TÉCNICAS DE PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS

- Pioneros : Taylor, Ford

- 1ª Guerra Mundial : H. Gantt Gráficos o Carta Gantt.

- 2ª Guerra Mundial : Investigación Operativa Técnicas de Modelaje (Simulación)

- 1957 : CMP – Critical Path Method Métodos de la Ruta Crítica.

- 1958 : PERT – Programa Evolution & Review Technique Técnica de Evolución y Revisión de Programas.

Programación Gantt : Gráfico de Barras

No constituye un modelo matemático, sino únicamente gráfico. No señala claramente la secuencia tecnológica en el desarrollo de un Proyecto.

La utilidad que tiene es que el control del avance se puede llevar en el mismo gráfico.

Ejemplo carta Gantt:

Actividades

Drift Base

Chimenea Relleno

Chimenea Acceso

Chimenea Producción

Corte de Piso

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 Tiempo

La carta Gantt se puede transformar en un programa maestro, especificando cuales son las actividades críticas del Proyecto, responsable de cada actividad, avance físico real y programado, avance financiero real y programado, observaciones en general, etc. Para ello se agregan tantas columnas como sea necesario para cada actividad.

Programación CPM

Consiste en representar gráficamente un Proyecto en una malla, la cual describe la secuencia e interrelación entre sus componentes.

Ventajas:

1º Se puede utilizar con cualquier tipo de proyecto.

2º Es una técnica muy simple, pues requiere sólo de matemáticas básicas. Cuando posee muchas actividades se procesa en un computador.

3º Permite evaluar y comparar distintos proyectos similares.

4º Permite aprovechar en la mejor forma los recursos (económicos, materiales, tiempo y mano de obra); se ha logrado reducir hasta un 20% los recursos y el tiempo.

En general, todo método de ingeniería puede ser representado por una red o malla de actividades, dentro de las cuales existen algunas de mayor importancia que fijan la duración del Proyecto, a estas actividades se les denomina ACTIVIDADES CRITICAS y a las trayectorias que forman se les denomina RUTA CRITICA.

Pasos a seguir para desarrollar un Proyecto mediante Programación CPM

1º Determinar un listado de tareas o trabajos necesarios para realizar el proyectos.

2º Establecer la secuencia tecnológica entre estas tareas o trabajos (actividades).

- ¿Qué actividades deben realizarse antes de la actividad considerada?- ¿Qué actividades deben realizarse en paralelo con la actividad considerada?- ¿Qué actividades deben realizarse después de la actividad considerada?

De esto se obtiene la secuencia tecnológica de las actividades del Proyecto.

3º Concretar la secuencia tecnológica en una red o malla.

4º Determinación de la variable tiempo.

- Determinar el método de trabajo.- Determinar cantidad de trabajo por actividad.- Determinar para los recursos: tipo, rendimiento y cantidad.

Esto permitirá determinar el tiempo de duración de las actividades.

5º Procesar la malla y establecer la programación.

Definiciones

Actividad Real

Son las tareas o trabajos específicos en que se divide un proyecto para su programación y control. Una actividad comprende un lapso de tiempo y los recursos necesarios para su realización (mano de obra, materiales, equipos). Gráficamente una actividad se representa por una flecha en la cual están claramente señalados su comienzo y su término.

Comienzo de actividad Término de la actividad

Atij

Nodo de evento de comienzo Nodo p evento de término

Nodo o Evento: Se representa por un círculo y señala el comienzo o término de una o más actividades.

Actividades Ligadas: dos actividades están ligadas cuando el comienzo de una de ellas depende del término de la otra. Se señalan por letras.

Actividades en Paralelo: dos actividades se encuentran en paralelo cuando completamente o en parte, pueden realizarse en un mismo instante de tiempo sin entorpecerse mutuamente.

Actividades Ficticias: las actividades ficticias son actividades que no representan hechos o tareas específicas dentro de un proyecto. Además consumen tiempo cero, que es necesario incluir en la malla por dos razones:

i) Para eliminar situaciones de ambigüedad en la notación de las actividades.

