Teoria de Electronica Digital

8/18/2019 Teoria de Electronica Digital

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2012

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R AD E P A R T AM E N T O D E T E C N O L O G Í A

© J . G a r r i g ó s


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C O N C E P T O S D E E L E C T R Ó N I C A D I G I T A L T E C N O L O G Í A 4 º E S O

D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A I . E . S A N D R É S D E V A N D E L V I R A© J . G a r r i g ó s 1

ÍNDICE

5 . - P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L Á L G E B R A D E B O O L EY T E O R E M A S D E M O R G A N

7 . - E J E M P L O S D E R E P R E S E N T A C I Ó N D E E C U A C I O N E S E NL E N G U A J E D E C O N T A C T O S Y P O R P U E R T A S L Ó G I C A S


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A mediados del siglo XIX, el filósofo y matemático George Boole, desarrolló una teoría

matemática completamente distinta a la que hasta entonces se conocía, y cuya expansión ha

sido tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolución y análisis de la mayoría de

las operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricación como los equipos sehan ido complicando a causa del progreso general y la constante evolución, hasta el punto de

necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases.

El álgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendentes a

resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que

deberán de ser traducidas y llevadas a cabo por elementos mecánicos, hidráulicos,

neumáticos, eléctricos o electrónicos.

La teoría de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que solo

tienen "dos estados válidos posibles, y por otra parte, opuestos entre sí".

Así, por ejemplo, el tratamiento que el álgebra de Boole permite a una lámpara

considerarla en sus dos únicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor sólo

podrá estar conectado o desconectado; un transistor conduciendo o bloqueado, un relé

activado o desactivado; y así sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que sólo

existan dos estados válidos para cada elemento, en esta estructura matemática, ha llevado a

llamarla "álgebra binaria" y también "álgebra lógica", pues los razonamientos que en ella seemplean son de carácter intuitivo y lógico.

El álgebra de Boole es un sistema matemático usado en el diseño de circuitos lógicos,

que permite representar mediante símbolos el objeto de un circuito lógico, de forma que su

estado pueda ser equivalente a un circuito real.

El fin de un sistema matemático es, en principio, representar un grupo de objetos o

fenómenos con símbolos que definan las leyes que gobiernan sus funciones e interrelaciones,

con un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simbólica. De este modo,

los símbolos del Algebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los

elementos lógicos y los estados y ecuaciones que se usan para definir puertas, inversores y

circuitos lógicos más complejos.

Una vez obtenida una ecuación básica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyas

interconexiones sean lo más simples y eficientes.

El álgebra de Boole difiere de la clásica en que ésta última cuenta con relaciones

cuantitativas, mientras aquella cuenta con relaciones lógicas. En álgebra, clásica usamos

cantidades simbólicas tales como X,Y,A,B, etc. para representar números. En la resolución dé


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problemas algebraicos interesa conocer el valor de la variable, o si X es mayor o menor que Y,

u otra información relativa a la cantidad. En el álgebra de Boole sólo se busca conocer busca

conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier término lógico, por ejemplo,

cuando usamos el álgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un termino

vale 0 o 1. También se les llama “verdadero” o “falso” ( Alto –High- o Bajo –Low- ) a los dosestados posibles en esta álgebra de tipo filosófico

Las expresiones "digital" y “analógico” son opuestas ya que mientras que la

primera significa algo de naturaleza incremental, en cambio la segunda expresa algo que varía

de forma continua.

Se entenderá mejor con un ejemplo:

Consideremos una lámpara de un salón, la cual está constituida por 10 bombillas, que

se encienden y apagan desde un mismo panel. Si en este panel cada interruptor gobierna 2

lamparas; podremos ir consiguiendo una iluminación gradual del salón hasta que tengamos la

máxima luz que nos pueden dar todas las lámparas.

Pero otra forma en la que se pueden controlar las lámparas, puede ser por medio de un

simple potenciómetro que realice el encendido gradual a medida que se va girando desde la

posición de apagado hasta la de encendido.En el primero de los casos, el aumento de luz se efectúa mediante pasos discretos,

mientras que en el segundo es de una manera continua. Es decir, que el primero de los

sistemas lo podemos encuadrar bajo el término digital y el segundo bajo el de analógico.

Tanto en electricidad como en electrónica los paramentos usuales de medida son el

voltaje y la corriente, las cuales varían de forma continua en el caso de la electrónica

analógica, mientras que en la digital se efectúa por pasos o etapas de valor bien definido. Dos

ejemplos que pueden ser tanto analógicos como digitales son los relojes y los polímetros. Las

agujas de un reloj mecánico común, se mueven continuamente mientras que en un reloj digital

los números cambian de repente, al final de cada segundo o de cada minuto. Del mismo modo

un polímetro analógico dispone de una aguja de medida que puede desplazarse gradualmente

desde un extremo al otro de la escala, mientras que en un polímetro digital, el valor de la

magnitud de medida, se muestra mediante dígitos discretos, cada uno de los cuales cambian

de repente.


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L

BA

A.- Si uno de los contactos está cerrado, y deja pasar la corriente, decimos que está a estado

lógico “1”, lámpara en funcionamiento.

B.- Si ambos contactos están abiertos, no dejan pasar la corriente, decimos que la lámpara

está a estado lógico “0”, lo que significa que la lámpara estará apagada.

Pero el estado lógico, no sólo se aplica al estado de la lámpara sino también al de los

contactos “A” y “B”, de forma que diremos que están a estado lógico “1” si están cerrados

(dejan pasar la corriente), y a estado lógico “0” si están abiertos ( no dejan pasar la corriente).

Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes:

• 1ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está abierto (B=0), pasa la corriente y por tanto la lámpara

está encendida (L=1).

• 2ª.- Si A está abierto (A=0) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente, lo que implica L=1.

• 3ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente (L=1).• 4ª.- Si A está abierto (A=0) y B está abierto (B=0), no pasa la corriente y la lámpara estará

apagada (L=0).

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante una tabla que nos indica el

estado de la salida en función del estado de las entradas, que para el caso que nos ocupa

sería:

A B L

1 0 1

0 1 1

1 1 1

0 0 0

A este tipo de tablas, que indican el estado de las salidas (Lámpara), en función del de

las entradas (Contactos A y B) se le denomina “Tabla de verdad o de la verdad”.

En base a todo lo anterior, decimos que una operación suma (operación OR en inglés)

de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomará estado lógico “1” (lámpara

en funcionamiento (L=1)), si alguna de las entradas tiene estado lógico 1 (contactos A y/o Bcerrados).


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• 2ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está abierto (B=0), no pasa la corriente y por tanto la

lámpara está apagada (L=0).

• 3ª.- Si A está abierto (A=0) y B está cerrado (B=1), no pasa la corriente, lo que implica

lámpara apagada (L=0).

• 4ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente y la lámpara estaráencendida (L=1).

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la

verdad:

A B L

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

En base a todo lo anterior, decimos que una operación producto (operación AND en

inglés) de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomará estado lógico “1”

(lámpara en funcionamiento (L=1)), si todas las entradas tiene estado lógico 1 (contactos A y B

cerrados).

