Calculo de autovalores con Freefem

7/25/2019 Calculo de autovalores con Freefem

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xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx

Edinson Fuentes

Licenciado en MatematicasCodigo: 01830514

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Basicas

Departamento de Matematicas

Bogota, D.C.

2014


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xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx

Edinson FuentesLicenciado en MatematicasCodigo: 01830514

Tesis para optar al ttulo de

Magster en Matematica

Director

Herbert Duenas Ruiz, Ph.D.Doctor en Matematicas

Codirector

Luis Enrique Garza Gaona, Ph.D.

Doctor en Matematicas

Lnea de investigacion

Matematica, Polinomios Ortogonales

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Basicas

Departamento de Matematicas

Bogota, D.C.

2014


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Ttulo en espanol

Manual para la utilizacion de la plantilla de la clase de documento LATEX thesisUnal.clsen la redaccion de tesis de especialidades, especializaciones, maestras y doctorados de la

UN.

Title in English

Manual for the use of the template of the LATEX document class thesisUnal.cls inthe redaction of theses of specialities, specializations, masters and doctorates from the UN.

Resumen: Se presentan los pasos basicos y la explicacion de los comandos para lautilizacion de la plantilla thesisUnal.cls.

Abstract: Are presented the basic steps and the explanation of the commands to usethe template thesisUnal.cls.

Palabras clave: Plantilla, clases, Universidad Nacional de Colombia, LA

TEX, pdfLA

TEX,TEX, BIBTEX.

Keywords: Template, Classes, National University of Colombia, LATEX, pdfLATEX, TEX,BIBTEX.


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Nota de aceptacion

Trabajo de tesis

Aprobado

Mencion Meritoria o Laureada

JuradoDonald Knuth

JuradoLeslie Lamport

JuradoMichel Goossens

DirectorRodrigo de Castro Korgi

CodirectorJonatan Gomez

Bogota, D.C., Diciembre 31 de 2013


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Dedicado a

A los miembros de la Nacho.


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Agradecimientos

El autor expresa sus agradecimientos a todos aquellos que de una u otra forma hancolaborado, contribuido o aportado en el desarrollo de este trabajo.


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Indice general

Indice general I

Introduccion II

1. Polinomios ortogonales en la recta real 1

1.1. Preliminares de Polinomios ortogonales en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Transformaciones espectrales lineales en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Perturbacion de la matriz de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Polinomios ortogonales en la circuferencia unidad 7

2.1. Preliminares de Polinomios ortogonales en la circuferencia unidad . . . . . . . 7

2.2. Transformaciones espectrales lineales en la circuferencia unidad . . . . . . . . . 9

2.3. Perturbacion de la matriz de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Transformacion de Szego entre la funcion de Stieltjes y Caratheodory 12

3.1. Transformacion de Szego directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. En el casoj = 0 la transformacion (3.4) resulta ser una transformacion deUvarov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3. Mj Expresado Como Una Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4. Transformacion Szego Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Conclusiones 17

5. Trabajo futuro 18

6. Bibliografa 19

I


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Introduccion

II


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CAPITULO 1

Polinomios ortogonales en la recta real

1.1. Preliminares de Polinomios ortogonales en la recta real

Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [1]. Sea{n}n0 unasucesion de numeros complejos y seaL un funcional lineal definido en el espacio P de lospolinomios con coeficientes complejos tal que

L, xn= n, n0 (1.1)

L es llamado funcinal lineal de momentos, y los numeros complejos {n}n0 son los mo-mentos asociados conL.Una sucesion de polinomios{pn(x)}n0 donde

pn(x) =nxn + nxn1 + , n > 0, n0.es llamada una sucesion de polinomios ortogonales (SPO) con respecto a un funcionallinealLsi

1. pn(x) es un polinomio de grado n,

2.L, pm(x)pn(x)= 0, para m=n,3.L, pn(x)pn(x)=L, p2n(x) = 0.

La correspondiente sucesion de polinomios ortogonales monicos (SPOM)

{Pn(x)

}n0,

cuyo coeficiente principal es igual a 1, esta definido por

Pn(x) =pn(x)

n

1


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CAPITULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 2

La matriz de Gram asociada con la forma bilineal de el funcional lineal (1.7) respecto a labase canonicaxn de P esta definida mediante

H= [L, x

i+j

] = [i+j]i,j=0,1, =

0 1 n 1 2 n+1 ..

