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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Simulación mediante elementos finitos del

crecimiento de grieta en problemas planos

Autor: Eduard Kostanyan Martoyan

Tutor: Jesús Vázquez Valeo

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

iii

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Simulación mediante elementos finitos del

crecimiento de grieta en problemas planos

Autor:

Eduard Kostanyan Martoyan

Tutor:

Jesús Vázquez Valeo

Profesor contratado doctor

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2017

v

Proyecto Fin de Carrera: Simulación mediante elementos finitos del crecimiento de grieta en problemas planos

Autor: Eduard Kostanyan Martoyan

Tutor: Jesús Vázquez Valeo

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2017

El Secretario del Tribunal

vii

A mi familia

A mis maestros

ix

Agradecimientos

Una vez que se ha llegado hasta este punto de la carrera muchas son las personas a las que hay que agradecer

su contribución, pero como en todo proyecto existe un eslabón que sustenta a todos las demás y en mi caso es

mi familia. Ellos han sido los responsables de absorber la fatiga del día a día, de apoyarme, de aconsejarme y

guiarme por el buen camino. Su confianza es la que me ha dado las fuerzas y la fé necesarias para conseguir

todo lo que tengo y llegar hasta donde he llegado. Gracias familia, os estaré eternamente agradecido por ello.

Le doy las gracias al profesorado de la Escuela de Ingenieros por su contribución tanto profesional como

personal a lo largo de stos años. Agradezco en especial a Jesús Vázquez Valeo, mi tutor, por su paciencia y por

todo el tiempo que me ha dedicado.

Quisiera también agradecer a todos mis compañero por haber hecho que la carrera fuera más amena y

entretenida. En particular, me gustaría destacar a Rocío de Vicente Sugue y Álvaro Fernández Naval, porque

ellos son los que han estado a mi lado a la hora de la verdad. Gracias por todo chicos, sabed que os habeis

ganado a un hermano.

Eduard Kostanyan Martoyan

Estudiante de Ingeniería Aeronáutica

Sevilla, 2017

xi

Resumen

El Factor de Intensificación de Tensiones (FIT) es una herramienta matemática que utiliza la Mecánica de la

Fractura para cuantificar la severidad de la presencia de la grieta. El objetivo del presente proyecto es

desarrollar una serie de algoritmos en lenguaje APDL (ANSYS Parametric Design Lenguage) para calcular y

simular el crecimiento de la grieta en problemas 2D con materiales metálicos tomando como argumento

principal el FIT. Una vez elaborado la macro que simula el crecimiento, se aplicarán los algoritmos a diversos

problemas con el fin de comparar los resultados obtenidos numéricamente con los resultados disponibles en la

bibliografía existente en campo de la Mecánica de la Fractura, para verificar la bondad de la simulación.

xiii

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Índice xiii

Índice de Tablas xv

Índice de Figuras y Diagramas xvii

1 Introducción 1

2 Criterio de propagación, Estructura del algoritmo, Modelado de la grieta y su crecimiento 3 2.1. Criterio de propagación 3

2.2. Cálculo de los Factores de Intensificación de Tensión FIT 6

2.3. Estructura del algoritmo 10

2.4. Modelado geométrico de la grieta y de su propagación 18

3 Resultados de la simulación y conclusiones 37 3.1 Cálculos analíticos preliminares 37

3.2 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga uniaxial 44

3.3 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga uniaxial 69

3.4 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga biaxial 86

3.5 Placa ''infinita'' con grieta interior horizontal bajo carga tangencial 102

3.6 Aplicación del algoritmo al problema de fatiga por fretting 108

3.6.1 Simulación de fatiga por fretting para distintos valores 110



Anexo A 133

Anexo B 163

Referencias 175

xv

Índice de Tablas

Tabla 3-1. Parámetros del borde derecho para . 45

Tabla 3-2. Parámetros del borde izquierdo para . 45













Tabla 3-15. Comparación entre y para grieta interior bajo carga uniaxial. 67

Tabla 3-16. Comparación entre y para grieta interior bajo carga uniaxial. 67

Tabla 3-17. Evolución de de la grieta inicial interior frente a . 68

Tabla 3-18. Evolución de de la grieta inicial interior frente a . 68

Tabla 3-19. Parámetros en borde de grieta para . 70







Tabla 3-26. Evolución de de la grieta inicial de borde frente a . 84

Tabla 3-27. Evolución de de la grieta inicial de borde frente a . 85

Tabla 3-28. Evolución de tras 7 etapas de crecimiento en función de para . 87

Tabla 3-29. Comparación entre y para grieta interior bajo carga biaxial. 90

Tabla 3-30. Comparación entre y para grieta interior bajo carga biaxial. 90





Tabla 3-35. Evolución de en ambos bordes de la grieta. FITs en borde derecho. 103

Tabla 3-36. Evolución de los FITs con . 110

Tabla 3-37. Evolución de con . 111











xvii

Índice de Figuras y Diagramas

Figura 1-1. Modos de propagación. 2

Figura 2-1. Estado tensional en el fondo de la grieta. 4

Figura 2-2. Situación en fondo de grieta tras una etapa de crecimiento. 6

Figura 2-3. Curva cerrada sin singularidad. 7

Figura 2-4. Curva cerrada con singularidad. 9

Diagrama 2-1. Parámetros de control directo. 11

Diagrama 2-2. Variables primarias. 12

Diagrama 2-3. Dirección de propagación relativa. 12

Diagrama 2-4. FITs del lado izquierdo. 13

Diagrama 2-5. FITs del lado derecho. 13

Diagrama 2-6. Bordes de grieta del lado izquierdo. 14

Diagrama 2-7. Bordes de grieta del lado derecho. 14

Diagrama 2-8. Puntos auxiliares del lado izquierdo. 15

Diagrama 2-9. Puntos auxiliares del lado derecho. 15

Diagrama 2-10. Dirección de propagación absoluta. 16

Diagrama 2-11. Estructura principal del algoritmo. 17

Diagrama 2-12. Esquema de simulación gráfica. 18

Figura 2-5. Grieta inicial interior. 19

Diagrama 2-13. Actualización bordes de grieta. 20

Figura 2-6. Modelo grieta inicial interior. 20

Figura 2-7. Grieta inicial de superficie. 21

Figura 2-8. Paso-1 del Estado-0 al Estado-1. 22

Diagrama 2-14. Actualización de los FIT. 23


Diagrama 2-15. Actualización de la dirección relativa. 24


Diagrama 2-16. Actualización de puntos auxiliares. 25


Diagrama 2-17. Actualización de bordes de grieta y dirección absoluta. 26

Figura 2-12. Grieta tras una etapa de crecimiento. 27





Figura 2-17. Grieta tras dos etapas de crecimiento. 32

Figura 2-18. Modelo grieta inicial de borde. 33

Figura 2-19. en función de . 34

Figura 2-20. Sistemas de referencia del modelo de grieta inicial de borde. 35

Figura 3-1. Geometría infinita, grieta inclinada y carga biaxial. 37

Figura 3-2. Giro de sistema de referencia. 38

Figura 3-3. Configuración después de transformación. 40

Figura 3-4. Configuración a. 41

Figura 3-5. Configuración b. 42

Figura 3-6. Configuración c. 43

Figura 3-7. Placa ''infinita'', grieta interior inclinada y carga uniaxial. 44

Figura 3-8. Trayectoria de la grieta interior tras 5 etapas de crecimiento para . 46


Figura 3-10. Trayectoria en borde derecho tras 4 etapas de crecimiento para . 47

Figura 3-11. Trayectoria en borde izquierdo tras 4 etapas de crecimiento para . 47

















xix









Figura 3-36. Trayectoria de la grieta interior bajo carga uniaxial tras 5 etapas de crecimiento. 66

Figura 3-37. Geometría infinita, grieta de borde inclinada y carga uniaxial. 69

Figura 3-38. Trayectoria de la grieta de borde tras 5 etapas de crecimiento para . 70


Figura 3-40. Trayectoria en borde tras 4 etapas de crecimiento para . 71


















Figura 3-58. Trayectoria de la grieta de borde bajo carga uniaxial tras 5 etapas de crecimiento. 84

Figura 3-59. Geometría infinita, grieta interior inclinada y carga biaxial. 86

Figura 3-60. Evolución de la grieta desde el borde derecho en función de con . 88

Figura 3-61. Trayectoria de la grieta interior bajo carga biaxial tras 7 etapas de crecimiento. 89

Figura 3-62. Evolución de la grieta en borde derecho para . 91








Figura 3-70. Aplicación de transformación de giro a la configuración de la Figura 3-59 con . 100

Figura 3-71. Geometría infinita, grieta interior recta y carga tangencial pura. 102

Figura 3-72. Trayectoria de grieta interior bajo carga tangencial tras 14 etapas de crecimiento. 104

Figura 3-73. Trayectoria de grieta en borde derecho tras 14 etapas de crecimiento. 105

Figura 3-74. Trayectoria de grieta en borde izquierdo tras 14 etapas de crecimiento. 105

Figura 3-75. Aplicación de transformación de giro a la configuración de la Figura 3-71. 106

Figura 3-76. Problema de fatiga por fretting. 108

Figura 3-77. Distribución de tensiones en la zona de contacto. 108

Figura 3-78. Trayectoria de la grieta tras 7 etapas de crecimiento con . 111




Figura 3-82. Simulación de Estado-0 para calcular la primera etapa. 118

Figura 3-83. Simulación de Estado-1 para calcular la segunda etapa. 119

Figura 3-84. Simulación de Estado-2 para calcular la tercera etapa. 120

Figura 3-85. Simulación de Estado-3 para calcular la cuarta etapa. 121

Figura 3-86. Simulación de Estado-4 para calcular la quinta etapa. 122

Figura 3-87. Simulación de Estado-5 para calcular la sexta etapa. 123

Figura 3-88. Simulación de Estado-6 para calcular la septima etapa. 124

Figura 3-89. Simulación de Estado-7 para calcular la octava etapa. 125



Figura 3-92. Trayectoria de la grieta tras 7 etapas de crecimiento para distintos . 130

Figura A-1. Identificación de los puntos de la grieta del Estado-0. 160

Figura A-2. Identificación de los puntos de la grieta del Estado-1. 161

1

1 INTRODUCCIÓN

aterial metálico libre de defectos. Suena bien, ¿verdad? Esto es lo que todo fabricante y todo usuario

querrían oír y, quien sabe, es posible que con todos los avances tecnológicos algún día se pueda

conseguir. Pero a día de hoy es muy difícil o prácticamente imposible obtener o fabricar un material

libre de defectos y esto supone un problema muy a tener en cuenta ya que estos defectos son concentradoras de

tensión que representan un riesgo importante para la integridad estructural de la pieza cuando ésta está

sometida a determinadas cargas. Incluso en el caso de defectos micro/nanoescópicos ante la aplicación de

cargas cíclicas se iniciarán pequeñas grietas que serán desde nano a micro-grietas.

Parece obvio pues que lo único que se puede hacer es aprender a convivir con las grietas. Mostrando la

atención y el respeto que se merecen, se puede llegar a entenderlas y, con algo de suerte, predecir y controlar

su comportamiento. La mera existencia de toda una disciplina como la Mecánica de la Fractura es la prueba

del grado de atención y respeto que se tiene hacía ellas. En esta disciplina se estudian métodos tanto numéricos

como experimentales para, en primer lugar, cuantificar el estado tensional de la grieta con el fin de anticipar el

crecimiento de la misma y, por otro lado, simular el crecimiento de la misma una vez que se alcanzan las

condiciones de propagación. Algunos de éstos métodos numéricos, que en parte han sido el desencadenante de

este proyecto, son los software llamados ZenCrack y Frank2D/Frank3D, tienen como objetivo simular y

monitorizar la propagación de una grieta en estructuras 2D o 3D.

En este panorama de constante estudio del comportamiento de las grietas, el presente proyecto representa un

paso más hacia dicha comprensión. Se tratará de elaborar un algoritmo numérico de simulación de la

propagación de las grietas similar a los software citados antes, aunque, evidentemente, dada las limitaciones de

tiempo, herramientas, económicas y teniendo en cuenta de que se trata de un proyecto meramente académico,

este trabajo se centrará solo en problemas planos de materiales metálicos bajo cargas cíclicas.

Con la hipótesis de problema plano la grieta se propagará solo en modo I y modo II, tal y como se muestra en

la Figura 1-1.

M

Es mucho mejor prever, incluso sin

certeza, que no prever en absoluto.

- Henri Poincaré -

Introducción

2

En casi todas las disciplinas de la Física, como son la Mecánica de la Fractura, Elasticidad, Mecánica de

Fluidos, Transferencia de Calor o Electromagnetismo, para la resolución de problemas reales se utilizan

software basados en métodos numéricos ya que, por lo general, las soluciones analíticas se reducen solo a los

problemas muy simples. Uno de estos programas comerciales más utilizado es ANSYS, un software de gran

importancia en el cálculo numérico de estructuras que utiliza el método de elementos finitos y permite

mediante su lenguaje de diseño paramétrico (APDL) la elaboración de algoritmos muy versátiles. Este será el

software que se utilice para elaborar el método de simulación de propagación.

La memoria del proyecto estará dividida en tres partes claramente diferenciadas. En la primera parte (Tema 2)

se explicará el criterio seguido para predecir la dirección de la propagación y la filosofía seguida para modelar

la grieta inicial y su crecimiento. Además se expondrá la estructura del algoritmo y se definirán las principales

variables y parámetros utilizados en él. Dada la naturaleza geométrica del proyecto, siempre que sea posible se

hará uso de representaciones gráficas para aclarar ideas y conceptos.

En la segunda parte del proyecto (Tema 3) se aplicará el algoritmo a diversos problemas para comprobar la

bondad de los resultados y poner a prueba el potencial del mismo. Se reflejarán los resultados tanto de forma

numérica, mediante tablas con los valores de los FIT, como gráfica mediante imágenes con la evolución de la

grieta.

La tercera parte abarca una serie de anexos en los que se adjuntan los códigos de algunos de los casos

simulados en el Tema 3. Los algoritmos de estos anexos estarán comentados y explicados con bastante detalle

ya que se pretende que sirvan de tutorial para los usuarios.

Figura 1-1. Modos de propagación.

MODO I MODO II

3

2 CRITERIO DE PROPAGACIÓN, ESTRUCTURA

DEL ALGORITMO, MODELADO DE LA GRIETA Y

SU CRECIMIENTO

na vez que justificada la necesidad de este proyecto, en el presente tema se explicarán los puntos más

relevantes de la filosofía que se ha seguido para elaborar el algoritmo y se expondrá de manera bastante

más detallada y visual la metodología que se ha utilizado para modelar la propagación de la grieta.

2.1. Criterio de propagación

El primer paso que se ha seguido para la elaboración del algoritmo ha sido la elección de un criterio que

permita predecir la dirección en la que va a crecer la grieta. En la literatura actual se pueden encontrar distintos

criterios al respecto. Algunos de los más comunes son el criterio de mínima densidad de energía de

deformación (SED) propuesto por Sih en 1974 [6] ,el criterio de máxima tensión circunferencial (MTS) de

Erdogan y Sih propuesto en 1963 [1] , el criterio de máxima tasa de liberación de la energía potencial (G) de

Hussain en 1974 [7]

Para el desarrollo del algoritmo de este proyecto se va a utilizar el criterio de Erdogon y Sih que establece que

la grieta se propagará en aquella dirección que maximice la tensión circunferencial en el borde de la

grieta.

En un problema plano, las tensiones en el borde de la grieta se pueden expresar en coordenadas polares según

las ecuaciones (2-1), (2-2) y (2-3). El significado de cada componente se muestra en la Figura 2-1.

(2-1)

(2-2)

(2-3)

U

Criterio de propagación, Estructura del algoritmo, Modelado de la grieta y su crecimiento

4

Según el criterio de Erdogan y Sih [1] la grieta tenderá a crecer en aquella dirección que maximice la

expresión de , esto es:

(2-4)

Luego para encontrar el ángulo en la que la tensión circunferencial es máxima hay que resolver la siguiente

ecuación:

(2-5)

Comparando la ecuación (2-5) con la expresión (2-3), que describe el valor de la tensión tangencial , se

obtiene la siguinte igualdad:

(2-6)

Por lo que hallar el ángulo que maximiza la tensión circunferencial es lo mismo que hallar la dirección en

al que la tensión tangencial es nula:

(2-7)

Figura 2-1. Estado tensional en el fondo de la grieta.

5 Simulación mediante elementos finitos del crecimiento de grieta en problemas planos

Por otro lado, las relaciones trigonométricas permiten establecer las siguientes igualdades:

(2-8)

(2-9)

Aplicando estas igualdades trigonométricas a la ecuación (2-7) se obtiene que:

(2-10)

Esta es la forma más frecuente en la que se presenta en la literatura la ecuación característica que permite

hallar la dirección de propagación de una grieta según el criterio de Erdogan y Sih [1] Esta ecuación presenta

varias soluciones:

(2-11)

La primera solución, , es trivial y se corresponde con los labios de la grieta, es decir, la dirección en la

que ya se tiene grieta. La solución que interesa es el resultado de la ecuación (2-12).

(2-12)

La forma más común en la que se puede encontrar la solución de la ecuación (2-12) en la literatura es:

(2-13)

(2-14)

(2-15)

Se puede observar que las dos primeras soluciones dejan de tener validez cuando ya que en dicho caso

se tiene de nuevo la solución trivial . Es por ello por lo que el signo de la igualdad no está

contemplado en las condiciones de o . Cuando se tiene el caso de la solución buscada

es

De esta forma, con las tres soluciones anteriores, ya se está en condiciones de hallar el ángulo relativo entre

la línea media de la grieta actual y la línea media de la nueva etapa de crecimiento. Lo único que se necesita

para ello es conocer los valores de los FIT en el borde de la grieta actual, borde a partir del cual la grieta sufrirá

un crecimiento de longitud . A continuación, se muestra la Figura 2-2 en la que se aclara de manera visual la

situación en el fondo de la grieta tras la aplicación del criterio de crecimiento explicado anteriormente.


6

2.2. Cálculo de los Factores de Intensificación de Tensión FIT

Ahora que ya está claro cuál es el criterio a seguir para calcular la dirección de la propagación de la grieta, la

cuestión es cuáles son los datos necesarios para hallar el ángulo relativo anteriormente descrito. Como ya se

dijo anteriormente, a raíz de las expresiones de , los argumentos necesarios para hallar la dirección

de la línea media de la nueva etapa de crecimiento son los FIT en el borde de la grieta de la última etapa de

crecimiento, esto es, .

Para hallar los FIT se ha utilizado el comando CINT de ANSYS. Este comando permite, entre otros datos, el

cálculo de los FIT en el borde de una grieta a través de la integral J.

(2-16)

La integral J de la que se habla en la mecánica de la fractura corresponde a la primera componente del vector J.

(2-17)

Para una curva cerrada como la de la Figura 2-3 y sin ningún tipo de singularidades en el interior de la

misma (como por ejemplo una grieta), se puede probar que el valor de la integral J es nulo.

Figura 2-2. Situación en fondo de grieta tras una etapa de crecimiento.

Línea media de la nueva

etapa de crecimiento

Línea media de la última


Borde de la grieta

de la última etapa

de crecimiento

Borde de la grieta de la nueva


Ángulo relativo calculado con el

criterio de Erdogan y Sih

Sentido positivo de sentido contrario a las agujas del reloj


Para probar que el valor de la integral J es nulo en estas circunstancias, primero hay que asumir una serie de

condiciones.

Asumiendo pequeños desplazamientos y deformaciones se tiene que:

(2-18)

Asumiendo que se trata de un material homogéneo y con comportamiento hiperelástico se tiene que:

(2-19)

Asumiendo que no hay aceleraciones ni fuerzas de volumen la ecuación de equilibrio queda como:

(2-20)

Figura 2-3. Curva cerrada sin singularidad.


