Rev. JG, São Paulo, 1(1):53-68, jan./jun. 1980

UM MÉTODO PARA AVALIAÇÃO APROXIMADADE COEFICIENTES DE PERMEABILIDADE

EM AQDíFEROS

Eng.o MOACYR DE CARVALHO

ABSTRACT

The present work is an attempt to obtain approximate values of aquifer per­meability coefficients whose structure often exhibit bedding.

The inethod consist in its essence, through some restrictive conditions, in theestablishment of a linear equation system.

For this purpose it is utilized known data of tubular wells within a limited areaunder the hypothesis that each aquifer strata behave as an individual free water table:

An example the applicability, it is presented using data draw out of three tubuTarwells from lhe town of Catanduva.

Nevertheless, the weIls have an imaginary sedimentary strata due to a lack of anadequated geological profiles description.

They does not foIlow the restrictive conditions established on such method,because the water contributions from underlying fractured rocks, should have comeprobably, from Botucatu Formation.

RESUMO

o presente trabalho é uma tentativa para a obtenção de valores aproximados decoeficiente de permeabilidade de aqüíferos em cuja estrutura' ocorrem camadas .ouestratos diversos de sedimentos.

O método consiste na essência, partindo de certas condições restritivas, no esta­belecimento de um sistema de equações lineares utilizando-se de dados conhecidos depoços tubulares numa área limitada, sob a hipótese de que cada estrato doaqüífero se·comporte como um aqüífero individual de lençol livre.

Um exemplo de aplicação é apresentado com dados retirados de 3 poços tubula­res da cidade de Catanduva, porém com estratificações sedimentares imaginárias devidoa inexistência de uma descrição adequada dos perfís geológicos. Observamos tam­bém que tais poços não obedecem as condições restritivas impostas no método, porreceberem contribuições de rochas fraturadas subjacentes, provavelmente de água pro­veniente da Formação Botucatu.

INTRODUÇÃO

Atualmente a busca de água ocorrenteem lençóis subt'errâneos tem crescido emiodo o mundo em função da expansão de­mográfica, da atividade econômica e aindacomo conseqüência da poluição dos cursosd'água de superfície.

Paralelamente à expansão da demandano uso da água para fins múltiplos, vemsendo imprimido um ritmo mais aceleradonas questões que dizem respeito à pesquisade água subterrânea, envolvendo no con­texto uma política em· torno da raciona­lização do seu uso.

Estes aspectos têm condicionado a ne~oessidade de investigações cada vez mais

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precisas no dimensionamento das reservasde água de origem subterrânea e no conhe­cimento mais detalhado dos aqüíferos, parao estabelecimento do modelo que o repre­senta em estrutura e da dinâmica da águaque por ela circula, como um segmento dociclo hidrológico que é.

No Estado de São Paulo ocorrem duasformações geológicas extremamente impor­Ümtes que, por suas características, vêmsendo procuradas como fonte de abasteci­mento de água, como um meio de soluçãopara graves problemas que afetam princi­palmente populações de centros urbanos.São elas a Formação Bauru e a FormaçãoBotucatu. Contam-se já por milhares ospoços tubulares perfurados, notadamentena primeira estrutura sedimentar, sem onecessário cadastramento e controle, prin­cipais instrumentos de uma política de ra­cionalização do uso de água de origemsubterrânea.

OBJETIVO

Este trabalho tem por finalidade tentardesenvolver uma metodologia orientada nosentido de obter, por via indireta, uma ava­liação do débito de um poço tubular, me­diante dementos de outros poços já per­furados numâ área restrita, nas condiçõesque abaixo serão impostas.

Hoje o método para a avaliação devazões de poços tubulares parte de dadosconhecidos de outros poços relativamentepróxÍmos'e do conhecimento da estruturageológica da região, conhecimento estesempre baseado. em extrapolações. Assim.0 perfil geológico e a vazão reais SOID:ntesão conhecidos após a perfuração e o bom­beamento de teste de produção.

