UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA PROFESIONAL DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

E N E R G I A P O T E N C I A L G R A V I T A C I O N A L

Autores

LisbethSolange

Illatupa Alvarez TonyQuelopana Bermúdez Hansel Sandoval Candela Howards

Asignatura

Fisica II/Ciclo IV/ 2014

Asesor

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Surco, julio del 2014

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Indice

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Introducción:

Vamos a describir el paso más audaz del trabajo de Newton, el cual demuestra su extraordinaria capacidad de extrapolación, así como su gran intuición.

Al analizar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, Newton se dio cuenta de que debía existir una fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la que el Sol atrae a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse de un árbol concibió la idea de que su caída también debía ser causada por atracción de la Tierra. Reuniendo las ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra atrae la Luna y a la manzana, Newton llego a la conclusión de que la atracción observada debe ser un fenómeno general (universal), y manifestarse entre dos objetos materiales cualesquiera. En otras palabras entre usted y este libro debe existir una fuerza de atracción, de la misma manera que existe entre usted y su compañero, entré el profesor y el pizarrón.

Surgió así la idea de la Gravitación Universal, de que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza F, denominada fuerza gravitacional, cuyo valor está dado por la misma expresión matemática de la fuerza entre el Sol y un planeta. Entonces, siendo m1 y m2 las masas de dos cuerpos separados una distancia r habrá entre ellos una fuerza F de atracción cuya magnitud está dada por:

F= G (m1.m2)/r2

La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta

dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la

fuerza de la gravedad.

Por ejemplo, si un libro en una mesa es elevado, una fuerza externa estará actuando en

contra de la fuerza gravitacional. Si el libro cae, el mismo trabajo que es empleado para

levantarlo, será efectuado por la fuerza gravitacional.

Por esto, un libro a un metro del piso tiene menos energía potencial que otro a dos

metros, o un libro de mayor masa a la misma altura.

Si bien la fuerza gravitacional varía con la distancia (altura), en las proximidades de la

superficie de la Tierra la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo

que se considera a la aceleración de la gravedad como una constante (9,8 m/s2) en

cualquier parte. En cambio en la Luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el

valor de 1,66 m/s2

Para estos casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la

fórmula:

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Donde   es la energía potencial,   la masa,   la aceleración de la gravedad, y   la

altura.

Sin embargo, si la distancia (la variación de altitud) es importante, y por tanto la variación

de la aceleración de la gravedad es considerable, se aplica la fórmula general:

Donde   es la energía potencial,   es la distancia entre la partícula material y el centro de

la Tierra,   la constante universal de la gravitación y   la masa de la Tierra. Esta última

es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de

satélites y misiles balísticos:

Donde   es la energía potencial,   es la distancia entre la partícula material y el centro de

la Tierra,   la constante universal de la gravitación y   la masa de la Tierra. Esta última

es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de

satélites y misiles balísticos:

Cálculo simplificado

Cuando la distancia recorrida por un móvil, h, es pequeña, lo que sucede en la mayoría de

las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el

desarrollo a la anterior ecuación. Así si llamamos r a la distancia al centro de la

Tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra, es

decir, r =R + h tenemos:

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superficie:

Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de

masa m desde una altura h1 hasta una altura h2 es:

Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente

se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo

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que es de interés no es el valor absoluto de U, sino su variación durante el

movimiento.

Así, si la altura del suelo es h1 = 0, entonces la energía potencial a una

altura h2 = h será simplemente UG = mgh.

En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que

representa la gravedad. Si se dispone en cierta región del espacio una masa M, el

espacio alrededor de M adquiere ciertas características que no disponía cuando no

estaba M. Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m y constatando que se

produce la interacción. A la situación física que produce la masa M se la denomina campo

gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de M es puramente especulativo, ya que

sólo se nota el campo cuando se coloca la otra masa m, a la que se llama masa testigo.

El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema:

En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por

un campo vectorial.

En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de

segundo orden.

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Energía Potencial Gravitacional

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Energía Potencial Gravitacional (Ep. o U)

Consideremos dos cuerpos de masas m1 y m2 separados la distancia d. Cuando las masas se mueven de modo que la distancia (d) varié, la fuerza gravitacional F realiza un trabajo. Puede probarse que la energía potencial gravitacional de los cuerpos de masas m1y m2 separados la distancia d es:

U= energía potencial gravitacional

G= constante de la gravitación universal

Mm= masas sumadas (m1 y m2)

r= radio o la distancia

De modo que es inversamente proporcional a la distancia.

