Teoría de la coherencia Teoría de la coherencia parcial. Iparcial. I

17 de marzo de 2009

Prof. Maria L. Calvo

Una revisión histórica

• 1802 Fringes and nature of light Thomas Young, Londres• 1868 Concept of interferometry with pupil mask Hippolyte Fizeau, Paris• 1872 Upper limit (0.158”) of stellar diameter Edouard Stephan, Marseille• 1921 First stellar diameter measurement Albert Michelson, Pasadena• 1950 First radio-interfometer Martin Ryle, Cambridge• 1956 First intensity interferometer (visible) R. Hanbury-Brown & R. Twiss• 1970 Speckle interferometry (visible) Antoine Labeyrie, Paris• 1972 First heterodyne fringes (10 μm) Jean Gay & Alain

Journet, Grasse• 1973 Deconvolution algorithm Leon Lucy• 1975 Triple correlation (visible) Gerd Weigelt, Nuremberg• 1976 Coupling two independent telescopes Antoine Labeyrie, Paris• 1989 First adaptive optics image (2.2 μm) Gérard Rousset et al, Paris &

ESO• 1996 First interferometric image (visible) James Baldwin, Cambridge• 2001 VLTI & Keck Interferometer first light C. Paranal, Chili & Mauna Kea• 2001 Adaptive optics on VLT (NAOS) Cerro Paranal, Chili

UnaUna definicióndefinición para la para la coherenciacoherenciaópticaóptica

A partir de Mandel y Wolf (1965):« Aptitud de una fuente de radiación para

generar fenómenos de interferencias »

A partir de Handbury Brown et Twiss (1956)« Conjunto de propiedades estadísticas entre

los elementos de los campos ópticos »Tratamiento clásico: Correlación clásica

CoherenciaCoherencia temporaltemporal

Teoría electromagnética :Los átomos de una fuente luminosa emiten vibraciones que tienen una duración temporal finita.Emisión: Origen de los trenestrenes de de ondasondas

La longitud de los trenes de ondas finitos es medible.

Supondremos un interferómetrointerferómetro de Michelsonde Michelson iluminado por unafuente de pequeñas dimensiones. La fuente emite luz nomonocromática.

Los fenómenos de interferencias son perfectamente visibles cuandola coherenciacoherencia temportemporalal no es nula.

EfectosEfectos de la de la coherenciacoherencia espacioespacio--temporaltemporal de de unauna fuentefuente

Demostración de la correlación espacialy temporal de los campos ópticos

Cual es el orden de la descripciónestadística?

Proporciona información sobre el ordende correlación de los campos y de los

fenómenos físicos asociados

FunciónFunción de de correlacióncorrelación de de segundosegundoordenorden: campo : campo escalarescalar

De forma general se puede caracterizar la manifestaciónde los fenómenos de interferencia por la función de coherenciacoherencia mutuamutua::

( ) ( ) ( )Γ r t r t E r t E r t1 1 2 2 1 1 2 2, ; , , ,*= < >

El símbolo < > representa un valor medio tomado sobre todaslas « realizaciones » posibles de « proceso » :

DistribuciónDistribución en el sentido estadístico: Media de Media de conjuntoconjunto

Densidad espectral mutuaDensidad espectral mutua• Consideramos el teorema de Wiener-Khinchin:• “La función de correlación compleja de un proceso

estacionario y su densidad espectral mutua forman un par de transformadas de Fourier”.

( ) ( ) ( )12 12 expS i dτ ω ωτ ω+∞

−∞Γ = −∫

( )12S ω : Se designa como espectro de potencia o densidad espectral mutua

FunciónFunción de de coherenciacoherencia mutuamutuanormalizadanormalizada: :

GradoGrado de de coherenciacoherencia

Definimos:

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]

γ r t r tr t r t

I r t I r t

r t r t

r t r t r t r t

1 1 2 21 1 2 2

1 11 2

2 21 2

1 1 2 2

1 1 1 11 2

2 2 2 21 2

, ; ,, ; ,

, ,

, ; ,

, ; , , ; ,

/ /

/ /

=

=

Γ

Γ

Γ Γ

( ) ( ) ( )( )( )

V r r t r t

I r tI r t

= +

=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≤ ≤

−2

0 1

11 1 2 2

1 1

2 2

1 2

μ μ γ

μ γ

, ; ,

,,

;/

VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS DE VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS DE INTERFERENCIAINTERFERENCIA

Donde:

( ) ( ) ( )( ) ( )V r

I r I r

I r I r=

−

+max min

max min

II : intensidad instantánea de la radiación.

V V : Medida del contraste de las franjas de interferencia

( ) ( )η γ τ= =1 1 2; , , V r r r

Caso particular:

τ = − =−

t tr r

c1 21 2

( ) ( )* , ,I E r t E r t=

Espejo móvil

Desplazamiento: 2

S λΔ =

Distribución de la intensidadDistribución de la intensidad• Debemos calcular:

( )τΓ Γ=12 12

( ) ( )I t tψ ψ⎡ ⎤= +⎣ ⎦2

1 2

Denota el promedio temporal.

A partir de este resultado debemos introducir la definición de función de coherencia mutua:

Condiciones: El proceso es estacionarioestacionario y ergódicoergódico..

; s s s sc

ΔΓ Γ Δ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠12 12 2 1Donde, en este caso obtenemos:

Casos particulares: Campo Casos particulares: Campo débilmente oscilantedébilmente oscilante

( )1 exp2 a

tA tτ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Supondremos que la amplitud del campo es una función débilmente oscilante temporalmente. Por ejemplo, denotamos:

Y análogamente para A2.