8

Por otro lado, aplicando el teorema de la divergencia a la ecucación (2-17) se tiene que:

(2-21)

Desarrollando el anterior integrando se tiene que:

(2-22)

El segundo término de la integral (2-22) es nulo debido a la ecuación (2-20) de equilibrio. Por lo que la

ecuación (2-22) queda como:

(2-23)

Por otra parte, teniendo en cuenta la ecuación (2-19), el primer término de la integral (2-23) se puede expresar

de la siguiente forma:

(2-24)

Teniendo en cuanta las ecuaciones (2-18) y (2-24), se puede desarrollar la integral (2-23) de la siguiente forma:

(2-25)

Teniendo en cuanta que el tensor es simétrico y, que por otro lado, el tensor que se obtiene de la operación

es antisimétrico se concluye que:

(2-26)

Nótese que en ningún momento de la demostración ha intervenido la forma de la curva escogida, el único

requisito ha sido que ésta fuera cerrada para poder aplicar el teorema de la divergencia. Por lo que se puede

concluir que el resultado de la integral (2-26) es nulo independientemente de la curva cerrada que se escoja.

Tomando de nuevo una curva cerrada como la de la Figura 2-4, pero esta vez con una singularidad en el

interior de la misma (como por ejemplo una grieta) se puede probar que la integral J toma el mismo valor

independientemente de la curva elegida.


De nuevo, tomando la primera componente del vector J, la ecuación (2-17) aplicada a esta nueva

configuración puede expresarse de la siguinte forma:

(2-27)

Asumiendo que no hay tensión en los labios de la grieta y que el vector normal a lo largo

de las mismas solo tiene componente vertical la ecuación (2-27) queda de la siguiente

forma:

(2-28)

Por otro lado, debido a que conforman una curva cerrada se tiene que:

(2-29)

Se llega a la conclusión de que el valor de la integral J es la misma para todas las curvas que, empezando en

uno de los labios y terminando en el otro, rodean al borde de la grieta. Este es un hecho muy importante a tener

en cuenta ya que es la que se va a utilizar en el algoritmo a la hora de calcular los FIT.

Figura 2-4. Curva cerrada con singularidad.


10

2.3. Estructura del algoritmo

Una vez establecido el criterio que se seguirá para hallar la dirección de propagación de la grieta y el cálculo

de los argumentos necesarios para ello, se procede a explicar el modelado geométrico de la grieta y su

crecimiento. Así mismo, se aprovechará esta apartado para introducir y definir los parámetros de control del

problema y las variables primarias más importantes. Las primeras permitirán al usuario a ajustar la simulación

a las necesidades del problema en cuestión y las segundas son las que permiten el correcto desarrollo del

algoritmo.

Es importante entender que el objetivo de estas explicaciones es hacer entender al lector la filosofía que se ha

seguido para elaborar el algoritmo y, aunque se muestren y se hablen de algunas variables que se utilizan en

ella, la idea no es detallar al mínimo cada paso cada comando y cada bucle del algoritmo. El algoritmo

completo, detallado y comentado en sus distintas versiones (casos prácticos simulados en este proyecto) se

adjuntará en forma de tutoriales en los anexos finales de este documento.

Por otro lado, como ya es sabido, el algoritmo se ha desarrollado tanto para el caso de una grieta interior como

una grieta de borde. Para las explicaciones posteriores se utilizarán las representaciones y la secuencia

correspondiente a un problema con grieta interior, ya que el problema con grieta de borde sigue exactamente la

misma filosofía en lo que al modelado de la propagación se refiere. Las principales diferencias entre ambos

casos se encuentran en el modelado de la grieta inicial y, por ello, al final de este tema se dedicarán varias

representaciones gráficas para mostrar en detalle como es el modelo de la grieta de borde.

El algoritmo tiene, además de algunas variables primarias, dos tipos de parámetros de control que permiten al

usuario ajustar la simulación a sus necesidades: parámetros de control directo y parámetros de control

indirecto. Los directos aparecen en el problema de forma parametrizada y son los que afectan directamente a la

geometría de la grieta, tanto la inicial como la propagada, y tienen un impacto importante sobre los resultados

desde un punto de vista físico. Los indirectos, en su mayoría, son parámetros de cálculo que requieren los

comandos de ANSYS para su ejecución y parámetros intermedios que se han definido para los cálculos

intermedios. Entre los indirectos, desde el punto de vista físico, hay algunos que tienen una consecuencia

importante sobre los resultados y hay otros cuyo impacto es despreciable o ninguno.

Para comprender mejor la clasificación se va a poner un ejemplo. Un parámetro directo sería el diferencial de

longitud dl que crece la grieta en cada etapa de crecimiento. El usuario decide que longitud quiere que tenga

cada tramo de crecimiento y con esa decisión marca el devenir de la grieta propagada y por tanto de los

resultados. Un ejemplo de parámetro indirecto definido para cálculos intermedios sería la numeración que se le

ha asignado a los distintos sistemas de referencia locales. Dicha numeración no tiene gran relevancia para el

correcto desarrollo del problema desde el punto de vista físico, pero sí es necesaria para identificar

correctamente los distintos sistemas de referencia que intervienen en el algoritmo. Por el contrario, los

parámetros que se requieren en los distintos comandos de mallado de ANSYS (para decidir el tipo de malla o

lo fino que se quiere la misma), siendo parámetros de control indirectos podrían ser de gran importancia física

para los resultados de la simulación.

En el presente documento se explican más en detalle los parámetros de control directos, dejando los indirectos

para los comentarios detallados del algoritmo en los tutoriales. Para comprender la filosofía del desarrollo del

algoritmo la explicación de los parámetros de control directos es indispensable, pero la importancia de los

parámetros indirectos es irrelevante en este sentido.

Antes de comenzar con las explicaciones gráficas sobre el modelado de la grieta inicial y su propagación, se

van a definir los parámetros de control directos y las variables primarias mencionadas anteriormente. Los

parámetros y variables serán definidos con el mismo nombre y con la misma estructura que tienen en el

algoritmo y son fundamentales para el proceso del desarrollo del mismo. En primera instancia solo se dará una

breve descripción de las mismas, pero a lo largo de las explicaciones gráficas se podrá entender perfectamente

la necesidad de dichas variables y su evolución con el crecimiento de la grieta. Después de dichas definiciones

se expondrá la estructura del algoritmo y se comentarán los aspectos más relevantes del mismo.


A continuación se muestran y se definen en el Diagrama 2-1 los parámetros de control directo y, se exponen

las variables primarias en el Diagrama 2-2.

Diagrama 2-1. Parámetros de control dirceto.

Parámetros de control directo

Parámetro con el que se identifica la longitud de la grieta inicial

Parámetro con el que se identifica el espesor máximo de la grieta inicial

Parámetro con el que se identifica el número de etapas de crecimiento que se quiere simular

Parámetro con el que se identifica la inclinación de la grieta inicial

respecto al eje horizontal del sistema de referencia global de ANSYS

Parámetro con el que se identifica la coordenada X del borde izquierdo de

la grieta inicial respecto al sistema de referencia global de ANSYS

Parámetro con el que se identifica la coordenada Y del borde izquierdo de la

grieta inicial respecto al sistema de referencia global de ANSYS

Parámetro con el que se identifica el incremento de longitud deseado en

cada etapa de crecimiento


12

La definición de las variables primarias se hace de uno en uno reflejando claramente la estructura que tienen

ya que, a diferencia de los parámetros de control, son magnitudes vectoriales. Se puede comprobar por su

definición que todas estas variables están dimensionadas en base a la variable de control ngrow, que como se

explicó en su momento es el parámetro que identifica el número de estepas de crecimiento que se pretende

simular.

Diagrama 2-3. Dirección de propagación relativa.

Vector donde se almacenan los valores de de las distintas etapas de crecimiento que tienen lugar en el lado izquierdo de la grieta.

Vector donde se almacenan los valores de de las distintas etapas de crecimiento que tienen lugar en el lado derecho de la grieta.

Diagrama 2-2. Variables primarias.

Variables primarias


Diagrama 2-4. FITs del lado izquierdo.

Vector donde se almacena el valor de correspondientes a los distintos bordes

que aparecen durante el crecimiento en el lado izquierdo de la grieta.



Diagrama 2-5. FITs del lado derecho.


que aparecen durante el crecimiento en el lado derecho de la grieta.




14

Diagrama 2-6. Bordes de grieta del lado izquierdo.

Vector donde se almacena la coordenada (en ejes globales) correspondiente a los distintos

bordes que aparecen durante el crecimiento en el lado izquierdo de la grieta.


bordes que aparecen durante el crecimiento en el lado izquierdo de la grieta.

Diagrama 2-7. Bordes de grieta del lado derecho.

Vector donde se almacena la coordenada (en ejes globales) correspondiente a los

distintos bordes que aparecen durante el crecimiento en el lado derecho de la grieta.


bordes que aparecen durante el crecimiento en el lado derecho de la grieta.


Diagrama 2-8. Puntos auxilares del lado izquierdo.

Vector donde se almacena la coordenada (en ejes globales) correspondiente a los puntos

auxiliares y



auxiliares y


Diagrama 2-9. Puntos auxiliares del lado derecho.


auxiliares y



auxiliares y



16

La definición de algunas de estas variables primarias, como los vectores que contienen los valores de los FIT o

las direcciones de crecimiento, es obvia, sin embargo hay otras, como los vectores que registran las

coordenadas de los puntos auxiliares o la dirección del crecimiento en ejes globales, que a priori pueden no ser

tan obvias. Pero, como ya se dijo antes, a lo largo de las explicaciones gráficas se podrá entender

perfectamente la necesidad de dichas variables y su evolución con el crecimiento de la grieta.

Antes de exponer la estructura del algoritmo es conveniente hacer algunas aclaraciones. En adelante se referirá

a la configuración inicial del problema, esto es la geometría con la grieta inicial, como Estado-0. Por lo que

cuando se dice que se está simulando el Estado-0 significa que se está simulando la primera etapa de

crecimiento, es decir, se está calculando el Estado-1 (la configuración que tendría la grieta tras la primera etapa

de crecimiento). Generalizando, cuando se dice que se está simulando el Estado-j significa que se está

aplicando el algoritmo de simulación de crecimiento al Estado-j para ver cómo quedaría el Estado-j+1.

Evidentemente el parámetro que controla cuantas etapas de crecimiento hay que simular es ngrow.

Hechas estas aclaraciones, a contunuación se muestra la estructura del algoritmo en forma de diagrama de

flujo, Diagrama 2-11, destacando claramente los módulos principales del mismo.

Diagrama 2-10. Dirección de propagación absoluta.

Vector donde se almacena la orientación (respecto a ejes globales) de los distintos tramos de crecimiento que aparecen durante la propagación en el lado izquierdo de la grieta.

Vector donde se almacena la orientación (respecto a ejes globales) de los distintos tramos de crecimiento que aparecen durante la propagación en el lado izquierdo de la grieta.


El algoritmo de simulación comienza con la definición de los parámetros de control, todos los directos y

algunos de los indirectos, y con la definición de la geometría base. La geometría base es toda la geometría del

problema en cuestión exceptuando la grieta. Por ejemplo, si se desea analizar una placa cuadrada con una

grieta en su interior la geometría base sería la placa cuadrada sin grieta. En cada nueva iteración, a la hora de

configurar la geometría del problema lo único que cambia es la configuración de la grieta, pero la

configuración base sigue siendo la misma. Por lo que la idea es muy simple, hacer una copia de la geometría

base y cargar dicha copia en cada nueva iteración sin tener que desarrollarla desde el principio. Por supuesto,

como es de esperar, también se hace una copia de todos los parámetros de control.

El segundo módulo del algoritmo se encarga de simular el Estado-0, esto es, simular una etapa de crecimiento

y calcular el Estado-1. Esta primera simulación es ejecutada independientemente del valor de la variable

ngrow. Esto significa que teniendo ngrow=0 el algoritmo va a simular el Estado-0 y va a calcular como queda

la configuración de la grieta en el Estado-1. Por lo que si queremos simular, por ejemplo, 3 etapas de

crecimiento el valor que se le debe de dar a al parámetro de control es ngrow=2. Este planteamiento no sigue

ninguna lógica en especial, es simplemente cuestión de diseño. En este módulo, además, se definen las

variables primarias definidas anteriormente.

Diagrama 2-11. Estructura principal del algoritmo.

Definición de los parámetros de control y la geometría base

Simulación del Estado-0 y definición y actualización de

variables primarias

Inicio algoritmo simulación

Copia parámetros de control y geometría base

Simulación del Estado-j, j+1, j+2...y actualización de variables

primarias

Fin algoritmo simulación

Post-proceso con los resultados obtenidos

DO contador = 1: ngrow

Copia variables primarias actualizadas


18

El tercer módulo es el bucle que se encarga de hacer las iteraciones correspondientes al caso ngrow . El

funcionamiento y la lógica de este módulo es muy similar al anterior, la única diferencia significativa es la

parametrización de los cálculos. Tras cada etapa de crecimiento simulada se actualizan todas las variables

primarias y se guarda una copia de las mismas. Al comienzo de la siguiente iteración se carga dicha copia para

iniciar los cálculos. Una vez ejecutado todas las iteraciones y simulado todas las etapas de crecimiento termina

lo que sería el objetivo del presente proyecto.

El módulo del Post-proceso consiste en el procesamiento de los resultados que se obtienen de la simulación y,

su implementación, se deja para el usuario. No existe una forma de implementar un Post-proceso único que

satisfaga las necesidades de todos los posibles usuarios. Se trata de una parte del problema que tiene un gran

abanico de posibilidades entre los cuales el usuario tendrá que elegir cuales son los que mejor se ajustan a sus

necesidades e implementar las sentencias necesarias para ello.

2.4. Modelado geométrico de la grieta y de su propagación

Dada la naturaleza del proyecto, donde se tiene un importante contenido gráfico, se ha pensado que la mejor

forma de entender las explicaciones que se pretenden es a través de una serie de representaciones que simulen

gráficamente la secuencia de crecimiento correspondiente a ngrow=1. Dichas representaciones comenzarán

con el modelado de la grieta inicial y finalizarán con la configuración que tendría la grieta tras dos etapas de

crecimiento, pasando, obviamente, por todos los procesos de cálculo, actualización y definición intermedias

tanto de la geometría como de las distintas variables numéricas que intervienen en el problema.

A continuación, con el Diagrama 2-12, se muestra de manera esquemática lo que se pretende poner de

maifiesto con la simulación gráfica.

Diagrama 2-12. Esquema de simulación gráfica.

Simular 2 etapas de crecimiento

Cálculos, definiciones y actualizaciones

intermedias, tanto de las variables como de la

geometría, que permiten el paso desde un estado al siguiente

tras cada etapa de crecimiento

Configuración de grieta inicial

Configuración de grieta tras una etapa de

crecimiento

Configuración de grieta tras dos etapas de

crecimiento

Cálculos, definiciones y actualizaciones de

variables y geometría

Estado-0

Estado-1

Estado-2

Cálculos, definiciones y actualizaciones de

variables y geometría


La filosofía que se seguirá en la secuencia gráfica será la de exponer la representación y, a continuación,

explicar todo lo relevante a cerca de dicha configuración. Conviene también aclarar que las denominaciones de

las distintas identidades geométricas que aparecerán en las representaciones gráficas no se corresponden

exactamente con la nomenclatura utilizada en el algoritmo. Por ejemplo, lo que en las representaciones

gráficas se denomina en el algoritmo no está representado como tal, sino a través de sus coordenadas X e Y,

que están almacenadas en la primera componente de los vectores tipcoordx_dcha y tipcoordy_dcha

respectivamente.

En la Figura 2-5 se muestra la configuración inicial de la grieta. En esta configuración, denominado también

Estado-0, la grieta se modela como un rombo regular. Tal y como se muestra en la figura, para dimensionar

dicho rombo se han utilizado dos dimensiones características: la distancia entre sus extremos más alejados, L,

que se hace corresponder con la longitud de la grieta; y la distancia entre sus extremos más cercanos, h, que se

escoge de tal forma que el rombo sea lo más achatado posible. En todas las simulaciones que se hacen en el

Tema-3 se cumple que . Teniendo en cuenta esto, se puede comprobar mediante sencillos

cálculos trigonométricos que el ángulo que forman los labios superiores de la grieta es aproximadamente

. Evidentemente, al ser un rombo regular, los labios inferiores también forman el mismo angulo.

Además de dimensionar, hay que también posicionar la grieta en el plano, esto es situar en el plano los cuatro

vértices que describen el rombo regular. Este posicionamiento se hace teniendo en cuenta la inclinación de la

línea media de la grieta y la posición del borde izquierdo del mismo , referidos ambos al sistema de

referencia global de ANSYS ( ). De esta forma, queda claro pues como se modela la grieta inicial y

cuáles son los datos que se requieren para su dimensionamiento y posicionamiento en el algoritmo.

Línea media de la

grieta inicial

𝑬𝟎𝒅

𝑬𝟎𝒊

𝑳

𝒉

Estado -0

𝒉

𝑳~10 2

𝜽𝑶

Borde izquierdo

de la grieta

Borde derecho

de la grieta

Labios superiores

de la grieta

𝒀𝑨

𝑿𝑨

Figura 2-5. Modelo grieta inicial interior.


20

Los parámetros y la posición de son cuatro de los parámetros de control directos del problema

definidos anteriormente.

Esta configuración inicial implica la actualización de las siguientes variables primarias del algoritmo:

Para aclarar aún más las ideas sobre las dimesiones de la grieta, a continuación se expone la imagen de la

grieta definida y mallada en ANSYS. En primer lugar, en la Figura 2-6, se muestra la imagen de una grieta de

de longitud y de inclinación inicial en el interior de una placa cuadrada. En segundo lugar, en la

Figura 2-7, se muestra la imagen de una grieta de de longitud y de inclinación inicial en la

superficie de una placa cuadrada. En ambos casos el espesor máximo de la grieta es la décima parte de su

longitud.

Diagrama 2-13. Actualización bordes de grieta.

Figura 2-6. Grieta inicial interior.


Figura 2-7. Grieta inicial de superficie.


22

Con esta segunda imagen, Figura 2-8, la intención es poner de manifiesto el uso de dos de los sistemas de

referencia locales definidos en el algoritmo. En este caso concreto, los dos sistemas de referencia locales

representados en la Figura 2-8 están centrados en los correspondientes bordes de grieta y situados de tal forma

que el eje X es paralelo a la línea media de la grieta, siendo el sentido positivo del mismo tal y como se indica

en la propia figura.

La primera razón de la necesidad del uso de este tipo de sistemas de referencia es el cálculo de los FIT. El

comando CINT de ANSYS que se encarga de calcular los FIT en cada borde de grieta necesita como

argumento que se le especifique la dirección normal al plano de la grieta a través de un sistema de referencia

centrado en el borde de grieta en la cual se pretenden calcular los FIT.

La segunda razón de su uso es más obvia, tal y como se podrá comprobara a lo largo de las próximas

imágenes, los sistemas de referencia locales facilitan mucho el proceso de la configuración de la geometría de

la grieta y su propagación.