Observaciones:

La energía total de dos cuerpos sometidos exclusivamente a su interacción gravitacional y moviéndose con velocidades V1 y V2 es:

E= ½(m1 (V1)2)+ ½(m2 (v2)2)-(G (m1.m2)/d)

Cuando una de la partículas puede considerarse en reposo por tener una masa mucho mayor que la otra, la expresión anterior se reduce a:

; (m M)

Donde M es la masa del cuerpo que se supone en reposo. Por ejemplo, en el caso de la Tierra y el Sol podemos suponer que el Sol está en reposo, y en el caso de un satélite artificial moviéndose alrededor de la tierra podemos suponer que la Tierra está en reposo.

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Entre la Tierra y un cuerpo esférico

-------------- distancia-------------

(Mt) (m)

EP= -G (Mt.m)/d

Para mayor comodidad se ha tomado la Ep (-),Interpretando físicamente esto quiere decir que:

Cuando los cuerpos se alejan, la energía potencial aumenta. Esto es, los cuerpos interactúan mediante fuerzas de atracción, por consiguiente para alejarlos uno del otro será necesario gastar trabajo. “La energía Potencial “será máxima cuando los cuerpos están infinitamente alejados y será mínima cuando la distancia es mínima”.

La interpretación grafica será :

Donde:

D0: Es la separación entre el centro de masa de los cuerpos (esféricos) en contacto inicial.

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d

(Ep)

d0

El Campo Gravitacional

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Antecedentes Históricos

Teorías geocéntricas

Anaximandro (siglo VII a.C.), dice que la tierra era de forma cilíndrica y estaba rodeada de una neblina formada por tres anillos estelares que se movían alrededor de la tierra, las estrellas, la luna y el Sol en la que de forma ocasional se abrían agujeros y entonces se podía ver que más allá brillaban el fuego y la luz (el sol, la luna y las estrellas). 

Pitágoras (siglo VI a.C.) explicó la estructura del universo en términos matemáticos. El gran fuego central, origen de todo se relacionaba con el uno, origen de los números. A su alrededor giraban la tierra, la luna, El sol y los planetas conocidos. El periodo de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas y ofrecía a este siempre su cara oculta, donde no habitan las personas. También se conocían los periodos de la Luna (un mes) y del Sol (1 año) . El universo concluía en una esfera celeste de estrellas fijas y más allá estaba el Olimpo. La obsesión matemática de los pitagóricos le llevó a pensar que el número de cuerpos que formaban el universo era diez, ya que este es el número perfecto. Como solo encontraban nueve supusieron que el décimo estaba entre la tierra y el gran fuego y por eso no era visible. Lo llamaron Antitierra.

Filolao de Tarento (siglo V a.C.) formuló la idea de una tierra esférica. Esta idea fue fácilmente aceptada ya que era el único modelo capaz de aceptar fenómenos como la desaparición gradual del casco y velamen de los barcos en el horizonte o que la sombra que la tierra proyecta sobre la Luna en los eclipses es circular.

Platón (siglo IV a. C)elabora un teoría del universo basada en que la tierra esférica, ocupa el centro del universo, y los cuerpos celestes son de carácter divino y se mueven en torno a la tierra con movimientos circulares uniformes.

Aristóteles, discípulo de Platón, añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el mundo sublunar y el mundo supralunar. El mundo sublunar está compuesto por los cuatro elementos de la región terrestre (tierra, aire, agua y fuego). El mundo supralunar es el mundo de la armonía perfecta, donde todos los planetas se mueven con movimiento circular uniforme y está compuesto por la quinta esencia el éter.Esta concepción tenía una cierta consistencia al explicar los movimientos observados en la superficie terrestre. Esta teoría no daba una explicación satisfactoria del movimiento retrogrado que a veces parecían experimentar los planetas (estrellas errantes) ni de las variaciones de brillo observadas para esos planetas y que se asociaban (correctamente) con variaciones de distancia.

Aristarco de Samos (Siglo III a.C.) que ideó métodos para calcular la relación entre los diámetros de la Tierra y la Luna, la distancia Tierra-Luna en función del diámetro de la Tierra y la distancia entre la Tierra y el Sol en relación con a la

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distancia Tierra – Luna. Los resultados no son muy exactos debido a la imprecisión de los aparatos pero los métodos son correctos. Aristarco mantenía la idea de un Universo en el que el centro es el Sol y en torno a él giran la Tierra y los demás planetas. Es el precursor del modelo heliocéntrico, que no fue aceptada en su cultura. También indica que la Tierra gira sobre su eje, basándose en los estudios de Hericlades del Porto. Un discípulo suyo, Eratóstenes de Cirene, ideó un método para medir el diámetro de la tierra.

Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) considerado el mejor astrónomo de la antigüedad, estudió el movimiento del Sol y observó que no tiene siempre la misma velocidad. Propuso un modelo en el cual es Sol se mueve en un circulo que llamo epiciclo: el centro del epiciclo a su vez se mueve en torno a la tierra describiendo otro circulo llamado deferente.

Ptolomeo (siglo II a.C.) siguiendo Con los trabajos de Hiparco, sugirió un esquema geocéntrico según el cual la Tierra seguía estando inmóvil en el centro del universo y los astros, en orden de proximidad la Luna, Mercurio, Venus

Teorías heliocéntricas

Aristarco de Samos (siglo III a.C.) Sugiere que el esquema más simple del movimiento de los astros se obtiene si se sitúa el Sol en el centro del Universo. La Tierra tendría dos movimientos, rotación diaria y traslación anual. Esta teoría fue desechada frente a la aristotélica, porque la Tierra debía ser el centro del universo. Además se le hacía un reproche; Si la teoría fuese acertada la Tierra estaría unas veces más cerca y otras más lejos de ciertas estrellas del fondo estelar, lo que haría que se vieran como si hubieran sufrido un desplazamiento sobre el fondo de las estrellas más lejanas. Nadie había observado este desplazamiento. A esto se le conoce como paralaje estelar.

El Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas efectuaban dos tipos de movimientos: Un movimiento orbital en el llamado epiciclo del planeta, y otro movimiento que llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la tierra y que se llamaba deferente.

Ajustando adecuadamente las velocidades del movimiento del planeta y en su epiciclo y de su centro en la deferente se podían dar una explicación bastante precisa de todos los problemas, como el movimiento retrogrado de los planetas tuvo una gran aceptación y se mantuvo en vigor durante muchos siglos. Mantenía el movimiento circular uniforme como movimiento natural de los cielos. El artificio de los epiciclos no satisfacía a los que abogaban por un modelo simplista como el aristotélico.

Nicolás Copérnico (1473-1543) expone una teoría heliocéntrica que desecha la teoría Ptolomeica y retorna a la simplicidad de los movimientos planetarios. Sitúa al Sol en el centro del Sistema y todos los planetas, incluida la Tierra se moverían en circunferencias concéntricas. La Tierra tendría un doble movimiento de traslación y rotación.

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Esta concepción del Universo es contraria a la Biblia y a las teorías de Aristóteles, por lo que no fueron aceptadas por sus contemporáneos. De hecho, Copérnico nunca publicó su obra De revolutionibus orbius caelestium (Revoluciones de las esferas celestes)

Uno de los mayores aciertos de la teoría de Copérnico fue el establecimiento de los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol y las distancias relativas de los planetas al Sol.

Justificó también correctamente la no observación de la paralaje. Las estrellas estaban tan lejos que la diferencia era inapreciable.

GalileoGalileo Galilei (1564-1642) apoyó y desarrolló la teoría heliocéntrica de Copérnico.

En 1610 publica el Mensajero celestial donde dice:

Júpiter tiene cuatro planetas (Kepler los llamaría después satélites) girando en torno a él. Esto venía a decir que la Tierra no era el centro de rotación de todos los cuerpos celestes y rompía con el dogma de los siete cuerpos celestes, aparte de las estrellas fijas, que se suponía constituían el universo.

La superficie lunar no era lisa ni perfectamente esférica sino que tenía rugosidades, cadenas montañosas y valles. Esto supone atentar contra la idea de que salvo la Tierra los demás cuerpos celestes eran esféricos y uniformes

Las estrellas fijas no parecían aumentar a través del telescopio .Esto implicaba que estaban increíblemente lejos, lo que permite explicar la ausencia de paralajes observadas.

La Vía Láctea, cuyo nombre se deber al aspecto lechoso que presenta su rastro en el cielo, estaba compuesto por una infinidad de estrellas indistinguibles a simple vista.

En 1632 publica Diálogos sobre los dos grandes sistemas del mundo, obra en la que hace una defensa del sistema Copernicano (sigue creyendo que las orbitas son circulares) y expone el principio de la inercia y la idea de la caída libre de los cuerpos independientemente de la masa, en contra de Aristóteles.

Leyes de Kepler

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A finales del siglo XVI, un astrónomo danés, Brahe, calculó numerosos datos sobre el movimiento de los planetas con muchísima precisión. También trató de medir alguna paralaje pero no lo consiguió. Conocía las teorías de Copérnico, pero también el poder de la iglesia y creó un modelo geocéntrico y heliocéntrico a la vez. Todos los planetas giraban alrededor del Sol y todo ese conjunto, a su vez, gira alrededor de la Tierra que está inmóvil en el centro del universo.

