Teorıa de Matrices

Julio Yarasca

30 de junio de 2015

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Matriz de m por nDefinimeros a una matriz A de orden m por n como un arreglode numeros de m filas y n columnas.

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

...... · · ·

...am1 am2 am3 · · · amn

m×n

Donde aij : es el elemento de la fila i y columna j .

Denotaremos a las matriz A de orden m por n como

A = (aij)m×n

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Ejemplos

1. A =

1 24 35 9

3×2

2. B =

(1 2 31 3 7

)2×3

Dondea11 = 1

a31 = 5

a21 = 4

a22 = 3

Donde

a11 = 1

a22 = 3

a23 = 7

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Ejemplo

Sea

A = (aij)3×3/aij =

i − j , i < j

2 , i = ji + j , i > j

Entonces

A =

2 1− 2 1− 32 + 1 2 2− 33 + 1 3 + 2 2

=

2 −1 −23 2 −14 5 2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Igualdad

Sean A = (aij)m×n y B = (bij)m×n, diremos que son iguales A = Bsi sus elementos son iguales, es decir

aij = bij

. Ejemplo

A =

2 4 5 68 5 3 −89 7 −1 24 −1 2 9

4×4

y B =

2 4 5 68 5 3 −89 7 −1 24 −1 2 9

4×4

son iguales.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz Nula

Cuando todos los elementos de la matriz son ceros, es decir

A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i , j .

Ejemplos

1. A =

0 00 00 0

3×2

2. B =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz Rectangular

Si el numero de filas es distinto del numero de columnas

A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.

Ejemplos

1. A =

3 51 87 1−4 4

4×2

2. B =

(1 7 5 69 8 3 2

)2×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz CuadradaCuando el numero de filas es igual al numero de columnas

A = (aij)m×n es cuadrada si m = n.

Ejemplos

1. A =

(3 51 8

)2×2 2. B =

1 7 5 69 8 3 21 9 6 26 1 8 3

4×4

Nota: En una matriz cuadrada la diagonal principal es el conjuntode terminos aij tal que i = j , en el ejemplo 2 tenemos que ladiagonal principal es {1; 8; 6; 3}.

Nota: Llamaremos a una matriz de orden n por n, como matrizcuadrada de orden n..

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal si los elementos de distinto ındiceson ceros, es decir

A = (aij)n×n es diagonal si aij = 0 ∀i 6= j .

Ejemplos

1. A =

(3 00 8

)2×2 2. B =

1 0 0 00 0 0 00 0 7 00 0 0 1

4×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz identidadSi los elementos de la diagonal principal son 1 y los demas sonceros.

A = (aij)n×n es identidad si aij =

{1 , i = j0 , i 6= j

∀i 6= j .

Nota: Denotaremos a las matrices de orden n que sean identidadescomo In.

Ejemplos

1. I2 =

(1 00 1

)2×2 2. I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

4×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz Triangular Superior

Una matriz cuadrada es es triangular superior si todos loselementos que estan por debajo de la diagonal principal son ceros.

A = (aij)n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i > j .

Ejemplos

1. A =

(1 30 2

)2×2 2. B =

1 3 5 60 8 2 40 0 9 50 0 0 7

4×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Clases de Matrices: Matriz Triangular Inferior

Una matriz cuadrada es es triangular inferior si todos los elementosque estan por encima de la diagonal principal son ceros.

A = (aij)n×n es triangular superior si aij = 0 ∀i < j .

Ejemplos

1. A =

(1 03 2

)2×2 2. B =

1 0 0 03 8 0 05 3 2 07 5 1 7

4×4

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Operaciones

Podemos definir la SUMA de matrices y el Producto porescalar.

