1 SuperciesDenicin. Se dice que un subconjunto o R3es una supercie parame-trizada si existe un dominio 1 _ R2y una aplicacin: : 1 _R2R3.:(n. ) = (r(n. ). (n. ). .(n. )) .tal que Im: = o.A la aplicacin : la denominamos representacin paramtrica de o.Denicin. Se dice que un punto 1 o con C1 = :(n. ), es un puntoregular para la parametrizacin : si se verica: :&(n. ) . :(n. ) ,= 0 paratodo (n. ) 1, siendo:&(n. ) = (r&(n. ). &(n. ). .&(n. )) .:(n. ) = (r(n. ). (n. ). .(n. )) .La notacin que utilizamos es: r&(n. ) = 0a0&(n. ).La condicin :&(n. ) . :(n. ) ,= 0 signica que los vectores :&(n. ),:(n. ) son linealmente independientes; esto es,rg_ r&(n. ) &(n. ) .&(n. )r(n. ) (n. ) .(n. )_= 2.Si tenemos una aplicacin diferenciable,: : 1 _R2R3.:(n. ) = (r(n. ). (n. ). .(n. )) .con Im: = o R3diremos que un punto 1 o con C1 = : (n0. 0), es unpunto singular de o si :&(n0. 0) .:(n0. 0) =

0.Los puntos singulares pueden aparecer por la naturaleza de la supercieo por la eleccin de la parametrizacin.Ejemplo 1 Consideramos la semiesfera superior de radio : y centrada enel origen; esto es, la semiesfera de ecuacin cartesiana:r2+2+.2= :2. con . _ 0.1Consideramos la siguiente parametrizacin:: : [0. 2:) (0. :,2) R3.:(c. ,) = (c cos csin ,. c sin csin ,. c cos ,) .donde c mide la longitud y , la latitud. Se tiene::c(c. ,) = (c sin csin ,. c cos csin ,. 0) .:o(c. ,) = (c cos ccos ,. c sin ccos ,. c sin ,) .y:c(c. ,) .:o(c. ,) = _c2cos csin2,. c2sin csin2,. c2sin , cos ,_= c2sin , (cos csin ,. sin csin ,. cos ,) .Por tanto, :c(c. ,) . :o(c. ,) = 0 si y slo si sin , = 0; esto es, si y slo si, = 0. Luego, la parametrizacin que tenemos es regular.Ejemplo 2 Consideramos el semicono circular de ecuacin cartesiana:r2+2.2= 0. con . _ 0.Podemos considerar la siguiente parametrizacin:: : [0. 2:) [0. +) R3.:(c. t) = (t cos c. t sin c. t) .Se tiene::c(c. t) = (t sin c. t cos c. 0) .:t(c. t) = (cos c. sin c. 1) .y:c(c. t) .:t(c. t) = _t cos c. t sin c. t sin2c t cos2c_= (t cos c. t sin c. t) .Por tanto, :c(c. t) .:t(c. t) = 0 si y slo si t = 0. En el punto 1 = (0. 0. 0)es un punto singular y no podemos denir el plano tangente al cono en dichopunto. Ntese tambin que el punto 1es un punto mltiple para dichaparametrizacin ya que::(c. 0) =C1. \c [0. 2:).2Ejemplo 3 Supercie de revolucin. Consideramos la supecie generadaal girar alrededor del eje C2 la curva de ecuacin . = ,(r), donde , esuna funcin continua con derivadas continuas de todo orden, contenida en elplano = 0.Primero parametrizamos la curva que tenemos.En este caso una para-metrizacin de la curva con ecuacin . = ,(r) es: :(n) = (n. 0. ,(n)), conn R. La matriz del giro de ngulo c alrededor del eje C2 es:__ cos c sin c 0sin c cos c 00 0 1__.Al girar la curva dada alrededor del eje C2 obtenemos:__ cos c sin c 0sin c cos c 00 0 1____n0,(n)__=__ ncos cnsin c,(n)__, con c [0. 2:).Por tanto, una representacin paramtrica de dicha supercie viene dada por:: : (0. +) [0. 2:) R3.:(n. c) = (ncos c. nsin c. ,(n)) .Se tiene::&(n. c) = (cos c. sin c. ,0(n)) .:c(n. c) = (nsin c. ncos c. 0) .Por tanto,:&(n. c) .:c(n. c) = (n,0(n) cos c. n,0(n) sin c. n) ,=

0pues n ,= 0. Luego el punto 1 con coordenadas (0. 0. ,(0)) es un puntosingular. Ntese que el punto 1 es un punto mltiple para dicha parame-trizacin ya que::(n. c) = (0. 0. ,(0)) para todo c [0. 2:).3Ejemplo 4 Toro. Supercie generada al girar alrededor del eje C2 unacircunferencia de centro (0. /. 0) y radio c con c < /. Vase la siguientegura:Por ejemplo, consideremos la circunferencia de centro C = (0. 2. 0) y radio 1.-4 -2 2 4-4-224yzParametrizamos primero dicha circunferencia. Un punto de la circunferenciaes de la forma: (0. 2 + cos c. sin c) con c [0. 2:). Al girarlo alrededor deleje C2 obtenemos:__ cos , sin , 0sin , cos , 00 0 1____02 + cos csin c__=__ sin , (cos c + 2)cos , (cos c + 2)sin c__,con , [0. 2:). Hemos obtenido la siguiente parametrizacin del toro:: : [0. 2:) [0. 2:) R3.:(c. ,) = (sin , (cos c + 2) . cos , (cos c + 2) . sin c) .4Esto es,r(c. ,) = sin , (cos c + 2) .(c. ,) = cos , (cos c + 2) ..(c. ,) = sin c.Teniendo en cuenta: cos c =_1 sin2c obtenemos:r2+2= (cos c + 2)2= cos2c + 4 cos c + 4= 1 sin2c + 4_1 sin2c + 4= 5 .2+ 4_1 .2.Por tanto,_r2+2+.25_2= 16_1 .2_es la ecuacin implcita del toro.1.0.1 Representacin explcita o de MongeUna supercie o puede venir dada por una ecuacin 1(r. . .) = 0 donde 1es una funcin diferenciable con derivadas parciales continuas de todo orden;esto es,o =_(r. . .) R3[ 1(r. . .) = 0_.Si 1:(r0. 0. .0) ,= 0 por el Teorema de la funcin implcita sabemos que existeun entorno del punto 1 = (r0. 0. .0) de manera que en ese entorno podemosver la supercie como la grca de una funcin ,(r. ), con (r. ) 1. Estoes, tenemos una representacin paramtrica de la supercie de la siguienteforma:: : 1 _R2R3.:(r. ) = (r. . ,(r. )) .Dicha representacin, en la que los parmetros son precisamenta las coorde-nadas cartesianas, se denomina carta de Monge o representacin explcita deo.51.1 Estudio local de una supercie.Sea una supercie o R3con representacin paramtrica regular:(n. ) = (r(n. ). (n. ). .(n. )) . con (n. ) 1 _ R2,de clase mayor o igual a 3 y sea 1 o con C1 = :(n. ).1.1.1 Plano tangente y recta normal en un punto de una super-cie.Denicin. Decimos que un vectorn R3es tangente a la supercie o en1 si es tangente en 1 a una curva contenida en o.Sea C una curva contenida en la supercie; C o. Por tanto, unarepresentacin paramtrica de C es:(t) = :(n(t). (t)) = (r(n(t). (t)). (n(t). (t)). .(n(t). (t))) .Utilizando la regla de la cadena obtenemos: 0(t) = :&(n(t). (t))n0(t) +:(n(t). (t))0(t).Por tanto, cualquier vector tangente a la supercie o se escribe como com-binacin lineal de los vectores :&(n. ), :(n. ).NOTA: Si el punto 1 es regular los vectores :&(n. ), :(n. ) son lineal-mente independientes y forman una base del plano tangente a o en 1.Fijados los parmetros = 0 (resp.n = n0), a las curvas con parame-trizaciones:(n. 0) = (r(n. 0). (n. 0). .(n. 0)) . n 1.(resp. :(n0. ) = (r(n0. ). (n0. ). .(n0. )) . J),las denominamos curvas paramtricas o coordenadas.Denicin.El plano tangente a o en 1 es el plano que contiene a 1 yest generado por los vectores :&(n. ), :(n. ).La ecuacin cartesiana del plano tangente a o en 1 esdet(1A. :&(n. ). :(n. )) = 0.Denicin. La recta normal a la supercie en 1 es la recta ortogonal alplano tangente a o en 1.6El vector director de la recta normal en 1 es::&(n. ) .:(n. ).Denicin.Llamamos vector normal unitario a la supercie o en el punto1 al vector:

`(n. ) =:&(n. ) .:(n. )|:&(n. ) .:(n. )|.Ntese que la ecuacin cartesiana del plano tangente a o en el punto 1 decoordenadas (c. /. c) con `(n. ) = (`1. `2. `3) es`1(r c) +`2( /) +`3(. c) = 0.Si la supercie o viene dada por una ecuacin implcita 1(r. . .) = 0,con 1 C1(R3), sabemos que el vector gradiente de 1 es ortogonal a lassupercies de nivel de 1; esto es,\1(r. . .)1(r. . .) = 0.Por tanto, el vector \1 es un vector ortogonal al plano tangente de la super-cie. Por tanto, en este caso, la ecuacin del plano tangente en 1 se puedeescribir como sigue:0 = \1(c. /. c) 1A= \1(c. /. c)(r c. /. . c)= 1a(c. /. c) (r c) +1j(c. /. c) ( /) +1:(c. /. c) (. c) .Ejemplo. Vamos a hallar la ecuacin del plano tangente de la supercie conecuacin implcita . = r22en el punto (1. 1. 0).El vector gradiente de 1(r. . .) = .,(r. ) es: \1(r. . .) = (2r. 2. .).Por tanto, la ecuacin del plano tangente a la supercie . = r2 2en elpunto (1. 1. 0) es:0 = \1(1. 1. 0)(r + 1. 1. .)= (2. 2. 1)(r + 1. 1. .)= 2(r + 1) + 2( 1) +..1.1.2 Primera forma fundamentalDenicin. Llamamos primera forma fundamentalde o en 1 a la formabilineal simtrica denida positiva 11 asociada al producto escalar inducidoen el plano tangente a o en 1 por el producto escalar en R3.7Clculo de la expresin analtica de la primera forma fundamentalCualquier vectorn 11o se escribe de la siguiente manera: n = /(n. ) :&(n. ) +/(n. ) :(n. ).siendo /. / C1(1). Por simplicidad, escribiremos: n = / :& +/ :.Tenemos: n1n2= (/1:& +/1:)(/2:& +/2:)= /1/2:& :& + (/1/2 +/2/1):& : +/1/2: := (/1. /1)_ 1 11 G__ /2/2_.donde1 =:& :& = r2& +2& +.2&0.1 =:& : = r&r +& +.&..G =: : = r2 +2 +.20.Esto es,11 : 11o 11o R.11(n1.n2) = (/1. /1)_ 1 11 G__ /2/2_.siendo (/1. /1) (resp.(/2. /2)) las coordenadas den1 (resp.n2) en la base(:&. :) de 11o. Ntese que 11 es denida positiva pues teniendo en cuentalas expresiones de los vectores :&. : y haciendo algunos clculos se obtiene:traza_ 1 11 G_= 1 +G0.det_ 1 11 G_= 1G12= |:&.:|2 0.Aplicaciones1. Clculo de la longitud de una curva contenida en la supercie.8Vamos a calcular la distancia entre dos puntos 1 = :(n0. 0) y Q =:(n1. 1) de la supercie. Consideramos una curva en la supercie ocon parametrizacin(t) = :(n(t). (t)) = (r(n(t). (t)). (n(t). (t)). .(n(t). (t)))tal que en t0 estemos en el punto 1 y en t1 estemos en el punto Q, estoes,1 =(t0) = :(n(t0). (t0)).Q=(t1) = :(n(t1). (t1)).Llamamos 1 la longitud de curva entre los puntos 1 y Q. Se tiene:1 =_t1t0| 0(t)| dt.Como:| 0(t)|2= (:&n0(t) +:0(t))(:&n0(t) +:0(t))= (n0(t))2:& :& + 2n0(t)0(t):& : + (0(t))2: := 1 (n0(t))2+ 21n0(t)0(t) +G(0(t))2= 1v(t)( 0(t). 0(t)).se tiene:1 =_t1t0_1(t)( 0(t). 0(t))_12dt.2. Clculo del ngulo que forman en 1 dos curvas C1 y C2 contenidas enla supercie.Sean1 el vector tangente a C1 en 1 y sean2 el vector tangente a C2en 1.El ngulo o que forman las dos curvas C1. C2 es el ngulo queforman sus respectivos vectores tangentes en 1. Por tanto,cos o = n1n2| n1| | n2| =11(n1.n2)11(n1.n1)1211(n2.n2)12.Las curvas C1 y C2 son ortogonales si o = :,2; esto es, si 11(n1.n2) =0.9Si C1 y C2 son las curvas coordenadas; esto es,n1 = (1. 0) yn2 = (0. 1),entonces,cos o =1_1G.Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales si y slo si 1 = 0.3. Clculo del rea de una reginde la supercie.Consideramos la reginde la supercie limitada por las curvas coor-denadas:(n0. ). :(n0 + n. ). :(n. 0). :(n. 0 + ).El incremento de rea de la reginviene dada por el producto delas longitudes de sus lados por el seno del ngulo que forman, esto es, = |:&(n0. 0)| |:(n0. 0)| sin cn= |:&(n0. 0) .:(n0. 0)| n= _1G12n.Por tanto, el rea de la reginpuede calcularse mediante la siguienteintegral: =_ _

_1G12dnd.Ejemplos1. Esfera. Consideramos la siguiente parametrizacin de la esfera de radio1 y centro el origen de coordenadas::(c. ,) = (cos ccos ,. cos csin ,. sin c) . (c. ,) (:,2. :,2)[0. 2:).Se pide:(a) Expresin de la primera forma fundamental.Se tiene::c(c. ,) = (sin ccos ,. sin csin ,. cos c) .:o(c. ,) = (cos csin ,. cos ccos ,. 0) .10Por tanto,1(c. ,) = :c(c. ,):c(c. ,) = sin2c_cos2, + sin2,_+ cos2c = 1.1(c. ,) = :c(c. ,):o(c. ,) = sin ccos , cos csin , sin csin ccos , cos , = 0.G(c. ,) = :o(c. ,):o(c. ,) = cos2c_sin2, + cos2,_= cos2c.La matriz asociada a la primera forma fundamental en un puntoarbitario 1 = :(c. ,) de la supercie es:_ 1 00 cos2c_Como 1 = 0 las curvas coordenadas :(c0. ,) (paralelo) y :(c. ,0)(meridiano) son ortogonales entre si.(b) La longitud de la curva parmetro , = ,0.La curva parmetro , = ,0 (meridiano , = ,0) tiene la siguienteparametrizacin::(c) = :(c. ,0) = (cos ccos ,0. cos csin ,0. sin c) . c [0. 2:).Se tiene:: 0(c) = :&(c. ,0) = 1:&(c. ,0) + 0:o(c. ,0).por tanto (1. 0) son las coordenadas del vector tangente : 0(c) enla base :c(c. ,0). :o(c. ,0) y1v(c)(: 0(c). : 0(c)) = (1. 0)_ 1 00 cos2c__ 10_= 1.Por tanto,1 =_22 1dt = :.(c) La longitud de la curva parmetro c = c0.La curva parmetro c = c0 (paralelo c = c0) tiene la siguienteparametrizacin::(,) = :(c0. ,) = (cos c0 cos ,. cos c0 sin ,. sin c0) . c [:,2. :,2].11Se tiene:: 0(,) = :o(c0. ,) = 0:c(c0. ,) + 1:o(c0. ,).por tanto (0. 1) son las coordenadas del vector tangente : 0(,) enla base :c(c0. ,). :o(n0. ,) y1v(o)(: 0(,). : 0(,)) = (0. 1)_ 1 00 cos2c0__ 01_= cos2c0.Por tanto,1 =_20cos2c0dt = 2: cos2c0.2. Se considera la supercie formada por las rectas que se apoyan en lahlice de ecuacin c(n) = (cos n. sin n. n), n _ 0, paralelas al plano. = 0 y que se apoyan en el eje C2. Vase la siguiente grca:(a) Vamos a hallar una parametrizacin de dicha supercie.Un punto A de la supercie satisface la siguiente ecuacin:CA =C10 +`101donde 10 es el punto del eje C2 y 1, 10 estn en la recta quese apoya en la hlice y en el eje C2 y que es paralela al plano. = 0. Por tanto si 1 es el punto de la hlice con coordenadas(cos n. sin n. n), las coordenadas de 10 son (0. 0. n). se tiene::(n. `) = (0. 0. n) +`(cos n. sin n. 0)= (`cos n. `sin n. n) , con n _ 0 y ` [0. 1].12(b) Veamos que :(n. `) es una parametrizacin regular. Se tiene::&(n. `) = (`sin n. `cos n. 1) .:A(n. `) = (cos n. sin n. 0) .:&(n. `) .:A(n. `) = (sin n. cos n. `) .|:&(n. `) .:A(n. `)| = _1 +`2,= 0.por tanto, la parametrizacin es regular.(c) Primera forma fundamental. Se tiene:1(n. `) =:&(n. `):&(n. `) = (`sin n. `cos n. 1)(`sin n. `cos n. 1)= 1 +`.1(n. `) =:&(n. `):A(n. `) = (`sin n. `cos n. 1)(cos n. sin n. 0)= 0.G(n. `) =:A(n. `):A(n. `) = (`sin n. `cos n. 1)(cos n. sin n. 0)= `.Por tanto,11 : 11o 11o R.11(n1.n2) = (c1. /1)_ 1 +` 00 `__ c2/2_.conn1 = (c1. /1) yn2 = (c2. /2).1.1.3 Segunda forma fundamentalEn el estudio de curvas, la curvatura meda la tasa de variacin de la rectatangente en el entorno de un punto de la curva. Extendemos esta idea alestudio de supercies. Vamos a medir la distancia entre la supercie y elplano tangente a la supercie en un punto 1 o, en puntos de la supercieprximos al punto 1. Para ello vamos a estudiar cmo vara el campo normalunitario ` en un entorno del punto 1.Sea una supercie o R3con representacin paramtrica regular:(n. ) = (r(n. ). (n. ). .(n. )) , con (n. ) 1 _ R2,13de clase mayor o igual a 3. El campo normal unitario ` asigna a cada punto1 de la supercie, con C1 = :(n. ), su vector normal unitario; esto es,