La forma matemática de expresar esta operación sería: L = A * B

Así por ejemplo, la operación producto para el caso de tres variables de entrada (A,B y

C) será: L=A*B*C

C B A A*B*C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

4.3 OPERACIÓN INVERSIÓN.

Un conjunto inverso, negado o complementario de otro conjunto está formado por los

elementos del conjunto universal no contenidos en aquel, lo que se representa en la siguiente

figura:

AA

C o n j u n t o i n v e r s o d e A


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La forma de representar la operación inversión mediante contactos eléctricos no es tan

intuitiva como en las operaciones suma y producto, pero

podríamos asociarla a la siguiente figura en la que la

lámpara L1 es complementaria de la L2, puesto que si una

está encendida la otra estará apagada y viceversa, enfunción del estado de A.

El contacto cerrado A (que leeremos A negada),

es el complementario de A.

La tabla de la verdad correspondiente a los

estados que puede poseer un conjunto y los que corresponden a su inverso se muestran en la

siguiente tabla de la verdad:

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la

verdad:

A A

0 1

1 0

En base a todo lo anterior, decimos que una operación inversión (operación NO) de

una variable, es aquella que la salida tomará estado lógico “1” si la entrada es “0”, y tomará

estado lógico “0” si la entrada está a “1” lógico.

Operación O exclusiva o XOR

Esta operación derivada de la reunión, da una salida “1” cuando el número de entradas

a 1 es impar.

La tabla de verdad para dos variables es la que se indica seguidamente:

Y X Y X Y X ** ++++====⊕⊕⊕⊕ X Y Y X ⊕⊕⊕⊕

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

L2

A

L1

A


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5 . - P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L Á L G E B R A D E B O O L EY T E O R E M A S D E M O R G A N

5.1. POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.

Basados en la función AND

1º) 0*0=02º) 0*1=0

3º) 1*0=0

4º) 1*1=1

Basados en la función OR

5º) 0+0=0

6º) 0+1=1

7º) 1+0=1

8º) 1+1=1

Basados en la función NO

01)º10

10)º9

====

====

5.2. PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Propiedades de la función AND

1ª) X*0=0

2ª) 0*X=0

3ª) X*1=X

4ª) 1*X=X

Propiedades de la función OR

5ª) X+0=X

6ª) 0+X=X

7ª) X+1=1

8ª) 1+X=1

Combinando una variable con ella misma o con su complemento

negacióndobleoacióncomplementDoble)ª13

1)ª12

)ª110*)ª10

*)ª9

X X

X X

X X X X X

X X X

====

====++++

====++++====

====

Ley conmutativa

14ª) X*Y=Y*X

15ª) X+Y=Y+X

Ley distributiva

16ª) X*(Y+Z)=X*Y + X*Z17ª) X+ Y*Z= (X+Y)*(X+Z)


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D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A I . E . S A N D R É S D E V A N D E L V I R A© J . G a r r i g ó s 1 0

B A x

B x

y

A x

B x

y

A x

B A x B A x

B A B A

B A x

B x

o

A x

B x

o

A x

B A x B A x

B A B A

∩∩∩∩∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒

∈∈∈∈

∈∈∈∈

⇒⇒⇒⇒

∉∉∉∉

∉∉∉∉

∪∪∪∪∉∉∉∉⇒⇒⇒⇒∪∪∪∪∈∈∈∈∀∀∀∀

∩∩∩∩====∪∪∪∪

∪∪∪∪∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒

∈∈∈∈

∈∈∈∈

⇒⇒⇒⇒

∉∉∉∉

∉∉∉∉

∩∩∩∩∉∉∉∉⇒⇒⇒⇒∩∩∩∩∈∈∈∈∀∀∀∀

∪∪∪∪====∩∩∩∩

Ley asociativa

18ª) X*(Y*Z)=(X*Y)*Z

19ª) X+(Y+Z)=(X+Y)+Z

Absorción

20ª) X + X*Y=X21ª) X* (X+Y)=X

Una identidad

Y X Y X X

Y X Y X X

*)(*)ª23

*)ª22

====++++

++++====++++

5.3. LEYES DE MORGAN

ZC B A ZC B A

ZC B A ZC B A

++++++++++++++++====

====++++++++++++++++

.......*.......***)ª2

*......***......)ª1

Demostración de las leyes de Morgan:

∩∩∩∩ = Intersección

∪∪∪∪ = Unión

Ejemplo de aplicación de los postulados y propiedades del álgebra de Boole y leyes de

Morgan.

E n t r a d a s S a l i d a s

X Y Z X Y Z X + Y ZY X *)( ++++ Y X ++++ Y X * Y X * )(* Y X Z ++++ ZY X ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 01


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Las operaciones y funciones vistas anteriormente en la práctica digital se representan

por las llamadas puertas lógicas, que no es otra cosa, que un dibujo normalizado que

representa una función.

Las puertas lógicas normalizadas son las siguientes:

Según la norma MIL-STD-806B

NOR ExclusivaO Exclusiva

SYXX

YSSX X S

NOROR

SYX X

YS

NANDANDXY

S SYX

Excitador Inversor

Aunque los símbolos anteriores son los principales, no obstante, y atendiendo a las

normas BS 3939, IEC 117 y ANSI Y.32.14, también podemos encontrarnos los siguientes:

NOR ExclusivaO Exclusiva

NORORNANDAND

SX

Y

=1=1

Y

XSSX 1 1X S

SXY

>1YX

S >1SXY

& &YX

S

Excitador Inversor

La tabla de la verdad para la salida S en cada una de las puertas lógicas indicadas

anteriormente es la que se muestra en la siguiente tabla:

X Y A N D N A N D O R N O R I n v e r s o r E x c i t a d o r O E x c l u s i v a N O R E x c l u s i v a

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

En la práctica, se considera que tenemos un “1” lógico cuando existe un nivel de

tensión determinado, por ejemplo 5 V. De forma similar, decimos que tenemos un nivel “0”

lógico cuando el nivel de tensión está a otro nivel de tensión preestablecido, por ejemplo 0 V.

Ahora bien, esto no es tan fácil, y existen distintos tipos de tecnologías que asignan unos u

otros valores a los estados lógicos, entre los más conocidos están las denominadas TTL y

CMOS. Profundizando un poco más, y utilizando como ejemplo la tecnología TTL, se adopta

que:


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Esquema de puertas lógicas

Esquema de contactos

E j e m p l o 2

)(*2

)**(*1

C B A M

C BC B A M

++++====

++++====

Esquema de puertas lógicas

AA

B+C A*(B + C)= M2

B

C C

A

A*(B*C + B*C)=M1

AC

CC

ABB B

B

B*C

B*C

B*C + B*C

C

A*B + A*B=S

A*B

A*B

AA

B

BB

A

B A

S

B B

AA


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Esquema de contactos

M2

B C

AA

BB

CC

M1

La simplificación de ecuaciones es el proceso por el cual, partiendo de una ecuación

inicial, se obtiene otra con menos términos pero que cumple la misma función que la primera,

en definitiva, que el resultado obtenido en ambas será el mismo para todos los estados

posibles de la ecuación.

La justificación de intentar obtener una ecuación con el mínimo número de variables es

evidente, pues a menor número de puertas lógicas o de contactos, más simplificado será el

circuito, se tendrán menos posibilidades de error, menor tiempo de ejecución será necesario, ylo que no es menos importante, más económico será el montaje.

8.1. Simplificación mediante los postulados y propiedades del álgebra de Boole y

teoremas de Morgan.