.

..

.

. . . ..

. n n+1 . . . 2n . . ....

... . . .

... . . .

(1.2)

Las matrices de este tipo, con valores constantes a lo largo de las antidiagonales, sonconocidas en la literatura como matrices de Hankel.

Teorema 1. SeaL un funcional de momentos con sucesion de momentosn. Una con-dicion necesaria y suficiente para la existencia de una sucesion de polinomios ortogonales

paraL es

n = det(Hn) = det(i+j)ni,j=0=

0 1 n1 2 n+1... ... . . . ...n n+1 2n

= 0, n0.

Hn es una submatriz de la matriz de Gram de tamano (n + 1) (n + 1)Les llamadocasi - definido si y solo si n= 0 para todon0. SiLes casi - definido, existe una unicaSPOM asociado conL.L es definido positivo si y solo si los momentos son todos reales y n > 0 para todo(n0).Si el funcional linealL es definido positivo, entonces existe una unica sucesion de polino-mios

pn(x) =nxn + nxn1 + , n > 0, n0.que satisfacen

L, pn(x)pm(x)= n,mLa sucesion{pn(x)}n=0 se dice ortogonal.En este caso, el funcional linealL tiene una representacion integral (no necesariamenteunica)

L, xn=E

xnd(x)

donde es una medida positiva de Borel, no trivial, cuyo soporte es un subconjuntoinfinito de punto de Een la recta real.

La sucesion{pn(x)}n0 satisface la siguiente relacion de recurrencia a tres terminosxpn(x) =an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn1(x), n0. (1.3)

con las condiciones iniciales p1(x) = 0 y p0= 1/20 y los coeficientes son

an =

E

xpn1(x)pn(x)d(x) =n1

n>0

bn=

E

xp2n(x)d(x) = nn

n+1n+1

.


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El n-esimo polinomio ortonormal, pn(x), admite la siguiente representacion en terminosdel determinante y la matriz de Hankel. El n-esimo polinomio ortogonl de grado es

pn(x) = 1det Hndet Hn1

0 1 2 n1 2 3

n+1

... ... . . . . . . ...n1 n n+1 2n1

1 x x2 xn

y el coeficiente principal esta determinado por el determinante de dos matrices de Hankel

n =

det Hn1

det Hn

Dos de las propiedades mas importantes de los ceros de los polinomios ortogonales son

1. Los ceros de pn(x) son todos reales, simples y estan localizados en el interior de E.2. Sean xn,1 < xn,2 < . . . < xn,n los ceros de pn. Los ceros de pn(x) y pn+1(x) estan

separados asixn+1,i < xn,i < xn+1,i+1 i= 1, 2, . . . , n .

1.2. Transformaciones espectrales lineales en la recta real

Se consideraran algunas perturbaciones de medidas canonicas Ver ([7]).En esta subseccionLes un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida de Borel con soporte en algun intervalo Ede la recta real.

La funcion de Stieltjes esta definida por

S(x) =

E

d(t)

x ty admite el siguiente desarrollo en serie en el infinito

S(x) =k=0

kxk+1

donde k son los momentos asociados a dados por (1.7). En lo sucesivo, supondremosque0= 1.

1. La perturbaciond= (x)d, /supp(), es la llamada transformacion canonicade Christoffel.

2. La perturbacion d = d + Mr(x), / supp(), Mr R, es la llamadatransformacion canonica de Uvarov.

3. La perturbacion d = dx +Mr(x), / supp(), Mr R, es la llamadatransformacion canonica de Geronimus.


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Se llamara transformacion espectral racional de una funcion de StieltjesS(x), a una trans-formacion de la forma

S(x) = A(x)S(x) + B(x)

C(x)S(x) + D(x)

donde A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios que dependen de x, y AD BC= 0. SiC(x) = 0, la transformacion racional se dice lineal.Las tres perturbaciones canonicas mencionadas anteriormente corresponden a transforma-ciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Stieltjes.De hecho, las funciones de Stieltjes normalizadas correspondientes a las anteriores pertur-baciones estan dadas por