`: 1 R3.

`(n. ) =:&(n. ) .:(n. )|:&(n. ) .:(n. )|.Usaremos la notacin `(n. ), `1 indistintamente. Y denotaremos 1 `1(n)a la derivada direccional de la aplicacin ` en el punto 1 y en la direccindel vector unitarion tangente a la supercie en el punto 1.Derivando la identidad `1 `1 = 1 en la direccin de un vector unitario n tangente a la supercie en el punto 1, obtenemos:0 = 21 `1(n) `1. conn 11o, | n| = 1.De donde se concluye que el vector 1 `1(n) es ortogonal al vector normal

`1, luego,1 `1(n) 11o;esto es, Im1 `1 = 11o.Denicin. Llamamos segunda forma fundamental de o en 1 a la formacuadrtica 111 denida en 11o de la siguiente manera:111 : 11o R. 111 (n) = 1 `1 (n) n.Vamos a calcular la expresin analtica de la segunda forma fundamental enla base :&(n. ). :(n. ) de 11o. Cualquier vectorn 11o se escribe dela siguiente manera: n = /(n. ) :&(n. ) +/(n. ) :(n. ).y1 `1 (n) = \

`1 n= _

`&(n. ). `(n. )_ (/(n. ). /(n. ))= /(n. )

`&(n. ) +/(n. )

`(n. ).Por simplicidad, escribiremos:n = / :& + / : y 1 `1 (n) = / `& + /

`.14Tenemos:111 (n) = 1 `1 (n) n= _/ `& +/ `_ (/ :& +/ :)= /2 `& :&//_

`& : + ` :&_/2 ` := 1/2+ 2`// +`/2.donde1 = :&

`& = :&&

`.2` = _:&

` +:

`&_= 2:&

`.` = :

` = :

`.Las frmulas anteriores se obtienen teniendo en cuenta: :&

` = 0 y :

` = 0,pues :&. : 11o. Por tanto, derivando estas igualdades tenemos:0 =00&_:&

`_= :&&

` +:&

`&0 =00_:&

`_= :&

` +:&

`0 =00&_:

`_= :&

` +:

`&0 =00_:

`_= :

` +:

`==:&

`& = :&&

`._:&

` +:

`&_= 2:&

`.:

` = :

`.Ejemplo Hallar la segunda forma fundamental del toro con parametrizacin:: : [0. 2:) [0. 2:) R3.:(c. ,) = ((cos c + 2) cos ,. (cos c + 2) sin ,. sin c) .Solucin. Se tiene::c(c. ,) = (sin ccos ,. sin csin ,. cos c) .:o(c. ,) = ((cos c + 2) sin ,. (cos c + 2) cos ,. 0) .:c(c. ,) .:o(c. ,)= (cos c(cos c + 2) cos ,. cos c(cos c + 2) sin ,. sin c(cos c + 2)) .15|:c(c. ,) .:o(c. ,)| = cos c + 2.luego

`(c. ,) =:c(c. ,) .:o(c. ,)|:c(c. ,) .:o(c. ,)| = (cos ccos ,. cos csin ,. sin c) .Y:cc(c. ,) = (cos ccos ,. cos csin ,. sin c) .:co(c. ,) = (sin csin ,. sin ccos ,. 0) .:oo(c. ,) = ((cos c + 2) cos ,. (cos c + 2) sin ,. 0) .por tanto,1(c. ,) =:cc(c. ,) `(c. ,) = 1.`(c. ,) =:co(c. ,) `(c. ,) = 0.`(c. ,) =:oo(c. ,) `(c. ,) = cos c(cos c + 2) .Luego,111 (/. /) = /2+ cos c(cos c + 2) /2.1.1.4 Curvatura normalSea o una supercie con parametrizacin :(n. ) y sea C una curva contenidaen la supercie con parametrizacin natural:(:) = :(n(:) . (:)), con : 1 _ R,y sea 1 un punto arbitrario de la curva; esto es, C1 = (:).Se tiene:

t(:) = 0(:).

/(:) =

t 0(:) = /(:):(:). vector curvatura de C en 1.Descomponemos el vector curvatura de la siguiente manera:

/(:) = /.(:) +

/j(:) donde_ /.(:) =_

/(:) `1_ `1.

/j(:) = /(:)

/.(:).16Llamamos vector curvatura normal a la proyeccin del vector curvatura sobreel vector curvatura normal de la supercie `1; esto es,

/.(:) =_

/(:) `1_ `1.Se denomina curvatura normal en un punto 1 de la supercie en la direccinde la curva C con parametrizacin :(:) a:/.(:) = /(:) `1 =

t 0(:) `1.Y llamamos vector curvatura tangencial o geodsica al vector

/j(:). Derivandola identidad t(:) `1 = 0 obtenemos:0 =

t 0(:) `1 +

t(:) d

`1d:= /.(:) +

t(:) d

`1d: .donde d

`1,d: es la derivada del campo ` en el punto 1 en la direccin delvector : 0(:); esto es,d

`1d:= 1 `1( 0(:))con 0(:) = :&(n(:) . (:))n0(:) +:(n(:) . (:))0(:).Por tanto,/.(:) = d

`1d:

t(:)= 1 `1( 0(:)) 0(:) = 111 ( 0(:)) .Si

c(t) = :(n(t) . (t)), con t J _ R,es una parametrizacin arbitraria de la curva C, entonces, el vector 0(t) noes unitario y se verica la siguiente igualdad:/.(t) =111_

c 0(t)_11_

c 0(t).