Este método consiste en aplicar los postulados, propiedades y teoremas del álgebra de

Boole y Morgan, para obtener de esta forma la ecuación lo más simplificada posible.

Ejemplo1

Considérese la ecuación siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mínimo

número de términos posibles.

DC B A DC B A DC B A DC B AS ************ ++++++++++++====

Mediante la aplicación de la ley distributiva podemos sacar factor común de los dos

primeros sumandos de la ecuación lógica

DC B A DC B A D DC B AS ******)(** ++++++++++++====

pero sabemos que 1====++++ A A , y X*1=X, de ahí:

DC B A DC B AC B AS ******** ++++++++====


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Basándonos en las mismas propiedades y postulados, podemos sacar factor común de

los dos últimos sumandos y simplificar.

C B AC B A D DC B AC B AS ****)(***** ++++====++++++++====

De nuevo sacamos factor común y simplificamos obteniendo el resultado final:

B AS

C C B AS

*

)(**

====

++++====

Ejemplo

Considérese la ecuación siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mínimo

número de términos posibles.

C B AC ABC B A P ++++++++====

Dado que A A A ====++++ , podemos sumar un sumando idéntico a uno de los que

contiene la ecuación sin que esta varíe, es decir:

C B AC B AC ABC B AC B AC ABC B A P ++++++++++++====++++++++====

Ahora sacamos factor común de los sumandos primero y tercero, por un lado, y

segundo y cuarto por otro, volvemos a simplificar de nuevo y obtenemos el resultado final

)(*

)()(

C B A P

C A B A P

B BC AC C B A P

++++====

++++====

++++++++++++====

8.2. Simplificación mediante los diagramas o mapas de Karnaugh.

El fundamento de la simplificación por Karnaugh se basa en la identidad:

B AC C B AC B AC B A *)(****** ====++++====++++

Se trata de encontrar parejas de términos iguales, a excepción de una variable, que en

uno esté negada y en el otro no. Obsérvese que en todos los diagramas de Karnaugh, al pasar

de una cuadrícula a la adyacente siguiendo una fila o una columna (no en diagonal) siempre

cambia de estado una de las variables. Cambia incluso entre la primera cuadrícula y la últimade cada fila o de cada columna.

Imaginemos que tenemos que formar un mapa de Karnaugh de 2

variables X y Y. Nuestro mapa deberá tener, por tanto, 4 cuadros (2n donde

n es el número de variables de entrada), y en cada uno de ellos se debe

contemplar uno de los cuatro estados posibles de estas variables según la

tabla de verdad.

X Y

0 0

0 1

1 0

1 1


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Si tomamos los valores de X para las filas y los de Y para las columnas, una de las

posibilidades sería la que se refleja en la siguiente cuadrícula, donde también se han indicado

los valores que toman las variables en cada uno de los cuadros:

X=1Y=1

X=1Y=0

X=0Y=1

X=0Y=0

1

010XY

A efectos prácticos, otra forma de representar los mapas de Karnaugh, consiste en

poner una línea continua encima de la fila o columna en la que la variables vale 1, en aquellos

cuadros que no se encuentran bajo la “sombra” de la línea decimos que la variable toma valor

0. De esta forma el cuadro anterior quedaría:

Y

X

X=0Y=0

X=0Y=1

X=1Y=0

X=1Y=1

A estas alturas, el lector seguramente está pensando que para dos variables es fácil

construir el mapa de Karnaugh, pero ¿Y para tres, cuatro, cinco,…. variables?, como sepodemos saber que se han contemplado todos los estados posibles de las variables de

entrada. Daremos, a continuación, una regla práctica que suele ser de mucha utilidad en estos

casos, imaginemos un papel cuadrado doblado muchas veces, de forma que cada doblez

dejamos su superficie en la mitad. Una vez doblado “n” veces, imaginemos que dibujamos un

mapa de Karnaugh de dos variables con un rotulador que ha sido capaz de calcar la cuadrícula

en todas las caras del papel doblado. A partir de aquí, si deseamos obtener un mapa de

Karnaugh de tres variables abatiremos el papel de izquierda a derechas quitando uno de losdobleces; de esta forma veríamos lo que se muestra en la figura:

Obsérvese que la línea de la variable Y también se dibuja, pues se supone que también

se había calcado. Finalmente, sabemos que para ocho estados

(ocho cuadros) se necesitan tres variables, pues bien, bastará

dibujar una línea continua a los cuadros nuevos que han aparecido

en el mapa ( y que supondremos que también se calcará al resto de

caras del papel). Finalmente resulta el mapa de Karnaugh para tres variables:

X

Y


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Z

X

Y

El siguiente paso, será obtener el mapa para cuatro variables. Siguiendo con nuestro

hipotético papel doblado, dado que antes lo hemos desdoblado hacia la derecha, ahora lo

haremos hacia abajo, y añadiremos una nueva variable para los cuadros nuevos creados,

resultando finalmente el mapa de Karnaugh de 4 variables como se indica en la siguiente

figura:

Z

X

Y

T

El siguiente mapa para 5 variables desdoblaríamos nuestro papel de nuevo hacia la

derecha, resultando finalmente:

UY

T

Z

X

Y

De esta forma, obtendríamos los mapas de Karnaugh para n variables, tomando como

regla general que cuando el número de variables que tenemos en el mapa es impar

desdoblamos hacia la derecha para obtener una nueva, y si el número de variables es par

desdoblaríamos hacia abajo.

La simplificación con Karnaugh trata de agrupar cuadrículas adyacentes en las que secumpla la ecuación, para ir eliminando variables. Las agrupaciones de cuadriculas con valor 1


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F I G U R A 1

se denominan "lazos" y alrededor de ellas se dibuja una línea que los contiene. Cada lazo

formará un término en la versión simplificada de la ecuación. Existen unas reglas para

confeccionar los lazos o agrupaciones de 1, exponiéndose a continuación las más importantes:

• 1ª.- Cada lazo debe de contener el mayor número de unos posible, debiendo constar de

2,4,8,16 (potencias de 2) o en último caso un simple 1. y entonces no habrá simplificación

de dicho término.

• 2ª.- Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadriculas de valor uno

que correspondan a la vez a dos lazos diferentes.

• 3ª.- No sé pueden formar lazos entre parejas de unos situados en diagonal.

• 4ª.- Debe tratarse de conseguir, el menor número de lazos, y que como se indico

anteriormente, cada lazo contenga el mayor número de unos.

• 5ª.- La columna más a la derecha se considera adyacente a con la de más a la izquierda, y la

primera fila del diagrama se considera adyacente a la última.

• 6ª.- De entre las distintas posibilidades que existen de formar lazos, se debe elegir aquella

que tenga el menor número de lazos.

• 7ª.- Cada lazo del diagrama representa un término de la ecuación simplificada final, y dicha

ecuación reúne todos los términos o lazos mediante la operación OR o suma lógica.

• 8ª.- Si en un lazo hay una variable que está en estado uno en alguna cuadrícula y en

estado cero en otra, se elimina.

• 9ª.- Si una variable está con el mismo estado en todas las cuadrículas de un lazo, debe ser

incluida en la expresión simplificada

Algunos ejemplos aclararán el sistema de simplificación de Karnaugh:

Ejemplo 1

Simplificar por Karnaugh la ecuación:

C B AC B AC B A R ****** ++++++++====

a) Las cuadriculas que cumplen la ecuación en un diagrama de Karnaugh para tres variables,

se indican en la figura 1.