1. Transformacion canonica de Christoffel.

Sc(x) =(x )S(x) 1

1

porque S(x) =

k=0

kxk+1

S(x) =

k=0

kxk+1

tambien k = Exkd = Exk(x)d = k+1k, sustituyendo k en S(x)se obtiene, S(x) =

k=0

k+1xk+1

k=0 kxk+1 = xk=1 kxk+1 S(x) as S(x) =0 + xk=0 kxk+1S(x) = (x )S(x) 1, porque0 = 1, este ultimo resultadoesta dividido por 1 , para que la medida sea unitaria.

2. Transformacion canonica de Uvarov

Su(x) =S(x) + Mr(x )1

1 + Mr

3. Transformacion canonica de Geronimus

SG(x) = S() + M

rS(x)

(x )(Mr+ S())

1.3. Perturbacion de la matriz de Hankel

En esta seccion se define una medida j que solo perturba j-esimo momento de lamatriz de Hankel para la base{1, (x a), (x a)2, }ver ([5]).En vez de considerar la base canonica de P, consideremos la base{1, (x a), (x a)2, }dondea R, entonces la nueva sucesion de momentos asociada con la medida en Eestadada por

n =E

(x a)nd=E

nj=0

nj

(1)njanjxj

d= nj=0

nj

(1)njanjj

de aqui podemos ver que

n = n+n1j=0

n

j

(1)njanjj


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La nueva matriz de Hankel asociada a la nueva base

Hn =

0 1 n1 2 n+1...

... . . .

...

n n+1 2n

, n0.

Definicion 1. El funcional de momentos linealLj esta definido por

Lj, p(x)=L, p(x) + mjj!

pj(a) (1.4)

dondemj ya son constantes reales.

SiLj es definido positivo, existe una representacion en forma de integral entonces ladefinicion anterior la podemos escribir como,

Definicion 2. Seaj(x) una medida sobreE que esta definida por

E

p(x)dj(x) =E

p(x)d(x) +mjj!

pj(a) (1.5)

dondemj ya son constantes reales, p(j) indica la j-esima derivada dep P.

De (1.5) se puede concluir que

k =

E

(x a)kdj =

k, si k=jk+ mj, si k= j

Porque

k = E(x a)kdj = E(x a)kd+mj

j! ((x a)k

)(j)

(a)

k = k+mjj!

((x a)k)(j)(a)

Sik < j, al derivar j veces un polinomio de grado k obtenemos 0, entonces k =k. Si k = j, al derivar j veces un polinomio de grado j obtenemos mj, entonces k =

k+ mj .

Si k > j, al derivar j veces un polinomio de grado k obtenemos mk(k 1) (kj1)(xa)kj y evaluando este polinomio en a obtenemos 0. de aqu radica laimportancia de utilizar la base,

{1, (x

a)1, (x

a)2, (x

a)3,

}ya que si no se

perturbaran otros momentos que no interesan, entonces k =k.

Para la transformacion del momento j la funcion de Stieltjes es

S(x) =S(x) + mj

(x a)j+1 . (1.6)

o especificando el momento perturbado

Sj(x) =S(x) + mj

(x a)j+1 . (1.7)


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Porque

S(x) =k=0

k(x a)k+1

de la definicion (1)

k =Lj, (x a)k= k, si k=jk+ mj, si k= jentoncesSj(x) =

0(xa)1+

1(xa)2+

2(xa)3+ +

j(xa)j+1

+ por lo tanto de la definicion anteriorSj(x) =

0(xa)1 +

1(xa)2 +

2(xa)3 + +

j+mj(xa)j+1

+ asi

Sj(x) =S(x) + mj

(x a)j+1 . (1.8)

Se puede reescribir (1.7) la perturbacion de la funcion de Stieltjes como una transformacionracional lineal es decir

Sj(x) = A(x)S(x) + B(x)D(x)

Sj(x) =(x a)j+1S(x) + mj

(x a)j+1 (1.9)


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CAPITULO 2

Polinomios ortogonales en la circuferencia unidad

2.1. Preliminares de Polinomios ortogonales en la circuferen-cia unidad

Las siguientes definiciones y teoremas se pueden consultar en [6].

