Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16)

1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

8th Lecture / 8. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein

2

3-D FDTD – Derivation of the Discrete Equations / 3D-FDTD – Ableitung der diskreten Gleichungen

The first two Maxwell’s Equations are in differential form / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialform:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t tt

t t tt

B R ×E R J R

D R ×H R J R

In Cartesian Coordinates we find for the Curl operator applied to E and H / Im Kartesischen Koordinatensystem finden wir für den Rotationsoperator angewendet auf E

und H:

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

x y y

x y z

y yx xz zx y z

x y y

x y z

yz

tx y z

E t E t E t

E t E tE t E tE t E t

y z z x x y

tx y z

H t H t H t

H tH t

y

e e e

×E R

R R R

R RR RR Re e e

e e e

×H R

R R R

RR ( , )( , ) ( , )( , ) yx xzx y z

H tH t H tH t

z z x x y

RR RRe e e

3


If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form read /

Wenn wir die letzten Ausdrücke in the ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform einsetzen, erhalten wir:

m( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

x y zx y z

y yx xz zx y z

t t tt

B t B t B tt

E t E tE t E tE t E t

y z z x x y

B R ×E R J R

R e R e R e

R RR RR Re e e

m m m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , )

x y zx y z

x y zx y z

y xzx

J t J t J t

t t tt

D t D t D tt

H t H tH t

y z z

R e R e R e

D R ×H R J R

R e R e R e

R RRe

e e e

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , ) ( , )

y xzy z

x y zx y z

H t H tH t

x x y

J t J t J t

R RRe e

R e R e R e

Six decoupled scalar equations! / Sechs entkoppelte skalare

Gleichungen!

4


If we insert the last expressions into the first two Maxwell’s equations are in differential form we read /

Wenn wir die letzten Ausdrücke in die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen in Differentialform

einsetzen, erhalten wir:

m

m

m

e

( , )( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )( , ) ( , )

(

yzx x

x zy y

y xz z

yzx x

y

E tE tB t J tt y z

E t E tB t J tt z x

E t E tB t J tt x y

H tH tD t J tt y z

Dt

RRR R

R RR R

R RR R

RRR R

R e

e

( , ) ( , ), ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

x zy

y xz z

H t H tt J t

z x

H t H tD t J tt x y

R RR

R RR R

5


m

m

m

e

( , )( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , )( , ) ( , )

yzx x

x zy y

y xz z

yzx x

E tE tH t J t

t y z

E t E tH t J t

t z x

E t E tH t J t

t x y

H tH tE t J t

t y z

t

RRR R

R RR R

R RR R

RRR R

e

e

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

x zy y

y xz z

H t H tE t J t

z x

H t H tE t J t

t x y

R RR R

R RR R

xEyE

zE

xH

zH

yH

m

e

, 1, 2,3

, 1, 2,3i i

i i

x x

x x

H J i

E J i

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x

y y

z z

B t H t

B t H t

B t H t

R R

R R

R R

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x x

y y

z z

D t E t

D t E t

D t E t

R R

R R

R R

Constitutive equation for homogeneous isotropic materials /

Konstituierende Gleichungen für homogene isotrope Materialien:

6


m

( , )( , )( , ) ( , )yzx x

E tE tH t J t

y z

RRR R

( , ) ( , )x xH t H tt

R R

( )dyE

( )bzE( )m

xH

( )fzE

( )uyE

( )

( )m m

( ) ( )2

( ) ( )2

( , ) ( )

( , ) ( )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

mx x

mx x

f bz z z

d uy y y

H t H t

J t J t

E t E t E ty

y y

E t E t E tz

z z

R

R

R

R

( )dyE

( )bzE

( )mxH

( )fzE

( )uyE

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

m

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

d uf by ym mz z

x x

E t E tE t E tH t J t

y z

A part of the discrete curl operator / Ein Teil des diskreten Rotationsoperators

7

2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM and TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM- und TE-Fall

( )ng G

( )ng G

1x x3z x

2-D TE Case / 2D-TE-Fall

Gn n

Gn( )nxE

( )nzE

( )nyH

2y x( )ng G

( )ng G

1x x3z x

2-D TM Case / 2D-TM-Fall

Gn n

Gn

( )nxH

( )nzH

( )nyE

2y x

m

m

e

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

yx x

yz z

x zy y

x z

E tH t J t

t zE t

H t J tt x

H t H tE t J t

t z x

x z

RR R

RR R

R RR R

R e e

m

e

e

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

x zy y

yx x

yz z

x z

E t E tH t J t

t z x

H tE t J t

t zH t

E t J tt x

x z

R RR R

RR R

RR R

R e e

G G

Dual orthogonal grid system in space /

Dual-orthogonales Gittersystem im Raum

8

2-D EM Wave Propagation – 2-D FDTD – TM Case/ 2D EM Wellenausbreitung – 2D-FDTD – TM-Fall

