第 16卷 第 10期 铁道科学与工程学报 Volume 16 Number 10 2019 年 10 月 Journal of Railway Science and Engineering October 2019

 

DOI: 10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.10.008

基于 Timoshenko 模型的

桩基多维动力阻抗分析

熊辉，吴超然

(湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082)

摘 要：基于桩土相互作用的动力文克尔地基梁模型，桩基被等效为 Timoshenko 梁并建立运动方程。考虑桩身轴向压力的

二阶效应及土层天然分层特性，提出计算层状土中单桩及群桩在水平振动阻抗的改进方法。通过数值计算，比较不同条件下

Euler-Bernoulli 模型与 Timoshenko 模型单桩及群桩桩顶振动特性。研究结果表明：采用 Timoshenko 模型计算所得到的单桩

水平阻抗以及群桩相互作用因子均出现正值减小，负值增大的情况；且随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情况的影响也

逐渐增大。同时桩顶轴向压力以及被动桩的空间相对位置对群桩相互作用因子的求取存在一定影响。

关键词：Timoshenko 模型；传递矩阵法；动力相互作用因子；轴向荷载

中图分类号：TU473 文献标志码：A 文章编号：1672 − 7029(2019)10 − 2434 − 08

Multi-dimensional dynamic impedance analysis of pile foundation based on Timoshenko model

XIONG Hui, WU Chaoran

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract: Based on the hypothesis of dynamic Winkler model between pile and soil, a vibration equation was

established by making the pile equivalent to a Timoshenko beam. An improved method was deduced to compute

the lateral dynamic impedance of piles, which took second-order effect of axial pressure and soillayer natural

stratification characteristics into account. Through numerical calculation, the vibration characteristics of single

pile and pile group under different conditions were compared between Euler-Bernoulli model and Timoshenko

model. The results show that the horizontal impedance of single pile and the interaction factor calculated by

Timoshenko model both decrease positively and increase negatively. With the decrease of the length-diameter

ratio of the pile, the influence of shear stiffness on the situation increases gradually. At the same time, the axial

load and the relative position of passive piles have some influence on the calculation of pile group interaction

factors.

Key words: Timoshenko model; transfer matrix method; dynamic interaction factor; axial load

桩基础作为埋入土层的柱形构件，因其具有良

好的受力性能及抗震表现且能适应各种土质条件

而在基础工程领域得到广泛应用。故而，研究地震

作用下的桩−土动力响应仍是工程领域比较具有研

收稿日期：2018−12−26

基金项目：教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-13-190)

通信作者：熊辉(1975−)，男，湖南桃源人，副教授，博士，从事结构抗震及土−结构相互作用的研究工作；E−mail：xionghui5320@163.com

第 10 期 熊辉，等：基于 Timoshenko 模型的桩基多维动力阻抗分析

 

2435

究意义的课题。实际工程中，桩基往往以群桩的形

式出现，求解群桩动力阻抗时需考虑邻桩的动力相

互作用。为求解动力相互作用因子通常采用 Winkle

模型、连续介质模型以及有限元法和边界元法的数

值分析模型。陈海兵等[1]采用简化边界元模型评估

动力作用下群桩的水平动力响应，刘林超等[2]利用

连续介质模型得到了饱和土层的水平动力阻抗，蔡

可键[3]将有限单元法用于分析桥梁基桩的动力响

应。但数值分析模型计算复杂、连续介质模型在均

匀土层中对水平动力阻抗的求取有所欠缺。故

Gazetas 等[4−6]采用 Winkle 地基梁模型，推导出单桩

及群桩动力阻抗的简化计算方法并将其应用在弹

性模量随深度线性变化的土层中。在此基础上，国

内学者进行了更深入的研究：考虑土体的天然分

层[7]、考虑轴力的参与[8−9]等因素并与过往文献进行

对比分析，得到许多成果。上述研究均基于

Euler-Bernoulli 模型，只能适用于小直径桩。姚戈

等[10]将 Timoshenko 梁引入连续介质模型，研究线

性黏弹性土层中 Timoshenko 模型端承桩水平振动

的动力特性。高广进等[11]引入桩身剪切变形及转动

惯量并建立方程，得到群桩阻抗的改进计算方法。

余涛等[12]采用 Biot 动力固结理论对 Timoshenko 梁

模型桩基计算，得到单桩顶动力复阻抗解析解。同

时Timoshenko模型不仅仅用于实心桩，栾鲁宝等[13]