Ejemplo: A//B

A

B Incorrecto Correcto

Si hay “n” actividades que comienzan y terminan en un mismo nodo, se deben introducir “n – 1” actividades ficticias.

ii) También es necesario utilizar las actividades ficticias para señalar algunas interrelaciones entre actividades que no es posible indicar a través de las actividades reales.

i j

1 2

1 2

3

A

B

Actividad Ficticia

Ejemplo: A y B preceden a C y DB precede a E

A C

D

B E

A C

D

B E

Actividad Crítica: es una actividad que al modificar una fecha de término modifica también la fecha de término del proyecto.

Camino Crítico: es un conjunto de actividades críticas ligadas entre si.

Ejemplo:

1

2

4

6

53

Incorrecto, pues no se indicó que A preceda a E.

1

2

4

3

5

6

7

Correcto, pues A no precede a E.

Actividad Ficticia

Act. que sigue

A B C D E F G H I J

A X X

B X X

C X X

D X

E X

F X

G X

H X

I X

J

Actividad Debe ir antes de: Debe ir después de:

A B – D -

B C – E A

C F – H B

D E A

E I B – D

F G C

G I F

H I C

I J E – G – H

J - I

Act. que prece

i j

Solución : C F

G H B

A I J

D E

lapsus de tiempo de las Actividades

de comienzo : ti

Tiempos más próximos

de término : tj

de comienzo : li

Tiempos más lejanos

de término : lj

ti li tj lj

i j

1 2

3

4

5 6

7 8 9

tij

i j

Tiempo más próximo de comienzo : ti

En la fecha más temprana en que una actividad puede comenzar siempre que todas las actividades que le preceden se hayan completado en su plazo fijado.

Tiempo más lejano de termino : lj

Es la fecha más tarde en que una actividad puede terminarse sin perturbar a las actividades que le siguen en secuencia.

Ejemplo :

5 5 6 6 9 11

C F

1 3 G H 1 0 0 B 3 6 16 16 18 18 A 0 I J

2 4 2 2 2 D 12 12 4 E 5

6 7 Mayor Menor

Solución :

A continuación calcularemos los ti y lj

t1 = 0

t2 = t1 + t12 = 0 + 2 = 2

t3 = t2 + t23 = 2 + 3 = 5

i j

1 2

3

4

5 6

7 8 9

t2 + t24 = 2 + 4 = 6

t3 + t34 = 5 + 0 = 5

t5 = t3 + t35 = 5 + 1 = 6

t6 = t5 + t56 = 6 + 3 = 9

t4 + t47 = 6 + 5 = 11

t5 + t57 = 6 + 6 = 12

t6 + t67 = 9 + 1 = 10

t8 = t7 + t78 = 12 + 4 = 16

t9 = t8 + t89 = 16 + 2 = 18

l9 = t9 = 18

l8 = l9 - t89 = 18 - 2 = 16

l7 = l8 – t78 = 16 - 4 = 12

l6 = l7 – t67 = 12 - 1 = 11

l6 – t56 = 11 - 3 = 8

l7 – t57 = 12 - 6 = 6

l4 = l7 – t47 = 12 - 5 = 7

l4 – t34 = 7 - 0 = 7

l5 – t35 = 6 - 1 = 5

l3 – t23 = 5 - 3 = 2

l4 – t24 = 7 - 4 = 3

l1 = l2 – t12 = 2 - 2 = 0

Observaciones:

t1 = l1 = 0

tn = ln siempre cuado n = último modo o evento de la malla.

t4 = 6 = (se elige el mayor)

t7 = 12 = (se elige el mayor)

l5 = 6 = (se elige el menor)

l3 = 5 = (se elige el menor)

l2 = 2 = (se elige el menor)

Analicemos ahora una actividad cualquiera de la malla, por ejemplo la actividad “D”:

t2 l2 t4 l4

2 2 6 7 D 4 t24

D D

HT HT

1 2 3 4 5 6 7 8 9

t2 = 2 = mínimo de comienzo de “D”l4 = 7 = máximo de término de “D”

mínimo de término de “D” = mínimo de comienzo de “D” + t24

= 2 + 4 = 6

Máximo de comienzo de “D”= máximo de término de “D” - t24

= 7 – 4 = 3

Holgura: se llama holgura al margen de variación que puede sufrir la duración de una actividad. Existen dos tipos de holguras.

