Variable Aleatoria Bidimensional
-
Upload
maria-rodriguez -
Category
Documents
-
view
110 -
download
1
Transcript of Variable Aleatoria Bidimensional
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Defensa.
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional
Bolivariana.
UNEFA – Apure.
Profesora:
Isis Lugo.
San Fernando, Julio del 2011.
Integrantes:
María Rodríguez C.I: 20.230.667
Cindy Díaz C.I: 20.723.191
Sección: 09S3ICT_A
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una
dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales
del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas
aplicaciones se hacen utilizando v.a. bidimensionales o n-dimensionales.
En muchas ocasiones nos puede interesar estudiar conjuntamente dos
características del fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento
conjunto de dos v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas. Para
poder estudiar conjuntamente las dos v.a., es necesario conocer la distribución de
probabilidad conjunta.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL
Sea la X una v.a. discreta que toma un número finito de valores x1, x2, ...,
xr y sea Y una v.a. de tipo discreto, que toma valores y1, y2, ..., ys. La
probabilidad de que la v.a. X tome el valor xi, y la v.a. Y toma el valor yj, la
designaremos por:
La distribución de probabilidad bidimensional o distribución de probabilidad
conjunta de una v.a. discreta bidimensional es una función P(xi,yj) que asigna las
probabilidades a los diferentes valores conjuntos de la v.a. bidimensional (X,Y), de
tal manera que se verifiquen las dos condiciones siguientes:
Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo discreto cuya distribución de
probabilidad es pij = P(xi,yj), i=1, 2, ..., r y j = 1, 2, ..., s. Se define la función de
distribución conjunta, F(x,y) como: y representa la suma de las probabilidades
puntuales P(xi,yj) hasta el valor (x , y) inclusive de la v.a. bidimensional (X,Y).
Consideremos ahora una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo:
Sea (X,Y) una v.a. bidimensional de tipo continuo, si existe una función
f(x,y) tal que verifica: diremos que f(x,y) es la función de densidad de la v.a.
bidimensional continua (X,Y).
Esta función de densidad conjunta, se puede interpretar como un
histograma de frecuencias relativas conjuntas para X e Y, pues la función de
densidad f(x,y) representa una superficie de densidad de probabilidad en el
espacio tridimensional , y el volumen por debajo de esta superficie y por encima
del rectángulo e , es igual a la probabilidad de que las v.a. tienen valores dentro
del rectángulo indicado, es decir:
Sea una v.a. bidimensional (X,Y) de tipo continuo que toma valores sobre el
espacio bidimensional R2 y cuya función de densidad es f(x,y). Se define la
función de distribución de la v.a. bidimensional, F(x,y) como:
La función de distribución bidimensional satisface una serie de propiedades:
Variables Aleatorias
Definición: Si X e Y son dos v.a. definidas sobre el mismo espacio muestral.
Llamamos variable aleatoria bidimensional (X,Y) a una función
Definición: Llamamos función de distribución de una variable aleatoria
bidimensional (x,y) a
Variables Aleatorias Bidimensionales Discretas
Si llamo C al conjunto de posibles resultados de la v.a.b. (X,Y).
Si C tiene una cantidad finita o infinita numerable (x,y) se llama v.a.b. discreta.
Definición: Llamamos función puntual de probabilidad conjunta de una v.a.b.
discreta a una función.
Variables Aleatorias Bidimensionales Continuas
Si C tiene una cantidad infinita de puntos (X,Y) se llama v.a.b. continua.
Definición: Llamamos función de densidad conjunta de una v.a.b. continua.
Distribuciones Marginales
Si (x,y) es una v.a.b. con función de distribución F(x,y). Llamamos funciones
marginales de distribución de x e y a:
si la v.a. es discreta
Función puntual de probabilidad de X
Función puntual de probabilidad de Y
si la v.a. es continua
Función de densidad marginal de X
Función de densidad marginal de Y
Independencia de Variables
Definición: Si (x,y) es una v.a.b. diremos que X e Y son independientes si la
función de distribución conjunta es el producto de las marginales
si la v.a. es discreta
si la v.a. es continua
Observación: Si X e Y son independientes