运用考虑剪切变形的 PCC 桩，推导出 PCC 桩的动

力复阻抗变化规律。本文结合现有的研究成果，采

用基于桩土相互作用的动力文克尔模型，桩基被等

效为 Timoshenko 梁，考虑桩身轴向压力的二阶效

应，采用传递矩阵法详细推导出多维荷载(水平荷

载、轴向荷载及弯矩)作用下的群桩动力相互作用

因子。

1 桩基水平振动阻抗求解

1.1 单桩水平动力阻抗求解

桩基简化为 Timoshenko 梁并将桩侧土体简化

为与桩相连的弹簧和阻尼器，同时考虑到土层的分

层特性与竖向荷载的二阶效应，计算模型如图 1 所

示。在简谐力作用下，第 n层土中单桩水平振动平

衡微分方程为：

图 1 单桩水平振动模型

Fig. 1 Lateral vibration of single pile

2

11 11 112

( , ) ( , ) ( , )i i ip p

z t u z t z tk G A N

z zz

211 11

11 2

( , ) ( , )( , ) 0i i

xi i xi p pu z t u z t

k u z t c At t

(1)

2 211 11

2 2

( , ) ( , )i ip p p p

z t z tI E I

t z

1111

( , )( ) ( , ) 0i

p p iu z t

k G A N z tz

(2)

其中：ui和 φi分别为第 n层土桩身的水平位移及截

面转角；t 为时间，z 为土层深度；Ep，Ip，Ap，Gp

和 ρp分别为桩体的弹性模量、转动惯性矩、截面积、

剪切模量以及桩身密度；k′为剪力形状系数, k

6(1 ) /(7 6 )p p ，其中 p 为桩身泊松比；kxi 和

cxi为第 i 层土体简化的水平刚度和阻尼系数[4]，且

1.2xi sk E ， 1/ 402 / 6xi s xi s sc k V da ；式中 Es，

ρs，βs和 Vs分别为土的弹性模量、密度、阻尼比和

剪切波速；ω 为振动圆频率：d 为桩直径；a0 为无

量纲频率， 0 / sa d V ； /s s sV G ，Gs 为土体

剪切模量。

令 p p pJ k G A ， 2 ip p p xi xiK A k c ，

2p p pS I ， p p pW E I 。

假设在水平谐荷载作用下，桩的激励位移为：

i i11 11 11 11( , ) ( ) , ( , ) ( )t ti i i iu z t u z e z t z e

将式(2)化简为关于水平位移的函数并代入式

(1)，可得：

铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2019年 10月

 

2436

4 211 11

4 2

( )d ( ) d ( )p p p pi i

p p

W K J S Nu z u z

W Jdz dz

11( ) d ( )

0d

p p p i

p p

K J N S u z

W J z

(3)

3

11 3

d ( )

( )( ) d

p p ii

p p p

W J u z

J N J N S z

2( ) d ( )

( )( ) dp p p i

p p p

W K J N u z

J N J N S z

(4)

式(3)的解为：

11 11 11( ) cosh sinhi ii i i

i i

u z A z B zh h

11 11cos sini ii i

i i

C z D zh h

(5)

其中：式(5)中 A11i，B11i，C11i和 D11i均为待定系数，

hi为第 i层土厚度，其余参数如下所示：

4 4 2

2

4

1 1

4 2

( )

( )

ii i i

i

p p p pi

i p p

p p pi

i p p

W K J S N

h W J

K J N S

h W J

(6)

同时对于桩身剪力及弯矩与其位移转角的关

系式如下：

1111 11

d ( )( ) ( )

di

i p iu z

Q z J zz

(7)

1111

d ( )( )

di

i p pz

M z E Iz

(8)

将式(5)代入式(4)，(7)和(8)可得第 i 层土体桩

身单元的水平位移 ui(z)，桩身转角 φi(z)，剪力 Qi(z)

和弯矩 Mi(z)同 A11i，B11i，C11i和 D11i的关系：

11

1 1 2 211

3 3 4 411

11 1 1 2

( ) ( ) cos( ) sin( )( )( ) ( ) sin( ) cos( )( )

( ) ( ) sin( ) cos( )( )

( ) ( ) ( ) cos(

h h h hi

h h h hi

p h p h p h p hi

i p i h p i h p i h

ch a z sh a z b z b zu zf sh a z f ch a z f b z f b zj zJ f sh a z J f ch a z J f b z J f b zQ z

M z W f a ch a z W f a sh a z W f b b z

11

11

11

112) sin( )

i

i

i

ip i h

A

B

C

DW f a b z

(9)

式(9)中符号表达式如下：

3 31 2

3 33 4

2

/ , ,

/ , ,

[ ( ) ] /( )( )