Sea Lun funcional lineal en el espacio de los polinomios de Laurent ( = span{zk}kZ)tal queLes hermitiano, es decir

cn =L, zn=L, zn= cn, n Z

Los numeros complejos{cn}nZ son llamados los momentos asociados conL, entonces sepuede introducir un funcional bilineal asociado con

Len el espacio P de los polinomios

con coeficientes complejos as

p(z), q(z)L =L, p(z)p(z) (2.1)

dondep, q PLa matriz infinita de Gram asociada a la base{zn}n0 es

T=

c0 c1 cn c1 c0 cn1

... ...

. . . ...

cn cn+1 . . . c0 . . ....

...

.. .

...

.. .

(2.2)

conocida en la literatura como matriz de Toeplitz.Se dice que el funcional linealL es cuasi-definido si Tn la submatriz principal de T quetiene tamano (n + 1) (n + 1) son no singulares es decir det(Tn)= 0.SiLes cuasi-definido existe una sucesion de polinomios monico{n}n>0 que cumple

1. grad n = n

2.n, mL = 0, para m=n,

7


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CAPITULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA CIRCUFERENCIA UNIDAD 8

3.n, mL = Kn.

donde Kn= 0 para todo n. Esta sucesion de polinomios se denomina sucesion de polino-mios ortogonales monico asociados aL.Ademas, tenemos

n, n=n2

=KnLas sucesion de polinomios ortogonales monico satisface dos relaciones de recurrencia

n+1(z) =zn(z) + n+1(0)n(z) (2.3)

n+1(z) = (1 |n+1(0)|2)zn(z) + n+1(0)n+1(z) (2.4)Las denominadas relaciones de recurrencia ascendente y descendente, respectivamente,donde n(z) = z

nn(z1) es el llamado el polinomio reciproco o polinomio reverso, los

numeros complejos{n(0)}n1 se denominan coeficientes de reflexion o coeficientes deVerblusky y tienen suma importancia en el estudio de los polinomios ortogonales en lacircuferencia unidad. En el caso cuasi-definido, tenemos|n(0)| = 1 para todo n 1,porque en este caso todas las raices son menores que 1 y diferentes de 0 entonces, siz1, , zn son las raices de|n(z)| se obtiene que n(z) = (zz1)(zz2) (zzn)al evaluar en cero n(0) = (z1)(z2) (zn) luego al determinar la norma concluimosque|n(0)| = 1.Si det(Tn) > 0 para todo n, entonces el funcional lineal se dice definido positivo. Todofuncional definido positivo tiene una representacion en forma de integral.De ahora en adelante asumiremos que el funcional es definido positivo.Sea una medida positiva no trivial de Borel con soporte en la circunferencia unidadT ={z C | |z|= 1}. Entonces existe una sucesion{n}n0 de polinomios ortogonales

n(z) =nzn + , n0.

que satisface

n(ei)m(ei)d() =m,n, m, n0. (2.5)

Los correspondientes polinomios monicos estan definidos por

n(z) =n(z)

n

ck,el n-esimo momento asociado con la medida, es definidad por

cn =

eikd().

El n-esimo polinomio ortonormal esta dado por

n(x) = 1

det Tndet Tn1

c0 c1 c2 cnc1 c0 c1 cn1

... ... . . .

. . . ...

c(n1) c(n2) c(n3) c11 z z2 zn


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y el coeficiente principal esta determinado por el determinante de dos matrices de Toeplitz

n =

det Tn1

det Tn

2.2. Transformaciones espectrales lineales en la circuferenciaunidad

Se consideraran algunas perturbaciones de medidas canonicas Ver ([2]).En esta subseccionL es un funcional lineal definido positivo, asociado con una medida de Borel con soporte en la circunferencia unidad T.La funcion analtica de Caratheodory que se puede representar en terminos de los momen-tos{cn}nZ en un entorno del origen es

F(z) =c0+

k=1ckz

k (2.6)

SiLes un funcional definido positivo, entoncesF(z) es analtica en D ={z C | |z| 1}y Re(F(z))> 0 en D. En este casoF(z) se puede representar mediante la transformacionde Riesz-Herglotz de la medida positiva definida as

F(z) =

T

ei + z

ei + zd()

1. La perturbacion d =|z|2d,|z| = 1, C, es la llamada transformacioncanonica de Christoffel.

2. La perturbacion d = d+ Mc+ Mc

1 , C {0}, Mc C es la llamadatransformacion canonica de Uvarov.3. La perturbaciond= d|z|2 ,|z|= 1, || = 1, es la llamada transformacion canonica

de Geronimus.