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L A Z O A

L A Z O B F I G U R A 2

b) Con la disposición elegida podemos hacer

dos lazos de dos unos cada uno de ellos,

no importando que un uno pertenezca a la

vez a los dos lazos del mapa.

c) Para obtener la ecuación simplificada se

suman las expresiones de los lazos,

eliminando de ellos las variables que en una de las cuadrículas aparecen negada y en la

otra no. Así, el lazo A tiene dos cuadrículas que lo componen y en ambas el valor de las

variables B y C valen cero; sin embargo, la variable A, en una cuadrícula vale uno y en la

otra cero, por lo que esta variable será eliminada, quedando expresado el lazo A como

C B * .

En el lazo B sus dos cuadrículas tienen A=0 y C=0, sin embargo, en una de

ellas B=0 y en la otra B=1, así que se elimina B y dicho lazo queda expresado como

C A* .

La ecuación simplificada es igual a la suma lógica de las expresiones de los

lazos, o sea:

C AC BC B AC B AC B A R ******** ++++====++++++++====

la cual es todavía simplificable sacando factor común C .

Ejemplo 2.

Simplificar por Karnaugh la ecuación:

DC A DC B A DC AC B A R ********* ++++++++++++====

a) El mapa de Karnaugh de 4 variables resuelto para la ecuación anterior se indica en la

figura 3.

F I G U R A 3


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b) En la figura 3 se han hecho los lazos, contemplando el hacer el menor número de lazos

con el mayor número de unos.

c) Obtención de los términos simplificados de cada uno de los nudos

* * L A Z O A * *

A [ 1 , 0 , 1 , 0 ] B [ 1 , 1 , 0 , 0 ] C [ 1 , 1 , 1 , 1 ] D [ 1 , 1 , 1 , 1 ]

C D

L a z o A = C * D

* * L A Z O B * *

A [ 0 , 0 , 0 , 0 ] B [ 1 , 1 , 1 , 1 ] C [ 0 , 1 , 0 , 1 ] D [ 0 , 0 , 1 , 1 ]

A B

L a z o B = A * B

La ecuación simplificada es la suma lógica de los lazos, o sea:

B A DC DC A DC B A DC AC B A R *********** ++++====++++++++++++====

Las operaciones que resuelven los automatismos y problemas digitales, contienen

sumas, productos, negaciones etc… Si para cada una de las operaciones específicas se

emplea una puerta diferente que la ejecute, serán precisos bastantes modelos de circuitos

integrados para resolver el circuito que corresponde a la ecuación planteada. Mediante ala

correcta aplicación de los teoremas de Morgan, se puede resolver cualquier ecuación usando

exclusivamente un único tipo de puerta lógica: el NOR o el NAND. Esto puede suponer

ventajas en el diseño y una menor posibilidad de error.

9.1.TEOREMAS DE MORGANEn el aparatado 5.1, se indicaron y demostraron los teoremas de Morgan, según los

cuales:

C B AC B A

C B AC B A

++++++++====

====++++++++

**

**

Se deja al alumno que compruebe la veracidad de estos teoremas mediante tablas de

verdad.

9.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MEDIANTE OPERADORES NOR

Seguidamente se desarrolla el modo de realizar operaciones lógicas utilizandoúnicamente operadores NOR.

E l i m i n a d a E l i m i n a d a

E l i m i n a d a E l i m i n a d a


22/44



9.2.1.Realización de una inversión o negación con operadores NOR

Si el operador NOR dispone de una sola entrada, la salida que se obtiene es la negación

de dicha entrada. La siguiente figura representa un operador NOR realizando una inversión y la

tabla de verdad que le corresponde.

A A

0 1

1 0

9.2.2. Realización de una suma negada con operadores NOR

El operador NOR realiza directamente la suma negada, tal y como se indica en la

siguiente figura

A A+BB

9.2.3.Realización de una suma con operadores NOR.

La resolución de la suma de dos variable sin negar con el operador NOR se resuelve

mediante dos operadores, el primero suma las variables y el segunda niega la negación de la

suma de variables que se obtiene de la primera puerta. Observe la figura.

A A+BB A+B = A+B

9.2.4. Realización de un producto con operadores NOR.

Recuerde que el teorema de Morgan indica: B A B A *====++++ , de esta igualdad sse

desprende que la suma negada es igual al producto de las negadas de cada una de las

variables.

A A+B=A*BB

Otra forma de aplicar el teorema de Morgan se indica en la siguiente figura:

A A+B=A*B=A*BB

Se puede observar que para obtener el producto de dos variables hay que introducirlas

negada en la puerta lógica.

A A


23/44


24/44



A A*BB

b) Obtención del sumando (( ))C D A ++++* Comenzamos por el interior del paréntesis, el cual, dejamos negado :

D D+CC

A+D+C = A*(D+C)=A*(D+C)A

c ) Sumando los términos anteriores y volviendo a negar la salida obtenemos la salida

deseada.

A

A*B

B

D

D+CC

A*(D+C)A

A

B

D

A

A*B + A* (D+C) A*B + A* (D+C)

EJEMPLO 2Obténgase el esquema de puertas lógicas que responde a la ecuación propuesta,

utilizando únicamente operadores NAND

(((( ))))C D A B AS ++++++++==== *

a) Obtención de B A*

A A*BB

b ) Obtención de )(* C D A ++++

D D*C=D+CC

A A*(D+C)

d ) Si volvemos a introducir en una puerta NAND las salidas anteriores obtendremos el

resultado deseado.


25/44



A A*BB

D

D*C=D+CC

A A*(D+C)

(A*B)*[A*(D+C)] = A*B + A*(D+C)

D

Se propone al lector resolver el circuito de puertas lógicas NOR y NAND que se

corresponde con la ecuación: )(** B A DC B AS ++++++++====

Cuando se desea resolver problemas por medio del álgebra de Boole, es muy

recomendable seguir un procedimiento metodológico basado en 4 fases, que se desarrolla

seguidamente. Existe, no obstante, una fase inicial, no contemplada en la mecánica general de

resolución, pero que resulta fundamental. Esta fase inicial consiste en una buena comprensión

del enunciado del problema, de forma que será necesario dedicar todo el tiempo preciso para

entender claramente los objetivos del mismo y deducir que actuará como variables de entrada y

cual, o cuales, serán las variables de salida. A menudo, se emplea un sistema consistente en

simular el problema como una caja negra, cuyas entradas son variables, siendo los resultados

las salidas de dicha caja.