Estableciendo relación directa de lo mostrado en la imagen con el algoritmo, cabe destacar que durante la

etapa de crecimiento en cuestión el sistema de referencia local centrado en el borde derecho de la grieta actual

y paralelo a la línea media de la misma se identifica en el algoritmo como SR2. De la misma forma, el sistema

de referencia local centrado en el borde izquierdo de la grieta actual y paralelo a la línea media de la misma se

identifica en el algoritmo como SR3. En el caso particular de la primera etapa de crecimiento la identificación

𝑬𝟎𝒅

𝑬𝟎𝒊

𝒙𝟎𝒅 𝒚𝟎

𝒅

𝒙𝟎𝒊 𝒚𝟎

𝒊

Sistema de referencia identificado

en el algoritmo como SR2

Sistema de referencia identificado

en el algoritmo como SR3

Figura 2-8. Paso-1 del Estado-0 al Estado-1.


SR2 se corresponde con el sistema de referencia representado en la figura por

y la identificación SR3

se corresponde con el sistema de referencia representado en la figura por

.

Los cálculos de esta configuración implican la actualización de las siguientes variables primarias del

algoritmo:

Una vez calculado los FIT en cada borde de grieta y aplicado las ecuaciones del criterio de crecimiento de

Erdogan y Sih [1] se está en condiciones para hallar la dirección que tomará la grieta en cada uno de sus

bordes en su primera etapa de crecimiento. En la Figura 2-9 se refleja claramente dicha dirección a través de su

línea media. Evidentemente esta línea media es inexistente en el algoritmo, su presencia en la misma es a

través del ángulo con el signo correspondiente. Conviene tener claro que todas las líneas medias que se


𝒅

𝒙𝟎𝒊 𝒚𝟎

𝒊

Línea media del 1º

tramo de crecimiento

𝑬𝟎𝒅

𝑬𝟎𝒊



𝜽𝟏𝒊

𝜽𝟏𝒅


Diagrama 2-14. Actualización de los FIT.


24

representan durante la secuencia de imágenes explicativas solo son medios gráficos para aclarar conceptos, no

están presentes en el algoritmo de manera geométrica sino solo numérica a través del ángulo con el signo

correspondiente.


algoritmo:

Hallada la dirección en la que se propagará la grieta en cada una de sus bordes, el siguiente paso es modelar la

grieta propagada. El modelo de propagación adoptado para este proyecto requiere dos puntos auxiliares por

cada lado de la grieta para poder modelarla correctamente. En la Figura 2-10 estos puntos se representan en

color rojo y están etiquetados como y

para el lado izquierdo y y

para el lado

𝜽𝟏𝒅

𝜽𝟏𝒊

𝜷𝒅


𝒅

𝒙𝟎𝒊

𝑷𝒔𝒖𝒑,𝟏𝒊

𝑷𝒊𝒏𝒇,𝟏𝒊

𝑷𝒔𝒖𝒑,𝟏𝒅

𝑷𝒊𝒏𝒇,𝟏𝒅

𝒉𝟐

𝒉𝟐





Bisectriz del ángulo que forman la línea media de la grieta

inicial y la línea media del 1º tramo de crecimiento

Bisectriz del ángulo que forman la línea media de la grieta

inicial y la línea media del 1º tramo de crecimiento

𝜷 = 𝜽

𝟐

𝜷𝒊 𝒚𝟎𝒊


Diagrama 2-15. Actualización de la dirección relativa.


derecho de la grieta. Una vez más haciendo honores al dicho una buena imagen vale más que mil palabras, los

pasos a seguir para fijar estos puntos se describen muy bien en la Figura 2-10. Al igual que con las líneas

medias, la bisectriz es solo un medio gráfico para ayudar a comprender la situación, pero no tiene presencia

alguna en el algoritmo. Por simplicidad y para no sobrecargar la imagen solo se describe en detalle el

procedimiento para hallar solo uno de los puntos auxiliares en cada lado.

La presencia de estos puntos auxiliares en el algoritmo es a través de las variables primarias coordx_izqd,

coordy_izqd, coordx_dcha y coordy_dcha. El ángulo de la figura se identifica en el algoritmo como beta.


algoritmo:

Diagrama 2-16. Actualización de puntos auxiliares.





𝑬𝟏𝒊

𝑬𝟏𝒅


𝒅

𝒙𝟏𝒅

𝒚𝟏𝒅

𝒚𝟎𝒊 𝒙𝟎

𝒊

𝒚𝟏𝒊

𝒙𝟏𝒊

𝒅𝒍

𝒅𝒍

Sistema de referencia

identificado en el

algoritmo como SR5


identificado en el

algoritmo como SR4



26

Lo último que queda por hallar para cerrar la definición de la nueva configuración de la grieta tras la primera

etapa de crecimiento es la localización de los nuevos bordes y

. Para ello, tal y como se muestra en la

Figura 2-11, se define un sistema de referencia local centrado en el borde de la grieta actual, es decir, el borde

del estado que se está simulando, de manera que el eje X de la misma sea paralelo a la línea media del primer

tramo de crecimiento. Con la ayuda de este sistema de referencia es inmediato situar los nuevos bordes.

Estableciendo relación directa de lo mostrado en la Figura 2-11 con algoritmo, cabe destacar que durante la

etapa de crecimiento en cuestión este nuevo sistema de referencia local centrado en el borde derecho de la

grieta actual y paralelo a la línea media del primer tramo de crecimiento se identifica en el algoritmo como

SR5. De la misma forma, el sistema de referencia local centrado en el borde izquierdo de la grieta actual y

paralelo a la línea media del primer tramo de crecimiento se identifica en el algoritmo como SR4. En el caso

particular de la primera etapa de crecimiento la identificación SR5 se corresponde con el sistema de referencia

representado en la figura por

y la identificación SR4 se corresponde con el sistema de referencia

representado en la figura por

.

La presencia de estos nuevos bordes de grieta en el algoritmo es a través de las variables primarias

tipcoordx_izqd, tipcoordy_izqd, tipcoordx_dcha y tipcoordy_dcha. El diferencial de longitud de la figura se

identifica en el algoritmo como con el mismo nombre.


algoritmo:

Una vez llegado hasta este punto, ya se dispone de la ubicación de todos los puntos necesarios

para poder configurar la geometría de la grieta de cara a la

próxima iteración, esto es, de cara a la simulación de la próxima etapa de crecimiento. Dichas ubicaciones, tal

y como se ha explicado a lo largo de la secuencia de imágenes, se han ido almacenando en las variables

primarias en forma de coordenadas referidas al sistema de referencia global de ANSYS. Hablando en términos

del algoritmo, una vez que se inicia la próxima iteración, como ya se explicó anteriormente, el algoritmo carga

una copia de la geometría base y a continuación debe situar sobre ella la nueva grieta. Es en este momento

donde el algoritmo echa mano de la copia de las variables primarias definidas anteriormente y actualizadas

paso a paso a lo largo de la secuencia anterior. Estas variables vectoriales contienen toda la información

necesaria para, en cualquier momento, poder configurar y representar la geometría de la grieta asociada al

número de etapas de crecimiento deseado y, al mismo tiempo, consultar las variables físicas de interés, como

son los FIT, asociados a dicho estado. Queda justificada pues la necesidad de la definición de estas variables

de primarias para el correcto desarrollo del algoritmo.

A continuación, se muestra en la Figura 2-12 la configuración de la grieta tras una etapa de crecimiento, esto

es lo que en términos del algoritmo se conoce como el Estado-1.

Diagrama 2-17. Actualización de bordes de grieta y dirección absoluta.


A partir de este momento daría comienzo la segunda iteración para simular la segunda etapa de crecimiento.

La filosofía es exactamente igual que en la primera, por lo que solo se comentarán los dos o tres detalles más

importantes y se mostrarán las actualizaciones de las variables primarias.

Solo a modo de aclaración de cara al algoritmo, destacar que los sistemas de referencia locales mostrados y

explicados en la Figura 2-11, al finalizar la primera etapa de crecimiento, se identificaban en el algoritmo

como SR4 y SR5. Pero en la próxima simulación, tal y como se puede apreciar en la Figura 2-13, pasan a

identificarse como SR2 y SR3. Recuerdese que, tal y como se explicó en la Figura 2-8, durante la etapa de

crecimiento en cuestión el sistema de referencia local centrado en el borde derecho de la grieta actual y

paralelo a la línea media de la misma se identifica en el algoritmo como SR2. De la misma forma, el sistema de

referencia local centrado en el borde izquierdo de la grieta actual y paralelo a la línea media de la misma se

identifica en el algoritmo como SR3.

Estado 1

𝑬𝟏𝒅

𝑬𝟏𝒊





Figura 2-12. Grieta tras una etapa de crecimiento.


28


identificado en el

algoritmo como SR2


identificado en el algoritmo

como SR3

𝒚𝟏𝒊

𝑬𝟏𝒅

𝑬𝟏𝒊





𝒙𝟏𝒅

𝒙𝟏𝒊

𝒚𝟏𝒅


Actualización


𝒚𝟏𝒅

𝒙𝟏𝒅

𝒙𝟏𝒊

𝒚𝟏𝒊

𝑬𝟏𝒅

𝑬𝟏𝒊





Línea media

del 2º tramo

de crecimiento

Línea media

del 2º tramo

de crecimiento

𝜽𝟐𝒊

𝜽𝟐𝒅


Actualización


30

Línea media

del 2º tramo

de crecimiento

Línea media

del 2º tramo

de crecimiento

Bisectriz del ángulo que forma la línea

media del 1º tramo de crecimiento con la

línea media del 2º tramo de crecimiento Bisectriz del ángulo que forma la línea

media del 1º tramo de crecimiento con

la línea media del 2º tramo de

crecimiento

𝒙𝟏𝒅

𝒚𝟏𝒅

𝒙𝟏𝒊

𝒚𝟏𝒊

𝜽𝟐𝒅

𝜽𝟐𝒊

𝝅 𝜷𝒊

𝝅 𝜷𝒅 𝑷𝒊𝒏𝒇,𝟏𝒅




𝑷𝒊𝒏𝒇,𝟐𝒅

𝑷𝒔𝒖𝒑,𝟐𝒊

𝑷𝒊𝒏𝒇,𝟐𝒊

𝒉𝟐

𝒉𝟐

𝑷𝒔𝒖𝒑,𝟐𝒅


Actualización










𝒙𝟏𝒅

𝒚𝟏𝒅 𝒚𝟐

𝒅

𝒙𝟐𝒅

𝒙𝟏𝒊

𝒚𝟏𝒊 𝒚𝟐

𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒅𝒍

𝒅𝒍


Actualización


32

De esta forma, con la secuencia anterior de figuras, ha quedado bien claro cuál es la filosofía que se ha seguido

para modelar la grieta inicial y su propagación en caso de que la grieta este situada en el interior de la placa.

Estado 2









𝑬𝟐𝒅

𝑬𝟐𝒊

Figura 2-17. Grieta tras dos etapas de crecimiento.


Para el caso de un placa con grieta de borde la filosofía que se sigue para modelar su propagación a partir del

borde inicial es exactamente la misma que en el caso de grieta interior. La diferencia entre ambos casos está en

el modelado de la grieta inicial.

El modelo de grieta inicial para el caso de una placa con grieta de borde es como se muestra en la Figura 2-18.

Tal y como se puede observar en ella, en el Estado-0 la grieta se modela como un triángulo abierto con los

vértices en los puntos , . Evidentemente el lado abierto del mismo coincide con lo que sería el

borde de la placa y en adelante se referirá al mismo como la base del triangulo. Para dimensionar dicho

triangulo se han utilizado 3 parámetros característicos: la distancia entre los puntos y , que se hace

corresponder con la longitud de la grieta; el semiancho de la base, , que se escoge de tal forma que el

triangulo sea lo más achatado posible; y la inclinación respecto a la horizontal de la línea que une los puntos

y , que se hace corresponder con la inclinación inicial de la grieta.

Además de dimensionar, hay que también posicionar la grieta en el plano, esto es situar en el plano los 3

vértices que describen el triangulo. Este posicionamiento se hace teniendo en cuenta las coordenadas del punto

referidos al sistema de referencia global de ANSYS ( ). De esta forma, queda claro pues que en

caso de grieta de borde se requieren para su dimensionamiento y posicionamiento en el algoritmo 4

parámetros: y la posición del punto .

En el caso de grieta de borde, para la propagación de la grieta a partir del borde , se toma como ancho

característico de los tramos de crecimiento la longitud . Esta longitud representa la distancia más corta desde

el vértice hasta la línea media de la grieta inicial. Es en este punto donde hay que aclarar una diferencia

importante entre el modelo de grieta en caso de grieta de interior y el modelo de grieta adoptado para la grieta

Figura 2-18. Modelo grieta inicial de borde.

𝒉

𝒉 𝒑 𝒔𝜽

Línea media de la grieta inicial

𝑬

𝜽

𝜷

𝒑

𝒑

𝑨

Estado -0

𝑳 𝑬𝟎𝒊

𝒑

𝑳

𝒔𝒖𝒑

𝒊𝒏𝒇


34

de borde. Lo que aquí se llama línea media de la grieta inicial no es exactamente la línea media de los labios

de la grieta ya que los ángulos representados en la Figura 2-18 como y en principio no son iguales. Pero,

se puede comprobar que si se cumple entonces la diferencia entre dichos ángulos se hace despreciable

y, a todos los efectos, se puede considerar que la línea que une los puntos y es la línea media de la grieta

inicial.

En efecto, aplicando el teorema del coseno y seno a cada mitad del triangulo que representa la grieta inicial se

tiene que:

(2-30)

(2-31)

Combinando y despejando las variables y se tiene que:

(2-32)

(2-33)

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

𝜽

𝜷

𝒑 𝑳

𝟏𝟎𝟎

𝒑 𝑳

𝟎

Figura 2-19. en función de .


En la Figura 2-19 se ha representado la diferencia en valor absoluto de los ángulos y . En ella se

comprueba fácilmente que dicha diferencia es despreciable cuando y , por tanto, se puede considerar

que la línea que une los puntos y es la línea media de la grieta inicial.

En todas las simulaciones que se hacen en el Tema-3 se tiene que , por lo que se cumple la

hipótesis de la línea media explicada en el parrafo anterior. La pregunta es, ¿que ocurre si no se cumple que

? La respuesta es que nada. La geometría de la grieta se modelará de la misma forma que se representa

en la Figura 2-18 y habrá una línea imaginaría que una los puntos y , pero, esta vez, dicha línea no será la

linea media de los labios de lagrieta. En este caso el modelo de la grieta inicial es ligeramente distinto al que se

tiene cuando , pero es un modelo igualmente válido y no impedirá el correcto desarrollo del algoritmo.

Como ya se ha dicho anteriormente, la filosofía que se sigue para simular la propagación de la grieta de borde

es exactamente la misma que en el caso de grieta interior. Solo hay una pequeña variación en lo que a los

sistemas de referencia locales o auxiliares se refiere. En el caso de la grieta de borde se tiene un sistema de

referencia auxiliar identificado en el algoritmo como SR1 que sirve para posicionar la grieta inicial. El sistema

de referencia centrado en el borde de la grieta actual con el eje X alineado con la línea media de la misma y

apuntando hacía el interior del material se identifica en el algoritmo como SR2. Y, por último, el sistema de

referencia auxiliar centrado en el borde de la grieta actual pero con el eje X alineado con la línea media de la

nueva etapa de crecimiento se denomina en el algoritmo como SR4.

Figura 2-20. Sistemas de referencia del modelo de grieta inicial de borde.

Línea media de la grieta inicial

𝑬

Línea media del 1º tramo de crecimiento

SR4

SR2

SR1

𝜽𝟏


36

37

3 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN Y

CONCLUSIONES

ara comprobar la bondad del algoritmo se va a proceder a la aplicación de la misma a geometrías con

distintas configuraciones de carga y grieta. Lo que se pretende es comparar los resultados del algoritmo

aquí desarrollado con los resultados ya conocidos, tanto teóricos como numéricos, de estudios anteriores.

3.1 Cálculos analíticos preliminares

Antes de proceder a la simulación del algoritmo se van a obtener unas expresiones matemáticas que permiten

obtener los factores de intensificación de tensiones para ciertas geometrías simples pero muy comunes en la

realidad. En particular, se van a obtener las expresiones de los FIT para una geometría cuadrada ''infinita'',

cargada biaxialmente y con una grieta interior inclinada, tal y como se muestra en la Figura 3-1.

P

𝜽

Figura 3-1. Geometría infinita, grieta inclinada y carga biaxial.

Resultados de la simulación y conclusiones

38

Para una configuración como la de la Figura 3-1 no es trivial obtener una expresión matemática de los FIT,

pero con cierta manipulación del problema podremos llegar a una configuración que nos es mucho más

familiar y cuyas soluciones matemáticas nos son bien conocidas. Para ello se va a hacer un cambio de ejes para

estudiar el problema de manera que el eje X sea paralelo a la grieta y el eje Y sea perpendicular a la misma, tal

y como se muestra en la Figura 3-2.

La relación que hay entre los vectores unitarios de ambos sistemas de referencia se puede expresar como:

(3-1)

(3-2)

Por otro lado el vector de presión puede ser expresado en ambos ejes de la siguiente forma:

(3-3)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (3-1) y (3-2) la relación (3-3) se puede expresar de la siguiente forma:

(3-4)

(3-5)

De las expresiones (3-4) o (3-5) se puede obtiener la matriz de transformación T que permite pasar un vector

cualquiera de un sistema de referencia a otro.

Figura 3-2. Giro de sistema de referencia.


De la misma forma, el vector normal se puede expresar también en términos de la matriz T:

(3-6)

(3-7)

Por otro lado, teniendo en cuenta la ley de Cauchy, ecuaciones (3-8) y (3-9), y con cierta manipulación

matricial de las expresiones anteriores se puede relacionar el estado tensional de un punto calculado en un

sistema de referencia determinado con el estado tensional del mismo punto calculado en otros ejes

cualesquiera.

(3-8)

(3-9)

En efecto, considerando las ecuaciones (3-4), (3-6) y (3-8), la expresión (3-9) se puede poner como:

(3-10)

De aquí se obtienen las expresiones (3-11) y (3-12), que, tal y como se pretendía, permiten relacionar el estado

tensional de un punto calculado en un sistema de referencia determinado con el estado tensional del mismo

punto calculado en otros ejes cualesquiera.

(3-11)

(3-12)

La expresión (3-11) desarrollada se puede poner de la siguiente forma:

(3-13)

Operando se tiene que:

(3-14)

Identificando términos entre los tensores de la izquierda y de la derecha de la igualdad del desarrollo anterior

se obtienen las siguientes expresiones:


40

(3-15)

(3-16)

(3-17)

Ahora bien, aplicando la transformación de giro explicada aquí al problema de la Figura 3-1 se obtiene la

configuración de la Figura 3-3 que, por supuesto, es mucho más familiar.

Una vez llegado a esta nueva configuración, se puede aprovechar el hecho de que se está en MFEL para

aplicar el principio de superposición y hallar de manera más sencilla las expresiones de los FIT buscadas. De

esta forma, por el principio de superposición, el problema de la Figura 3-3 se puede descomponer en tres

problemas simples (configuraciones a, b y c) donde las expresiones matemáticas de los FIT son muy bien

conocidas.

(3-18)

(3-19)

𝟐𝟏

𝟐𝟐

𝟏𝟏

𝟐𝟐

𝟏𝟏

𝟏𝟐

𝟐𝟏

𝟏𝟐

Figura 3-3. Configuración después de transformación.


Problema a

Para el que se tiene que:

(3-20)

(3-21)

𝟏𝟏

𝟏𝟏

Figura 3-4. Configuración a.


42

Problema b


(3-22)

(3-23)

En este caso, al ser la geometría infinita, se tiene que .

𝟐𝟐

𝟐𝟐

Figura 3-5. Configuración b.


Problema c


(3-24)

(3-25)

En este caso, al ser la geometría infinita, se tiene que .

De esta forma, teniendo en cuenta las ecuaciones (3-18) y (3-19), se puede obtener fácilmente las expresiones

de los FIT para el problema original de la Figura 3-1 aplicando el principio de superposición.

