Tensões e deformações devidas à força normal Resistência ... · Região de estricção C a E...

PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados

2º Semestre 2007

EP-USP FAU-USP

www.lmc.ep.usp.br/disciplinas/pef2602

Aula 2 – 20/08/2007

•Tensões e deformações devidas à força normal

• Resistência, estabilidade, estados limites, flambagem

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Barras submetidas a carregametos axiais. (barra do engate do carro rebocador (tração compressão) e barra do trem de pouso (compressão)


Fig. 1-2 Barra metálica com olhal submetida a carga de tração P

Olhal => articulação

Eixo mecânicoEixo geométrico ©20

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se.

Exemplo 1-2. Tirante metálico (d) de suporte da carga W (balde).

L : comprimento do eixo

Articulação fixa Eixo geométrico Articulação móvel

Força P

Modelo estrutural – esquema estático Apoios no plano x - y

Ry

Articulação fixa

Rx

Ry

Articulação móvel

Engaste

Ry

Rx

Mz


Barra prismática em tração (carga P): (a) diagrama de corpo livre de um segmento da barra; (b) segmento da barra antes do carregamento (configuração indeformada), (c) segmento da barra após o carregamento ΔL; (d) tensão normal atuante na barra σ.

ΔL δ≡

Conceito de tração e compressão simples

Tensão normal é dada por:

onde P é a força de tração ou compressão aplicada a barre A a área de seção transversal da barra

σ PA

Deformação específica é dada pela relação:

ε ΔLL

onde ΔL é a variação do comprimento da barra quandosubmetida a força P e L é o comprimento de referência dabase de medida

Equação constitutiva - Lei de Hooke

σ E ε⋅ onde E é o módulo de elasticidade

A (área)

= LΔ = fLε L L

iL

fL

iL (Deformação específica)i

LΔ

Cálculo do deslocamento axial da barra

σ E ε⋅ da lei constitutiva tem-se PA

E ΔLL

⋅

P E A⋅L

ΔL⋅ onde E*A é denominado como produto de rigidez axial e

Lembrando da Física a equação de uma mola, tem-se

F K x⋅ onde K é o coeficiente de rigidez da mola e x odeslocamento

e o deslocamento daextremidde ΔL por x

Nas barras, a rigidez será expressa por: K E A⋅L


Distribuição uniforme da tensão normal na barra prismática: (a) força axial P; (b) seção transversal da barra.

dF σ dA⋅

dF σ dA⋅

Mx P yc⋅ My P− xc⋅

dF σ dA⋅ Mx Aσ y⋅⌠⎮⌡

d My Aσ x⋅⌠⎮⌡

d−

P yc⋅ σ Ay⌠⎮⌡

d⋅P yc⋅ Aσ y⋅⌠⎮⌡

d

P yc⋅ PA

Ay⌠⎮⌡

d⋅

yc1

n

i

yci ΔAi⋅( )∑=

1

n

i

ΔAi∑=

xc

Ax⌠⎮⌡

d

Ayc

Ay⌠⎮⌡

d

A

Ensaio de tração

L L

P

P

ΔL/2

ΔL/2

ΔL

P

ΔPi

ΔLi

Diagrama tensão – deformação

ε = ΔL/L (deformação específica)

σ = P/A (tensão)

σ ∝ ε

σ = E*ε


Diagrama tensão-deformação típico do aço estrutural de baixo carbono (ASTM 36) determinado a tração (for a de escala).

σu

fy

σe

Com Aefetiva

Com Anominal

Região linear

Região plastica ou escoamento

Região encruamento

Região estricção

Tensão última

escoamento

Limite de proporcionalidade

ruptura

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se.

Exemplo de um ensaio de tração – aço estrutural.

Região de rupturaRegião de estricçãoC a E do diagrama


Diagrama tensão-deformação típico de aço estrutural em tração, desenhado em escala

σ 551.581 MPa=


Diagrama tensão-deformação típico para uma liga de alumínio

σ 275.79 MPa=

σ 206.843 MPa=


Determinação da tensão de escoalmente fy pelo método de uma reta paralela ao trecho elastico com deslocamento ε = 2/1000.

trecho elastico

trecho anelastico


Diagramas tensão-deformação a tração para dois tipos de borracha

σ 2.068 MPa=

Borracha dura

Borracha mole


Diagrama tensão-deformação para material frágil, com limite de proporcionalidade elastica em A e ruptura em B (com baixa ductilidade)


Diagrama tensão-deformação à compressão para o cobre.

σ 551.581 MPa=

Enrijecimento do material

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se.

Diagrama tensão-deformação ilustrando os comportamentos:(a) Comportamento elástico;(b) comportamento parcialmente elástico.

