UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE … · 2019. 8. 19. · FACULTAD DE...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Simulación de yacimientos hidrocarburíferos

Trabajo de Investigación modalidad proyecto de Investigación previo a la

obtención del Título de Ingeniero Matemático

AUTOR: Gordillo Montesdeoca Víctor Eduardo

TUTOR: Mat. Albuja Proaño Guillermo Alexis

Quito, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Víctor Eduardo Gordillo Montesdeoca en calidad de autor y titular de los de-

rechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación SIMULACIÓN DE YA-

CIMIENTOS HIDROCARBURÍFEROS, modalidad proyecto de investigación, de

conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SO-

CIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo

a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y

no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académi-

cos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en

la norma citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la di-

gitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de

conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Supe-

rior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su

forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la res-

ponsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por está causa y

liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

Víctor Eduardo Gordillo Montesdeoca

C.C. 0105477194

[email protected]

ii

APROBACIÓN DEL TUTOR

Yo, Guillermo Alexis Albuja Proaño en mi calidad de tutor del trabajo de titulación,

modalidad Proyecto de Investigación, elaborado por VÍCTOR EDUARDO GOR-

DILLO MONTESDEOCA; cuyo título es: SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS

HIDROCARBURÍFEROS, previo a la obtención del Grado de Ingeniero Matemá-

tico; considero que el mismo reúne los requisitos y méritos suficientes en el campo

metodológico y epistemológico, para ser sometido a la evaluación por parte del tri-

bunal examinador que se designe, por lo que APRUEBO, a fin de que el trabajo sea

habilitado para continuar con el proceso de titulación determinado por la Universi-

dad Central del Ecuador.

En la ciudad de Quito, a los 29 días del mes de julio de 2019.

Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño

DOCENTE-TUTOR

CC. 1712454063

iii

DEDICATORIA

Dedicado a

Dios,

mi madre Mónica Montesdeoca,

mi padre Víctor Gordillo

y mi hermano Kevin.

iv

AGRADECIMIENTOS

Primeramente a Dios quien me dio la vida y la ha llenado de bendiciones en todo

este tiempo, a él que con su infinito amor me ha dado la sabiduría suficiente para

culminar esta hermosa etapa.

A mi tutor de tesis, Mat. Guillermo Albuja MSc. quién con sus conocimientos,

apoyo incondicional, dedicación y paciencia supo guiar el desarrollo del presente

trabajo de investigación desde el inicio hasta su culminación.

Al Ing. René Carrillo y al Ing. Javier González, por compartir sus conocimientos

así como también por sus consejos y por su tiempo en la revisión de este trabajo.

A mis amigos de la Universidad y a mi familia de Cuenca por su apoyo y confianza

en mí.

A Mayrita quien me brindó su amor, su cariño, y su apoyo constante.

A todos ellos, ¡Gracias!

v

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACIÓN DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTOS v

CONTENIDO vi

LISTA DE FIGURAS ix

LISTA DE TABLAS ix

RESUMEN xi

ABSTRACT xii

INTRODUCCIÓN 1

FUNDAMENTACIÓN 2

1 MODELO CONCEPTUAL 5

vi

1.1 Métodos clásicos de predicción de comportamiento de los yacimientos 5

1.1.1 Métodos de Balance de Materiales . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Métodos de curva de declinación . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Métodos Estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Métodos Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Propiedades de la roca y fluidos en el yacimiento . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Propiedades de la roca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Propiedades de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Interacción Roca-Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 MODELOS MATEMÁTICOS 14

2.1 Formulación axiomática básica de modelos matemáticos . . . . . . 14

2.1.1 Ecuaciones de Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Sistemas Multifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Modelo Matemático para Sistemas Multifásicos . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Modelo Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Condiciones Iniciales y de Frontera . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Espacios Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 MODELO NUMÉRICO 32

3.1 Discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Método de Euler implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2 Esquema implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vii

3.1.3 Método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 MODELO COMPUTACIONAL Y RESULTADOS NUMÉRICOS 43

4.1 Notas sobre FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Generación de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.2 Problemas variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3 Implementación del método de elementos finitos mediante

FreeFem++ a la ecuación (3.7) . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Visualización de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 57

5.1 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

BIBLIOGRAFÍA 59

viii

Lista de Figuras

1.1 Relación densidad-presión [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Discretización en la variable temporal [7] . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Generación de la malla [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Generación de mallas con hueco [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Malla generada con Poisson [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Solución obtenida con Poisson [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Creación de la malla e ingreso de parámetros . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Funciones y formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7 Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.8 Solución del problema en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.9 función q en el programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.10 Número de elementos versus error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.11 Número de elementos versus tiempo en segundos . . . . . . . . . . 53

4.12 Visualización de resultados t=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54




ix


Lista de Tablas

4.1 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

x

TÍTULO: Simulación de yacimientos hidrocarburíferos.

Autor: Víctor Eduardo Gordillo Montesdeoca

Tutor: Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño.

RESUMEN

En el presente trabajo de investigación se estudia un modelo de flujo monofásico bi-

dimensional en medios porosos, con el fin de simular numéricamente el comporta-

miento del yacimiento hidrocarburífero. El modelo matemático se obtiene mediante

la formulación axiomática. Este modelo consta de un conjunto de ecuaciones dife-

renciales no lineales y acopladas. Para la discretización del sistema de ecuaciones

resultante se utilizó el Método de Euler implícito y el Método de Elementos Fini-

tos.

Esta tesis presenta también el desarrollo y la aplicación de un programa compu-

tacional en el software FreeFem++.

PALABRAS CLAVE: MODELOS /FLUJO MONOFÁSICO / YACIMIENTOS

HIDROCARBURÍFEROS / MÉTODO DE EULER / MÉTODO DE ELEMENTOS

FINITOS

xi

TITLE: Simulation of hydrocarbons fields

Author: Víctor Eduardo Gordillo Montesdeoca

Tutor: Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño.

ABSTRACT

In this research we study a two-phase monophasic flow model in porous media, in

order to numerically simulate the behavior of the hydrocarbon field. The mathema-

tical model is obtained by axiomatic formulation. This model consists of a set of

nonlinear and coupled differential equations. For the discretization of the resulting

system of equations, the implicit Euler Method and the Finite Element Method were

used.

This thesis also presents the development and application of a computer program in

FreeFem++ software.

KEYWORDS: MODELS / MONOPHASIC FLOW / HYDROCARBONS FIELDS

/ EULER’S METHOD / FINITES ELEMENTS METHOD.

xii

INTRODUCCIÓN

Los yacimientos petrolíferos son estructuras geológicas que se formaron hace mi-

llones de años, en los cuales se concentra y acumula de forma natural el petróleo en

rocas porosas o fracturadas.

El petróleo es un recurso natural, no renovable, compuesto por una mezcla de hi-

drógeno, carbono, impurezas y otros pocos componentes que se encuentran en la

corteza terrestre en forma líquida, gaseosa o sólida que habita en cantidades consi-

derables en la Amazonia Ecuatoriana.

En virtud de las necesidades que ha tenido la industria del petróleo, como la optimi-

zación de recursos entre otros, se ha optado por desarrollar modelos matemáticos y

simulación numérica para predecir el comportamiento de los yacimientos. Por ello

se debe seleccionar el modelo que cumpla con ciertas características que permitan

realizar el trabajo de manera adecuada.

Existen cuatro etapas fundamentales para la simulación de yacimientos, primero

el modelo físico, luego el desarrollo de los modelos matemáticos, seguido de la

discretización de dichos modelos y el diseño de algoritmos computacionales. Es re-

comendable iterar un determinado número de veces cualquiera de estas etapas con

el fin de obtener un pronóstico preciso del comportamiento del yacimiento.

1

FUNDAMENTACIÓN

Debido a que el flujo de fluidos en medios porosos es un fenómeno muy comple-

jo se deben considerar ecuaciones que describan el flujo de los fluidos en una sola

fase a través de canales de flujo que presentan variaciones de uno o varios órdenes

de magnitud en donde los fluidos pueden ser tratados como incompresibles, ligera-

mente compresibles o compresibles.

Las ecuaciones que se emplean en la simulación de yacimientos se obtienen de la

combinación de varios principios físicos como son: leyes de conservación, leyes de

comportamiento como la ley de Darcy y la ley de viscosidad de Newton, ecuaciones

de estado, e información experimental suplementaria.

Para poder aplicar el modelo se debe conocer la region del movimiento, Ω, que per-

mite saber el dominio de validez de las ecuaciones diferenciales del modelo, y las

condiciones iniciales y de frontera adecuadas.

Para nuestro caso usaremos la ecuación de balance para la masa del fluido, ver [6]:

∂ (φρ)∂ t

+∇ · (ρv) = q,

donde φ es la porosidad del medio, ρ la densidad, y v es la velocidad de Darcy.

y la Ley de Darcy en una sola fase, ver [6]:

v =−kkrµ

(∇p−ρg) ,

donde kr es la permeabilidad relativa, la viscosidad que se denota por

2

µ , la presión es p y la densidad se expresa por ρ .

Sea Ω ⊂ R2 abierto, acotado de frontera Γ lipschitziana a trozos, T > 0. Ponemos

ΩT = Ω×]0,T [ , Ω̄T = Ω̄× [0,T ] y ΓT = Γ× [0,T ].

Sustituyendo la Ley de Darcy en la ecuación de balance para la masa del fluido

llegamos a, ver[6]:

∂ (φρ)∂ t −∇ · (ρλk (∇p−ρg)) = q sobre ΩT ,

Condición inicial (CI),

Condición de frontera(CF).

donde:

λ =krµ,

es la movilidad de la fase.