(3-26)

(3-27)

𝟐𝟏

𝟏𝟐

𝟐𝟏

𝟏𝟐

Figura 3-6. Configuración c.


44

En las respectivas simulaciones que se realizarán a continuación, se podrá aprovechar las expresiones (3-26) y

(3-27) para comprobar que los valores de FIT calculados de manera numérica coinciden con los valores que

dicta la teoría.

Otro aspecto que resalta a la vista de la expresión de es que para dos grietas inclinadas donde los ángulos

de inclinación son complementarios ( el valor de debe ser el mismo. Este hecho se podrá

comprobar más adelante con los resultados numéricos.

3.2 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga uniaxial

Para la geometría de la Figura 3-7 se ha simulado el crecimiento de la grieta para distintos inclinaciones, , de

la misma. La idea es ver si la evolución de la grieta y los FIT es la esperada teóricamente. Las condiciones de

la simulación son:

𝜽

Figura 3-7. Placa ''infinita'', grieta interior inclinada y carga uniaxial.


Las dimensiones de la placa frente a la longitud de la grieta permiten afirmar que se trata de una geometría

infinita.

Los valores de los FIT, tanto teóricos como numéricos, que se expondrán en las tablas, están todos

adimensionalizados con el valor teórico del FIT en modo I puro , del problema original:

(3-28)

A continuación se muestran los resultados de las simulaciones de manera numérica, a través de tablas con los

valores de los FIT y las direcciones de propagación en cada etapa de crecimiento, y de forma gráfica, a través

de figuras con la evolución de la trayectoria de la grieta duarnte su crecimiento.

Borde derecho

𝜽𝟎 𝟐𝟎 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5

𝜽 [ ] -33,178 12,096 -2,065 1,488 0,027

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,882 1,064 1,164 1,245 1,322

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 -0,1151 0,0210 -0,0161 -0,0003

𝜽𝒇 𝟏 𝟐 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

Borde izquierdo


𝜽 [ ] -33,176 12,094 -2,064 1,487 0,010

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,882 1,064 1,163 1,245 1,322

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 -0,1151 0,0210 -0,0161 -0,0001

𝜽𝒇 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

Tabla 3-1. Parámetros del borde derecho para .

Tabla 3-2. Parámetros del borde izquierdo para .


46

-2

-1

0

1

2

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟐𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

Figura 3-8. Trayectoria de la grieta interior tras 5 etapas de crecimiento para .



Figura 3-10. Trayectoria en borde derecho tras 4 etapas de crecimiento para .

Figura 3-11. Trayectoria en borde izquierdo tras 4 etapas de crecimiento para .

Borde izquierdo de grieta inicial

Borde derecho de grieta inicial


48

Borde derecho

𝜽𝟎 𝟎 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5

𝜽 [ ] -43,113 8,930 -0,114 1,297 0,414

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,749 1,053 1,144 1,224 1,302

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4299 -0,0833 0,0011 -0,0139 -0,0047

𝜽𝒇 𝟐 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

Borde izquierdo


𝜽 [ ] -43,114 8,928 -0,105 1,284 0,426

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,749 1,053 1,144 1,224 1,302

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4299 -0,0832 0,0011 -0,0137 -0,0048

𝜽𝒇 𝟐 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento




-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




50






Borde derecho


𝜽 [ ] -50,200 2,745 1,949 1,026 0,761

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,586 1,029 1,115 1,197 1,274

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4897 -0,0246 -0,0190 -0,0107 -0,0085

𝜽𝒇 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

Borde izquierdo


𝜽 [ ] -50,196 2,739 1,936 1,054 0,766

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,586 1,029 1,115 1,196 1,274

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4886 -0,0246 -0,0188 -0,0110 -0,0085

𝜽𝒇 𝟎𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento




52

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




54

Borde derecho


𝜽 [ ] -55,581 -4,670 3,685 0,614 1,014

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,413 0,975 1,071 1,158 1,238

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4897 0,0398 -0,0344 -0,0062 -0,0110

𝜽𝒇 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

Borde izquierdo


𝜽 [ ] -55,580 -4,675 3,690 0,581 1,079

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,413 0,975 1,071 1,159 1,238

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4886 0,0398 -0,0345 -0,0059 -0,0116

𝜽𝒇 𝟎 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento




-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝒙 𝟏𝟎 𝟐




56






Borde derecho


𝜽 [ ] -59,949 -12,355 5,188 -0,114 1,145

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,249 0,879 1,005 1,105 1,190

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4299 0,0975 -0,0457 0,0011 -0,0118


Borde izquierdo


𝜽 [ ] -59,950 -12,340 5,174 -0,125 1,143

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,249 0,879 1,005 1,105 1,190

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,4299 0,0974 -0,0456 0,0012 -0,0118





58

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




60

Borde derecho


𝜽 [ ] -63,729 -19,887 6,736 -1,198 1,121

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,116 0,744 0,913 1,031 1,128

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 0,1388 -0,0540 0,0108 -0,0110


Borde izquierdo


𝜽 [ ] -63,727 -19,894 6,747 -1,200 1,121

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,116 0,744 0,913 1,031 1,128

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 0,1388 -0,0542 0,0108 -0,0110





-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝒙 𝟏𝟎 𝟐




62






Borde derecho


𝜽 [ ] -67,191 -27,420 8,851 -2,636 1,147

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,029 0,573 0,789 0,931 1,045

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,1693 0,1580 -0,0618 0,0214 -0,0105


Borde izquierdo


𝜽 [ ] -67,190 -27,413 8,855 -2,641 1,141

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,029 0,573 0,789 0,931 1,045

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,1693 0,1580 -0,0618 0,0214 -0,0104





64

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




66

Para comprender mejor los resultados anteriores se va a representar en una misma gráfica, Figura 3-36, la

propagación de la grieta para los distintos casos de simulados anteriormente.

Con resultados obtenidos, lo primero que se puede comprobar es que los valores de y

calculados con el algoritmo coinciden con los obtenidos analíticamente mediante las expresiones de

y , expresiones (3-29) y (3-30) respectivamente. Evidentemente esta coincidencia se cumple solo

en el fondo de la grieta inicial, una vez que ésta comienza a crecer no se tiene ninguna expresión analítica

teórica con la que poder predecir los FIT.

Teniendo en cuanta que la carga es uniaxial ( , las expresiones (3-26) y (3-27) permiten calcular en este

caso los FIT teóricos como:

(3-29)

(3-30)

A continuación, en la Tabla 3-15 y Tabla 3-16 , se comparan los valores de los FIT obtenidos con las

expresiones (3-29) y (3-30) con los que se han obtenido con el algoritmo en el fondo de la grieta inicial.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

θo=20

θo=30

θo=40

θo=50

θo=60

θo=70

θo=80

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

Figura 3-36. Trayectoria de la grieta interior bajo carga uniaxial tras 5 etapas de crecimiento.


𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,882 0,749 0,587 0,413 0,249 0,116 0,029

𝝅𝑳 𝟐 0,882 0,749 0,586 0,413 0,249 0,116 0,029

𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3205 0,4322 0,4920 0,4920 0,4322 0,3205 0,1704

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 0,4299 0,4897 0,4897 0,4299 0,3193 0,1693

Para las comparaciones anteriores se han utilizado los valores de los FIT del borde derecho de la grieta. Se

podría preguntar: ¿y por qué no se ha hecho otra tabla similar a los dos anteriores para comparar los valores del

FIT del borde izquierdo? Se puede aprovechar la respuesta a esta pregunta para introducir la segunda

observación respecto a los resultados de la simulación. A la hora de exponer la geometría y configuración del

problema se dijo que se trata de una geometría infinita ya que las dimensiones de la placa y la distancia a la

que se encuentran la grieta de los bordes de la placa son mucho mayores que las dimensiones de la grieta. Pues

bien, en estas condiciones y teniendo en cuenta la simetría de las cargas, el estado tensional del fondo derecho

de la grieta ha de ser el mismo que el estado tensional del fondo izquierdo. Es más, si se coge la geometría del

ensayo y se gira el borde derecho pasa a ser el borde izquierdo y viceversa y, sin embargo, se vuelve a

tener una geometría idéntica a la inicial. Pues bien, para una misma inclinación inicial de la grieta , si se

comparan los valores de los FIT y la dirección de crecimiento del borde derecho con los del borde

izquierdo, se puede observar que para todas las etapas de crecimiento se cumple esta igualdad.

Por otro lado, si se fija en la Tabla 3-16 donde se comparan los valores de y , se puede observar

el fenómeno mencionado al final del Apartado 3.1, donde se predecía la igualdad de los valores de para

ángulos complementarios de la inclinación inicial de la grieta. Efectivamente, se ha obtenido de manera

numérica lo que la expresión de sugería, que para ángulos complementarios de la inclinación inicial de

la grieta los valores de han de ser los mismos: , , .

Otra comprobación que se puede realizar, es la evolución de los valores de en el fondo de la grieta

inicial en función de las inclinaciones iniciales, , de la misma. Para inclinaciones pequeñas (donde la grieta

es 'cuasi-perpendicular' a la dirección de las carga) se espera que sea mayor que para inclinaciones grandes

(donde la grieta es 'cuasi-paralela' a la dirección de las carga). Efectivamente, en la Tabla 3-17 se comparan los

valores de del fondo de la grieta inicial para distintas de la misma y, se comprueba que se cumple

este comportamiento.

Tabla 3-16. Comparación entre y para grieta interior bajo carga uniaxial.

Tabla 3-15. Comparación entre y para grieta interior bajo carga uniaxial.


68

𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,882 0,749 0,586 0,413 0,249 0,116 0,029

Ahora bien, si se substrae una tabla similar a la anterior pero con la evolución de frente a , se puede

observar que éste parámetro alcanza un máximo entre los y , concretamente para , siendo nulo

cuando la grieta es perpendicular o paralela a la dirección de la carga.

𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,3193 0,4299 0,4897 0,4897 0,4299 0,3193 0,1693

Efectivamente, si se observa detenidamente la expresión (3-30) que permite obtener , se puede ver que

para una longitud de grieta y unas cargas dadas ésta alcanza un máximo en . Sin tener que acudir a las

derivadas de la función , sino con una simple manipulación matemática se puede

demostrar esta afirmación.

(3-31)

Sabiendo que la función seno alcanza su máximo en , es trivial deducir que es el ángulo que

maximiza la anterior expresión.

Por último, teniendo en cuenta que se tiene carga uniaxial, conviene comprobar la tendencia del crecimiento.

Se sabe, tanto de la teoría como de la práctica, que la propagación de la grieta es tal que tiende a situarse de

manera perpendicular a la dirección de la carga.

Efectivamente, si se comprueban los valores de (ángulo que forma la última etapa de crecimiento con la

horizontal) en las diferentes tablas mostradas a lo largo del Apartado 3.2 y se observan las representaciones

etapa a etapa de la propagación se puede ver claramente que al cabo de 5 etapas de crecimiento la grieta

propagada ya ha tomado la dirección perpendicular a la carga. De hecho, en todos los casos 2 etapas de

crecimiento son suficientes para alcanzar dicha perpendicularidad.

Otro factor a tener en cuenta para las comprobaciones es la evolución de los valores de y según va

creciendo la grieta. Conforme la grieta vaya adoptando una dirección perpendicular a la carga el valor de

debe ir creciendo. Efectivamente, si se observa la evolución de con las etapas de crecimiento para

cualquier inclinación inicial de la grieta se puede comprobar dicha tendencia creciente. El valor de , por el

contrario, debe ir decreciendo conforme la grieta vaya adoptando una dirección perpendicular a la carga.

Efectivamente, si se observa la evolución de con las etapas de crecimiento para cualquier inclinación

inicial de la grieta se puede comprobar dicha tendencia decreciente.

Tabla 3-17. Evolución de de la grieta inicial interior frente a .

Tabla 3-18. Evolución de de la grieta inicial interior frente a .


3.3 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga uniaxial

Para la geometría de la Figura 3-37 se ha simulado el crecimiento de la grieta para distintos inclinaciones, ,

de la misma. La idea es ver si la evolución de la grieta y los FIT es la esperada teóricamente. Las condiciones

de la simulación son:


infinita.

𝜽

Figura 3-37. Geometría infinita, grieta de borde inclinada y carga uniaxial.


70



(3-32)





𝜽 [ ] -22,728 2,204 0,154 0,159 0,074

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,916 1,021 1,069 1,114 1,158

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,2003 -0,0196 -0,0014 -0,0015 -0,0007

𝜽𝒇 𝟎 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

Tabla 3-19. Parámetros en borde de grieta para .

𝜽 𝟐𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

Figura 3-38. Trayectoria de la grieta de borde tras 5 etapas de crecimiento para .


Figura 3-40. Trayectoria en borde tras 4 etapas de crecimiento para .


Borde de grieta inicial


72


𝜽 [ ] -31,374 0,541 0,332 0,189 0,106

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,819 0,985 1,034 1,080 1,126

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,2731 -0,0047 -0,0030 -0,0018 -0,0010

𝜽𝒇 𝟎 𝟐𝟎 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝒙 𝟏𝟎 𝟐




74


𝜽 [ ] -38,154 -2,874 0,487 0,137 0,123

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,696 0,931 0,983 1,032 1,079

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,3158 0,0234 -0,0042 -0,0012 -0,0012

𝜽𝒇 𝟎 𝟐 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




76


𝜽 [ ] -43,498 -7,425 0,545 -0,016 0,085

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,556 0,854 0,918 0,971 1,021

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,3253 0,0558 -0,0044 0,0001 -0,0008

𝜽𝒇 𝟎 𝟎 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




78


𝜽 [ ] -47,784 -12,724 0,545 -0,336 0,029

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,411 0,748 0,832 0,893 0,947

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,2992 0,0855 -0,0040 0,0026 -0,0002

𝜽𝒇 𝟎 𝟐 𝟎 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




80


𝜽 [ ] -51,334 -18,508 0,474 -0,694 -0,099

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,270 0,613 0,724 0,796 0,857

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,2410 0,1054 -0,0299 0,0048 0,0007

𝜽𝒇 𝟎 𝟏 𝟏 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




82


𝜽 [ ] -54,465 -24,835 0,341 -0,863 -0,170

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,140 0,449 0,590 0,677 0,749

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,1544 0,1096 -0,0018 0,0051 -0,0011

𝜽𝒇 𝟎 𝟎𝟎 ángulo respecto a la horizontal de la última etapa de crecimiento

0

2

4

6

0 2 4 6 8

𝜽 𝟎

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐




84

Para comprender mejor los resultados anteriores se va a representar la propagación de la grieta para los

distintos casos de simulados anteriormente en una misma gráfica,

A diferencia del caso de la geometría con grieta interior, en este caso no existen expresiones analíticas de los

FIT que permitan la comprobación de los valores de los mismos en el fondo de la grieta inicial. Pero, al igual

que ocurría en el caso de la geometría con grieta interior, para inclinaciones iniciales pequeñas (donde la grieta

es 'cuasi-perpendicular' a la dirección de las carga) se espera que sea mayor que para inclinaciones grandes

(donde la grieta es 'cuasi-paralela' a la dirección de las carga). Efectivamente, en la Tabla 3-26 se comparan los

valores de del fondo de la grieta inicial para las distintas de la misma y se puede comprobar que se

cumple este comportamiento.

𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,916 0,819 0,696 0,556 0,411 0,270 0,140

0

2

4

6

0 2 4 6 8

θo=20

θo=30

θo=40

θo=50

θo=60

θo=70

θo=80

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

Figura 3-58. Trayectoria de la grieta de borde bajo carga uniaxial tras 5 etapas de crecimiento.

Tabla 3-26. Evolución de de la grieta inicial de borde frente a .


Para la configuración con la grieta interior, se observo que los valores de eran los mismos para

complementarios. En la configuración de grieta de borde, si se observa la Tabla 3-27, donde se presentan los

valores de frente a la inclinación inicial de la grieta , se puede comprobar que ya no se cumple dicho

fenómeno.

𝜽𝟎

𝒏𝒖

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,2003 0,2731 0,3158 0,3253 0,2992 0,2410 0,1544

En el Apartado 3.2 se pudo comprobar que alcanza un máximo entorno a . Pues bien, a la vista

de los valores de la Tabla 3-27 se puede confirmar que dicho fenómeno también se cumple en caso de grietas

de borde.

En lo que se refiere a la propagación de la grieta, teniendo en cuenta que se tiene carga uniaxial, conviene

comprobar la tendencia del crecimiento es la correcta. Tanto de la teoría como de la práctica, se sabe que la

propagación de la grieta es tal que tiende a situarse de manera perpendicular a la dirección de la carga.

Efectivamente, al igual que ocurría en el caso de la grieta interior, si se comprueban los valores de (ángulo

que forma la última etapa de crecimiento con la horizontal) y se observan las representaciones etapa a etapa de

la propagación de la grieta, se puede ver claramente que al cabo de 5 etapas de crecimiento la grieta propagada

ya ha tomado la dirección perpendicular a la carga. De hecho, en todos los casos en apenas 2 etapas de

crecimiento ya se alcanza dicha perpendicularidad.

Otro factor a tener en cuenta para las comprobaciones es la evolución de los valores de según va creciendo

la grieta. Conforme la grieta vaya adoptando la dirección perpendicular a las carga el valor de debe ir

creciendo. Efectivamente, si se observa la evolución de con las etapas de crecimiento en las distintas

tablas expuestas a lo largo de este apartado, se puede comprobar dicha tendencia creciente para todos los casos

de inclinación inicial de grieta .

El valor de , por el contrario, debe ir decreciendo conforme la grieta vaya adoptando una dirección

perpendicular a las carga. Efectivamente, si se observa la evolución de con las etapas de crecimiento

se puede comprobar dicha tendencia decreciente para todos los casos de inclinación inicial de grieta .

Tabla 3-27. Evolución de de la grieta inicial de borde frente a .


86

3.4 Placa ''infinita'' con grieta interior inclinada bajo carga biaxial

Para la geometría de la Figura 3-59 se ha simulado el crecimiento de la grieta para distintos inclinaciones, ,

y factores de carga longitudinal, . La idea es ver si la evolución de la grieta y los FIT es la esperada

teóricamente. Las condiciones de la simulación son:


infinita.



Figura 3-59. Geometría infinita, grieta interior inclinada y carga biaxial.

𝜽


(3-33)




Dado que las condiciones tanto de gometría como de cargas son los mismos en ambos bordes (geometría

infinita y cargas simétricas) lo que ocurra en el borde derecho y en el borde izquierdo ha de ser lo mismo. Por

ello, para simplificar, en algunas tablas y figuras solo se representará lo ocurrido en el borde derecho.

𝟎

𝜽𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

-14,203 2,248 -0,469 -0,138 -0,172 -0,149 -0,131

-21,892 1,988 -0,609 -0,312 -0,309 -0,267 -0,229

-27,605 0,080 -0,762 -0,587 -0,495 -0,419 -0,357

-31,231 -3,108 -1,181 -1,006 -0,778 -0,633 -0,524

-32,511 -7,107 -2,180 -1,652 -1,218 -0,956 -0,771

-30,683 -11,239 -4,306 -2,731 -1,947 -1,473 -1,168

-23,932 -13,730 -8,180 -5,050 -3,411 -2,488 -1,913

-9,644 -8,200 -8,666 -8,585 -7,606 -6,125 -4,721

Con la primera tanda de simulaciones, cuyos resultados se reflejan en la Tabla 3-28, se busca mostrar la

inclinación que tiene el último tramo de crecimiento, , tras la simulación de 7 etapas de crecimiento con un

factor longitudinal de carga . En este caso, teniendo en cuenta que , la dirección predominante

de la carga es la vertical. Luego cabe esperar que una vez que la grieta comience su crecimiento tienda a

adoptar la dirección perpendicular a la misma. Los resultados de la simulación muestran claramente que se

cumple la anterior predicción. Se puede observar tanto en la Figura 3-60 como la Tabla 3-28 que

independientemente del ángulo que tenga la grieta inicialmente, una vez que comienza a crecer su tendencia es

alcanzar la dirección perpendicular a la dirección de la carga predominante.