Johanes Kepler fue su discípulo, pero era un Copernicano convencido. A la muerte de Brahe, Kepler decidió interpretar esos datos adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico. Los cálculos cuadraban hasta Marte. Según los datos de Brahe la órbita de Marte estaba a 8´ de arco (0, 13°) fuera del esquema de Copérnico. Al estudiar esta discrepancia Kepler se dio cuenta de que si las órbitas son elípticas en las que en uno de los focos se situaba el Sol se solucionaba el problema.

Con esto y el resto de los datos Kepler enunció tres leyes que describían el movimiento planetario:

1. Ley: Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.

Primera ley de Kepler (ley de las órbitas)

Consecuencias:

La distancia Planeta-Sol (No es la misma en todo el año) El movimiento circular y el movimiento perfecto son invalidados

2. Ley: Las áreas barridas por el radio vector que parte del centro del Sol, son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.

S1/t1 = S2/t2 = cte.

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Segunda ley de Kepler (ley de las áreas)

Velocidad areolar: ES el cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. Va= s/t m/s. Por esto a esta propiedad también se conoce como Tª de las áreas.

Esta propiedad es consecuencia del Tª de conservación del momento angular. Como el sistema solar es un sistema aislado ∑M = 0 y por tanto L = cte. Como las fuerzas de atracción son centrales F y r son paralelos y por tanto M = 0. Las órbitas son planas ya que si L = cte lo es en dirección y sentido, L es perpendicular a r y a v y por tanto deben estar en un mismo plano.

Por tanto:

Como sabemos que:

y despejando

Sustituyendo arriba

Así que si L = cte → dA/dt = cte.

Como consecuencia de esta 2° ley de Kepler: las áreas barridas en tiempos iguales son iguales.

t1= t2 → S1/t1 = S2/t2 → S1 = S2 

Nota: Perihelio Posición de un planeta en su órbita más próxima al Sol. Afelio: Posición más alejada. Si hablamos de órbita alrededor de la Tierra se llama apogeo y perigeo

Esto quiere decir que en los puntos próximos al perihelio la v es mayor que en el afelio ya que recorre más arco en el mismo t.

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Consecuencias:

El planeta se mueve más rápido en el perihelio que en el afelio El movimiento uniforme (movimiento perfecto) no describe el movimiento

de los planetas

3. Ley: Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores (distancia media) de las elipses.

Periodo es el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa.

Las leyes de Kepler son válidas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de los satélites alrededor del planeta…

Consecuencias: La duración del año en cada planeta está en función de su distancia

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Marco Teórico:

Intensidad de Campo Gravitacional (Eg.):

Es una magnitud física vectorial que nos expresa a aquella fuerza de atracción que ejerce la masa creadora del campo sobre una unidad de masa colocada en su interior. Este vector intensidad de campo siempre está dirigido hacia la masa que lo origina y es colineal a la fuerza de atracción.

Eg= F/ m……………….. (I)

Por la ley de Gravitación Universal :

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En modulo reemplazando en (I)

En consecuencia ; en modula la intensidad de campo gravitacional se determina así ;

Energía Potencial Gravitatoria (EPG):

Energía asociada a la interacción gravitacional entre los cuerpos. La energía potencial gravitatoria depende de la masa de los cuerpos y la distancia entre ellos.

Cuando un cuerpo de masa m se encuentra a cierta altura respecto de la superficie terrestre la energía potencial gravitatoria del sistema (cuerpo + tierra) es:

Observaciones:

Por facilidad, la energía potencial gravitatoria del sistema (cuerpo + tierra) se le asocia la cuerpo m, decimos entonces que la energía potencial gravitatoria es de m. En algunos casos es más recomendable tomar un nivel de referencia diferente a la superficie terrestre, respecto de su posición más baja del cuerpo, respecto de su posición inicial y final.

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EPG=m.g.H

EPG=0

H

Nivel de referencia (N.R)

Características:

Para que exista energía potencial gravitatoria tiene que existir la gravedad. Sin

gravedad, todas las posiciones de un cuerpo serían equivalentes.

El valor de la energía potencial en un punto es relativo. Depende del nivel de

referencia elegido para la altura

Puede ser positiva o negativa, según donde se sitúe el nivel 0 de altura

La diferencia de energía potencial ∆Ep entre dos puntos es un valor absoluto, que

coincide con el trabajo necesario para llevar el cuerpo desde el primer punto hasta

el segundo y es independiente del sistema de referencia elegido

Se incrementa con la altura

La expresión Ep = m·g·h sólo es válida para alturas pequeñas, donde podemos

considerar g constante ya que, en realidad, g varía con la altura

Bibliografía:

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