c 0(t)_.Obsrvese que /.(t) slo depende de la direccin del vector tangente a lacurva en el punto 1. Se tiene el siguiente resultado:17Teorema de Meusnier Todas las curvas sobre la supercie que tienen lamisma recta tangente en el punto 1, tienen la misma curvatura normal en1.Se puede hablar de curvatura normal a una supercie en un punto 1 enla direccin de un vectorn 11o; esto es,/. (n) =111 (n)11 (n.n).Nota. Si las coordenadas del vectorn 11o en la base :&(n. ). :(n. )de 11o son (/(n. ). /(n. )) entonces usaremos tambin la notacin:/. (/. /) = 111 ((/. /))11 ((/. /)) .donde / = /(n. ), / = /(n. ).1.1.5 Naturaleza de los puntos de una supercieVamos a estudiar la posicin de la supercie con respecto a su plano tangente.El vector /.(n. ) = /.(n. )

`1 tiene la direccin del vector normal a lasupercie en el punto 1 conC1 = :(n. ) y su sentido depende del signo dela curvatura normal.Teniendo en cuenta la primera forma fundamental esdenida positiva, el signo de la curvatura normal depende nicamente de lasegunda forma fundamental. La matriz de la segunda forma fundamental es:_1 `` `_y su determinante es:= 1` `2. Se tiene:0 Entonces 111 es denida (o positiva o negativa). Por lo tanto no hayninguna direccin en la que /. se anule (todos los autovalores de lamatriz de 111 tienen el mismo signo). La curvatura normal tiene signoconstante en un entorno del punto 1. En un entorno de 1 la supercieest en uno de los semiespacios que determina el plano tangente a o en1. El punto 1 se dice que es un punto elptico. = 0 Y suponemos que 1. `. ` no se anulan simultneamente. Por tanto, = 1` `2= 0 nos indica que la matriz de 111 tiene un autovalor18` = 0; esto es, existe una direccin a lo largo de la cual /. = 0.Eneste caso el punto de contacto de la supercie con el plano tangente sedice que es un punto parablico. < 0 Entonces 111 es indenida. Por lo tanto la matriz de 111 tiene unautovalor positivo y otro negativo; esto es, existe una direccin a lolargo de la cual /.0 y otra a lo largo de la cual /. < 0. El planotangente a o en 1 interseca a la supercie en dos direcciones. El punto1 se dice que es un punto hiperblico.Ejemplo Clasicar los puntos del toro con parametrizacin:: : [0. 2:) [0. 2:) R3.:(c. ,) = ((cos c + 2) cos ,. (cos c + 2) sin ,. sin c) .Solucin. Teniendo en cuenta que la matriz de la segunda forma funda-mental de o en un punto 1, con C1 = :(c. ,), es:_ 1 00 cos c(cos c + 2)_se tiene: = det_ 1 00 cos c(cos c + 2)_= cos c(cos c + 2) .Como cos c + 20, el signo dedepende del signo de cos c.Si c [0. :,2) ' (3:,2. 2:], entonces 0 y los puntos son elpticos.Si c :,2. 3:,2, entonces= 0 y los puntos son parablicos.Si c (:,2. 3:,2) entonces< 0 y los puntos son hiperblicos.1.1.6 Curvaturas de una supercieDe todas las direcciones del plano tangente a la supercie o en un punto 1,es interesante determinar aquellas en las que la curvatura normal en el puntoalcanza sus valores extremos.19Direcciones principalesDenicin. Se llaman direcciones principales de o en 1 a las direccionesdel plano tangente a o en 1 en las que la curvatura normal toma sus valoresextremos. A las curvaturas coorespondientes las denominaremos curvaturasprincipales.Vamos a hallar las direcciones principales de una supercie o en un punto1 con curvatura normal:/. ((/. /)) = 111 ((/. /))11 ((/. /))= 1/2+ 2`// +`/21/2 + 21// +G/2 .En las direcciones = (/. /) 11o principales se debe cumplir:0 =J/.J/ (/. /) =211 ((/. /)) ((1/ +`/) /. (1/ +1/)) .0 =J/.J/(/. /) =211 ((/. /)) ((`/ +`/) /. (1/ +G/)) .Por tanto las direcciones principales (/. /) 11o deben satisfacer el siguientesistema de ecuaciones:_ (1 /.1) / + (` /.1) / = 0.(` /.1) / + (` /.G) / = 0.(1)El sistema (1) se puede escribir de la siguiente forma:_ 1/ +`/ = /. (1/ +1/) .`/ +`/ = /. (1/ +G/) .Por tanto,/. = 1/ +`/1/ +1/ = `/ +`/1/ +G/ .equivalentemente,0 = (1` G`) /2(G1 `1) // + (1` 11) /2esto es,0 =/2// /21 1 G1 ` `20Tomando la direccin (1. ` = /,/) tenemos:0 = (1` G`) `2(G1 `1) ` + (1` 11) .Si 1` G` ,= 0, las soluciones `1. `2 de esta ecuacin de segundo gradoen ` nos da las dos direcciones principales: (1. `1), (1. `2). Se demuestra quelos vectores (1. `1), (1. `2) son ortogonales; esto es,11 ((1. `1). (1. `2)) = 1 +1 (`1 +`2) +G`1`2= 1 +1 G1 `11` G` +G1` 111` G`= 0.Denicin. Un punto 1 o se dice umbilical si las formas fundamentalesen l son proporcionales; equivalentemente, si/. = 11 = `1= `G.En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar princi-pales. Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el quese anula la segunda forma fundamental y, por tanto, /. = 0 en cualquierdireccin.Curvaturas principalesVamos a hallar las curvaturas principales de una supercie o en un punto1. Tomando la direccin (1. `) la ecuacin/. (/. /) = 1/ +`/1/ +1/ = `/ +`/1/ +G/ .se escribe:/. (1. `) = 1 +``1 +1` = ` +``1 +G` ==_ (1 +``) /. (1 +1`) = 0(` +``) /. (1 +G`) = 0y eliminando ` en el sistema anterior obtenemos:_1G12_/2. (1` +G1 21`) /. +1` `2= 0esto es, 1 11 G/2. _ 1 `1 `+1 1` G_/. +1 `` `= 0cuyas soluciones /1, /2 son las curvaturas principales.El discriminante de la ecuacin anterior es siempre mayor o igual quecero, y por tanto, las soluciones de dicha ecuacin siempre son reales.21Curvatura de Gauss y curvatura mediaDenicin.Se denomina curvatura de Gauss o total de una supercie oen un punto 1 o al producto de las curvaturas principales; esto es,1 = /1/2 = 1` `21G12 .Teniendo en cuenta 1G12 0 se deduce que el signo de la curvatura totaldepende del signo de 1` `2. Se tiene:1. Un punto 1 de la supercie es elptico si y slo si 10.2. Un punto 1 de la supercie es parablico si y slo si 1 = 0.3. Un punto 1 de la supercie es hiperblico si y slo si 1 < 0.Denicin. Se denomina curvatura media de una supercie o en un punto1 o a la media aritmtica de las curvaturas principales; esto es,/n = /1 +/22= 121` +G1 21`1G12.Ejemplo Se considera la siguiente parametrizacin del toro:: : [0. 2:) [0. 2:) R3.:(c. ,) = ((cos c + 2) cos ,. (cos c + 2) sin ,. sin c) .Se pide:1. Curvatura normal en el punto 1 de coordenadas (2. 0. 1).2. Direcciones principales en el punto 1.3. Curvaturas principales en el punto 1.4. Curvatura de Gauss en el punto 1.5. Curvatura media en el punto 1.22Solucin.El punto 1 se alcanza para los valores de los parmetros c = :,2 y , = 0.Tenemos::c(c. ,) = (sin ccos ,. sin csin ,. cos c) .:o(c. ,) = ((cos c + 2) sin ,. (cos c + 2) cos ,. 0) .y