Otro hecho muy importante que resalta a la vista en la Figura 3-60, y que ya se puede ir anticipando, es la

rapidez con la que la grieta alcanza la dirección perpendicular a la dirección de la carga predominante. En las

primeras simulaciones, donde el factor de carga longitudinal era nulo, se pudo comprobar que

independientemente del ángulo inicial de la grieta ésta alcanzaba rápidamente la dirección horizontal. Pero ya

se está viendo que en el momento en el que se aplican cargas transversales, las grietas con ángulos acentuados

tardan más en alcanzar dicha dirección. Se puede apreciar claramente que mientras mayor es el ángulo inicial

de la grieta más tarda la grieta en hacerse horizontal.

Tabla 3-28. Evolución de tras 7 etapas de crecimiento en función de para .


88

Figura 3-60. Evolución de la grieta desde el borde derecho en función de con .


Para comprender mejor los resultados anteriores se va a representar la propagación de la grieta para los

distintos casos de simulados anteriormente en una misma gráfica,

Por otro lado, también se puede comprobar es que los valores de y obtenidos con el algoritmo

coinciden con los obtenidos analíticamente mediante las expresiones de y , ecuaciones (3-34) y

(3-35) respectivamente. Evidentemente esta coincidencia se cumple solo en el fondo de la grieta inicial, una

vez que ésta comienza a crecer no se tiene ninguna expresión analítica con la que se pueda predecir los FIT.

Teniendo en cuanta que la carga es biaxial ( , la expresión analítica que permite calcular los FIT en este

caso es:

(3-34)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

θo=15 θo=25

θo=35 θo=45

θo=55 θo=65

θo=75 θo=85

𝒚 𝟏𝟎 𝟏

𝒙 𝟏𝟎 𝟏

Figura 3-61. Trayectoria de la grieta interior bajo carga biaxial tras 7 etapas de crecimiento.


90

(3-35)

A continuación se comparan los valores de los FIT numéricos y teóricos correspondientes al fondo de la grieta

inicial para distintas orientaciones de la misma.

𝟎

𝜽𝟎

𝝅𝑳 𝟐 0,967 0,911 0,836 0,750 0,664 0,589 0,534 0,504

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,966 0,910 0,835 0,750 0,664 0,589 0,533 0,504

𝟎

𝜽𝟎

𝝅𝑳 𝟐 0,125 0,191 0,235 0,250 0,235 0,191 0,125 0,043

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐 0,124 0,190 0,233 0,248 0,233 0,190 0,124 0,043

Con la próxima tanda de simulaciones se busca mostrar el cómo se propaga la grieta y, en concreto, cómo

varía la inclinación que tiene el último tramo de crecimiento, , tras 7 etapas de crecimiento en función del

factor de carga longitudinal y para una inlinación de la grieta inicial, , dada.

Tabla 3-29. Comparación entre y para grieta interior bajo carga biaxial.

Tabla 3-30. Comparación entre y para grieta interior bajo carga biaxial.


𝜽𝟎 𝟐

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

0 -38,577 10,989 -1,135 1,414 0,219 0,371 0,216 -

0,2 -32,761 7,217 -0,673 0,604 0,098 0,123 0,007 -

0,4 -25,799 3,567 -0,545 -0,048 -0,158 -0,134 -0,125

0,6 -17,738 0,708 -0,717 -0,518 -0,452 -0,387 -0,334

0,8 -8,923 -0,603 -0,756 -0,633 -0,542 -0,476 -0,416

1 -0,002 0,003 -0,001 0,0008 -0,0003 0,0009 -0,0025

0,0

0,3

0,6

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2

α=0 α=0,2 α=0,4 α=0,6 α=0,8 α=1 Semigrieta


𝒙 𝟏𝟎 𝟏

𝒚 𝟏𝟎 𝟏

Figura 3-62. Evolución de la grieta en borde derecho para .


92



𝜽𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

0 -53,033 -0,971 2,906 0,870 0,902 0,627 0,482 -

0,2 -45,967 -1,947 1,265 0,204 0,277 0,167 0,139 -

0,4 -36,733 -2,867 -0,441 -0,590 -0,428 -0,357 -0,292

0,6 -25,208 -3,073 -1,686 -1,338 -1,072 -0,881 -0,740

0,8 -12,313 -1,951 -1,512 -1,259 -1,077 -0,939 -0,825

1 -0,0027 -0,0005 0,0027 -0,0004 -0,0002 -0,0001 -0,0009

0,0

0,3

0,6

0,9

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2



𝒚 𝟏𝟎 𝟏

𝒙 𝟏𝟎 𝟏



94



𝜽𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

0 -61,884 -16,237 5,994 -0,618 1,142 0,644 0,654 -

0,2 -51,244 -16,212 1,864 -0,891 0,017 -0,026 0,045 -

0,4 -37,950 -13,714 -2,859 -1,928 -1,276 -0,935 -0,717

0,6 -23,420 -8,240 -4,468 -3,176 -2,428 -1,930 -1,576

0,8 -10,244 -2,789 -2,069 -1,773 -1,551 -1,385 -1,245

1 -0,0013 0,0015 0,0005 -0,0015 0,0015 -0,0009 0,0009

𝜽𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

0 -68,875 -31,413 10,349 -3,447 1,246 -0,022 0,420 -

0,2 -31,465 -36,983 -14,078 -0,298 -1,630 -0,691 -0,544 -

0,4 -14,133 -15,350 -15,840 -11,843 -6,762 -3,948 -2,672

0,6 -6,504 -4,186 -4,062 -4,117 -4,118 -4,003 -3,801

0,8 -2,462 -0,871 -0,711 -0,654 -0,616 -0,582 -0,554

1 0,0001 -0,0012 0,0001 0,0010 0,0005 -0,0003 0,0000




96

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

0,0 0,5 1,0


𝒙 𝟏𝟎 𝟏

𝒚 𝟏𝟎 𝟏



98

0,0

0,4

0,8

1,2

0,0 0,4 0,8

α=0

α=0,2

α=0,4

α=0,6

α=0,8

α=1

Semigrieta


𝒚 𝟏𝟎 𝟏

𝒙 𝟏𝟎 𝟏


100

De las tablas y gráficas anteriores se pueden sacar tres conclusiones muy claras.

La primera es que para un ángulo inicial dado , cuanto mayor es el factor de carga longitudinal menor es

la rapidez con la que la grieta tiende a adoptar la dirección perpendicular a la dirección de la carga

predominante. En este caso la dirección de carga predominante es la vertical por lo que las grietas deben tender

a ser horizontales. Observando los valores de en las tablas anteriores se comprueba fácilmente que para un

dado el ángulo del último tramo de crecimiento esta tanto más lejos del cero cuanto mayor es el factor de

carga longitudinal.

La segunda conclusión es que para un factor de carga longitudinal dado cuanto mayor es el ángulo de la

grieta inicial, , menor es la rapidez con la que la grieta tiende a adoptar la dirección perpendicular a la

dirección de la carga predominante. De nuevo, observando los valores de en las tablas anteriores se

comprueba fácilmente que para un dado es tanto mayor cuanto mayor es el ángulo inicial de la grieta.

Este comportamiento también es notable en las diferentes figuras que muestran la evolución de la grieta desde

el borde derecho.

Otro hecho muy llamativo es la dirección en la que se propagan las grietas cuando el factor de carga

longitudinal es . Se puede comprobar, tanto en las tablas como a través de las figuras de la evolución de

la grieta, que cuando el valor de la carga longitudinal es la misma que el valor de la carga transversal,

independientemente de la inclinación que tenga la grieta inicialmente la propagación de la misma sigue la

dirección inicial sin apenas distorsión. Para explicar el porqué de este fenómeno se va a proceder de dos

formas diferentes, aunque estrechamente relacionadas.

La primera forma es un tanto matemática y se basa en la transformación (giro) de los ejes en los que se analiza

el problema.

La primera configuración de la Figura 3-70 se corresponde con el problema que se está tratando en este

apartado, Figura 3-59. Pero predecir la dirección del crecimiento de la grieta en esta configuración a priori no

es trivial ni intuitivo. Para analizar el problema del crecimiento desde una perspectiva más familiar e intuitiva,

como lo es la configuración de la derecha de la Figura 3-70, se va a realizar una transformación de giro de

ángulo al tensor de tensiones de la primera configuración.

El tensor de tensiones de la configuración de la izquierda es:

(3-36)

Al aplicarle la transformación de giro correspondiente al tensor (3-36), se obtiene una configuración como la

que se muestra en el lado derecho de la Figura 3-70 y cuyo tensor de tensiones es:

𝜽

Figura 3-70. Aplicación de transformación de giro a la configuración de la Figura 3-59 con .


(3-37)

En esta nueva configuración, teniendo en cuenta el nuevo tensor de tensiones, la dirección del crecimiento si es

obvia, la grieta se propagará en la dirección perpendicular a la carga vertical, que, tal y como se pretendía

demostrar, coincide con la dirección que tiene la grieta inicialmente. Cuando el valor de la carga longitudinal

es la misma que el valor de la carga transversal este hecho se cumple sea cual sea la dirección inicial de la

grieta, ya que la transformación anterior arroja el mismo resultado para cualquier ángulo del giro, o sea, para

cualquier ángulo de la grieta inicial.

La segunda forma de explicar el hecho anterior es pensando en el criterio que se sigue para predecir la

dirección del crecimiento de la grieta. El criterio de Erdogan y Sih [1] tal y como se explicó en el Tema 2,

establece que la grieta crece en aquella dirección en la que la tensión circunferencial es máxima o, lo que es lo

mismo, en la dirección en la que la tensión tangencial es nula. Pues bien, buscar la dirección en la que la

tensión tangencial en un punto es nula es lo mismo que buscar las direcciones principales asociados a dicho

punto. Pero si se fija en el tensor de tensiones de la primera configuración se puede ver claramente que no hay

ningún término de tensión tangencial, por lo que los ejes en los que se analiza el problema inicialmente ya son

direcciones principales. Más aun, incluso después del giro se obtiene un tensor sin términos de tensión

tangencial por lo que los nuevos ejes también son principales. Se concluye pues que cuando el valor de la

carga longitudinal y transversal son el mismo, todas las direcciones, incluyendo la dirección que tiene

inicialmente, son principales, en cuyo caso la grieta tenderá a crecer en la dirección que tenía inicialmente.


102

3.5 Placa ''infinita'' con grieta interior horizontal bajo carga tangencial

En este apartado, la idea es simular la configuración de la Figura 3-71 y, posteriormente, comprobar si la

evolución de la grieta y los FIT es la esperada teóricamente. Las condiciones de la simulación son:

La configuración de la Figura 3-71 se corresponde exactamente con la configuración de la Figura 3-6

explicado en el Apartado 3.1, por lo que las ecuaciones que permiten calcular los FIT en los bordes de la

grieta inicial son las mismas en ambos casos. Recordando las ecuaciones (3-24) y (3-25) y teniendo en cuenta

que las dimensiones de la placa frente a la longitud de la grieta permiten afirmar que se trata de una geometría

infinita, se tiene para los FIT que:

(3-38)

(3-39)

Figura 3-71. Geometría infinita, grieta interior recta y carga tangencial pura.


Por otro lado, teniendo en cuenta el criterio de Erdogan y Sih [1] se puede calcular analíticamente la dirección

que tomará la grieta en su primera etapa de crecimiento. Teniendo en cuenta, por un lado, los valores de los

FIT calculados en (3-38) y (3-39) y, por otro lado, la expresión (2-12), la ecuación característica que permite

hallar la dirección de la primera etapa de crecimiento queda como:

(3-40)

Despejando se tiene que la dirección en la que se propaga la grieta en su primera etapa de crecimiento forma

un angulo de con la dirección de la grieta inicial (recuérdese la Figura 2-2). Teniendo en

mente este valor, se procede a la exposición de los resultados obtenidos de la simulación, donde los valores de

los FITs numéricos están adimensionalizados con el valor de .

𝜽𝟎 𝟎 𝜽 [ ]

Borde izquierdo 𝜽 [ ]

Borde derecho

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐

𝒏𝒖

𝝅𝑳 𝟐

tramo 1 -70,528 -70,529 0 1

tramo 2 0,432 0,459 1,222 -0,0048

tramo 3 9,350 9,312 1,227 -0,1012

tramo 4 2,564 2,557 1,274 -0,0284

tramo 5 3,346 3,362 1,321 -0,0387

tramo 6 1,700 1,713 1,376 -0,0205

tramo 7 1,545 1,561 1,433 -0,0194

tramo 8 1,001 0,974 1,491 -0,0126

tramo 9 0,837 0,855 1,549 -0,0114

tramo 10 0,621 0,615 1,606 -0,0086

tramo 11 0,537 0,499 1,662 -0,0071

tramo 12 0,389 0,421 1,718 -0,0063

tramo 13 0,348 0,347 1,772 -0,0053

tramo 14 0,271 0,288 1,825 -0,0045

tramo 15 0,261 0,227 1,877 -0,0036

tramo 16 0,189 0,221 1,927 -0,0036

𝜽𝒇 [ ] -47,137 -47,118

Tabla 3-35. Evolución de en ambos bordes de la grieta. FITs en borde derecho.


104

Tal y como se puede comprobar en la Tabla 3-35, la dirección de la primera etapa de crecimiento obtenida con

el algoritmo coincide con el estimado teóricamente. Por simplicidad, en dicha tabla solo se han presentado los

valores de los FIT correspondientes al lado derecho de la grieta. Los valores del los FIT del lado izquierdo son

prácticamente los mismos que los del lado derecho, siendo los valores de también casi idénticos. Una

buena prueba de esta igualdad de comportamiento a ambos lados de la grieta es la imágen que se muestra a

continuación. En la Figura 3-72 se muestra la trayectoria del crecimiento de la grieta a ambos lados del mismo

tras 14 etapas.

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

𝒚 𝟏𝟎 𝟏

𝒙 𝟏𝟎 𝟏

Figura 3-72. Trayectoria de grieta interior bajo carga tangencial tras 14 etapas de crecimiento.


Figura 3-73. Trayectoria de grieta en borde derecho tras 14 etapas de crecimiento .

Figura 3-74. Trayectoria de grieta en borde izquierdo tras 14 etapas de crecimiento .




106

Otro hecho muy llamativo que se puede comprobar tanto gráficamente, con la Figura 3-72, como

numéricamente, con la Tabla 3-35, es que la grieta en su propagación busca la dirección que forma con la

horizontal. Teniendo en cuenta la configuración inicial del problema, Figura 3-71, no es trivial ni intuitiva

explicar el porqué de la tendencia del crecimiento de la grieta en esa dirección. Para analizar el problema desde

una perspectiva más familiar se va a realizar una transformación de giro del tensor de tensiones de ángulo

.

El tensor de tensiones de la configuración de la derecha de la Figura 3-75 es:

(3-41)

Al aplicarle la transformación de giro correspondiente al tensor (3-41), se obtiene una configuración como la

que se muestra en el lado derecho de la Figura 3-75 y cuyo tensor de tensiones es:

(3-42)

Teniendo en cuenta que el tensor de tensiones de la expresión (3-42) queda como:

(3-43)

A la vista de esta nueva configuración, la dirección del crecimiento si es obvia, la grieta se propagará buscando

la dirección perpendicular a la carga vertical, es decir, la trayectoria de la propagación tenderá a formar con respecto a la dirección inicial de la grieta, que es lo que se pretendía demostrar.

Figura 3-75. Aplicación de transformación de giro a la configuración de la Figura 3-71.


El hecho de tomar para la transformación un ángulo de giro no es casualidad. Se ha escogido dicho

ángulo porque los ejes principales correspondientes al tensor de tensiones de la configuración inicial, Figura 3-

71, están situados a respecto a la horizontal y, tal y como se explico al final del Apartado 3.4, la grieta

en su crecimiento tiende hacía las direcciones principales.

En efecto, resolviendo el problema de autovalores y autovectores correspondientes al tensor de tensiones de la

configuración inicial se tiene la siguiente ecuación característica:

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (3-44)

De la cual se obtienen los siguientes autovalores:

(3-45)

El tensor de tensiones en ejes principales es:

𝒑

(3-46)

El autovector asociado al autovalor es:

(3-47)

(3-48)

El autovector asociado al autovalor es:

(3-49)

(3-50)


108

3.6 Aplicación del algoritmo al problema de fatiga por fretting

Para finalizar con las comprobaciones de la bondad del algoritmo, se va a proceder a la aplicación del mismo a

un espécimen sometido a fatiga por fretting. Se trata de unas condiciones algo más complejas que las

configuraciones estudiadas anteriormente y el objetivo es comprobar la respuesta del algoritmo a dicha

situación. En la Figura 3-76 se presenta lo que sería el problema de fatiga por fretting.

La distribución de tensiones en la zona de contacto del punzón con el espécimen es como se muestra en la

Figura 3-77.

Figura 3-76. Problema de fatiga por fretting.

Figura 3-77. Distribución de tensiones en la zona de contacto.


La tensión normal en la zona de contacto viene dada por la siguiente expresión:

(3-51)

Donde es elsemi-ancho de la zona de contacto y la máxima presión de contacto. Para el caso de

deformación plana ambos parámetros se obtienen mediante las siguientes expresiones:

(3-52)

(3-53)

Donde las diferentes variables que intervienen son:

A su vez, la tensión tangencial en la zona de contacto viene dada por las siguientes expresiones:

(3-54)

(3-55)

Debido a la aplicación simultánea de la carga tangencial y de la tensión remota se produce una zona

de excentricidad en la zona de contacto. Las expresiones que permiten hallar la excentricidad y el parámetro

son:

(3-56)

(3-57)

Durante las próximas simulaciones se compararán en una misma tabla los valores de los FITs del mismo

espécimen con y sin la presencia del fenómeno de fretting. Para ello se utilizará la siguiente nomenclatura:


110

3.6.1 Simulación de fatiga por fretting para distintos valores

Para la primera simulación se aplica el algoritmo a un espécimen con una longitud de y una sección

rectangular de de alto y de ancho. Dicho espécimen tiene una grieta de borde de longitud e

inclinación en uno de los extremos de la zona de contacto, tal y como se representa en la Figura 3-76. En

este modelo 2D los de ancho de la sección representarían la profundidad del espécimen. Este es un

hecho muy importante a tener en cuenta a la hora de calcular correctamente las tensiones en la superficie de

contacto.Se repetirá el análisis para distintos valores de tensión remota , y

.

Los valores de las propiedades mecánicas del espécimen, de las cargas externas y el rodillo son:

Los valores de los FITs, tanto con cómo sin presencia de fretting, que se expondrán en las tablas, están todos

adimensionalizados con el valor teórico del FIT en modo I puro, , con una tensión remota de .

(3-58)

A continuación se muestran los resultados de la simulación tanto de forma numérica como gráfica.

𝜽𝟎

𝟎 𝑷 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5 etapa 6 etapa 7

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 3,477 5,245 5,663 6,013 6,328 6,619 6,874

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,621 0,948 1,051 1,143 1,227 1,306 1,382

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -1,9040 -0,1991 0,0621 0,0080 0,0100 0,0331 -0,0028

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,3258 -0,0394 0,0088 0,0004 0,0001 0,0000 -0,0004

Tabla 3-36. Evolución de los FITs con .