Loading = carregamentoUnloading=descarregamento

Residual strain = deformação residual;Elastic recovery = recuperação elástica


Diagrama tensão-deformação com recarregamento do material para elevação do limite elástico (tensão de escoamento)

Loading = carregamentoUnloading=descarregamentoReloading = recarregamento


Fluência do material com carregamento constante P

alongamento

tempo

Deslocamento inicial dentro do da região elástica


Relaxação de tensão em uma barra submetida a deformaão constante

Relaxação de tensão

Barra biengastada

tensão

tempo

Tensão abaixo do limite elástico


Alongamento axial e contração lateral da barra prismática em tração: (a) barra antes do carregamento, (b) barra após o carregamento. (a deformação da barra esta exagerada.)


Exemplo – Determinar a tensão normal (σ), a deformação específica (ε ) e estimar o módulo de elasticidade do tubo de alumínio da figura, considerando o carregamento de Pc=240,20 kN e comprimento de 1016mm .Considerar que o encurtamento foi

Pc 240.204 kN=

L 1.016 m=

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se.

Example 1-3. tubo em compressão

Exemplo 1-1Pc 54kip:= Pc 240.204 kN= força de compressão atuante no tubo

d1 3.6in:= d1 91.44 mm= diametro interno do tubo de alumínio

d2 5.0in:= d2 127 mm= diametro externo do tubo de alumínio

L 40in:= L 1.016 m= comprimento inicial do tubo de alumínioΔLc 0.022in:= ΔLc 0.559 mm= encurtamento para a força Pc

área da seção transversal do tuboAcπ d2

2 d12−( )

4:= Ac 61.008 cm2=

σcPcAc

:= σc 39.373 MPa= σc 3.937 kN

cm2= tensão normal de compressão

σc 5.711 103× psi= tensão em pound square inch

Determinação da deformação específica

εcΔLc

L:= εc 5.5 10 4−× m

m= εc 550 10 6− m

m= εc 550 μm

m=

Equação constitutiva - Lei de Hooke σ E ε⋅

Determinação do módulo de elasticidade

Ealuminioσcεc

:=

Ealuminio 71.587 GPa= módulo de elasticidade do alumínio

Sistemas Materiais

Os procedimentos de Engenharia podem ser classificados em quatro fases:

-Planejamento (o que, onde e quando fazer ?);

-Projeto (como fazer ?);

-Produção (construção na engenharia civil – materialização da idéia)

-Operação (utilização e manutenção)

Métodos de Projeto• Métodos comparativos – até meados do Século XIX;• Métodos racionais (inicia-se durante o século XIX)

- Método das tensões admissíveis (método determinístico), resulta da consolidação da mecânica das estruturas e construção de máquinas de ensaios de materiais;

- Método probabilístico resulta da formação de juízos probabilísticos a partir de conhecimentos objetivos a respeito dos sistemas considerados, modos de ruptura, estados limites, o que levou ao método probabilístico dos estados limites)

Método das Tensões Admissíveis• Estruturas existentes com sucesso de operação são cubadas

para estimativa do peso próprio (peso [P]=F/L3, carga distribuída em superfície [p]=F/L2, carga uniformemente distribuída [g]=F/L) para a determinação das tensões atuantes σact ;

• Materiais das estruturas existentes são ensaiados para determinação das resistências σu (tensões últimas –ruptura)

• Determinam-se os coeficientes de segurança globais pela relação entre as tensões últimas (ruptura) e tensões atuantes, dada por γglobal = σu / σact

Método das Tensões Admissíveis• Determina-se a inequação de segurança para projeto de

novos sistemas estruturais

σact ≤ σadmissivel

onde a tensão admissível é dada por

σadmissivel = σu / γglobal

a tensão atuante σact é dada em função dos carregamentos característicos nominais (valores de consenso no meio técnico da época – normas), tais como gk e pk , por exemplo, carregamento acidental (público) de pisos acima de 12 m2, considera-se pk = 1,5 kN/m2

Método das Tensões Admissíveis• Além da inequação de segurança em relação as tensões, foi

necessário também estabelecer uma inequação para as deformações, principalmente, pelas flechas admissíveis

uexistente ≤ uadmissível

onde uadmissível normalmente é da ordem de L/250, sendo L o vão das obras (vigas, lajes, etc.)

Além disso devem ser respeitadas as condições construtivas tais como espessuras mínimas, esbeltez das barras comprimidas, por exemplo.