`(c. ,) =:c(c. ,) .:o(c. ,)|:c(c. ,) .:o(c. ,)| = (cos ccos ,. cos csin ,. sin c) .Por tanto,1(c. ,) =:c(c. ,):c(c. ,) = 1.1(c. ,) =:c(c. ,):o(c. ,) = 0.G(c. ,) =:o(c. ,):o(c. ,) = (cos c + 2)2.y1(c. ,) =:cc(c. ,) `(c. ,) = 1.`(c. ,) =:co(c. ,) `(c. ,) = 0.`(c. ,) =:oo(c. ,) `(c. ,) = cos c(cos c + 2) .Por tanto, la matriz de la primera forma fundamental de o en un punto1 es:_ 1 (:,2. 0) 1 (:,2. 0)1 (:,2. 0) G(:,2. 0)_=_ 1 00 4_y la matriz de la segunda forma fundamental de o en un punto 1 es:_1(:,2. 0) ` (:,2. 0)` (:,2. 0) ` (:,2. 0)_=_ 1 00 0_.La curvatura normal en la direccin del vectorn 11o con coordenadas(/. /) es:/.(/. /) = 111(/. /)11(/. /)=/2/2 + 4/2.Las direcciones principales (1. `) en 1 son las soluciones de la ecuacin:0 =`2` 11 0 41 0 0= 4` ==` = 0.23Si tomamos el vector de coordenadas (`. 1), entonces la ecuacin se escribe:0 =1 ` `21 0 41 0 0= 4` ==` = 0.Por tanto, las direcciones principales son las de los vectores de coordenadas(1. 0) y (0. 1).Las curvaturas principales son:/.(1. 0) =111(1. 0)11(1. 0)= 1./.(0. 1) =111(0. 1)11(0. 1)= 0.Si consideramos la ecuacin de las curvaturas principales: 1 00 4/2. _ 1 00 0+ 1 00 4_/. + 1 00 0= 0obtenemos:4 (/. 1) /. = 0 ==_ /. = 1/. = 0La curvatura de Gauss es el producto de las curvaturas principales: /1/2 = 0y la curvatura media es (/1 +/2) ,2 = 1,2.1.1.7 Lneas de curvatura y lneas asintticasDenicin. Una curva C contenida en una supercie o se denomina lneade curvatura si la direccin del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con la direccin principal en ese punto.Vase el siguiente grco en el que se muestran las lneas de curvatura enel punto (0. 0. 0) de la supercie con ecuacin . = r22:24Sea o una supercie con parametrizacin :(n. ) y sea C una curva con-tenida en la supercie con parametrizacin:(t) = :(n(t) . (t)), con t 1 _ R,y sea 1 un punto arbitrario de la curva; esto es, C1 = (t). La curva C esuna lnea de curvatura si las coordenadas (n0(t) . 0(t)) del vector 0(t) enla base :&(n(t) . (t)), :(n(t) . (t)) de 11o son solucin de la siguienteecuacin diferencial:0 = (1` G`) (0(t))2(G1 `1) n0(t) 0(t) + (1` 11) (n0(t))2esto es,0 =(0(t))2n0(t) 0(t) (n0(t))21 1 G1 ` `Denicin. Una direccin se denomina asinttica respecto a un punto 1 deo si se anula en ella la segunda forma fundamental en 1; esto es, la direccindel vectorn = (/. /) es asinttica si111(/. /) = 0.Denicin. Una curva C contenida en una supercie o se denominalnea asinttica si la direccin del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con una direccin asinttica.La curva C es una lnea asinttica si las coordenadas (n0(t) . 0(t)) delvector 0(t) en la base :&(n(t) . (t)), :(n(t) . (t)) de 11o son solucinde la siguiente ecuacin diferencial:0 = 1(n0(t))2+ 2`n0(t)0(t) +` (0(t))2.25Ejemplo Se considera la supercie con parametrizacin:: : R2R3. :(n. ) =_n. . n22_.Se pide:1. Clasicar los puntos de la supercie.2. Curvatura normal y curvaturas principales en el punto 1 de coorde-nadas (0. 0. 0).3. Lneas de curvatura en el punto 1.4. Lneas asintticas en el punto 1.Solucin. Tenemos::&(n. ) = (1. 0. 2n) .:(n. ) = (0. 1. 2) .

`(n. ) =:&(n. ) .:&(n. )|:&(n. ) .:&(n. )| =1_4n2 + 42 + 1 (2n. 2. 1):&&(n. ) = (0. 0. 2) .:&(n. ) = (0. 0. 0) .:(n. ) = (0. 0. 2) .Por tanto,1(n. ) =:&(n. ):&(n. ) = 1 + 4n2.1(n. ) =:&(n. ):(n. ) = 4n.G(n. ) =:(n. ):(n. ) = 1 + 42.1(n. ) =:&&(n. ) `(n. ) =2_4n2 + 42 + 1.`(n. ) =:&(n. ) `(n. ) = 0.`(n. ) =:(n. ) `(n. ) =2_4n2 + 42 + 1.La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario 1 de lasupercie es:_ 1 + 4n24n4n 1 + 42_.26La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario 1 de lasupercie es:_2p4&2+42+1002p4&2+42+1_.El determinante 1(n. )`(n. ) `(n. )2< 0, por tanto, todos los puntosde la supercie son puntos hiperblicos.La curvatura normal en el punto 1 = :(0. 0) en la direccin de un vector(/. /) es:/.(/. /) = 2/22/2/2 +/2Si suponemos (/. /) = (cos c. sin c) tenemos:/.(cos c. sin c) = 2_cos2c sin2c_= 2 cos 2c.Por tanto, /. toma el valor mximo 2 para c = 0. :, en la direccin de losvectores (1. 0) y (1. 0), y /. toma el valor mnimo 2 para c = :,2. 3:,2,en la direccin de los vectores (0. 1) y (0. 1).Para c (:,4. :,4) ' (3:,4. 5:,4), la curvatura normal es positiva.Para c (:,4. 3:,4) ' (5:,4. 7:,4), la curvatura normal es negativa.Para c = :,4. 3:,4, la curvatura normal es cero. Por tanto, las direc-ciones asintticas son:(cos :,4. sin :,4) = (_2,2._2,2).(cos 3:,4. sin 3:,4) = (_2,2._2,2).La ecuacin diferencial de las lneas de curvatura en 1 es:0 =(0(t))2n0(t)0(t) (n0(t))21 0 12 0 2= 4n0(t)0(t)Esto es, n0(t) = 0 0(t) = 0. Por tanto, las lneas de curvatura son n(t) = n0 (t) = 0, con n0 y 0 constantes. Como estamos en el punto 1 = :(0. 0),tenemos n(0) = 0 y (0) = 0, por tanto, las lneas de curvatura son::(0. ) = _0. . 2_.:(n. 0) = _n. 0. n2_.27La ecuacin diferencial de las lneas asintticas en 1 es:0 = 2 (n0(t))22 (0(t))2==0 = n0(t) +0(t) 0 = n0(t) 0(t)Integrando obtenemos: n(t) = (t) + /.Como n(0) = (0) = 0, se tiene:n = . Las lneas asintticas son::(n. n) = (n. n. 0):(n. n) = (n. n. 0)1.1.8 Indicatriz de DupinVamos a estudiar la curvatura normal de una supercie en un punto 1 dela supercie. Supongamos que en un entorno del punto 1tenemos unaparametrizacin de Monge de la supercie de la forma::(n. ) = (n. . ,(n. )) .con ,&(n. ) = ,(n. ) = 0. En este caso se tiene::&(n. ) = (1. 0. 0) .:(n. ) = (0. 1. 0) .

`(n. ) = (0. 0. 1) .Estamos suponiendo que la supercie est situada de manera que el punto 1sea el origen de coordenadas y el plano tangente a la supercie en el punto1 sea el plano . = 0. Se tiene: 1 = 1., 1 = 0, G = 0 y/.(/. /) = 1/2+ 2`// +`/2/2 +/2.Tomamos /2+ /2= 1 (la curvatura normal sobre un vector unitario); estoes, / = cos o, / = sin o, entonces:/.(o) = 1cos2o + 2` cos o sin o +` sin2o.Tomamos [/.(o)[ = 1,:2r1 = : cos o, r2 = : sin o, entonces:1 = 1r21 + 2`r1r2 +`r22.28La ecuacin anterior determina una seccin cnica en el plano tangente quese denomina Indicatriz de Dupin.Si 1 es elptico (1` `2 0), la indicatriz es una elipse.Si 1es hiperblico (1` `2< 0), la indicatriz consiste en un par dehiprbolas conjugadas. A lo largo de una de las hiprbolas /.0 y a lolargo de la otra /. < 0. Las asntotas de las hiprbolas corresponden a lasdirecciones en las que /. = 0.Si 1 es parablico (1` `2= 0, 12+ `2+ `2,= 0), la indicatriz es unpar de rectas paralelas.Si la indicatriz existe y no es una circunferencia, entonces /. toma susvalores extremos en dos direcciones ortogonales que son las direcciones de losejes de la indicatriz.En los puntos elpticos en los que /. = constante ,= 0, todas las direc-ciones se dicen principales. En los puntos planos /. = 0, tambin todas lasdirecciones son principales.Ejemplo 1 Vamos a calcular la curvatura normal de la esfera de radio : ycentrada en el origen; esto es, la esfera de ecuacin cartesiana:r2+2+.2= :2.Podemos considerar la siguiente parametrizacin:: : [0. 2:) (0. :) R3.:(c. ,) = (c cos csin ,. c sin csin ,. c cos ,) .Se tiene::c(c. ,) = (c sin csin ,. c cos csin ,. 0) .:o(c. ,) = (c cos ccos ,. c sin ccos ,. c sin ,) .y:c(c. ,) .:o(c. ,) = _c2cos csin2,. c2sin csin2,. c2sin , cos ,_.|:c(c. ,) .:o(c. ,)|2= c4cos2csin4, +c4sin2csin4, +c4sin2, cos2,= c4sin4,_cos2c + sin2c_+c4sin2, cos2,= c4sin4, +c4sin2, cos2,= c4sin2,_sin2, + cos2,_= c4sin2,.29Por tanto,