Se llamara transformacion espectral racional de una funcion de StieltjesF(z), a una trans-formacion de la forma

F(z) = A(z)F(z) + B(z)

C(z)F(z) + D(z)

donde A(z), B(z), C(z) y D(z) son polinomios que dependen de z, y ADBC= 0. SiC(z) = 0, la transformacion racional se dice lineal.Las tres perturbaciones canonicas mencionadas anteriormente corresponden a transforma-ciones espectrales lineales de las correspondientes funciones de Caratheodory. Estas trestransformaciones corresponden, de una manera analoga al caso de la recta real.Las funciones de Caratheodory normalizadas correspondientes a las anteriores perturba-ciones estan dadas por (Ver [7]).

1. Transformacion canonica de Christoffel.

Fc(z) =A(z)F(z) + B(z)

D(z)


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donde

A(z) =z2 + (1 + ||2)z

(1 + ||2) 2Rec1

B(z) =z2 + (c1 c1)z+

(1 + ||2) 2Rec1D(z) =z.

2. Transformacion canonica de Uvarov

Fu(z) =F(z) +B(z)

D(z)

dondeB(z) = ( z2)(Mc+ Mc) (1 ||2)(Mc Mc)z

D(z) = (z )(z 1)

3. Transformacion canonica de Geronimus

FG(z) =A(z)F(z) + B(z)

D(z)

dondeA(z) =z

D(z) =z2 + (1 + ||2)z B(z) =z2 2iIm(q0)z

q0 es un parametro libre definido por q0= c0c1.

2.3. Perturbacion de la matriz de Toeplitz

Si se desea perturbar el momento j-esimo cj de la matriz de Toeplitz se usaran lassiguientes definiciones . Ver ([4]).

Definicion 3. SeaL un funcional lineal Hermitiano definido en. SeaLj un funcionallineal asociado al siguiente funcional bilineal

p(z), q(z)Lj =p(z), q(z)L+ Mzjp(z), q(z)L + Mp(z), zjq(z)L (2.7)

dondeM C, p P, q P, j N, es un numero fijo, y, L es el funcional bilinealasociado con la medida normalizada de Lebesque en el crculo unitario.

SiLes un funcional definido positivo, entonces en terminos de medida la transforma-cion anterior puede se expresar como

d= d+ 2Re(mzj)d

2 (2.8)


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De (2.7) se puede concluir que

ck =zk, 1Lj =

ck, si k={j, j}cj+ M, si k=jcj+ M , si k= j

(2.9)

porqueck =zk, 1Lj =zk, 1L+ Mzjzk, 1L + Mzk, zjL

ck =zk, 1Lj =ck+ M 2

0ei(j+k)

d

2+ M

20

ei(kj)d

2

Sik=j, j, ck =ck. Sik=j, ck =cj+ m

20 1

d2 + M

20 e

2ijd2 =cj+ M.

Sik= j , ck =cj+ M2

0 e2ij d

2 + M2

0 1d2 =cj+ M.

la funcion de Caratheodory para esta perturbacion esF(z) =F(z) + 2M zj (2.10)en forma equivalente para la transformacion del momento cj y cj la funcion de Ca-ratheodory asociado conLj es

Fj(z) =F(z) + 2Mjzj (2.11)porque Fj(z) = c0+ 2

k=1ckz

k, por (2.9) se tiene que

Fj(z) =c0+ 2

k=1 ckzk + 2Mzj


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CAPITULO 3

Transformacion de Szego entre la funcion deStieltjes y Caratheodory

Existe una correspondencia entre medidas soportadas en el intervalo [1, 1] y medidassoportadas en la circunferencia unidad T conocida como la transformacion Szego, y unarelacion entre la funcion de Stieltjes y Caratheodory asociadas con las medidas y respectivamente as, ver ([7])

F(z) =1 z2

2z

11

d(t)

x t =1 z2

2z S(x) (3.1)

dondex= z+z2 .