𝜽𝟎

𝟎 𝑷

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,108 4,343 -1,256 -0,154 -0,182 -0,578 0,048 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

Tabla 3-37. Evolución de con .

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟎

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

Figura 3-78. Trayectoria de la grieta tras 7 etapas de crecimiento con .

𝒇

𝑷


112

𝜽𝟎

𝟎 𝑷

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,139 4,285 -1,234 -0,146 -0,181 -0,489 0,028 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -

𝜽𝟎


𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 3,867 5,854 6,344 6,750 7,125 7,459 7,766

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,936 1,426 1,577 1,712 1,840 1,959 2,071

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -2,1202 -0,2194 0,0681 0,0084 0,0112 0,0319 -0,0020

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,4890 -0,0593 0,0131 0,0008 0,0001 0,0000 -0,0004




-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟎

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐


𝒇

𝑷


114

𝜽𝟎


𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 4,237 6,448 7,001 7,475 7,905 8,295 8,646

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 1,246 1,900 2,103 2,286 2,453 2,612 2,764

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -2,3389 -0,2381 0,0765 0,0159 0,0108 0,0342 -0,0024

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,6519 -0,0793 0,0175 0,0012 0,0002 0,0000 -0,0008

𝜽𝟎

𝟎 𝑷

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,277 4,219 -1,251 -0,247 -0,155 -0,475 0,031 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -




3.6.2 Simulación de fatiga por fretting para distintos valores




este modelo 2D los de ancho de la sección representarían la profundidad del espécimen. Se repetirá el

análisis para distintos valores de carga tangencial de contacto , y .

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟎


𝒇

𝑷


116


Los valores de los FITs, tanto con cómo sin presencia de fretting, que se expondrán en las tablas, están todos

adimensionalizados con el valor teórico del FIT en modo I puro, , con una tensión remota de .

(3-59)

A continuación se muestran los resultados de la simulación tanto de forma numérica como gráfica.

𝜽𝟎

𝟎 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5 etapa 6 etapa 7

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 2,119 3,224 3,501 3,738 3,953 4,148 4,323

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,623 0,950 1,051 1,143 1,227 1,306 1,382

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -1,1694 -0,1191 0,0382 0,0080 0,0054 0,0171 -0,0012

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,3260 -0,0396 0,0088 0,0006 0,0001 0,0000 -0,0004

Para esta simulación, concretamente para el caso de , se expondrá paso a paso las 7 etapas de

crecimiento de la grieta con imágenes extraidas de ANSYS donde se incluye la mallado en torno a la grieta y,

especialmente, en torno al borde de la grieta.



𝜽𝟎

𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,277 4,219 -1,251 -0,247 -0,155 -0,475 0,031 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0


N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟎


𝒇

𝑷


118

Figura 3-82. Simulación de Estado-0 para calcular la primera etapa.


Figura 3-83. Simulación de Estado-1 para calcular la segunda etapa.


120

Figura 3-84. Simulación de Estado-2 para calcular la tercera etapa.


Figura 3-85. Simulación de Estado-3 para calcular la cuarta etapa.


122

Figura 3-86. Simulación de Estado-4 para calcular la quinta etapa.


Figura 3-87. Simulación de Estado-5 para calcular la sexta etapa.


124

Figura 3-88. Simulación de Estado-6 para calcular la septima etapa.


Figura 3-89. Simulación de Estado-7 para calcular la octava etapa.


126

𝜽𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5 etapa 6 etapa 7

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 2,254 3,427 3,726 3,982 4,215 4,428 4,620

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,623 0,950 1,051 1,143 1,227 1,306 1,382

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -1,2385 -0,1266 0,0402 0,0086 0,0056 0,0175 -0,0008

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,3260 -0,0396 0,0088 0,0006 0,0001 0,0000 -0,0004

𝜽𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,193 4,223 -1,241 -0,246 -0,156 -0,455 0,022 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -




-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎


𝒇

𝑷


128

𝜽𝟎

𝟏 𝟎 etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4 etapa 5 etapa 6 etapa 7

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 2,378 3,606 3,925 4,195 4,444 4,669 4,876

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 0,623 0,950 1,051 1,143 1,227 1,306 1,382

𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -1,2963 -0,1346 0,0416 0,0082 0,0058 0,0171 -0,0006

𝒔𝒇

𝟏 𝟏𝟐 𝝅𝑳 -0,3260 -0,0396 0,0088 0,0006 0,0001 0,0000 -0,0004

𝜽𝟎

𝟏 𝟎

𝜽 [ ] etapa 1

𝜽 [ ] etapa 2

𝜽 [ ] etapa 3

𝜽 [ ] etapa 4

𝜽 [ ] etapa 5

𝜽 [ ] etapa 6

𝜽 [ ] etapa 7

𝜽𝒇

Con fretting 42,031 4,262 -1,216 -0,226 -0,153 -0,421 0,016 -

Sin fretting 41,136 4,757 -0,953 -0,064 -0,009 0,003 0,037 -




3.6.3 Simulación de fatiga por fretting para distintos valores 𝜽




este modelo 2D los de ancho de la sección representarían la profundidad del espécimen. Se repetirá el

análisis para distintos valores de tensión remota , y .

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟏 𝟎


𝒇

𝑷


130


-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

N

Q

𝒙 𝟏𝟎 𝟐

𝒚 𝟏𝟎 𝟐

𝟎 𝑷

𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎

Figura 3-92. Trayectoria de la grieta tras 7 etapas de crecimiento para distintos .


En primer lugar y como era de esperar, se puede comprobar en todas las simulaciones de este capítulo que la

grieta en su propagación tiende hacia la dirección perpendicular a la tensión remota. Independientemente de la

magnitud de las cargas que actúan en la superficie de contacto, independientemente de la magnitud de la

tensión remota e independientemente de la inclinación que tenga la grieta inicialmente, ésta tiende en su

propagación hacia la dirección esperada.

Se sabe de la experiencia que la vida de las piezas sometidas a fretting-fatiga es menor que la vida de las

mismas sometidas solo a fatiga. Este hecho se puede verificar fácilmente observando las diferentes tablas en

las que se muestra la evolución de los FIT y se comparan los valores de los mismos con y sin la presencia del

fenómeno de fretting. Se puede observar en dichas tablas que los factores de intensificación de tensión son

considerablemente mayores en presencia del fenómeno de fretting. Dicha diferencia es tanto mayor cuanto

mayor sea el valor de . Este comportamiento tiene todo el sentido del mundo ya que la carga tangencial

contribuye a abrir la grieta.

Por otro lado, con las tablas donde se muestra la evolución de y el valor de se puede comprobar que la

trayectoria de al grieta durante su propagación apenas se ve afectada por la variación de y de . La grieta

tiende hacía la direccíon perpendicular a la carga remota prácticamente de la misma forma en todos los casos.


132

133

ANEXO A

! Tutoral correspondiente a placa infinita con grieta interior bajo carga biaxial con y

! Las próximas 2 líneas de código sirven para eliminar cualquier resto de trabajos anteriores

! que se hayan llevado a cabo en ANSYS. Se garantiza así que no hay ningun input ni output

! residual antes de ejecutar este algoritmo.

FINISH

/CLEAR

! Se especifica que se va a trabajar con angulos expresados en grados en vez de radianes.

! Para mayor información véase las siguiente referencia:

! ( // Command Reference // II. A Commands // *AFUN ).

*AFUN,DEG

!====================INICIO de la definicón de parámetros

! Dado que se está diseñando un algoritmo basado en diseño paramétrico es muy recoemndable

! tomar un tiempo en familiarizarse con la filosofía del uso de parámetros en APDL. Para ello

! véase el sieguiente enlace:

! ( // ANSYS Parametric Design Language Guide // 3. Using Parameters ).

! Véase el Diagrama 2-1 para mayor información sobre los parámetros de control directo.

! Se introduce la longitud de la grieta (en metros).

L=1E-4

! Se introduce el angulo que forma la línea media de la grieta con el eje X del sistema de

! referencia global de ANSYS (en grados).

theta=25

! Se introduce la posición del borde izquierdo de la grieta respecto al sistema de referencia

! global de ANSYS. No tiene por qué ser un valor numérico directo, se puede especificar

! su valor en función de alguno de los parámteros definidos anteriormente o mediante

! expresiones matemáticas.

Anexo A

134

!coordenada x del extremo izquierdo de la grieta

xi=0.05-L/2*cos(theta)

!coordenada y del extremo derecho de la grieta

yi=0.05+L/2*sin(theta)

! Se introduce el número de etapas de crecimiento que se desea simular. Es importante

! recordar que la simulación de la primera etapa comienza con ngrow=0.

ngrow=2

! Se introduce el espesor máximo de la grieta inicial (en metros). No tiene por qué ser un

! valor numérico directo, se puede especificar su valor en función de alguno de los

! parámteros definidos anteriormente.

h=L/100

! Se introduce el espesor (en metros) de los tramos de crecimiento. No tiene por qué ser

! un valor numérico directo, se puede especificar su valor en función de alguno de los


esp=h/2

! Se introduce la longitud (en metros) de los tramos de crecimiento. No tiene por qué ser

! un valor numérico directo, se puede especificar su valor en función de alguno de los


dl=L/10

! Se definen algunos parámetros relacionados con las magnitudes de las cargas (en MPa).

P=200

Q=80

! Se definen las identificaciones de algunos sistemas de referencia claves para los

! cálculos intermedios. ANSYS establece que la identificación de sistemas de referecia

! auxiliares definidos por el usuario ha de empezar a partir del número 11. El algoritmo

! reserva la numeración comprendidda entre 11 y 15 (ambos inclusive) para los cálculos

! intermedios, por lo que los sistemas de referencia utilizados para definir la geometría

! base han de identificarse con números iguales o mayores que 10.

SR1=11

SR2=12

SR3=13

SR4=14

SR5=15

! Se define el número identificativo del keypoint de partida para posicionar la grieta.

! El algoritmo, por defecto, reserva los números del 1 al 99 (ambos inclusive) para los

! keyponts de la geometría base. Los números identificativos que están involucrados

! en el posicionamiento de la grieta (para todos los estados) son mayores que 99.


nkpoint=100

! Se definen algunos parámetros que hacen de contador en algunas operaciones intermedias.

! El contador estado es también la que mide el estado en el que se encuentra la grieta.

! Recuerdese que el Estado-0 corresponde con la grieta inicial, el Estado-1 corresponde a la

! grieta tras 1 etapa de crecimiento...

estado=1

NUMERO=1

!=====================FIN de la definicón de parámetros

!=====================INICIO de la simulación del Estado-0

! Se accede al al módulo de preprocesador de ANSYS para definir la geometría base,

! la grieta inicial y el mallado. Es importante especificar a ANSYS el módulo en el que se

! desea trabajar ya que la funcionalidad de muchos comandos está limitada a determinados

! módulos. Por ejemplo, todos los comandos relativos a la definición de geometría (keypoints,

! lineas, áreas...) sólo funcionan en el módulo de preprocesador. Si se intenta utilizar éstos

! comandos en los módulos de solver o postprocesador ANSYS no los reconocerá.

/PREP7

SMRT,OFF

! Se defienen los tipos de elemento que se utilizarán en el mallado de la placa. Para la

! definición de los tipos de elemento que se quiere utilizar en el mallado véase las

! siguientes referncias:

! ( // Element Reference // 2. Element Classifications // 2.2. Summary of Element Types ) y

! ( // Command Reference // VI. E Commands // ET ).

! Se define el elemento tipo 1. Se trata del elemento 2D llamado PLANE183 que, en este caso,

! adopta la forma de un cuadrilátero de 8 nodos con 2 grados de libertad cada una y un

! comportamiento de deformación plana.

ET,1,PLANE183,,,2

! Se definen las propiedades del material. Para la definición de propiedades de material

! véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // XIV. M Commands // MP ).

!Módulo de Young

MP,EX,1,21E10

!Coeficiente de Piosson

MP,NUXY,1,0.3

Anexo A

136

!===========================INICIO de la definición de la geometría base

! En el ejemplo que se trata aquí la geometría base es una placa cuadrada, pero, en general,

! la geometría base que se debe de introducir dependerá del problema que el usuario esté

! simulando, hay un apmplio abanico de posibilidades al respecto. Lo que es un hecho es que

! duarante la definición de cualquier geometría se necesitará definir una serie de keypoints

! y líneas por lo que es muy recomendable dedicar un tiempo en familiarizarse con su lógica

! de funcionamiento. Para la definición de los keypoint véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // XII. K Commands // K ).

! Para la definición de los líneas véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // XIII. L Commands // L ).

! Se definen los keypoint que permiten situar la geometría base. En el ejemplo que se trata aquí

! se trata de los 4 vértices de la placa cuadrada.

K,1,0,0

K,2,0.1,0

K,3,0.1,0.1

K,4,0,0.1

! Se definen las líneas de la geometría base y se especifica las divisiones de las mismas para

! el mallado posterior. En el ejemplo que se trata aquí se definen las 4 líneas que delimitan la

! placa cuadrada y cada una de ellas se divide en 10 partes de igual longitud. Para la definición

! de líneas y su división véase las siguiente referencia:

! ( // Command Reference // XIII. L Commands // LESIZE ).

L,1,2

LESIZE,1,,,10

L,2,3

LESIZE,2,,,10

L,3,4

LESIZE,3,,,10

L,4,1

LESIZE,4,,,10

!===========================FIN de la definición de la geometría base


! Se halla el número total de líneas que se han definido en la geometría base.

! Para substraer datos, ya sea de inputs u outputs, véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // VIII. G Commands // *GET ).

! El comando *GET se utilizará con bastante frecuencia a lo largo del algoritmo por lo que es

! muy recomendable familiarizarse con su lógica de funcionamiento y sus capacidades.

*GET,nline,LINE,0,NUM,MAXD

! Se define un sistema de referencia auxiliar identificado con el número asociado al parámetro

! SR1, con origen en el extremo izquierdo de la grieta y con la misma inclinación que ésta.

! Este sistema de referencia servirá para situar la grieta inicial y para otros cálculos intermedios.

! Para mayor información sobre los sistemas de referencia definidios por el usuario véase las

! siguiente referencia:

! ( // Command Reference // IV. C Commands // CLOCAL ).

! Nótese que tras definir un sistema de rferencia cualquiera ésta automáticamente pasa a ser

! el sistema de referencia activo por lo que todo el trabajo posterior estará referido a éste último.

! Para mayor información sobre la activación de un sistema de referencia (alguno definido

! con anterioridad por el susario o el propio sistema de referencia global de ANSYS) véase la


! ( // Command Reference // IV. C Commands // CSYS ).

CLOCAL,SR1,0,xi,yi,0,theta

! Se hace una copia de todo lo definido hasta ahora, es decir, de la geometría base y de todos

! los parámetros. Dicha copia se denomina ''migeom'' y será la que se cargue cada vez que

! cominece una nueva iteración/simulación. Es muy importante saber que cuando se carga

! una copia, el sistema de referencia que está activado no es el que se definió por última vez,

! sino que es el sistema de referencia global de ANSYS la que está activada por defecto.

! Para mayor información sobre como hacer copia de geometrías véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // IV. C Commands // CDWRITE ).

CDWRITE,ALL,migeom

!=====================INICIO del posicionameineto de la grieta inical

! Se definen los keypoint que permiten situar la grieta inicial.

! Se define el borde izquierdo.

k,nkpoint,0,0

! Se define el borde derecho.

k,nkpoint+2,L,0

! Se define el vértice inferior.

k,nkpoint+1,L/2,-L/100

! Se define el vértice superior.

k,nkpoint+3,L/2,L/100

Anexo A

138

!Se definen las líneas que delimitan la grieta y se especifica las divisiones de las mismas para

! el mallado posterior. En el ejemplo que se trata aquí se definen las 4 líneas que delimitan la

! grieta y cada una de ellas se divide en 8 partes de igual longitud. Esta vez la división de las

! líneas se ha llevado a cabo con un comando distinto al anterior. Para mayor información

! véase la siguiente referencia:

! ( // Command Reference // VI. E Commands // ESIZE ).

L,nkpoint,nkpoint+1

ESIZE,,8

L,nkpoint+1,nkpoint+2

ESIZE,,8

L,nkpoint+2,nkpoint+3

ESIZE,,8

L,nkpoint+3,nkpoint

ESIZE,,8

!===================FIN del posicionameineto de la grieta inical

! Se define el área con todas las lineas definidas anteriormente. Para la definición de áreas

! véase la siguiente referencia ( // Command Reference // II. A Commands // AL ).

AL,ALL,2

! Se malla el área defina en el paso anterior con elementos de tipo 1. Para el mallado del área

! véase la siguiente referencia ( // Command Reference // II. A Commands // AMESH ).

AMESH,1

! Se hace un refinado de la malla en torno a los puntos que representan los bordes de la

! grieta inicial y las líneas que concurren en las mismas. Para mayor información sobre el

! refinamiento de mallas utilizadas aquí véase las siguientes referencias:

! ( // Command Reference // XII. K Commands // KREFINE ) y

! ( // Command Reference // XIII. L Commands // LREFINE ).

KREFINE,nkpoint,nkpoint,0,2,5,,on

KREFINE,nkpoint+2,nkpoint+2,0,2,5,,on

LREFINE,nline+1,nline+4,1,2,5,,on

! Se muestra gráficamente en la pantalla principal de ANSYS cómo queda la geometría definida

! y mallada y se sale del módulo de preprocesador de ANSYS.

OUTPR,ALL

FINISH


! Se accede al al módulo de solver de ANSYS para hallar los FIT en cada borde de la grieta

! y así poder calcular la dirección en la que se propagará la grieta en su primera etapa de

! crecimiento.

/SOLU

! Se activa el sistema de referencia global de ANSYS. Para mayor información sobre la

! activación de sistemas de referencia definidios previamente por el usuario véase las


! ( // Command Reference // IV. C Commands // CSYS ).

CSYS,0

! Se aplican las condiciones de contorno pertinentes al problema. En el ejemplo que se trata

! aquí se aplican condiciones de contorno de simetría en el lado derecho y la base de la placa.

! Para mayor información sobre la aplicación de condiciones de contorno sobre puntos o líneas

! véase las siguientes referencias:

! ( // Command Reference // V. D Commands // DK ),

! ( // Command Reference // V. D Commands // DL ).

DL,1,1,SYMM

DL,2,1,SYMM

!===================FIN de la aplicación de las condiciones de contorno

!===================INICIO de la aplicación de las cargas

! En el ejemplo que se trata qauí se aplica una tracción de valor P en todo el borde supeior de la placa

! y otra tracción de valor Q en todo el lado izquierdo de la placa. Véase la Figura xxx

SFL,3,PRES,-P

SFL,4,PRES,-Q

!===================FIN de la aplicación de las cargas

!===================INICIO del cálculo de los FIT

! Se procede al cálculo de los FIT del borde derecho e izquierdo de la grieta. Para ello se

! usa el comando CINT de ANSYS. Dada la importancia de este comando para la Mecánica

! de Fractura es muy recomendable dedicar un tiempo en familiarizarse con su lógica de

! funcionamiento, sus capacidades y su ámbito de aplicacíon y alcance. Para ello véase

! el siguiente enlace:

! ( // Command Reference // IV. C Commands // CINT ).

Anexo A

140

! ===============Cálculo de los FIT del borde derecho de la grieta.

! Se activa el sistema de referencia identificado como SR1=11 (definido anteriormente).

CSYS,SR1

! Se define un nuevo sistema de referencia identificado con el número asociado al

! parámetro SR2, centrado en el borde derecho de la grieta, con la misma inclinación que

! ésta y con el sentido positivo del eje X saliendo de la grieta.