Resultados

SALIDAS

CAJA NEGRAVariables

ENTRADAS

Una vez comprendido el problema y asignadas las variables de entrada y de salida, el

procedimiento operativo es el siguiente:

1ª FASE.- Formación de la tabla de la verdad. En ella se contemplarán todos los estados

binarios posibles de las variables de entradas y los que corresponden a las salidas para cada

combinación establecida, de acuerdo a las condiciones del problema.2ª FASE.- Obtención de ecuaciones lógicas. Tomando como punto de partida la tabla de la

verdad se determinan los diferentes estados de las variables para obtener los resultados

buscados. Por ejemplo, si en el automatismo de un motor M, gobernado por tres variables A, B

y C se deduce, según la tabla de la verdad, que estará activo en las dos combinaciones

siguientes:

a. A= 1, B=0 y C=1

b. A=0, B=1 y C=1


26/44



Estas combinaciones se pueden expresar como:

a. C B A **

b. C B A **

De este modo la ecuación que controla el motor viene dada por:

C B AC B A M **** ++++====

3ª FASE.- Simplificación de las ecuaciones lógicas. La eliminación de variables dentro de una

ecuación, que es en lo que consiste la simplificación, supone un ahorro económico derivado de

la reducción de componentes, tiempo y mano de obra del montaje. A título de ejemplo, si nos

fijamos en la ecuación anterior, y sacamos el factor común, la ecuación es la misma, pero pasa

de seis elementos a cinco.

(((( )))) B A B AC M *** ++++====

4ª FASE.- Representación eléctrica y por puertas lógicas de las ecuaciones simplificadas. Estafase es de vital importancia pues será donde se obtienen los planos eléctrico y electrónico del

circuito.

10.1.RESOLUCIÓN DE UN AUTOMATISMO DE LÓGICA COMBINACIONAL.

Una máquina de refrescos tiene y tres pulsadores a, n, y l (a para el agua, n para la

naranja l para el limón), y tres depósitos con agua, naranja y limón.

Cada uno de los depósitos está controlado por una electroválvula: Ea para el depósito

del agua, En para el depósito de la naranja y El para el depósito del limón.

Se desea diseñar el automatismo de control de la máquina de forma que se cumplan

las siguientes condiciones:

a. La máquina puede dar agua, agua con limón y agua con naranja, pero nunca naranja o

limón solos o mezclados.

b. La electroválvula de cada uno de los depósitos se activará por medio de su

correspondiente pulsador y siempre que se cumplan las condiciones establecidas en el

problema.

c. La desconexión de las electroválvulas se producirá cuando el vaso de refresco se haya

llenado, al actuar, debido a su peso, sobre un pulsador cuando el vaso este lleno.


27/44



SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

lna

Botonera

LIMÓNNARANJAAGUA

Pulsador NCVaso

ElEa En

Fase previa: Designación de las variables de entradas salidas.

En este ejemplo la cosa es bastante evidente, siendo las variables de entrada los

pulsadores a, n y l, y las variables de salidas las electroválvulas de cada uno de los depósitos.

Si bien el pulsador NC es una variable de entrada, a efectos de resolver el circuito no lo

consideraremos, pues bastará conectarlo en serie con la alimentación eléctrica para cortar la

corriente al circuito cuando el peso del vaso lleno actúe sobre él, y de esta forma dejar el

automatismo en estado de reposo.1ª Fase. Tabla de verdad del circuito

2ª Fase. Obtención de ecuaciones.

Obtendremos una ecuación por cada una de las variables de salida, en nuestro caso

Ea, En y El.

Variables de entrada Variables de salida

a n l Ea En El

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0


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Ecuación de la electroválvula del agua:

Si observamos la tabla de verdad, la electroválvula del agua se activa en tres estados

distintos, en los que las variables de entrada toman los siguientes valores:

• a=1, n=0 y l=0, que se expresa como: l n a **



La ecuación de salida se obtiene como suma de cada uno de los términos obtenidos

para cada estado en que la variable de salida está activa, resultando finalmente:

l n al n al n a Ea ****** ++++++++====

Ecuación de la electroválvula de la naranja:

Como se aprecia en la tabla de la verdad, la electroválvula de la naranja sólo se activa

en un estado que se corresponde con los siguientes valores de las variables de entrada:

• a=1, n=1 y l=0

Por lo tanto, la ecuación de la electroválvula de la naranja vendrá dada por:

l n a En **====

Ecuación de la electroválvula del limón:

De forma similar al caso anterior, tal y como se aprecia en la tabla de la verdad, la

electroválvula del limón sólo se activa en un estado que se corresponde con los siguientes

valores de las variables de entrada:

• a=1, n=0 y l=1

Por lo tanto, la ecuación de la electroválvula del limón vendrá dada por:

l n a En **====

3ª Fase. Simplificación de ecuaciones.

En este caso las ecuaciones de las electroválvulas de la naranja y limón no pueden

simplificarse, puesto que sólo tienen un sumando. Con respecto a la ecuación de la

electroválvula del agua, considerando la propiedad del álgebra de Boole que indica que A+A=A

obtenemos:

l n al n al n a Ea ****** ++++++++====

l n al n al n al n a Ea ******** ++++++++++++====

Sacando factor común del primer y segundo sumando y del tercero y cuarto

respectivamente, y simplificando tenemos:

)(*

**

)(**)(**

l n a Ea

l a n a Ea

n nl al l n a Ea

++++====

++++====

++++++++++++====


29/44



Si nos hubiéramos decantado por la simplificación a través de los mapas de Karnaugh

el proceso sería el siguiente:

1. Dibujamos un mapa con las tres variables de entrada:

2. Dibujamos un uno en cada uno de los cuadros que se corresponden con los tres

sumandos de la ecuación de partida de la electroválvula del agua:

l n al n al n a Ea ****** ++++++++====

ln

a l l l

3. Hacemos lazos y simplificamos:

Lazo A: l a *

Lazo B: n a *

n al a Ea ** ++++====

4. Simplificamos la ecuación sacando factor común de a:

)(* l n a Ea ++++====

Sea cual sea el método utilizado, llegamos a la conclusión que las ecuaciones

simplificadas de nuestro problema son:

l n a El

l n a Enl n a Ea

**

**)(*

====

====

++++====

4ª Fase. Representación del circuito eléctrico y de puertas lógicas:

Será este el momento, que en este caso particular, elegiremos para colocar el pulsador

del vaso.

ln

a

Lazo BLazo A

llla

n l


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CIRCUITO ELÉCTRICO

CIRCUITO DE PUERTAS LÓGICAS:

N O T A : C o n l o s c o n o c i m i e n t o s e s t u d i a d o s h a s t a a q u í , e l e s q u e m a d e p u e r t a s l ó g i c a s

a n t e r i o r s e r í a v á l i d o , p e r o e n l a p r á c t i c a h a y q u e c o m p l e t a r l o c o n a l g u n o s

c o m p o n e n t e s m á s ( C i r c u i t o d e p o t e n c i a , r e s i s t e n c i a s d e l o s p u l s a d o r e s d e l a s

v a r i a b l e s d e e n t r a d a , c o n d e n s a d o r e s d e d e s a c o p l o p a r e l r u i d o e l e c t r ó n i c o e t c . . ) y

a ñ a d i r p a t i l l a j e y d e s i g n a c i ó n d e l o s c i r c u i t o s i n t e g r a d o s , a u n q u e e s t o l o v e r e m o s

p o s t e r i o r m e n t e .

Pulsador del vaso

l

a

n

ElEn

n

a

l

Ea

a

ln

n n

la Ela*l

a*n*l

a*n*la*n Ena

n

+ Vcc

Pulsador del vaso

Ea

a*(n + l )a

n+l

nnn al

l l

ll


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Los circuitos integrados están formados por un bloque monolítico o sustrato sobre el

cual se construyen las diferentes partes, a base de técnicas de difusión de impurezas P ó N,

con procedimientos muy parecidos a los empleados en los semiconductores discretos.