Holgura Total: HT

En el margen de tiempo en que puede variar la duración de una actividad sin afectar la fecha de término del Proyecto.

HT = lj – (ti + tij)

Para el ejemplo, en la actividad “D” :

2 4

HT = l4 – (t2 + t24) = 7 – (2 + 4) = 1

Holgura Libre : HL

En el margen de tiempo en que puede variar la duración de una actividad sin afectar a las actividades que le siguen en secuencia en el proyecto.

HL = tj – (ti + tij)

HL HT

Ejemplo: Determinar mínimas y máximas de comienzo y término, así como holguras libres y totales de la malla del ejemplo anterior.

Solución:

Activ i j tij Mínimo Mínimo Máximo Máximo Holguras Observacioneslij Tij lij Tij HT HL

A 1 2 2 0 2 0 2 0 0 CriticaB 2 3 3 2 5 2 5 0 0 CriticaC 3 5 1 5 6 5 6 0 0 CriticaD 2 4 4 2 6 3 7 1 0 Semi – CriticaE 4 7 5 6 11 7 12 1 1 _________F 5 6 3 6 9 8 11 2 0 Semi – CriticaG 6 7 1 9 10 11 12 2 2 _________H 5 7 6 6 12 6 12 0 0 CriticaI 7 8 4 12 16 12 16 0 0 CriticaJ 8 9 2 16 18 16 18 0 0 Critica

Camino crítico: corresponde al camino de mayor duración, pero constituye el menor tiempo que asegura la realización de todas las actividades.

Relación entre la duración y el costo de las actividades:

El costo de una actividad varía al variar su duración.

Costo

Costo directo

Cf

Cn

0 tf tn

tn : tiempo de duración normal de la actividadCn : costo normal de la actividad

tf : tiempo de duración forzado de la actividadCf : costo forzado de la actividad. Implica inversión en más recursos (mano de obra,

equipos, etc)

Tanto Cn como Cf, se refieren a los costos directos, es decir, aquellos que están bien determinados para toda actividad. Están en base a costos de mano de obra, equipos, etc.

Los costos indirectos están distribuidos entre todas las actividades. Por ejemplo: supervisión del proyecto, costos de administración, mantención general de equipos, pérdidas por producción.

Luego los costos totales, CT, del proyecto son: costos directos + costos indirectos.

CT = CD + CI

Costos CT = CD + CI

CI : costo indirecto

Costomínimo del proyecto

Tiempo de duración de actividades

CD : costo directo

0

Para determinar la pendiente de costo, necesaria para optimizar el proyecto, vamos a considerar sólo el costo directo de cada actividad en lo referente a su duración.

Costo de la actividad

Cf

Cn

0 tf tn

Pendiente de costo de la actividad = Pc = =

Procedimiento para acelerar o comprimir la duración de las actividades en un proyecto

1º Se determinan los tiempo normales (tn) correspondientes a los costos normales (cn) de cada actividad del proyecto.

2º Se determinan los tiempos forzados (tf) correspondientes a los costos forzados (cf) de cada actividad del proyecto.

Tiempo de duración del proyecto

Tiempo del proyecto de costo mínimo

Tiempo de duración de actividades

Se asumirá lineal la relación de variación entre (tn, Cn) y (tf, Cf).

3º Se aceleran las actividades de la ruta crítica (se comprimen en duración). Entre las actividades de la ruta crítica se eligen aquellas que tengan menor “pendiente de costo” ( Pc), para hacer mínimo el costo de aceleración.

4º El aceleramiento de las actividades de la ruta crítica determina nuevas rutas críticas, que también es necesario considerar con el mismo criterio que la ruta crítica inicial.

5º El proceso de aceleramiento se detiene cuando a lo menos en una de las rutas críticas todas sus actividades componentes lleguen a su tiempo forzado (tf).

6º Se incorporan los costos indirectos para determinar la Ruta Crítica que nos signifique el mínimo costo. .

Observación: no es necesario Programar el Proyecto para hacer este procedimiento de aceleración.

