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Isacco PerinIsacco Perin

University of VeronaUniversity of VeronaMaster's Degree in Mathematics and ApplicationsMaster's Degree in Mathematics and Applications

Isacco Perin (University of Verona) 13/05/2013

Un paio d'esempi completi con Un paio d'esempi completi con FreeFem++ FreeFem++

Un paio d'esempi completi con Un paio d'esempi completi con FreeFem++ FreeFem++


FreeFem++FreeFem++IntroduzioneIntroduzione

FreeFem++FreeFem++ è un codice per la risoluzione di PDE mediante il è un codice per la risoluzione di PDE mediante il metodo degli elementi finiti. metodo degli elementi finiti. FreeFem++FreeFem++ è un codice per la risoluzione di PDE mediante il è un codice per la risoluzione di PDE mediante il metodo degli elementi finiti. metodo degli elementi finiti.

L'obiettivo di tale presentazione è di fornire, mediante un paio d'esempi, le linee guida per programmare in FreeFem++.

Come linguaggio di programmazione, esso ha una sintassi di base simile al C++, pertanto è possibile dichiarare variabili e funzioni all'interno di uno script FreeFem++, eseguire operazioni aritmetiche, utilizzare cicli o istruzioni condizionali.


FreeFem++FreeFem++IntroduzioneIntroduzione

Codice e software sono stati sviluppati da O. Pìronneau, F. Hecht, e A. Le Hyaric.

Il software e il manuale d'uso sono scaricabili gratuitamente da internet al link http://www.freefem.org

http://www.freefem.org/


Membrana ElasticaMembrana ElasticaDefinizione del ProblemaDefinizione del Problema

Mediante la definizione di opportune PDE è possibile esprimere in termini matematici situazioni fisiche. Dunque, al fine di mostrare l'applicabilità di un algoritmo scritto in FreeFem++ alla realtà, gli esempi trattati in seguito si baseranno su di una specifica situazione fisica.

Come reagisce una membrana elastica attaccata ad un supporto rigido se sottoposta ad un carico? Dal punto di vista matematico possiamo esprimere tale situazione nel modo seguente:

Problema: Membrana ElasticaProblema: Membrana ElasticaProblema: Membrana ElasticaProblema: Membrana Elastica


Definizione dal punto di vista MatematicoDefinizione dal punto di vista MatematicoDefinizione del ProblemaDefinizione del Problema

Consideriamo una membrana elastica attaccata ad un supporto rigido dunque si ha che

Consideriamo una forza esercitata su ogni elemento della superficie

Per ottenere lo spostamento verticale della membrana si deve risolvere la seguente equazione di Laplace

dx=dx1dx2 .

∂Ω=Γ .

, f (x)dx ,

,φ(x) ,

−Δφ( x)= f ( x) , x∈Ω .

ΩΓ ,


Condizioni al BordoCondizioni al BordoDefinizione del ProblemaDefinizione del Problema

Per quanto riguarda le condizioni da imporre al bordo, esse dipendono dalla situazione fisica trattata. Di seguito presentiamo delle situazioni in cui possiamo adottare condizioni di Dirichlet o di Neumann omogenee.

- La membrana è fissata al supporto planare. Allora, la condizione al bordo da adottare è di Dirichlet omogenea ed è la seguente:

- Il supporto non è planare, ma è un elevazione che si esprime formalmente con Allora, la condizione al bordo da adottare è di Dirichlet non omogenea ed è la seguente:

φ( x)=0, x∈Γ .

φ( x)=z( x) , x∈Γ .

z( x) .

Condizioni al bordoCondizioni al bordoCondizioni al bordoCondizioni al bordo


Condizioni al BordoCondizioni al BordoDefinizione del ProblemaDefinizione del Problema

- La membrana è fissata ad una parte del supporto mentre è lasciata semplicemente appesa nella parte restante, Allora, per la rigidità della membrana, le condizioni al bordo da adottare sono di Neumann omogenee lungo e di Dirichlet omogenee lungo

Γ1

Γ2.