Los circuitos integrados digitales son todos aquellos que trabajan sobre la base de dosestados o niveles, los cuales son: bajo y alto. Con estos estados o niveles es posible realizar

con ellos toda clase de funciones de tipo digital o binario, ya sea en forma de circuitos

combinacionales o secuenciales.

De todas las familias lógicas posibles, en este texto nos centraremos en la denominada

TTL (Lógica Transistor Transistor) por tener buen comportamiento con los fenómenos de

electricidad estática, un precio económico en las puertas básicas y una velocidad de

conmutación lo suficientemente alta para los requerimientos necesarios en este nivel

académico.

Las características de cada uno de los circuitos integrados vienen recogidas en los

llamados DataBook, y es muy fácil encontrar sus especificaciones a través de Internet. A titulo

de ejemplo, la siguiente figura representa una copia de un DataBook para el circuito integrado

TTL, tipo OR de dos entradas.

Es fácil descifrar los distintos parámetros especificados en la tabla, considerando que:

• I significa INPUT (entrada)

• O significa OUTPUT (salida)

• L significa LOW (bajo, haciendo referencia al nivel lógico cero).

• H significa HIGH (alto, haciendo referencia al nivel lógico uno).

• Vcc significa tensión de alimentación del circuito integrado en corriente continua.

• Icc significa corriente de alimentación del circuito integrado en corriente continua.


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Seguidamente se muestran los esquemas de algunos de los circuitos integrados

TTL de la serie 74xx más comunes:


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SN7400 SN7402

SN7404 SN7408

SN7410 SN7427

SN7432 SN7486


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12. 1. DIFERENCIAS ENTRE LÓGICA COMBINACIONAL Y SECUENCIAL.

Las aplicaciones que hasta ahora se han visto, están encuadradas dentro de la “lógica

combinacional”, en la cual, sus sistemas proporcionan una salida que depende exclusivamente

del estado de las entradas.

Los sistemas que forman parte de la “lógica secuencial” son aquellos en los que el estado d sus

salidas dependen además del estado de las entradas, de los estados intermedios por los que

ha pasado el sistema. De este último tipo de lógica se desprende que, cuando se repite la

misma combinación de las entradas, la salida puede ser diferente, según cuando se haya

producido la secuencia de los estados anteriores, dicho de otro modo, depende de la historia

del sistema.

12.2. PROBLEMAS DE LÓGICA SECUENCIAL.

Como hemos indicado anteriormente, en los problemas de automatismos secuenciales,

el estado presente de un determinado circuito depende fundamentalmente de los estados por

los que ha pasado anteriormente. Por ello, entran en juego dos tipos de variable que se

denominan:

• Variables primarias de entrada.- Son aquellas que están impuestas por el enunciado

del problema y vienen definidas por el estado de una serie de pulsadores, interruptores,

captadores o finales de carrera.• Variables secundarias de entrada .- Son aquellas impuestas por la secuencia del

sistemas y están formadas por contactos de relés o memorias que guardan los estados

por los que va pasando el sistema.

La resolución de problemas de tipo secuencial puede hacerse aplicando muchos

métodos. Aquí se empleará uno basado en los mapas de Karnaugh.

Es conveniente hacer resaltar, que si en un problema de lógica secuencial, en el que

son conocidas las variables primarias de entrada, se consigue definir de algún modo el valor de

las variables secundarias, dicho problema se habrá convertido en uno de lógica combinacional

pudiéndose aplicar el método de resolución de aquellos.

12.3. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LÓGICA SECUENCIAL.

12.3.1. Enunciado y tabla de funcionamiento

Una forma clara de explicar este método es aplicándolo a un problema en

particular, explicándolo a medida que se resuelve éste. Para ello, supondremos el enunciado

que se da a continuación y que corresponde a un problema muy sencillo de tipo secuencial.


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E N U N C I A D OUn motor eléctrico monofásico de poca potencia debe arrancar al accionarse

momentáneamente un pulsador de marcha (A), y debe quedar funcionando aún cuando deje de

accionarse dicho pulsador. La parada del motor se hará cuando se active momentáneamente

un pulsador de paro (B).

En estos problemas se consideran que el estado de las variables de entrada ( los

pulsadores A y B) permanecen en estado cero en la posición que tienen en el estado de

reposo y que se corresponde con el dibujo del esquema eléctrico del circuito.

En primer lugar se establece lo que denominaremos en adelante “tabla de

funcionamiento” . Esta tabla de obligada construcción en todos los problemas de lógica

secuencial incluirá en orden correlativo y cronológico todos los estados característicos por los

que va pasando el circuito. Se denominan estados característicos, a aquellos que sediferencian del anterior en el cambio de una sola variable de entrada.

La tabla tendrá en principio tantas columnas como variables de entrada primarias y

variables de salidas tenga el sistema. Posteriormente se añadirán tantas columnas como

variables secundarias aparezcan.

En primer lugar se escribirá en la primera fila, de la tabla de funcionamiento, el estado

de las variables de entrada y salida que se corresponden con el estado de reposo del

automatismo. Cuando un pulsador, final de carrera, detector etc.., que actúe como variable de

entrada, esté activo en el estado de reposo se pondrá un 1, en caso contrario se escribirá un

cero.

En el problema que nos ocupa quedaría del siguiente modo:

Estado A B M

1 0 0 0

A esta situación o estado, a la que se corresponden los valores de la primera fila de latabla de funcionamiento le denominaremos estado 1 o estado inicial.

El siguiente estado característico será aquel que se produce al accionar el pulsador de

marcha A, mientras el B sigue en reposo. En este estado el motor (M) arranca.

Estado A B M

1 0 0 0

2 1 0 1


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El siguiente estado característico es cuando deja de accionarse el pulsador de marcha.

Estado A B M

1 0 0 0

2 1 0 1

3 0 0 1En estado 3, el motor quedaría funcionando ininterrumpidamente sin necesidad de que

haya ninguna variable de entrada accionada.

El estado característico siguiente será aquel en el que se activa (pulsa) el pulsador de

parada B, el cual provoca la parada del motor.

Estado A B M

1 0 0 0

2 1 0 1

3 0 0 1

4 0 1 1

Finalmente, se producirá un nuevo estado característico al dejar de accionar B,

permaneciendo el motor parado definitivamente.

Estado A B M

1 0 0 0

2 1 0 1

3 0 0 1

4 0 1 15=1 0 0 0

Obsérvese que los estados de las variables de entrada “A” y “B”, y de la variable de

salida M, en los estados 1 y 5 son idénticos. Esto indica que en realidad el estado 5 es el

mismo que el 1, por lo que se ha cerrado el ciclo volviendo al estado inicial. Esta característica

es propia de los circuitos de tipo secuencial.

“En los circuitos de tipo secuencial, el ciclo, después de haber pasado por un

mayor o menor número de estados, vuelve a la situación del estado de reposo”

Por otro lado, si se observa en la tabla de funcionamiento los estados 1 y 3, se puede

comprobar que para unos mismos valores de las variables de entrada el valor de la variable de

salida (M) es distinta. Esta característica nos diferencia de forma radical este problema de tipo

secuencial de los de tipo combinacional, en los que para cada combinación de loas variables

de entrada únicamente corresponde un valor de las variables de salida.