En este caso calcularemos de nuevo la distribución de la intensidad cuya representación en función de τ nos proporciona una descripción “real” de lo que ocurre en el proceso interferencial.

1. Grado de coherencia parcial

2. Existen actualmente dos definiciones del grado de coherencia parcial para luzparcialmente

3. Se requiere el diseño de experimentos de interferencias.

Discusión

Luz parcialmente coherente

• La coherencia mide la dependencia estadística entrelos valores del campo luminoso en dos punto r1 y r2 y en dos instantes dados t1 y t2.

• Relación estadística entre y

• Joint probability density function (PDF) :

( )11, trE ( )22 , trE

[ ]21,,, ,2211

EErr ttP

• La luz parcialmente polarizada se representacomo un campo luminoso aleatorio.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

),(),(

),(tEtE

tY

X

rr

rE

Información mutua• Una medida estándar de la dependencia estadística es la llamadainformación mutua.

• Campo escalar Gaussiano:

[ ] [ ][ ] [ ] 21

2,1,

21,,,21,,,

2211

2211

2211

,log, EE

EEEE

EErr

rrrr dd

PPP

Ptt

ttttI

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=Μ ∫

[ ]21log μ−−=Μ I

La información mutua sólo depende del grado de coherencia parcial.

|μ| proporciona una medida del grado de correlación.

Si los dos campos son estadísticamente independientes: MI = 0

Medida del grado de coherencia

• De acuerdo con la teoría escalar de la difracción el grado de coherenciaes una magnitud medible

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Patrón de interferencia

Contrasteμ=

[ ]μarg

• El modulo del grado de coherencia es el contrastsde las franjasde interferencias.

• La fase es la fase asociada al patrón de interferencias.

Definición de grado de coherencia: Teoría de Wolf

• Se suponen las interferencias entre dos campo luminosos parcialmentepolarizados:

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

W

Contrasteμ=

[ ]Wμarg

Representa el grado de coherencia complejo de luzparcialmente polarizada

E. Wolf, Phys. Lett. A, 312, 263-267 (2003).

[ ][ ] [ ]),(tr),(tr

),,,(tr

2211

2121

tttt

W rrrr

ΓΓΩ

=μ

• Las polarización de los haces de luz se puede ajustar medianteelementos polarizadores.

•Se representan analíticamente mediante las matrices de Jones: J1 and J2

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

1

0

J1

J2

Interpretación física• Relación entre el grado de coherencia intrínseco relacionado con el fenómeno interferencial y la definición de Wolf.

• Las polarización de los haces de luz se puede ajustar medianteelementos polarizadores.

•Se representan analíticamente mediante las matrices de Jones: J1 and J2

Interpretación física• Relación entre el grado de coherencia intrínseco relacionado con el fenómeno interferencial y la definición de Wolf.

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

1

0

J1

J2

• Las polarización de los haces de luz se puede ajustar medianteelementos polarizadores.

•Se representan analíticamente mediante las matrices de Jones: J1 and J2

•Problema: Determinar el valor máximo del contraste.

Interpretación física• Relación entre el grado de coherencia intrínseco relacionado con el fenómeno interferencial y la definición de Wolf.

1U

2U

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

1

0

J1

J2

El valor máximo del contraste coincide con el máximovalor del grado de coherencia intrínseco μS

• Este valor se obtiene cuando las matrices de Jones en el modulador son:

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

1

0

T1

T2S

Contrasteμ=

Interpretación física

2/1−= iii ΓNT

Ph. Réfrégier and F. Goudail, Optics Express, vol. 15, 6051, (2005) .

El valor máximo del contraste coincide con el máximovalor del grado de coherencia intrínseco μS

• Este valor se obtiene cuando las matrices de Jones en el modulador son:

Interpretación física

Ph. Réfrégier and F. Goudail, Optics Express, vol. 15, 6051, (2005) .

2/1−= iii ΓNT

),(r 11 tE

),(r 22 tE

Interferencias

1

0

T1

T2I

Contrasteμ=

Matriz de coherencia

• Los elementos de la matriz se pueden determinar a partir de

cuatro experiementos de interferencias.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩΩ

=ΩYYYX

XYXX

Medida de Ω

Px: (polarizador paralelo a la dirección x)

• Medida de: >=<Ω=Ω )],(),([ 11*

22 tEtEe XXi

XXXXxx rrϕ

),(r 11 tE

),(r 22 tE XX

Contraste= Ω

XXϕ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩΩ

=ΩYYYX

XYXX

Medida de Ω

Px: (polarizador paralelo a la dirección x)

• Medida de: >=<Ω=Ω )],(),([ 11*

22 tEtEe YYi

YYYYyy rrϕ

YYϕ),(r 11 tE

),(r 22 tE YY

Contraste= Ω

λ/2

λ/2

45°

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩΩ

=ΩYYYX

XYXX

XYϕ),(r 11 tE

),(r 22 tE

Medida de Ω

Px: (polarizador paralelo a la dirección x)

• Medida de >=<Ω=Ω )],(),([ 11*

22 tEtEe YXi

XYXYxy rrϕ

XY

Contraste= Ω

λ/2

45°

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩΩ

=ΩYYYX

XYXX

YXϕ),(r 11 tE

),(r 22 tE

Medida de Ω

Px: (polarizador paralelo a la dirección x)

• Medida de >=<Ω=Ω )],(),([ 11*

22 tEtEe XYi

YXYXyx rrϕ

YX

Contraste= Ω

λ/2

45°

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΩΩΩΩ

=ΩYYYX

XYXX