Ejercicio Nº1:

Costos Directos

Actividad: Debe ir después de:

Debe ir antes de:

tn Cn tf Cf

Pc : Observ H1 H2

A - D - E 6 800 4 900 50 ___ 2 0

B - E 12 600 8 840 60 Crítica 0 0

C B F – G - M 4 300 2 500 100 Crítica 0 0

D A F – G – M 8 700 4 1020 80 ___ 2 2

E A F - G - H - M 2 150 2 150 ___ ___ 8 0

F C – D – E K 7 500 3 780 70 ___ 8 0

G C – D – E I 16 460 13 700 80 Crítica 0 0

H E L 8 320 6 380 30 ___ 28 0

I G J 4 800 4 800 ___ Crítica 0 0

J I – M ___ 15 500 13 700 100 Crítica 0 0

K F ___ 20 400 17 550 50 ___ 8 8

L H ___ 7 200 6 220 20 ___ 28 28

M C – D – E J 5 300 1 400 25 ___ 15 15

Costos Indirectos

Días52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38

Costos6200 6080 5960 5840 5720 5600 5480 5360 5240 5120 5000 4880 4760 4640 4520

6 8 8 16 16 44 E H 2 8 L A 7 6 0 0 D 32 32 36 36 51 51 8 0 I J1

2 4 8

6 9 1

4 15 B G

12 16 M K 5 20 C F

4 7

12 12 16 16 23 31

Ruta crítica: B – C – G – I - J

Holguras

Activ i j tij Mínimo inicio

Ti

Mínimo término

Tj

Máximo inicio

li

Máximo término

lj

HT HL Observaciones

A 1 2 6 0 6 2 8 2 0 Semi – CríticaB 1 3 12 0 12 0 12 0 0 CríticaC 3 5 4 12 16 12 16 0 0 CríticaD 2 5 8 6 14 8 16 2 2 ___E 2 4 2 6 8 14 16 8 0 Semi – CríticaF 5 7 7 16 23 24 31 8 0 Semi – CríticaG 5 6 16 16 32 16 32 0 0 CríticaH 4 8 8 8 16 36 44 28 0 Semi – CriticaI 6 9 4 32 36 32 36 0 0 CríticaJ 9 10 15 36 51 36 51 0 0 Crítica

3 5 7

180

12

K 7 10 20 23 43 31 51 8 8 ___L 8 10 7 16 23 44 51 28 28 ___M 5 9 5 16 21 31 36 15 15 ___

Posibles rutas en que se aplicará el proceso de aceleramiento:

Nº de rutas posibles Nº nodos – 1.-

(*) Ruta posible

Duración B B G G G J J A, B A, B C, D C, D

(1) A – E – H – L

23 23 23 23 23 23 23 23 22 21 21 21

(2) A – E – G – I – J

43 43 43 42 41 40 39 38 37 36 36 36

(3) A – E – M – J

28 28 28 28 28 28 27 26 25 24 24 24

(4) A – E – F – K

35 35 35 35 35 35 35 35 34 33 33 33

(5) A – D – G – I – J **

49 49 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40

(6) A – D – M – J

34 34 34 34 34 34 33 32 31 30 29 28

(7) A – D – F – K

41 41 41 41 41 41 41 41 40 39 38 37

(8) B – C – G – I – J*

51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40

(9) B – C – M – J

36 35 34 34 34 34 33 32 31 30 29 28

(10) B – C – F – K

43 42 41 41 41 41 41 41 40 39 38 37

Pend. Costo --- 60 60 80 80 80 100 100 110 110 180

Proyecto Número : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Proyecto Número Duración PC Costo Total Directo1 Normal 51 --- 60302 B 50 60 60903 B 49 60 61504 G 48 80 62305 G 47 80 63106 G 46 80 63907 J 45 100 64908 J 44 100 65909 A, B 43 110 670010 A, B 42 110 681011 D, C 41 180 6990