Una vez que ha sido establecido el modelo matemático capaz de describir el proce-

so físico que se presenta en el yacimiento, se hace necesario obtener su solución y

estudiar la existencia y unicidad.

Sin embargo, las ecuaciones que representan el flujo de los fluidos en medios po-

rosos son en general; como ya se ha visto, ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales no lineales que relacionan los cambios de presión y de saturación a través

del medio con respecto al tiempo y para las cuales es casi imposible obtener una

solución analítica. De ahí que surja la necesidad de transformar el modelo matemá-

tico a un modelo numérico, siendo este el único camino por medio del cual se puede

llegar a una solución que sea aplicable.

3

OBJETIVOS

Objetivo General

Elaborar un modelo matemático y computacional para simulación de yacimientos

hidrocarburíferos en una sola fase, en dos dimensiones.

Objetivos Específicos

1. Analizar los problemas del comportamiento del yacimiento y problemas opera-

tivos asociados.

2. Estudiar la existencia y unicidad de soluciones.

3. Obtener un esquema numérico que permita predecir el comportamiento futuro

del yacimiento.

4. Implementar un programa computacional para simulación.

4

CAPÍTULO 1

MODELO CONCEPTUAL

En este capítulo se abordan algunos conceptos, variables del modelo, así como tam-

bién sus respectivas expresiones matemáticas involucrados en el flujo de fluidos en

medios porosos que serán utilizados a lo largo de éste proyecto de investigación,

además de las distintas formas que existen de predecir el comportamiento de un

yacimiento,véase [3], [4], [5], [6]

1.1. Métodos clásicos de predicción de

comportamiento de los yacimientos

Entres estos métodos están los analógicos, experimentales y matemáticos. Los mé-

todos analógicos usan las propiedades de yacimientos maduros parecidas a los del

yacimiento que se desea estudiar con la intención de predecir el rendimiento de

una determinada zona o de un yacimiento. Por otro lado los métodos experimenta-

les determinan propiedades físicas como la saturación, presión, entre otros en los

laboratorios para después usarlos en hidrocarburos del yacimiento. Finalmente, te-

nemos los métodos matemáticos, los cuales utilizan sistemas de ecuaciones, que por

lo general son sistemas de ecuaciones diferenciales parciales con el fin de predecir

el comportamiento del yacimiento. Los métodos mátemáticos son los que más se

utilizan en la simulación de yacimientos, entre estos están el balance de materiales,

curva de declinación, estadísticos y por último los analíticos, ver [4].

5

1.1.1. Métodos de Balance de Materiales

Estos métodos utilizan una expresión matemática o volumen de drenaje. Se basa en

la Ley de conservación de la masa, esto es, la cantidad de agua, aceite y gas que

queda en el depósito después de una etapa de producción es igual a la diferencia de

la cantidad de masa originalmente en su lugar y que fue removido del yacimiento

debido a la producción, más la cantidad de masa que se añade por el proceso de

inyección, ver [6].

1.1.2. Métodos de curva de declinación

Los métodos de curva de declinación se utilizan para describir la tasa de declinación

de producción del aceite, estos pueden ser exponencial, hiperbólico y armónico. De

manera general su expresión matemática está dada por:

Cbq =−1q

dqdt

,

donde C es un parámetro de declinación, q representa la tasa de producción (m3/d)

y t el tiempo (días). Cuando b = 0 tenemos una declinación exponencial, cuando

0 < b < 1 tenemos declinación hiperbólica, mientras que cuando b = 1 tenemos el

caso de declinación armónica. Los métodos de curva de declinación coinciden con

los datos históricos de producción para elegir una forma apropiada de la ecuación.

Después de elegir, igualamos los datos históricos debido a la elección de C y b que

nos permitan minimizar el error entre los datos y la ecuación. Aplicando los datos

históricos en el futuro nos permite predecir el desempeño del yacimiento por medio

de la ecuación igualada, ver [6].

1.1.3. Métodos Estadísticos

Estos métodos usan correlaciones empíricas que se obtienen de manera estadística

mediante resultados anteriores de varios yacimientos para predecir el desempeño

futuro de los demás. Los errores de predicción con los métodos estadísticos pueden

6

ser tan altos como del 20 al 50%, ver [6] .

1.1.4. Métodos Analíticos

Los métodos analíticos emplean la solución analítica de un modelo matemático. El

modelo matemático esta constituido por un conjunto de ecuaciones diferenciales

que describen el flujo y transporte de fluidos en un medio poroso, con sus respecti-

vas condiciones iniciales y de frontera. Estos métodos se usan con frecuencia para

determinar en que manera influyen los diferentes parámetros en el rendimiento del

yacimiento y pueden ser usados para validar simuladores de yacimientos, ver [6].

1.2. Propiedades de la roca y fluidos en el yacimiento

1.2.1. Propiedades de la roca

Porosidad.- La porosidad que la notaremos con la letra griega φ se define

como la relación entre el volumen poroso y el volumen total de la roca. La

porosidad puede clasificarse, según su conectividad en porosidad total y po-

rosidad efectiva.

Porosidad total.-Es aquella que toma en cuenta a los poros interconectados y

a aquellos que se encuentran aislados. Matemáticamente se la representa por

medio de la siguiente expresión, ver [6]:

φ =volumen de poros

volumen total de roca.

Porosidad efectiva.-Es aquella porosidad en la cual se incluye solo los poros

inteconectados, la cual está representada por φe f y cuya expresión matemática

es, ver [6]:

φe f =volumen de poros interconectados

volumen total de roca,

7

De manera general

φe f ≤ φ ,

es decir, la porosidad efectiva es menor que la porosidad total, el caso ideal se

daría cuando estos dos valores fueran iguales. Se debe notar que la porosidad

en cualquiera de los casos es adimensional y se expresa en porcentaje.

La porosidad está en función de la presión debido a la compresibilidad de la

roca, la compresibilidad de la roca se expresa como, ver [6]:

CR =1φ

∂φ∂ p

,

integrando obtenemos la porosidad de la siguiente manera:

φ = φ 0eCR(p−p0),

donde φ 0 es la porosidad a la presión de referencia p0, que generalmente es

la presión atmosférica. Expandiendo en series de Taylor y despreciando los

términos de alto orden para una roca ligeramente compresible, tenemos:

φ ≈ φ 0(1+CR(p− p0)).

Conductividad hidráulica.- La notaremos con K y se define como la inter-

acción entre la matriz porosa y los fluidos. Se expresa como, ver [6]:

K = krαkραgµα

,

donde kr representa la permeabilidad relativa de la fase , k la permeabilidad

intrínseca de la roca, ρ la densidad que es la división entre la masa del cuerpo

y su volumen, g la gravedad y por último µ la viscosidad, α representa las

diferentes fases en el yacimiento.

Permeabilidad.- También conocida como permeabilidad absoluta de la roca,

8

es la capacidad que tiene la roca para permitir el paso de los fluidos a través

de sus poros y se mide en mili-darcy (md).

1.2.2. Propiedades de los fluidos

• Fase.- Se define como la parte químicamente homogénea de un fluido

que se separa de otras por una interfase. En la simulación de yacimientos

se emplean las fases agua(w), aceite(o), gas(g).

• Componente.- Es lo que compone un sistema y puede estar contenido

en una fase.

• Tipos de fluidos presentes en el yacimiento.- En el yacimiento se pue-

den presentar de manera simultánea el agua, aceite y gas. Este tipo de

fluidos se los puede clasificar en compresibles, ligeramente compresi-

bles e incompresibles, dependiendo de la presión.

Fluidos compresibles: Es aquel en que la densidad aumenta a medida

que la presión también aumenta pero se estabiliza a presiones altas. El

gas a condiciones de yacimiento se considera compresible.

Fluidos ligeramente compresibles: En este tipo de fluidos se presenta

una pequeña compresibilidad la cual se mantiene constante. A condicio-

nes de yacimiento, el agua y el aceite se pueden considerar ligeramente

compresibles.

Fluidos incompresibles: Es aquel que posee compresibilidad igual a

cero, esto es, que su densidad no depende de la presión.

Compresibilidad.- La compresibilidad está definida como el cambio de vo-

lúmen (V ) o densidad (ρ) en función de la presión para una determinada

9

Figura 1.1: Relación densidad-presión [6]

temperatura (T ), esto es, ver [6]:

c f =−1V

∂V∂ p

∣∣∣∣T= − 1

ρ∂ρ∂ p

∣∣∣∣T

integrando la ecuación anterior tenemos que la densidad se expresa como:

ρ = ρ0ec f (p−p0)

donde ρ0 es la densidad a una presión de referencia p0. Expandiendo en series

de Taylor y truncando los términos no lineales tenemos la siguiente expresión

que es una aproximación para la densidad en función de la presión para fluidos

ligeramente compresibles, ver [6].

p≈ ρ0(1+ c f (p− p0))

Factor de solubilidad del gas.- Está definido como el cociente entre el vo-

lumen del gas medido a condiciones estándar, disuelto a presión, temperatura

del yacimiento, y el volumen de aceite en las mismas condiciones. Lo notare-

mos por RSO, ver [6].