Sean A = (aij)m×n , B = (bij)m×n y λ ∈ R definimos

1. A + B = (aij + bij)m×n

2. λA = (λ · aij)m×n

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

EjemploSean

A =

5 3 62 7 −33 2 −2

3×3

y B =

1 3 54 8 37 9 2

3×3

Entonces

A + B =

5 + 1 3 + 3 6 + 52 + 4 7 + 8 −3 + 33 + 7 2 + 9 −2 + 2

3×3

=

6 6 116 15 0

10 11 0

3×3

5A =

5 · 5 5 · 3 5 · 65 · 2 5 · 7 5 · −35 · 3 5 · 2 5 · −2

3×3

=

25 15 3010 35 −1515 10 −10

3×3

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Teorıa de Matrices

Propiedades

Sean A = (aij)m×n , B = (bij)m×n, � = (0)m×n y λ ∈ R secumple

1. A + B = B + A

2. (A + B) + C = A + (B + C )

3. A + � = A

4. A + (−A) = �

5. (α + β)A = αA + βA

6. (αβ)A = α(βA)

7. α(A + B) = αA + αB

8. 1 · A = A

9. 0 · A = �

10. λA = � entonces A = � ∨ λ = 0

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Teorıa de Matrices

Multiplicacion-Previo

Las matrices de una sola fila son llamadas matrices filas,analogamente las matrices de una sola columna son llamadasmatrices columnas por ejemplo

A =(

1 2 3 4 6)

B =

2−2

4−1

5

A es una matriz fila y B es una matriz columna.

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Teorıa de Matrices

Sean las matrices fila y columna

A =(a1 a2 a3 · · · an

)y B =

b1

b2

b3...

bn

El producto de estas matrices es AB = c =

∑nk=1 akbk .

Por ejemplo:

A =(

2 4 6 8)

y B =

1321

=⇒ AB = 2 · 1 + 4 · 3 + 6 · 2 + 8 · 1 = 36

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Multiplicacion

El producto de las matrices A = (aij)m×p , B = (bij)p×n esdefinido como la matriz C = (cij)m×n donde cij es el producto dela i-esima fila de A y j-esima columna de B.

Es decir :AB = C = (cij)m×n

donde cij =∑p

k=1 aikbkj .

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Ejemplo

C =

(2 1 34 5 0

)2×3

3 1−1 5

4 2

3×2

=

(c11 c12

c21 c22

)2×2

Entonces

c11 =(

2 1 3) 3

−14

= 17 , c12 =(

2 1 3) 1

52

= 7

c21 =(

4 5 0) 3

−14

= 29 , c22 =(

4 5 0) 1

52

= 17

Por lo tanto

C =

(17 13

7 29

)2×2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Ejemplo

C =

(1 23 4

)2× 2

(3 1 2

−1 4 1

)2 ×3

=

(c11 c12 c13

c21 c22 c23

)2×3

Entonces

c11 =(

1 2)( 3

−1

)= 1 , c12 =

(1 3

)( 14

)= 9

c13 =(

1 2)( 2

1

)= 4 , c21 =

(3 4

)( 3−1

)= 5

c22 =(

3 4)( 1

4

)= 15 , c11 =

(3 4

)( 21

)= 10

Por lo tanto

C =

(1 9 45 15 10

)2×3

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Importante

Sean las matrices

A =

(0 10 0

)2×2

y

B =

(1 00 0

)2×2

Tenemos

AB =

(0 10 0

)2×2

(1 00 0

)2×2

=

(0 00 0

)2×2

BA =

(1 00 0

)2×2

(0 10 0

)2×2

=

(0 10 0

)2×2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sea cumple

1. A(BC ) = (AB)C

2. InA = InA = A

3. NO siempre AB = BA

4. AB = � no implica A = � ∨ B = �

5. AB = AC no implica B = C

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Teorıa de Matrices

Transpuesta

Si A = (aij)m×n, At = (atij)n×m es la matriz obtenida alintercambiar las filas por columnas de la matriz A, es decir:

atij = aji

Ejemplos

1. A =

1 03 21 7

3×2

=⇒ At =

(1 3 10 2 7

)2×3

2. B =

1 4 73 8 95 3 2

3×3

=⇒ Bt =

1 3 54 8 37 9 2

3×3

Nota:Si la matriz A es de orden m por n la matriz At es de orden npor m.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sea A,B dos matrices de orden m por n y λ ∈ R, se cumple:

1. (A + B)t = At + Bt

2. (λA)t = λAt

3. (AB)t = BtAt

4. (At)t = A

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Matriz simetrica y antisimetrica

Sea A = (aij)m×n diremos

1. A es simetrica si At = A

2. A es antisimetrica si At = −APor ejemplo

Sea A =

1 3 33 2 43 4 5

es una matriz simetrica.