( )ng G

( )ng G

1x x3z x

2-D TM Case / 2D-TM-Fall

Gn n

Gn

( )nxH

( )nzH

( )nyE

2y x

m

m

e

( , )( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )( , ) ( , )

yx x

yz z

x zy y

x z

E tH t J t

t zE t

H t J tt x

H t H tE t J t

t z x

x z

RR R

RR R

R RR R

R e e

Two-dimensional staggered grid system in the 2-D TM case / Zweidimensionales versetztes

Gittersystem im 2D-TM-Fall

9

Implementation of Boundary Conditions / Implementierung von Randbedingungen

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material( , , )

( , , )

01

0

t

t

ny

t tny

En N

E

Plane wave boundary condition for a vertical incident plane wave / Ebene-Wellen-Randbedingung für eine vertikal einfallende ebene Welle

(2, , ) (3, , )

( 1, , ) ( 2, , 2)

1

1

z t z t

x z t x z t

n n n ny y z z

N n n N n nt ty y

E E n N

n NE E

PW BC / EW-RB

PW BC / EW-RB

PEC BC / IEL-RB

PEC BC / IEL-RB

Slit / Schlitz

PEC BC / IEL-RB

Plane wave excitation / Ebene-Wellen-Anregung

10


( ) 0nxH ( ) 0n

zH ( ) 0nyE

Ghost components which are allocated outside the simulation

area / Geisterkomponenten, welche

außerhalb des Simulationsgebietes liegen

Ghost grid cells / Geistergitterzell

en

Simulation area /

Simulationsgebiet

11


Ghost grid cells / Geistergitterzell

en

Simulation area /

Simulationsgebiet

(2, ,, ) (3, ,, )z t z tn n n ny yE E

0yE 0yE 0yE 0yE

Plane wave excitation / Ebene-Wellen-

Anregung

Slit / Schlitz

12

2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung an einem Spalt

13

2-D TM FDTD – Diffraction on a Single Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Spalt

Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm der

Hx-Feldkomponente

Wave field movie of the Hz field component / Wellenfeldfilm der

Hz-Feldkomponente

Wave field movie of the Ey field component / Wellenfeldfilm derEy-Feldkomponente

14

2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt

15

2-D TM FDTD – Diffraction on a Double Slit / 2D-TM-FDTD – Beugung am Doppelspalt

Wave field movie of the Hx field component / Wellenfeldfilm derHx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


16

Photonic Crystals / Photonische Kristalle

Joannopoulos, J. D., R. D. Meade,

J. N. Winn:Photonic Crystals – Molding the Flow of

Light. Princeton University

Press, Princeton, 1995.

Johnson, S. G.: Photonic Crystals:

The Road from Theory to Practice. Kluwer Academic

Press, 2001.

Links:

Photonic Crystals Research at MITHomepage of Prof. Sajeev John, University of Toronto, Canada

http://ab-initio.mit.edu/photons

http://www.physics.utoronto.ca/~john/



17

2-D TM FDTD – Photonic Crystals / 2D-TM-FDTD – Photonische Kristalle

( )r

( )r

Relative permittivity of the background 1

Relative Permittivität des Hintergrundes

Relative permittivity of the rods 11.4

Relative Permittivität der Stäbe

b

r

18



Hx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


19



Hx-Feldkomponente


Hz-Feldkomponente


20


21


22

FDTD and FIT / FDTD und FITFDTD : Finite Difference Time Domain / Finite Differenzen im ZeitbereichFIT : Finite Integration Technique / Finite Integrationstechnik

m

e

e

m

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t tt

t t tt

t t

t t

B R ×E R J R

D R ×H R J R

D R R

B R R

m

e

e

m

d( , ) ( , ) ( , )

d

d( , ) ( , ) ( , )

d

( , ) ( , )

( , ) ( , )

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t dV

t t dV

B R dS E R dR J R dS

D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R

FDTDMaxwell’s equations in differential form /

Maxwellsche Gleichungen in Differentialform

FITMaxwell’s equations in integral form /

Maxwellsche Gleichungen in Integralform

0

0 0, ,2 2

( , )z z

z zf z t f z t

f z tz z

0

00( , ) d ,

2

z z

z z

zf z t z f z t z

FD approximation of spatial and temporal derivatives / FD-

Approximation von räumlichen und zeitlichen Ableitungen

FIT approximation of spatial and temporal integrals / FIT-Approximation

von räumlichen und zeitlichen Integralen

Central difference approximation / Zentrale Differenzen Approximation

Mid point rule approximation of a 1-D integral / Mittelpunktsregel-Approximation eines 1D-

Integrals

23

Definition of Material Cells / Definition der Materialzellen

1x x3z x2y x 1x x

3z x

2y x

1xn x xn N 1yn

y yn N

z zn N

1zn

( )nmMaterial cell / Materialzelle

( )