RSO =VGSVOS

10

donde el subíndice s nos indica que el volumen es a condiciones estándar, las

letras G represanta el componente gas y O el componente aceite. Frecuente-

mente las unidades se expresan en SCF/STB por sus siglas en inglés (standard

cubic feet / stock tank barrels). Notemos que:

VOS =WOρOS

, VGS =WGρGS

de modo que la ecuación de factor de solubilidad del gas se convierte en, ver

[6]:

RSO =WGρOSWOρGS

Factor de formación de volumen.- Es el cociente entre el volumen V de

una fase a condiciones de yacimiento y el volumen VS de la fase medida a

condiciones estándar. Las unidades se expresan en RB/ST B para líquidos y

RB/SCF para gases, RB (reservoir barrels). Para una fase α el factor en fun-

ción de la densidad está dado por, ver [6]:

Bα(p,T ) =ρα,sρα

,

Para el aceite que tiene gas disuelto se tiene que, ver [6]:

VO =WO +WG

ρ0,

por tanto el factor de formación de volumen está dado por, ver [6]:

BO =WO +WGρOS

WOρO.

Densidad del fluido.- La densidad de una fase α está definida como, ver [6]:

ρ =ρSB,

Observemos que las fracciones de masa de aceite y gas disuelto en aceite son

11

respectivamente:

COO =WO

WO +WG=

ρOSBOρO

,

CGO =WO

WG +WG=

RSOρGSBOρO

.

Tomando COO +CGO = 1 se tiene la densidad de la fase de aceite, ver [6]:

ρO =RSOρGS +ρOS

BO.

Viscosidad.- Cuando el fluido está en movimiento y se resiste a una fuerza

de corte que se le aplica, a esa energía disipada se le conoce como viscosidad

y será denotada por µ . La viscosidad depende de la presión, temperatura y de

los componentes de cada fase, ver [6].

1.3. Interacción Roca-Fluidos

• Saturación.-La saturación de una fase α cualquiera en un medio poroso

se define como la razón entre el volumen de la fase α y el volumen de

poros, esto es, ver [6]:

Sα =volumen de la fase α

volumen de poros,

donde S es la saturación y el subíndice α representa a los tres tipos de

fluidos que pueden existir en el subsuelo, estos son, petróleo (α = o),

agua (α = w), gas (α = g). Así tendremos las siguientes saturaciones:

saturación de petróleo (So), saturación de agua (Sw) y saturación de gas

(Sg).

Cabe recalcar como en el caso de la porosidad, que la saturación de una

fase α es adimensional y se expresa en porcentaje.

Además, la sumatoria de las saturaciones de todos los fluidos presentes

12

en el medio poroso de una roca debe ser igual a 1.

Si tenemos un medio poroso saturado por petróleo, agua y gas, entonces,

ver [6]:

So +Sw +Sg = 1,

A manera de ejemplo, si los poros están llenos de petróleo, sucederá

que:

So = 1 , Sw = Sg = 0.

• Permeabilidad relativa.- Es la capacidad de una fase para fluir en un

medio poroso y en presencia de otras fases. La denotamos por krα .

• Movilidad.- Se define como el cociente entre la permeabilidad relativa

krα y la viscosidad µ . En un sistema trifásico (w,o,g) se tiene, ver [6]:

λw =krwµw

, λo =kroµo

, λg =krgµg

.

y la movilidad total estará dada por, ver [6]:

λ = λw +λo +λg.

• Flujo fraccional.- Describe la razón de flujo volumétrico fraccional de

una fase α bajo un gradiente de presiones determinado, en presencia de

otras fases, ver [6]:

fw =λwλ

,λoλ

,λgλ,

13

CAPÍTULO 2

MODELOS MATEMÁTICOS

En este capítulo se presenta algunos resultados fundamentales y las ecuaciones que

se emplean en el flujo de fluidos en un medio poroso aplicando la formulación

axiomática, veáse [2].

2.1. Formulación axiomática básica de modelos

matemáticos

En esta formulación se trata de determinar las propiedades intensivas y extensivas

del fenómeno de estudio utilizando balances de ellas para un volumen que será

denotado como B(t) el cual es un sistema continuo.

Propiedades intensivas: A cada partícula de un cuerpo material B se le asig-

nan propiedades que están representadas por funciones que son propias del

sistema que se vaya a estudiar, las cuales pueden ser, porosidad, densidad,

temperatura, entre otros. A estas funciones se les denomina propiedades in-

tensivas, que pueden ser funciones escalares o vectoriales y están en función

de x y t.

Estas propiedades pueden ser representadas de dos formas, una de ellas es

la representación Lagrangeana φ(x, t) en honor al matemático Joseph Louis

Lagrange (1763-1813), la cual usa como sistema de coordenadas las coorde-

nadas materiales. Esta representación es utilizado en el estudio de cuerpos

sólidos ya que los desplazamientos de las partículas son cortos.

14

Por otro lado tenemos la representación Euleriana ψ(x, t) en honor al mate-

mático Leonard Euler (1707-1783) cuyo sistema de referencia es el espacio

físico, esta representación se la realiza para el estudio de dinámica de fluidos

ya que los desplazamientos de las partículas son largos.

Propiedades extensivas: Las propiedades extensivas de un cuerpo son aque-

llas funciones de variable escalar o vectorial que se representa mediante la

siguiente integral, ver [6]:

E(B(t), t) =∫

B(t)ψ(x, t)dx, (2.1)

donde x es la posición y t representa el tiempo. En esta expresión el integrando

es la propiedad intensiva que denotaremos como ψ(x, t). La expresión ante-

rior nos indica que a cada propiedad intensiva sobre un dominio que ocupa

algún cuerpo B(t) le corresponde una y solo una propiedad extensiva.

2.1.1. Ecuaciones de Balance

Utilizaremos dos tipos de ecuaciones de balance para los modelos matemáticos,

ecuación de balance global y ecuación de balance local.

Ecuación de balance global

La ecuación de balance global está asociada a la propiedad extensiva E(t), esta

ecuación determina el balance que un cuerpo debe tener en el transcurso del tiempo

y está dado por la siguiente expresión, ver [6]:

dEdt

=ddt

∫B(t)

ψ(x, t)dx =∫

B(t)q(x, t)dx+

∫∂B(t)

τ(x, t) ·n(x, t)dx, (2.2)

donde q(x, t) representa las fuentes en el interior del cuerpo, si se tuviesen pérdidas

en el interior del cuerpo basta con cambiar el signo de dicho término, τ(x, t) repre-

senta el vector de flujo de la propiedad extensiva y n(x, t) es el vector normal sobre

15

la frontera ∂B(t).

Ecuación de balance local

La ecuación de balance local se encuentra definida en términos de la propiedad in-

tensiva. Esta ecuación se deduce a partir de la ecuación de balance global al aplicar

el Teorema de Gauss generalizado, de hacer una relación entre la propiedad inten-

siva y la propiedad extensiva, y también de emplear la definición de velocidad de

superficie, ver [6].∂ψ∂ t

+∇ · (vψ) = q+∇ · τ. (2.3)

donde el término ψ es la propiedad intensiva, v es la velocidad con la que se des-

plaza la propiedad, q es la fuente en el interior y ∇ · τ es el flujo a través de la

frontera.

2.1.2. Sistemas Multifásicos

En un sistema multifásico a cada fase se le asocia un material con ciertas propie-

dades mecánicas, cuando se tiene más de una fase líquida. La diferencia entre las

distintas fases se debe a que las partículas de cada fase se desplazan a diferentes

velocidades, eso es lo que caracteriza a un sistema multifásico. De esta forma en

este sistema se definen tantas velocidades como fases existan.

Los modelos matemáticos básicos de los sistemas continuos se distinguen por una

familia de propiedades extensivas (E1,E2, ...,EN) cada una de ellas están definidas

por (2.1)

2.2. Modelo Matemático para Sistemas Multifásicos

Así como en el modelo de una fase, en los sistemas multifásicos la masa es la

propiedad extensiva de cada una de las fases α , la cual la denotaremos como, ver

[6]:

E =∫

B(t)φραSα dx,

16

donde φ es la porosidad del medio, ρ la densidad, S la saturación y α indica las

diferentes fases que existen (agua(w), petróleo(o), gas(g)). Observamos que la pro-

piedad intensiva asociada al sistema está dada por, ver [6]:

ψα = φραSα .

Para un sistema donde no hay difusión, esto es τ = 0, y aplicando la ecuación (2.3),

obtenemos la ecuación de balance local para la masa del fluido de la fase α , que la

expresamos como, ver [6]:

∂ (φ)ραSα∂ t

+∇ · (vφραSα) = qα

A la velocidad de Darcy para una fase α la denotamos por vα = vφSα , reemplazando

esta velocidad en la ecuación anterior, tenemos que la ecuación de balance de masa

para la fase α en un sistema multifásico se expresa como, ver [6]:

∂ (φ)ραSα∂ t

+∇ · (ραvα) = qα . (2.4)

Tenemos también la Ley de Darcy para sistemas multifásicos, ver [6]:

vα =−kkrαµα

(∇pα −ραg), (2.5)

donde krα representa la permeabilidad relativa de la fase α , µ es la viscosidad y pα ,

y la densidad expresada por ρα .

Definamos la movilidad de la fase α como, ver [6]:

λα =krαµα

,

Sustituyendo (2.5) en (2.4) llegamos a, ver [6]:

∂ (φραSα)∂ t

−∇ · (ραλαk(∇pα −ραg)) = qα . (2.6)

17

La ecuación (2.6) es en sí un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de se-

gundo orden y en general no lineales.

En los modelos matemáticos se emplean ecuaciones constitutivas, en particular para

un sistema multifásico totalmente saturado, se usan las siguientes ecuaciones cons-

titutivas, ver [6]:N

∑α=1

Sα = 1, (2.7)

pcα1α2 = pα1− pα2 ; α1 6= α2. (2.8)

Para N número de fases, donde α1 es la fase no mojadora y α2 la fase mojadora.