`(c. ,) =:c(c. ,) .:o(c. ,)|:c(c. ,) .:o(c. ,)| = (cos csin ,. sin csin ,. cos ,) .Y:cc(c. ,) = (c cos csin ,. c sin csin ,. 0) .:co(c. ,) = (c sin ccos ,. c cos ccos ,. 0) .:oo(c. ,) = (c cos csin ,. c sin csin ,. c cos ,) .luego1(c. ,) =:c(c. ,):c(c. ,) = c2sin2csin2, +c2cos2csin2,= c2sin2,.1(c. ,) =:c(c. ,):o(c. ,) = 0.G(c. ,) =:o(c. ,):o(c. ,) = c2cos2ccos2, +c2sin2ccos2, +c2sin2,= c2.1(c. ,) =:cc(c. ,) `(c. ,) = c cos2csin2, +c sin2csin2, = c sin2,.`(c. ,) =:co(c. ,) `(c. ,) = 0.`(c. ,) =:oo(c. ,) `(c. ,) = c cos2csin2, +c sin2csin2, +c cos2,= c sin2, +c cos2, = c.Por tanto,/.((/. /)) = 1/2+ 2`// +`/21/2 + 21// +G/2 =c sin2,/2+c/2c2 sin2,/2 +c2/2 = 1c.Luego la curvatura normal es constante en cada punto de la supercie y encada direccin del plano tangente. La indicatriz de Dupin en cada punto dela esfera es:c2= r2+2.Ejemplo 2 Vamos a hallar la indicatriz de Dupin de la supercie conecuacin cartesiana . = r22en el punto 1 de coordenadas (0. 0. 0).La supercie es:30Una parametrizacin de dicha supercie es::(n. ) =_n. . n22_que es una parametrizacin de Monge con ,(n. ) = n22. Tenemos:1(n. ) =:&(n. ):&(n. ) = 1 + 4n2.1(n. ) =:&(n. ):(n. ) = 4n.G(n. ) =:(n. ):(n. ) = 1 + 42.1(n. ) =:&&(n. ) `(n. ) =2_4n2 + 42 + 1.`(n. ) =:&(n. ) `(n. ) = 0.`(n. ) =:(n. ) `(n. ) =2_4n2 + 42 + 1.En el punto 1 tenemos1(0. 0) = 1. 1(0. 0) = 0. G(0. 0) = 1.1(0. 0) = 2. `(0. 0) = 0. `(0. 0) = 2.Por tanto,/. (o) = 2 cos2o 2 sin2ocos2o + sin2o= 2 cos2o 2 sin2o.31Tomando [/. (o) [ = 1,:2y r = : cos o y = : sin o entonces la ecuacinanterior se escribe:1 = 2r222.Luego la indicatriz de Dupin es el par de hiprbolas de ecuaciones 1 = 2r222y 1 = 2r2 22. El valor mximo de la curvatura es /1 = 2 y sealcanza en la direccin (cos 0. sin 0) = (1. 0) y el valor mnimo de la curvaturaes /2 = 2 y se alcanza en la direccin (cos :,2. sin :,2) = (0. 1). Lasdirecciones asintticas de la supercie en el punto 1 son las direcciones delas asntotas de la indicatriz de Dupin; esto es, las direcciones de las rectasde ecuaciones r = y r = .Las lneas asintticas de la supercie en elpunto 1 son::(n. n) = (n. n. 0) .:(n. n) = (n. n. 0) .1.1.9 Frmula de EulerVamos a expresar la curvatura normal en una direccin que forme un nguloc con respecto a una de las direcciones principales en funcin de ese nguloc y de las curvaturas principales.Consideramos una representacin paramtrica regular en las que las lneasde curvatura sean las lneas paramtricas; esto es, :(n0. ) y :(n. 0) son laslneas de curvatura en el punto :(n0. 0). Por tanto, las direcciones (1. 0),(0. 1) son las direcciones principales. Y las curvaturas principales son:/1 = 111 ((1. 0))11 ((1. 0))= 11. /1 = 111 ((0. 1))111 ((0. 1)) = `G.El coeciente 1 = 0 es cero pues las lneas de curvatura son ortogonales.La ecuacin de las direcciones principales es:0 =(0(t))2n0(t)0(t) (n0(t))21 1 G1 ` `.Como (1. 0) es una direccin principal y 1 = 0, se tiene:0 =0 0 11 0 G1 ` `= 1`32y como (0. 1) es una direccin principal y 1 = 0, se tiene:0 =1 0 01 0 G1 ` `= G`Como G1 ,= 0 pues la primera forma fundamental es denida positiva, en-tonces de las dos ecuaciones anteriores se deduce: ` = 0. Por tanto, lacurvatura normal en la direccin de un vector (/. /) es:/.(/. /) =111 ((/. /))11 ((/. /))= 1/2+`/21/2 +G/2=111/21/2 +G/2 + `GG/21/2 +G/2y teniendo en cuenta que el ngulo c que forma el el vector (/. /) y el vector(1. 0) satisface:cos2c =11 ((/. /). (1. 0))11 ((/. /)) 11 ((1. 0)) =1/21/2 +G/2.sin2c = 1 cos2c =G/21/2 +G/2.se deduce:/.(/. /) = /1 cos2c +/2 sin2cque es la frmula de Euler.1.2 Supercies regladasDenicin. Una supercie o se dice reglada si por cada punto 1 o existeuna recta contenida en la supercie y que contiene al punto 1.Toda supercie reglada o puede venir determinada por una curva C y unvectorn1 asociado a cada punto 1 de la curva. La supercie est formadapor las rectas :1, con 1 C, que contienen al punto 1 y tienen vectordirectorn1. Por tanto, un punto A de la supercie satisface:CA =C1 +tn1 con 1 C, t R.33Si consideramos una parametrizacin (n), n 1, de la curva C, un puntoarbitrario A de la recta que contiene al punto 1 C con C1 = (n0) ytiene la direccin del vectorn1 se escribe de la siguiente forma:CA = (n0) +tn1. t R.Por tanto, una parametrizacin de la supercie es la siguiente::(n. t) = (n) +tn(n). (n. t) 1 R.Para cada n0 1 obtenemos una recta con parametrizacin::(n0. t) = (n0) +tn(n0). t R.A dicha recta la llamamos generatriz de la supercie reglada.Para cada t0 R obtenemos una curva con parametrizacin::(n. t0) = (n) +t0 n(n). n 1.A dicha curva la llamamos directriz de la supercie reglada.Ejemplo Vamos a obtener una representacin paramtrica regular de lasupercie formada por las rectas que se apoyan en la elipse de ecuacionescartesianas: 4r2+22= 3, . = 0 y que son paralelas a la recta de ecuacionesr + +. = 1 y r 2 = 0.Una parametrizacin de la elipse es:(:) =_p32 cos :. p3p2 sin :. 0_. : [0. 2:).La recta de ecuaciones r+ +. = 1 y r2 = 0 tiene la direccin del vector n = (2. 1. 3). Por tanto, una parametrizacin de dicha supercie es::(:. t) =(:) +tn= _p32 cos :. p3p2 sin :. 0_+t (2. 1. 3)= _2t + p32 cos :. t + p3p2 sin :. 3t_. (:. t) [0. 2:) R.La ecuacin implcita de la supercie es:4(r + 23.)2+ ( + 13.)2= 3.34Denicin. Una supercie reglada o se dice desarrollable, si el planotangente a la supercie en cada punto de una generatriz es el mismo. Encaso contrario se dice que la supercie o no es desarrollable.Denicin. Una supercie reglada o se dice que es cnica si todas susgeneratrices contienen a un mismo punto Q al que se denomina vrtice de lasupercie.Una parametrizacin de una supercie cnica con vrtice Q es::(n. t) =CQ+t_(n) CQ_. (n. t) 1 _ R2.siendo (n) una parametrizacin de una curva C contenida en la supercie.Las generatrices de dicha supercie tienen la direccin del vectorn(n) =(n) CQ. Se tiene: n 0(n) = 0(n).Denicin. Una supercie reglada o se dice que es cilndrica si el vectorasociado a cada punto 1 de la supercie es proporcional a un vector jon.Una parametrizacin de una supercie cilndrica es::(n. t) = (n) +tn. (n. t) 1 R2.siendo (n) una parametrizacin de una curva C contenida en la supercie.Se tiene: n 0 =