Γ=Γ1∪Γ2.

φ( x)=0, x∈Γ1 ,

∂φ( x)∂n

=0, x∈Γ2 .

Γ2 Γ1 .

Ovviamente, in tal caso, il bordo è


Esistenza e UnicitàEsistenza e UnicitàProblema di LaplaceProblema di Laplace

L'equazione di Laplace precedentemente definita, con opportune ipotesi, ammette un'unica soluzione.

ATTENZIONE:Ricordiamo che FreeFem++ adotta il metodo degli elementi finiti ed esso, per qualsiasi tipo di elementi finiti si scelgano, è basato sulla formulazione debole di una PDE.Infatti, FreeFem++ risolve equazioni alle derivate parziali espresse in formulazione debole.

Dunque, prima di mostrare l'algoritmo adottato per risolvere il problema della membrana elastica, dobbiamo mostrare la formulazione debole di tale problema.

Esistenza e UnicitàEsistenza e UnicitàEsistenza e UnicitàEsistenza e Unicità


Formulazione DeboleFormulazione DeboleProblema di LaplaceProblema di Laplace

La formulazione forte (o classica) del problema della membrana elastica con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee è

La formulazione debole di tale PDE è la seguente

dove

−Δφ( x)= f ( x) , x∈Ωφ(x)=0, x∈Γ .

∫Ω∇ φ ∇ v=∫Ω

f v , ∀ v∈H 1(Ω) ,

H 1(Ω)={v∈L2(Ω) , ∇ v∈(L2(Ω))×(L2(Ω))} .


EsempioEsempioEquazione di Laplace con condizioni di Dirichlet omogeneeEquazione di Laplace con condizioni di Dirichlet omogenee

Presentiamo, dunque, il primo dei due esempi.

Determinare la soluzione dell'equazione di Laplace in FreeFem++ nel caso in cui è un ellisse avente lunghezza del semiasse maggiore 2 e di quello minore e con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee.

L'algoritmo è riportato di seguito, con opportuni commenti.

1, f (x)=1Ω

EsempioEsempioEsempioEsempio



// Declaration of some global parametersreal theta=4.*pi/3., a=2., b=1.;

// Force functionfunc f = 1.0;

// Defining the boundary as an ellipseborder gamma1(t=0,2*pi) {x=a*cos(t); y=b*sin(t);}

// Meshmesh M = buildmesh(gamma1(80));plot(M, wait=true, ps="Mesh1.eps");

Osservazione: con il comando 'buildmesh' viene costruita una triangolazione del dominio.



// Build the finite element space using P2 elementsfespace Vh(M,P2);

// Define u and w as piecewise-P2 functionVh uh, w;

// Variational Formulation of our equationproblem Laplace(uh,w) =

int2d(M)(dx(uh)*dx(w)+dy(uh)*dy(w))- int2d(M)(f*w) + on(gamma1,uh=0); // Dirichlet boundary condition

Osservazione: la PDE viene discretizzata adottando il metodo degli elementi finiti del secondo ordine sulla triangolazione del dominio.

// Solve the PDELaplace;



// Plot of the solutionplot(uh, wait=true, ps="Solution1.eps");


GraficiGraficiEquazione di Laplace con condizioni di Dirichlet omogeneeEquazione di Laplace con condizioni di Dirichlet omogenee

Di seguito sono riportati i grafici ottenuti.

La figura a sinistra rappresenta la mesh adottata, mentre quella a destra rappresenta le curve di livello relative alla soluzione numerica della PDE data.


Procedura generaleProcedura generaleProgrammare in FreeFem++Programmare in FreeFem++

La procedura seguita in tale algoritmo, può essere generalizzata nel modo seguente:

- Definisco il bordo del dominio;

- Costruisco la mesh;

- Definisco lo spazio su cui applico il metodo degli elementi finiti;

- Definisco le opportune funzioni su tale spazio;

- Inserisco la formulazione variazionale della PDE che voglio risolvere.


EsempioEsempioVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempioVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempio

Nel secondo esempio verifichiamo i risultati ottenuti nel primo.

L'idea è di modificare la situazione precedente in modo tale da considerare una PDE di cui conosciamo la soluzione esatta per poterla confrontare con quella che si ottiene con FreeFem++.

Consideriamo pertanto come bordo il circolo unitario e come forzante la funzione

EsempioEsempioEsempioEsempio

f ( x)=−4(cos(x2+ y2−1)−( x2+ y2)sin (x2+ y2−1)) .



Come condizioni al bordo consideriamo delle condizioni miste: di Neumann non omogenee lungo una parte del bordo, mentre di Dirichlet omogenee lungo la rimanente parte.

Sotto le ipotesi fatte, la soluzione esatta dell'equazione di Laplace è data da

Dunque, nel seguente algoritmo calcoleremo l'errore in norma tra la soluzione esatta e quella ottenuta in FreeFem++,

φ( x)=sin (x2+ y2−1) .

ε=∥φ−φF∥L2 .

L2



Inoltre, stimeremo l'ordine di convergenza del metodo calcolando prima l'errore ottenuto con punti di discretizzazione lungo il bordo e poi quello ottenuto con punti.La stima si ottiene calcolando il logaritmo del rapporto di tali errori.

Di seguito è riportato l'algoritmo scritto in FreeFem++.

n2n



// Declaration of some global parametersreal theta=4.*pi/3., a=1., b=1.;real[int] L2error(2); // an array with 2 values

// Force functionfunc f=-4*(cos(x^2+y^2-1)-(x^2+y^2)*sin(x^2+y^2-1));

// Exact Solutionfunc u=sin(x^2+y^2-1);

// Defining the boundary as an ellipseborder gamma1(t=0,theta) {x=a*cos(t); y=b*sin(t);} border gamma2(t=theta,2*pi) {x=a*cos(t); y=b*sin(t);} plot(gamma1(50)+gamma2(50), wait=true, ps="Border.eps");



// Evaluate the error between the exact solution and the solution calculated with FreeFem++for(int n=0;n<2;n++){ // Mesh mesh M=buildmesh(gamma1(20*(n+1))+gamma2(10*(n+1))); // Build the finite element space using P2 elements fespace Vh(M,P2);

// Define u and phi as piecewise-P2 function Vh uh, w;



// Variational Formulation of our equation problem Laplace(uh,w) =

int2d(M)(dx(uh)*dx(w)+dy(uh)*dy(w))- int2d(M)(f*w)- int1d(M,gamma2)(2*w) // Neumann boundary condition+ on(gamma1,uh=0); // Dirichlet boundary condition

// Solve the PDE Laplace;

plot(M, wait=true, ps="Mesh.eps"); plot(uh, wait=true, ps="NumericalSolution.eps");L2error[n]= sqrt(int2d(M)((uh-u)^2));}



// Show the error and the rate convergencefor(int n=0;n<2;n++)cout << " L2error " << n << " = "<< L2error[n] << endl;cout << " convergence rate = "<< log(L2error[0]/L2error[1])/log(2.) << endl;


GraficiGraficiVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempioVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempio

Di seguito sono riportati i grafici ottenuti.

La figura a sinistra rappresenta la mesh adottata, mentre quella a destra rappresenta le curve di livello relative alla soluzione numerica della PDE data.


RisultatiRisultatiVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempioVerifica dei risultati ottenuti nel primo esempio

In output si ottengono i seguenti risultati: L2error 0 = 0.018358L2error 1 = 0.0046485convergence rate = 1.98157


BibliographyBibliography

[1] F.Hecht , FreeFem++

[2] O. Pìronneau, FreeFEM User Manual (2001)

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