Observemos que las ecuaciones (2.6), (2.7) y (2.8) forman un sistema de ecuaciones

fuertemente acopladas.

Para nuestro caso utilizaremos el Modelo Monofásico.

2.2.1. Modelo Monofásico

En este caso asumimos que el único fluido en movimiento en el medio poroso es el

petróleo, en consecuencia el movimiento se da solo por efecto de la diferencia de

presiones, de esta manera el objetivo del modelo es determinar la evolución de la

presión del petróleo, ver [6].

∂ (φρS)∂ t

−∇ · (ρλk(∇p−ρg)) = q,

Denotaremos por Ω el medio poroso por el cual se realiza el movimiento que nos

permite saber el dominio de validez de las ecuaciones diferenciales del modelo,

T > 0.

De modo que nuestro modelo quedaría de la forma:

∂ (φρS)

∂ t −∇ · (ρλk(∇p−ρg)) = q, sobre Ω×]0,T [,

+ Condiciones iniciales

+ Condiciónes de frontera

(2.9)

18

2.2.2. Condiciones Iniciales y de Frontera

Sea Ω un dominio de R2 (acotado o no acotado en una dirección) con Γ su frontera,

las condiciones iniciales reflejan el estado de p en el instante inicial, es decir, si se

conoce la función p al instante t = 0, la función p(x,0), para todo x ∈ Ω, se llama

condición inicial. Esta función lo denotaremos con p0(x); esto es, ver [7]:

p(x,0) = p0(x), x ∈Ω,

Las condiciones de frontera o también llamadas condiciones de contorno, determi-

nan la interacción del fenómeno con el medio que lo rodea y esto solo puede darse

a través de su frontera, por tanto solo tienen sentido cuando el fenómeno de estudio

tiene frontera. Si consideramos que la función p en la frontera de Ω es una función

f1(x, t), con x ∈ Γ y t ≥ 0, entonces la expresión, ver [7]:

p(x, t) = f1(x, t), x ∈ Γ, t ∈ [T1,T2]

se llama condición de frontera de Dirichlet no homogénea si f1(x, t) 6= 0, por otro

lado si f1(x, t) = 0 será Dirichlet homogénea sobre Γ× [T1,T2].

Si el flujo en la frontera de Γ es una función conocida h(x, t), x ∈ Γ , es decir que

~τ(x, t) ·~n = h(x, t), x ∈ Γ, t ∈ [T1,T2],

donde~τ(x, t) es el flujo y~n es el vector normal exterior a Γ, se le conoce como con-

dición de Neumann. Si h = 0 sobre Γ, se dice condición de Neumann homogénea,

caso contrario se dice condición de Neumann no homogénea.

La combinación de las condiciones de frontera de Dirichlet y de Neumann se llaman

condiciones de frontera mixtas, ver [7]. De esta manera la ecuación para nuestro

19

modelo quedaría de la siguiente forma:∂ (φρS)

∂ t −∇ · (ρλk(∇p−ρg)) = q, sobre Ω×]0,T [,

p = p0 sobre 0×Ω,

p = 0 sobre ∂Ω× (0,T ).

(2.10)

2.3. Existencia y unicidad

2.3.1. Espacios Funcionales

Espacios de Banach y de Hilbert

Definición 1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma en V , que se nota

‖ · ‖V es una función de V en R que satisface las propiedades siguientes, ver [7]:

1. ‖ x ‖V≥ 0;∀x ∈V.

2. ‖ x ‖V= 0⇔ x = 0.

3. ‖ λx ‖V=| λ | ‖ x ‖V , ∀λ ∈ R,x ∈V.

4. ‖ x+ y ‖V≤‖ x ‖V + ‖ y ‖V , ∀x,y ∈V. (desigualdad triangular)

El par (V,‖ · ‖V ) se llama espacio normado, en lo sucesivo diremos simplemente V

es un espacio normado, entendiéndose naturalmente que ‖ · ‖V es la norma definida

en V , ver [7].

Definición 2. Sea (xn) una sucesión en un espacio normado V . Se dice que un

elemento x ∈V es el límite de (xn) si, ver [7]

‖ xn− x ‖→ 0, cuando n→ ∞.

Definición 3. Se dice que (xn) es una sucesión de Cauchy si

∀ε > 0, ∃η0(ε) ∈ N tal que ∀m,n≥ η0(ε)⇒‖ xm− xn ‖V< ε

20

Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy, el recíproco, en general,no

es cierto, ver [7]

Definición 4. Un espacio normado V se dice completo si toda sucesión de Cauchy

en V es convergente. Un espacio de Banach es un espacio normado completo, ver

[7].

Definición 5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto escalar en V, que

se denota con (·, ·)V , es una función de V ×V en R que verifica las propiedades

siguientes, ver [7]:

1. (x,y)V = (y,x)V ∀x,y ∈V.

2. (x+ y,z)V = (x,z)V +(y,z)V ∀x,y,z ∈V.

3. (λx,y)V = λ (x,y)V ∀λ ∈ R, ∀x,y ∈V.

4. (x,x)V ≥ 0 y (x,x)V = 0⇔ x = 0 ∀x,y ∈V.

Un espacio vectorial V provisto de un producto escalar (·, ·)V se llama espacio eu-

clídeo, ver [7].

Todo espacio euclídeo V puede ser normado si se le provee de la norma siguiente,

ver [7]:

‖ x ‖V=√(x,x)V ∀x ∈V.

Esta norma ‖ · ‖V se dice inducida por el producto escalar (·, ·)V . Resulta así que V

es un espacio normado, ver [7].

En un espacio euclídeo V se verifica la siguiente desigualdad:

| (x,y)V |≤‖ x ‖V‖ y ‖V , ∀x,y ∈V,

llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz, ver [7].

21

Definición 6. Un espacio de Hilbert V es un espacio euclídeo que como espacio

normado es completo, ver [7].

Definición 7. Sea V un espacio euclídeo. Decimos que x es ortogonal a y, que se

escribe x⊥ y si (x,y)V = 0, ver [7].

Definición 8. Sea V un espacio normado, x ∈V y K ⊂V . La distancia de x a K se

define como, ver [7]

d(x,K) = ínfv∈K ‖ x− v ‖V .

Proyección sobre un convexo cerrado.

Teorema 1. Sea V un espacio de Hilbert real, K ⊂V un convexo cerrado y x ∈V

1. Existe un único y ∈ K tal que

‖ x− y ‖V= minv∈K ‖ x− v ‖V ,

además, este elemento ”y” puede caracterizarse por

(x− y,v− y)V ≤ 0, ∀v ∈ K.

2. Sea PK : V →K la aplicación definida por PK(x) = y donde x e y e y están ligadas

según el punto anterior, entonces

‖ PK(x1)−PK(x2) ‖V≤‖ x1− x2 ‖V , ∀x1,x2 ∈V.

3. Si K ⊂V es un subespacio cerrado y x ∈V . Entonces y = PK(x) es tal que

(x− y)⊥ v, ∀v ∈ K

Principio de la aplicación contractiva

22

Definición 9. Sea V un espacio de Banach, M ⊂ V , M 6= /0 y Φ : M → M una

aplicación, ver [7].

1. Se dice que Φ es una aplicación contractiva si existe k, 0 < k < 1, tal que

‖Φ(x)−Φ(y) ‖V≤ k ‖ x− y ‖V ∀x,y ∈M.

2. Un elemento x ∈M se llama punto fijo de Φ si

Φ(x) = x.

Teorema 2. (Banach del punto fijo) Sea V un espacio de Banach, M⊂V con M 6= /0

y M cerrado. Sea Φ : M→M una aplicación contractiva. Entonces existe un único

x ∈M tal que φ(x) = x, ver [7].

Aplicaciones lineales continuas

Definición 10. Sean V, W dos espacios reales normados con ‖ · ‖V , ‖ · ‖W respecti-

vamente, ver [7].

1. Una aplicación T de V en W se dice lineal si verifica la condición:

T (αx+βy) = αT (x)+βT (y), ∀α,β ∈ R, ∀x,y ∈V.

2. Sea T : V →W una aplicación lineal. El conjunto ker(T ) = {x ∈V : T (x) = 0}

se llama núcleo de T, el conjunto R(T ) = {T (x) : x ∈ V} se llama recorrido de

T.

3. Una aplicación lineal T de V en W se dice continua si

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ‖ x− y ‖V< δ ⇒‖ T (x)−T (y) ‖W< ε.

23

El conjunto ker(T ) es un subespacio de V , R(T ) es un subespacio de W . Además,

si V y W son de dimensión finita, las dimensiones de ker(T ) y de R(T ) están rela-

cionadas del modo siguiente, ver [7]:

dimKer(T )+dimR(T ) = dimV.

Una aplicación lineal T de V en W es inyectiva si ker(T ) = 0 y es sobreyectiva si

R(T ) =W . . La aplicación lineal T se dice invertible si T es biyectiva, esto es, T es

inyectiva y sobreyectiva.

Se demuestra que las siguientes proposiciones son equivalentes, ver [7]:

1. T es continua.

2. T es continua en el origen.

3. T es acotada en la bola unitaria cerrada B(0,1).

4. Existe una constante C > 0 tal que ‖ T (x) ‖W≤C ‖ x ‖V ∀x ∈V

Por otra parte, se prueba que una aplicación lineal T de V en W es continua, si

y solo si, para toda sucesión (xn) ⊂ V convergente a x ∈ V , la sucesión (T (xn))

es convergente a T (x). Se designa con L (V,W ) al espacio vectorial de todas las

aplicaciones lineales continuas de V en W . En tal espacio introducimos la norma

siguiente, ver [7]:

‖ T ‖L (V,W )= sup‖x‖≤1 ‖ T (x) ‖W , ∀T ∈L (V,W ),

con lo cual L (V,W ) es un espacio normado. Si V =W , notamos L (V ) en vez de

L (V,W ). Por otro lado, si W es un espacio de Banach, se prueba que L (V,W )) es

también un espacio de Banach.