Sea B =

0 3 7−3 0 1−7 −1 0

es una matriz antisimetrica.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sean A,B matrices simetricas, C ,D matrices antisimetricas yλ ∈ R, se cumple

1. (A + B) es simetrica.

2. (C + D) es antisimetrica.

3. λA es simetrica.

4. λC es antisimetrica.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sea A una matriz, se cumple

1. A + At es una matriz simetrica.

2. A− At es una matriz antisimetrica.

3. Toda matriz se puede expresar como suma de una matrizsimetrica y antisimetrica.

4. La matriz que es simetrica y antisimetrica a la vez es la matriznula.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Traza

Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de loselementos aii y lo denotaremos como tr(A) es decir

tr(A) =n∑

i=1

aii

Ejemplo

A =

(3 12 1

)2×2

=⇒ tr(A) = 3 + 1 = 4

B =

3 1 22 2 17 1 9

3×3

=⇒ tr(B) = 3 + 2 + 9 = 14

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n y λ ∈ R, se cumple

1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

2. tr(λA) = λA

3. tr(AB) = tr(BA)

4. tr(At) = tr(A)

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Matriz invertible

Sea A una matriz cuadrada de orden n, es invertible si existe unamatriz B de orden n tal que

AB = BA = In

Denotaremos a la matriz B como A−1. Con esta notacion tenemos

A−1A = AA−1 = In

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Teorıa de Matrices

EjemploSea

A =

(2 71 4

)2×2

la inversa de A es

A−1 =

(4 −7−1 2

)2×2

Ya que (2 71 4

)2×2

(4 −7−1 2

)2×2

=

(1 00 1

)2×2(

4 −7−1 2

)2×2

(2 71 4

)2×2

=

(1 00 1

)2×2

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Teorıa de Matrices

Como encontrar la inversa

Sea

A =

(a bc d

)2×2

La inversa de A es

A−1 =1

ad − bc

(d −b−c a

)2×2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Ejemplo

Sea

A =

(2 3−1 4

)2×2

Entonces

A−1 =1

8− (−3)

(4 1−3 2

)2×2

=

4

11

1

11

−3

11

2

11

2×2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Propiedades

Sean A,B matrices invertibles y λ ∈ R\{0}, se cumple:

1. (AB)−1 = B−1A−1

2. (λA)−1 = λ−1A−1

3. (At)−1 = (A−1)t

4. (An)−1 = (A−1)n

5. No se siempre (A + B) es invertible.

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Determinantes 2× 2

Sea

A =

(a11 a12

a21 a22

)Definimos el determinante de A como

det(a) = a11 · a22 − a21 · a12

Notacion:

|A| = det(A) =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣Ejemplo ∣∣∣∣ 2 3

4 5

∣∣∣∣ = 2 · 5− 4 · 3 = −2

Julio Yarasca

Teorıa de Matrices

Determinantes 3× 3Sea

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Definimos el determinante de A como

det(a) = a11

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣

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Teorıa de Matrices

Ejemplo

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Teorıa de Matrices

Propiedades

Sea A,B una matrices cuadradas de orden n y λ ∈ R se cumple

1. det(In) = 1.

2. det(At) = det(A).

3. det(AB) = det(A)det(B).

4. det(A−1) =1

det(A).

5. det(λA) = λndet(A).

6. A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Si una matriz es invertible la llamaremos no singular, casocontrario se llamara singular.

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