0.Denicin. Una supercie reglada o se dice que es desarrollable tangen-cialsi cada punto de la curva directriz C con representacin paramtrica(n) tiene asociado el vector tangente a la curva en dicho punto.Una parametrizacin de una supercie desarrollable tangencial es::(n. t) = (n) +t 0(n). (n. t) 1 R2.siendo (n) una parametrizacin de la curva directriz C.1.2.1 Curvatura total de las supercies regladasVamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una superciereglada es siempre menor o igual que cero.Sea o una supercie reglada con parametrizacin::(n. t) = (n) +tn(n). (n. t) 1.35Supongamos adems que todos los puntos de la supercie son regulares; estoes, :&(n. t) .:t(n. t) ,=

0, para todo (n. t) 1. Se tiene::&(n. t) = 0(n) +tn 0(n).:t(n. t) =n(n).

`(n. t) =1|:&(n. t) .:t(n. t)|:&(n. t) .:t(n. t)=1|:&(n. t) .:t(n. t)|( 0(n) +tn 0(n)) .n(n).:&&(n. t) = 00(n) +tn 00(n).:&t(n. t) =n 0(n).:tt(n. t) =

0.Por tanto, el determinante de la matriz de la segunda forma fundamental enun punto arbitrario 1 con C1 = :(n. t) es: :&&(n. t) `(n. t) :&t(n. t) `(n. t):&t(n. t) `(n. t)

0 `(n. t)= _:&t(n. t) `(n. t)_2_ 0.Teniendo en cuenta las expresiones de :&t(n. t) y `(n. t) obtenemos::&t(n. t) `(n. t) =n 0(n) 1|:&(n. t) .:t(n. t)|(( 0(n) +tn 0(n)) .n(n))=1|:&(n. t) .:t(n. t)|[n 0(n). 0(n) +tn 0(n).n(n)]=1|:&(n. t) .:t(n. t)|[n 0(n). 0(n).n(n)] .Por tanto, :&&(n. t) `(n. t) :&t(n. t) `(n. t):&t(n. t) `(n. t)

0 `(n. t)= [ 0(n).n(n).n 0(n)]2|:&(n. t) .:t(n. t)|2.Teniendo en cuentadet_ 1(n. t) 1(n. t)1(n. t) G(n. t)_= |:&(n. t) .:t(n. t)|2.det_1(n. t) `(n. t)`(n. t) `(n. t)_= [ 0(n).n(n).n 0(n)]2|:&(n. t) .:t(n. t)|2.36la curvatura total de una supercie reglada es:1T(n. t) = [ 0(n).n(n).n 0(n)]2|:&(n. t) .:t(n. t)|4 _ 0.Por tanto, los puntos de las supercies regladas son hiperblicos, parablicoso planos.Llamamos parmetro de distribucin y lo denotamos j(n) al valor delproducto mixto:j(n) = [ 0(n).n(n).n 0(n)] .Si j(n) = 0 entonces 1T(n. t) = 0 y el punto 1 con C1 = :(n. t) es unpunto parablico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y portanto, las lneas asintticas son lneas de curvatura.Si j(n) ,= 0 entonces 1T(n. t) < 0 y el punto 1 con C1 = :(n. t) es unpunto hiperblico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra espositiva.1.2.2 Clasicacin de las supercies regladas1. Si j(n) = [ 0(n).n(n).n 0(n)] = 0 para todo valor del parmetro nla supercie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos:(a) Si n 0(n) = 0 entoncesn(n) = n es un vector constante y lasupercie es una supercie cilndrica. En este caso, se tiene::&(n. t) .:t(n. t) = ( 0(n) +tn 0(n)) .n(n)= 0(n) .n.Si 0(n) .n ,=

0 (esto es, los vectores 0(n) yn no son paralelos)entonces el vector normal es

`(n. t) =:&(n. t) .:t(n. t)|:&(n. t) .:t(n. t)| = 0(n) .n| 0(n) .n|.Ntese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parmetro t.37(b) Si 0(n) = 0 entonces (n) es constante; esto es, consiste en unnico punto. La supercie es una supercie cnica. En este caso,se tiene::&(n. t) .:t(n. t) = ( 0(n) +tn 0(n)) .n(n)= tn 0(n) .n(n).Sin 0(n) .n(n) ,= 0 (esto es, los vectoresn 0(n) yn(n) no sonparalelos) entonces el vector normal es

`(n. t) =tn 0(n) .n(n)|tn 0(n) .n(n)| = n 0(n) .n(n)| n 0(n) .n(n)|.Ntese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parmetro t.(c) Sin 0(n) ,=

0, 0(n) ,=

0 entonces la condicin j(n) = [ 0(n).n(n).n 0(n)] =0 nos indica que los vectoresn 0(n), 0(n) yn(n) son coplanarios.Se tiene::&(n. t) .:t(n. t) = 0(n) .n(n) +tn 0(n) .n(n).Comon 0(n), 0(n) yn(n) son coplanarios los vectores 0(n) . n(n) yn 0(n) .n(n) son paralelos y por tanto, :&(n. t) .:t(n. t) esproporcional al vectorn 0(n).n(n) que no depende del parmetrot. Luego, el plano tangente es el mismo en todos los puntos de lageneratriz. Veremos ms adelante que en este caso la supercie esuna supercie desarrollable tangencial.2. Si j(n) ,= 0 para todo valor del parmetro n la supercie es no desar-rollable o alabeada.1.2.3 Puntos singulares en una superce regladaLos puntos singulares de una supercie con parametrizacin :(n. t) = (n) +tn(n) son aquellos puntos 1 con C1 = :(n. t), que verican::&(n. t) .:t(n. t) = ( 0(n) +tn 0(n)) .n(n) =

0.38Vamos a hallar los valores del parmetro t para los cuales se cumple la condi-cin anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresin anteriorporn 0(n) .n(n), suponiendon 0(n) .n(n) ,=

0. Se tiene:0 = (:&(n. t) .:t(n. t))(n 0(n) .n(n))= (( 0(n) +tn 0(n)) .n(n))(n 0(n) .n(n))= ( 0(n) .n(n))(n 0(n) .n(n)) +t | n 0(n) .n(n)|2.de donde, se obtiene:t = ( 0(n) .n(n))(n 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2.Por tanto, los puntos singulares de la supercie se encuentran en la curvacon parametrizacin:

,(n) = (n) ( 0(n) .n(n))(n 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2 n(n).que llamamos lnea de estriccin. Llamamos puntos centrales a los puntosregulares de la lnea de estriccin. Ntese que en la lnea de estriccin ademsde los puntos singulares se encuentran los puntos de la supercie tales que elvectorn 0(n) .n(n) es ortogonal al vector :&(n. t) .:t(n. t).Puntos centrales Veamos que en una supercie reglada no desarrollable lacurvatura de Gauss alcanza su valor mximo en los puntos centrales. Supong-amos j(n) ,= 0, teniendo en cuenta la expresin de la curvatura de Gauss:1T(n. t) = [ 0(n).n(n).n 0(n)]2|:&(n. t) .:t(n. t)|4< 0.se deduce que el valor absoluto de la curvatura de Gauss, [1T(n. t)[, es mx-imo cuando el valor de|:&(n. t) .:t(n. t)|2es mnimo. Llamamos (n. t) = :&(n. t) . :t(n. t). Teniendo en cuenta lasiguiente expresin::&(n. t) .:t(n. t) = 0(n) .n(n) +tn 0(n) .n(n).39se tiene:0 =ddt|:&(n. t) .:t(n. t)|2=ddt ((n. t)(n. t)) = 2 ddt(n. t)(n. t)= 2 (n 0(n) .n(n))( 0(n) .n(n) +tn 0(n) .n(n))= 2_(n 0(n) .n(n))( 0(n) .n(n)) +t | n 0(n) .n(n)|2_.Por tanto, el valor mximo de |:&(n. t) .:t(n. t)|2se alcanza para el siguientevalor de t:t = (n 0(n) .n(n))( 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2.que coincide con el valor del parmetro t de los puntos centrales de la super-cie. Por tanto, en los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura deGauss es mximo.Arista de retroceso Si la supercie es desarrollable entonces los vectores 0(n),n(n),n 0(n) son coplanarios y el vectorn 0(n). n(n) no es ortogonal alvector :&(n. t) .:t(n. t). Por tanto, todos los puntos de la lnea de estriccinson puntos singulares y en este caso, a la curva con parametrizacin:

,(n) = (n) (n 0(n) .n(n))( 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2 n(n).la llamaremos arista de retroceso. A lo largo de la arista de retroceso lasupercie se desdobla en dos hojas.Comon 0(n), 0(n) yn(n) son coplanarios, el vector 0(n) se puedeescribir como combinacin lineal de los vectoresn 0(n) yn(n): 0(n) = `(n)n(n) +j(n)n 0(n).Por tanto, 0(n) .n(n) = (`(n)n(n) +j(n)n 0(n)) .n(n)= j(n)n 0(n) .n(n).Multiplicando escalarmente la expresin anterior por el vectorn 0(n) .n(n)obtenemos:( 0(n) .n(n))(n 0(n) .n(n)) = j(n) | n 0(n) .n(n)|2.40de dondej(n) = ( 0(n) .n(n))(n 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2.y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue:

,(n) = (n) j(n)n(n).Por tanto, (n) = ,(n) + j(n)n(n) y podemos parametrizar la supercie enfuncin de la arista de restroceso como sigue::(n. t) =

,(n) +j(n)n(n) +tn(n)=

,(n) + (j(n) +t)n(n).Derivando ,(n) = (n)j(n)n(n) y teniendo en cuenta 0(n) = `(n)n(n)+j(n)n 0(n), se tiene:

, 0(n) = 0(n) j0(n)n(n) j(n)n 0(n)= `(n)n(n) +j(n)n 0(n) j0(n)n(n) j(n)n 0(n)= (`(n) j0(n))n(n).Por tanto:1. Si `(n) = j0(n) entonces , 0(n) = 0 y la supercie es una superciecnica.2. Si `(n) ,= j0(n), el vectorn(n) es proporcional a , 0(n) y a superciees una superce desarrollable tangencial y puede parametrizarse comosigue::(n. t) = ,(n) +t`(n) j0(n)

, 0(n). (n. t) 1 R.en funcin de su arista de retroceso.Ejemplo 1 Dar una parametrizacin de la supercie engendrada porlas rectas tangentes a la curva (n) = (c&. c&. n).El vector director de la recta generatriz que se apoya en el punto (n) dela curva directriz es: 0(n) = (c&. c&. 1).41Por tanto, una parametrizacin de la supercie es::(n. t) =(n) +t 0(n)= (c&+tc&. c&tc&. n +t).Dicha supercie es una supercie desarrollable tangencial con arista de retro-ceso (n).Ejemplo 2 Vamos a clasicar la supercie con parametrizacin::(n. ) =_n + cos n. n2+ sin n. n3_.La parametrizacin anterior es lineal en el parmetro . Por tanto,lapodemos escribir como sigue::(n. ) = _n. n2. n3_+ (cos n. sin n. 0)=(n) +n(n).con(n) = _n. n2. n3_. n(n) = (cos n. sin n. 0) .Tenemos: 0(n) = _1. 2n. 3n2_. n 0(n) = (sin n. cos n. 0) .Por tanto, el parmetro de distribucin es:j(n) = [ 0(n).n(n).n 0(n)]= det__1 2n 3n2cos n sin n 0sin n cos n 0__= 3n2,= 0 si n ,= 0.La supercie es una supercie alabeada.42Los puntos singulares de la supercie son los que satisfacen la siguientecondicin:

0 =:&(n. ) .:(n. )= _1 sin n. 2n + cos n. 3n2_. (cos n. sin n. 0)= _3n2sin n. 3n2cos n. sin n 2ncos n _;esto es,___0 = n2sin n.0 = n2cos n.0 = sin n 2ncos n .==n = 0 y = 0.El nico punto singular de la supercie es el punto:(0. 0) = (0. 0. 0) .Los puntos centrales de la supercie se alcanzan en el siguiente valor delparmetro : = (n 0(n) .n(n))( 0(n) .n(n))| n 0(n) .n(n)|2.Teniendo en cuenta: 0(n) .n(n) = _1. 2n. 3n2_. (cos n. sin n. 0)= (3n2sin n. 3n2cos n. sin n 2ncos n). n 0(n) .n(n) = (sin n. cos n. 0) . (cos n. sin n. 0)= (0. 0. 1).obtenemos: = sin n 2ncos n.y una paraetrizacin de la lnea de estriccin es:

,(n) =(n) (sin n 2ncos n)n(n)= _n. n2. n3_(sin n 2ncos n) (cos n. sin n. 0)= _n (sin n 2ncos n) cos n. n2(sin n 2ncos n) sin n. n3_.Dicha curva contiene al punto singular y a los puntos centrales.43Ejemplo 3 Obtener una parametrizacin de la supercie formada porsegmentos que se apoyan en el arco de circunferencia r2+2= 1, . = 0, delprimer octante y el segmento de la recta r+ = 1, . = 0 del primer octante.Primero vamos a obtener parametrizaciones del arco de circunferencia ydel segmento respectivamente. El arco de circunferencia lo parametrizamoscomo sigue:c1: [0. :,2] R3.c1(c) = (cos c. sin c. 0).Parametrizamos el segmento con el mismo parmetro con el que hemos para-metrizado el arco de circunferencia. Teniendo en cuenta el siguiente dibujo:obtenemos:1 : =1cos c + sin c.por tanto, podemos parametrizar el segmento como sigue:c2: [0. :,2] R3.c2(c) = _cos ccos c + sin c. 1 cos ccos c + sin c. 4_.Consideramos ahora el vector director de la recta que se apoya en el arco decircunferencia y en el segmento:n(c) = c2(c) c1(c)= _cos ccos c + sin c cos c. 1 cos ccos c + sin c sin c. 4_.Por tanto, una parametrizacin de la supercie considerada es::(c. t) = c1(c) +tn(c)= (cos c. sin c. 0) +t_cos ccos c + sin c cos c. 1 cos ccos c + sin c sin c. 4_.con c [0. :,2] y t [0. 1].44Ejercicio 1 Parametrizar la supercie formada por rectas forman unngulo de 45ccon el eje C2 y que se apoyan en la elipse de ecuacionesa24 + j23= 1, . = 0 y en la circunferencia contenida en el plano . = 20, deecuacin r2+2= 1. Vase la siguiente gura:Ejercicio 2 Parametrizar la supercie formada por rectas que se apoyanen el segmento de ecuacin r+ = 1, contenido en el plano . = 4, y en el arcode circunferencia del primer cuadrante del plano . = 0, de la circunferenciacentrada en el origen y de radio unidad Vase la siguiente gura:452 Bibliografa1. A. F. Costa, M. Gamboa, A. M. Porto, Ejercicios de Geometra Difer-encial de curvas y supercies, Sanz y Torres, 1998.2. Manfredo P. do Carmo, Dierential geometry of curves and surfaces,Englewood Clis, New Jersey: Prentice Hall, 1976.3. Dirk J. Struik, Lectures on Classical Dierential Geometry, Dover Pub-lications, Inc., N.Y., 1961.46