Particularmente, si W = R, el espacio L (V,R) se nota con V ∗ y se denomina es-

pacio dual de V . Los elementos de V se denominan formas lineales continuas o

24

funcionales lineales continuos. La norma de V ∗ está definida por, ver [7]:

‖ T ‖V ∗= sup‖x‖V≤1 | T (x) |, ∀T ∈V∗

Teorema 3. (representacion de Riesz. ) Sea V un espacio real de Hilbert y V ∗ su

dual. Para cada L ∈V existe un único ξ ∈V tal que, ver [7]:

L(v) = (ξ ,v) ∀v ∈V,

y

‖ L ‖V ∗=‖ ξ ‖V ∗ .

Además, existe Φ ∈L (V ∗,V ) tal que

Φ(L) = ξ

y

‖Φ(L) ‖V=‖ L ‖V ∗

Definición 11. Sean V,W dos espacios reales de Hilbert, T ∈L (V,W ). Denotamos

con T ∗ ∈L (W,V ) el operador adjunto de T definido por, ver [7]

(T (u),v)W = (u,T∗(v))V ∀u ∈V, v ∈W.

Formas bilineales continuas

Definición 12. Sea V, W espacios vectoriales reales. Una aplicación a(·, ·) de V×W

en R se dice forma bilineal en V ×W si, ver [7]:

1. a(αx+βy,z) = αa(x,z)+βa(y,z) , ∀α,β ∈ R, x,y ∈V, z ∈W,

2. a(x,αy+β z) = αa(x,y)+βa(x,z) , ∀α,β ∈ R, x,y ∈V, z ∈W,

25

Si V =W una forma bilineal en V ×V se dice simplemente forma bilineal en V . Se

dice que una forma bilineal a(·, ·) es simétrica si a(·, ·) es una forma bilineal en V y

se verifica que, ver [7]:

a(x,y) = a(y,x), ∀x,y ∈V

Definición 13. Sean V, W espacios normados y a(·, ·) una forma bilineal en V ×W.

Se dice que a(·, ·) es continua si existe una constante M > 0 tal que, ver [7]:

a(x,y)≤M ‖ x ‖V‖ y ‖W , ∀x ∈V, y ∈W.

Definición 14. Sea V un espacio de Hilbert real y a(·, ·) una forma bilineal en V. Se

dice que a(·, ·) es coerciva si existe una constante α > 0 tal que, ver [7]:

a(x,x)≥ α ‖ x ‖2V , ∀x ∈V.

Sea V un espacio de Hilbert real y a(·, ·) una forma bilineal en V, utilizando el

teorema de representación de Riesz, se prueba que existe T ∈ L (V ) tal que, ver

[7]:

a(x,y) = (x,T (y))V , ∀x,y ∈V.

Teorema 4. (Stampacchia. ) Sea V un espacio real de Hilbert y a(·, ·) una forma

bilineal, continua y coerciva en V , K ⊂ V , K 6= /0 ; un convexo cerrado y f ∈ V .

Entonces existe un único û ∈ K tal que, ver [7]:

a(û,v− û)≥ ( f ,v− û)V , ∀v ∈ K.

Teorema 5. (Lax-Milgram )Sea V un espacio real de Hilbert a(·, ·) una forma bili-

neal, continua y coerciva en V . Si L ∈ V ∗, entonces existe un único û ∈ V tal que,

ver [7]

a(û,v) = L(v), ∀v ∈V,

26

y

‖ û ‖V≤1α‖ L ‖V ∗

Espacio Lp(Ω)

En lo sucesivo supondremos que el lector esta familiarizado con la integral de Le-

besgue.

Definición 15. Sea Ω un abierto en Rn y 1 ≤ p < ∞. El espacio Lp(Ω) se define

como el conjunto de clases de funciones cuyo valor absoluto es p integrable sobre

Ω, es decir, ver [7]:

f ∈ Lp(Ω)⇐⇒ f medible y∫

Ω| f |p< ∞

La norma definida en este espacio es, ver [7]:

‖ f ‖Lp(Ω)=(∫

Ω| f |p dx

)1/pLos resultados que se enuncian a continuacion son los principales en cuanto a refle-

xibidad, separabilidad y dualidad de los espacios Lp(Ω), ver [7].

Sea Ω un abierto de R2 y p,q ∈ [0,∞] tales que 1p +1q = 1,

1. Si 1 < p < ∞, entonces Lp(Ω) es reflexivo, separable y el dual de Lp(Ω) se

identifica a Lq(Ω) esto es (Lp(Ω))∗ = Lq(Ω)

2. Si p = 1, entonces L1(Ω) es separable, por lo tanto Lp(Ω) es separable para

1≤ p < ∞.

El dual de L1(Ω), es L∞(Ω), es decir(L1(Ω)

)∗= L∞(Ω).

El espacio L1(Ω) no es reflexivo.

3. Si p = ∞ se tiene:

L∞(Ω) no es reflexivo, puesto que L1(Ω) no lo es.

L∞(Ω) no es separable.

L1(Ω)⊂ (L∞(Ω))∗

27

Espacio de las distribuciones

La teoría de distribuciones libera el cálculo diferencial de ciertas dificultades crea-

das por la existencia de funciones no diferenciables, para conseguirlo el método

consiste en extender el cálculo a una clase de nuevas funciones (llamadas distribu-

ciones ) mucho más amplia que la clase de funciones diferenciables en el sentido

ordinario. Algunas características que tal extensión deberá poseer para ser de utili-

dad son, ver [7]:

Toda función continua es una distribución.

Toda distribución deberá poseer derivadas parciales en el sentido de las dis-

tribuciones, que serán también distribuciones.

Para funciones diferenciables en el sentido ordinario la nueva derivada debe

coincidir con la derivada ordinaria.

Las reglas formales del cálculo deben seguir en vigencia.

Los espacios C∞(Ω), D(Ω)

Sea Ω un conjunto abierto de Rn, u una función definida en Ω. El soporte de u lo

notaremos con Sop(u) y es el subconjunto de Ω definido por, ver [7]:

Sop(u) = {x ∈Ω | u(x) 6= 0},

donde la barra denota la adherencia o clausura del conjunto {x ∈Ω/u(x) 6= 0.

Luego notamos C0(Ω) el espacio de funciones continuas en Ω de soporte compacto

contenido en Ω. Se designa con Cm(Ω) el espacio de funciones reales u : Ω→ R,

que poseen derivadas continuas en Ω hasta el orden m, particularmente si m = 0

se tiene C0(Ω) que es el espacio de funciones reales continuas en Ω. C0(Ω)

es un

28

espacio de Banach con la siguiente norma, ver [7]:

‖ f ‖C0(Ω)= maxx∈Ω | f (x) |

Se definen

C∞(Ω) =∞⋂

m=0

Cm(Ω),

C∞0 (Ω) =C∞(Ω)∩C0(Ω).

El conjunto C∞0 (Ω) se lo nota generalmente con D(Ω). Un elemento de D(Ω) se

dice función test o función de base, ver [7].

Definición 16. Sea Ω un abierto en Rn. Una distribución sobre Ω es todo funcional

T lineal y continuo sobre D(Ω). El conjunto de todas las distribuciones sobre Ω se

designa con D′(Ω), ver [7]:

Lo que sigue fue obtenido de [14]

Tomando la presión como incógnita, la ecuación (2.9) se convierte en, [14]:

∂Θ(P)∂ t

−∇ ·K(Θ)∇P−ρ~g = q (2.11)

donde P es la presión, Θ = φρ SS, K = ρλk y~g = (0;9,8) el vector gravedad.

Suponiendo como constante la presión constante del aire, en la región totalmente

saturada tenemos P ≥ 0, mientras que P < 0 para regiones parcialmente saturadas.

Aquí estamos interesados tanto en el flujo parcialmente saturado como en el no

saturado, por lo tanto, mantenemos como incógnita la presión.

Para nuestro problema usaremos la transformada de Kirchhoff, la cual está definida

por, [14]:

K : R−→ R

p 7−→∫

p

0K(θ(s))ds.

(2.12)

29

Debido a las propiedades de K y Θ asumidas a continuación, K es invertible.

Considerando u := K (P) como incógnita, definimos, [14]

b(u) := Θ◦K −1(u),

k(b(u)) := K ◦Θ◦K −1(u),(2.13)

de esta manera, (2.11) se convierte en, [14]:

∂b(u)∂ t−∇ · (∇u− k (b(u))ρ~g) = q sobre ]0,T [×Ω (2.14)

Estamos interesados en resolver la ecuación (2.14) con condiciones iniciales y de

frontera,

∂b(u)∂ t −∇ · (∇u− k(b(u))ρ~g ) = q sobre Ω×]0,T [,

u = u0, sobre 0×Ω

u = 0, sobre J×Γ

(2.15)

Para nuestro problema hacemos uso de las siguientes hipótesis, [14]:

a) Ω⊂ Rd(d ≥ 1) es acotada con una frontera Lipschitz continua.

b) b ∈C1 es tal que 0≤ b′(u)≤ Lb para u ∈ R.

c) k(b(z)) es continua y acotada en z y satisface, para todo z1, z2 ∈ R.

|k (b(z2))− k (b(z1))|2 ≤Ck (b(z2)−b(z1))(z2− z1) (2.16)

d) b(u0) está esencialmente acotado en Ω y u0 ∈ L2(Ω) .