A proximidade relativa de poços tubu­lares é freqüente, principalmente nos cen­tros urbanos que se servem de água subter­rânea para fins de abastecimento públicoe industrial, fato est,e comum nas cidadesimplantadas na Formação Bauru.

Q1nR - 1nr

'1TDd

a1nR - 1nr

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Mais precisamente, o que se quer é amedida de valores de permeabilidade pormodelo matemático das várias camadas desedimento de aqüíferos a partir dé um certonúmero de poços tubulares que, por con­dições de proximidade e de comportamentohidráulico faça supor um certo grau dehomogeneidade estrutural, evident'ementeválidas dentro de limites restritos.

METODOLOGIA'

A metodologia aqui aplicada, na dedu­ção de coeficientes de permeabilidade, con­siste na obtenção de um sistema linearde equações de n incógnitas (k1, k2 .. Kn),

a partir de n poços perfurados com vazõesde teste conhecidos: Ql, Q2, Qn, comcamadas de sedimentos reconhecidos e deespessuras Hi -hi determinadas, que podemser conseguidas no curso da própria per­furação.

O poço será considerado como t'endoraio constante e um raio de influência Rque será retirado de tabelas a partir doconhecimento da fração granulométricaprincipal do sedimento.

Nestas condições, tendo-se n camadas d~sedimentos, ter-se-ão os correspondentescoeficientes Kl, K2 .•••• KIl de permeabi­lidade, não todos nulos. Supõe-se que oscoeficientes ki de camadas argilosas sãotodos nulos, devido a baixa permeabilidadedas argilas.

Admite-se também que ,em cada camadaidentificada do aqüífero é válida a expres­são de Dupuit:

Q = 21T xyk dy

dx

deduzida para um poço perfeito para ocálculo do afluxo de água 'em um lençollivre.

Consideramos que a vazão de testepode ser expressa pela fórmula:

1T k Dd'ak

1nR - 1nr

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onde:

D = H-h espessura da camada de sedi­mento a contar do plano hori­zontal que passa pelo fundo dopoço que a limita inferiormente

d=H+h

R raio de influência

Para as camadas de sedimentos distin­

tos, compondo o aqüífero, a vazão de testepoderá ser decomposta de acordo com aexpressão:

all a12· ...... aln k101a21

a22· ...... a2n k202a31

a32• • J •••• a3n k303

o = 6. 01 + 6. 02 + + 6.On anl an2 ann On

onde os Oi representam a contribuição iso­lada de cada camada de sedimentos.

Imaginemos a superfície de um aqüí­fero de dimensões reduzidas, com certograu de homogeneidade, onde se encon­tram n poços tubulares com vazões deteste conhecidas:

01, 02, On'

Pelas hipóteses admitidas pode-se tern incógnitas, de solução única, isto é, admi­te apenas o sistema único k1, k2 .... kn. Se

O = ~ Oi e Oi = aik Kt i, k = (1,2, ........ n)

então tem-se o sistema linear:

allk1 + a12k2 + + alnkn 01a21kl + a22k2 + + a2nkn 02

(1)

an,K1 + an2k2 + + annkn = On

Usando-se a notação da álgebra matricialvem:

Os elementos da matriz quadrada A sãoexpressos por

e assImInR lnr

Oi aikki vazão de cada camada doaquífero

Hi e hi é a altura dos planos que limi­tam superior e inferiormentecada camada i de sedimentos

As alturas Hi e h1 sempre serão referidasao plano que passa pelo fundo do poço elimita inferiormente o aqüífero.

Assinalamos desde já que os valores doscoeficientes de permeabilidade obtidos porbombeamento diferem dos valores obtidos

por injeção de água, tendendo os primeirosa apresentarem valores mais baixos, o queé compreensível.