No se puede reducir más la ruta crítica

A

3

F

7

DG

45

6

B

C

2 2

12 D , C 40 180 7170

ELECCIÓN DEL MEJOR PROYECTO

Proyecto Número Duración Costo Directo Costo Indirecto Costo Total1 51 6030 6080 121102 50 6090 5960 120503 49 9150 6840 119904 48 6230 5720 119505 47 6310 5600 119106 46 6390 5480 118707 45 6490 5360 118508 44 6590 5240 118309 43 6700 5120 1182010 42 6810 5000 11810 11 41 6990 4880 1187012 40 7170 4760 11930

Mejor Proyecto: 42 días de duraciónCosto directo = 6810Costo indirecto = 5000Costo Total = 11810

Ejercicio Nº2.-

3 3 12 12

0 0

E 8 8

Proyecto de costo mínimo

1

2

4

5

2 6

Ruta crítica: A – D – G

Debe irActividades Después de Antes de

ABCDEFG

------ACA

D – B – E

F – DGEGG----

Costos Directos

Actividad: tn Cn tf Cf Pc ObservacionesA 3 50 2 100 * 50 CríticaB 6 140 4 260 60 --C 2 25 1 50 25 --D 5 100 3 180 * 40 CríticaF 2 80 2 80 -- --E 7 115 5 175 30** --G 4 100 2 240 * 70 Crítica

Costos Indirectos

Días : 12 11 10 9 8 7 6Costos : 900 820 740 700 660 620 600

Holguras

Activ i j tij Mínimoinicio

ti

Mínimo término

tj

Máximo inicio

li

Máximo término

tj

HT HL Observaciones

A 1 2 3 0 3 0 3 0 0 CríticaB 1 4 6 0 6 2 8 2 2 ---C 1 3 2 0 2 4 6 4 0 Semi – críticaD 2 4 5 3 8 3 8 0 0 CríticaE 3 4 2 2 4 6 8 4 4 ---

3

F 2 5 7 3 10 5 12 2 2 ---G 4 5 4 8 12 8 12 0 0 Crítica

Posibles rutas en que aplicará el proceso de aceleramiento:

(#) Ruta Posible

Duración D D A, G, D F, G B, D, F

(1) A – F 10 10 10 9 8 7(2) A – D – G 12 11 10 9 8 7(3) B – G 10 10 10 9 8 7(4) C – E – G 8 8 8 7 6 6

PC Costo : -- 40 40 80 100 130Proyecto Número : 1 2 3 4 5 6

Elección del mejor Proyecto

Proyecto Duración A Costo Costo Directo Costo Indirecto Costo Total1 12 -- 610 900 1510

2 11 40 650 820 1470

3 10 40 690 740 1430

4 9 80 770 700 1470

5 8 100 870 660 1530

6 7 130 1000 620 1620

Proyecto Mejor(Costo total Mínimo)

Nivelación de Recursos

En un Proyecto cualquiera la demanda de recursos a lo largo del tiempo es variable, esto va a depender de las necesidades de equipos, mano de obra, materiales, etc., de las actividades que componen el Proyecto. La idea es emparejar la cantidad de recursos requeridos en el proyecto.

Nivelación del Recurso “Mano de Obra

Mano de Obra

Req. Máximo M.O. (8)

A

3

F

7

DG

45

6

B

C

2 2

Se trata de:

i) MINIMIZAR los requerimientos máximos de Mano de Obra.ii) MINIMIZAR la variación máxima de Mano de Obra.

Para lograr lo anterior se aprovecha la holgura libre de las actividades no críticas, se desplaza la duración normal de dichas actividades y con ello se disminuyen sus recursos.

Aclaremos esto con un ejemplo:

Ejercicio Nº3: Nivelación del recurso “Mano de Obra”

3 3 12 12

0 0

E 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8

7

6

5

4

3

2

1

Tiempo (Días)

Var. Máxima M.O. (6)

1

2

4

5

2 6

Ruta Crítica : A – D - G

HolgurasActiv i j tij Requerimientos

: Mano de obraMínimo inicio

ti

Mínimo término

tj

Máximo inicio

li

Máximo término

Lj

HT HL Observaciones

A 1 2 3 5 0 3 0 3 0 0 CríticaB 1 4 6 10 0 6 2 8 2 2 ---C 1 3 2 8 0 2 4 6 4 0 Semi – CríticaD 2 4 5 3 3 8 3 8 0 0 CríticaE 3 4 2 4 2 4 6 8 4 4 ---F 2 5 7 7 3 10 5 12 2 2 ---G 4 5 4 2 8 12 8 12 0 0 Crítica

Determinar :

(a) Aprovechando las holguras permitidas de las actividades, establecer el Programa que mejore la distribución de Mano de Obra.