3.1. Transformacion de Szego directa

En esta seccion se aplicara la transformacion Zsego (3.1) entre la funcion de Stieltjes(1.8) y la funcion de Caratheodory (2.11).De (3.1) se obtiene

Fj(z) =1 z2

2zSj(x) (3.2)

sustituyendo (1.8) en (3.2)

Fj(z) =1 z2

2z

S(x) +

mj(x

a)j+1

(3.3)

sustituyendo (3.1) en (3.3)

Fj(z) =1 z2

2z

2z

1 z2 F(z) + mj

(x a)j+1

como x = z+z2 = z+z1

2 , entonces

Fj(z) =F(z) +1 z2

2z

mj

(z+z1

2 a)j+112


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CAPITULO 3. TRANSFORMACIONDE SZEGO ENTRE LA FUNCION DE STIELTJES Y CARATHEODORY13

Fj(z) =F(z) +1 z2

2z

mj

( z+z12a2 )

j+1

Fj(z) =F(z) + (1 z2)mj(2z)j(z2 2az+ 1)j+1 (3.4)

igualando (3.4) con (2.11), se obtiene

2Mjzj =

(1 z2)mj(2z)j(z2 2az+ 1)j+1 (3.5)

Mj = (1 z2)mj2j1(z2 2az+ 1)j+1

Conclusion:Una perturbacion de un momento en la recta, no corresponde en generala una perturbacion de un momento en la circunferencia. PorqueMj que es una constantees igual a una funcion racional que depende de z esto es absurdo (las funciones constantesno son racionales).

3.2. En el caso j = 0 la transformacion (3.4) resulta ser unatransformacion de Uvarov

La transformacion canonica de Uvarov, en la cual se perturba la medida

d= d+ Mc+ Mc1, C 0, Mc C

y su funcion Caratheodory asociada es

Fj(z) =F(z) +( z2)(Mc+ Mc) (1 ||2)(Mc Mc)z

(z )(z 1) (3.6)

igualando (3.6) con (3.4) y haciendo j = 0 se obtiene que

(1 z2)m0(z2 2az+ 1) =

( z2)(Mc+ Mc) (1 ||2)(Mc Mc)z(z )(z 1)

comparando coeficientes(1 ||2)(Mc Mc) = 0

como = 0 porque de no ser asi no se estara perturbando ningun momento, entonces seconcluye que Mc = Mc es decir Mc es real, en consecuencia

(1 z2)m0(z2 2az+ 1) =

( z2)2Mc(z )(z 1)

de esta ultima expresion se obtiene igualdad si

= 1, m0= 2Mc y a= 1.


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Conclusion:La transformacion (3.4) en el caso j = 0 corresponde a una transformacionde Uvarov con masa real Mc =

m02 , parametro = 1 y a = 1. Es decir, al perturbar

el primer momento en la recta resulta una transformacion de Uvarov cuando vamos a lacircunferencia unidad.

3.3. Mj Expresado Como Una Serie de Potencias

La ecuacion (3.5) la puedo expresar como

Mj = (1 z2)mj2j1(z2 2az+ 1)j+1 (3.7)

Comenzaremos la construccion en el caso a= 0.es bien sabido que

1

1 + z =

n=0(1)n

z

n

, |z|< 1.determinando la primera derivada

1(1 + z)2

=

n=1

(1)nnzn1

la segunda derivada

(1)(2)(1 + z)3

=n=2

(1)nn(n 1)zn2

la j

esima derivada

(1)(2) . . . (j)(1 + z)j+1

=n=j

(1)nn(n 1) . . . (n (j+ 1))znj

reescribiendo se obtiene

(1)jj!(1 + z)j+1

=

n=j

(1)n n!(n j)! z

nj (3.8)

la anterior ecuacion es equivalente a

(

1)jj!

(1 + z2)j+1 =

n=j

(1)n n!

(n j)! z2n2j (3.9)

multiplicando (3.7) por (1)jj!

(1)jj!= 1

Mj =(1 z2)mj2j1

(1)jj!