/( )( )

[ ( )] /( )( )

h i i h h h h

h i i h h h h

p p p p p p

p p p p p

p p p p p p p

h f f

h f f

W K J N J N J N S

W J J N J N S

W K J S N J N J N S

(10)

将第 i层土层厚度 hi代入式(9)，消去 A11i，B11i，

C11i和 D11i可得该被动桩身单元顶端和底端的应力

和应变关系：

11 11

11 1110

11 11

11 11

( ) (0)

( ) (0)[ ] [ ]

( ) (0)

( ) (0)

i

i i i

i i iz h z

i i i

i i i

u h u

h

Q h Q

M h M

a ai it t (11)

将桩身根据土层性质自上而下分割为 n 个单

元，根据界面不分离的原则，第 i单元与第 i-1 单元

分层面处的位移、剪力、转角、弯矩必须相等，采

用传递矩阵法可知桩身顶部 u11(0)，Q11(0)，φ11(0)

和 M11(0)与桩身底处对应关系式如下：

11 11

11 11

11 11

11 11

( ) (0)

( ) (0)[ ]

( ) (0)

( ) (0)

u z u

z

Q z Q

M z M

aT (12)

其中： 1

0[ ] [ ] [ ]iz h z

a a a

i i iT t t

1 1[ ] [ ][ ] [ ] a a a ai iT = T T T

将[Ta]分解为 4 个 2×2 的矩阵，按顺序分别为

11[ ]aT ， 12[ ]aT ， 21[ ]aT 和 22[ ]aT ：

11 11 11

11 11 11

( ) (0) (0)[ ] [ ]

( ) (0) (0)

u L u Q

L M

a a11 12T T (13)

11 11 1121 22

11 11 11

( ) (0) (0)[ ] [ ]

( ) (0) (0)

Q L u Q

M L M

a aT T (14)

式中：L 为桩身长度。对于端承桩，底端嵌固，

u(L)=0，φ(L)=0 代入上式可得桩顶阻抗函数：

第 10 期 熊辉，等：基于 Timoshenko 模型的桩基多维动力阻抗分析

 

2437

112 11[ ] [ ] a a aK T T (15)

1.2 群桩水平动力相互作用因子

通过单桩水平动力阻抗及相互作用因子便可

求得群桩水平动力阻抗。Dobry & Gazetas 提出二维

应变模型并给出因主动桩振动所产生的位移场方

程。其相互作用模型如图 2 所示，图中 us 为土体

位移。

图 2 邻桩动力相互作用模型

Fig. 2 Model of pile-soil-pile dynamic interaction

11( , , ) ( ) ( , )s xu s z u z f s 2 2

11( )[ ( ,0)cos ( ,π / 2)sin ]x xu z f s f s (16)

式中：u11为主动桩所产生的水平位移；s为主动桩

与被动桩的距离；θ 为主动桩荷载方向与主动桩和

被动桩连线的夹角。

( )( / 2)( ,0) exp

2s

xLa

i s ddf s

s V

(17)

( )( / 2)( , ) exp

2s

xs

i s ddf s

s V

(18)

式中： 3.4 /[π(1 )]La s sV V ， s 为土体泊松比

根据单桩的位移方程可建立被动桩的位移方程

2 44 221 21 21

4 2

( ) ( ) ( )i i i i i

i i

u z u z u z

h h dzdz dz

221

1 21 2 2

( )( )

di

x i xu z

f u z fz

(19)

其中： 1 ( )( ) /x p p xi xi p pf J S N k ic W J

2 ( i ) /x xi xi pf k c J

则式(19)的解为：

21 21 21 21( ) ch( ) sh( ) cos( )i i h i h i hu z A z B z C z

21 11 11sin( ) ch( ) sh( )i h a i h i hD z zF A z B z

21 21sin( ) cos( )b i h i hzF C z D z (20)

式中：

2

2 2

( )( )( , )

2 (2 )

p p p h xi xia x

p p h h h

J S N W k icF f s

W J

2

2 2

( )( )( , )

2 (2 )

p p p h xi xib x

p p h h h

J S N W k icF f s

W J

同理将式(20)代入式(4)，(7)和(8)，可得第 i层

土体桩身单元的位移 21 ( )iu z ，转角 21 ( )i z ，剪力

21 ( )iQ z 和弯矩 21 ( )iM z 同 A21i，B21i，C21i，D21i，A11i，

B11i，C11i和 D11i的关系：

21 21 11

21 21 11

21 21 11

21 21 11

( )