! Notese que para la grieta inicial la línea media de la misma es una línea recta por lo que el

! conjunto de la grieta tiene la misma inclinación y esa será la dirección que lleve el sistema

! de refrencia SR2. Pero una vez que la grieta se propague la línea media de la misma no sera una

! línea recta, sino una curva compuesta por rectas de diferentes ángulos. En este caso, el sistema

! de referencia SR2 estará centrado en el borde del del último tramo de crecimiento y tendrá la

! misma inclinación que la línea media de ésta.

CLOCAL,SR2,0,L,0,0

! Se seleccionan aquellos nodos que estén situados sobre el eje X.

NSEL,S,LOC,Y,0

! Se reseleccionan de la selección anterior aquellos nodos que están situados sobre el eje Y.

! Obviamente el resultado de la reselección ha de ser un único nodo que coincide con el origen

! del sistema de referencia activo en este momento o, lo que es lo mismo, el nodo que

! representa al borde derecho de la grieta.

NSEL,R,LOC,X,0

! Al nodo resultante se le identifica con el nombre ''CRACKTIP_dcha''.

CM,CRACKTIP_dcha,NODE

! Se especifica el comienzo de un nuevo proyecto con el comando CINT. A dicho proyecto se le

! identifica con el número ''1''.

CINT,NEW,1

! Se especifica que el proyecto con el comando CINT es para el cálculo de los FIT.

CINT,TYPE,SIFS

! Se especifica la identificación del nodo que representa al borde derecho de la grieta.

CINT,CTNC,CRACKTIP_dcha

! Se especifica el número de contornos que el comnado CINT ha de tomar para los cálculos de la

! integral Jota. El comando repetirá los cálculos tantas veces como números de contornos se le

! especifique para el cálculo de las integrales. En este caso particular se le está especificando

! que tome 11 contornos diferentes para los cálculos. La idea es que los resultados obtenidos

! con los 11 contornos diferentes sean los mismos. Recurdese de la teoría (explicado también

! en la memoria del proyecto) que, para cualquier curava cerrada que encierre el borde de la

!grieta, la integral Jota debe tomar el mismo valor. Pero, teniendo en cuenta que se está


! trabajando en un medio discreto y no contínuo, en primera instancia estos valores pueden

! no ser iguales para los calculos realizados con los primeros contornos. Por ello es altamente

! recomendable proporcionar un valor de NCON mayor que 4 (en torno a 8 debe ser suficiente).

CINT,NCON,11

! Con estas dos líneas de comandos se muestrean los valores de los FIT que se han obtenido

! para cada uno de los contornos que se ha tomado para los cálculos de la integral Jota. De

! esta forma, se puede comprobar si los valores de los FIT tienden a un valor determinado.

! Estas dos líneas estan comentadas por defecto. Si el susario lo desea puede activarlas en

! cualquer momento borrando los signos de exclamación.

! PRCINT,1,,K1

! PRCINT,1,,K2

! Se especifica la normal a la línea media de la grieta. La especificación de dicha normal se lleva

! a cabo con la ayuda del sistema de referencia centrado en el borde de la grieta y con el eje X

! positivo orientado hacia fuera de la grieta (SR2). En estas condiciones la normal a la línea media de

! grieta es el eje Y de este sistema de referencia auxiliar SR2.

! Notese que para la grieta inicial la línea media de la grieta es una línea recta por lo que la normal

! a dicha línea es única. Pero una vez que la grieta se propague la línea media de la misma no sera

! una línea recta, sino una curva compuesta por rectas de diferentes ángulos y, por tanto, la grieta

! en su conjunto tendrá más de una normal. En este caso la dirección que se debe de especifica en

! representación de la normal a la línea media de la grieta es la perpendicular a la línea media del

! último tramo de crecimiento.

CINT,NORM,SR2,2

! Se deshace la selección de nodos que se había llevado a cabo anteriormente.

NSEL,NONE

! Se selecciona todo y se ordena a ANSYS que resuelva el problema del cálculo de los FIT que se le ha

! planteado.

ALLSEL,ALL

SOLVE

! ============Cálculo de los FIT del borde izquierdo de la grieta.

! Se define un nuevo sistema de referencia identificado con el número asociado al

! parámetro SR3, centrado en el borde izquierdo de la grieta, con la misma inclinación que

! ésta y con el sentido positivo del eje X saliendo de la grieta.

Anexo A

142

! Notese que para la grieta inicial la línea media de la misma es una línea recta por lo que el

! conjunto de la grieta tiene la misma inclinación y esa será la dirección que lleve el sistema

! de refrencia SR3. Pero una vez que la grieta se propague la línea media de la misma no sera una

! línea recta, sino una curva compuesta por rectas de diferentes ángulos. En este caso, el sistema

! de referencia SR3 estará centrado en el borde del del último tramo de crecimiento y tendrá la

! misma inclinación que la línea media de ésta.

CLOCAL,SR3,0,-L,0,0,180,0,0

! Se seleccionan aquellos nodos que estén situados sobre el eje X.

NSEL,S,LOC,Y,0

! Se reseleccionan de la selección anterior aquellos nodos que están situados sobre el eje Y.

! Obviamente el resultado de la reselección ha de ser un único nodo que coincide con el origen

! del sistema de referencia activo en este momento o, lo que es lo mismo, el nodo que

! representa al borde izquierdo de la grieta.

NSEL,R,LOC,X,0

! Al nodo resultante se le identifica con el nombre ''CRACKTIP_izqd''.

CM,CRACKTIP_izqd,NODE

! Se especifica el comienzo de un nuevo proyecto con el comando CINT. A dicho proyecto se le

! identifica con el número ''2''.

CINT,NEW,2

! Se especifica que el proyecto con el comando CINT es para el cálculo de los FIT.

CINT,TYPE,SIFS

! Se especifica la identificación del nodo que representa al borde izquierdo de la grieta.

CINT,CTNC,CRACKTIP_izqd

! Ídem borde derecho.

CINT,NCON,11

! Ídem borde derecho.

! PRCINT,2,,K1

! PRCINT,2,,K2

! Se especifica la normal a la línea media de la grieta. La especificación de dicha normal se lleva

! a cabo con la ayuda del sistema de referencia centrado en el borde de la grieta y con el eje X

! positivo orientado hacia fuera de la grieta (SR3). En estas condiciones la normal a la línea media de

! grieta es el eje Y de este sistema de referencia auxiliar SR3.

! Notese que para la grieta inicial la línea media de la grieta es una línea recta por lo que la normal

! a dicha línea es única. Pero una vez que la grieta se propague la línea media de la misma no sera

! una línea recta, sino una curva compuesta por rectas de diferentes ángulos y, por tanto, la grieta


! en su conjunto tendrá más de una normal. En este caso la dirección que se debe de especifica en

! representación de la normal a la línea media de la grieta es la perpendicular a la línea media del

! último tramo de crecimiento.

CINT,NORM,SR3,2

! Se deshace la selección de nodos que se había llevado a cabo anteriormente.

NSEL,NONE

! Se selecciona todo y se ordena a ANSYS que resuelva el problema del cálculo de los FIT que se le ha

! planteado.

ALLSEL,ALL

SOLVE

!======================FIN del cálculo de los FIT

! Se sale del módulo de solver de ANSYS.

FINISH

! Se accede al módulo de postprocesador de ANSYS.

/POST1

!==================INICIO de sustracción de los FIT de la grieta

!=================Sustracción de los FIT del borde derecho


CSYS,SR2

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0

*GET,TIP_dcha,NODE,,NUM,MIN

! Se especifica que de los 11 valores de K1 que se calcularon anteriormente (1 cálculo

! por cada contorno) se va a tomar el décimo valor.

*GET,K1_dcha,CINT,1,,TIP_dcha,,10,,K1




NSEL,NONE

Anexo A

144

!================Sustracción de los FIT del borde izquierdo


CSYS,SR3

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0

*GET,TIP_izqd,NODE,,NUM,MIN



*GET,K1_izqd,CINT,2,,TIP_izqd,,10,,K1




!==================FIN de sustracción de los FIT de la grieta

! Se define una macro llamada ''thetavalue_pos'' que, tomando como argumento los

! valores de los FIT, calcula la dirección en la que se propagará la grieta en cada borde.

! Las macros son muy útiles cuando se pretende hacer el mismo cálculo muchas veces,

! como es el caso. Dada su gran importancia, es muy recomendable dedicar un tiempo

! en familiarizarse con su lógica de funcionamiento, sus capacidades y su ámbito de

! aplicacíon y alcance. Para ello véase los siguientes enlaces:

! ( // Command Reference // IV. C Commands // *CREATE ),

! ( // Command Reference // XXII. U Commands // *USE ),

! ( // Command Reference // VI. E Commands // *END ).

! Para mayor información sobre las funciones lógicas, bucles y funciones propiamente

! dichas como la raiz, la arcotangente o el valor absoluto que se utilizan aquí véase las

! siguientes referencias:

! ( // ANSYS Parametric Design Language Guide // 3. Using Parameters // 3.8. Parametric Functions ),

! ( // ANSYS Parametric Design Language Guide // 5. APDL as a Macro Language // 5.5. Control

! Functions Quick Reference ).


!=================INICIO de la definición de la macro ''thetavalue_pos''

! Se define la función según las ecuaciones (2-13) y (2-14) de la memoria.

! La función no tiene en cuenta el caso en el que K2=0, ecuación wwww. Este caso, como se verá un

! poco más abajo, se contempla justo antes de llamada a la función ''thetavalue_pos'' ya que si K2=0 la

! dirección de propagación es trivial, no hace falta hacer ningún cálculo.

*CREATE,thetavalue_pos

*AFUN,DEG

p1=ARG1*ARG1+8*ARG2*ARG2

p2=SQRT(p1)

p3=ARG1-p2

p4=p3/4/ARG2

p5=ATAN(p4)

p6=2*ABS(p5)

*IF,ARG2,LT,0,THEN

deltatheta=p6

*ELSE

deltatheta=-p6

*ENDIF

*END

!================FIN de la definición de la macro ''thetavalue_pos''

!==================INICIO del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta

!=====Cálculo de la dirección de la propagación en borde derecho

*IF,K2_dcha,EQ,0,THEN

deltatheta_dcha=0

*ELSE

*USE,thetavalue_pos,K1_dcha,K2_dcha

deltatheta_dcha=deltatheta

*ENDIF

Anexo A

146


*IF,K2_izqd,EQ,0,THEN

deltatheta_izqd=0

*ELSE

*USE,thetavalue_pos,K1_izqd,K2_izqd

deltatheta_izqd=deltatheta

*ENDIF

!====================FIN del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta

! Se sale del módulo de postprocesador de ANSYS.

FINISH

! Se definen las variables auxiliares primarias que recojen los valores de los FIT y dirección

! de propagación en cada uno de los bordes. Para recordar el significado de estas variables

! véase los diagramas 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 2-9 y 2-10. Después de su definición algunos son

! directamente actualizados con los valores obtenidos de los cálculos anteriores.

*DIM,thetaval_dcha,ARRAY,ngrow+1,1,0

thetaval_dcha(1)=deltatheta_dcha

*DIM,thetaval_izqd,ARRAY,ngrow+1,1,0

thetaval_izqd(1)=deltatheta_izqd

*DIM,K1val_izqd,ARRAY,ngrow+1,1,0

K1val_izqd(1)=K1_izqd



*DIM,K1val_dcha,ARRAY,ngrow+1,1,0

K1val_dcha(1)=K1_dcha

*DIM,K2val_dcha,ARRAY,ngrow+1,1,0

K2val_dcha(1)=K2_dcha

!=====INICIO cálculo de la localización de los nuevos bordes y los puntos auxiliares

! En este punto del algoritmo ya se tienen los FIT y las direcciones de propagación en

! cada lado de la grieta, pero aún no se ha calculado la forma exacta de la nueva grieta.


! La última parte del algoritmo, antes de finalizar la simulación del Estado-0, esta centrada

! en hallar los nuevos bordes de grieta y los puntos auxilares que surgen por la propagación

! de la misma. Para visualizar gráficamente la secuencia y la filosofía de como se procede

! para localizar los nuevos bordes de grieta y lo puntos auxilares véase el Apartado 2.4

! de la memoria.

! Lo que se pretende es hallar las coordenadas de los nuevos bordes y puntos

! auxiliares. La idea es aprovechar la geometría ya simulada (antes de borrarla

! y comenzar una nueva iteración) para situar sobre ella dichos puntos en base a

! los criterios descritos en el Apartado 2.4 de la memoria y posteriormente hallar

! sus coordenadas en el sistema de referencia global de ANSYS. Como la geometría

! simulada ya contiene keypoints, es importante saber cual es el número máximo que

! se ha utilizado anteriormente para definir puntos ya existentes para así seguir con

! la sucesión numérica y no crear solapes que den lugar a errores.

! Se halla la identificación más alta (numérica) que se haya asignado a un keypoint hasta este momento.

*GET,nkpoint_max,KP,0,NUM,MAXD

!=====Cálculo de la localización del borde y los puntos auxiliares del lado izquierdo

! Se definene las variables auxiliares primarias que recojen las localizaciones de los nuevos bordes

! y los puntos auxiliares relativos al lado izquierdo.

! Véase el Apartado 2.xx y Diagramas xxx para recordar conceptos.

*DIM,coordx_izqd,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,coordy_izqd,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,tipcoordx_izqd,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,tipcoordy_izqd,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,anguloSR_izqd,ARRAY,ngrow+1,1,0

tipcoordx_izqd(1)=xi

tipcoordy_izqd(1)=yi

CSYS,SR3

! Se calcula el ángulo beta del lado izquierdo. Para visualizar y recordar el significado

! de esta variable véase las figuras 2-10 y 2-15.

beta_izqd=ABS(thetaval_izqd(1)/2)

Anexo A

148

*IF,thetaval_izqd(1),LT,0,THEN

/PREP7

K,nkpoint_max+1,esp*tan(beta_izqd),esp,0

K,nkpoint_max+2,-esp*tan(beta_izqd),-esp,0

CLOCAL,SR4,0,0,0,0,thetaval_izqd(1),0,0

K,nkpoint_max+3,dl,0,0

CSYS,0

*GET,coordx_izqd(1),KP,nkpoint_max+1,LOC,X

*GET,coordy_izqd(1),KP,nkpoint_max+1,LOC,Y



*GET,tipcoordx_izqd(2),KP,nkpoint_max+3,LOC,X

*GET,tipcoordy_izqd(2),KP,nkpoint_max+3,LOC,Y

*GET,anguloSR_izqd(1),CDSY,SR4,ANG,XY

*ELSE

/PREP7

K,nkpoint_max+1,-esp*tan(beta_izqd),esp,0

K,nkpoint_max+2,esp*tan(beta_izqd),-esp,0



CSYS,0








*ENDIF

FINISH


!=====Cálculo de la localización del borde y los puntos auxiliares del lado derecho

! Se definene las variables auxiliares primarias que recojen las localizaciones de los nuevos bordes

! y los puntos auxiliares relativos al lado derecho.

*DIM,coordx_dcha,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,coordy_dcha,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,tipcoordx_dcha,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,tipcoordy_dcha,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,anguloSR_dcha,ARRAY,ngrow+1,1,0

*GET,tipcoordx_dcha(1),KP,nkpoint+3,LOC,X

*GET,tipcoordy_dcha(1),KP,nkpoint+3,LOC,Y

CSYS,SR2

beta_dcha=ABS(thetaval_dcha(1)/2)

*IF,thetaval_dcha(1),LT,0,THEN

/PREP7

K,nkpoint_max+4,esp*tan(beta_dcha),esp,0

K,nkpoint_max+5,-esp*tan(beta_dcha),-esp,0

CLOCAL,SR5,0,0,0,0,thetaval_dcha(1),0,0


CSYS,0

*GET,coordx_dcha(1),KP,nkpoint_max+4,LOC,X

*GET,coordy_dcha(1),KP,nkpoint_max+4,LOC,Y



*GET,tipcoordx_dcha(2),KP,nkpoint_max+6,LOC,X

*GET,tipcoordy_dcha(2),KP,nkpoint_max+6,LOC,Y

*GET,anguloSR_dcha(1),CDSY,SR5,ANG,XY

*ELSE

/PREP7

Anexo A

150

K,nkpoint_max+4,-esp*tan(beta_dcha),esp,0

K,nkpoint_max+5,esp*tan(beta_dcha),-esp,0

CLOCAL,SR5,0,0,0,0,thetaval_dcha(1),0,0


CSYS,0





*GET,tipcoordx_dcha(2),KP,nkpoint_max+6,LOC,X

*GET,tipcoordy_dcha(2),KP,nkpoint_max+6,LOC,Y

*GET,anguloSR_dcha(1),CDSY,SR5,ANG,XY

*ENDIF

FINISH

!=====FIN cálculo de la localización de los nuevos bordes y los puntos auxiliares

!======================FIN de la simulación del Estado-0

! Se selecciona todo.

ALLSEL,ALL,ALL

! Se especifica el formato en el que se quiere guardar las identidades geométricas. En este

! caso particular se especifica que el formato deseado es .anf, que es la que menos memoria

! ocupa.

CDOPT,ANF

! Se hace una compresión de la numeración de los nodos y elementos.

NUMCMP,NODE

NUMCMP,ELEM

! Se guarda una copia de la malla de la simulación del Estado-0.

CDWRITE,DB,malla%NUMERO%.anf,,,,,BLOCKED

! Se guarda una copia con el nombre ''misparametros'' de todos los parámetros y variables

! auxuliares definidos hasta ahora (con la misma estructura y los mismos valores que tienen

! en este momento).

PARSAV,ALL,misparametros,parm


!==============INICIO simulación de Estado-j,j+1,j+2...hasta simular el Estado-ngrow

! Si el valor del parámetro ngrow es mayor o igual que 1 entonces se inicia el bucle que

! permite seguir simulando el crecimiento de la grieta hasta el Estado deseado (Véase

! el diagrama 2-11).

*DO,t,1,ngrow,1

! Se borra todo lo que se haya ejecutado en ANSYS hasta el momento (evidentemente las copias

! de la geometría base y de los parámetros permanecen intactas).

/CLEAR

! Se carga una copia de la geometría base que se guardo con el nombre ''migeom''.

CDREAD,ALL,migeom

! Se carga una copia de los parámetros que se guardaron al finalizar la simulación del Estado-0 con

! el nombre de ''misparametros''.

PARRES,NEW,misparametros,parm

*AFUN,DEG

! Se accede al módulo de preprocesador para situar la nueva configuración de la grieta

! sobre la geometría base. Dicho posicionamiento se basa en 3 conceptos clave se exponen a

! continuación:

! 1). el posicionamiento de los puntos que configuran la nueva grieta comenzará siempre por el

! mismo keypoint y a dicho punto se le asiganrá siempre la identificación numérica 100

! 2). en cada etapa de crecimiento, teniendo en cuenta la filosofía de propagación de la grieta

! explicada en el Apartado 2.4, surgen 4 nuevos puntos (2 por cada lado), los llamados puntos

! auxiliares (véase figuras 2-12 y 2-17).

! 3). teniendo en cuenta los 2 conceptos anteriores se pueden establecer una relación directa y

! biunívoca entre el Estado que se está simulando y la identificación numérica que tendrían todos

! los keypoints que configuran la grieta. En particular, los puntos que representan al borde izquierdo

! y derecho de la grieta siguien las siguentes relaciones:

! identificación borde izquierdo=nkpoint+estado

! identificación borde derecho=nkpoint+(3*estado+1)

! Véase las figuras A-1 y A-2 para aclarar ideas sobre el posicionamiento de la nueva grieta

! antes del inicio de cada simulación.