(1)jj!(z2 + 1)j+1


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usando la serie (3.9) se obtiene

Mj =(1 z2)mj2j1

(1)jj!

n=j

(1)n n!(n j)! z

2n2j

(3.10)

por otro lado, si a= 0 y a= 11

z2 2az+ 1 = 1

(z a)2 + (1 a2) = 1

1 a21

(za)2

1a2 + 1

si escribimos(1)jj!

(z2 2az+ 1)j+1 = 1

(1 a2)j+1(1)jj!

(za)2

1a2 + 1j+1

utilizando la serie (3.8), con z = (za)2

1a2

(1)j

j!(z2 2az+ 1)j+1 = 1(1 a2)j+1

n=j

(1)n n!(n j)! (z a)

2

1 a2 nj

expresandoMj como

Mj =(1 z2)mj2j1

(1)jj!

(1)jj!(z2 2az+ 1)j+1

usando la serie anterior

Mj =(1 z2)mj2j1

(

1)jj!

1

(1

a2)j+1

n=j(1)n n!

(n

j)!

(z a)21

a2

nj

por lo tanto

Mj = (1 z2)mj2j1(1)jj!(1 a2)j+1

n=j

(1)n n!(n j)!

(z a)21 a2

nj (3.11)

para estudiar el radio de convergencia de la serie (3.11) se usara el criterio de la razon

lmn

(1)n+1(n+1)!(n+1j)!

(za)2

1a2

n+1j(1)nn!(nj)! (za)21a2 nj

= lmn

|(1)|

n + 1

n + 1

j

(z a)21

a2

=|(z a)2|

|1

a2

|


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Conclusion:Cuando se perturba el momento j en la recta real, y se aplica la trans-formacion de Szego, la transformacion resultante en la circunferencia unidad se puedeexpresar como una perturbacion de todos los momentos de orden j en adelante.

3.4. Transformacion Szego Inversa

La transformacion Szego esta dada porS(x) = 2z1z2 F(z), se sabe quex = z+z

2 = z+z1

2

por tratarse de la circuferencia unidad,z = x + iy,x2 + y2 = 1 despejando y =1 x2,si tomamos el valor negativo obtenemos que z = x i1 x2 =x x2 1. Tomandonuevamente la transformacion Szego

F(z) =1 z2

2z S(x) =

1

2(z1 + z 2z)S(x) = (x z)S(x) = (x (x

x2 1))S(x)

F(z) =

x2 1S(x)


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Conclusiones

La escritura de tesis utilizando LATEX permite que se obtengan documentos de unapresentacion elegante, agradable, de una impresion incomparable, de escritura bas-tante simple en cuanto al texto tecnico y de formulas matematicas, junto con unmanejo automatico del formato de las partes de un documento y las referencias bi-

bliograficas, desprendiendose as de los detalles de edicion que en otras herramientas,producen tantas frustraciones y dolores de cabeza.

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Trabajo futuro

Implementar y corregir todos aquellos errores que los usuarios de esta plantilla pue-dan encontrar, as como las sugerencias para la modificacion de la plantilla que seanpertinentes.

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Bibliografa

[1] T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, primera ed., Gordon andBreach Science Publisher, Inc, New York, Estados Unidos, 1978.

[2] Marcellan Francisco, Polinomios ortogonales no estandar. propiedades algebraicas yanaliticas

, Computers and Typesetting, Universidad Carlos III de Madrid, 2009.[3] MarcellAn Francisco, Polinomios ortogonales no estandar. propiedades algebraicas y

analiticas, Computers and Typesetting, Universidad Carlos III de Madrid, 2009.

[4] Castillo K., Pertubations on the subdiagonals of toeplitz matrices, Linear Algebra andits Applications (2011), 117.

[5] Castillo Ka, Pertubations on the antidiagonals of hankel matrices, Elsevier (2013),115.

[6] Garza Luis, Transformaciones espectrales, funciones de caratheodory y polinomios or-togonales en la circunferencia unidad, Universidad Carlos III de Madrid, 2009.

[7] Garza Luiz, Spectral transformations of measures suppoted on the unit circle and theszego transformation, Springer 5 (2008), no. 130, 117.

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