono fornecido a unha parcela plantada de castiñeiros cando esta produce máis do 10% deles con tamaños inferiores ó desexado. Unha mostra de 100 castiñeiros da parcela contén 15 nesas condicións e o encargado dos seus coidados considera que debe ser reposto o abono. A evidencia da proba apoia a súa decisión ó nivel 0´01?

Resolución

As mostras de 100 castiñeiros con seguen unha distribución normal , verificando:

Hipótese nula :



Unha forma

Calculo o p-valor que é o valor p tal que :

Como o p-valor 0´0475 é maior que 0´01 acéptase a hipótese nula e polo tanto non se apoia a decisión de abonar para o nivel de significación 0´01

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación 0´01. Será tal que :

Como o estatístico é menor que acéptase a hipótese nula e polo tanto non se apoia a decisión de abonar para o nivel de significación 0´01

EXERCICIO 4.- Unha cooperativa agrícola ten as súas propias plantacións de certa clase de vexetal. Nalgunhas delas emprégase fertilizante natural conseguindo plantas cuxa altura está normalmente distribuída con varianza igual a 47 e nos terreos fertilizados con abono industrial a altura das plantas é tamén normal, pero agora con varianza igual a 39 . Para comparar as medias elixíronse ó azar 25 plantas, 11 correspondían ó primeiro tipo de terras e 14 ó segundo tipo, sendo 102 cm. e 95 cm. as alturas medias respectivas.¿Pode concluírse, ó nivel de significación , que o uso de fertilizante natural produce plantas de maior altura? Resolución

Como e son coñecidas a diferencia de medias mostrais segue unha distribución normal:

Hipótese nula :



Unha forma


Como desbótase a hipótese nula para ese nivel de significación e polo tanto o uso de fertilizante natural produce plantas de maior altura .

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación 0´05. Será tal que :

Como o estatístico é maior que desbótase a hipótese nula e polo tanto o uso de fertilizante natural produce plantas de maior altura para un nivel de significación .

EXERCICIO 5.- Ante unha epidemia un granxeiro sospeita que o número de aves novas mortas é inferior que o de aves adultas. Para saír de dúbidas, ailla unha mostra de 200 aves novas e ó cabo dun mes morreron 58; igualmente ailla 150 aves adultas morrendo no mesmo período 36.Que conclusión pode sacar o granxeiro, cun nivel de significación do 5 %?

Resolución

A diferencia de proporcións mostrais segue unha distribución normal:

Hipótese nula :



Unha forma


Como acéptase a hipótese nula para ese nivel de significación e polo tanto a mortalidade de aves novas é maior que a de adultas.

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación . Será tal que :

Como o estatístico é menor que acéptase a hipótese nula e polo tanto a mortalidade de aves novas é maior que a de adultas para un nivel de significación .

EXERCICIO 6.- Na comarca burgalesa da Ribeira do Doiro realizouse unha análise da variabilidade das propiedades do chan para avaliar a pertinencia da aplicación de doses variables de fertilizantes. No período 2009-2010 mediuse o PH de 61 mostras de terras obténdose unha media mostral de 8'58 cunha desviación típica mostral de 0'444.Se no período 2010-2011 se efectuáron novas medicións de PH, neste caso de 51 mostras, obténdose neste caso unha media mostral de 8'11 cunha desviación típica mostral de 0'376, pódese aceptar que o PH medio é o mesmo nos dous períodos considerados cun nivel de significación de ?

Resolución

Como e non son coñecidas pero as mostras son grandes a diferencia de medias mostrais segue unha distribución normal:

Hipótese nula :



Unha forma


Como desbótase a hipótese nula para ese nivel de significación e polo tanto o PH medio é distinto nos dous períodos considerados.

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación de dúas colas. Será tal que :

Como o estatístico é dicir como desbótase a hipótese nula para ese nivel de significación e polo tanto o PH medio é distinto nos dous períodos considerados .

EXERCICIO 7.- A seguinte táboa describe a lonxitude de sáibaos de dúas especies de flores do xénero Iris.

Supoñendo que a lonxitude segue unha distribución normal, dicir se existe diferenza entre as dúas especies respecto á lonxitude de sáibaos ó nivel de significación de .