Para distinguir los estados 1 y 3 del cilo, se debe emplear una nueva variable de

entrada (variables de entrada secundaria). Dicha variable permitirá “recordar” al sistema, al


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llegar al estado 3, que ya ha pasado por estado 1, y servirá para distinguir (por sus diferentes

valores) un estado del otro.

12.3.2. Matriz primitiva de los estados.

Para conseguir la obtención de los valores de las variables secundarias de entrada,construiremos la denominada “matriz primitiva de los estados”.

Dicha “matriz” está constituida en principio, por un diagrama de Karnaugh que tiene un

numero de variables idéntico al de las variables de entrada primarias del problema planteado.

En nuestro caso particular sería de la forma:

A

B Sobre la matriz primitiva de los estado se irán escribiendo de forma sucesiva, y

empezando por el estado 1, todos los estados por los que pasa el sistema. Cada estado se

representa con el número correspondiente situado dentro del cuadro que le corresponda. Dicho

cuadro, está definido por los valores que toman las variables independientes para ese estado.

Podrá ocurrir, para un estado cualquiera, que en el cuadro que le corresponda se

encuentre ya ocupado por un estado anterior. Esto sucede, en el problema planteado, en el

estado 3, al que corresponde el cuadro superior izquierdo ya ocupado por el estado 1.

A

B

1 23

Cuando esto sucede, se deja en ese cuadro el primer estado que se incluyó, en nuestro

caso en estado 1. Es necesario pues, encontrar un cuadro donde colocar el estado 3, y

además poderlo distinguir de alguna forma del estado 1.

Esto se consigue doblando simétricamente la matriz inicial, lo que implica añadir una

nueva variable (X) denominada variable de entrada secundaria. De este modo tendremos el

siguiente mapa de Karnaugh

A X

B


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Antes de situar sobre esta nueva matriz el estado 3, es necesario pasar por un estado

intermedio, que denominaremos con una comilla encima del número correspondiente al estado

anterior (recuerda que los cambios de estados característicos se producen cuando cambia una

sola variable). El estado intermedio 2’ tiene los mismos valores para las variables de entrada A

y B que el estado 2, pero se encuentra ya bajo la zona donde X=1.A X

B

1 2 2' 3

El próximo estado sería el 4, en el cual, a partir del estado 3 en el que el motor se

encuentra en funcionamiento con la variable secundaria X=1, se activa momentáneamente el

pulador “B” y el motor se para. Para representar el estado 4 bastará con bajar una casilla.

A X

B

1 2 2' 3

4

Para pasar del estado 4 al 5, que es idéntico al 1, habrá que conseguir primero poner a

cero la variable secundaria X=0. Para ello, y dado que no podemos desplazarnos en diagonal

sobre la matriz pasamos por estado intermedio 4’ donde hacemos X=0 y cuyos estados de las

variables A y B siguen siendo los mismos.

A X

B

1 2 2' 3

44'

Los estados 4 y 4’ se consideran como uno solo y en él se da a X el valor 0.

Finalmente se pasa del estado 4 al 5 que es el mismo que el estado inicial, cerrándose

así el ciclo.

A partir de la matriz primitiva de los estados se

obtiene, en la forma explicada, los valores de las variables secundarias de entrada. En nuestro

caso, sólo ha sido necesario utilizar una sola variables de entrada secundaria X, pero en caso

de tener que utilizar más de una el proceso a seguir es idéntico, duplicándose el numero de

cuadros de la matriz por cada variable añadida.

A X

B

1 2 2' 3

44'

5=


39/44



Una vez obtenida la matriz primitiva de los estados, se llevan a la tabla de

funcionamiento los valores de las variables secundarias.

Estado A B M X

1 0 0 0 0

2=2’ 1 0 1 13 0 0 1 1

4=4’ 0 1 1 0

5=1 0 0 0 0

12.3.3. Matrices de salida

El paso siguiente será construir tantos diagramas de Karnaugh como funciones de

salida y variables secundaria de entrada existan. Estos mapas tendrán un número de cuadros y

disposición idéntico a la matriz primitiva de los estados.

En cada uno de los mapas construidos se dispondrán el estado que tiene la variable

analizada en cada uno de los estados contemplados en la matriz primitiva de los estados. A

estos nuevos diagramas les denominaremos diagramas, matrices o mapas de salida. De ellos

se obtendrán las ecuaciones minimizadas que corresponden a cada una de las variables de

salida u variables de entrada secundarias (variables de memoria)

En estas matrices de salida aparecerán valores 0 y 1 solamente en aquellos cuadros

en los que exista un estado característico en la matriz primitiva. Los cuadros que quedenvacíos, corresponden a combinaciones de las variables por las que no pasa la secuencia del

sistema. De ahí, que sea indiferente poner un 0 o un 1, pudiendo colocar uno u otro según

convenga para la simplificación. A estas condiciones puestas arbitrariamente las

denominaremos condiciones “poco importa”

Una vez construidas todas las matrices de salida e indicados sobre ellas todos los

valores que toman las funciones en cada estado característico se obtendrán las ecuaciones

lógicas correspondientes de forma idéntica a como se hacía en los circuitos combinacionales.

Para el problema que nos ocupa, la matriz de salida correspondiente a la función M es

la que se indica en la siguiente figura.

A X

B

1 1 1

00

0


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En esta matriz se indican, en los cuadros correspondientes a los estados de la matriz

primitiva, los valores que adquiere M tomados de la tabla de funcionamiento.

Los bucles o lazos que se deben realizar, para obtener la ecuación más simplificada de

la función M, son los que se indican en la figura siguiente, donde el símbolo Φ representa unacondición poco importa que tomamos en este caso como 1.

A X

B

1 1 1

00

0

Ø Ø

M

La ecuación simplificada de M será: X B A M ++++====

Para obtener la ecuación correspondiente a la variable secundaria de entrada X se

procede de igual modo.

A X

B

1 1 1

00

0

Ø Ø

X

La ecuación simplificada de X, obtenida como unión de las expresiones

correspondientes a cada lazo será:

X B A X ++++====

Así, y en este problema en particular, podemos observar que las ecuaciones de M y X

son idénticas, por ello, la función de salida se podrá expresar también como M=X

12.3.4. Esquema eléctrico.Una vez obtenidas las ecuaciones lógicas de mando,

de los elementos de salida y de las variables de memoria, se

podrán transformar dichas ecuaciones en el esquema eléctrico

que gobierne el sistema.

El esquema electrico de nuestro ejemplo y que se

corresponde con las ecuaciones indicadas es el que se

representa en la figura

+

X

M

A2

A1

X

BA

X


41/44



INTRODUCCIÓN

L o s n ú m e r o s s e p u e d e n r e p r e s e n t a r e n d i s t i n t o s s i s t e m a s d e

n u m e r a c i ó n q u e s e d i f e r e n c i a n e n t r e s i p o r s u b a s e . A s í e l s i s t e m ad e n u m e r a c i ó n d e c i m a l e s d e b a s e 1 0 , e l b i n a r i o d e b a s e 2 , e l o c t a l

d e b a s e 8 y e l h e x a d e c i m a l d e b a s e 1 6 . E l d i s e ñ o d e t o d o s i s t e m a

d i g i t a l r e s p o n d e a o p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s d i s c r e t o s y p o r e l l o

n e c e s i t a u t i l i z a r l o s s i s t e m a s d e n u m e r a c i ó n y s u s c ó d i g o s . E n l o s

s i s t e m a s d i g i t a l e s s e e m p l e a e l s i s t e m a b i n a r i o d e b i d o a s u

s e n c i l l e z .