TABELA DE R (m), RAIODE INFLU:eNCIA

onde

A

K

TERRENOR(m)

all

a12vaza arenosalOa20.......

aln

a21

a22.......a2n areia fina argilosa

a31

a32 FP de 0,01-0,05 mm30 a40.......

a3n

••• o ••••••••••••

areia fina homogênea

anl

an2 annFP de 0,01-0,05 mm40 a50....... areia fina argilosa

k10=01 FP de 0,1-0,25 mm50 a60

~2

Q2- areia fina homogêneakil

03FP de 0,1-0,25 mm60 a80

- areia média· argilosaku

OnFP de 0,25-:-0,5 mm80 a120

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CONCLUSÃO

FP - fração principal

OBS.: Esta tabela foi extraída da obra"Hydrogéologie et notions degeologie d'ingénieur"

Iniciemos esta conclusão com uma ligeiradiscussão da metodologia proposta.

Designemos por d (A) o determinanteassociado à matriz quadrada A. Para queo sistema (1) tenha solução é necessário esuficiente que d(A) =1= O.

Então:

Ak = Q e k= A -IQ onde a determina­ção do inverso da matriz A, A-I exige acondição d (A) =1= O.

Os elementos aik da matriz A são todospositivos por razões geométricas e físicas,isto é, aik~ O.

Também os coeficientes de permeabili­dade ki são maiores ou iguais a zero. Logotodos os termos da esquerda das equaçõesdo sistema são positivos. Assim se no sis­tema (1) ocorrer que dois ou mais valoresQi sejam idênticos, as equações correspon­dentes serão idênticas e o sistema se reduza um sistema de menor número de equa­ções.

Também ki = O (caso da permeabilidadedas argilas) o número de equações se reduzigualmente pela redução do número deincognitas ki' Assim, para que o sistema(1) seja compatível e determinada, de solu­ção única, as dua's condições abaixo deve­rão estar satisfeitas

d(A) =1= O e Qi =1= Q2 =1= Qs =1= .... =1= Qn

A não satisfação destas condições é ape­nas uma possibilidade teórica.

- areia média homogêneaFP de 0,5 mm

- . areia grossa levementeargilosaFP de 0,5-1,0mm

- areia grossa homogêneaFP de 0,5-1,0mm

- cascalho

- rochas fissuradas

- rochas muito fissuradas

100 a 150

150 a 225

225 a 275

275 a 350

150 a 200

500

O trabalho aqui desenvolvido' é, na rea­lidade, uma tentativa de generalização daequação de Dupuit para a determinaçãode k a partir de dois poços testemunhos:

k = Q (Ina2 - 1nal)

2 M (h2 - hl)

M = espessura do aquífero

'sendo Q, hl e h2 a água bombeada e osníveis nos dois poços testemunhos distan­tes de aI e a2 do poço central ensaiado.Assim, pode-se calcular o coeficiente k emum lençol aqüífero livre.

Entretanto se um poço tubular atravessaum aqüífero que recebe contribuição devárias camadas de sedimentos com valores

Qh a determinação' de k pela fórmula in­dicada daria um valor médio do co'eficiente

de permeabilidade, já que neste caso seexprimira pela soma k = kl + k2+ kn. Isto foi admitido na for-mulação do sistema (1).

Quanto ao raio de influência R que in­tegra a expressão dos elementos aik damatriz A, as fórmulas existentes para a suadeterminação são imprecisas, porém acei­táveis.

Aliás deve-se ter em conta que as leisque descrevem os movimentos da água, emHidráulica, são freqüentemente afetadas decüeficientes corretivos obtidos experimen­talmente. Desta maneira qualquer desen­volvimento teórico do fluxo de fluidos,objeto da Hidrodinâmica, ao passar paraas aplicações práticas tem necessidade deser testado, tarefa essa nem sempre fácilou possível.

A comprovação do método deduzido de­penderá, pois, de um teste, embora se fun­damente em equações correntes na práticada hidrogeologia.

:E: ainda de se esperar que, em razão dacomplexidade do arranjo, dimensões eforma das partículas de sedimentos quecompõem as formações geológicas sedimen­tares, os coeficientes ki de permeabilidadecalculados sejam de uma natureza proba­bilística ou freqüencista. Em vista disso, aabordagem correta do problema deveriase realizar através da teoria Matemática daProbabilidade. Por exemplo, a clássica for­mula de Darcy para a avaliação de perdasde carga ou de energia específica está hojesuperada em precisão pela fórmula de

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Hazen-Willians obtida estatisticamente, paranão citar outros exemplos da Física' Esta­tística.