Método das Tensões Admissíveis

Exemplo

Determinar a dimensão do tirante metálico com resistência ao escoamento fy = 250 MPa e coeficiente de segurança de γ = 2 , considerando a carga W = 100 kN. O Deslocamento admissível uadm= L/200, com L = 2000 mm e módulo de elasticidade do aço E = 210 GPa

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ExemploW 100kN:= peso do balde + massas adicionais

L 2000mm:= comprimento do tirante

E 210GPa:= modulo de elasticidade do aço

uadmissivelL

200:= uadmissivel 10 mm= deslocamento admissível

fy 250MPa:= resistencia ao escoamento do aço

γ 2:= coeficiente de segurança

σact σadm≤ inequação de segurança para as tensões

WA

fyγ

≤

A Wfy

γ⋅≥ área mínima do tirante A Wfy

γ⋅:= A 8 cm2=

d A 4⋅π

:= d 31.915 mm=

d 1.257 in=

verificação do deslocamento limite

F E A⋅L

ΔL⋅ sendo F=W, então

ΔL W L⋅E A⋅

:= ΔL 1.19 mm= que é menor que uadmissivel 10 mm=

Método Probabilista dos Estados Limites

• Condições básicas de segurança- confiabilidade (probabilidade de permanecer em serviço)- capacidade de aviso de colapso (colapso não avisado)- não emitir falsos sinais de alarme (flechas excessivas, vibrações, etc.)

Método Probabilista dos Estados Limites

• Estrutura segura1) Durante a vida útil, a estrutura deve garantir a manutenção das características da construção, a um custo razoável de manutenção;2) Em situações não previstas de utilização ou de manutenção, a estrutura deve apresentar sinais visíveis de advertência de eventuais estados de potencial colapso;

• 3) Em condições normais de utilização, a construção não deve ter aparência que cause inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem apresentar falsos sinais de alarme que lancem suspeita sobre sua integridade.

Modelo Probabilista

20 34 48 62 76 900

0.01

0.02

0.03

0.04

0.050.05

1.643 10 10−×

dnorm x 45, 8,( )

dnorm x 70, 8,( )

9020 x

S R

fck fcm 1 1.645 δ⋅−( )⋅

fmfck

Método probabilista dos estados limites

Sk γf⋅

σk γf⋅

Rd kmodRkγw⋅

Sd Rd≤

0.85fc1.4⋅concreto

Situações de projeto

Ações – tempo de referenciaF

tti tuperíodo de referência de projeto

Q

Gef

Fd

mudança da carga permanente

limite de dano

dano acumuladointerdição da

obra

Qexp

G

Vida util das estruturas

Classe Vida útil (em anos) Exemplos

1 1 a 5 Estruturas temporárias

2 25 Elementos estruturais substituíveis

3 50 Concreto em estruturas correntes

4 100 Pontes e obras de arte

Duração das edificaçõesDescrição das classes Vida útil da edificação Exemplos

Acomodações temporárias até 5 anos Edificações utilizadas durante a construção, prédios para exibições temporárias

Edifícios de curta duração 5 a 30 anos Salas de aulas temporárias, edificações de curta duração para processos industriais, edificações modulares

Edifícios de média duração 30 a 60 anos Maioria dos edifícios industriais, armazéns

Edificações de vida normal no mínimo 60 anos Hospitais e edificações de escolas, novas estruturas residenciais

Edifícios de longa duração 60 a 120 anos Maioria dos teatros, edifícios públicos, fóruns e edificações institucionais de alta qualidade

Vida do elementos construtivosSistema construtivo Vida de projeto (em anos)

Fundações >100

Estrutura >100

Piso de estacionamento exposto 30

Alvenaria de blocos >100

Argamassa em alvenaria 25

Revestimento de madeira 20-40

Portas 25

Janelas 20-40

Asfalto poroso 15-30

Telhado 10-30

Acabamentos 7-20

Revestimentos de piso 5-10

Forro de teto 10-20

Calha 40

Situações duradoura

[ ]FFFF kQjkQQ

m

kGiGid

n

jj

i,,1,

20

1∑∑==

++= ψγγ

FFF kQjjkGiutid

n

j

m

i,2,,

11∑∑==

+= ψ

FFFF kQjjkGiutid

n

jkQ

m

i,2,,

2,11

1∑∑==

++= ψψ

(normais) (equação 9)

(longa duração) (equação 10)

(média duração) (equação 11)

Situações transitórias

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑∑=

=

++=n

j

kQjkQkGi

m

iGid FefjFQFF

2

,,1,1

,0ψγγ

FFFF kQjjkGiutid

n

jkQ

m

i,1,,

2,1

1∑∑==

++= ψ

(construção) (equação 12)

(curta duração) (equação 13)

FFFF kQjQexcQkGi

m

Gid

n

jefj

i,,,

1,0

1∑∑==

++= ψγγ (excepcionais) (equação 14)

Situações excepcionais

Fatores de combinaçãoAções em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2

- Variações uniformes de temperatura emrelação à média anual local

- Pressão dinâmica do vento

0,60,5

0,50,2

0,30

Cargas acidentais dos edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2

- Locais em que não há predominância depesos de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas

- Locais onde há predominância de pesos deequipamentos fixos, ou de elevadasconcentrações de pessoas

- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens

0,40,70,8

0,30,60,7

0,20,40,6

Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos Ψ0 Ψ1 Ψ2

- Pontes de pedestres- Pontes rodoviárias- Pontes ferroviárias (ferrovias não

especializadas)

0,40,60,8

0,30,40,6

0,2*0,2*0,4*

* Admite-se Ψ2=0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico

Flambagem

y

F

L

F

yFM ⋅=

x

y

a

a/L

F/Fcr

Fcr

Forma reta de estável

Forma retainstável

Forma curva estávelregime elástico

Ponto de bifurcaçãodo equilíbrio

(a) (b) (c)

y

conceitos de flexão das barras

EIM

r±=

1

r raio de curvatura – parâmetro k = 1/ r

M

MEixo -> configuração indeformada

Eixo -> configuração deformada

A curvatura k é proporcional ao momento fletor M

EIkM *=EI é o produto de rigidez a flexão, onde E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção

Carga crítica P

2

22

LEInP π

=

2

2

LEIPE

π=

Comprimentos de flambagem

Índice de esbeltez

εσ

ddEt =

esbeltasmedianamenteesbeltas

curtas

Hipérbolede Euler

σcr

σp

Limite deproporcionalidade

σ

σp

ε Le/iO O

E

A

BC

S

R

pe

Ecr

EAL

IEA

Fσ

λππσ ≤=

⋅

⋅⋅== 2

2

2

2

p

Eσ

πλ ⋅=

2

lim

Critérios de projeto para estruturas de concreto e madeira:

λ ≤ 40 dispensada a consideração

40 < λ < 80

λ ≥ 80

curtas

medianamente esbeltas

esbeltas

Obrigatória

dispensada a consideração dos efeitos de fluência

Obrigatória a fluência + 2a. ordem

Efeitos de segunda ordemEsbeltezPeças

Índice de esbeltez

iL=λ A

Ii =Onde i é o raio de giração dado pela raiz quadrada da relação do momento de inércia e a área da seção transversal da barra

Inequação de segurança

cract σσ ≤

Pact Pcr≤ P.act e a carga atuante no pilar e Pcr é a carga deFlambagem

x h

b

y

σN

+

+ Mx N

My

Mx

My

N

b

h y

x

My

Mx

xMσ

xMσ

yMσ

yMσ

Nσ NM xσσ +


Fig. 1-24 Bolted connection in which the bolt is loaded in double shear.


Fig. 1-25 Bolted connection in which the bolt is loaded in single shear.


Fig. 1-26 Failure of a bolt in single shear.


Fig. 1-27 Small element of material subjected to shear streses.


Fig. 1-28 Element of material subjected to shear stresses and strains.


Fig. 1-29 Example 1-4. (a) Pin connection between strut S and base plate B. (b) Cross section through the strut S.


Fig. 1-30 Example 1-5. Punching a hole in a steel plate.


Fig. 1-31 Example 1-6. Bearing pad in shear.

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Fig. 1-32 Example 1-7. Vertical hanger subjected to a tensile load P: (a) front view of bolted connection, and (b) side view of connection.


Fig. 1-33 Example 1-8. Two-bar truss ABC supporting a sign of weight W.


Fig. 1-34 Free-body diagram for Example 1-8.

Chapter 1

Problems

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Problem 1.2-1

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Problem 1.2-2


Problem 1.2-3


Problem 1.2-4

Exercício 2

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Problem 1.2-5©2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.

Problem 1.2-6


Problem 1.2-7 and 1.2-8


Problem 1.2-9




Problem 1.2-12


Problem 1.2-13


Problem 1.3-2




Problem 1.3-6



Problem 1.4-2

©2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.Problem 1.4-4


Problem 1.5-1



Problem 1.5-3



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Problem 1.5-7


Problem 1.5-8 ©2001 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc. Thomson Learning™ is a trademark used herein under license.

Problem 1.6-1

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Problem 1.6-3



Problem 1.6-5

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Problem 1.6-7


Problem 1.6-8


Problem 1.6-9


Problem 1.6-10

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Problem 1.6-11


Problem 1.6-12


Problem 1.6-13



Problem 1.6-15


Problem 1.6-16


Problem 1.7-2


Problem 1.7-3

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Problem 1.7-4

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Problem 1.7-5

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Problem 1.7-6


Problem 1.7-7


Problem 1.7-8

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Problem 1.7-9

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Problem 1.7-10


Problem 1.7-11


Problem 1.7-12


Problem 1.7-13

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Problem 1.7-14


Problem 1.8-2


Problem 1.8-3


Problem 1.8-4

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Problem 1.8-5



Problem 1.8-7

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Problem 1.8-8

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Problem 1.8-9

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Problem 1.8-11



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Problem 1.8-14


Problem 1.8-15©

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Problem 1.8-16

Tensões e deformações devidas à força normal Resistência ... · Região de estricção C a E...

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