Debido al carácter degenerativo, las soluciones de (2.15) deben entenderse en un

sentido débil. Definimos como (·, ·) al producto interno en L2 (Ω) o el par de dua-

lidad entre H10 (Ω) y H−1 (Ω), de la misma manera ‖ · ‖ para la norma en L2 (Ω),

‖ · ‖1 y ‖ · ‖−1 para las normas en H10 (Ω) y H−1 (Ω) respectivamente.

30

Para las funciones con valores vectoriales, el producto interno y la norma de L2 se

definen sumando sus respectivas componentes.

Se utilizan notaciones análogas para el producto interno y la norma correspondien-

te en L2 (0,T,H ) con H siendo ya sea L2(Ω), H1(Ω) o H−1(Ω). Además, con

frecuencia escribimos u o u(t) en lugar de u(t,x) y usamos C para denotar una

constante genérica positiva, sin depender de los parámetros de discretización.

Una solución débil para el problema (2.15) se define como (ver [1])

Definición 17. Una función u se llama una solución débil para la ecuación (2.15)

si y sólo si b(u)∈H1(0,T ;H−1(Ω)

), u∈ L2

(0,T ;H10 (Ω)

), u(0) = u0 (en el sentido

H−1) y para todo ϕ ∈ L2(0,T ;H10 (Ω)

)se tiene

∫ T0

(∂b(u(t))

∂ t,ϕ(t)

)+(∇u(t)− k(b(u(t)))ρ~g,∇ϕ(t)) dt = q (2.17)

La existencia, unicidad para una solución débil del problema anterior se estudian en

varios artículos (ver, por ejemplo [1] y las referencias en ellos).

31

CAPÍTULO 3

MODELO NUMÉRICO

En esta sección se desarrolla la discretización de nuestra ecuación. Para la discreti-

zación en el tiempo usaremos el Método de Euler implícito, para tratar el problema

de la no linealidad usaremos el Método de Picard Modificado y para la discretiza-

ción espacial usaremos el Método de Elementos Finitos mediante la implementa-

ción del software FreeFem++.

3.1. Discretización

3.1.1. Método de Euler implícito

El siguiente método fue obtenido de [8].

Sea Ω⊂ R2, (a,b) ∈Ω, h, k ∈ R no nulos tales que (a+h,b),(a,b+ k),(a+h,b+

k) ∈ Ω. Sea f una función real continua en Ω. En un punto arbitrario (x,y) ∈ Ω

notamos z = f (x,y).

Se define la derivada parcial de f respecto de x en el punto (a,b) notada por ∂ f∂x (a,b),

se define como, ver [8]:

∂ f∂x

(a,b) = lı́mh→0

f (a+h,b)− f (a,b)h

,

32

siempre que el límite exista. De la misma manera, la derivada parcial de f respecto

de y en el punto (a,b) notada por ∂ f∂y (a,b), se define como, ver [8]:

∂ f∂y

(a,b) = lı́mk→0

f (a,b+ k)− f (a,b)k

,

siempre que el límite exista.

i) Para h 6= 0 suficientemente pequeño, ponemos z0 = f (a,b), z1 = f (a+h,b), el

cociente

f̃x(a,b) =z1− z0

h,

es una aproximación de ∂ f∂x (a,b) mediante una diferencia finita progresiva.

ii) Si z0 = f (a,b), z1 = f (a−h,b) con h 6= 0 suficientemente pequeño, el cociente

f̃x(a,b) =−z1− z0

h,

es una aproximación de ∂ f∂x (a,b) mediante una diferencia finita regresiva.

iii) Si h 6= 0 suficientemente pequeño, z1 = f (a+h,b), z2 = f (a−h,b), el cociente

f̃x(a,b) =z1− z2

2h,

es una aproximación de ∂ f∂x (a,b) mediante una diferencia finita central. De ma-

nera similar a i), ii), iii) se procede para aproximar ∂ f∂y (a,b), ver [8].

3.1.2. Esquema implícito

Tomando nuestra ecuación con sus condiciones iniciales y de frontera, procedere-

mos con la discretización:∂ (φρS)

∂ t −∇ · (ρλk(∇p−ρ~g)) = q, sobre Ω×]0,T [,

p = p0 sobre 0×Ω,

p = 0 sobre ∂Ω× (0,T ).

(3.1)

33

Discretización en el tiempo (k)

Para resolver el problema primero discretizamos la variable temporal para lo cual

fijamos Nt que es el numero de divisiones temporales y definimos ht = TNt con lo cual

se tiene que tk = k ·ht , k = 0,1,2, ...,Nt , de esta manera la discretización temporal

es {t0 = 0, t1, t2, ..., tNt = T} como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.1: Discretización en la variable temporal [7]

Con esta malla temporal hacemos una aproximación mediante diferencias finitas de

la derivada temporal ∂ (φρS)∂ t ,

∂ (φρS)k∂ t

=(φρS)k+1− (φρS)k

ht

donde (φρS)k =(φρS)(x, tk). Así, nuestro problema discretizado en la variable tem-

poral queda,

(φρS)k+1− (φρS)kht

−∇ · ((ρλk)k+1∇(Pk+1)−ρ~g)) = qk+1

Multiplicando por ht a ambos lados de la ecuación anterior tenemos:

−ht∇ · ((ρλk)k+1∇(Pk+1)−ρ~g)+(φρS)k+1 = htqk+1 +(φρS)kHallar Pk+1 tal que

−ht∇ · ((ρλk)k+1∇(Pk+1)−ρ~g)+(φρS)k+1 = htqk+1 +(φρS)k sobre Ω×]0,T [,

Pk+1|∂ t = 0(3.2)

la no linealidad lo trataremos con el Método de Picard modificado.

De esta forma nuestro problema se reduce a la resolución de ecuaciones no linea-

34

les. Para ello aplicamos el método iterativo de Picard modificado para linealizar el

problema.

Distretización para las no linealidades (n)

(φρS)n+1k+1−ht∇ ·((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−φρS

)= htqk+1 +(φρS)k (3.3)

Aproximación de Taylor para (φρS)n+1k+1

(φρS)n+1k+1 = (φρS)(Pn+1k+1

)= (φρS)

(Pnk+1

)+(φρS)′

(Pnk+1

)(Pn+1k+1 −P

nk+1)

donde

(φρS)′(Pnk+1

)=

∂ (φρS)(Pn+1k+1

)∂P

=C(Pnk+1

)=Cnk+1

(φρS)n+1k+1 = (φρS)nk+1 +C

nk+1(Pn+1k+1 −P

nk+1)

(3.4)

Reemplazando (3.4) en (3.3)

(φρS)nk+1+Cnk+1(Pn+1k+1 −P

nk+1)−ht∇·

((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)= htqk+1+(φρS)k

Ordenando los términos de la ecuación anterior:

Cnk+1Pn+1k+1 −ht∇·

((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)= htqk+1+(φρS)k−(φρS)nk+1+C

nk+1P

nk+1

Hallar Pn+1k+1 tal que

Cnk+1Pn+1k+1 −ht∇ ·

((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)= htqk+1 +(φρS)k

−(φρS)nk+1 +Cnk+1P

nk+1 sobre Ω×]0,T [,

Pn+1k+1∣∣∂ t = 0

(3.5)

Esquema del algoritmo

35

Datos de entrada:

e,Tol,P0,N,T

ht = T/N

Para k = 1,2, ...,N

n = 0

P0k+1← Pk

Repetir

Hallar Pn+1k+1 tal que

Cnk+1Pn+1k+1 −ht∇ ·

((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)= htqk+1 +(φρS)k


nk+1 sobre Ω×]0,T [,

Pn+1k+1∣∣∂ t = 0

n = n+1

Hasta (‖ Pn+1k+1 −Pnk+1 ≤ e ‖) o (n > Tol)

Pk+1← Pnk+1Fin del Para

3.1.3. Método de elementos finitos

Descripción matemática del método

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema defini-

do mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general

cuatro etapas, véase [7]

1. El problema debe reformularse en forma variacional.

2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial pa-

ra problemas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una partición

en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se

construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elemen-

tos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por medio de una

36

combinación lineal en dicho espacio vectorial.

3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de

elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un

número finito de ecuaciones, aunque en general con un número elevado de ecua-

ciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio

vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha

dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.

4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un

problema de álgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio

vectorial de dimensión no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente en-

contrando una proyección sobre un subespacio de dimensión finita, y por tanto con

un número finito de ecuaciones (aunque en general el número de ecuaciones será

elevado típicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretización en

elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyección sencillo, logrando

además que la solución por el método de elementos finitos sea generalmente muy

exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los

vértices de los elementos finitos. Para la resolución concreta del enorme sistema de

ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los métodos convencionales del

álgebra lineal en espacios de dimensión finita aunque se obtiene mejores resultados

con métodos iterativos.