Em que pesem tais considerações; é pro­vável que se possa obter precisão razoávelná avaliação prévia de produção de poços'a perfurar, através do Q}.étodoaqui apre­sentado. Também, dada a simplicidade, aestrutura ou modelo de aqüíferos poderáser construídó por esta via.

Nota-se que, se no aqüífero atravessadopor poços tubulares ocorrem camadas deargila, desde logo ficam alijadas do sistemavárias, incógnitas e, portanto, este se sim­plifit:a.

Sertdo 'a matriz quadrada Ã' composta depequeno número de elementos, via deregra, o sistema ,,(1) pode ser resolvido"em uma, pequena calculadora' eletrônicaprogramável como a Hewlett Packard mo~dela 9820 A, opção 001. .

Dada a existência de perspectiva de apli­cação de uma tal metodologia, seria decon­veniência não somente para propósito comopara outras investigações futuras, que ospoços tubular'es perfurados por este Insti­tuto Geológico, bem como por outras enti­dades, fosse providenciada a locação dosmesmos através de coordenadas do sistemaUTM, o que pode ser conseguido ao nívelde precisão permissível, usando-se folhastopográficas na escala de 1:50.000, hojedisponíveis para todo o Estado,de SãoPaulo.

A descrição e a espessura dos sedimentosatravessados são também dados de extremaimportância no aprofundamento de pesqui­sas hidrogeológicas, bem como a determi­nação da granulometria de amostras repre­sentativas das camadas de sedimentos,dados esses que contribuem para a constru­ção do modelo de aqüíferos.

A aplicação sucessiva do método apre­sentado concorrerá para que os resultadosencontrados se aproximem por iteraçõesaos do modelo real.

Outro aspecto positivo que poderá de­correr da aplicação de modelos matemá­ticos é o desenvolvimento de métodos in­diretos, cada vez mais necessários às inves­tigações hidrogeológicas, tendo em consi­deração os custos e o tempo despendidopela via direta.

Esta é uma abordagem que vem cres­cendo rapidamente como conseqüência dodesenvolvimento de vários ramos da mate­mática aplicada e principalmente doscomputadores eletrônicos.

, Para a compatibilização das unidadesque entram nos termos das equações dosistema (1), observando-se que os valoresde permeabilidade são expressos habitual­mente em metro / dia, é necessário que asoutras grandezas sejam expressas em metroe, os valores de vazão O, ao invés de ma/hora como é corrente em testes de vazão,sé expressem em ma/ dia.

DADOS PARA OS CÁLCULOS DOS COEFICIENTES alk

poçO 101 = 38,94 m3/hProfundidade = 85 mHI 73,10mhl = 56,60mDI = HI hl - 16,5 mdi HI + hl - 129,10 m

lu = 21 m112 = 25 mlia = 27,10 m

RI = 40mR2 = 42mRa = 45 m

poçO 2

Q2 = 22,23m3/hProfundidade = 85 mH2 67mh2 - 57mD2 - H2 h2 10md2 - H2 + h2 - 124 m

20m23m24m

40m42m45m

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I :I:

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poço 3

Q3 = 18,37 m3/h

Hs = 62,10 mhs = 52,40m

Ds = H3 - h3 = 9,70 mdg = Hs + h3 = 114,5 m

131 = 20,7 m132 = 22,7 m133 = 18,7 m

RI = 40mR2 = 42mR3 = 45 m

CÁLCULO DOS COEFICIENTES CXik

an

= 3,14 X16,5 X 129,1X2123,85

24 (73,10)2

1n40 - 1nO,10

a12

= 3,14 X 16,5 X 129,1 X2525,40

24 (73,10)2

1n42 - 1nO,10

a13 = 3,14

X 16,5 X 129,1X27,1026,26

24 (73,10)2

ln45 - lnO,lO

a21

3,14 X10X124 X 2022,42

24 (67)2

ln40 - lnO,10

a22 = 3,14

X10X124 X 2323,17

24 (67)2

1n42 - lnO,10

a23

3,14 X10X124 X 2423,42

24 (67)2

1n45 - lnO,lO

aSI = 3,14

X 9,7 X: 114,5X20,702= 2,68

24 (62,10)2

1n40 - 1nO,10

aS2

3,14X 9,7 X 114,5 X22,702= 3,20

24 (62,10)2

ln42 - 1nO,10

a33 = 3,14

X 9,7 X 114,5X18,7022,15

24 (62,10)2

ln45 - 1nO;10

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SISTEMA LINEAR DE EQUAÇõES

3,85 K1 + 5,40 K2 + 6,26 Ka 38,942,42 K1 + 3,17 K2 + 3,42 Ka 22,232,68 K1 + 3,20 K2 + 2,15 Ka 18,37

[ 3,85

5,40

626Jf':::, = 2,42

3,173:42 = 0,79 >0

2,68

3,202,15

~8'94

5,40

6'2~J

.:lK1= 22,23

3,173,4~ .= 1,09 >018,37

3,20-2,15

[ 3,85

38,94

6'26J.:lK2= 2,42

22,233,42 = 1,69 >_02,68

18,372,15

[ 3,85

5,40

38,94]

.:lKa=2,423,1722,23 = 2,79 >0

2,68

3,2018,37

K1

.:lKl1,091,32 metro/dia-- f':::,0,79

K2

.:lK21,692,14 metro/dia

f':::, 0,79

Ka .:lK3 -:-. 2,79 = 3,53 metro/dia

f':::, 0,79

então K = Kl + K2 + K3 1,32 ++ 2,14 + 3,53 = 6,99 m/dia

No exemplo em qu~tão foram satisfeitasas condições atrás formuladas, isto é:

Q1 =F Q2 =F =f= Qn

d (A) =1= O

alk >0Sendo K1 >0,

então todos os produtos ,~lk K1 >°

A possibilidade de aplicação do métodoexige certa uniformidade dos' estratos desedimentos e uma distância entre poços deno mínimo 100 metros, tendo em vista oraio de influência R.

Os sinais de f':::, , f':::,Kl, f':::,K2, ... f':::,Kn

deverão ser idênticas para que não resul-

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tem K1 <0, pois neste caso não se cumpri­ria a relação Q = f':::,Qj. Se algum K1<0for de valor pequeno, adota-se K1 = O,pois que o valor negativo resulta de inevi­táveis imprecisões na avaliação das gran­de2ias em jogo.

O método aqui proposto parte das se-guintes suposições:

a estrutura do aqüífero tem certa uni­formidade, isto é, as estratificaçõesocorrem segundo camadas dispostasmais ou menos horizontais e sedimen­tologicamente uniformes;cada camada de estratos se comportacomo um aqüífero independente delençol livre; .os componentes do aqüífero obedecema equação de Dupuit;o rebaixamento total se distribui pro­porcionalmente à espessura dos estratossedimentares;o diâmetro do poço é constante e oraio de influência é tomado aproxima­damente em função das frações de se­dimentos de cada camada.

Estas hipóteses de base são evidente­mente necessárias e são procedimentos cor­rentes na formulação de qualquer lei quedescreva fenômenos físicos.

Em conclusão o método deverá encerrarerros devidos às seguintes razões:

1. A descrição matemática do problemaé inexata (por exemplo, os dados, ini­ciais não são exatos).

2. A solução exata requereria um nu­mero infinito e inaceitávd de opera­ções aritméticas, o que justifica aprocura de soluções aproximadas, sa~tisfatórias em face do problema consi­derado.

3 . O inevitável erro de arredondamentode valores resultantes das operações.

Os erros devidos a estas causas sãogeralmente classificados como:

a) erros inerentes r1,b) erros de método r2,c) erros de cálculo ra.

O erro total resultante será então r =r1 + r2 + ra.

Não obstante a lógica do método, existea sua aplicabilidade, se viabiliza na medidadas possibilidades da redução dos errosacima citados.