SISTEMA DECIMAL

S u o r i g e n l o e n c o n t r a m o s e n l a I n d i a y f u e i n t r o d u c i d o e n

E s p a ñ a p o r l o s á r a b e s . S u b a s e e s 1 0 . E m p l e a 1 0 c a r a c t e r e s o

d í g i t o s d i f e r e n t e s p a r a i n d i c a r u n a d e t e r m i n a d a c a n t i d a d : 0 , 1 , 2 , 3 ,

4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . E l v a l o r d e c a d a s í m b o l o d e p e n d e d e s u p o s i c i ó n

d e n t r o d e l a c a n t i d a d a l a q u e p e r t e n e c e . V e á m o s l o c o n u n e j e m p l o :

23720030710*210*310*7237 210 ====++++++++====++++++++====

SISTEMA BINARIO

E s e l s i s t e m a d i g i t a l p o r e x c e l e n c i a , a u n q u e n o e l ú n i c o ,

d e b i d o a s u s e n c i l l e z . S u b a s e e s 2 . E m p l e a 2 c a r a c t e r e s : 0 y 1 .

E s t o s v a l o r e s r e c i b e n e l n o m b r e d e b i t s ( d í g i t o s b i n a r i o s ) . A s í ,

p o d e m o s d e c i r q u e l a c a n t i d a d 1 0 0 1 1 e s t á f o r m a d a p o r 5 b i t s . E n l a

t a b l a s i g u i e n t e p o d e m o s v e r l o s p r i m e r o s d i e c i s é i s n ú m e r o s b i n a r i o s

y s u e q u i v a l e n t e d e c i m a l .

D e c i m a l B i n a r i o D e c i m a l B i n a r i o

0 0 0 0 0 8 1 0 0 0

1 0 0 0 1 9 1 0 0 1

2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

3 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

4 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0

5 0 1 0 1 1 3 1 1 0 1

6 0 1 1 0 1 4 1 1 1 0

7 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1


42/44



SISTEMA HEXADECIMAL.

Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es

16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar laescritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar concuatro bits binarios al ser 16 = 24.

En la siguiente tabla se muestran los primeros números decimales y su conversiónbinaria y hexadecimal:

Nº Decimal Nº binario Nº Hexadecimal

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 2

3 0 0 1 1 3

4 0 1 0 0 4

5 0 1 0 1 5

6 0 1 1 0 6

7 0 1 1 1 7

8 1 0 0 0 8

9 1 0 0 1 9

10 1 0 1 0 A

11 1 0 1 1 B

12 1 1 0 0 C

13 1 1 0 1 D

14 1 1 1 0 E

15 1 1 1 1 F

CONVERSIONESConversión entre binario y decimal

Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma lacantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos susdígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

100123456

2

10012345

2

87124016642*12*12*12*02*12*02*11010111

4712480322*12*12*12*12*02*1101111

====++++++++++++++++++++++++====++++++++++++++++++++++++====

====++++++++++++++++++++====++++++++++++++++++++====

O

Existe otro método más rápido de convertir un número binario a decimal, el cual,consiste en hacer una retícula con tantas celdas como dígitos tenga el número binario quedeseamos convertir, después, a cada una de las celdas le asignamos un valor decimal, igual alas potencia de 2, que se corresponde con la posición de la celda comenzando por 2 0, 21, 22 y


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6 4 + 0 + 1 6 + 0 + 4 + 2 + 1 = 8 7 1 0

1121 3

21 72

1 11 15

20

02 312

105 62

2125

así sucesivamente. Finalmente, sumamos el valor de las celdas donde hay unos binarios,descartando los valores de las celdas que tienen asignados ceros.

Ejemplo: Supongamos que deseamos saber el valor decimal del número binario 1010111

Construimos una tabla de una fila y 7 columnas (igual al número de dígitos del númerobinario), y asignamos a cada una su valor decimal (en la parte superior)

26 25 24 23 22 21 20

La tabla anterior se puede expresar de la forma:

64 32 16 8 4 2 1

Colocamos en número binario en las celdas

64 32 16 8 4 2 11 0 1 0 1 1 1

En la parte inferior, sumamos el valor asignado a las celdas en las que hay un 1binario, descartando aquellas que tienen un 0 binario.

64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 1 1

Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma lacantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2, hasta que el cociente sea igual omenor que 1. El número binario se forma tomando el último cociente obtenido y los restos decada una de las divisiones, en orden inverso a como se han ido obteniendo.

Ejemplo: Pasar a binario 12510

Tal y como se puede apreciar el resultado es:12510=11111012

Conversión entre binario y hexadecimal

La conversión entre binario y hexadecimal es muy sencilla, para ello, bastacon agrupar los bits de 4 en e 4 añadiendo los ceros que falten para conseguir unmúltiplo de 4, y después sustituir cada agrupación por su correspondiente dígitohexadecimal.

Ejemplo: Convertir el número binario 1011100102 a hexadecimal:

Dado que tiene 9 dígitos le añadimos tres ceros más a la izquierda para que seamúltiplo de 4, quedando de la forma: 0001 0111 0010 . Finalmente asociamos cada una


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de las agrupaciones a su correspondiente dígito hexadecimal, atendiendo a la tablaanterior.

00012= 116 01112=716 00102=216

1 0111 00102=17216

Conversión de hexadecimal a binario.

Se opera de igual forma que para la conversión de un número de binario ahexadecimal, pero asociando el dígito hexadecimal a agrupaciones de 4 bits binarios.

Ejemplo: Convertir a binario el número hexadecimal: A7C16

A16 = 1010 716 = 0111 C16 = 1100

Es decir : A7C16=1010 0111 1100

Conversión de hexadecimal a decimal.

Para convertir un número hexadecimal en decimal se emplea el sistema de sumar

el valor que representa cada dígito según su posición, multiplicando por las diversaspotencias de la base, en este caso es 16.

Ejemplo: Convertir a decimal el número hexadecimal 55F16

55F16= 5*162 + 5*161+F*160=1280+80+15=137510

Conversión de decimal a hexadecimal

Para convertir un número decimal en hexadecimal lo iremos dividiendosucesivamente por 16, y cuando no se puedan continuar las divisiones se formará elnúmero en hexadecimal con el último cociente seguido de los restos sucesivos obtenidosdesde el final al primero.

Ejemplo: Convertir el número decimal 248 en hexadecimal.

24810=F816

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Para pasar de binario a decimal

a) 110012 Solución: 2510 b) 10110110112 Solución: 73110

2. Para pasar de decimal a binario

a) 86910 Solución: 11011001012 b) 842610 Solución: 100000111010102

3. Para pasar de binario a hexadecimal

a) 1100010002 Solución: 18816 b) 100010,1102 Solución: 22,C

4. Para pasar de hexadecimal a binario

a) 86BF16 Solución:10000110101111112 b) 2D5E16 Solución:00101101010111102


a) 10610 Solución:b) 74210 Solución:


a) 23610 Solución:b) 5274610 Solución:

F

88 8

1516248

Teoria de Electronica Digital

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