Formulación débil:

La formulación débil de una ecuación diferencial permite convertir un problema de

cálculo diferencial formulado en término de ecuaciones diferenciales en términos de

un problema de álgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente

de dimensión no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de

37

ecuaciones algebraicas. Dada una ecuación diferencial lineal de la forma, [7]:

Φ(u) = f ,

donde la solución es una cierta función definida sobre un dominio d-dimensional,

y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede

suponerse que la función buscada es un elemento de un espacio de funciones o

espacio de Banach V Luego la ecuación es equivalente a, ver [7]:

A(u) = f ,

donde u ∈V,

f ∈V,

A ∈ L(V,V ′),

y V ′ el espacio dual de V . La forma variacional o débil se obtiene multiplicando la

ecuación por v ∈ V e integrando sobre Ω, entonces el problema se transforma en,

ver [7] Hallar u ∈V tal que,a(u,v) = L(v), para todo v ∈V,donde:

a(u,v) = 〈Au,v〉 ,

y

L(v) =∫

Ωf v

Cuando el operador lineal es un operador elíptico, el problema se puede plantear

como un problema de minimización sobre el espacio de Banach.

Discretización del dominio

38

Dado un dominioΩ ⊂ R con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una

partición de Ω en "n elementos finitos", es una colección de n subdominios {Tk |

k = 1,2,n} que satisface, ver [7]:

1. Ω =⋃n

k=1 Tk

2. Tk es un conjunto compacto con una frontera de Lipschitz continua.

3. int(Tk)⋂

int(Tj) = φ para k 6= j.

Usualmente por conveniencia práctica y sencillez de análisis, todos los ”elementos

finitos” tienen la misma forma, es decir, existe un dominio de referencia T̃ y una

colección de funciones biyectivas {Fk : T̃ → Tk | k = 1,2, ...,n}. Este dominio de

referencia se suele llamar frecuentemente también dominio isoparamétrico. En los

análisis bidimencional el dominio de referencia se suele tomar como un triángulo

equilátero o un cuadrado, mientras que en los análisis tridimencionales, el domi-

nio de referencia típicamente es un tetraedro o un hexaedro. Además, sobre cada

elemento se considerar·n algunos puntos especiales, llamados nodos y que general-

mente incluir·n los vértices del elemento finito y se requerirá la condición adicional

de que dos elementos adyacentes compartan los nodos o aristas.

Una vez definida la partición en elementos finitos, se define sobre cada elemento

un espacio funcional de dimensión finita, usualmente formado por polinomios. Este

espacio funcional servirá para aproximar localmente la solución del problema va-

riacional. El problema variacional en su forma débil se plantea sobre un espacio de

dimensión no finita, y por tanto la función buscada será una función de dicho espa-

cio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, así que

en la práctica se considerará un subespacio de dimensión finita del espacio vecto-

rial original y en lugar de la solución exacta se calcula la proyección de la solución

original sobre dicho subespacio vectorial de dimensión finita, es decir, se resolverá

numéricamente el siguiente problema, ver [7]:

39

Sea Vh ⊂V un subespacio de dimensión finita de V Hallar uh ∈Vh tal que,a(uh,vh) = L(vh), para todo vh ∈V,Luego uh = PVh(u) ∈ Vh es la solución aproximada y PVh : V → Vh es el proyector

ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discre-

tización. Si la discretización es sufucientemente fina y el espacio funcional finito

sobre cada elemento está bien escogido, la solución numérica obtenida aproximará

razonablemente bien a la solución original. Eso implicará en general considerar un

número muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyección

de dimensión elevada. El error entre la solución exacta y la solución aproximada

puede acotarse gracias al lema de Ceá, que en esencia afirma que la solución exacta

y la solución aproximada satisfacen, ver [7]: ∃c ∈ R+ tal que,‖u−uh‖V ≤ c ínfvh∈Vh‖u−uh‖VEs decir, el error dependerá ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asocia-

do a la discretización en elementos finitos aproxime el espacio vectorial original.

Discretización espacial

Para tratar la discretización espacial implementaremos el programa FreeFem++ y

FreeFem++-cs que utiliza el método de elementos finitos para discretizar la ecua-

ción, se lo puede encontrar en el sitio https://freefem.org/ para FreeFem++ y

https://www.ljll.math.upmc.fr/lehyaric/ffcs/install.htm para FreeFem++

- cs.

Sea v ∈ H10 (Ω) multipliquemos a la ecuación (3.5) por v e integremos sobre Ω,

40

https://freefem.org/https://www.ljll.math.upmc.fr/lehyaric/ffcs/install.htm

tenemos, ver [7]:

∫Ω

Cnk+1Pn+1k+1 vdx−ht

∫Ω

∇·((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)vdx=

∫Ω(htqk+1+(φρS)k

− (φρS)nk+1 +Cnk+1P

nk+1)v dx (3.6)

Recordemos que:

∇ · (v~F) = v∇ · (~F)+(∇v) ·~F ,

es decir la divergencia de un campo escalar por un campo vectorial es igual el es-

calar multiplicado escalarmente por la divergencia del vector mas el gradiente del

escalar, multiplicado escalarmente por el vector. Integrando sobre Ω, tenemos

∫Ω

∇ · (v~F) =∫

Ω∇ · (~F)v+

∫Ω(∇v) ·~F

Aplicando el teorema de la divergencia a la ecuación anterior tenemos, ver [7]:

∫∂Ω

v~F~n =∫

Ω∇ · (~F)v+

∫Ω(∇v) ·~F

Como en la frontera v = 0, tenemos∫

∂Ω v~F~n = 0 De esta manera tenemos:

−∫

Ω∇ · (~F)v =

∫Ω(∇v) ·~F

Aplicando el resultado anterior en (3.6) y tomando ~F =((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

),

tenemos:

∫Ω

Cnk+1Pn+1k+1 vdx+ht

∫Ω

((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)∇vdx =

∫Ω(htqk+1+(φρS)k

− (φρS)nk+1 +Cnk+1P

nk+1)v dx (3.7)

41

Por lo tanto tenemos:

Dado Pk, Pnk+1 ∈ H10 (Ω).

Hallar Pn+1k+1 ∈ H10 (Ω) tal que:∫

ΩCnk+1P

n+1k+1 v dx+ht

∫Ω((ρλk)nk+1∇

(Pn+1k+1

)−ρ~g

)∇v dx =

∫Ω(htqk+1 +(φρS)k


nk+1)v dx

42

CAPÍTULO 4

MODELO COMPUTACIONAL Y RESULTADOS

NUMÉRICOS

El programa computacional se ha desarrollado en FreeFem++ versión 4.2.1 con un

procesador Intel(R) Core (TM) i5 CPU @ 2.27GHz. Lo que sigue fue obtenido de

[15].

4.1. Notas sobre FreeFem++

FreeFEM++ es un software especializado en la resolución de ecuaciones diferen-

ciales en dos y tres dimensiones aplicando el método de elementos finitos. Se trata

de software de distribución libre escrito en C++. Se puede instalar en sistemas ope-

rativos UNIX/Linux, Windows y Mac. Puesto que los fuentes están disponibles, se

puede instalar en casi cualquier sistema operativo. Para realizar el trabajo se ha uti-

lizado FreeFem++cs que es un entorno también gratuito que incluye FreeFem++,

un editor que resalta la sintaxis y detecta ciertos errores y un visor de resultados.

Los archivos se guardan con la terminación .edp acompañado del nombre que se

desee para el archivo, pero es muy importante no olvidar la terminación. Un archi-

vo (script) de FreeFem++ tiene una sintaxis similar a la de C++: terminación de

instrucciones con punto y coma, declaración de variables obligatoria, bifurcaciones

y bucles semejantes a C. Los pasos principales a seguir cuando se crea un script

para resolver un problema utilizando FreeFem++ se pueden resumir en:

definir una región especificando su frontera (border)

43

crear una partición (triangulación ) de la misma (mesh)

generar el espacio de funciones (fespace) sobre la región triangulizada

especificar la formulación variacional del problema (problem(problema))

aplicar el cálculo (problema)

4.1.1. Generación de mallas

Para crear una malla en un rectángulo o cualquier superficie del plano, se usa pri-

mero una descripción paramétrica del contorno de la superficie y de cada lado del

mismo.

A cada porción descrita paramétricamente se le puede asignar una etiqueta median-

te el comando label= que nos ayuda a asociar condiciones de contorno.

Ejemplo 1:

border a(t=0,1)x=t;y=0;label=1;;

border b(t=0,1)x=1;y=t;label=1;;

border c(t=0,1)x=1-t;y=1;label=1;;

border d(t=0,1)x=0;y=1-t;label=1;;

int n=20;

mesh th=buildmesh(a(n)+b(n)+c(n)+d(n));

plot(th,wait=1);

Con el comando border se define un segmento del contorno de la geomtría, mien-

tras que con los comandos mesh y buildmesh se genera la malla. Se puede alterar

la numeración de los lados mediante el comando label. Es importante mencionar

que algunos lados pueden tener el mismo número de referencia si van a tener el

mismo dato de contorno, tamién se debe observar que el contorno de la superficie

se debe de describir en el sentido contrario a las agujas del reloj, esto es, de

derecha a izquierda. Se pueden trazar dos mallas al mismo tiempo con el comando

44

Figura 4.1: Generación de la malla [15]

plot, mientras que ps=... genera un fichero postscript.

Para generar dominios con huecos o agujeros simplemente se cambia el sentido de

orientación, o de la descripción paramétrica, de la frontera interna.