( )[ ] [ ]

( )

( )

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

u h A A

h B B

Q h C C

M h D D

a bi it t (21)

[ ]ait 见式(10)，[ ]bit 较为复杂，将其划分为 4 个行向

量 [ ]b1it ，[ ]b2it ，[ ]b3it 和[ ]b4it ：

T1

ch( )

sh( )[ ]

sin( )

cos( )

a h

a h

b h

b h

zF z

zF z

zF z

zF z

bit (22)

1 5

5 1T2

2 6

6 2

[ ch( ) sh( )]

[ ch( ) sh( )][ ]

[ cos( ) sin( )]

[ cos( ) sin( )]

a h h

a h h

b h h

b h h

F zf z f z

F f z zf z

F zf z f z

F f z zf z

bit (23)

7 8

8 7

9 10

10 9

[ ch( ) sh( )]

[ ch( ) sh( )]

[ cos( ) sin( )]

[ cos( ) sin( )]

p a h h h

p a h h h

p b h h h

p b h h h

J F z f z f z

J F f z z f z

J F z f z f z

J F f z z f z

Tb3it (24)

211 12

212 11T

4 213 14

214 13

[2 ch( ) sh( )]

[ ch( ) 2 sh( )][ ]

[2 cos( ) sin( )]

[ cos( ) 2 sin( )]

p a h h h h

p a h h h h

p b h h h h

p b h h h h

W F f z z f z

W F z f z f z

W F f z z f z

W F z f z f z

bit

(25) 其中各参数表达式如下：

铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2019年 10月

 

2438

2 25 6

2 27 8

2 29 10

2 211 12

2 213 14

3 , 3

, 3

, 3

2 ,

2 ,

h h

h h

h h

h h

h h

f f

f f

f f

f f

f f

(26)

将第 i层土层厚度 hi代入式(24)，消去A21i，B21i，

C21i，D21i，A11i，B11i，C11i和 D11i，可得该被动桩单

元顶端和底端的应力和应变关系：

21 21 11

21 21 11

21 21 11

21 21 11

( ) (0) (0)

( ) (0) (0)[ ] [ ]

( ) (0) (0)

( ) (0) (0)

i i i i

i i i i

i i i i

i i i i

u h u u

h

Q h Q Q

M h M M

a bi iT T (27)

其中： 1 1 1

0 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i iz h z z h z z z

b b a a a b a

i i i i i i iT t t t t t t

根据界面不分离的原则，采用传递矩阵法可知

桩身顶部 u11(0)，Q11(0)，φ11(0)和 M11(0)与桩身底部

对应关系式如下：

21 21 11

21 21 11

21 21 11

21 21 11

( ) (0) (0)

( ) (0) (0)[ ] [ ]

( ) (0) (0)

( ) (0) (0)

u L u u

L

Q L Q Q

M L M M

a bT T (28)

1 11

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]i

j

b b b a b bi j+1 j jT T T T T T

采用与式(13)相同的解决方法，分别将 [ ]aT 和

[ ]bT 分成 4 个 2×2 矩阵。根据水平振动相互作用

因子的解释，得到桩端固定，桩顶自由条件下 A 和

B2 桩身顶部处的位移关系：

21 11

21 11

(0) (0)[ ]

(0) (0)

u u

υa (29)

式中： 111 11 12[ ] [ ] ([ ] [ ] ) a b b a

υa T T T K

根据桩间水平相互作用因子的定义，可得：

21

11

(1,1) (1,1) (1,2) (2,1)(0)

(0) (1,1)

a a

a

a f a fu

u f

(30)

式中： 1[ ] [ ]a af = K 。

2 算例分析

2.1 单桩水平动力阻抗验证与分析

参考上述公式推导，用于计算如下实例：单桩

长径比 L/d(L为桩身长度)分别为 6 和 10，弹性模量

为 38 GPa，剪切模量 21 GPa，质量密度为 2.35×103

kg/m3，该桩为端承桩，桩底嵌固于底部基岩上，计

算土层分为 5 层，桩身范围内的土层为 4 层，桩底

1 层，每层厚度均为 L/4。其各土层材料参数如表 1

所示。

表 1 土层属性参数

Table 1 Parameters of soil properties

层号 质量密度/ (kg∙m−3)

泊松比 剪切波

速/(m∙s−1) 压缩模 量/MPa

阻尼比

1 1 950 0.30 85 36.630 0.066

2 1 850 0.25 105 51.000 0.084

3 1 850 0.35 142 96.800 0.177

4 2 000 0.25 115 106.125 0.167

5 2 300 0.25 180 160.000 0.214

(a) 实部刚度；(b) 虚部阻尼

图 3 单桩水平动力阻抗

Fig. 3 Single pile lateral dynamic impedance

第 10 期 熊辉，等：基于 Timoshenko 模型的桩基多维动力阻抗分析

 