(b) A partir del programa original, reprogramar la malla considerando que las actividades B, C y E requieren de la misma maquinaria y hay una sola en existencia.

Carta gantt del proyecto

Requerimientosde mano de obra

3

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

Nivelación de Recursos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13Descripción Req.

MaxVar. Max.

Distribución Inicial de Mano de Obra

23 23 19 24 20 20 10 10 9 9 2 2 24 10

F, 2 días23 23 19 17 13 20 10 10 9 9 9 9 23 10

E, 4 días23 23 15 13 13 20 14 14 9 9 9 9 23 8

C, 3 días15 15 15 21 21 20 14 14 9 9 9 9 20 6

Reprogramación de Malla: actividades B, C y E requieren la misma maquinaria

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ACTIVIDAD

A 5 5 5

B

C

D 3 3 3 3 3

E

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Días

F 7 7 7 7 7 7 7

G

Dist.Inicial M de Obra

23 23 19 24 20 20 10 10 9 9 2 2 - - - - - - - -

Dist. Final M de Obra

13 13 9 14 20 50 50 50 17 17 2 2 2 2 - - - - - -

Actividad Crítica Holgura Libre

Sistema Pert (programa evaluation de Review Technique)

Se aplica a Proyecto en los cuales hay muy poca experiencia anterior, por lo tanto es necesario medir la incertidumbre asociada a la actividad.

Se pretenden los siguientes objetivos:

(1) Medir la incertidumbre asociada a cada actividad respecto de la duración de cada una de ellas.

(2) Medir la incertidumbre con respecto a la duración total del Proyecto.

(3) Determinar la probabilidad de que los caminos no críticos se conviertan en críticos, debido a que sus actividades componentes pueden tener una gran incertidumbre respecto a un cumplimiento.

Para lograr estos objetivos, el sistema PERT hace estimación de tus tiempos característicos para la duración de las actividades:

Tiempo OptimistaTiempo Más ProbableTiempo Pesimista

to (tiempo Optimista) : Es el lapso menor de tiempo que duraría una actividad,

considerando que todos sus factores componentes se comportarían de manera favorable.

tm (tiempo Más Probable) : Es aquel lapso de tiempo que con mayor frecuencia duraría la actividad si ella fuera repetida muchas veces. O el tiempo que un grupo numeroso de personas con experiencia estimaría como único si fuera consultado.

Para un mismo nivel de recursos (misma situación)

tp (tiempo Pesimista) : Es el lapso mayor de tiempo que duraría una actividad, suponiendo que algunos factores componentes estuvieran sujetos a algunas contingencias propias de la actividad.

En la medida que (tp – to) sea mayor, significa que la incertidumbre del tiempo de duración del Proyecto o actividad es mayor.

Distribuciones Estadísticas que representan el tiempo de duración de una actividad:

Triangular Trapezoidal : Beta

Distribución : Esta distribución estadística es la que mejor representa la distribución que relaciona to, tm y tp.

F (t) = K (t – to) (tp – t)

y , dependen de la asimetría de la curva de distribución .

(1) = E[t] = Indicador de Exactitud

(2) = Indicador de Precisión

Se simplifica el caso de una distribución y se asume como distribución normal, con te, dado por la ecuación (1) y por la ecuación (2).

Distribución Normal :

f

0 tto tptm

0 0to totm tmtp tp

f f

t t

f(t)

to tm tp

49% 49%

f (t) =

Sea : z =

f (z) =

p (a =

Valores Característicos de la distribución normal

to = está ligado a una probabilidad de 1%. Existe un 1% de probabilidad de que el tiempo de duración efectiva de la actividad sea menor que o igual a to.

tp = Está ligado a una probabilidad de 99%. Existe un 99% de probabilidad de que el tiempo de duración efectiva de la actividad sea menor que o igual a tp.

tm = No está ligado a una probabilidad definida. Pero corresponde al tiempo de más alta probabilidad de ser efectivo.