Ejemplo 2:

real pi=4*atan(1.0);

border a(t=0,2*pi)x=2*cos(t);y=sin(t);label=1;

border b(t=0,2*pi)x=.3+.3*cos(t);y=.3*sin(t);label=2;

mesh thwithouthole=buildmesh(a(50)+b(30));

mesh thwithhole=buildmesh(a(50)+b(-30));

plot(thwithouthole,wait=1,ps="thsinhueco.eps");

plot(thwithhole,wait=1,ps="thconhueco.eps");

4.1.2. Problemas variacionales

En FreeFem++ los problemas se describen en la forma variacional. De esta manera

tenemos que definir una forma bilineal a(u,v), una forma lineal l(f,v), acompañado

de las condiciones de contorno. Esto se expresa de la siguiente manera:

45

Figura 4.2: Generación de mallas con hueco [15]

problem P(u,v) = a(u.v) - l(f,v) + (boundary condition);

donde:

problem ejemplo()...; Define el problema variacional construyendo el siste-

ma lineal y asociando una forma de invertirlo. El problema se resuelve al usar

el comando ejemplo;

solve ejemplo()...; Define y resuelve el problema variacional construyendo el

sistema lineal y asociando una forma de invertirlo.

varf Este comando construye las partes del problema variacional y ayuda a

extraer la matriz y el termino independiente del problema.

Resolutores lineales: Se tiene tres: CG, UMFPACK y GMRES. Por defecto siem-

pre se utiliza UMFPACK pero para sistemas grandes es recomendable utilizar GM-

RES. Se fija el resolutor del sistema lineal con el comando solver=...

CG: Es el gradiente conjugado, el cual es un método directo.

46

UMFPACK: También es un método directo que nos permite manejar cual-

quier tipo de matriz mediante una factorización.

GMRES: Es un método iterativo para matrices grandes y huecas.

El siguiente ejemplo resuelve el problema de Poisson en un escalón hacia adelante

con datos de contorno tipo Dirichlet:

Ejemplo 3:

real v1=4,v2=6,w=v1+v2;

border a(t=0,v1)x=t;y=0;label=1;; // lado y=0, x en [0,v1]

border b(t=0,1)x=v1;y=-t;label=2;; //lado x=v1, y en [0,-1]

border c(t=0,v2)x=v1+t;y=-1;label=3;; //lado y=-1, x en [v1,w]

border d(t=0,2)x=w;y=-1+t;label=4;; //lado x=w, y en [-1,1]

border e(t=0,w)x=w-t;y=1;label=5;; //lado y=1, x en [0,w]

border ff(t=0,1)x=0;y=1-t;label=6;; //lado x=0, y en [1,0]

int n=10;

mesh th=buildmesh(a(2*n)+b(n)+c(2*n)+d(2*n)+e(4*n)+ff(n));

plot(th,wait=1,ps="malla-escalon.eps");

fespace Vh(th,P1);

Vh u,v;

func f=0;

problem laplace(u,v) =int2d(th)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) // parte bilineal

+int2d(th)(-f*v) // lado derecho

+on(1,2,3,4,u=0)+on(5,u=1)+on(6,u=0); //condición tipo Dirichlet

laplace; //resolver la edp

plot(u,wait=1,ps="Poisson-escalon.eps");

47

Figura 4.3: Malla generada con Poisson [15]

Las funciones int2d(th)(...) y similares, se utilizan con la funcion test y la incoginta

o sólo con la función test pero no ambas.

Figura 4.4: Solución obtenida con Poisson [15]

48

4.1.3. Implementación del método de elementos finitos

mediante FreeFem++ a la ecuación (3.7)

Primero creamos la malla e ingresamos los parámetros.

Figura 4.5: Creación de la malla e ingreso de parámetros

Después ingresamos las funciones dadas en nuestra ecuación y la formulación va-

riacional.

En nuestro caso las funciones están dadas por:

CH =

φρ S e−x2 si x < 0

φρ S si x≥ 0

(4.1)

K =

ρλ k e−x2 si x < 0

ρλ k si x≥ 0

(4.2)

con sus derivadas denotadas por C y dK respectivamente.

Y por último ingresamos el código del programa.

49

Figura 4.6: Funciones y formulación variacional

Figura 4.7: Programa

Gráficos del programa

Ahora observamos los gráficos de la solución de nuestro programa.

50

Figura 4.8: Solución del problema en 2D

4.2. Resultados Numéricos

Tomamos un ejemplo particular de nuestra ecuación, es decir fijamos todas las

funciones involucradas en el problema. Tomamos, una función p que cumpla con

las condiciones de frontera y condiciones iniciales y reemplazamos en la ecua-

ción para obtener la función q, con lo cual hemos construido un ejemplo parti-

cular cuya solución p se conoce. Usaremos este problema para validar el programa

computacional y obtener algunos resultados numéricos. En nuestro caso tomamos

p(t,x,y) = t2(xy)(1− x)(1− y) , p(0,x,y) = 0.

Figura 4.9: función q en el programa

51

En primer lugar dejamos constante el tiempo y variamos el número de elemen-

tos (triángulos) de la discretización espacial y calculamos el error con la norma de

L2(Ω).

NÚMERO DE ELEMENTOS ERROR TIEMPO [s]1 10 0.000866005 0.3792 15 0.000368005 0.8463 20 0.000205526 1.3254 25 0.000126501 2.15 30 8,76770E-01 2.9966 35 6,64805E+00 4.167

Cuadro 4.1: Resultados numéricos

En esta tabla podemos apreciar que a medida que aumenta en número de elementos

de la malla el error disminuye considerablemente por lo que parecería ser que la

solución consiste en aumentar el número de triángulos, pero si miramos el tiempo

de cálculo va aumentando por lo que el tiempo necesario para realizar una sola

simulación de un problema real en una computadora core i5 sería considerablemente

grande.

A continuación se presenta dos gráficas, en la primera figura se considera el número

de elementos versus el error, mientras que en la segunda se grafica el número de

elementos versus el tiempo empleado para el cálculo en segundos.

Figura 4.10: Número de elementos versus error

52

Figura 4.11: Número de elementos versus tiempo en segundos

4.3. Visualización de resultados

El programa computacional tiene dos maneras de visualizar los resultados, para lo

cual se ha usado un componente que permite graficar en dos y tres dimensiones. La

primera visualización muestra el resultado en tres dimensiones, es decir usa la ma-

lla para graficar la función resultante, logicamente como es un problema evolutivo

dicha función va cambiando en el tiempo lo cual nos da una buena idea de como

evoluciona el fenómeno; a continuación presentamos algunas pantallas del progra-

ma donde se puede apreciar esta evolución.

53

Figura 4.12: Visualización de resultados t=1


54



55


56

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES

Ya que existen algunos métodos para predecir el comportamiento del yaci-

miento se debe elegir el que mejor se adapte a las necesidades para resolver

el problema de manera eficiente.

Es posible demostrar la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación

de nuestro problema cuando las funciones involucradas cumplen con ciertas

características.

Para resolver numéricamente la ecuación de nuestro problema se debe usar

primeramente el Método de Euler implícito en la variable temporal, para lo

cual se realiza una discretización en el tiempo, luego se linealiza la ecuación

resultante usando el Método de Picard modificado para finalmente discreticar

la variable espacial y de esta manera se consigue el esquema numérico que

posteriormente se transforma en un programa computacional.

Para realizar pruebas con el simulador se usó un problema cuya solución se

conocía de antemano, de esta manera se pudo determinar que dejando fijo

el tiempo y variando el número de elementos de la malla, el error en norma

disminuye considerablemente conforme aumenta el número de triángulos de

la discretizacion espacial pero, así mismo el tiempo empleado por el compu-

tador aumenta considerablemente al aumentar el número de elementos.

57

5.2. RECOMENDACIONES

Investigar sobre la posibilidad de reformular la ley de Darcy y así obtener

nuevas ecuaciones diferenciales, nuevos modelos matemáticos, numéricos y

computacionales que puedan representar de mejor manera un problema real.

Diseñar algoritmos de programación paralela de modo que muchas instruc-

ciones se ejecuten al mismo tiempo con lo cual se conseguirá minimizar el

error en un tiempo razonable de máquina.

Investigar sobre nuevos métodos numéricos de resolución de grandes sistemas

de ecuaciones lineales así como mejorar los existententes a fin de acortar el

tiempo de ejecución de la simulación.

Investigar cual sería el número de elementos óptimo para conseguir una solu-

ción razonable en el menor tiempo.

58

BIBLIOGRAFÍA

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nual de F.Hecht. Sevilla: Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis

Numérico, Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla.

60

DERECHOS DE AUTORAPROBACIÓN DEL TUTORDEDICATORIAAGRADECIMIENTOSCONTENIDOLISTA DE FIGURASLISTA DE TABLASRESUMENABSTRACTINTRODUCCIÓNFUNDAMENTACIÓNMODELO CONCEPTUALMétodos clásicos de predicción de comportamiento de los yacimientosMétodos de Balance de MaterialesMétodos de curva de declinaciónMétodos EstadísticosMétodos Analíticos

Propiedades de la roca y fluidos en el yacimientoPropiedades de la rocaPropiedades de los fluidos

Interacción Roca-Fluidos

MODELOS MATEMÁTICOSFormulación axiomática básica de modelos matemáticosEcuaciones de BalanceSistemas Multifásicos

Modelo Matemático para Sistemas MultifásicosModelo MonofásicoCondiciones Iniciales y de Frontera

Existencia y unicidadEspacios Funcionales

MODELO NUMÉRICODiscretizaciónMétodo de Euler implícitoEsquema implícitoMétodo de elementos finitos

MODELO COMPUTACIONAL Y RESULTADOS NUMÉRICOSNotas sobre FreeFem++Generación de mallasProblemas variacionalesImplementación del método de elementos finitos mediante FreeFem++ a la ecuación (3.7)

Resultados NuméricosVisualización de resultados

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESCONCLUSIONESRECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFÍA

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE … · 2019. 8. 19. · FACULTAD DE...

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