1 

www.fe.lisboa.ucp.pt 

UNIVERSIDADE CATÓLICA PORTUGUESA F A C U L D A D E D E E N G E N H A R I A

Disc ip l ina  de 

ANÁLISE MATEMÁTICA  I I I  

Contexto da Disciplina  Horas de Trabalho do Aluno 

Curso(s): Todas as licenciaturas  Aulas Teóricas  30 h 

Ano Curricular | Semestre: 2º ano  |  1º semestre  Aulas Prácticas  45h 

Ano Académico: 2008 / 2009  Total de horas de Contacto  75h 

ECTS: 5 créditos  Total de horas sem Contacto  121h 

Tipo de Aulas: Teóricas & Práticas  Total de horas de Trabalho do Aluno  196h 

Descrição e Objectivos da Disciplina 

Na primeira parte apresentam‐se os  conceitos principais do cálculo  integral em ℜn  com especial ênfase 

nas  aplicações multidisciplinares  à  Engenharia. Na  segunda parte  faz‐se um breve estudo das  equações 

diferenciais ordinárias, o qual serve como introdução à disciplina de Análise Matemática IV. 

Programa 

INTEGRAIS DE  LINHA    | Curvas  |  Integrais  de  linha  de  campos  escalares  |  Integrais  de  linha  de  campos 

vectoriais  |  Aplicação  dos  integrais  de  linha  ao  cálculo  de  grandezas  físicas  |  Teorema  fundamental  do 

cálculo para integrais de linha | Campos gradientes e potenciais 

2 

www.fe.lisboa.ucp.pt 

INTEGRAIS MÚLTIPLOS  |  Integrais duplos e triplos | Teorema de Fubini | Aplicação dos integrais duplos e 

triplos ao cálculo de grandezas físicas | Teorema de Green | Mudança de variáveis de integração 

INTEGRAIS  DE  SUPERFÍCIE  |  Superfícies  |  Integrais  de  superfície  de  campos  escalares  |  Aplicação  dos 

integrais  de  superfície  ao  cálculo de  grandezas  físicas  | Operadores diferenciais:  gradiente,  divergência  e 

rotacional | Teorema da divergência | Teorema de Stokes 

EQUAÇÕES  DIFERENCIAIS  ORDINÁRIAS  |  Conceitos  fundamentais  |  Equações  lineares  |  Equações 

separáveis | Equações homogéneas | Equações exactas | Equações redutíveis a exactas 

Equipa Docente 

Pedro Matias | REGENTE | pmatias@fe.lisboa.ucp.pt 

Professor Auxiliar da Universidade Católica Portuguesa, licenciou‐se em Engenharia Física Tecnológica pelo 

Instituto Superior Técnico em 1998,  realizou uma pós‐graduação em Física‐Matemática na Universidade 

de Cambridge (Reino Unido) em 1999 e doutorou‐se em Matemática pelo  Instituto Superior Técnico em 

Fevereiro  de  2006.  Foi  depois  investigador  de  pós‐doutoramento  na  Radboud  University  Nijmegen 

(Holanda) de Março a Agosto de 2006.  É  actualmente Director Adjunto da  Faculdade de Engenharia da 

UCP. As suas principais áreas de investigação são a geometria diferencial e a Física‐Matemática. 

Vítor Saraiva | vsaraiva@netcabo.pt 

Licenciou‐se em Matemática Aplicada e Computação pelo Instituto Superior Técnico em 2003 e doutorou‐

se  em  Matemática  pelo  Instituto  Superior  Técnico  em  Maio  de  2007.  As  suas  áreas  de  interesse  são 

diversas destacando‐se teoria de medida, teoria ergódica e sistemas dinâmicos. 

Metodologia de Ensino 

O ensino da disciplina assenta  sobre dois pilares  fundamentais,  aulas  teóricas e aulas práticas. As aulas 

teóricas  são  constituídas,  no  seu  essencial,  por  sessões  expositivas,  que  servem  para  introduzir  os 

conceitos fundamentais da disciplina associados a cada um dos tópicos da matéria. As aulas práticas visam 

sobretudo  a  resolução  de  exercícios  com  o  objectivo  de  proporcionar  uma  visão  mais  prática  dos 

conceitos teóricos, assim como instigar a iniciativa e a participação dos alunos. 

3 

www.fe.lisboa.ucp.pt 

Metodologia de Avaliação 

A avaliação tem por base uma componente contínua e um exame final. A componente contínua é formada 

por três testes a realizar durante o semestre e fora do horário das aulas. A nota da avaliação contínua NC é 

calculada  como  a  média  aritmética,  arredondada  às  unidades,  das  notas  dos  dois  melhores  testes, 

existindo uma nota mínima de 6 valores em cada um destes. A nota final na cadeira é dada pela seguinte 

fórmula  NF = max { NE ; 0,3 x NC + 0,7 x NE }, onde NE denota a nota do exame. Todos os alunos terão que 

obter  uma  nota  mínima  de  8  valores  na  avaliação  contínua  e  de  10  valores  no  exame  por  forma  a 

obterem a aprovação na cadeira. Caso o aluno obtenha 17 ou mais valores de nota final será admitido a 

prova oral para defender essa nota. Caso não compareça à prova oral ou não consiga defender a nota, 

terá uma classificação final de 16 valores. 

Bibliografia 

CÁLCULO INTEGRAL EM  ℜn 

VECTOR CALCULUS. J. E. Marsden & A. J. Tromba, W. H. Freeman and Company, New York, 2003. [Base] 

INTEGRAIS EM VARIEDADES E APLICAÇÕES, L. T. Magalhães, Texto Editora, 1993. 

INTEGRAIS MÚLTIPLOS, L. T. Magalhães, Texto Editora, 1996. 

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO INTEGRAL EM ℜn, G. E. Pires, IST Press, 2007. 

INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE, M. O. Baptista, Edições Sílabo, 2002. 

ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EM ℜ  e ℜn, A. Azenha & M. A. Jerónimo, McGraw‐Hill, 

1995. 

CÁLCULO (VOL. 2), T. M. Apostol, Editorial Reverté Lda., 1999. 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 

DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS. M. Braun, Springer‐Verlag, 1993. [Base] 

PROBLEMAS  DE  EQUAÇÕES  DIFERENCIAIS  ORDINÁRIAS,  M.  L.  Krasnov,  A.  I.  Kiseliov  &  G.  I.  Makarenko, 

McGraw‐Hill, 1994. 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS: UM PRIMEIRO CURSO COM APLICAÇÕES, M. F.  Ferreira, McGraw‐

Hill, 1995.