Première Scientifique - 1ère S - 11th grade Second degré

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TD 3 (3 PAGES) Exercice 1

Résoudre les équations suivantes :

a) 𝑥! + 5𝑥 − 6 = 0

b) 𝑥! + 𝑥 + 2 = 0

c) −2𝑥! + 3𝑥 + 4 = 0

d) 4𝑥! − 12𝑥 + 9 = 0

e) 𝑥! − 9𝑥 + 20 = 0

f ) 2𝑥! − 7𝑥 = 0

g) 3𝑡! − 4𝑡 − 4 = 0

h) −𝑢! − 4 = 0

Exerc ice 2

Déterminer les racines des trinômes suivants :

a) 𝑥! − !"!"𝑥 + !

!

b) 2𝑥! − 20𝑥 + 50

c) − !!

!+ 𝑥 + 4

d) 2𝑥! − 𝑥 + 1

e) 2𝑥! − 2𝑥 5 + 3 = 0

f ) 3𝑥! + 2𝑥 6 − 1 = 0

g) 4𝑥! − 2𝑥 3 + 3 = 0

h) 𝑥! − 𝑥 − !!= 0

Exerc ice 3

Résoudre les équations suivantes en utilisant la

méthode la plus adaptée :

a) 3𝑥 − 5 𝑥 + 14 = 0

b) 3𝑥! − 12 = 0

c) 3𝑥! + 3𝑥 − 126 = 0

d) 𝑥 + 3 7𝑥 − 1 = 𝑥 + 3

e) !!𝑥! + 𝑥 − !

!= 0

f ) 𝑥! − 5𝑥! + 3𝑥 = 0

g) 10𝑘! − 49𝑘 + 51 = 0

h) 4𝑥 − 7 𝑥 − 5 + 𝑥 − 3 ! = 𝑥 + 2 !

Exerc ice 4

On considère le trinôme suivant : 𝑥! − 2𝑚 +

3 𝑥 +𝑚!.Pour quelle valeur de 𝑚 a-t-il une racine

double ?

Calculer alors la valeur de cette racine.

Exercice 5

On considère l’équation suivante : (4𝑚 + 1)𝑥! −

4𝑚𝑥 +𝑚 − 3 = 0.

Pour quelle(s) valeur(s) de 𝑚 admet-elle des solutions

distinctes ?

Exercice 6

On considère le trinôme suivant : 𝑚 + 3 𝑥! +

2(3𝑚 + 1)𝑥 + (𝑚 + 3).Pour quelle valeur de 𝑚 a-t-il une

racine double ?

Exercice 7

Résoudre les équations suivantes :

a) !!!!!!!!!!!!!

= !!!!!!

b) !!!!!

+ !"!!!

= −3

c) 𝑥 + !!= 3

d) !!!!

− !!!!

= −1

e) !!!!!

− !!!!!

= 2 où 𝑚 est un réel donné.

Exercice 8

Résoudre les équations suivantes en posant le

changement d’inconnue 𝑋 = 𝑥!.

a) 𝑥! − 16𝑥! + 39 = 0

b) 3𝑥! − 4𝑥! − 4 = 0

c) 16𝑥! − 24𝑥! + 9 = 0

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Exercice 9

Ecrire, lorsque c’est possible, les trinômes

suivants sous la forme d’un produit de deux polynômes de

degré 1.

a) 2𝑥! − 10𝑥 + 12

b) 3𝑥! + 7𝑥 + 2

c) 4𝑥! + 4𝑥 − 8

d) 3𝑥! − 2𝑥 3 + 1

e) 25𝑥! − 70𝑥 + 49

f ) 2𝑥! − 5𝑥 + 4

g) 𝑥! − 𝑥 − 1

h) 𝑥! + 2 + 3 𝑥 + 6

Exerc ice 10

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = 4𝑥! +

9𝑥! − 16𝑥 − 36

1) Développer, réduire et ordonner 𝑥 + 2 𝑎𝑥! +

𝑏𝑥 + 𝑐 .

2) Déterminer les réels 𝑎, 𝑏, 𝑐 tel que 𝑓 𝑥 =

𝑥 + 2 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 .

3) Ecrire 𝑓(𝑥) sous la forme d’un produit de trois

polynômes de degré 1.

Exercice 11

On prolonge de 12 cm un des côtés de l’angle

droit d’un triangle isocèle rectangle. La longueur de

l’hypoténuse du triangle obtenu est égale à cinq fois celle

du triangle initial. Déterminer les dimensions du triangle

initial.

Exerc ice 12 - Nikola ï BOGDANOV-BELSKY 1895 -

1) Trouver toutes les suites de 5 entiers consécutifs

tels que la somme des carres des trois premiers

nombres soit égale à la somme des carrés des

deux derniers nombres.

2) En déduire par un calcul mental le résultat de !"!!!!"!!!"!!!"!!!"!

!"#

Exerc ice 13

On donne les équations respectives de deux

paraboles 𝒫: 𝑦 = 𝑥! − 6𝑥 + 8 et 𝒫! : 𝑦 = !!−𝑥! + 2𝑥 +

8 .

1) Déterminer les éventuels points d’intersection des

paraboles 𝒫 et 𝒫′ avec l’axe des abscisses.

2) Déterminer les éventuels points d’intersection de

𝒫 et 𝒫!.

Exerc ice 14

On donne les équations respectives de deux

paraboles 𝒫: 𝑦 = 𝑥! − 6𝑥 + 10 et 𝒫! : 𝑦 = −2𝑥! + 18𝑥 −

39.

1) Déterminer les éventuels points d’intersection des

paraboles 𝒫 et 𝒫′ avec l’axe des abscisses.

2) Déterminer les éventuels points d’intersection de

𝒫 et 𝒫!.

Exerc ice 15

On considère l’équation 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 avec

𝑎 ≠ 0. On donne ∆= 𝑏! − 4𝑎𝑐 ; 𝑥! =!!! ∆!!

et 𝑥! =!!! ∆!!

les deux racines de l’équation.

1) Montrer que la somme 𝑆 des deux racines de

l’équation est égale à − !!.

2) Montrer que le produit 𝑃 des deux racines de

l’équation est égal à !!.

3) En déduire que 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥! − 𝑆𝑥 + 𝑃 .

4) En vous inspirant de ce qui précède, déterminer

les racines de 𝑥! − 6𝑥 + 8 = 0 sans utiliser le

discriminant.

5) En vous inspirant de ce qui précède, déterminer

les racines de 𝑥! − 8𝑥 + 15 = 0 sans utiliser le

discriminant.

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Exercice 16

L’aire d’un rectangle est 80𝑚!. L’un des côtés

mesure 2𝑚 de plus que l’autre. Quelles sont ses

dimensions ?

Exercice 17

En augmentant de 5 cm la longueur du côté d’un

carré, on augmente son aire de 44%.

Combien mesure-le coté initialement ?

Exercice 18

Déterminer trois nombres entiers consécutifs,

sachant que la somme des carrés de ces nombres est

égale à 1877.

Exercice 19

Dans une salle de concert 800 personnes sont

assises sur des bancs d’égale longueur. S’il y avait eu 20

bancs en moins, il aurait fallu mettre deux personnes de

plus par banc. Combien y-avait-il de bancs ?