1

Nn

n

M m

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

n n N

n n N

m n

m n

ε R ε

ν R ν

1 1 1 1

1, 2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

M

M N

M N N

24

3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen

d d

dxS S

R

dS n e

dR s

( )dyE

( )bzE( )m

xB

( )fzE

( )uyE

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


3 3( )

3 3( )

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

B t S

B t S y z y z

B t y z y z y z

n B R e B R

R

1x x3z x2y x

1x x3z x

2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

3 3( )

3 3( )

( , ) d ( ) d d

( )

mS S

y z

m

f t S f t y z y z y z

f t y z y z y z

R

x

z

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

z

y

y

25


d d d

d d

d d

x

y y

z z

S y z

R y

R z

dS n e

dR s e

dR s e

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


1x x3z x

2y x


I ( )mxB

I

y

z

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) d ( , ) d

( , ) d ( , ) d

( , )d ( , )d

( , )d ( , )d

u f

d b

u f

d b

u f

d

C S C C

C C

y zC C

y zC C

y zC C

y zC

t t t

t t

t y t z

t y t z

E t y E t z

E t y E t

E R dR E R dR E R dR

E R dR E R dR

E R e E R e

E R e E R e

R R

R R

( )bCz

( )uC

( )fC( )dC

( )bC

( , ) ?C S

t

E R dR

26


( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) du f d by z y zC S C C C Ct E t y E t z E t y E t z

E R dR R R R R

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3( )

3( )

3( )

3( )

3( )

( )

( , ) d ( ) d

( )

( , ) d ( ) d

( )

( , ) d ( ) d

(

u u

f f

d d

uy yC C

y

uy

fz zC C

z

fz

dy yC C

y

dy

E t y E t y y

E t y y

E t z E t z z

E t z z

E t y E t y y

E t

R

R

R

( ) ( )

3

3( )

3( )

)

( , ) d ( ) d

( )

b bb

z zC C

z

bz

y y

E t z E t z z

E t z z

R

( ) ( )3( )

3( )

( , ) d ( ) d

( )

u um

C C

y

m

f t R f t y y

f t y y

R

Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte

Approximation error / Approximationsfehler

( )mf

1x x3z x

2y x

y

( )uC

y

27


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) d

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

u f d b

u f d b

y z y zC S C C C C

u f d by z y zC C C C

y z y z

t E t y E t z E t y E t z

E t y E t z E t y E t z

y z

E R dR R R R R

3 3( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z y z

E R dR

( )dyE

( )bzE

( )mxB

( )fzE

( )uyE

1x x3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxB

I ( )mxB

I

y

z

( )uC

( )fC( )dC

( )bC

28


md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


m m

m

3 3( )m

3 3( )m

( , ) ( , ) d

( , ) d

( ) d

( )

xS S

xS

mx S

y z

mx

t dS t S

J t S

J t S y z y z

J t y z y z y z

n J R e J R

R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dm u f d b mx y z y z xB t y z E t y E t z E t y E t z J t y z

t


I ( )mxB

I

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

u f d by z y zC S

t E t y E t z E t y E t z

y z

E R dR


I ( )mxB

I


I ( )mxB

I

29


( )rzE

( )dxE

( )rzE

( )myB

( )lzE

( )uxE

1x x3z x2y x

1x x

3z x2y x

integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I

x

z

( )myB( )l

zE

( )dxE

( )uxE

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d( )

d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

my

u l d rx z x z

my

B t y zt

E t x E t z E t x E t z

J t y z

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


integration cell / -Integrationszelle( )myB

I ( )myB

I

30


1x x3z x2y x

1x x

3z x2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I

y

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

( )fxE

( )mzB

( )bxE

( )ryE

( )lyE

x

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )m

d( )

d

( ) ( ) ( ) ( )

( )

mz

b r f lx y x y

mz

B t x yt

E t x E t y E t x E t y

J t x y

md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


integration cell / -Integrationszelle( )mzB

I ( )mzB

I

31


md

( , ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m u f dz y z y

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t y z E t x E t z E t x E t z J t y zt

B t y z E t y E t z Et

) ( ) ( )m( ) ( ) ( )b m

z zt y E t z J t y z

32

Dual-Orthogonal Grid System in Space /Dual-orthogonales Gittersystem im Raum

1x x3z x2y x

3-D / 3D

( )

( )

n

n

g G

m M

( )ng G

G GPrimary grid / Secondary (dual) grid

Primäres Gitter Sekundäres (duales) Gitter

Gn n

Gn

( )nxE

( )nyE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzE

( )zn MyE

( )zn MxE

( )xn MzE

( )xn MyE

( )y

n MxE

1 1 1 1

1, 2, ,

1

x x y y z z

x y z

x

y x

z x y

n M n M n M n

n N N N N

M

M N

M N N

G MPrimary grid / Material grid

Primäres Gitter Materialgitter

Global node numbering / Globale Gitternummerierung

( )nzE

( )nxB

33

End of Lecture 8 /Ende der 8. Vorlesung

Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16)

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