Coherencia formal y

Variedad formal

La Simetría

• Isometría• Homeometría• Catametría• Ametría• Singeometría• Heterometría

Podemos caracterizar conjunto de objetos en :

Isometría• Iso = Idéntico• son isométrico o isomorfos los sistemas que

tienen la misma forma, misma dimensión, misma relativa posición en el espacio.

• Relación de igualdad de una forma con otra

A A

Singeanometría• “cingere” = transformar• Relación que dice respecto de una distorsión de la forma

• proceso en donde las formas que lo constituyen son una transformación sucesiva de formas parecidas a fin

A A

Catametría• sistemas y sus elementos cuyas formas tienen

características iguales y características diversas • Relación que dice respecto a una semejanza

interfigural, con elementos de pertenencia a una familia

Abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

Heterometría

• sistemas y sus elementos carentes de afinidad o coherencia, pero que poseen congruencia u orden para integrar un todo

Figuras congruentes

No son congruentes porque no tienen la misma forma.

No son congruentes porque no tienen la misma dimensión

ISOMORFISMOS

Teoria de la Simetría, Redes, Combinatoria y Manejo Formal

¿Qué tiene que ver las matemáticas con el manejo

formal?

• Matemáticas es el estudio abstracto de las formas

Definición de simetría

• La simetría es una propiedad que existe asociada a un cambio en un objeto.

• Las operaciones simétricas pueden ser centrales , cuando se realizan respecto a un punto,

• o axiales, cuando se realizan respecto a un eje.

Aproximación al concepto

• En la naturaleza las mariposas y los escarabajos son seres vivos simétricos

• Basándonos en ésta observación de la realidad podemos entender la simetría como lo que se repite, como la transformación de un objeto determinado en otro que es idéntico a aquél del cual se desprende y

con el cual mantiene, por ende, una relación.

Qué es simetría en general?

• Un figura es simétrica si es construida desde sus partes relacionadas.

• Una conformación de figuras en un plano tiene simetría si existe una isometría de ese plano que conserve el motivo o modelo.

Qué es una isometría?• Una isometría del plano es un trazado que

conserva distancia y forma.

Simetría en la música

Simetría central

La simetría central es aquella que permite ubicar puntos a la misma distancia de un punto (que llamamos centro de simetría) y que se encuentran contenidos en la misma recta.

Utilizando simetría central podemos dibujar• Un punto simétrico a P. • Una recta simétrica a AB• Una figura simétrica a otra dada.

Dibujar un punto simétrico a P Se dibuja un punto P cualquiera

También se escoge libremente el centro de simetría C.

Se une P con C y se establece una recta PC

Con auxilio de un compás o una regla se mide la misma distancia del segmento PC sobre la prolongación de la recta y se marca el punto simétrico P’

Simetría axial

• Un punto es simétrico respecto a una recta , que llamamos eje de simetría, cuando existe otro punto llamado punto simétrico a la misma distancia del eje medida sobre una perpendicular.

• Utilizando simetría axial podemos construir:• un punto simétrico de A con respecto a un eje de

simetría S • recta simétrica a AB respecto al eje se simetría S. • la figura simétrica ABCD con respecto al eje de

simetría S

OPERACIONES / TRANSFORMACIONES O MOVIMIENTOS

Cuatro de tipos de isometrias en el plano

• Traslacion• Reflexion• Rotación• Reflexión Glide

Operaciones

Traslación

• Una traslacion mueve un objeto o figura a una distancia determinada y en dirección determinada

Reflexión

• Una reflección se produce a través de un eje de reflexión.

Rotación

• Una rotación tiene un centro de rotación y un ángulo de rotación.

rotation N-posiciones

• n = 360o/θ

siendo un numero entero, entonces nosotros llamamos a la rotación de acuerdo a

rotación con n-posiciones u orden de rotación

Simetría Rotacional

60°6

120°3

180°2

Symmetry RegionsFigureAngle of Rotation

Order of Rotation

Reflexión Deslizada (Glide)traslación + reflexión

• Una reflexión Glide es una combinación de reflexion y una traslación

• Plano de deslizamiento

• El plano de deslizamiento realiza simultáneamente dos operaciones:

– Refleja la imagen

– Traslada la imagen a intervalos de media traslación.

Simetría Sumaria

Simetría en el plano

• El modelo en un plano tiene simetría si es una isometría del plano que lo preserva. Hay tres tipos de modelos de simetrías.

• Rosetas - constructo finito• Bandas o franjas• Planos bidimensionales

Rosetas

• Teorema de Leonardo: Hay dos tipos de configuraciones de rosetas:

• Cn, Que tiene simetría rotacional de orden n y no tiene reflexión.

• Dn, Que tiene simetría rotacional de orden n y tiene reflexión.

Ejemplos de rosetas

Franjas• Las franjas tienen principalmente una

operación de simetría de Traslación en una dirección.