2439

计算过程中桩顶轴力不变，单桩水平动力阻抗

对比图如图 3 所示。本文 EB 模型(Euler-Bernoulli)

由文中 TB 模型(Timoshenko)不考虑剪切刚度简化

而来，其计算结果同文献[14]对比趋势较为一致且

数值相差不大，说明本文所采取的计算模型是可

取。通过 EB 模型与 TB 模型对比可以看出：对于

实部刚度与虚部阻尼，TB 模型较 EB 模型的计算结

果偏小由此可见剪切刚度对水平阻抗存在一定削

弱作用，随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情

况的影响也逐渐明显。

2.2 群桩动力相互作用因子计算与分析

2.2.1 2 桩算例

2 桩算例沿用单桩分析的算例，平面示意图参

照图 4，具体土属性参数如表 1 所示，桩身长径比

l/d分别为 6 和 10，弹性模量为 38 GPa，质量密度

为 2.35×103 kg/m3，2 桩间距 s为 5.0 m，于 2 桩连

线平行方向上在源桩作用一简谐力。

图 5 中为 2 桩水平动力相互作用因子。比较土

中计算结果可以得到以下规律：在惯性作用下主动

桩与被动桩的实虚部动力相互作用因子的都表现

出了较为一致的频率相关性，通过与文献[14]方法

结果对比，可知本文的计算结果与文献具有较为一

致趋势，是较为可信的计算结果。且随着桩身长径

比的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐增大，

但没有单桩那么明显。同时本文将 TB 模型 1(考虑

轴力)与 TB 模型 3(不考虑轴力)进行对比发现：轴

向力的作用增大了主动桩对被动桩的影响，实部与

虚部均表现为正值减小，负值增大的一致性。

图 4 2 桩平面示意图

Fig. 4 Plane sketch of two pile’s position

(a) 实部；(b) 虚部

图 5 2 桩动力相互作用因子

Fig. 5 Lateral interaction factors of two piles

2.2.2 群桩算例

由于主动桩沿各方向传递的剪切波速是不一

致的，故需考虑被动桩的空间相对位置对结果求取

的影响[6]。群桩算例采用 4 桩为例，其以源桩为圆

心，桩间距 s为 5 m，分别以与谐振力方向夹角为 0°，

45°和 90°排列，平面示意图参照图 6。桩身长径比

l/d 均为 10，弹性模量为 38 GPa，质量密度为

2.35×103 kg/m3，其余参数参照单桩算例参数。

图 6 群桩平面示意图

Fig. 6 Plane sketch of pile groups’ position

铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2019年 10月

 

2440

图 7 给出的是以 1 桩为主动桩时在水平振

动作用下群桩的动力相互作用因子图，其中 1-y 是

桩号的作用标识，意为主动桩 1 号对被动桩 y 号的

水平作用分析曲线，通过比较可发现，谐振力作用

下的动力相互作用因子出现较为一致的频率相关

性，随着角度的增大，实部与虚部的相互作用因子

变化周期也明显变小。

(a) 实部；(b) 虚部

图 7 群桩水平动力相互作用因子

Fig. 7 Lateral interaction factors of pile groups

3 结论

1) 基于桩土相互作用的动力文克尔模型。采用

与频率相关的弹性元件和黏性元件来模拟地基刚

度，桩基被等效为 Timoshenko 梁，考虑土层天然

分层特性及桩身轴向压力的二阶效应，分析表明该

模型在大直径桩的分析中对桩−土水平动力相互作

用作出更加精确的数值分析。

2) 在单桩水平阻抗以及群桩的相互作用因子

求解分析中，若采用 Euler-Bernoulli 模型，所得到

的结果相较于本文理论要偏大。且随着桩身长径比

的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐明显。此

时，需要引入考虑剪切变形的 Timoshenko 梁模型

进行计算，才能达到理想的效果。

3) 桩顶轴向压力以及被动桩的摆放位置对群

桩的相互作用因子存在影响，通过 2 桩及 4 桩算例

可知：实部与虚部的相互影响因子的随着轴向力的

参与均表现为正值增大，负值减小的趋势；而随着

被动桩与主动桩的连线同谐振力方向夹角的增大

使得相互影响因子的波动周期明显加快。

参考文献：

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(编辑 涂鹏)