Resolución

Como e non son coñecidas e as mostras son pequenas pero non se sabe se as varianzas poboacionais son iguais a diferencia de medias mostrais segue unha t-Student:

sendo f o número natural máis próximo a

Hipótese nula :


¡DA XUSTO!

Logo . Ademais


Unha forma


Como desbótase a hipótese nula e polo tanto existe diferenza entre as dúas especies respecto á lonxitude de sáibaos ó nivel de significación de

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación de dúas colas de . Dito valor é :

Como o estatístico é dicir posto que desbótase a hipótese nula e polo tanto existe diferenza entre as dúas especies respecto á lonxitude de sáibaos ó nivel de significación de .

EXERCICIO 8.- A velocidade de desenvolvemento do insecto Tribolium castaneum mediuse como o número de días que tarda un individuo en pasar de ovo a adulto. Preténdese comparar dúas poboacións A e B, unha recientemente colleita e outra de longa permanencia no laboratorio. Os datos obtidos en dúas

mostras de tamaños e foron:Poboación A : 21 , 17 , 17 , 18 , 20 , 21 , 19Poboación B : 20 , 20 , 21 , 22 , 21 , 22 , 23Podemos dicir que existen diferenzas significativas ó 5% en canto á velocidade de desenvolvemento dos insectos destas dúas poboacións?

Resolución

21 2 417 -2 417 -2 418 -1 120 1 121 2 419 0 0

20 -1’29 1’664120 -1’29 1’664121 -0’29 0’084122 0’71 0’504121 -0’29 0’084122 0’71 0’504123 1’71 2’9241



Hipótese nula :


Logo . Ademais


Unha forma


Como rexéitase a hipótese nula e polo tanto existe diferenza entre a velocidade de desenvolvemento dos insectos destas dúas poboacións ó nivel de significación de

Outra forma

Calculamos o valor que corresponde a un nivel de significación con dúas colas.

Dito valor é:

Como o estatístico é dicir posto que rexéitase a hipótese nula e polo tanto existe diferencia entre a velocidade de desenvolvemento dos insectos destas dúas poboacións ó nivel de significación do 5 % .

EXERCICIO 9.- Un instituto de alimentación animal quere comparar estatísticamente dous tipos de dietas. Seleccionan ó azar unha mostra de 20 animais. A doce deles fornéceselles a dieta primeira e ós oito restantes a dieta segunda. Os resultados do aumento de peso nunha semana son os seguintes:

Pode afirmarse que a primeira dieta provoca un maior incremento de peso que a segunda?Resolución



Hipótese nula :


;

Logo . Ademais



Acéptase a hipótese nula e polo tanto non existe incremento de peso para calquera nivel de significación inferior a 0´177. Como o nivel significación é alto , pódese afirmar que efectivamente a hipótese nula é certa e polo tanto non hai incremento de peso como consecuencia da dieta.

APÉNDICEA estimación trata de obter conclusións para toda a poboación a partir dunha mostra.Tamaño da poboación: NTamaño da mostra: n

DISTRIBUCIÓNS ASOCIADAS Ó MÓSTREO

CHI-CADRADO de Pearson:

Se temos variables aleatorias independentes con , a variable aleatoria:

ten unha distribución Chi-cadrado con n graos de liberdade.A distribución depende de n e está tabulada.

Denotamos por o punto crítico tal que : . É dicir o valor da variable aleatoria que deixa unha “cola superior”

;

A variable aleatoria segue unha distribución

A variable aleatoria segue unha distribución A aproximación á normal é válida para

Se e entón . Se pode extender a máis variablesExercicio

; ;

t-STUDENT :

Se temos e variables aleatorias independentes, a variable aleatoria:

ten unha distribución t-Student con n graos de liberdade.A distribución depende de n e está tabulada.


; con A distribución t-Student aproxímase pola normal cando

Exercicio

;

aproxímase por medio da normal tipificada . Calculamos o valor que deixa para atrás un área de .

Entón

F de Fisher-Snedecor

Se temos e variables aleatorias independentes, a variable aleatoria:

ten unha distribución F con graos de liberdade.

A distribución depende de e e está tabulada.


Exercicio

; ;

Variable aleatoria continua€¦ · Web viewVARIABLE . ESTATÍSTICA. CONTINUA. Dado o intervalo...

Documents

Transcript of Variable aleatoria continua€¦ · Web viewVARIABLE . ESTATÍSTICA. CONTINUA. Dado o intervalo...