Anexo A

152

/PREP7

!===========INICIO del posicionamiento de los keypoints del lado izquierdo de la grieta

! Se registra en el parámetro llamado ''kptip_izqd'' el número que se obtiene de la

! operación nkpoint+estado.

kptip_izqd=nkpoint+estado

! Se define el nuevo borde izquierdo de la grieta asignandole la identificación numérica

! ''kptip_izqd''.

K,kptip_izqd,tipcoordx_izqd(estado+1),tipcoordy_izqd(estado+1)

! Bucle que permte situar los keypoints correspondientes a la parte inferior del lado

! izquierdo de la grieta (en sentido horario).

i=0

*DO,kpcont,nkpoint,kptip_izqd-1,1

K,nkpoint+i,coordx_izqd(2*i+1),coordy_izqd(2*i+1)

i=i+1

*ENDDO

! Bucle que permte situar los keypoints correspondientes a la parte superior del lado

! izquierdo de la grieta (en sentido antihorario).

i=1

*DO,kpcont,kptip_izqd+1,nkpoint+2*estado,1

K,nkpoint+2*estado+1-i,coordx_izqd(2*i),coordy_izqd(2*i)

i=i+1

*ENDDO

!===========FIN del posicionamiento de los keypoints del lado izquierdo de la grieta

!===========INICIO del posicionamiento de los keypoints del lado derecho de la grieta

! Se registra en el parámetro llamado ''kptip_dcha'' el número que se obtiene de la

! operación nkpoint+3*estado+1.

kptip_dcha=nkpoint+(3*estado+1)

! Se define el nuevo borde izquierdo de la grieta asignandole la identificación numérica

! ''kptip_dcha''.

K,kptip_dcha,tipcoordx_dcha(estado+1),tipcoordy_dcha(estado+1)


! Bucle que permte situar los keypoints correspondientes a la parte superior del lado

! derecho de la grieta (en sentido horario).

i=0

*DO,kpcont,nkpoint+2*estado+1,kptip_dcha-1,1

K,nkpoint+2*estado+1+i,coordx_dcha(2*i+1),coordy_dcha(2*i+1)

i=i+1

*ENDDO

! Bucle que permte situar los keypoints correspondientes a la parte inferior del lado

! derecho de la grieta (en sentido antihorario).

i=1

*DO,kpcont,kptip_dcha+1,nkpoint+4*estado+1,1

K,nkpoint+4*estado+1+1-i,coordx_dcha(2*i),coordy_dcha(2*i)

i=i+1

*ENDDO

kpcrack_def=nkpoint+4*estado+1

!===========FIN del posicionamiento de los keypoints del lado derecho de la grieta

!=============INICIO de definición de las líneas que unen los keypoints de la grieta

i=0

*DO,lincont,nkpoint,kpcrack_def-1,1

L,nkpoint+i,nkpoint+i+1

i=i+1

*ENDDO

L,kpcrack_def,nkpoint

!=============FIN de definición de las líneas que unen los keypoints de la grieta

AL,ALL,2

AMESH,1

KREFINE,kptip_izqd,kptip_izqd,0,2,5,,on

KREFINE,kptip_dcha,kptip_dcha,0,2,5,,on

LREFINE,nline+estado,nline+estado+1,1,2,5,,on

LREFINE,nline+3*estado+1,nline+3*estado+2,1,2,5,,on

Anexo A

154

OUTPR,ALL

FINISH

/SOLU

!=======INICIO aplicación de condiciones de contorno y cargas

DL,1,1,SYMM

DL,2,1,SYMM

SFL,3,PRES,-P

SFL,4,PRES,-Q

!=======FIN aplicación de condiciones de contorno y cargas

!===========================INICIO del cálculo de los FIT

! =====Cálculo de los FIT del borde derecho de la grieta.

LOCAL,SR2,0,tipcoordx_dcha(estado+1),tipcoordy_dcha(estado+1),0,anguloSR_dcha(estado)

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0

CM,CRACKTIP_dcha,NODE

CINT,NEW,1

CINT,TYPE,SIFS

CINT,CTNC,CRACKTIP_dcha

CINT,NCON,11

CINT,NORM,SR2,2

NSEL,NONE

ALLSEL,ALL

SOLVE

! =====Cálculo de los FIT del borde izquierdo de la grieta.

LOCAL,SR3,0,tipcoordx_izqd(estado+1),tipcoordy_izqd(estado+1),0,anguloSR_izqd(estado)

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0



CINT,NEW,2

CINT,TYPE,SIFS


CINT,NCON,11

CINT,NORM,SR3,2

NSEL,NONE

ALLSEL,ALL

SOLVE

!=======================FIN del cálculo de los FIT

FINISH

/POST1

!=======================INICIO de sustracción de los FIT de la grieta

!=====Sustracción de los FIT del borde derecho

CSYS,SR2

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0

*GET,TIP_dcha,NODE,,NUM,MIN



NSEL,NONE

!===================Sustracción de los FIT del borde izquierdo

CSYS,SR3

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0




!====================FIN de sustracción de los FIT de la grieta

Anexo A

156

!==================INICIO del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta


*IF,K2_dcha,EQ,0,THEN

deltatheta_dcha=0

*ELSE

*USE,thetavalue_pos,K1_dcha,K2_dcha

deltatheta_dcha=deltatheta

*ENDIF

!=====Cálculo de la dirección de la propagación en borde izquierdo


deltatheta_izqd=0

*ELSE



*ENDIF

FINISH

!==================FIN del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta

! Actualización de las variables auxiliares primarias que registran los FIT y dirección

! de propagación en ambos bordes.

thetaval_dcha(estado+1)=deltatheta_dcha

thetaval_izqd(estado+1)=deltatheta_izqd

K1val_izqd(estado+1)=K1_izqd


K1val_dcha(estado+1)=K1_dcha

K2val_dcha(estado+1)=K2_dcha

!=====INICIO cálculo de la localización de los nuevos bordes y los puntos auxiliares



!=====Cálculo de la localización del borde y los puntos auxiliares del lado izquierdo

CSYS,SR3

beta_izqd=ABS(thetaval_izqd(estado+1)/2)

*IF,thetaval_izqd(estado+1),LT,0,THEN

/PREP7



CLOCAL,SR4,0,0,0,0,thetaval_izqd(estado+1),0,0


CSYS,0

*GET,coordx_izqd(2*estado+1),KP,nkpoint_max+1,LOC,X

*GET,coordy_izqd(2*estado+1),KP,nkpoint_max+1,LOC,Y



*GET,tipcoordx_izqd(estado+2),KP,nkpoint_max+3,LOC,X

*GET,tipcoordy_izqd(estado+2),KP,nkpoint_max+3,LOC,Y

*GET,anguloSR_izqd(estado+1),CDSY,SR4,ANG,XY

*ELSE

/PREP7





CSYS,0




Anexo A

158





*ENDIF

FINISH

!=====Cálculo de la localización del borde y los puntos auxiliares del lado derecho

CSYS,SR2

beta_dcha=ABS(thetaval_dcha(estado+1)/2)

*IF,thetaval_dcha(estado+1),LT,0,THEN

/PREP7

K,nkpoint_max+4,esp*tan(beta_dcha),esp,0

K,nkpoint_max+5,-esp*tan(beta_dcha),-esp,0

CLOCAL,SR5,0,0,0,0,thetaval_dcha(estado+1),0,0


CSYS,0

*GET,coordx_dcha(2*estado+1),KP,nkpoint_max+4,LOC,X

*GET,coordy_dcha(2*estado+1),KP,nkpoint_max+4,LOC,Y



*GET,tipcoordx_dcha(estado+2),KP,nkpoint_max+6,LOC,X

*GET,tipcoordy_dcha(estado+2),KP,nkpoint_max+6,LOC,Y

*GET,anguloSR_dcha(estado+1),CDSY,SR5,ANG,XY

*ELSE

/PREP7

K,nkpoint_max+4,-esp*tan(beta_dcha),esp,0

K,nkpoint_max+5,esp*tan(beta_dcha),-esp,0

CLOCAL,SR5,0,0,0,0,thetaval_dcha(estado+1),0,0



CSYS,0





*GET,tipcoordx_dcha(estado+2),KP,nkpoint_max+6,LOC,X

*GET,tipcoordy_dcha(estado+2),KP,nkpoint_max+6,LOC,Y

*GET,anguloSR_dcha(estado+1),CDSY,SR5,ANG,XY

*ENDIF

FINISH


estado=estado+1

NUMERO=NUMERO+1

ALLSEL,ALL,ALL

CDOPT,ANF

NUMCMP,NODE

NUMCMP,ELEM



*ENDDO

!==============FIN simulación de Estado-j,j+1,j+2...hasta simular el Estado-ngrow

Anexo A

160

Estado 1

𝒑 𝒊𝒑 𝒊 𝒅 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏𝟎𝟏

𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎

𝒑 𝒊𝒑 𝒊 𝒅

𝒑 𝒊𝒑 𝒅 𝒉

𝒑 𝒊𝒑 𝒅 𝒉 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏 𝟏𝟎

𝒑 𝒅 𝒇

𝟏𝟎𝟐

𝟏𝟎𝟏

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝒑 𝒅 𝒇 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏 𝟏𝟎

𝟏𝟎

Figura A-1. Identificación de los puntos de la grieta del Estado-0.


Estado 2

𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎

𝒑 𝒊𝒑 𝒊 𝒅

𝒑 𝒊𝒑 𝒊 𝒅 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏𝟎𝟐

𝒑 𝒊𝒑 𝒅 𝒉 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏 𝟏𝟎

𝒑 𝒊𝒑 𝒅 𝒉

𝒑 𝒅 𝒇

𝟏𝟎𝟏

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟐

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝟏𝟎

𝒑 𝒅 𝒇 𝒏 𝒑 𝒊𝒏 𝒔 𝒅 𝟏 𝟏𝟎

Figura A-2. Identificación de los puntos de la grieta del Estado-1.

Anexo A

162

163

ANEXO B

! Tutorial correspondiente al caso de placa infinta con grieta de borde y . Véase figura 3-37.

! El algoritmo correspondiente al caso de grieta de borde es muy similar al caso de grieta interior

! mostrado y comentado en detalle en el Anexo A. El algoritmo que se muestra a continuación no es

! más que una particularización de la que se mostró en el anexo anterior, del que se han suprimido los

! los cálculos correspondientes a lo que se denominaba ''lado derecho de la grieta'', quedandose

! solo con la parte relativa al denominado ''lado izquierdo''.

! La única diferencia entre ambos algoritmos radica en el modelado de la grieta inicial. Pero a

! una lectura de las figuras 2-18 y 2-20 y la comprensión del algoritmo correspondeinte al caso de grieta

! interior han de ser más que suficientes para comprender dicha diferencia.

! El objetivo del próximo algoritmo no es hacer de nuevo un comentario detallado del mismo,

! sino poner a disposición del usuario un ejemplo de ello a modo de tutorial.

FINISH

/CLEAR

*AFUN,DEG

!================================INICIO de la definicón de parámetros

L=0.5E-4

theta=40

xb=0

yb=0.05

ngrow=2

ap=L/100

h=ap*cos(theta)

esp=h/2

dl=L/10

P=60

Anexo B

164

SR1=11

SR2=12

SR3=13

SR4=14

SR5=15

nkpoint=102

estado=1

NUMERO=1

!================================FIN de la definicón de parámetros

!===============================INICIO de la simulación del Estado-0

/PREP7

*AFUN,DEG

SMRT,OFF

ET,1,PLANE183,1,,2

MP,EX,1,126E9

MP,NUXY,1,0.3

!=========================INICIO de la definición de la geometría base

K,1,0,0

K,2,0.1,0

K,3,0.1,0.1

K,4,0,0.1

K,100,xb,yb+1.5*ap

K,101,xb,yb-1.5*ap


L,1,2

LESIZE,1,,,20

L,2,3

LESIZE,2,,,20

L,3,4

LESIZE,3,,,20

L,4,100

L,101,1

!===========================FIN de la definición de la geometría base

*GET,nline,LINE,0,NUM,MAXD

CLOCAL,SR1,0,xb,yb,0,theta

CDWRITE,ALL,migeom

!=======================INICIO del posicionameineto de la grieta inical

CSYS,SR1

K,nkpoint,L,0

L,nkpoint-1,nkpoint

L,nkpoint-2,nkpoint

!=========================FIN del posicionameineto de la grieta inical

AL,ALL,2

AMESH,1

KREFINE,nkpoint,nkpoint,0,3,5,,on

LREFINE,nline+1,nline+2,1,3,8,,on

OUTPR,ALL

FINISH

/SOLU

CSYS,0

Anexo B

166

!=============INICIO de aplicación de condiciones de controno y de carga

SFL,3,PRES,-P

DL,1,1,SYMM

DL,2,1,SYMM

!=============FIN de aplicación de condiciones de controno y de carga

*GET,xi,KP,nkpoint,LOC,X

*GET,yi,KP,nkpoint,LOC,Y

!=============================INICIO del cálculo de los FIT

CLOCAL,SR2,0,xi,yi,0,theta

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0


CINT,NEW,2

CINT,TYPE,SIFS


CINT,NCON,20

CINT,NORM,SR2,2

NSEL,NONE

ALLSEL,ALL

SOLVE

FINISH

!=============================FIN del cálculo de los FIT

/POST1

!=============INICIO de sustracción de los FIT de la grieta

CSYS,SR2


NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0




!============FIN de sustracción de los FIT de la grieta

!============INICIO de la definición de la macro ''thetavalue_pos''

*CREATE,thetavalue_pos

*AFUN,DEG

p1=ARG1*ARG1+8*ARG2*ARG2

p2=SQRT(p1)

p3=ARG1-p2

p4=p3/4/ARG2

p5=ATAN(p4)

p6=2*ABS(p5)

*IF,ARG2,LT,0,THEN

deltatheta=p6

*ELSE

deltatheta=-p6

*ENDIF

*END

!==========FIN de la definición de la macro ''thetavalue_pos''

!==========INICIO del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta


deltatheta_izqd=0

*ELSE



*ENDIF

Anexo B

168

!==================FIN del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta

FINISH

*DIM,thetaval_izqd,ARRAY,ngrow+1,1,0

thetaval_izqd(1)=deltatheta_izqd





!=====Inicio cálculo de la localización de los nuevos bordes y los puntos auxiliares


*DIM,coordx_izqd,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,coordy_izqd,ARRAY,ngrow*2+2,1,0

*DIM,tipcoordx_izqd,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,tipcoordy_izqd,ARRAY,ngrow+2,1,0

*DIM,anguloSR_izqd,ARRAY,ngrow+1,1,0

tipcoordx_izqd(1)=xi

tipcoordy_izqd(1)=yi

CSYS,SR2

beta_izqd=ABS(thetaval_izqd(1)/2)

*IF,thetaval_izqd(1),LT,0,THEN

/PREP7





CSYS,0









*ELSE

/PREP7





CSYS,0








*ENDIF

FINISH


ALLSEL,ALL,ALL

CDOPT,ANF

NUMCMP,NODE

NUMCMP,ELEM



Anexo B

170

!============FIN de la simulación del Estado-0

!==============INICIO simulación de Estado-j,j+1,j+2...hasta simular el Estado-ngrow

*DO,t,1,ngrow,1

/CLEAR

CDREAD,ALL,migeom

PARRES,NEW,misparametros,parm

*AFUN,DEG

/PREP7

!===========INICIO del posicionamiento de los keypoints de la grieta

kptip_izqd=nkpoint+estado

K,kptip_izqd,tipcoordx_izqd(estado+1),tipcoordy_izqd(estado+1)

i=0

*DO,kpcont,nkpoint,kptip_izqd-1,1

K,nkpoint+i,coordx_izqd(2*i+1),coordy_izqd(2*i+1)

i=i+1

*ENDDO

i=1

*DO,kpcont,kptip_izqd+1,nkpoint+2*estado,1

K,nkpoint+2*estado+1-i,coordx_izqd(2*i),coordy_izqd(2*i)

i=i+1

*ENDDO

kpcrack_def=nkpoint+2*estado

!===========FIN del posicionamiento de los keypoints de la grieta

!=============INICIO de definición de las líneas que unen los keypoints de la grieta


i=0

*DO,lincont,nkpoint,kpcrack_def-1,1

L,nkpoint+i,nkpoint+i+1

i=i+1

*ENDDO

L,nkpoint-2,nkpoint

L,kpcrack_def,nkpoint-1

!=============FIN de definición de las líneas que unen los keypoints de la grieta

AL,ALL,2

AMESH,1

KREFINE,kptip_izqd,kptip_izqd,0,3,5,,on

LREFINE,nline+estado,nline+estado+1,1,3,8,,on

OUTPR,ALL

FINISH

/SOLU

CSYS,0

!=======INICIO aplicación de condiciones de contorno y cargas

SFL,3,PRES,-P

DL,1,1,SYMM

DL,2,1,SYMM

!=======FIN aplicación de condiciones de contorno y cargas

!============================INICIO del cálculo de los FIT

LOCAL,SR2,0,tipcoordx_izqd(estado+1),tipcoordy_izqd(estado+1),0,anguloSR_izqd(estado)

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0

Anexo B

172


CINT,NEW,2

CINT,TYPE,SIFS


CINT,NCON,8

CINT,NORM,SR2,2

NSEL,NONE

ALLSEL,ALL

SOLVE

FINISH

!=========================FIN del cálculo de los FIT

/POST1

!=============INICIO de sustracción de los FIT de la grieta

CSYS,SR2

NSEL,S,LOC,Y,0

NSEL,R,LOC,X,0




!===============FIN de sustracción de los FIT de la grieta

!==============INICIO del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta


deltatheta_izqd=0

*ELSE



*ENDIF


!===============FIN del cálculo de la dirección de la propagación de la grieta

FINISH

thetaval_izqd(estado+1)=deltatheta_izqd



!=====INICIO cálculo de la localización del nuevo borde y los puntos auxiliares


CSYS,SR2

beta_izqd=ABS(thetaval_izqd(estado+1)/2)

*IF,thetaval_izqd(estado+1),LT,0,THEN

/PREP7





CSYS,0








*ELSE

/PREP7

Anexo B

174





CSYS,0








*ENDIF

FINISH

!=====FIN cálculo de la localización del nuevo borde y los puntos auxiliares

estado=estado+1

NUMERO=NUMERO+1

ALLSEL,ALL,ALL

CDOPT,ANF

NUMCMP,NODE

NUMCMP,ELEM



*ENDDO

!==============FIN simulación de Estado-j,j+1,j+2...hasta simular el Estado-ngrow

175

REFERENCIAS

[1] Erdogan, F. and Sih., G. C. 1963. On the crack extension in plates under plane loading and transverse

shear. Trans. ASME, Journal of Basic Engineering, 85(4), 519-527.

[2] Shkarayev, S. and Mall, S., 2003. Computational modelling of shot-peening effects on crack propagation

under fretting fatigue. Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 38(6), 495-506.

[3] J. Vázquez, C. Navarro, J. Domínguez, 2012. A new method for obtaining the stress field in plane contact.

International Journal of Solids and Structures, 49(26), 3659–3665.

[4] J. Vázquez, C. Navarro, J. Domínguez, 2015. Two dimensional versus three dimensional modelling in

fretting fatigue life prediction. Journal of Strain Analysis.

[5] M.A. Meggiolaro , A.C.O. Miranda , J.T.P. Castro, L.F. Martha, 2005. Stress intensity factor equations for

branched crack growth. Engineering Fracture Mechanics, 72(17), 2647-2671.

[6] G.C. Sih, 1974. Strain-energy-density factor applied to mixed-mode crack problems. International Journal

of Fracture, 10,305-321.

[7] Hussain, M.A., Pu, S.L., Underwood, J., 1974. Strain energy release rate for a crack under combined mode

I and Mode II. Fracture Analysis, ASTM STP 560. American Society for Testing and Materials, Philadelphia,

2–28.

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