• Imaginamos que pueden ser infinitos en ambas direcciones

Los 7 grupos de simetría unidireccional: franjas

• T• Glide• TS• T/S• R • TS/S• TSG

A) Reflexión vertical + traslación (F3)B) Giro 180° + traslación (F5)C) Giro 180°+ reflexión horizontal + traslación (F6)

Los 17 grupos en el plano bidimensional

Los 17 tipos de simetría en el plano

Ejemplos de los 17 grupos

Red rómbica (a=b g ¹ 90º, 60º, 120º)

Red rectangular (a¹ b g =90º)Red oblicua (a¹ b g ¹ 90º)

Red cuadrada (a=b g =90º)Red hexagonal (a=b g =60º, 120º)

Grupo plano p1: p como indicativo de primitivo y

1 como indicativo de no simetría.

El dominio completo coincide con el motivo y, por tanto,

su multiplicidad es 1.

Grupo plano p2: p como indicativo de primitivo y

2 como indicativo de eje binario de simetría.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetría genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pm: p como indicativo de primitivo y

m como indicativo del plano de simetría.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetría genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pg: p como indicativo de primitivo y

g como indicativo del plano de deslizamiento.

La multiplicidad del dominio complejo es 2

ya que la simetría genera duplicidad del motivo.

Grupo plano pmm (p2mm): p como indicativo de primitivo y

dos m como indicativo de planos de simetría mutuamente perpendiculares.

Los planos de simetría llevan implícitos la aparcición de ejes binarios.

La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano pmg (p2mg): p como indicativo de primitivo y planos perpendiculares de tipo distinto (m ordinarios y g de deslizamiento). Esto hace que los ejes de simetría no se encuentren en la intersección sino desplazados, a lo largo del plano de deslizamiento, a mitad de la componente desplazamiento. El origen de la celda se toma sobre un eje binario. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano pgg(p2gg): p como indicativo de primitivo y dos g de planos perpendiculares de deslizamiento. Esto hace que los ejes de simetría no se encuentren en la intersección sino desplazados, a lo largo de cada plano de deslizamiento, a mitad de la componente deslizamiento. El origen de la celda se toma sobre un eje binario. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano cm: c como indicativo de la operación de centrado y m como indicativo del plano de simetría. La operación de centrado lleva implícita la existencia de un plano de deslizamiento. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano cmm (c2mm): c como indicativo de centrado y dos m como indicativo de planos de simetría mutuamente perpendiculares. La operación de centrado lleva implícita la existencia de planos de deslizamiento. La multiplicidad del dominio complejo es 4. Los planos de simetría, ordinarios y de deslizamiento, llevan implícitos la aparcición de ejes binarios en las intersecciones del mismo tipo de planos, no de distintos. La multiplicidad del dominio complejo es 8.

Grupo plano p4: p como indicativo de primitivo y 4 como indicativo de eje cuaternario de simetría. Los ejes cuaternarios generan la aparcición de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios. La multiplicidad del dominio complejo es 4.

Grupo plano p4mm: p como indicativo de primitivo, 4 como indicativo de eje cuaternario de simetría y m como los planos de simetría que contienen a dichos ejes. Los ejes cuaternarios generan la aparcición de ejes binarios intercalados entre los cuaternarios, y toda la simetría genera planos de deslizamiento paralelos a las diagonales de la celda. La multiplicidad del dominio complejo es 8.

Grupo plano p4gm: p como indicativo de primitivo, 4 como indicativo de eje cuaternario de simetría, g como planos de deslizamiento y m como los planos de simetría. La multiplicidad del dominio complejo es 8

Grupo plano p3: p como indicativo de primitivo y 3 como indicativo de eje ternario de simetría. Los ejes ternarios generan la aparcición de otros ternarios en el centro de los dos triángulos equiláteros que conforman la celda. La multiplicidad del dominio complejo es 3.

Grupo plano p3m1: p como indicativo de primitivo, 3 como indicativo de eje ternario de simetría y m como plano de simetría en la diagonal mayor del rombo. Se genera alternancia de planos de deslizamiento. La multiplicidad del dominio complejo es 6.

Grupo plano p6: p como indicativo de primitivo y 6 como indicativo de eje senario de simetría. Se generan ejes ternarios en los centros de los triángulos equiláteros conformadores y ejes binarios en los centros de los lados de dichos triángulos. La multiplicidad del dominio complejo es de 6.

Grupo plano p6mm: p como indicativo de primitivo, 6 como indicativo de eje senario de simetría y m de los planos de simetría que los contienen. Se generan ejes ternarios en los centros de los triángulos equiláteros conformadores, ejes binarios en los centros de los lados de dichos triángulos y planos de deslizamiento alternantes. La multiplicidad del dominio complejo es de 12.

Reflexión Horizontal

Reflexion Vertical

Rotación orden 2

reflexión Horizontal y vertical

reflexion Glide y reflexión vertical

reflexión Glide

TeseladoRegular

TeseladoSemirregular

• Pozzo’s ceiling (1694) and cupola (1685) in St. Ignatius, Rome

Lau Pa Sat

Fullerton Hotel

Patterns en el arte Islamico

Isfahan, Iran, end of 15th century

Patterns en la Plaza Singapore