Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a...
Transcript of Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a...
![Page 1: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/1.jpg)
Conice
U.T. Cluj-Napoca
![Page 2: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/2.jpg)
Definitie: S. n.
curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 3: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/3.jpg)
Definitie: S. n.
curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 4: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/4.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan,
de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 5: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/5.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 6: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/6.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 7: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/7.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F
este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 8: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/8.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 9: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/9.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;
b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 10: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/10.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;
b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 11: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/11.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 12: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/12.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1
elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 13: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/13.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 14: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/14.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica
o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 15: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/15.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica
o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 16: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/16.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana
de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 17: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/17.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.
Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 18: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/18.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 19: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/19.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 20: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/20.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 21: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/21.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 22: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/22.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 23: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/23.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;
b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 24: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/24.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0
doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 25: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/25.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;
c). x2 + 32xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 26: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/26.jpg)
Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
![Page 27: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/27.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy
este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 28: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/28.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil,
ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 29: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/29.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice
se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 30: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/30.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita
forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 31: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/31.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau
ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 32: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/32.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate
(date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 33: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/33.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 34: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/34.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 35: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/35.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0
ecuatia implicita;
![Page 36: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/36.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 37: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/37.jpg)
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 38: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/38.jpg)
In cazul particular a = b = r
elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 39: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/39.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 40: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/40.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este
M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 41: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/41.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r ,
ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 42: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/42.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 43: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/43.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 44: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/44.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs:
D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 45: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/45.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric
elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 46: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/46.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric
al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 47: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/47.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y)
din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 48: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/48.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan
pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 49: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/49.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′
(numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 50: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/50.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare)
este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 51: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/51.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta.
In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 52: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/52.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0)
si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 53: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/53.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a,
unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 54: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/54.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 55: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/55.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos t
y = b sin t, t ∈ [0, 2π] ecuatii parametrice;
![Page 56: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/56.jpg)
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
![Page 57: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/57.jpg)
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 58: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/58.jpg)
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0
ecuatia implicita;
![Page 59: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/59.jpg)
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 60: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/60.jpg)
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
![Page 61: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/61.jpg)
Hiperbola este o
curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 62: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/62.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita
(cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 63: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/63.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote
(dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 64: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/64.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 65: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/65.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 66: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/66.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs:
D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 67: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/67.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric
hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 68: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/68.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor
M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 69: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/69.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan
pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 70: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/70.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor
ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 71: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/71.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′
(focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 72: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/72.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este,
ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 73: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/73.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul,
constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 74: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/74.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru
F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 75: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/75.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0),
c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 76: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/76.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 77: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/77.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 78: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/78.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R
ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 79: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/79.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 80: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/80.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca
ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 81: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/81.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice
verifica ecuatia implicita.
![Page 82: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/82.jpg)
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
![Page 83: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/83.jpg)
3. Parabola:
(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;
D
![Page 84: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/84.jpg)
3. Parabola:
(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;
D
![Page 85: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/85.jpg)
3. Parabola:
(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;
D
![Page 86: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/86.jpg)
Obs:
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 87: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/87.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric
parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 88: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/88.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor
M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 89: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/89.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan
egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 90: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/90.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de:
o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 91: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/91.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa
(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p2 ) si fata de un punct
fix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 92: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/92.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie
x = −p2 ) si fata de un punct
fix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 93: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/93.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 )
si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 94: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/94.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix
(focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 95: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/95.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul)
F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 96: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/96.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 97: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/97.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 98: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/98.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 99: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/99.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este,
ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 100: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/100.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi
ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 101: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/101.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 102: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/102.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 103: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/103.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 104: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/104.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica,
obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 105: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/105.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:
-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 106: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/106.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente,
de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 107: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/107.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;
-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 108: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/108.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;
-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 109: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/109.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;
-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 110: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/110.jpg)
Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p
2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
![Page 111: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/111.jpg)
Recunoasteti conicele dinimaginile urmatoare!
![Page 112: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/112.jpg)
![Page 113: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/113.jpg)
![Page 114: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/114.jpg)
Materia pentru Examen:
NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );
de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;
NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;
exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:
![Page 115: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/115.jpg)
Materia pentru Examen:
NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );
de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;
NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;
exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:
![Page 116: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/116.jpg)
Materia pentru Examen:
NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );
de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;
NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;
exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:
![Page 117: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/117.jpg)
Materia pentru Examen:
NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );
de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;
NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;
exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:
![Page 118: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/118.jpg)
Materia pentru Examen:
NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );
de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;
NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;
exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:
![Page 119: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/119.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 120: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/120.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 121: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/121.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 122: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/122.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 123: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/123.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 124: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/124.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 125: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/125.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 126: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/126.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 127: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/127.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 128: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/128.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice,
desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 129: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/129.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 130: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/130.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 131: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/131.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative:
drepte si plane.
.
![Page 132: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/132.jpg)
1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;
2 Baza unui spatiu vectorial;
3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;
4 Produsul Vectorial;
5 Produsul Scalar;
6 Produsul Mixt;
7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;
8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;
9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);
10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;
11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;
12 Pozitii relative: drepte si plane.
.
![Page 133: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/133.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 134: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/134.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 135: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/135.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 136: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/136.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA=
=Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 137: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/137.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 138: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/138.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 139: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/139.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 140: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/140.jpg)
Nota de la examen:
fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;
se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);
NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];
Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;
Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe
site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
SUCCES!
![Page 141: Coniceusers.utcluj.ro/~todeacos/curs12.pdf · 2019-12-17 · De nit˘ie: S. n. curb a algebric a plan a mult˘imea punctelor din plan, de ecuat˘ie implicit a de forma (C) : F(x;y)](https://reader034.fdocuments.us/reader034/viewer/2022050106/5f44c6c647f1d277c25a5e07/html5/thumbnails/141.jpg)
http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html