= Está ligado a una probabilidad del 50%. Existe un 50% de probabilidad de que el tiempo efectivo sea menor que o igual a .

Para el caso de la distribución normal, tm es igual a siempre. Cuando una curva de distribución es asimétrica; sucede que tm generalmente.

Algunas características de la Distribución Normal

Tramo Probabilidad

99%

0 t

f(t)

0 t

95%

67%

Sea : ts = Tiempo de duración efectiva de actividad.

Si : ts = - , existe una probabilidad de 50% - que se cumpla.

Si : ts = + , existe una probabilidad de 50% + que cumpla.

Si : ts = - 3

Si : ts = + 3

Para cualquiera ts : z =

Para una malla de actividades:

Ruta elegida compuesta por actividades 1, 2, …, n.

Ejercicio # 1 :

ACTIVIDAD to tm tp OBSERVACIONESA 2.0 15.5 20.0 Asimetría derechaB 8.0 14.0 20.0 Simétrica

1 2 3 4A B C

C 14.0 14.0 14.0 Estimación única

= 14.0.-

= 14.0.-

= 14.0.-

= 3.0.-

= 2.0.-

= 0.0.-

=

=

Nota : un estudio realizado por una importante empresa norteamericana (IBM) estableció que el tiempo de duración de un proyecto debe estar en el rango 40% - 65%.

40% riesgo 65% derroche de recursos

Ejercicio # 2 :

30 – 45 – 75 3 – 7 – 11 3 – 4 - 61 2

3

4

A B

C

5

D

O

Ruta Crítica

Actividad Antes de Después deABCD

B –CDD--

--AA

C - B

Determinar :

a) Probabilidad de cumplir la actividad B en 3, 7 u 11 días.

Sol. P = 1%

P = 50%

P = 99%

b) Probabilidad de cumplimiento al evento 5 en 58 días.

Solución: debemos irnos por el camino crítico, a menos que se señale lo contrario.

= 47.5

= 7.0

= 4.2

y, Ts = 58 (tiempo efectivo)

= 56.25.-

= 1.78.-

= 0.25.-

Ejercicio Nº3 6.00

30.50

4 6.00 6.17 29.00

29.00

60.00 5.17 17.00 29.00 36.670.00 5.17 17.00 29.00 36.67

1 2 5 8 9 5.17 11.83 5.50 7.67

7

24.33 29.00

3 10.33 3.00

10.33

A D

C F

B E H J

G

O

I

O

33.67

Para cada actividad :

Ruta Crítica : B – E – G - J

Actividad to tm tp ObservacionesA 2 6 10 6 4/3 16/9 Simétrica

B 4 5 7 31/6 ½ ¼ Asimétrica Izquierda

C 7 10 15 31/3 4/3 16/9 ´´

D 3 6 10 37/6 7/6 49/36 ´´

E 8 12 15 71/6 7/6 49/36 Asimétrica Derecha

F 3 3 3 3 0 0 Estimación Única

G 6 12 18 12 2 4 Simétrica

H 1 5 12 11/2 11/6 121/36 Asimétrica Izquierda

I 5 7 10 43/6 5/6 25/36 ´´

J 2 8 12 23/3 5/3 25/9 Asimétrica Derecha

a) Determinar la probabilidad de finalizar el evento 9 dentro de un plazo de 40 días.

Sol. ( Ruta Crítica)

días

40 días

2.90 días

= 1.15

b) Determinar el plazo para cumplir el evento 5 con una probabilidad de 70%

Sol.

días

1.27 días

c) Determinar la probabilidad de finalizar el evento 7 dentro de un plazo de 18 días.

Sol. días

días

18 días

= -4.06

d) Determinar la probabilidad para cumplir la actividad G dentro de un plazo de 6 días.

Sol. días

días

días

e) Determinar la probabilidad de que la ruta B – E – I – J se haga crítica

Sol.

días

36.67 días (duración de la ruta crítica)

2.25 días

= 2.15

= 1 -

= 1 – 0.9842 = 0.0158

= 1.58%